unidad 1_geometria analtica

E s p . L E I D E R E . S A L C E D O G A R C I A G e o m e t r í a a n a l í t i c a Página 1

O x1 x2

y1

y2

P(x1,y1)

Q(x2,y2)

x2 – x1

y2 – y1 d

1.1. SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES

Un sistema de coordenadas rectangulares divide al plano en cuatro cuadrantes por medio de dos rectas perpendiculares que se cortan en el punto O. La recta horizontal se denomina eje X y la recta vertical se denomina eje Y. el punto O se denomina origen.

La distancia desde un punto cualquiera ( )ba , al eje Y se denomina abscisa y la distancia desde el mismo punto hasta el eje X se denomina ordenada. Ambas distancias constituyen las coordenadas del punto en cuestión. 1.2. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

Consideremos la siguiente figura:

Según el teorema de Pitágoras tenemos que: ( ) ( )212

212

2 yyxxd −+−=

UUUNNNIIIDDDAAADDD 111 ::: GGGEEEOOOMMMEEETTTRRRÍÍÍAAA AAANNNAAALLLÍÍÍTTTIIICCCAAA

abscisa

ordenada

(a,b)

a

b

x

y

II

III IV

O


Por lo tanto la distancia d entre los puntos ( )11, yxP y ( )22 , yxQ es: ( ) ( )212

212 yyxxd −+−=

Ejemplo No. 1: Halle la distancia entre los puntos ( )1,4 −

y ( )3 ,7

Solución:

( ) ( )( ) 5251691347 22⇒==+=−−+−=d unidadesd 5=

1.3. LA LINEA RECTA

Una línea recta L está completamente determinada si se conocen:

� Dos de sus puntos. � Un punto y su pendiente. 1.3.1. Inclinación de una recta

La inclinación de una recta L es el menor de los ángulos que dicha recta forma con el eje X.

1.3.2. Pendiente de una recta

La pendiente m de una recta L es la tangente del ángulo de inclinación. Es decir:

θTanm =

Siendo θ el ángulo de inclinación de la línea recta.

Pero según la figura: 12

12

xx

yyTan

−−=θ

Por lo tanto: 12

12

xx

yyTanm

−−== θ

Es decir la pendiente de la recta que pasa por los puntos P y Q es:

12

12

xx

yym

−−=

Ejemplo No. 2: Halle la pendiente m y el ángulo de inclinación θ de la recta que pasa por los puntos ( )3 ,2

y

( )1 ,2 −−

L

θ


(-2,-1)

(2, 3)

Solución:

Tenemos que:

( )( ) ⇒==−−−−=

−−= 1

4

4

22

13

12

12

xx

yym

1=m

Además:

θTanm =

Por lo tanto:

( ) ⇒==⇒= − º451 1 1TanTan θθ º45 =θ

1.3.3. Ecuación de la recta

Conocido un punto de la recta y la pendiente: La ecuación de la recta que pasa por el punto ( )11, yxP y

cuya pendiente sea m es:

( )11 xxmyy −=−

La ecuación anterior se llama ecuación punto-pendiente

Conocido la pendiente y el punto de intersección con el eje Y: La ecuación de la recta cuya pendiente sea m y que corta al eje Y en el punto ( )b ,0 es:

bmxy +=

La ecuación anterior se llama ecuación punto-intercepto

Conocido dos puntos de la recta: Para hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos ( )11, yxP y

( )22 , yxQ se calcula la pendiente m con la formula:

12

12

xx

yym

−−=

Y posteriormente se aplica la ecuación punto-pendiente.

Ejemplo No. 3: Halle la pendiente m y el punto de intersección con el Y de la recta 732 =+ xy

Solución:

Despejando y de la ecuación de la recta tenemos que:

27

23

732

732

+−=+−=

=+

xy

xy

xy


Por lo tanto 23−=m y 2

7=b

El punto de intersección con el eje Y es: ( )27,0

Ejemplo No. 4: Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto ( )3 ,4− y cuya pendiente es 2−=m

Solución:

Aplicando la ecuación punto-pendiente tenemos que:

( ) ( )( ) 423 11 ⇒−−−=−⇒−=− xyxxmyy

52 −−= xy

Ejemplo No. 5: Halle la ecuación de la recta que pasa por los puntos ( )8 ,2 y ( )7 ,3 −−

Solución:

La pendiente m es:

35

15

23

87

12

12 =−−=

−−−−=

−−=

xx

yym

Aplicando la ecuación punto-pendiente y tomando el punto ( )8 ,2 tenemos que:

( ) ( ) 238 11 ⇒−=−⇒−=− xyxxmyy

23 += xy

Ejemplo No. 6: Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto ( )3,2 − y cuyo ángulo de inclinación es º60=θ

Solución:

La pendiente m es:

3 º60 =⇒=⇒= mTanmTanm θ


( ) ( ) ( ) 233 11 ⇒−=−−⇒−=− xyxxmyy

( )3233 +−= xy

1.3.4. Rectas paralelas

Dos rectas 1L y 2L

son paralelas si y solamente si sus pendientes 1m

y 2m son iguales. Es decir:

1L ││ 212 mmL =⇔

1.3.5. Rectas perpendiculares

Dos rectas 1L y 2L

son perpendiculares si y solamente si el producto de sus pendientes 1m

y 2m es igual a 1− .

Es decir:

1 2121 −=⇔⊥ mmLL


Ejemplo No. 7: Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto ( )4,5 − y es paralela a la recta que pasa por los

puntos ( )2 ,3 y ( )6 ,1 −−

Solución:

La recta que pasa por los puntos ( )2 ,3 y ( )6 ,1 −− tiene pendiente:

24

8

31

26

12

121 =

−−=

−−−−=

−−=

xx

yym

La recta pedida debe tener pendiente 212 == mm . Por lo tanto aplicando la ecuación punto-pendiente tenemos

que:

( ) ( ) ( ) ⇒−=−−⇒−=− 524 121 xyxxmyy

142 −= xy

Ejemplo No. 8: Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto ( )4,2− y es perpendicular a la recta 0632 =+− yx

Solución:

Despejando y de la ecuación 0632 =+− yx , tenemos que:

232 += xy

Por lo tanto la pendiente de esta recta es 32

1 =m

Como la recta pedida con pendiente 2m debe ser perpendicular a la recta 0632 =+− yx con pendiente

32

1 =m entonces se debe cumplir que:

121 −=mm

Por lo tanto:

( ) 23

2232 1 −=⇒−= mm


( ) ( )( ) ⇒−−−=−⇒−=− 24 23

121 xyxxmyy

123 +−= xy

Ejemplo No. 9: Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas:

132 =− yx 35 −=− yx

Y por el punto ( )3 ,1−

Solución:

Para hallar el punto de intersección de las rectas 132 =− yx y 35 −=− yx , despejemos y de ambas

ecuaciones:


31

32 −= xy

53

51 += xy

Ahora igualemos ambas ecuaciones y despejemos x :

2

14715

59

15

310

714

31

53

51

32

53

51

31

32

=⇒==

+=−+=−+=−

xx

x

xx

xx

xx

A continuación reemplacemos el valor de x en cualquiera de las ecuaciones de las rectas dadas y hallemos el valor de y :

( ) 12 31

32 =⇒−= yy

Por lo tanto el punto de intersección de ambas rectas es ( )1 ,2 . Esto significa que la recta pedida pasa por los

puntos ( )1 ,2 y ( )3 ,1−

Su pendiente m es:

32

2113

12

12 −=−−−=

−−=

xx

yym

Aplicando la ecuación punto-pendiente y tomando el punto ( )1 ,2 tenemos que:

( ) ⇒−−=− 21 32 xy

37

32 +−= xy

� EJERCICIOS PROPUESTOS No. 1

1. Halle la ecuación de la recta que pase por el punto ( )3 ,2 y cuya abscisa en el origen sea el doble que la

ordenada en el origen. 2. Halle la ecuación de la recta que sea perpendicular a la recta 0372 =−+ yx en su punto de intersección

con la recta 0823 =+− yx

3. Halle el valor del parámetro k de tal forma que: a) 0253 =−++ kykx pase por el punto ( )4 ,1−

b) 074 =−− kyx tenga pendiente 3=m

4. Halle la ecuación de la recta con pendiente 43− y que formen con los ejes coordenados (eje X y eje Y) un

triangulo de área 24 unidades de superficie. 5. Halle la ecuación de la recta que pase por el punto ( )4 ,2 −− y cuyas coordenadas en el origen (abscisa y

ordenada en el origen) sumen 3


1.4. LUGAR GEOMETRICO

El lugar geométrico (grafica) de una ecuación con dos variables es una curva que contiene todos los puntos que satisfacen la ecuación dada. Los dos grandes problemas de la geometría analítica son:

� Dada una ecuación hallar el lugar geométrico asociado. � Dado un lugar geométrico definido por determinadas condiciones hallar su ecuación matemática.

1.5. LA CIRCUNFERENCIA

La circunferencia es el lugar geométrico que se caracteriza por qué la distancia desde cualquier punto ),( yxP

de la circunferencia hasta su centro ),( khC es siempre la misma. Veamos:

Según la figura la distancia r desde el punto ),( yxP hasta el punto ),( khC

es:

( ) ( ) ( ) ( )22222 kyhxrkyhxr −+−=⇒−+−=

Por lo tanto, la ecuación de la circunferencia con centro en ),( kh y radio r es:

( ) ( ) 222 rkyhx =−+−

La ecuación anterior se llama ecuación canoníca de la circunferencia.

Si la circunferencia tiene su centro en el origen, es decir en )0,0( , entonces 0=h y 0=k , por lo tanto:

( ) ( ) 222222 00 ryxryx =+⇒=−+−

Esto significa que la ecuación de la circunferencia con centro en )0,0( y radio r es:

222 ryx =+

Toda circunferencia se puede expresar por medio de una ecuación del tipo:

022 =++++ EDyCxyx

Completemos cuadrados:

( ) ( )[ ] [ ]

( )[ ] ( )[ ] Exx

Exx

EDyyCxx

DCDC

DDCC

−+=−−+−−

−=−++−+

−=+++

44

2

2

2

2

4

2

24

2

2

22

22

22

Por lo tanto: 2Ch −= , 2

Dk −= y Er DC −+= 442 22

Esto significa que una circunferencia con ecuación:

022 =++++ EDyCxyx


Tiene su centro en: ( )22 , DCC −−

Y su radio es: EDCr 422

21 −+=

Ejemplo No. 10: Halle la ecuación de la circunferencia con centro en ( )3 ,2− y radio 2

Solución:

2

3

2

==

−=

r

k

h

( )( ) ( ) ⇒=−+−−⇒ 222 232 yx ( ) ( ) 432 22 =−++ yx

Ejemplo No. 11: Halle el centro y el radio de la circunferencia 096422 =+−++ yxyx

Solución:

� Opción 1: Identifiquemos C, D y E.

9

6

4

=−=

=

E

D

C

El centro es: ( ) ( )( )⇒−−=−− −26

24

22 ,, DC

( )3,2−

El radio es: ( ) ( ) ⇒−−+=−+= 94644 222122

21 EDCr

2=r

� Opción 2: Completemos cuadrados.

( ) ( )[ ] [ ][ ] [ ]

( )[ ] [ ] 432

99432

99342

964

22

22

22

22

=−+−−

−+=−++

−=−−+−+

−=−++

xx

xx

xx

yyxx

4

3

2

2 ==

−=

r

k

h

⇒ El centro es ( )3,2− y el radio es 2=r

Ejemplo No. 12: Halle la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos ( )3 ,5 , ( )2 ,6 y ( )1 ,3 −

Solución:

La ecuación pedida tendrá ecuación: 022 =++++ EDyCxyx

Debemos hallar los valores de C , D y E . Para tal efecto reemplacemos cada punto en la ecuación anterior:

� Para el punto ( )3 ,5 : ( ) ( ) ( ) ( ) ⇒=++++ 03535 22 EDC 3435 −=++ EDC (1)


� Para el punto ( )2 ,6 : ( ) ( ) ( ) ( ) ⇒=++++ 02626 22 EDC 4026 −=++ EDC (2)

� Para el punto ( )1 ,3 − : ( ) ( ) ( ) ( ) ⇒=+−++−+ 01313 22 EDC 103 −=+− EDC (3)

Despejemos E en la ecuación (1):

3435 −−−= DCE

Reemplacemos el valor de E en las ecuaciones (2) y (3):

(2) ( ) ⇒−=−−−++ 40343526 DCDC 6−=− DC (2.1)

(3) ( ) ⇒−=−−−+− 1034353 DCDC 2442 =−− DC (3.1)

Despejemos C en la ecuación (2.1):

6−= DC

Reemplacemos el valor de C en la ecuación (3.1) y despejemos D :

(3.1) ( ) ⇒=−−− 24462 DD 2−=D

Si 2−=D entonces: ( ) ⇒−−= 62C 8−=C

Si 2−=D y 8−=C entonces: ( ) ( ) ⇒−−−−−= 342385E 12=E

La ecuación pedida es: 0122822 =+−−+ yxyx

Ejemplo No. 13: Halle la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos ( )3 ,2 , ( )1 ,1− y cuyo centro está

situado en la recta 0113 =−− yx

Solución:


El centro C de la circunferencia debe equidistar de los puntos A y B . Es decir la distancia desde C hasta A debe ser la misma distancia desde C hasta B . Por lo tanto: 21 rr =

Pero:

( ) ( )221 11 −++= khr

( ) ( )222 32 −+−= khr

Igualando los radios tenemos:

( ) ( ) ( ) ( )2222 3211 −+−=−++ khkh

Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad, desarrollando cuadrados y sumando términos semejantes:


( ) ( ) ( ) ( )2222 3211 −+−=−++ khkh

⇒+−++−=+−+++ 96441212 2222 kkhhkkhh 1146 =+ kh (1)

Como el centro ),( khC está sobre la recta con ecuación 0113 =−− yx , entonces satisface dicha ecuación:

113 =− kh (2)

Despejemos h en la ecuación (2):

113 += kh

Reemplacemos el valor de h en la ecuación (1) y despejemos k :

(1) ( ) ⇒=++ 1141136 kk 25−=k

Si 25−=k entonces: ( ) ⇒+−= 113 2

5h 27=h

Para hallar el radio r de la circunferencia reemplacemos los valores de h y k en la ecuación:

( ) ( )22 11 −++= khr

( ) ( ) ⇒−−++= 2

252

27 11r 2

130=r

La ecuación pedida es: ( ) ( ) 2652

252

27 =++− yx


1. Halle el valor del parámetro k para que la ecuación 010822 =++−+ kyxyx represente una

circunferencia de radio 7 2. Halle la ecuación de la circunferencia que pase por el punto ( )0 ,0 , tenga radio 13=r y la abscisa de su

centro sea 12− 3. Halle la ecuación de la circunferencia cuyo centro este en el eje X y que pase por los puntos ( )3 ,2− y

( )5 ,4

4. Halle la ecuación de la circunferencia circunscrita al triangulo cuyos lados son las rectas:

223

142

8

=+=+

=+

yx

yx

yx

5. Halle la ecuación de la circunferencia que pase por los puntos ( )2 ,8 − , ( )2 ,6 y ( )7 ,3 −

6. Halle la ecuación de la circunferencia que pase por los puntos ( )4 ,1 − y ( )2 ,5 y cuyo centro está situado

en la recta 092 =+− yx


1.6. LA PARÁBOLA

La parábola es el lugar geométrico que se caracteriza por qué la distancia desde cualquier punto ),( yxP de la

parábola hasta una recta fija L llamada directriz es la misma distancia que hay desde el mismo punto hasta otro punto F llamado foco.

La recta fija L se llama directriz y según la figura tiene ecuación ax −=

El punto fijo F se llama foco y según la figura tiene coordenadas ( )0 ,a

P es un punto cualquiera de la parábola y tiene coordenadas ( )yx,

El eje en donde se encuentra ubicado el foco se denomina eje de simetría de la parábola. Según la figura el eje de simetría es X.

El punto V en el que la parábola corta al eje de simetría se llama vértice y según la figura tiene coordenada ( )0 ,0

La distancia entre el vértice y la directriz es la misma distancia que hay entre el vértice y el foco, dicha distancia según la figura es a

El segmento de recta AB que pasa por el foco y es perpendicular al eje de simetría se denomina latus rectum.

La distancia entre P y F es 1d y la distancia entre P y la directriz L es 2d . Por definición de parábola

tenemos que 21 dd =

Pero:

( ) ( ) ( ) 22221 0 yaxyaxd +−=−+−=

axd +=2

Por lo tanto igualando las dos distancias tenemos:

( ) axyax +=+− 22


( ) ( )222 axyax +=+−

axyaaxxyaaxx 422 222222 =⇒++=++−

Por lo tanto la ecuación de la parábola con vértice en ( )0 ,0 , eje de simetría X y abierta hacia la derecha es:

axy 42 =

El eje asociado a la variable con exponente 1 es el eje de simetría.

La longitud del latus rectum es: a4


La siguiente tabla muestra todos los casos posibles de la ecuación de la parábola, junto con las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz:

Vértice Eje de simetría

Sentido en que se habré

Ecuación Coordenadas del foco

Ecuación de la directriz

En el origen: (0,0)

X Hacia la derecha axy 42 = )0,(a ax −= X Hacia la izquierda axy 42 −= )0,( a− ax = Y Hacia arriba ayx 42 = ),0( a

ay −=

Y Hacia abajo ayx 42 −= ),0( a− ay =

En un punto distinto al origen: (h,k)

Paralelo a X Hacia la derecha ( ) ( )hxaky −=− 42 ),( kah + ahx −= Paralelo a X Hacia la izquierda ( ) ( )hxaky −−=− 42 ),( kah − ahx += Paralelo a Y Hacia arriba ( ) ( )kyahx −=− 42 ),( akh + aky −=

Paralelo a Y Hacia abajo ( ) ( )kyahx −−=− 42 ),( akh − aky +=

Ejemplo No. 14: Halle las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la longitud del latus rectum de la parábola xy 83 2 =

Solución:

Al despejar 2y en la ecuación de la parábola tenemos que: xy 382 =

Por lo tanto: 32

384 =⇒= aa

Como la parábola tiene vértice en ( )0,0 , eje de simetría X y es abierta hacia la derecha, entonces:

Las coordenadas del foco son: ( )⇒0,a ( )0,32

La ecuación de la directriz es: ⇒−= ax 32−=x

La longitud el latus rectum es: 38

Ejemplo No. 15: Halle las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la longitud del latus rectum de la parábola ( ) ( )322 2 −=− yx

Solución:

Tenemos que:

3

2

24 21

==

=⇒=

k

h

aa

Como la parábola tiene vértice en un punto distinto a ( )0,0 , eje de simetría paralelo a Y y es abierta hacia arriba,

entonces:

Las coordenadas del foco son: ( ) ( )⇒+=+ 213,2, akh ( )2

7,2


La ecuación de la directriz es: ⇒−=⇒−= 213yaky 2

5=y La longitud el latus rectum es: 2

Ejemplo No. 16: Halle la ecuación de la parábola cuyo foco es el punto ( )34,0 − y tiene como directriz la recta

34=y

Solución:


Por definicion de parabola 21 dd =

Pero:

( ) ( )( ) ( )2

3422

342

1 0 ++=−−+−= yxyxd

( ) ( ) ( )342

342

2 −=−+−= yyxxd

Por lo tanto igualando las dos distancias tenemos:

( ) ( )342

342 −=++ yyx


( ) ( )2

342

342 −=++ yyx

⇒+−=+++ 916

382

916

3822 yyyyx yx 3

162 −=

Ejemplo No. 17: Halle la ecuación de la parábola con eje de simetría paralelo a X y que pasa por los puntos ( )1 ,2− ,

( )2 ,1 y ( )3 ,1−

Solución:

La ecuación pedida debe ser: ( ) ( )hxaky −±=− 42

Desarrollando cuadrados, multiplicando y sumando términos semejantes tenemos la ecuación:

( ) ( ) 0424 22 =+±−+±+ kyakxay

Si consideramos que:

Ba =± 4

Cak =±− 42

Dk =2

La ecuación nos queda: 02 =+++ DCyBxy

Debemos hallar los valores de B , C y D . Para tal efecto reemplacemos cada punto en la ecuación anterior y realizando un procedimiento similar al que se hiso en el ejemplo 12 se obtiene el siguiente resultado:

y=4/3

F(0,-4/3)

P(x,y)

d1

d2

(x,4/3)


52=B

521−=C

4=D

Por lo tanto la ecuación pedida es: 04521

522 =+−+ yxy

Ejemplo No. 18: Halle la altura de un punto de un arco parabólico de 18 m de altura y 24 m de base, situado a una distancia de 8m del centro del arco

Solución:


La parábola de la figura debe tener ecuación:

( ) ( )kyahx −−=− 42

Como 0=h y 18=k , entonces:

( ) ( ) ( )1841840 22 −−=⇒−−=− yaxyax

Como 12=x y 0=y , entonces:

( ) ( ) 272144180412 2 =⇒=⇒−−= aaa

Como 2=a tenemos que la ecuación de la parábola de la figura es: ( )1882 −−= yx

Para hallar la altura y se reemplaza el valor de 8=x en la ecuación de la para bola y se despeja y :

( ) ( ) ⇒=⇒−=⇒+−=⇒−−= 8086414481448641888 2 yyyy my 10=

Ejemplo No. 19: Dada la parábola con ecuación 04682 =+−+ xyy , halle las coordenadas del vértice, las

coordenadas del foco y la ecuación de su directriz. Grafique la parábola:

Solución:


( )[ ][ ][ ] ( )

( )[ ] ( )( )264

264

1264

046164

0468

2

2

2

2

2

−−=−−

+=+

+=+

=+−−+

=+−+

xy

xy

xy

xy

xyy

Como: 2−=h , 4−=k y 2364 =⇒= aa

Por lo tanto:

(12,0) (-12,0)

y

(8 , y)

(0, 18)

(8 , 0)


Las coordenadas del vértice son: ( )⇒kh, ( )4,2 −−

Las coordenadas del foco son: ( ) ( )⇒−+−=+ 4,2, 23kah ( )4,2

1 −−

La ecuación de la directriz es: ⇒−−=⇒−= 232xahx 2

7−=x

La parábola se muestra en la figura de la derecha: � EJERCICIOS PROPUESTOS No. 3

1. Halle la ecuación de la parábola con vértice en el punto ( )2 ,3 y foco ( )2 ,5

2. Halle la ecuación de la parábola con vértice en el origen, con eje de simetría Y y que pase por el punto ( )3- ,6

3. Halle la ecuación de la parábola con vértice en el punto ( )3 ,2 , con eje de simetría paralelo a Y y que pase por el punto ( )5 ,4

4. Halle la ecuación de la parábola cuyo eje sea paralelo al eje X y que pase por los puntos ( )3 ,3 , ( )5 ,6 y

( )3 ,6 −

5. El cable de suspensión de un puente colgante adquiere la forma de un arco de parábola. Los pilares que lo soportan tienen una altura de 60 m y están separados una distancia de 500 m, quedando el punto más bajo del cable a una altura de 10 m sobre la calzada del puente. Tomando como eje X la horizontal que define el puente, y como eje Y el de simetría de la parábola, halle la ecuación de tal parábola. Calcule la altura de un punto situado a 80 m del centro del puente.

6. Halle la ecuación de la parábola cuyo latus rectum es el segmento que une los puntos ( )5 ,3 y ( )3 ,3 −

7. Halle la ecuación de la parábola con vértice en la recta 0437 =−+ yx , con eje de simetría paralelo al

eje X y que pase por los puntos ( )5- ,3 y ( )1 ,23

8. Demuestre que la distancia desde el punto ( )262 ,6 + de la parábola 028842 =+−− xyy hasta

su foco es igual a la distancia que hay desde el mismo punto hasta su directriz.

1.7. LA ELIPSE

La elipse es el lugar geométrico que se caracteriza por qué la suma de las distancias desde cualquier punto ),( yxP de la elipse a dos puntos fijos 1F y 2F llamados focos es constante, es decir es siempre la misma.

Las rectas 1L y 2L se llaman

directrices.

Los puntos 1F y 2F se llaman

focos y según la figura tienen coordenadas ( )0 ,c− y ( )0 ,c

P es un punto cualquiera de la elipse y tiene coordenadas ( )yx,


El eje en donde se encuentran ubicados los focos se denomina eje de simetría mayor o eje mayor de la elipse. Según la figura el eje mayor es X. El otro eje se denomina eje de simetría menor o eje menor de la elipse y según la figura el eje menor es Y.

Los puntos en donde la elipse corta los ejes de simetría se llaman vértices y según la figura tiene coordenadas ( )0 ,a− , ( )0 ,a , ( )b- ,0 y ( )b ,0 . Por otro lado a siempre será la distancia más grande desde el centro de la

elipse hasta los vértices en el eje mayor y b siempre será la distancia más pequeña desde el centro de la elipse hasta los vértices en el eje menor.

El segmento de recta AB que pasa por cualquiera de los dos focos y es perpendicular al eje mayor se denomina latus rectum.

La distancia entre 1F y P es 1d y la distancia entre 2F y P es 2d . Por definición de elipse tenemos que la suma

de las distancias 1d y 2d será siempre la misma (constante), este valor constante es a2 . Por lo tanto:

add 221 =+

Pero:

( )( ) ( ) ( ) 22221 0 ycxycxd ++=−+−−=

( ) ( ) ( ) 22222 0 ycxycxd +−=−+−=

Por lo tanto:

( ) ( ) ( ) ( ) 22222222 22 ycxaycxaycxycx +−−=++⇒=+−+++

Simplificando tenemos que:

( ) ( )

( ) ( )( )

( )( )

[ ] ( )

( )[ ][ ]

422222222

422222222

22222224222

22224222

2224222

22222

222

222

2222222

22222222

22222

22

22

2

444

2442

442

2

acayaxaxc

acayaxaxc

yacacxaxaacxaxc

yccxxaacxaxc

ycxaacxaxc

ycxaacx

ycxaacx

ycxaacx

ccxxycxaaccxx

ycxycxaayccxx

ycxaycx

+−=++−

−=−−++−=+−

++−=+−+−=+−

+−−=−

+−−=−

+−−=−

+−++−−=++

+−++−−=+++

+−−=++


( ) ( )1

22

2

2

2

22222222

=−

+

−=+−

ca

y

a

x

caayaxca

Pero según la siguiente figura:

⇒+= 222 cba 222 cab −=

Por lo tanto la ecuación de la elipse con centro en ( )0 ,0 y eje mayor X es:

12

2

2

2

=+b

y

a

x

La longitud del latus rectum es: a

b22

Además: 222 bac −=

La siguiente tabla muestra todos los casos posibles de la ecuación de la elipse, junto con las coordenadas de los focos y las ecuaciones de las directrices:

Centro Eje mayor Ecuación Coordenadas de los focos Ecuaciones de las directrices

En el origen: (0,0)

X 12

2

2

2

=+b

y

a

x )0 ,( c± 22

2

ba

ax

−±=

Y 12

2

2

2

=+a

y

b

x ) ,0( c± 22

2

ba

ay

−±=


Paralelo a X ( ) ( )

12

2

2

2

=−+−b

ky

a

hx ),( kch ± h

ba

ax +

−±=

22

2

Paralelo a Y ( ) ( )

12

2

2

2

=−+−a

ky

b

hx ),( ckh ± k

ba

ay +

−±=

22

2

Ejemplo No. 20: Dada la elipse 576169 22 =+ yx halle:

� El eje mayor y menor: � Las coordenadas de los focos. � Las ecuaciones de las directrices. � La longitud del latus rectum.

Solución:

13664576

576

576

16

576

9 2222

=+⇒=+ yxyx

Por lo tanto: 8642 =⇒= aa , 6362 =⇒= bb y 7228366468 22222 =⇒=−=−=−= cbac


El eje mayor es X y el eje menor es Y:

Las coordenadas de los focos son: ⇒± )0 ,( c

)0 ,72(±

Las ecuaciones de las directrices son: ⇒−

±=⇒−

±=3664

6422

2

xba

ax

7

32±=x

La longitud del latus rectum es:

( )⇒=

8

3622 2

a

b

9

Ejemplo No. 21: Halle la ecuación de la elipse con centro en el origen, eje mayor X y que pase por los puntos ( )3 ,4

y ( )2 ,6

Solución:

La elipse pedida debe tener ecuación: 12

2

2

2

=+b

y

a

x

Como los puntos ( )3 ,4 y ( )2 ,6 están en la elipse satisfacen la ecuación anterior, por lo tanto:

Para el punto ( )3 ,4 : ⇒=+ 134

2

2

2

2

ba 1

91622

=+ba

(1)

Para el punto ( )2 ,6 : ⇒=+ 126

2

2

2

2

ba 1

43622

=+ba

(2)

Igualando las ecuaciones (1) y (2) tenemos que:

222222

22

22

22

2222436916

436916436916abab

ba

ab

ba

ab

baba+=+⇒

+=+⇒+=+

⇒=⇒−=− 222222 205163649 babbaa

22 4ba =

Ahora reemplacemos 2a en la ecuación (1):

(1) ⇒=⇒=+⇒=+ 113

194

19

4

1622222 bbbbb

132 =b

Si 132 =b entonces ( )⇒= 1342a

522 =a

Como 522 =a y ⇒= 132b

1

1352

22

=+ yx


Ejemplo No. 22: Dada la elipse 0144724894 22 =++−+ yxyx halle:

� El eje mayor y menor. � Las coordenadas del centro. � Las coordenadas de los focos. � Las coordenadas de los vértices.

Solución:


( ) ( )( ) ( )[ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ]

[ ] ( )[ ]1

16

4

36

6

144

144

144

49

144

64

1444964

1441444914464

14489124

144729484

22

22

22

22

22

22

=−−+−

=++−

=++−

−=−++−−

−=++−−=++−

yx

yx

yx

yx

yyxx

yyxx

Por lo tanto: 6362 =⇒= aa , 4162 =⇒= bb y 5220163646 22222 =⇒=−=−=−= cbac

Además: 6=h y 4−=k

El eje mayor es paralelo a X y el eje menor es paralelo a Y:

Las coordenadas del centro son: ⇒),( kh )4 ,6( −

Las coordenadas de los focos son: ⇒± ),( kch )4,526( −±

Según la grafica las coordenadas de los vértices son:

( )4 ,0 − , ( )0 ,6 , ( )4- ,12 y ( )8 ,6 −


1. Halle la ecuación de la elipse con centro en el origen, con un foco en el punto ( )3 ,0 y eje mayor igual a 5

2. Halle la ecuación de la elipse con centro en el punto ( )2 ,1 , uno de los focos en ( )2 ,6 y que pase por el

punto ( )6 ,4

(6,0)

(6,-8)

(12,-4) (0,-4) (6,-4)

)4,526( −+)4,526( −−


3. Dada la elipse con ecuación 0369636169 22 =++−+ yxyx , halle:

� Las coordenadas del centro. � El semieje mayor. � El semieje menor. � Las coordenadas de los vértices. � Las coordenadas de los focos. � Las ecuaciones de las directrices. � La longitud del latus rectum.

4. Halle la ecuación de la elipse con centro en ( )1 ,4 − , uno de los focos en ( )1 ,1 − y que pase por el punto ( )0 ,8

5. Demuestre que la suma de distancias del punto ( )8- ,6 de la elipse: 0144724894 22 =++−+ yxyx a

sus focos es igual a 12 6. Halle la ecuación del lugar geométrico de los puntos ( )yxP , cuya suma de distancias a los puntos fijos

( )2 ,4 y ( )2 ,2− es igual a 8

1.8. LA HIPERBOLA

La hipérbola es el lugar geométrico que se caracteriza por qué la diferencia de las distancias desde cualquier punto ),( yxP de la elipse a dos puntos fijos 1F y 2F llamados focos es constante, es decir es siempre la misma.

Las rectas 1L y 2L se llaman directrices y las rectas

1A y 2A se llaman asíntotas.

Los puntos 1F y 2F se llaman focos y según la figura tienen coordenadas ( )0 ,c− y ( )0 ,c

P es un punto cualquiera de la hipérbola y tiene coordenadas ( )yx,

El eje en donde se encuentran ubicados los focos se denomina eje de simetría real o eje real de la hipérbola. Según la figura el eje real es X. El otro eje se denomina eje imaginario de la hipérbola. Según la figura el eje imaginario es Y.

Los puntos en donde la hipérbola corta el eje real llaman vértices y según la figura tiene coordenadas ( )0 ,a− y

( )0 ,a . Por otro lado a siempre será la distancia desde el centro de la hipérbola hasta los vértices.

El segmento de recta AB que pasa por cualquiera de los dos focos y es perpendicular al eje real se denomina latus rectum.

La distancia entre 1F y P es 1d y la distancia entre 2F y P es 2d . Por definición de hipérbola tenemos que la

diferencia de las distancias 1d y 2d será siempre la misma (constante), este valor constante es a2 . Por lo tanto:


add 221 =−

Pero:

( )( ) ( ) ( ) 22221 0 ycxycxd ++=−+−−=

( ) ( ) ( ) 22222 0 ycxycxd +−=−+−=

Por lo tanto:

( ) ( ) aycxycx 22222 =+−−++

Realizando un procedimiento similar al que se hizo con la elipse y teniendo en cuenta que:

222 bac +=

Tenemos que la ecuación de la hipérbola con centro en ( )0 ,0 y eje real X es:

12

2

2

2

=−b

y

a

x

La longitud del latus rectum es: a

b22

La siguiente tabla muestra todos los casos posibles de la ecuación de la hipérbola, junto con las coordenadas de los focos, las ecuaciones de las directrices y las ecuaciones de las asíntotas:

Centro Eje real Ecuación Coordenadas de los focos

Ecuaciones de las directrices

Ecuaciones de las asíntotas

En el origen: (0,0)

X 12

2

2

2

=−b

y

a

x )0 ,( c± 22

2

ba

ax

+±=

xa

by ±=

Y 12

2

2

2

=−b

x

a

y ) ,0( c± 22

2

ba

ay

+±=

xb

ay ±=


Paralelo a X

( ) ( )1

2

2

2

2

=−−−b

ky

a

hx ),( kch ± h

ba

ax +

+±=

22

2

( ) khx

a

by +−±=

Paralelo a Y

( ) ( )1

2

2

2

2

=−−−b

hx

a

ky ),( ckh ± k

ba

ay +

+±=

22

2

( ) khx

b

ay +−±=

Ejemplo No. 23: Dada la hipérbola 1916

22

=− yx halle:

� El eje real e imaginario: � Las coordenadas de los vértices. � Las coordenadas de los focos. � Las ecuaciones de las directrices. � Las ecuaciones de las asíntotas. � La longitud del latus rectum.


Solución:

Tenemos que: 4162 =⇒= aa , 392 =⇒= bb y 52591634 22222 =⇒=+=+=+= cbac

El eje real es X y el eje imaginario es Y:

Las coordenadas de los vértices son: ⇒± )0 ,( a )0 ,4(±

Las coordenadas de los focos son: ⇒± )0 ,( c )0 ,5(±

Las ecuaciones de las directrices son: ⇒+

±=⇒+

±=916

1622

2

xba

ax

25

16±=x

Las ecuaciones de las asíntotas son: ⇒±= xa

by

xy4

3±=

La longitud del latus rectum es:

( )⇒=

4

922 2

a

b

2

9

Ejemplo No. 24: Halle la ecuación de la hipérbola con eje real X y centro en el origen, sabiendo que el latus rectum vale 18 y que la distancia entre los focos es 12

Solución:

Tenemos que:

⇒= 182 2

a

b ab 92 =

⇒= 122c 6=c

Como: ⇒+=⇒+= 222222 6 babac 3622 =+ ba

Reemplazando el valor de 2b en la ecuación anterior tenemos que:

( )( ) 03120369369 22 =−+⇒=−+⇒=+ aaaaaa

Con lo que: 12−=a y 3=a

Como: ⇒= 3a 92 =a y ( )⇒= 392b 272 =b


22

=− yx

La grafica de la hipérbola se muestra en la figura de la derecha:


Ejemplo No. 25: Halle la ecuación de la hipérbola que tenga su centro en el origen, un vértice en el punto )0 ,6( y

una de sus asíntotas es la recta 034 =− yx

Solución:

Al despejar y en la ecuación de la recta tenemos que: xy 34=

Como las asíntotas de 1

2

2

2

2

=−b

y

a

x son x

a

by ±= , entonces: ⇒=

3

4

a

b

ab

3

4=

Debido a que un vértice es )0 ,6( , entonces: 6=a

Como 6=a entonces: ( )⇒=⇒= 6

3

4

3

4bab

8=b


22

=− yx


1. Dada la hipérbola 01996418169 22 =−−−− yxyx halle:

� El eje real e imaginario. � Las coordenadas del centro. � Las coordenadas de los focos. � Las coordenadas de los vértices. � Las ecuaciones de las directrices. � Las ecuaciones de las asíntotas. � La grafica.

2. Halle la ecuación de la hipérbola con centro en el origen, con eje real Y y que pase por los puntos ( )6 ,4 y

( )3 ,1 − .

3. Demuestre que la diferencia de distancias del punto ( )41 ,6 de la hipérbola

01996418169 22 =−−−− yxyx a sus focos es igual a 8

unidad 1_geometria analtica

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