unidad 4 areas volumenes

CALCULO INTEGRAL

AREAS DE UNA REGIN

PLANA

AREA DE REGIONES PLANAS

La integral definida de una funcin en un intervalo dado nos da como resultado el rea bajo la curva

AREA BAJO UNA CURVA

BARRIDO VERTICAL

x

y

x

y

a bx

Barrido Vertical

REA ENTRE CURVAS

Pasos para hallar el rea de una regin

plana en coordenadas rectangulares.

EJEMPLO

Determinar el rea de la regin definida por las dos curvas.

x

y

x

y

(3,7)

(-2,2)

Determinar los puntos de interseccin

Barrido Vertical

x

y

dx

REA DE REGIONES SIMPLE - Y

BARRIDO HORIZONTAL

x

y

x

y

c

dy

Barrido Horizontal

EN FORMA GENERAL

EJEMPLO

SOLUCIN

BARRIDO HORIZONTAL

VOLMENES DE SLIDOS DE REVOLUCIN


MTODO DEL

DISCO

VOLMENES DE SLIDOS DE REVOLUCINMTODO DE LAS ARANDELAS:

VOLMENES DE SLIDOS DE REVOLUCINMTODO DE LA CORTEZA

El slido diferencial tendra la forma de una

CORTEZA:


x

y


POR MEDIO DE SECCIONES TRANSVERSALES CONOCIDAS

Hasta ahora, nuestros slidos haban tenido secciones

transversales circulares. Sin embargo, el mtodo de encontrar

el volumen funciona tambin para slidos cuyas secciones

transversales son cuadrados o tringulos. En realidad, todo lo

que se necesita es que las reas de las secciones transversales

puedan determinarse, ya que, en este caso, tambin podemos

aproximar el volumen de la rebanada una capa con esta

seccin transversal.

LONGUITUD DE ARCO PARA FUNCIONES

a x1 x2 xi-1 xi xn=b

P0

P1 P2

Pi

Pi-1

Pn

C


35

Ejemplo 1:Calcula la longitud de arco de la parbola semicbicay2 = x3 entre los puntos (1; 1) y (4; 8)


x

y

37

Ejemplo 3:a) Plantee una integral para hallar la longitud de un arco de

la hiprbola xy = 1, de (1; 1) hasta (2; ).b) Con ayuda de un asistente matemtico calcule la integral

planteada en a).

38

Ejemplo 4:

Determina la longitud de un arco de la curva

, desde (1; 1) hasta un punto de

abscisa x.8

)xln(2xy

39

Ejemplo 5:

Calcula la longitud de cada una de las curvas en

los intervalos indicados.

21)1() 32 xxya

31) 24

81

4 xyb

xx

40)cos(ln) xxyc

40

Ejemplo 6:Trace la curva cuya ecuacin esy calcule su longitud aprovechando su simetra.

13/23/2 yx

41

Ejemplo 7:Calcula la longitud de la curva:

41,11

3 xdttyx


Encuentre el rea de la superficie de revolucin generada al hacer girar

la curva = , , en torno al eje x

REAS DE SUPERFICIES DE REVOLUCINUna superficie de revolucin se forma cuando se hace girar una

curva en torno de una recta. Podemos imaginar que se

desprende una capa externa muy delgada del cuerpo de

revolucin y que la cascara se aplana para poder medir su rea.

GIRA CON RESPECTO AL EJE X GIRA CON RESPECTO AL EJE Y

REAS DE SUPERFICIES DE REVOLUCINDEDUCCIN DE LA FRMULA

REAS DE SUPERFICIES DE REVOLUCIN


Gira alrededor del eje X Gira alrededor del eje Y

Funcin : = () Funcin : = ()

= = 2 () 1 + (

)2dx = = 2

() 1 + (

)2dy

Funcin : = () Funcin : = ()

= = 2 1 + (

)2dy = = 2

1 + (

)2dx


Encuentre el rea de la superficie de revolucin generada al hacer

girar la curva:

Alrededor del eje x

Hallar el rea de la curva: y= x Entre los puntos A(0,0) y B(4,2) El rea generada ser: 4

A = 2.. f(x). (1+ [ f (x) ] 2 ) dx 0 y = 1 / 2.x 4 A = 2.. x. [ 1 + (1 / 2.x)2 ]. dx = 0 4 4 = 2.. x. [ 1 + 1 / 4x ]. dx = 2.. [ x + 1 / 4 ]. dx ; 0 0 4,25 4,25 Cambio: x+0,25 = t ; dx = dt 2.. t . dt = 2..(2/3).[ t3/2 ] = 36,177 0,25 0,25

EJEMPLO_1

-2

Hallar el rea de la curva: y= x2

Entre los puntos A(0,0) y B(2,4) El rea generada ser: 2

A = 2.. f(x). (1+ [ f (x) ] 2 ) dx ,, y= 2x 0 2 2 A = 2.. x2 [ 1 + (2x)2 ]. dx = 2.. x2 . (1 + 4.x2 ) dx = 0 0

EJEMPLO_2

y= x2

0 1 2 x

4

Hallar el rea engendrada por la rotacin entorno al eje X de la curva: 9.y2 = x.(3 x)2

y2 = (1/9).x. (3 x)2 Corta en x= 0 y en x = 3 y= (1/3). x. (3 x) Consideramos la rama positiva. y = (1/3). (1 / 2x). (3 x) + (1/3).x. ( 1) 3 x x (y )2 = (--------- -------)2

6x 3 El rea ser: 3 (3 x)2 x 3 x

A = 2. (1/3). x. (3 x). [ 1 + ---------- + ------- ---------- ]. dx = 0 36.x 9 9 3 36.x + 9 6x + x2 + 4.x2 12.x + 4x2

= 2. (1/3). x. (3 x). [ ------------------------------------------------ ]. dx 0 36.x

EJEMPLO_3

3 9.x2 + 18.x + 9 = 2. (1/3). x. (3 x). [ -------------------- ]. dx 0 36.x 3 x2 + 2x + 1 = 2. (1/3). x. (3 x). [ ---------------- ]. dx 0 4.x 3 (x + 1) = 2. (1/3). x. (3 x). ------------. dx 0 2. x 3 = 2. (1/6). (3 x). (x + 1). dx 0 3 = 2. (1/6). (3 x). (x + 1). dx 0 3 3 = 2. (1/6). (2.x + 3 x2 ) dx = 2..(1/6).[ x2 + 3x (1/3).x3 ] = 3. u2

0 0

0 1 2 3

TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES

VALOR MEDIO O VALOR PROMEDIO


INTERPRETACIN GEOMTRICA

b

a

cfabdxxf )(*)()(

TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALESEJEMPLO 1:


Determinar el valor medio de la funcin = () para el

intervalo [ 0,

]

TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALESEn cierta ciudad la temperatura (en ) t horas despus de las 9

A.M se model mediante la funcin = + (

).

Calcule la temperatura promedio durante el periodo de 9 A.M

hasta 9 P.M.

=1

=1

12 0

12

50 + 14

12

La densidad lineal, de una varilla de 8 mts. de longuitud es (kg/m) ,

donde x se mide en metros desde un extremo de la varilla. Determine la

densidad promedio de la varilla.

12

+ 1

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