unidad v: estimación de parámetros. propósito de la inferencia de estadística estimación de...
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Unidad V: Estimación de
Parámetros
Propósito de la Inferencia de estadística
Estimación de parámetros Pruebas de Hipótesis
Puntual Intervalar
Métodos de Estimación
Momentos
Máximo Verosímil
Propiedades
Método del Pivote
Nivel de Confianza
Pruebas de Hipótesis Concepto
Tipos de erroresHipótesis NulaHipótesis alternativa
UnilateralBilateral
Nivel de Confianza
Valor-p
Región Crítica
Decisión
5.7 Propiedades de los estimadores puntuales
Es interesante establecer algunos criterios bajo los cuales la calidad de un estimador puede ser evaluada. Estos criterios definen, en general, propiedades deseables de los estimadores que nos sirven para compararlos.
sesgado. es que dice
se contrario caso En . todo para si. sólo y si insesgado
es que dice Se . parámetro un de puntual estimador un Sea
ˆ)ˆ(
ˆˆ
E
Sesgo:
)ˆ(
ˆ
EB
B expresión la por dado está puntual estimador un de sesgo El
Estimadores Insesgados:
.
ˆ,1
)(1
ˆ
22
22
2
2
2
2
de
sesgado estimador un sería tanto por y es media su que
sencontramo varianza la de estimador como usamos Si
.insesgados serán estos , lpoblaciona varianza
la y lpoblaciona media la de sestimadore como y utilizamos Si
n
n
XXn
SX
i
:que tiene se de insesgado
estimador otro cualquier si ,estimador un es que Decimos . de insesgado estimador un Sea
*
,)()ˆ(
ˆˆ
*VarVar
θ para varianza mínima de insesgado
Por lo tanto, dados dos estimadores para el parámetro θ, y siendo todo el resto de las condiciones equivalentes para ambos, se elegirá siempre aquel de menor varianza.
Ejemplo
ones?distribuci estas para varianza, mínima y ntoinsesgamie de términos en ,
de distinto , para mejor estimador otro encontrar ¿Podríamos , tamaño de fija muestra una en basándonos :es formular de natural pregunta Una
crece. cuando mejora de estimador como de calidad la varianza, mínima de
criterio un en basándose que, entonces claro Es aumenta. cuando decrece pero ; de depende no que crece. cuando mejora de
calidad la si averiguar interesa Nos Bernoulli. óndistribuci una de parámetro de y )( Poisson óndistribuci una de media la de Normal; óndistribuci unade parámetro , de insesgado estimador un es tanto, lo Por l.poblaciona
media la de insesgado estimador un es muestral media la que Sabemos
Xn
nXn
nXVnXEnX
p
XX
/)()( 2
La respuesta está en la desigualdad de Cramer-Rao que proporciona una cota inferior para la varianza de cualquier estimador insesgado del parámetro de una distribución de probabilidades, bajo condiciones de regularidad que incluyen:
i. El espacio de valores de la variable aleatoria involucrada debe ser independiente del parámetro.
ii. La función de densidad (o función de probabilidad) debe ser una función continua y diferenciable del parámetro.
Teorema 5.7 (Cramer-Rao). Sea X1,…,Xn una muestra
aleatoria de tamaño n de una población X con función de densidad (o función de probabilidad) f(x,θ), que depende de un parámetro θ desconocido, y satisface las condiciones de regularidad.
2
1
),(ln
1)ˆ(
),,(ˆ
xfnE
Var
XXT n
Entonces . para insesgado estimador un Sea
)(
))ˆ(1(
));(ln(
))ˆ(1(
ˆ
2
2
2
ˆ
I
B
xfnE
B
2
expresión. la por dada está Rao-Cramerde cota la que probar puede se , de insesgado estimador un es no Si
La cantidad I(θ) es conocida como cantidad de información o Información de Fisher. De aquí que la CCR también se conoce con el nombre de Desigualdad de Información.
En la clase de estimadores insesgados, la cota inferior en la desigualdad de información es 1/I(θ), independientemente del estimador que estemos considerando.
La desigualdad de Cramer-Rao se puede escribir como:
}/);(ln{
1)ˆ(
22
XfnE
Var
La CCR puede extenderse fácilmente para ciertas transformaciones del parámetro. Específicamente, si φ = g(θ) es una transformación uno a uno y diferenciable, entonces:
de insesgado estimador un es donde
para para
ˆ
)ˆ()(
)ˆ(2
VarCCRd
dgVarCCR
.ˆ llama se a,su varianz a Rao-Cramer de
cotasu derazón la , de ˆ insesgadoestimador un Dado
θ de eficiencia
2)ˆ()ˆ(
ˆ
ECME
:por define
se puntual estimador un de (CME) error del Medio Cuadrado El
)ˆ()ˆ(
ˆ
VarCME
entonces , parámetro del insesgado estimador un es Si
Ejemplo
Sea X1, X2 una muestra aleatoria de tamaño 2 de X con
distribución Exponencial de parámetro desconocido.
mejor? es dos los de ¿cuál medio, cuadrático error del
términos En de sestimadore a y a osConsiderem ./1ˆˆ2121 XXX
)()()((
)((ˆ(
2/(1ˆ(ˆ(
212121
221212
211
XEXEXXEXXVar
XXEXXVarCME
XVarCME
)
donde de
))
Ahora,
. de insesgado estimador un ser por ),)) El
22
4
2
442
21
2
2222
21
2/12/10
2/1
)ˆ(
ˆ
)/1)/)(4/1(()(
16
16)16/(/1)(
2/)/()2/3(
)(
)(
2
2
por dado está de Medio Cuadrático Error el aquí, De
y
tanto lo Por
. parámetro de lexponencia con Calculemos
CME
XXB
XXVar
dxexXE
XXE
x
0)ˆ(lim
1)ˆ(lim
ˆ
nn
nn
n
P
P
ementeequivalent o
:que tiene se
0, cualquier para si, para econsistent dice se estimador El
Teorema 5.8
0)ˆ(lim
ˆ
nn
n
Var
si econsistent es de insesgado estimador Un
Ejemplo
Sea X1,…,Xn una muestra aleatoria de una población con
distribución de probabilidades con media y varianza 2 < .
. la como conocido también es hecho
Este . a adprobabilid en converge que decir puede se ementeEquivalent
te.directamen aplica se
anterior teorema el crece, cuando , como y , para insesgado
estimador un es que Dado . y que Sabemos
Números Grandes los de Ley
X
nXVar
XnXVarXE
0)(
/)()( 2
. de econsistent estimador un es que osVerifiquem X
Sea X1,…,Xn una muestra aleatoria de una distribución de
probabilidades con parámetro desconocido θ. T = T(X1,
…,Xn) es un estadístico suficiente para θ, si y sólo si, la
distribución condicional de (X1,…,Xn) dado T = t, para todo
valor de t, es independiente de θ.
Ejemplo
Consideremos los resultados observados de n ensayos Bernoulli independientes X1,…,Xn donde Xi = 1 con
probabilidad p y es 0 con probabilidad 1 – p.
? de funciones
otras observando , de acerca adicional ninformació ganar ¿Podemos
, de valor el conocemos Si ensayos. los en éxitos de Nº Sea
n
n
ii
XX
p
TnXT
,,1
1
Una manera de responder es observar la distribución condicional de X1,…,Xn dado T = t; esto es:
t
ntnptpt
n
tnptpnn tTxXxXP 1
)1(
)1(11 ),...,(
. de función es no y , y de sólo función una es donde
forma la de tivas,
-nega no funciones dos en afactorizad ser puede ), tudverosimili
de función (la de conjunta densidad la si, sólo y si para suficiente
oestadístic un es . aleatoria muestra la en basado
oestadístic un Sea
hTg
XhxTgxL
xL
X
XTXXX
XT
n
)()),((),(
),(
)(),...,(
),(
1
Fisher) de iónFactorizac (de 5.9 Teorema
Ejemplo
Sea X1,…,Xn una muestra aleatoria de una población con
distribución exponencial con media ; esto es, Xi posee
función de densidad.
nixxxf iii ,1,0)/exp(/1),( ,
La función de verosimilitud de la muestra es la densidad conjunta
nn xnxxfL /)]/[exp(),...,,( 1
. para suficiente oestadístic otro es que también Notemos
. para suficiente estimador un es que concluir podemos
) y con iónfactorizac de teorema
el aplicando , y de sólo depende que función una es Como
j
n
X
X
xhxnxg
xL
,1(/)]/[exp(),(
Ejemplo Sea X1,…,Xn una muestra aleatoria de una distribución uniforme en
(0,θ) y determinemos un estadístico suficiente para θ.
La función de verosimilitud de la muestra aleatoria es
nixxL in ,,1),0()/1(),( todo para ,
lo que es equivalente a escribir
),,,(;)/1(),( 21)()( nnnn xxxmáxxxxL donde para ,
Así, tenemos la factorización
),)()(),0( ,()()/1(),( nnn XgxIxL
donde
Ax
AxxIA
si
si
0
1)(
es la función indicadora de un conjunto A.
Prob.: Se registraron los siguientes datos, en días, que representan el tiempo de fabricación de un determinado producto con dos procesos distintos.
Proceso 1 34 17 2.5Proceso 2 56 19 1.8a) Encuentre un I. de C del 95% para el tiempo promedio de fabricación
del proceso 1.b) Se cree que la persona que tomó los datos en el proceso 1 no lo hizo
correctamente, ya que experiencias anteriores indican que la varianza es de 12,9683. Para demostrar que S obtenida anteriormente estaba errada, se considera una nueva muestra aleatoria de 10 tiempos. ¿Cuál es la probabilidad que la varianza muestral de esta nueva muestra, supere el valor obtenido anteriormente?.
Ejemplos:
Prob.: Se registraron los tiempos utilizados en la compra para 64 clientes seleccionados al azar en un supermercado local. La media y la varianza de los 64 tiempos de compra fueron 33 minutos y 256, respectivamente. Encuentre un I. de C. del 95 % para el verdadero tiempo promedio.
Ejemplos: