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Unidad III.- Estadística descriptivadescriptiva
Ricardo Ruiz de Adana Pérez
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Conceptos de estadística
• N Población .- Conjunto de individuos u objetos sobre los cuales se desea conocer el comportamiento de las características de interés. Se utiliza la letra N para designar el numero de elementos de la población.elementos de la población.
• n Muestra .- Subconjunto o parte de la población sobre los que realizamos realmente las mediciones con la idea de obtener conclusiones que se generalizan a la población. Se utiliza la letra n para designar el numero de elementos de la muestra (p. ej., n = 56).
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Conceptos de estadística• Variable .- Característica que deseamos
conocer de un población.• Datos .- Valores de las variables que
medimos.medimos.• Muestreo .- Técnicas estadísticas que
permiten proporcionar una muestra representativa de la población y conocer el numero de elementos que tenemos que estudiar.
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Conceptos de estadística• Parámetro .- Medida que resume los datos obtenidos
sobre el conjunto de la población. Ejem: Media (µ), Desviación típica (σ)
• Estadístico .- Medida que resume los datos obtenidos sobre los elementos de una muestra. obtenidos sobre los elementos de una muestra. Ejem: Media (X), Desviación típica (S)
• Estimador .- Cuando un estadístico se utiliza para aproximarnos al valor de un parámetro, se le llama Estimador.
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Población Conjunto de individuos u objetos sobre el que se desea conocer
una/s característica/s
InferenciaMuestreo
MuestraSubconjunto de individuos u objetos realmente estudiados
InferenciaMuestreo
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Tipo de variables• Cualitativas.
– Miden una característica o “cualidad” que no se pueden representar numéricamente. (sexo, estado civil, profesión, nivel de estudios).
– Si solo tiene dos posibles valores se denominan – Si solo tiene dos posibles valores se denominan dicotómicas.
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Tipo de variables cualitativas
• Nominal: Los datos se ajustan a categorías que no tienen relación de orden entre sí (el sexo, la profesión el estado civil, presencia o no de una patología).
• Ordinal: Existe una jerarquía, una relación de orden entre las categorías (nivel de estudios, grado de satisfacción: mucho, normal, poco).
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Tipo de variables• Cuantitativas.
– Son aquellas cuyos valores pueden ser expresados numéricamente y esta numeración no es una simple codificación, sino que existe una correspondencia entre el valor de la variable y la correspondencia entre el valor de la variable y la representación numérica de la misma.
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Tipo de variables cuantitativas• Discretas: entre dos valores consecutivos no
podemos encontrar ningún otro valor (nº finito de valores: números naturales/enteros). Ej.: nª de hijos.
• Continuas: entre dos valores consecutivos • Continuas: entre dos valores consecutivos hay un número infinito de valores (números reales). Ej.: peso, talla.
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�Una variable cuantitativa debiera ser recogida como norma como cuantitativa, ya que aporta más información. Posteriormente pueden hacerse las categorizaciones o recodificaciones deseadas recodificaciones deseadas
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Descripción variables cualitativas
a)Frecuencia absoluta (fa) (Fa): número de veces que se ha observado el valor de cada categoría de la variable.
b)Frecuencia relativa (fr) (Fr): es la frecuencia b)Frecuencia relativa (fr) (Fr): es la frecuencia absoluta dividida por el número de casos estudiados (n) (N). Es sinónimo de probabilidad, y se expresa como proporción (x 100) o tanto por uno.
fr = fa / n Porcentaje = fr x 100
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• EJEMPLO .- En un servicio de traumatología con objeto de realizar una correcta planificación, interesa saber la localización de la patología en una muestra de 186 pacientes atendidos durante los últimos seis meses n=186
• La variable de interés es la zona afectada, es una variable cualitativa dividida en 5 modalidades (rodilla, cadera, tobillo, cráneo, otras).cadera, tobillo, cráneo, otras).ZONA AFECTADA fa fr %RODILLA 30 0.161 16.1CADERA 28 0.151 15.1TOBILLO 41 0.220 22.0CRÁNEO 34 0.183 18.3OTRAS 53 0.285 28.5TOTAL Σfa=186 Σfr=1
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Medidas descriptivas variables cuantitativas
� TENDENCIA CENTRAL
-MEDIA -MEDIANA -MODA
� DISPERSIÓN
-RANGO O AMPLITUD -VARIANZA -DESVIACIÓN ESTÁNDAR -COEFICIENTE DE VARIACIÓN -PERCENTILES
� FORMA
-COEFICIENTE DE ASIMETRÍA -COEFICIENTE DE KURTOSIS
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Media aritmética• Aquel valor que es “promedio” de todos los valores
de la variable, representa el centro de gravedad de la distribución.
• La media aritmética de los datos es la suma de los valores de una variable dividido por el número total valores de una variable dividido por el número total de datos. X=Σxi/n
• Debe distinguirse entre la media obtenida en una muestra (X) o (M) y la autentica media poblacional (µ).
• Ejem.:La media aritmética de los datos siguientes: 2, 4, 6, 8, 9. es:X=Σxi/n =(2+4+6+8+9)/5 =29/5 = 5.8
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Media aritmética
• Es una buena medida de tendencia central porque fluctúa menos entre varias muestras de la misma población que la mediana o la moda.moda.
• Sus inconvenientes: – Resulta poco representativa cuando existen
valores extremos. En estos casos se recomienda usar la MEDIANA que aporta información mas fiable.
– No se debería utilizar en variables cualitativas nominales ni ordinales.
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Mediana
• La mediana de un conjunto de n datos ordenados es el valor central.
• La mediana divide a un conjunto de datos ordenados en dos partes iguales datos ordenados en dos partes iguales en cuanto al numero de datos.
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• EJEMPLO.- Calcular la mediana de los conjuntos de datos siguientes : – 2, 4, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 20.
• El conjunto de datos anterior tiene un número impar de datos y el número total de datos es 11 por lo tanto la mediana es el valor central es decir el sexto Md=10.
– 3, 6, 8, 12, 17, 28, 32, 34. • El conjunto de datos anterior consta de 8 datos es par
por lo tanto la mediana es la media aritmética de los dos valores centrales Md=(12+17)/2=14.5.
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Moda• Es aquel valor de la variable que mas
frecuentemente se repite en la serie estadística.
• Según la moda, las distribuciones de las variables se pueden clasificar en las variables se pueden clasificar en unimodales y multimodales (bimodales, trimodales, etc).
• En el caso particular de las variables continuas se habla de intervalo modal.
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Medidas de dispersión
• Aportan información de la variabilidad de los valores de la variable.
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Rango, amplitud o recorrido
• Es la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo de los datos observados.– Rango=Máximo-Mínimo – Rango=Máximo-Mínimo
• Nos informa sobre la amplitud del recorrido observado de la variable.
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Rango o amplitud o recorrido
• EJEMPLO.- La medida de la presión arterial sistólica en mm de mercurio, sobre un grupo de pacientes arroja los siguientes resultados:
• 120,135, 160, 100, 155, 115, 165, 125, 130.• Calcular el Rango.• Máximo=165; Mínimo=100; Rango=165-
100=65.• Esto nos indica que en un intervalo de 65 mm
de mercurio están todos los valores medidos.
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Desviación media
• Es la media aritmética de las diferencias en valores absolutos de todos los datos respecto a la media todos los datos respecto a la media aritmética . – DM=Σ(xi-X)/n
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Desviación media
• EJEMPLO.- Las tallas en cm de un grupo de personas se detallan a continuación: 180, 165, 160, 175.
• Calcular la desviación media.– X=(180+165+160+175)/4 =170.– X=(180+165+160+175)/4 =170.– Dm= Σ (Xi-X)/n =[ (180-170)+(165-170)+(160-170)+(175-
170)]/4– Dm= (10+5+10+5)/4 =7.5.
• Se utilizan valores absolutos, ya que si no fuera así, las diferencias se contrarrestarían y seria cero
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Varianza• Otra manera de eliminar la anulación del
resultado en la formula Σ(xi-X)/n es elevando (xi-X) al cuadrado. Σ(xi-X)2/n.
• En caso de que nos refiramos a la varianza poblacional la representaremos por: poblacional la representaremos por: σ2= Σ(xi- µ)2/N
• La varianza muestral la representaremos por: S2= Σ(xi-X)2/n-1
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Varianza
• La varianza representa unidades cuadráticas, por tanto NO es adecuada cuando se quiere expresar la dispersión cuando se quiere expresar la dispersión en unidades originales
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Desviación típica o estándar
• La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza.
2óó =
2SS =
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Desviación típica o estándar
• El objetivo de la desviación estándar es volver a unidades originales.
• Son las medidas de dispersión más informativas, pues se basan en todas las observaciones, teniendo pues se basan en todas las observaciones, teniendo en cuenta el valor de cada una.
• Están muy influidas por valores extremos. En estos casos, aportan mejor información los percentiles.
• Se utilizan ampliamente a causa de las propiedades de la curva normal de Gaus, y por la importancia de la varianza en la estadística inferencial
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Propiedades de la curva normalen la distribución de una variable
en una población
• Una variable con distribución normal:
• µ ± 1σ incluye el 68% de las observaciones.
• µ ± 2σ incluye el 95 % de los datos (exactamente es 1,96 en vez de 2, como se verá en temas posteriores).
µ ± 3σ incluye prácticamente el 100%.
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Propiedades de la curva normalen la distribución de una variable
en una muestra• También en una muestra que se distribuya
normalmente se cumplen las siguientes propiedades:normalmente se cumplen las siguientes propiedades:
– X ± 1 S incluye el 68% de las observaciones.– X ± 2 S incluye el 95 % de los datos (exactamente es 1,96
en vez de 2, como se verá en temas posteriores).– X ± 3 S incluye prácticamente el 100%.
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Ejemplo
• En una población con media de 40 años y desviación estándar de 10 años, aunque no sepamos su distribución, podemos afirmar que:
• -Entre 30 y 50 años (40±1 x 10) se encuentra • -Entre 30 y 50 años (40±1 x 10) se encuentra aproximadamente el 68% de la población,
• -Entre 20 y 60 (40±2 x 10) años se encuentra aproximadamente el 95% de la población, y
• -Entre 10 y 70 (40±3 x 10) años se encuentra prácticamente toda la población.
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Resumen• Para las variables cuantitativas, la
información obtenida de una muestra se resume mediante:– Tamaño de la muestra.– La media aritmética.– La media aritmética.– La desviación típica.
• Para las variables cualitativas, la información obtenida de una muestra se resume mediante:– Tamaño de la muestra.– Frecuencia relativa.
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Percentiles: medida de posición • El percentil es el valor que deja por debajo de sí un
determinado porcentaje de las observaciones, estando estas ordenadas de menor a mayor, es decir, el percentil 20 corresponde al valor que deja por debajo al 20% de los datos.
• A los percentiles 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 se les • A los percentiles 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 se les llama DECILES.
• A los percentiles 25, 50, 75 se les llama CUARTILES.• La mediana es el percentil 50• A la distancia entre los cuartiles 25 y 75 se le llama
INTERVALO INTERQUARTÍLICO.
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Resumen
• Los valores muy alejados de la media tienen mucho peso en los cálculos tanto de la media como de la desviación estándar. A estos valores "extraños" se les suele llamar valores valores "extraños" se les suele llamar valores extremos "Outliers“.
• Una de las formas que hay para definir cuando un valor es un extremo, es considerarlo cuando está alejado más de 3 S de la media, es decir, por fuera del intervalo X± 3 S
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Resumen
• Cuando la distribución contiene valoresextremos se recomienda utilizar, para resumirlos datos de la misma, la mediana y elintervalo interquartílico.intervalo interquartílico.
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Representaciones gráficas
• Diagrama de barras• Histograma• Sectores circulares (tarta)• Polígono de frecuencias• Polígono de frecuencias• Diagrama de dispersión• Diagrama de cajas
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Diagrama de barras• En el eje de las x se colocan
los valores de las variables y en el eje de las y las frecuencias absolutas o relativas.
• Adecuado para variables 1500
2000
2500
• Adecuado para variables cualitativas.
• Cuando se utiliza el diagrama de barras para comparar dos variables cualitativas de dos poblaciones diferentes, se debe utilizar las frecuencias relativas.
0
500
1000
grupo A Grupo B Grupo C Grupo D
Distribución de sujetos de estudio por grupos
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Histograma
• Es un diagrama de barras en el que las barras están unidas
• Es la representación gráfica más utilizada• En el eje de las x se colocan los valores de las variables
y en el de las y las frecuencias absolutas o relativas• Es el más adecuado para variables cuantitativas y • Es el más adecuado para variables cuantitativas y
cualitativas ordinales.
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Histograma
• Números de metástasis en los sujetos incluidos en el estudio
200
número de metástasiss
4.03.02.01.00.0
100
0
Desv. típ. = 1.08
Media = 1.5
N = 393.00
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Sectores circulares (tarta)
• Se trata de un círculo en el que a cada clase o categoría de la variable se le asigna un sector proporcional a su frecuencia absoluta o relativa. frecuencia absoluta o relativa.
• No resulta adecuada cuando las variables tiene muchas categorías ( Ideal para 3 – 5 categorías)
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Sectores circulares (tarta)
hombre
mujermujer
Distribución de sexos en un estudio
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Polígono de frecuencias
• Se realiza a partir del histograma, buscando el punto medio (marca de clase) de la parte superior de los intervalos de clase. clase.
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Polígono de frecuencias
200
100
número de metástasiss
43210Omitido
Fre
cuen
cia
100
0
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Diagrama de dispersión
• Nos permite comprobar gráficamente si existe correlación entre dos variables cuantitativas. Se confrontan en el eje horizontal una variable (x) y en el vertical horizontal una variable (x) y en el vertical la otra (y).
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Diagrama de dispersión
•
Diagrama de dispersión entre la talla y el peso de una muestra de individuos
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Diagrama de caja y bigotes
• Supone un resumen de cinco parámetros importantes de las variables cuantitativas: la mediana (valor central de la serie), el primer y el tercer cuartil (los cuartiles delimitan los borde de la caja), los valores mínimo máximo no de la caja), los valores mínimo máximo no atípicos (delimitan los bigotes)
• Valores atípicos: Q1-1,5*RIC o Q3+1,5*RIC (amplitud recorrido intercuartilico)
• Valores extremos: Q1-3*RIC o Q3+3RIC
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Diagrama de caja
Descripción de la edad en los sujetos de estudio
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Medidas de forma
• Coeficiente de asimetría
• Coeficiente de curtosis• Coeficiente de curtosis
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Medidas de forma
• Coeficiente de asimetría.- Nos informa si las colas de la curva asociadas a los datos son mas alargadas hacia alguno de los lados
• Si V= 0 curva simétrica• Si V= 0 curva simétrica• Si V< 0 curva asimetría hacia la izquierda• Si V> 0 curva asimetría a la derecha
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Medidas de forma
• Coeficiente de curtosis.- Nos informa del grado de apuntamiento de la curva
• Si Ѓ = 0 curva mesocurtica• Si Ѓ < 0 planicurtica (aplanada)• Si Ѓ < 0 planicurtica (aplanada)• Si Ѓ > 0 leptocurtica (estilizada)