unidad 2. segmentos y Ángulos segmentos · segmentos y Ángulos ... perpendiculares si están...

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UNIDAD 2. SEGMENTOS Y ÁNGULOS SEGMENTOS Recordemos que dados los puntos A y B, se llama segmento de recta AB ( AB ) al conjunto formado por los puntos A, B y todos los puntos P entre A y B Los puntos A y B se llaman extremos. Las semirrectas determinadas por los extremos de un segmento y que no tienen más puntos comunes con el segmento, se llaman las prolongaciones del segmento. MEDIDA DE SEGMENTOS: La medida de un segmento AB, denotada por m( AB ) o AB, es la distancia entre sus puntos extremos: m( AB )=d(A,B)=AB SEGMENTOS CONGRUENTES: Son segmentos que tienen igual medida: AB CD m(AB)=m(CD) AB=CD CONVENCIÓN: Cuando no haya lugar a confusión en lugar de AB usaremos AB y en lugar de AB CD usaremos AB=CD. TEOREMA: La congruencia de segmentos es una relación de equivalencia, es decir, cumple las siguientes propiedades: 1. Reflexiva: AB AB 2. Simétrica: AB CD CD AB 3. Transitiva: AB CD CD EF AB EF SEGMENTOS DESIGUALES: Son segmentos no congruentes. Entre dos segmentos desiguales será menor el que tenga menor medida: AB CD m(AB)<m(CD) AB<CD AXIOMA DE CONSTRUCCIÓN DE SEGMENTOS: En toda semirrecta OA , para cada real positivo “x”, existe un único punto B sobre OA , distinto de O, tal que m( OB ) = x. PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO: Es el punto entre los extremos del segmento que lo divide en dos segmentos congruentes. 1 M es punto medio de AB AM MB AB 2 SEGMENTOS ADYACENTES: Son dos segmentos de extremos colineales y que tienen un extremo común situado entre los extremos no comunes. SUMA DE SEGMENTOS: Si AB y BC son segmentos adyacentes entonces el segmento AC es la suma de los segmentos AB y BC : AC AB BC Además AB AC BC y BC AC AB Para sumar dos segmentos no adyacentes se construyen dos segmentos adyacentes respectivamente congruentes a ellos. Unidad dos, segmentos y ángulos, Página 1 de 27

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UNIDAD 2. SEGMENTOS Y ÁNGULOS

SEGMENTOS

Recordemos que dados los puntos A y B, se

llama segmento de recta AB ( AB ) al conjunto

formado por los puntos A, B y todos los puntos

P entre A y B

Los puntos A y B se llaman extremos. Las

semirrectas determinadas por los extremos

de un segmento y que no tienen más puntos

comunes con el segmento, se llaman las

prolongaciones del segmento.

MEDIDA DE SEGMENTOS: La medida de

un segmento AB, denotada por m( AB ) o AB,

es la distancia entre sus puntos extremos:

m( AB )=d(A,B)=AB

SEGMENTOS CONGRUENTES: Son

segmentos que tienen igual medida:

AB CD m(AB)=m(CD) AB=CD

CONVENCIÓN: Cuando no haya lugar a

confusión en lugar de AB usaremos AB y en

lugar de AB CD usaremos AB=CD.

TEOREMA: La congruencia de segmentos es

una relación de equivalencia, es decir, cumple

las siguientes propiedades:

1. Reflexiva: AB AB

2. Simétrica: AB CD CD AB

3. Transitiva: AB CD CD EF AB EF

SEGMENTOS DESIGUALES: Son segmentos

no congruentes. Entre dos segmentos

desiguales será menor el que tenga menor

medida:

AB CD m(AB)<m(CD) AB<CD

AXIOMA DE CONSTRUCCIÓN DE

SEGMENTOS: En toda semirrecta OA , para

cada real positivo “x”, existe un único punto B

sobre OA , distinto de O, tal que m( OB ) = x.

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO: Es el

punto entre los extremos del segmento que lo

divide en dos segmentos congruentes.

1M es punto medio de AB AM MB AB

2

SEGMENTOS ADYACENTES: Son dos

segmentos de extremos colineales y que

tienen un extremo común situado entre los

extremos no comunes.

SUMA DE SEGMENTOS: Si AB y BC son

segmentos adyacentes entonces el segmento

AC es la suma de los segmentos AB y BC :

AC AB BC

Además AB AC BC y BC AC AB

Para sumar dos segmentos no adyacentes se

construyen dos segmentos adyacentes

respectivamente congruentes a ellos.

Unidad dos, segmentos y ángulos, Página 1 de 27

ÁNGULOS

ÁNGULO: Es la figura formada por dos

semirrectas que tienen el mismo origen. Si

ellas son OA y OB , se denota por AOB. El

origen O es el vértice del ángulo y las

semirrectasOA y OB son los lados del ángulo.

INTERIOR DE UN ÁNGULO: Es el conjunto

formado por los puntos que están en la

intersección de dos semiplanos, (cada uno de

ellos con un lado sobre su borde y conteniendo

al lado restante), excepto los que están sobre

los lados del ángulo.

EXTERIOR DE UN ÁNGULO: Es el

subconjunto del plano del ángulo formado por

los puntos que no están sobre los lados del

ángulo ni en el interior del ángulo.

ÁNGULO NULO: Es el ángulo que forma toda

semirrecta consigo misma.

ÁNGULO LLANO: Es el ángulo formado por

dos semirrectas opuestas.

AXIOMA DE MEDIDA DE ÁNGULOS: Dado

un semiplano con una semirrecta OA , fija en

su borde, entonces a cada semirrecta OB de

dicho semiplano, se le asigna un único número

real “a” en el intervalo 0,180. Para la

semirrecta OA se asigna el 0 y para su

semirrecta opuesta el 180.

MEDIDA SEXAGESIMAL DE UN ÁNGULO:

La “medida” (sexagesimal) de un AOB es

igual a “a” grados sexagesimales, tomando el

número real “a” en el intervalo 0,180, que le

asigna el axioma anterior y lo denotaremos

por: mAOB=a o simplemente AOB=a

CLASIFICACIÓN SEGÚN SU MEDIDA:

Según su medida los ángulos se clasifican así:

es NULO: si m=0°

es AGUDO: si 0° < m < 90°

es RECTO: si m=90°

es OBTUSO: si 90° < m < 180°

es LLANO: si m =180°

ÁNGULOS CONGRUENTES: Son ángulos que

tienen igual medida:

ABCDEF mABC=mDEF

CONVENCIÓN: Cuando no haya lugar a

confusión en lugar ABCDEF o de

mABC=mDEF usaremos ABC=DEF.

TEOREMA: La congruencia de ángulos es una

relación de equivalencia, es decir, cumple las

siguientes propiedades:

1. Reflexiva: ABCABC

2. Simétrica: ABCDEF DEFABC

3. Transitiva:

ABCDEFDEFPQRABCPQR

ÁNGULOS DESIGUALES: Son dos ángulos no

congruentes. Entre dos ángulos desiguales

será menor el que tenga menor medida.

AXIOMA DE CONSTRUCCIÓN DE

ÁNGULOS: Dado un semiplano y fijada una

semirrecta OA sobre su borde, entonces para

cada real “x” en el intervalo 0,180, existe

solamente una semirrecta OB en dicho

semiplano, tal que mAOB = x°.

BISECTRIZ DE UN ÁNGULO: Es la

semirrecta interior que lo divide en dos

ángulos congruentes. Si BXuur

es una semirrecta

interior al ABC entonces:

BX es bisectriz del ABCABXXBCABC/2

Unidad dos, segmentos y ángulos, Página 2 de 27

ÁNGULOS ADYACENTES: Son dos ángulos

coplanares que tienen el mismo vértice, un lado

común y cada uno de los lados no comunes está

en el exterior del otro ángulo.

SUMA DE ÁNGULOS: Si ABC y CBD son

adyacentes, entonces el ABD es la suma de

los ángulos ABC y CBD:

ABDABC+CBD

Además ABCABD–CBD y

CBDABDABC.

Para sumar dos ángulos no adyacentes se

construyen dos ángulos adyacentes

respectivamente congruentes a ellos.

ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS: Son dos

ángulos cuyas medidas suman 90°. De cada

uno de ellos se dice que es el complemento del

otro:

A + B = 90°

B = 90° A = AC y A = 90° B = BC

ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS: Son dos

ángulos cuyas medidas suman 180°. Cada uno

de ellos es el suplemento del otro:

A + B = 180°

B = 180°A = AS Y A = 180°B = BS

PAR LINEAL: Son dos ángulos adyacentes

cuyos lados no comunes son semirrectas

opuestas.

ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE:

Son dos ángulos tales que los lados de uno de

ellos son las semirrectas opuestas de los lados

del otro.

TEOREMA: Dos ángulos son congruentes si y

sólo si sus complementos son congruentes si y

sólo si sus suplementos son congruentes.

Dm:

=90°–=90°– 180°–=180°–

Luego = C = C S = S

TEOREMA: Si dos ángulos forman un par

lineal entonces son suplementarios.

Dm: ABX + XBC = 1llano = 180°, luego

ABX y XBC son suplementarios

TEOREMA: Si dos ángulos adyacentes, ABC

y CBD son suplementarios entonces forman

un par lineal y por lo tanto los puntos A, B y D

son colineales.

** Este teorema se utilizará para probar

que tres puntos son colineales.

TEOREMA: Dos ángulos opuestos por el

vértice son congruentes.

Dm:

Los ángulos opuestos por el vértice tienen

igual suplemento, luego son congruentes.

TEOREMA: Las bisectrices de dos ángulos

opuestos por el vértice son semirrectas

opuestas. (Ejercicio)

RECTAS PERPENDICULARES: Dos rectas

secantes L y M son perpendiculares, L M, si

forman por lo menos un ángulo recto. En caso

contrario son oblicuas.

Dos segmentos (semirrectas) son

perpendiculares si están contenidos en rectas

perpendiculares.

TEOREMA: Dos rectas perpendiculares

forman cuatro ángulos rectos. (Ejercicio)

TEOREMA: Las bisectrices de un par

lineal son perpendiculares. (Ejercicio)

Unidad dos, segmentos y ángulos, Página 3 de 27

TEOREMA: Por cada punto de una recta pasa

una y solamente una recta perpendicular a ella.

Dm: Por el axioma de construcción de

ángulos para x=90 existe una y sólo una

semirrecta que determina la recta pedida.

MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO: Es la

recta que pasa por el punto medio de un

segmento y es perpendicular al segmento.

Si M es el punto medio de AB entonces:

L mediatriz de AB L pasa por M y L AB

LÍNEA POLIGONAL: Sea nZ y n 3. Si A1

, A2 , ... , An son puntos coplanares, tales que

ninguna tripleta de consecutivos son colineales

entonces a la unión de los segmentos 1 2A A ,

2 3A A , ..., n 1 nA A . se le llama poligonal

A1A2...An

Los extremos de cada segmento son los

vértices de la poligonal, los segmentos son los

lados y la suma de las medidas de sus lados es

el perímetro.

Si el extremo final del último segmento

coincide con el inicial del primero entonces la

poligonal es cerrada, en caso contrario la

poligonal es abierta.

POLÍGONO: Es la región del plano limitada

por una poligonal cerrada.

Según el número de lados se llaman:

Triángulo (3), Cuadrilátero (4), Pentágono (5),

Hexágono (6), Heptágono (7), Octágono (8),

Eneágono (9), Decágono (10), Dodecágono (12),

Pentedecágono (15), polígono de n lados (n).

POLÍGONO CONVEXO: Un polígono es

convexo si al unir dos puntos cualesquiera

situados sobre dos lados distintos, el

segmento está contenido en el polígono. En

caso contrario es no convexo.

Ángulo interior de un polígono convexo es el

formado por dos lados consecutivos y ángulo

exterior es el que forma un par lineal con un

ángulo interior.

POLÍGONO REGULAR: Es un polígono con

todos sus lados congruentes y todos sus

ángulos interiores congruentes.

CIRCUNFERENCIA: Dados un plano , un

punto O en dicho plano, y un número real

positivo r, (r > 0), se llama “Circunferencia de centro O y radio r en el plano ” y se

denota por: “C(O;r)”, al conjunto formado por

todos los puntos P del plano tales que su

distancia al centro es igual a r, es decir tales

que OP = r.

Unidad dos, segmentos y ángulos, Página 4 de 27

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Unidad dos, segmentos y ángulos, Página 5 de 27

CRUCIGRAMA ELEMENTOS BASICOS,SEGMENTOS Y ÁNGULOS (Elaboró: Carlos Albero Ríos villa)

HORIZONTALES 1 Es suficiente para que dos segmentos o dos ángulos sean

congruentes

2 ¡Tranquilo!... yo le creo, no tiene necesidad de probarme nada

4 Dos ángulos que suman 90°

8 Subconjuntos en los que un punto sobre una recta la dividen

10 Igual que la 4, pero suman 180°

11 Antes de escribir la demostración debes conocer un camino,

esto te permitirá encontrarlo

13 Para serlo, estos dos ángulos solo deben tener la misma

medida

15 Axioma que nos dice lo que le hace un punto a una recta

17 Relación que compara la forma de dos figuras geométricas

18 Estos ejercicios solo debes hacerlos luego de haber

comprendido muy bien los conceptos y los ejercicios

resueltos

20 Debes usarlos para tener una visión más amplia de cada

tema

21 Los primeros ejercicios que debes estudiar y comprender

muy bien

23 Son soporte fundamental para usar eficientemente el

tiempo independiente de estudio

24 Un conjunto toma este nombre si entre sus elementos se

puede determinar cual está antes o después de otro o si

está entre otros dos

26 Esta propiedad permite concluir que si dos cosas son

iguales y una de ellas es igual a una tercera, entonces las

tres son guales

27 Estos dos ángulos solo se originan si dos rectas son

secantes

29 Esta relación, entre dos figuras geométricas se da solo si

tienen Igual forma y medida

31 Para serlo, estos dos segmentos solo deben tener igual

medida

32 Es indispensable si quieres tener éxito en tu estudio

35 Este axioma garantiza la existencia de semiplanos opuestos

37 Subconjunto propio del espacio que tiene solo dos

dimensiones

38 Estas dos rectas resultaron ser la misma por tener dos

puntos distintos en común

39 Siempre son colineales

40 Estos dos ángulos tienen el vértice y un lado común, pero

además el otro lado (el no común) está por fuera del otro

ángulo, o mejor dicho está en el semiplano opuesto

respecto al lado común. ¡Hay amá que enredo!

41 Sin comprenderlos, será imposible realizar los ejercicios

propuestos

42 Puntos en un mismo plano

44 Este axioma concluye que solo por tener tres puntos no

colineales en común, dos planos son el mismo

45 Dos puntos siempre lo son

46 Una recta en un plano da origen a ellos

50 Semirrecta que divide un ángulo en dos, pero igualitos

51 Estudio de las medidas y formas de la tierra

52 Si en este polígono unimos dos puntos de dos lados

cualesquiera todo el segmento resultante queda adentro

del polígono; o si prolongamos alguno de sus lados esta

prolongación nunca cortará a otro lado del polígono

53 Estas dos rectas solo tienen un punto en común y además

son coplanares

54 Son los datos y por lo tanto el punto de partida de una

demostración, siempre son verdad y debemos tenerlas

presentes durante la solución del problema, pues sin ellas

es imposible resolverlo.

55 Afirmación con sentido completo, de la cual tenemos

certeza de su veracidad o falsedad

56 Siempre invirtiendo las cosas, en este caso la hipótesis y la

tesis

57 conjunto de propiedades inequívocas que se usan para

identificar algo

58 Dos puntos sobre una recta y todos lo que están entre ellos

59 Son las únicas rectas que no son coplanares

60 Esta es la clave, debes hacerlo y hacerlo y hacerlo

61 Esta propiedad afirma que toda figura geométrica es

congruente con ella misma

62 Estos tres, si no son colineales, siempre son coplanares

VERTICALES

1 Número de puntos que forman cualquier segmento

3 Este ángulo es más grande que uno recto pero más pequeño

que uno llano

5 Estas dos rectas no tienen puntos en común, pero además

siempre son coplanares

6 Este axioma justifica el hecho de que dos puntos siempre

sean colineales

7 Ángulo que mide 180°

9 Estos segmentos tienen un punto (extremo) en común que

está entre los otros dos

12 Lo que debemos probar en un ejercicio

14 Cada uno de los conjuntos en los que un punto divide una

recta

16 Éste ángulo mide más de 0° y menos de 90°

19 Se dice de una relación que cumple las propiedades:

reflexiva, simétrica y transitiva

22 Solo si me demuestran lo creo

25 Propiedad que permite cambiar el orden en que nombramos

las figuras geométricas

28 Subconjunto que no es igual al universal, o sea que al menos

le falta un elemento del universal

30 Figura formada por dos semirrectas con origen común

33 Este ángulo es como pocas personas

34 Conjunto linealmente ordenado, sin principio ni fin ni

tampoco puntos consecutivos

36 Ángulos cuya medida es cero grados

43 Justifica el hecho de que tres puntos siempre sean

copleares

47 Solo realizando muchos podrás aprender

48 Otro nombre para los ángulos opuestos por el vértice

49 Este pequeño elemento es capaz de dar origen a todas las

figuras geométricas

52 Lo que debes hacer aunque en un principio creas que no

podrás ¡SI PODRAS!

Unidad dos, segmentos y ángulos, Página 6 de 27

UNIDAD 2

SEGMENTOS Y ANGULOS

En esta primera parte del módulo, correspondiente a los elementos básicos de geometría, segmentos y

planos debes tener presente los postulados sobre punto, recta y plano; así como los teoremas y

corolarios relacionados con la adición y resta de segmentos y ángulos adyacentes.

Elementos para recordar:

1. axioma de existencia del espacio

2. segmento de recta

3. medida de segmentos

4. segmentos congruentes

5. punto medio de un segmento

6. segmentos adyacentes

7. suma de segmentos

8. axioma de medida de ángulos

9. clasificación según su medida

10. bisectriz de un ángulo

11. ángulos adyacentes

12. suma de ángulos

13. ángulos complementarios

14. ángulos suplementarios

15. par lineal

16. ángulos opuestos por el vértice

17. mediatriz de un segmento

Unidad dos, segmentos y ángulos, Página 7 de 27

2

1. Encontrar la medida del suplemento de cada uno de las siguientes ángulos: 100, 80, n, 140,

(180n).

Recordemos que el suplemento de un ángulo es un ángulo cuya medida es por lo tanto

tenemos: -

-

( )

( ) ( ) 90 +

2. Dados dos ángulos suplementarios, si uno de ellos mide 30° más que el otro, ¿cuánto mide cada

uno?

suplementarios

( ) 180°

2

2 180° - 30°

2

3. Encontrar la medida de un ángulo sabiendo que cuatro veces su medida es igual a cinco veces la

medida de su suplemento.

Recordar:

- Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas es 180°

180

= 5veces

180

4. Si la medida del complemento de un ángulo es un tercio de la medida del suplemento del ángulo,

¿cuál es la medida del ángulo?.

Recordar:

- Dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es 90°

- Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas es 180°

El presente ejercicio podemos solucionarlo generando dos ecuaciones con dos incógnitas y

aplicando los métodos de sustitución o igualación

Unidad dos, segmentos y ángulos, Página 8 de 27

( ) ( )

( )

Si el resultado obtenido en ( ) lo remplazamos en ( ) obtenemos que

5. Sean OA, OB, OC y OD semirrectas coplanares, tales que AOB=COD y BOC=DOA.

Demostrar que tanto OA y OC como OB y OD, son semirrectas opuestas.

GRAFICA 13

Recordar que dos semirectas opuestas forman un

ángulo de 180°

Dividiendo en ambos términos de la igualdad por 2

os

= 180

20. Sean OX y OY las bisectrices de dos ángulos agudos adyacentes AOB y BOC, tales que

BOCAOB=36. Sea OZ la bisectriz del XOY. Calcular el ángulo que hace OZ con:

a. La semirrecta OB.

b. La bisectriz OK del AOC.

Bisectriz de

Unidad dos, segmentos y ángulos, Página 9 de 27

GRAFICA 14

bisectriz de

Bisectriz de BOC

Hallar

=

( )

= –

= ( )

= (

( ))

=

la solución del literal b. Se deja al estudiante

21. Sean OX y OY semirrectas opuestas. En un mismo semiplano se trazan las semirrectas OA y

OB y las bisectrices de los ángulos XOA, AOB y BOY. Calcular las medidas de los ángulos,

cuando la bisectriz del ángulo AOB es perpendicular a la recta XY y si las bisectrices de los

ángulos extremos forman un ángulo de 100.

GRAFICA 15

1.

2.

} definición de directriz

3.

4.

}

5. 2 reemplazando ( )

6. 2

22. Las semirrectas consecutivas OA, OB, OC, OD y OE forman cinco ángulos adyacentes

consecutivos. Calcular dichos ángulos si los cuatro primeros son entre sí como 1, 2, 3, 4 y

además OD es la prolongación de la bisectriz del AOB.

1. Bisectriz

Unidad dos, segmentos y ángulos, Página 10 de 27

GRAFICA 16

2. Datos {

3. ⏟ +

4.

5. (

)

( )

( )

23. Dados los puntos O-A-B-C tales que (AB/3) = (BC/4). Demostrar que: OB = (4OA+ 3OC)/7

=?

1.

4 =3 Por propiedad de las igualdades

4 - 3 = 0

2.

} Resta de segmentos

3. 4( ) -3 ( )= 0 Reemplazando ( ) en ( )

4.

}

Propiedad de las igualdades

Unidad dos, segmentos y ángulos, Página 11 de 27

24. Dados los puntos O-A-B-C tales que (AB/m) = (BC/n). Demostrar que:

OB = (n OA+ m OC)/(n + m)

Al igual que el ejercicio anterior ejercicio

partamos de

( ) ( )

( ) ( )

Nuevamente

( ) ( )

( ) – ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

Unidad dos, segmentos y ángulos, Página 12 de 27

EJERCICIOS UNIDAD 2

1. Si BXC=45 y CXD=85, ¿cuánto mide el BXD si:

a. C es interior al BXD?

b. C es exterior al BXD?

Grafica 9

Observa la gráfica y resuelve el

problemA

Grafica 10

Observa la gráfica y resuelve el

problema

2. Determinar la medida del complemento de cada uno de los siguientes ángulos: 20,

60, 35, x, (90 n), 40.

Completa la tabla

θ es complemento de θ = 90°- θ

20°

60°

90°-n°

40°

Unidad dos, segmentos y ángulos, Página 13 de 27

3. Encontrar la medida del suplemento de cada uno de las siguientes ángulos: 100,

80, n, 140, (180n).

Completa la tabla

θ es suplemento de θ

= 180°- θ

100°

80°

180°-n°

140°

180°-n°

4. Si un ángulo mide el doble de su suplemento, encontrar su medida.

Para resolver el ejercicio debes tener presente como palabras claves: el

doble y el suplemento

5. Encontrar la medida de un ángulo sabiendo que cuatro veces su medida es igual a

cinco veces la medida de su suplemento.

Para resolver el ejercicio debes tener presente como palabras claves:

cuatro veces doble y el suplemento

Unidad dos, segmentos y ángulos, Página 14 de 27

6. Cuatro veces la medida de un ángulo es 60 más que dos veces la medida de su

suplemento. ¿Cuánto mide el ángulo?.

Interpreta y resuelve el problema identificando las palabras claves

7. Uno de los ángulos de un par vertical (ángulos opuestos por el vértice) mide 128.

Encontrar la medida de los otros tres ángulos que se forman.

Grafica 11

Observa la gráfica y resuelve el

problema

8. Cuatro semirrectas consecutivas OA, OB, OC y OD forman ángulos tales que

DOA=COB=2AOB y COD = 3 AOB. Calcular las medidas de tales ángulos y

demostrar que las bisectrices de AOB y COD están en línea recta.

Grafica 12

Observa la gráfica y

resuelve el problema

teniendo presente los

conceptos y

definiciones sobre

ángulos.

Unidad dos, segmentos y ángulos, Página 15 de 27

9. Las semirrectas OA y OB forman con la semirrecta OX los ángulos y . Probar que

la bisectriz OC del AOB forma con OX un ángulo (+) / 2 con >

Grafica 13

Observa la gráfica y

resuelve el problema

teniendo presente los

conceptos y definiciones

sobre ángulos.

10. Dados A-B-C tal que M es punto medio de BC. Demostrar que

AM = (AB+AC)/2

Grafica 14

Completa la información y argumenta tu

respuesta.

Unidad dos, segmentos y ángulos, Página 16 de 27

11. Dados los puntos O-A-B-C tales que (AB/3) = (BC/4). Demostrar que:

OB = (4 OA+ 3 OC)/7

Grafica 15

Completa la información y argumenta

tu respuesta.

( ) ( )

12. Sean A-B-C-D tales que M punto medio de AB, N punto medio de CD. Demostrar

que:

MN = (AC + BD)/2

Grafica 16

Debes determinar la Hipotesis y

la tesis, luego completa la

razon.

Unidad dos, segmentos y ángulos, Página 17 de 27

AFIRMACION RAZON

1

2

3

4

5

6

( ) ( )

7

13. Dados los puntos O-A-B-C tales que (AB/m) = (BC/n). Demostrar que:

OB = (n OA+ m OC)/(n + m)

Grafica 17

Debes determinar la Hipotesis y la

tesis, luego completa la razon.

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

Unidad dos, segmentos y ángulos, Página 18 de 27

14. Dados los puntos P,Q,O,R y S colineales con O punto medio de PS y QR demostrar

que PR es congruente con QS

Grafica 18

Debes determinar la Hipotesis y la tesis, luego

completa la razon.

15. Sean A-B-C y D-H-E tales que AB=DH y BC=HE demostrar que AC=DE

Grafica 19

Debes determinar la Hipotesis y la

tesis, luego completa la razon.

1.

1. 2. 3. 4. 5.

Unidad dos, segmentos y ángulos, Página 19 de 27

EJERCICIOS UNIDAD 2.SEGMENTOS Y ÁNGULOS

1. Si BXC=45° y CXD=85°, ¿cuánto mide

el BXD si:

a. C es interior al BXD?

b. C es exterior al BXD?

2. Determinar la medida del complemento de

cada uno de los siguientes ángulos: 20°,

60°, 35°, x°, (90 - n)°, 40°.

3. Encontrar la medida del suplemento de

cada uno de las siguientes ángulos: 100°,

80°, n°, 140°, (180-n)°.

4. Dados dos ángulos suplementarios, si uno de

ellos mide 30° más que el otro, ¿cuánto

mide cada uno?.

5. Si un ángulo mide el doble de su

suplemento, encontrar su medida.

6. Encontrar la medida de un ángulo sabiendo

que cuatro veces su medida es igual a cinco

veces la medida de su suplemento.

7. Cuatro veces la medida de un ángulo es 60°

más que dos veces la medida de su

suplemento. ¿Cuánto mide el ángulo?.

8. Si la medida del complemento de un ángulo

es un tercio de la medida del suplemento

del ángulo, ¿cuál es la medida del ángulo?.

9. Uno de los ángulos de un par vertical

(ángulos opuestos por el vértice) mide 128°.

Encontrar la medida de los otros tres

ángulos que se forman.

10. Sean OA, OB, OC y OD semirrectas

coplanares, tales que AOB= COD y

BOC=DOA. Demostrar que tanto OA

y OC como OB y OD, son semirrectas

opuestas.

11. Cuatro semirrectas consecutivas OA, OB,

OC y OD forman ángulos tales que

DOA = COB=2 AOB y

COD = 3 AOB. Calcular las medidas de

tales ángulos y demostrar que las

bisectrices de AOB y COD están en

línea recta.

12. Sean OX y OY las bisectrices de dos

ángulos agudos adyacentes AOB y

BOC, tales que AOB -BOC=36°.

Sea OZ la bisectriz del XOY. Calcular el

ángulo que hace OZ con:

a. La semirrecta OB.

b. La bisectriz OK del AOC.

13. Las semirrectas OA y OB forman con la

semirrecta OX los ángulos y . Probar

que la bisectriz OC del AOB forma con

OX un ángulo ( + ) / 2 , si X es exterior

a el AOB y a la semidiferencia si es

interior.

14. Sean OX y OY semirrectas opuestas. En un

mismo semiplano se trazan las semirrectas

OA y OB y las bisectrices de los ángulos

XOA, AOB y BOY. Calcular las

medidas de los ángulos, cuando la bisectriz

del ángulo AOB es perpendicular a la

recta XY y si las bisectrices de los ángulos

extremos forman un ángulo de 100°.

15. Las semirrectas consecutivas OA, OB, OC y

OD forman cuatro ángulos adyacentes

consecutivos que son entre sí como 1, 2, 3,

4. Calcular dichos ángulos y los ángulos

adyacentes consecutivos formados por sus

bisectrices.

16. Las semirrectas consecutivas OA, OB, OC,

OD y OE forman cinco ángulos adyacentes

consecutivos. Calcular dichos ángulos si los

cuatro primeros son entre sí como 1, 2, 3, 4

y además OD es la prolongación de la

bisectriz del AOB.

Unidad dos, segmentos y ángulos, Página 20 de 27

EJERCICIOS SOBRE SEGMENTOS (Recopilados por: Carlos Ríos)

17. Determine cuales de las siguientes

afirmaciones son falsas y cuales verdaderas y

justifique su respuesta.

a. Dos rectas son congruentes si y solo si tienen

igual longitud.

b. Dos rectas son congruentes si y solo si

coinciden todos sus puntos.

c. Dos rectas no pueden ser congruentes.

d. Si M Є AB y AM MB , entonces M es el

punto medio de AB.

e. Si AB AC BC entonces A-B-C

f. Dados A-B-C-D entonces AD AC BD

g. Si AB CD , entonces AB = CD

18. Dados A-B-C-D y O punto medio de AD y

BC demuestre que AB CD y que AC BD

19. Dados O-A-X-B con X punto medio de

AB Demuestre que 2

OA OBOX

20. Dados A-O-X-B con X punto medio de

AB Demuestre que 2

OB AOOX

21. Dados A-B-C-D con 2BC = CD demuestre

que 2

3

AB ADAC

22. Dados A, B, C, D colineales, con 4 7

BD CD

demuestre que 7 4

3

AB ACAD

, analice las

posibilidades.

23. Dados O-A-B-C con 4 AB = 5 BC demuestre

que 4 5

9

OA OCOB

24. Dados O-A-B-C con 7 8

AB BC demuestre

que 8 7

15

OA OCOB

25. Dados A-B-C-D con BD CD

m n demuestre

que nAB mAC

ADn m

26. Dados O-A-B-C con n AB = m BC

demuestre que nOA mOC

OBn m

27. Demuestre que la distancia del punto medio

M de un segmento AB a un punto K sobre la

prolongación del segmento, es igual a la semisuma

de las distancias de los extremos del segmento al

punto K, y a la semidiferencia si es K esta sobre

el segmento.

Unidad dos, segmentos y ángulos, Página 21 de 27

TALLER N°1- SEGMENTOS

01 Dados tal que es punto medio de . Demostrar que

02 Se tienen los puntos colineales en dicho orden, sean , y los puntos

medios de los segmentos respectivamente. Si AB mayor que BC

demostrar que:

03 Se tienen los puntos O-A-B-C colineales en dicho orden tales que

demostrar que:

04 Se tienen los puntos O-A-B-C colineales en dicho orden tales que

demostrar que

05 Se tienen los puntos O-A-B colineales en dicho orden tales que ,

determinar el valor del segmento cuya medida debe

cumplir que

06 Se tienen los puntos A, B, C, y D colineales en dicho orden. Si

demostrar que:

07 Dados los puntos A, B, C y D colineales en dicho orden. Si

demostrar que:

08 Las distancias de dos puntos A y B a un punto O entre ellos son y

hallar la distancia si se cumple y con

Unidad dos, segmentos y ángulos, Página 22 de 27

09 Dados los puntos , y colineales y en dicho orden tales que es punto

medio de y es punto medio de . Demostrar que

10 Sean puntos colineales en dicho y orden y y AB > BC. si ,

N y P son punto medio de , y respectivamente. Demuestre que

.

11 Demuestre que la distancia del punto medio M de un segmento AB a un punto K

sobre la prolongación del segmento, es igual a la semisuma de las distancias de los

extremos del segmento al punto K.

12 Sean puntos colineales en dicho orden tal que . Sea el punto

medio de . Demostrar que la medida del segmento es igual a ⁄

13 Sean con punto medio de . Demostrar que la medida del

segmento es igual a ⁄ .

14 Dados M - N - O - P puntos colineales y

a

1MP =

b

1NP , demostrar que

OP =aNO bMO

b a

15 Sobre un segmento se dan los puntos A-O-B-C tales que 2OC=3BC Demostrar

que se cumple AC = 3AB – 2AO

16 Dados A B C D , M y N son los puntos medios respectivos de AB y CD .

Demostrar que 2

MD MCMN

17 Dados los puntos M, N, R y S, colineales en el orden enunciado, tales que A es

punto medio de MN y B es punto medio de RS. Demostrar que:

2AB = MR + NS

18 Dados los puntos O-A-B-C tales que (AB/3) = (BC/4). Demostrar que:

OB = (4OA+ 3OC)/7

19 En una recta sean los puntos consecutivos A, B, C, D y E; tal que F sea el punto

medio de AB y G punto medio de DE. Además AB =BC y CD = DE. También AB +

DE = 10. Calcular FG.

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20 Sobre una recta se ubican los puntos A, B, C, y D, de tal manera que: a

AB + BC = 2BM. Calcular la longitud del segmento MC, si M es el punto medio de

AB y DC=BC

Unidad dos, segmentos y ángulos, Página 24 de 27

TALLER N°2- ANGULOS

1. Las semirrectas OA y OB forman con la semirrecta OX lo ángulos y .

Probar que la bisectriz OC del AOB forma con OX un ángulo 2

; si OX

exterior al AOB .

2. Las semirrectas OA y OB forman con la semirrecta OX lo ángulos y .

Probar que la bisectriz OC del AOB forma con OX un ángulo

; si OX es

interior al AOB .

3. Dados los ángulos adyacentes y consecutivos POQ, QOR y ROS tales que QOR

= 4 ROS demostrar que POQ = 5POR – 4 POS

4. En los ángulos consecutivos se cumple que

, además, . Determine .

5. Dadas dos semirrectas opuestas y y 5 semirrectas , , , y

situadas en un mismo semiplano con respecto a la recta , si es la bisectriz

de AOX ; es bisectriz de AOB y bisectriz de BOY . Tal que

DOY es el doble de DOX y º110EOC . Hallar las medidas de los ángulos

, AOB y BOY .

6. Dados tres ángulos adyacentes y consecutivos AOB, BOC y COD tales que:

Demostrar que:

7. En los ángulos adyacentes suplementarios y se traza la bisectriz

del . Calcular , si

8. Dados tres ángulos adyacentes y cuyos lados extremos son semirrectas opuestas,

si los dos primeros son como 3:4 y las bisectrices del segundo y el tercero

forman un ángulo de 60°, calcular la medida de cada ángulo.

Unidad dos, segmentos y ángulos, Página 25 de 27

9. Se tienen tres ángulos consecutivos cuyos lados extremos son semirrectas

opuestas, el primero y el tercero son como dos a tres y sus bisectrices forman un

ángulo de 130º, calcular la medida de los ángulos.

10. Desde el punto O sobre la semirrecta XOY se trazan las semirrectas OA y OB en

un mismo semiplano y las bisectrices de los ángulos XOA, AOB y BOY. Halle las

medidas de los ángulos, sabiendo que la medida del ángulo YOB es igual a la

medida del ángulo XOA y que las bisectrices de los ángulos extremos forman un

ángulo de 100 grados

11. Cuatro semirrectas consecutivas OX ,OY ,OZ yOW forman ángulos tales que

XOYZOYWOX 2 Y XOYZOW 3 . Calcular las medidas de tales

ángulos y demostrar que las bisectrices de XOY y ZOW están en línea recta.

12. En los ángulos consecutivos se cumple que

y . Calcular .

13. En los ángulos adyacentes suplementarios y se trazan bisectriz

del y bisectriz del . Hallar , si .

14. Indicar el menor de dos ángulos si su suma es 47° y la diferencia de sus

complementos es igual a 9°.

15. Dos ángulos adyacentes suplementarios están en la relación de 3 a 5. Calcular la

medida del ángulo menor.

16. Sean los ángulos adyacentes AOB y BOC, tales que AOB-BOC=40° sean OX y OY

bisectrices de los ángulos AOB y BOC respectivamente. Sea OZ la bisectriz del

ángulo XOY. Hallar la medida del ángulo que hacen OZ y OB.

17. Un ángulo llano es dividido en cinco ángulos consecutivos cuyas medidas se

encuentran en progresión aritmética. Calcular la medida del ángulo mayor,

sabiendo que éste es igual al cuadrado del ángulo menor.

18. Los ángulos consecutivos y su diferencia es , se traza

bisectriz del . Hallar .

Unidad dos, segmentos y ángulos, Página 26 de 27

19. El suplemento del complemento del suplemento de la medida de un ángulo es igual

a ocho veces la medida del ángulo. Encontrar el suplemento del triple de la

medida del ángulo.

20. En los ángulos consecutivos se cumple que

. Calcular .

Unidad dos, segmentos y ángulos, Página 27 de 27