unidad 1 (geometra analtica) (2)

Cálculo y Geometría Analítica Prof. Hugo Payahuala Vera

1

Unidad 1. Geometría Analítica

Comentario inicial

Para el estudio analítico de figuras geométricas en el plano, se requiere un sistema de coordenadas quepermita representar cada punto de la figura geométrica, de manera única.

Existen varios sistemas de coordenadas, iniciaremos nuestro estudio con el sistema básico decoordenadas del plano, este es el Sistema de Coordenadas Rectangulares. Este sistema es conocido, de losestudios de álgebra y trigonometría.

Recuerdo:El sistema de coordenadas rectangulares, está formado por dos rectas dirigidas y perpendiculares, cuyo

punto de intersección, se llama origen, como se muestra en la figura

DefiniciónLos números reales x e y , se llaman las coordenadas del punto P y se denota por ),( yxP

ObservaciónDe lo anterior, hemos establecido un correspondencia biunívoca entre los puntos del plano y los pares

ordenados de números reales, es decir, a cada punto del plano le corresponde uno y solo un par ordenado denúmeros reales y recíprocamente.

EjercicioDemostrar que los puntos de coordenadas indicados )0,5(-A , )2,0(B y )2,0( -C son los vértices de

un triángulo isósceles y calcular su área.

En efecto, debemos ubicar los puntos en el sistema de coordenadas rectangulares y usando el Teoremade Pitágoras, podemos calcular la longitud de sus lados (distancia entre sus vértices).

Se obtiene 29== ACmABm , por lo tanto el triángulo es isósceles (dos lados congruentes)

O X'X

Y

'Y

Así, todo punto P del plano puede localizarse deacuerdo a un par ordenado de números reales, según elsistema de coordenadas descrito anteriormente.

Para ello, se traza la recta PA perpendicular al eje

X y la longitud del segmento dirigido OA , se representa

por x y se llama abscisa de P .

Análogamente, se traza la recta PB perpendicular al eje

Y y la longitud del segmento dirigido OB , se representa

por y y se llama ordenada de P .

Los valores de x e y serán positivos o negativos,

dependiendo del cuadrante en que se encuentre el puntoP .

),( yxP

A

B

O X'X

Y

'Y

Las rectas dirigidas XX ' e YY ' se llaman los ejes decoordenadas.

La recta XX ' se llama el eje X , la semirrecta OXcorresponde a la parte positiva y la semirrecta 'OXcorresponde a la parte negativa

Le recta YY ' se llama el eje Y , la semirrecta OYcorresponde a la parte positiva y la semirrecta 'OYcorresponde a la parte negativa

El sistema de coordenadas rectangulares divide al plano encuatro cuadrantes, con los valores positivos y negativos,según correspondan.

)0,0( >> yxI)0,0( >< yxII

)0,0( << yxIII )0,0( <> yxIV


2

El área es 1021

=alturaxbase

Teorema 1. (Distancia entre dos puntos)

Dado dos puntos del plano ),( 111 yxP y ),( 222 yxP , la distancia de 1P a 2P , denotado por

21PPd = está dada por la fórmula

21PPd = =2

122

12 )()( yyxx -+-

Demostración

De acuerdo a la figura,

tenemos que:

EPd 21 = = 21 xx - y EPd 12 = = 21 yy -

Pero, 21PPd = es la hipotenusa del triángulo rectángulo 21EPPDPor lo tanto, por el Teorema de Pitágoras se tiene que

22

21

2 ddd += Þ 22

21 ddd +=

Así,

21PPd = =2

122

12 )()( yyxx -+-Q.E.D.

Ejemplo

Los puntos )3,3(A , )3,3( --B y )33,33(-C son vértices de un triángulo equilátero.

En efecto, basta aplicar la fórmula de la distancia entre dos puntos, para determinar la longitud de los

lados del triángulo, se obtiene que la longitud de cada uno de los lados es 26=== ACBCAB .

Por lo tanto, el triángulo es equilátero.

Observación

Si ),( yxP es el punto medio del segmento 21PP , donde ),( 111 yxP y ),( 222 yxP , entonces las

coordenadas de P , están dadas por

221 xxx +

= e2

21 yyy +=

Lo anterior se obtiene del hecho que si P es el punto medio de 21PP , entonces 21 PPPP = y del Teorema de

Thales.


3

Definición (ángulo entre dos rectas dirigidas)

Se llama ángulo de dos rectas dirigidas al ángulo formado por los dos lados que se alejan del vértice.

En la figura, a es el ángulo de las rectas 1l y 2l .

Definición (ángulo de inclinación de una recta)

Se llama ángulo de inclinación de una recta al ángulo formado por la parte positiva del eje X y la recta,cuando ésta se considera dirigida hacia arriba.

En la figura, los ángulos a y b son los ángulos de inclinación de las rectas 1l y 2l , respectivamente.

Observación

1. Nótese que el ángulo de inclinación está comprendido entre 0º y 180º

2. Si la recta está inclinada hacia la derecha del eje Y , su ángulo de inclinación es agudo

3. Si la recta está inclinada hacia la izquierda del eje Y , su ángulo de inclinación es obtuso

Definición (Pendiente de una recta)

Se llama pendiente o coeficiente angular de una recta, a la tangente de su ángulo de inclinación.

ObservaciónSi a es el ángulo de inclinación de una recta, su pendiente denotada por m , es

atan=m

Observación1. Si a es agudo, entonces 0tan >a , es decir, si el ángulo de inclinación es agudo, la pendiente de

la recta es positiva.

2. Si a es obtuso, entonces 0tan <a , es decir, si el ángulo de inclinación es obtuso, la pendiente dela recta es negativa.

3. Si una recta es perpendicular al eje X , entonces su ángulo de inclinación º90=a , por lo tanto, su

pendiente NO EXISTE o bien NO TIENE pendiente, ya que º90tan , no está definida.

1l

2l

a

1l2l

abX

Y


4

4. Si una recta es paralela con el eje X , entonces su ángulo de inclinación º0=a , por lo tanto, su

pendiente es 0º0tan ==m .

Teorema 2

Si ),( 111 yxP y ),( 222 yxP son dos puntos distintos cualesquiera de una recta NO perpendicular con el

eje X ( 21 xx ¹ ), entonces la pendiente de la recta está dada por

21

21

xxyym

--

=

Demostración

De acuerdo a la figura, a es el ángulo de inclinación de la recta que pasa por 1P y 2P .

Tracemos 11 AP y 22 AP perpendiculares al eje X y BP2 paralela al eje X .

Por lo tanto,

a@Ð BPPm 21

Tenemos que las coordenadas de los puntos 1A , 2A y B son )0,( 11 xA , )0,( 22 xA y ),( 21 yxB .

Por lo tanto,

211 yyBP -= y 212 xxBP -=Luego,

21

21

2

1tan

xxyy

BP

BP

adyacentecatetoopuestocatetom

--

==== a

Q.E.D.

Observación

12

12

21

21tanxxyy

xxyym

--

=--

== a


5

EjemploHallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos )6,1(A y )2,5( -B

En efecto,Observando la figura y por el Teorema 2, tenemos que

251

)2(6-=

---

=m

Pero,)2arctan(2tan -=Þ-== aam

Nótese que el ángulo de inclinación es obtuso, se obtiene que '34º116=a (con tabla, calculadora científica osoftware matemático, como Scientific Work Place)

Teorema 3 (ángulo entre dos rectas)

Sean 1l y 2l dos rectas con pendientes 1m y 2m respectivamente, si q es la medida del ángulo

formado por 1l como lado inicial y 2l como lado final, entonces la medida del ángulo q está dado por la

fórmula

1,1

tan 2121

12 -¹××+

-= mm

mmmm

q

Demostración

De acuerdo a la figura:

1q es la medida del ángulo especificado, cuyo lado inicial es la recta 1l y lado final la recta 2l

2q es la medida del ángulo especificado, cuyo lado inicial es la recta 2l y lado final la recta 1l .


6

Sabemos que

211 aqa =+ 121 aaq -=Þ

Luego, por propiedad de la tangente

( )

21

21

21

21

211

1

tantan1tantan

tantan

mmmm×+

-=

×+-

=

-=

aaaa

aaq

(*)

donde 11 tana=m es la pendiente de la recta 1l y 22 tana=m es la pendiente de la recta 2l

Por otra parte,

1221 º180º180 qqqq -=Þ=+

Luego, por (*) y propiedad de la tangente

( )

21

12

21

21

1

12

1

1

tanº180tantan

mmmm

mmmm

×+-

=

×+-

-=

-=-=

qqq

Q.E.D.

Corolario 1 (Rectas Paralelas)

La condición necesaria y suficiente para que dos rectas sean paralelas, es que sus pendientes seaniguales.

En efecto,Sabemos que dos rectas son paralelas, si y solo si el ángulo entre ellas es 0º o 180º, en ambos casos,

0º180tanº0tan == .

Por el teorema anterior,

2121

21

10 mm

mmmm

=Û×+

-=

Corolario 2 (Rectas Perpendiculares)

La condición necesaria y suficiente para que dos rectas sean perpendiculares, es que el producto de suspendientes sea igual a -1.

En efecto,Sabemos que dos rectas son perpendiculares, si y solo si el ángulo entre ellas es 90º, en tal caso

º90tan no está definida.

Pero,

1010º90tan

1º90cot 2121

21 -=×Û=-×+

Û== mmmmmm


7

Gráfica de una Ecuación y Lugares Geométricos

Existen dos problemas fundamentales en geometría analítica:

1. Dada una ecuación, se trata de interpretarla geométricamente, es decir, trazar el gráficocorrespondiente o curva (si existe)

2. Dada una figura geométrica, o la condición que deben cumplir los puntos de dicha figura, determinar suecuación.

Veamos el primer problema, es decir, dada una ecuación en dos variables, trazaremos la gráfica ocurva correspondiente (si existe)

DefiniciónSea 0),( =yxf una ecuación en dos variables, el conjunto de los puntos, y solamente de aquellos

puntos que satisfacen dicha ecuación, se llama la gráfica de la ecuación, o su lugar geométrico.

DefiniciónCualquier punto cuyas coordenadas satisfacen la ecuación 0),( =yxf , pertenece a la gráfica de la

ecuación.

ObservaciónNo siempre una ecuación de la forma 0),( =yxf , tiene una gráfica o lugar geométrico.

Ejemplo

La ecuación 0422 =++ yx , no tiene gráfica en nuestro sistema coordenado real XY , ya que no

existen puntos ),( yxP cuyas coordenadas (números reales) satisfagan la ecuación.

Ejemplo

La ecuación 022 =+ yx , tiene como gráfica el único punto )0,0(P , o sea, el origen, ya que la

ecuación se satisface solo para 0=x e 0=y .

ObservaciónPara no cometer errores en la construcción del gráfico de una ecuación, procederemos a hacer un

análisis de ella, es lo que se llama la discusión de la ecuación, para ello estudiaremos:

· Intercepciones con los ejes· Simetrías· Extensión del gráfico· Asíntotas· Construcción del gráfico

· Intercepciones con los ejes

DefiniciónSe llama intercepción de la curva con el eje X , a la abscisa del punto de intersección de la curva con el

eje X.Nótese que cuando el gráfico intersecta al eje X , la ordena 0=y . Por lo tanto, para encontrar las

intercepciones de la curva con el eje X , se hace 0=y y se resuelve la ecuación resultante para x .

DefiniciónSe llama intercepción de la curva con el eje Y , a la ordenada del punto de intersección de la curva con

el eje Y .

Para determinar las intercepciones de la curva con el eje Y , se hace 0=x en la ecuación y se resuelvela ecuación resultante para y .


8

Ejemplo

Consideremos la ecuación xxxy 158 23 +-= , cuya gráfica se muestra en la figura.

Intercepciones con el eje X, hacemos 0=y y resolvemos la ecuación

0158 23 =+- xxxse tiene que

0)5)(3( =-- xxxPor lo tanto, las raíces o soluciones son: 0, 3 y 5.

Intercepciones con el eje Y , hacemos 0=x y se obtiene 0=y , o sea, la única intersección de la curva con el

eje Y , es el origen.

· Simetrías

Estudiaremos las simetrías de la curva con respecto a los ejes coordenados y el origen.

Teorema 4Si la ecuación de una curva no se altera cuando la variable y es reemplazada por y- , entonces la

curva es simétrica con respecto al eje X .

Ejemplo

La curva (parábola) cuya ecuación es xy =2 , es simétrica con respecto al eje X .

Teorema 5Si la ecuación de una curva no se altera cuando la variable x es reemplazada por x- , entonces la

curva es simétrica con respecto al eje Y .

Ejemplo

La curva (parábola) cuya ecuación es 12 2 -= xy , es simétrica con respecto al eje Y .

Teorema 6Si la ecuación de una curva no se altera al reemplazar la variable x por x- y la variable y por y- ,

entonces la curva es simétrica con respecto al origen.

Ejemplo

La curva (parábola cúbica) cuya ecuación es 3xy = , es simétrica con respecto al origen.

ObservaciónSi una curva es simétrica con respecto a ambos ejes coordenados, entonces es simétrica con respecto al

origen. El recíproco es falso, es decir, si una curva es simétrica con respecto al origen, no necesariamente essimétrica respecto de los ejes coordenados.

EjemploLa curva de la ecuación 1=xy , se llama hipérbola equilátera, es simétrica con respecto al origen, pero

no es simétrica con respecto a ninguno de los ejes coordenados.


9

· Extensión de la curva o gráfico

Se trata de determinar los intervalos de variación de las variables x e y , para los cuales son valores

reales. Para ello, se resuelve la ecuación para y en términos de x , luego se resuelve para x en términos

de y .

Observación El estudio de la extensión de la curva, permite determinar:

1. La localización general de la curva en el plano coordenado2. Si la curva es cerrada o de extensión indefinida.

Ejemplo

Discutir el gráfico de la ecuación 32 xy =1. Intercepciones con los ejes

Con el eje X , sea 0=y , se obtiene 0=x , o sea, pasa por el origen

Con el eje Y , sea 0=x , se obtiene 0=y , o sea, pasa por el origen

Por lo tanto, el único punto de intersección de la curva con los ejes coordenados, es el origen, es decir,el gráfico pasa por el origen.

2. Simetrías

Con el eje X , reemplazamos en la ecuación y por y- , se obtiene 3232)( xyxy =Û=- , es decir,

la ecuación no se altera.Por lo tanto, la curva es simétrica con respecto al eje X .

Con el eje Y , reemplazamos en la ecuación x por x- , se obtiene 3332 )( xxxy ¹-=-= , es decir, la

ecuación se altera.Por lo tanto, la curva no es simétrica con respecto del eje .Y

Por la observación del Teorema 6, la curva no es simétrica con respecto al origen.

3. Extensión de la curva

Despejando y en función de x , tenemos 3xy ±=Se puede observar que y es un número real, si y solo si 0³x , es decir, el gráfico se extiende

indefinidamente a la derecha del eje Y .

Despejando x en función de y , tenemos 3 2yx =Se puede observar que y puede tomar todos los valores reales, positivos y negativos.Por lo tanto, la curva se extiende indefinidamente a la derecha del eje Y y por debajo y arriba del ejeX .

4. Gráfico de la ecuación se muestra en la figura.


10

· Asíntotas

DefiniciónSe llama asíntota de una curva, a una recta tal que, a medida que un punto de la curva se alejaindefinidamente del origen, la distancia de ese punto a la recta decrece continuamente y tiende a cero.

ObservaciónSi una curva tiene una asíntota, entonces:

1. No es cerrada o de extensión finita, sino que se extiende indefinidamente.

2. La curva se aproxima a la asíntota más y más a medida que se extiende más y más en el planocoordenado.

Observación1. Si una asíntota es paralela o coincide con el eje X , se llama una asíntota horizontal

2. Si una asíntota es paralela o coincide con el eje Y , se llama una asíntota vertical

3. En cualquier otro caso, la asíntota se llama una asíntota oblicua

Por ahora solo estudiaremos (determinaremos) asíntotas horizontales y verticales.

ObservaciónNótese que una ecuación de la forma kx = , representa una recta paralela al eje Y , ya que todo punto

de esa recta tiene por abscisa el valor k y la ordenada y puede tomar cualquier valor real.

Análogamente, una ecuación de la forma ky = , representa una recta paralela al eje X , ya que todo

punto de esa recta tiene por ordenada el valor k y la abscisa x puede tomar cualquier valor real.

Veamos con un ejemplo, como determinar las asuntotas verticales y/u horizontales (si existen) de una curva.

EjemploDeterminar las asíntotas verticales y horizontales (si existen) de la curva cuya ecuación es

01 =-- yxy

Solución.Primero despejemos y en función de x

Así,

11-

=x

y

Nótese que y no está definida para 1=x .

Pero, si le asignamos valores a x cada vez “más cerca de 1”, tanto mayores como menores que 1,resulta que y toma valores cada vez mas grandes y positivos, para x >1 y cada vez más grandes pero

negativos (cada vez menores), para 1<x .

De lo anterior, en cualquiera de los dos casos ( 1>x o 1<x ), y se hace en valor absoluto cada vez

más grande, es decir, los puntos de la curva cuando los valores de abscisa se “acercan” a 1, se alejan cada vezmás del origen y se “acercan” a la recta, cuya ecuación es 1=x

Por lo tanto, la recta 1=x , es una asíntota vertical de la curva dada.

Nótese que la ecuación de la asíntota se determina simplemente haciendo cero el denominador de laecuación anterior.

Ahora, para ver si existen asíntotas horizontales, despejemos x de la ecuación de la curva en función de y ,

obteniendo

yyx 1+

=

Razonando como el caso anterior, se tiene que 0=y es una asíntota horizontal, en este caso, el eje Xes la asíntota vertical de la curva.

La gráfica de la curva es la siguiente,


11

Observaciones

1. Una curva puede tener mas de una asíntota

Por ejemplo, la curva cuya ecuación es)2)(1(

1--

=xx

y tiene dos asíntotas verticales, 1=x y

2=x

2. Para determinar las asíntotas, se despeja cada una de las variables en función de la otra y se iguala acero el denominador

3. Es de bastante ayuda para graficar una curva, dar valores cada vez más grandes en valor absoluto acada una de las variables. Esto es bastante útil para determinar las asíntotas.

Por ejemplo, en la ecuación1

1-

=x

y , si damos valores a x cada vez más grande en valor absoluto, el

valor de y , se aproxima a cero. Es decir, a medida que el punto sobre la curva se aleja indefinidamente del

origen, ya sea hacia la derecha o hacia la izquierda, la curva se aproxima a la recta 0=y , que por lo tanto,

es una asíntota horizontal.

Análogamente, si se despeja x en función de y , se obtieney

x 11+= , se observa que cada vez que

y toma valores cada vez mayores en valor absoluto, x se aproxima a 1.

Por lo tanto, la recta 1=x es una asíntota vertical.

4. Es de gran ayuda determinar las asíntotas de una curva, para poder trazar el gráfico, ya que estassirven como líneas guías del gráfico.

Veamos ahora el segundo problema fundamental de la Geometría Analítica, es decir, dada una figurageométrica o las condiciones que deben cumplir los puntos de ella, determinar su ecuación.

Primero definamos la ecuación de una curva o lugar geométrico.

DefiniciónSe llama ecuación de un lugar geométrico plano a una ecuación de la forma

0),( =yxf

cuyas soluciones reales para los valores correspondientes de x e y son todas las coordenadas de aquellos

puntos, y solamente de aquellos puntos, que satisfacen la condición o condiciones geométricas dadas quedefinen el lugar geométrico.

ObservaciónDe acuerdo con la definición anterior, el procedimiento para determinar la ecuación de un lugar

geométrico, es el siguiente:

1. Se supone que ),( yxP es un punto cualquiera que satisface la condición o condiciones dadas, y por lo

tanto, es un punto del lugar geométrico.


12

2. Se escribe analíticamente, la condición o condiciones geométricas dadas, por medio de una ecuación oecuaciones en las coordenadas variables x e y .

3. Se simplifica, si es necesario, la ecuación obtenida en el paso 2, de modo que tome la forma0),( =yxf .

4. Se comprueba el recíproco, es decir, se da un punto cualquiera ),( 111 yxP cuyas coordenadas satisfacen

la ecuación del paso 3, o sea, tal que 0),( 11 =yxf sea verdadera.

Si de 0),( 11 =yxf se puede deducir la expresión analítica de la condición o condiciones

geométricas dadas, aplicadas al punto ),( 111 yxP , entonces 0),( =yxf es la ecuación del lugar

geométrico que se buscaba.

EjemploHallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano, de tal manera que

siempre equidista de los puntos dados )2,1(-A y )1,4( -B

Solución.1. Sea ),( yxP un punto cualquiera del lugar geométrico, como se muestra en la figura.

Por lo tanto, el punto P debe satisfacer la condición geométrica que describe al lugar geométrico, esdecir, debe equidistar de los dos puntos A y B .Esto es,

PBPA =

2. Escribamos en forma analítica, lo expresado en el punto 1.

Como22 )2()1( -++= yxPA y 22 )1()4( ++-= yxPB

tenemos que22 )2()1( -++ yx =

22 )1()4( ++- yx

3. Simplificando la expresión anterior (elevando al cuadrado y eliminando términos semejantes), tenemos

0635 =-- yx Esta es la ecuación “candidata” a solución del problema.

4. Sea ahora ),( 111 yxP un punto cualquiera, cuyas coordenadas satisfacen la ecuación resultante en el

punto 3, es decir

0635 11 =-- yx

Invirtiendo los pasos dados en 3, se obtiene que,

21

21 )2()1( -++ yx =

21

21 )1()4( ++- yx

Lo que quiere decir que

BPAP 11 =

Es decir, 1P equidista de A y B .


13

Por lo tanto, 1P es un punto del lugar geométrico.

Así, la ecuación del lugar geométrico, efectivamente es

0635 =-- yxEjercicio

Un punto se mueve en un plano de tal manera que su distancia del eje Y es siempre igual a sudistancia del punto )0,4(A . Hallar la ecuación de su lugar geométrico.

En la figura se muestra el gráfico del lugar geométrico.

La Línea Recta

Ahora determinaremos la ecuación de una recta, para ello daremos la definición de recta, basado en elconcepto de pendiente.

DefiniciónSe llama línea recta al lugar geométrico de los puntos, tales que tomados dos puntos diferentes

cualesquiera ),( 111 yxP y ),( 222 yxP del lugar geométrico (recta), el valor de la pendiente m , calculada

mediante la fórmula del Teorema 2, es decir,

2121

21 , xxxxyym ¹

--

=

resulta siempre constante.

ObservaciónUna recta queda perfectamente determinada por uno de sus puntos y su dirección.

Teorema 7 (Ecuación de la recta que tiene su pendiente y un punto dados)

La recta que pasa por el punto dado ),( 111 yxP y tiene pendiente dada m , tiene por ecuación

)( 11 xxmyy -×=-


14

Demostración

1. Sea ),( yxP un punto cualquiera de la recta, distinto del punto dado ),( 111 yxP , por lo tanto, la pendiente

calculada con estos puntos debe ser constante.

2. Analíticamente, se debe cumplir la ecuación de la definición de recta, o sea,

1

1

xxyym

--

=

3. Simplificando la expresión anterior se obtiene,

)( 11 xxmyy -×=-

4. Sea ahora ),( 222 yxP un punto cualquiera, cuyas coordenadas satisfacen la ecuación del punto 3, es decir,

)( 1212 xxmyy -×=-De donde se obtiene,

12

12

xxyym

--

=

Esto es la expresión analítica de la definición de una recta, lo cual quiere decir que ),( 222 yxP es un punto de la

recta.Q.E.D.

ObservaciónUna recta que coincide o es paralela con el Y , no tiene pendiente, por lo tanto, su ecuación no se puede

obtener a partir del Teorema 7. Como vimos, la ecuación de una recta de este tipo es de la forma kx = ,

donde Rk Î .

Ejercicio

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto )1,4(1 -P y tiene un ángulo de inclinación de 135º.

Se tiene que la pendiente de la recta es1º45tanº135tan -=-==m

Por Teorema 7, la ecuación de la recta es)4(1)1( -×-=-- xy

O sea,03 =-+ yx

Teorema 8 (Ecuación de la recta dada su pendiente y su ordenada en el origen)

La recta cuya pendiente es m y cuya ordenada en el origen es b tiene por ecuación

bmxy +=


15

Demostración

Que la ordenada en el origen sea b , significa que la recta intersecta al eje Y en el punto ),0(1 bP .

Por lo tanto, la recta tiene pendiente m y pasa por el punto ),0(1 bP y por el Teorema 7, su ecuación es,

)0( -×=- xmbyO sea,

bmxy +=

Teorema 9 (Ecuación de la recta que pasa por dos puntos)

La recta que pasa por los dos puntos ),( 111 yxP y ),( 222 yxP tiene por ecuación

21121

211 ,)( xxxx

xxyyyy ¹-×

--

=-

Demostración

Como la recta pasa por los dos puntos ),( 111 yxP y ),( 222 yxP , entonces su pendiente, por el Teorema

2, es

21

21

xxyym

--

=

Así, tenemos una recta conocida su pendiente y un punto de ella (en realidad dos puntos)

Por Teorema 7, la ecuación de la recta es,

21121

211 ,)( xxxx

xxyyyy ¹-×

--

=-

Q.E.D.Teorema 10 (Ecuación simétrica de la recta)

La recta cuyas intercepciones con los ejes coordenados X e Y son 0¹a y 0¹b , respectivamente,tiene por ecuación


16

1=+by

ax

DemostraciónNótese que si 0¹a y 0¹b son las intercepciones con los ejes X e Y , entonces la recta intersecta a

los ejes X e Y en los puntos )0,(1 aP y ),0(2 bP , es decir, la recta pasa por estos dos puntos.

Por el Teorema 9, la ecuación de la recta es

)(0

00 axa

by -×--

=-

De donde se obtiene la ecuación

1=+by

ax

Q.E.D.Ejemplo

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto )1,3(1 -P y es paralela a la recta determinada por

los dos puntos )2,0( -A y )2,5(B .

Solución

Basta determinar la pendiente m de la recta AB , que es54

=m .

Por lo tanto, la pendiente de la recta que pasa por 1P también es54

=m , ya que son paralelas.

Por Teorema 7, la ecuación pedida es

)3(541 +×=- xy

O sea,01754 =+- yx

Ejercicio

Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento AB (Perpendicular en el punto medio), donde )1,2(-A y

)5,3( -B


17

Respuesta: La ecuación es 0291210 =-- yx

Teorema 11 (Forma general de la ecuación de una recta)

Una ecuación lineal de la forma 0=++ CByAx , representa una recta y recíprocamente.

Observación De la ecuación anterior de una recta, se puede obtener

0=++ACy

ABx

siempre que 0¹A . Por lo tanto, analíticamente, la ecuación de una recta queda perfectamente determinadapor dos condiciones independientes, por ejemplo, si se conocen dos de sus puntos o uno de sus puntos y supendiente.

EjemploHallar los valores de A , B y C de la ecuación general 0=++ CByAx de una recta, para que pase

por los dos puntos )4,1(1 -P y )2,3(2 -P , de ahí determinar la ecuación de la recta.

SoluciónComo los dos puntos están en la recta, sus coordenadas deben satisfacer la ecuación, de donde se

obtiene:

para el punto )4,1(1 -P , 04 =++- CBApara el punto )2,3(2 -P , 023 =+- CBA

Resolviendo este sistema de ecuaciones lineales se obtiene

CA53-

= y CB52-

=

Sustituyendo estos valores en la ecuación general de la ecuación de recta, se tiene

052

53

=+-- CCyCx

Dividiendo la ecuación por 0¹C y multiplicando por 5, para quitar denominadores, se obtiene la ecuaciónbuscada.

0523 =-+ yx

Los valores de los coeficientes son: 3=A , 2=B y 5-=C

Teorema 12 (Posiciones relativas de dos rectas)

Si las ecuaciones de dos rectas son 0=++ CByAx y 0''' =++ CyBxA , las relaciones siguientes

son condiciones necesarias y suficientes para:

a) Paralelismo,'' B

BAA= , o sea, 0'' =- BAAB

b) Perpendicularidad, 0'' =+BBAA

c) Coincidencia, 'kAA = , 'kBB = y 'kCC = ( 0¹k )

d) Intersección en uno y solamente en un punto,'' B

BAA¹ , o sea, 0'' ¹- BAAB

EjemploLa ecuación de una recta l es 01175 =+- yx . Escribir la ecuación que representa a todas las rectas

paralelas a l . A partir de esta última ecuación hallar la de la recta paralela a l y que pasa por el punto

)2,4(P .


18

SoluciónSea 0=++ CByAx la ecuación que representa a todas las rectas paralelas a l .

Por la parte a), del teorema 12, se debe cumplir que

75 -=

BA, o sea, AB

57-

=

Por lo tanto, la ecuación de todas las rectas paralelas a l es

057

=+-

+ CAyAx

Dividiendo por 0¹A y multiplicando por 5 , se obtiene

0575 =+-ACyx

que se puede escribir en la forma075 =+- kyx

dondeACk 5

= es una constante arbitraria.

Ahora, como la recta debe pasar por el punto )2,4(P , sus coordenadas deben satisfacer esta última ecuación.

Así,602745 -=Þ=+×-× kk

Por lo tanto, la ecuación buscada es0675 =-- yx

Ecuación de la Circunferencia

Definición

Una circunferencia es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que seconserva siempre a una distancia constante de un punto fijo de ese plano.

El punto fijo se llama centro de la circunferencia y la distancia constante se llama radio (en realidad es lalongitud del radio)

Teorema 13 (Ecuación ordinaria o forma ordinaria de la ecuación de la circunferencia)

La circunferencia cuyo centro es el punto ),( khC y cuyo radio tiene longitud r , tiene por ecuación

222 )()( rkyhx =-+-


19

DemostraciónSea ),( yxP un punto cualquiera de la circunferencia, entonces por definición de circunferencia, el

punto P y sus coordenadas, debe satisfacer la condición geométrica que define a la circunferencia, es decir

rCP =

Analíticamente,

rkyhx =-+- 22 )()(de donde,

222 )()( rkyhx =-+-

Recíprocamente, sea ),( 111 yxP un punto cualquiera del plano, cuyas coordenadas satisfacen la ecuación

anterior, de modo que se verifica la igualdad,

221

21 )()( rkyhx =-+-

Tomando raíz cuadrada, se obtiene

rkyhx =-+- 21

21 )()(

Que es la expresión analítica de la condición geométrica, que define a la circunferencia, en este caso

rCP =1

O sea, el punto ),( 111 yxP es un punto que está en la circunferencia.

Corolario (Forma canónica de la ecuación de la circunferencia)

La ecuación de la circunferencia de centro en el origen y longitud del radio r , tiene por ecuación

222 ryx =+

Ejemplo

Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo cuyos vértices son )1,1(1 -P , )5,3(2P y

)3,5(3 -P .

Solución.Para encontrar la ecuación de la circunferencia, es necesario hallar el centro y la longitud del radio.

De la geometría elemental, se sabe que las tres mediatrices (perpendicular a cada lado en el punto medio) seintersectan en un único punto, llamado circuncentro, que es precisamente el centro de circunferenciacircunscrita y equidista de cada uno de los vértices del triángulo.

De acuerdo a la figura, si 1l y 2l son las mediatrices de los lados 21PP y 32 PP , por el Teorema 9 sus

ecuaciones son respectivamente,


20

04 =-+ yx y 04 =- yx

Resolviendo el sistema de ecuaciones lineales dados por estas dos ecuaciones, encontramos el punto de

intersección C de ambas mediatrices, así la solución de dicho sistema es5

16=x e

54

=y .

Por lo tanto, )54,

516(C que es el centro de la circunferencia circunscrita.

Ahora, la longitud r del radio es la distancia del centro a cualquier vértice del triángulo.

Por lo tanto,

442511

541

516 22

1 =÷øö

çèæ -+÷

øö

çèæ +== CPr

Por lo tanto, por el Teorema 13 la ecuación de la circunferencia pedida es,

25442

54

516 22

=÷øö

çèæ -+÷

øö

çèæ - yx

Teorema 14 (Forma General de la Ecuación de la Circunferencia)

La ecuación 022 =++++ FEyDxyx representa una circunferencia de radio distinto de cero,

solamente si

0422 >-+ FED

En este caso, el centro es ÷øö

çèæ --

2,

2EDC y la longitud del radio es FEDr 4

21 22 -+=

ObservaciónDada la ecuación de una circunferencia en su forma general, para determinar el centro y la longitud del

radio, se puede reducir la ecuación a la forma ordinaria, por el método de completar cuadrados.

Ejemplo

Dada la ecuación 01561022 22 =-+-+ yxyx , si ella representa una circunferencia, hallar el centro

y la longitud del radio.

SoluciónSi dividimos la ecuación por 2 y ordenamos los términos, se obtiene

215)3()5( 22 =++- yyxx

Para completar cuadrados, se suman a ambos miembros la mitad del coeficiente de x y la mitad del coeficientede y .

Se obtiene

49

425

215)

493()

4255( 22 ++=++++- yyxx

Lo cual se puede escribir en la forma

1623

25 22

=÷øö

çèæ ++÷

øö

çèæ - yx

Que es la ecuación ordinaria de la circunferencia de centro ÷øö

çèæ -

23,

25C y cuya longitud del radio es 4=r .

Observación

Dado que en la forma general de la ecuación de la circunferencia aparecen tres constantesindependientes, a saber D , E y F , analíticamente la ecuación de la circunferencia queda determinadacompletamente por tres condiciones independientes.


21

EjemploHallar la ecuación, centro y longitud del radio de la circunferencia que pasa por los tres puntos )1,1(-A ,

)5,3(B y )3,5( -C .

En efecto, supongamos que la ecuación de la circunferencia es de la forma general,

022 =++++ FEyDxyx

Como la circunferencia debe pasar por los tres puntos dados, sus coordenadas deben satisfacer esta ecuación,

Asi,para )1,1(-A , se tiene que 011 =++-+ FEDpara )5,3(B , se tiene que 053259 =++++ FEDpara )3,5( -C , se tiene que 035925 =+-++ FED

Es decir,

34353453

2

-=+--=++

=--

FEDFEDFED

Resolviendo este sistema de ecuaciones lineales, se obtiene

532

-=D ,58

-=E y5

34-=F

Reemplazando estos valores en la forma general de la ecuación de la recta, tenemos

05

3458

53222 =---+ yxyx

Multiplicando por 5, se obtiene la ecuación

03483255 22 =---+ yxyx

Reduciendo esta ecuación a la forma ordinaria, completando cuadrados, obtenemos

25442

54

516 22

=÷øö

çèæ -+÷

øö

çèæ - yx

De donde el centro es ÷øö

çèæ

54,

516C y la longitud del radio es 442

51

=r

EjercicioHallar la ecuación, centro y radio de la circunferencia que pasa por los puntos )2,6(A y )0,8(B y cuyo

centro está sobre la recta de ecuación 0273 =++ yx


22

Respuesta

La ecuación es 20)2()4( 22 =++- yx , centro )2,4( -C y longitud del radio 52=r .

Transformación de Coordenadas

La transformación de coordenadas permite simplificar las ecuaciones de ciertos lugares geométricos,haciendo más simple su representación en el plano.

DefiniciónUna transformación es una operación por la cual una relación, expresión o figura se cambia por otra,

siguiendo una ley dada. Analíticamente, la ley se expresa por una o más ecuaciones llamadas ecuaciones detransformación.

Estudiaremos dos transformaciones de coordenadas por ahora: traslación de los ejes coordenados yrotación de los ejes coordenados.

Teorema 15 (Traslación de los Ejes Coordenados)

Si se trasladan los ejes coordenados a un nuevo origen ),(' khO y si las coordenadas de cualquier punto

P antes y después de la traslación son ),( yx y )','( yx , respectivamente, entonces las ecuaciones de

transformación del sistema primitivo al nuevo sistema de coordenadas son

kyyhxx+=+=''

Ejemplo

Transformar la ecuación

05433 223 =-++-- yxyxx

trasladando los ejes coordenados al nuevo origen )2,1('O . Trazar el lugar geométrico y los dos sistemas de ejes

coordenados.

Solución.Por el Teorema 15, las ecuaciones de transformación son

2'1'+=+=

yyxx

Sustituyendo estos valores de x e y en la ecuación dada, desarrollando y simplificando, se obtiene la

ecuación transformada buscada, con respecto al nuevo sistema de ejes coordenados

0'' 23 =-yx

cuyo gráfico se muestra en la figura siguiente (este gráfico lo habíamos visto antes en el sistema de

coordenados XY , cuya ecuación era 23 yx = , llamada parábola semicúbica)


23

Ejemplo

Por una traslación de ejes simplificar la ecuación

017642 =+-- yxy

Solución

Debemos sustituir en la ecuación dada las coordenadas de x e y , según las ecuaciones de traslación

del teorema 15, obteniendo

017)'(6)'(4)'( 2 =++-+-+ kyhxky

la que se puede escribir en la forma

01764')62('4' 22 =+--+-+- khkykxy

Dada la forma de esta ecuación, la única posibilidad de simplificarla, es que el coeficiente de 'y y el término

independiente se anulen, es decir

01764062

2 =+--=-

khkk

de donde, 3=k y 2=h .

Reemplazando estos valores de h y k , en la última ecuación, se obtiene la ecuación simplificada

0'4'2 =- xycomo veremos después que s una parábola.

Teorema 16 (Rotación de los Ejes Coordenados)

Si los ejes coordenados giran un ángulo q en torno de su origen como centro de rotación y las

coordenadas de un punto cualquiera P antes y después de la rotación son ),( yx y )','( yx , respectivamente,

entonces las ecuaciones de transformación del sistema original al nuevo sistema de coordenadas están dadaspor

qqqq

cos'''cos'

ysenxysenyxx

+=-=


24

DemostraciónDe acuerdo a la figura, se tiene que

ff

fqfq

senryrx

senryrx

==

+=+=

'cos'

)()cos(

(*)

Pero,fqfqfq senrsenrrx -=+= coscos)cos(

Reemplazando los valores de 'x e 'y de (*), tenemos la primera ecuación de transformación para x .

qq senyxx 'cos' -=

Análogamente, se prueba que

qq cos'' ysenxy +=

Observación

Solamente consideraremos los valores del ángulo de rotación q al intervalo º90º0 ££ q

Ejemplo

Transformar la ecuación 432 22 =++ yxyx , girando los ejes coordenados un ángulo º30=q .

Trazar el lugar geométrico y ambos sistemas de ejes coordenados.

Solución

Por el Teorema 16, las ecuaciones de transformación son:

'23'

21º30cos'º30'

'21'

23º30'º30cos'

yxysenxy

yxsenyxx

+=+=

-=-=

Sustituyendo estos valores de x e y en la ecuación dada, desarrollando y simplificando se obtiene la ecuación

transformada

8''5 22 =+yx

El lugar geométrico es una elipse, como se muestra en la figura,


25

Ejemplo

Por una rotación de los ejes coordenados, transformar la ecuación 0304016249 22 =--+- yxyxyxen otra que carezca del término en '' yx . Trazar el lugar geométrico y ambos sistemas de ejes coordenados.

Solución

Reemplazamos en la ecuación dada los valores de x e y , de acuerdo a las ecuaciones de

transformación del Teorema 16, obteniendo

0)cos'sin'(30)sin'cos'(40)cos'sin'(16)cos'sin')(sin'cos'(24)sin'cos'(9

2

2

=+---++

+---

qqqqqq

qqqqqq

yxyxyxyxyxyx

Desarrollando y agrupando términos, tenemos que

0')cos30sin40(')sin30cos40(')cos16cossin24sin9(

'')cos24sin24cossin14(')sin16sincos24cos9(222

22222

=-++-+++

-+++-

yxy

yxx

qqqqqqqq

qqqqqqqq

(*)

Como la ecuación trasformada debe carecer del término en '' yx , el coeficiente de dicho término debe ser 0 .

Por lo tanto,

0cos24sin24cossin14 22 =-+ qqqq

Pero, sabemos que qqq cossin22sin = y qqq 22 sincos2cos -=

Así, reemplazando en la última relación, tenemos que

7242tan

724

2cos2sin02cos242sin7 =Þ=Þ=- qqqqq

De donde,

2572cos =q

Reemplazando este valor de coseno en las fórmulas del ángulo mitad, tenemos

53

22571

22cos1sin =

-=

-=

qq

54

22571

22cos1cos =

+=

+=

qq

Reemplazando estos valores de qsin y qcos , en (*) y simplificando se obtiene la ecuación reducidatransformada


26

0'2'2 =- xy

El lugar geométrico es una parábola, como se muestra en la figura.

Observación

Es posible simplificar ecuaciones por transformación de coordenadas, haciendo ambas, traslación yrotación de ejes coordenados en forma simultánea, no importando el orden

Teorema 17

Si se realiza un cambio de ejes coordenados mediante una traslación y una rotación, tomadas encualquier orden, y las coordenadas de cualquier punto P , con respecto a los sistemas original y final son ),( yxy )'',''( yx , respectivamente, entonces las ecuaciones de transformación del sistema original al nuevo sistema

de coordenadas, está dado por

kyyyhyxx

++=+-=

qqqq

cos''sin''sin''cos''

,

donde q es el ángulo de rotación y ),( kh son las coordenadas del nuevo origen, respecto a los ejes

coordenados originales.

Observaciones

1. El grado de una ecuación no se altera por transformación de coordenadas.

2. Aunque el Teorema 17 dice que las transformaciones se pueden hacer en forma simultánea, esaconsejable hacerlas separadamente, por ejemplo, primero la traslación y luego la rotación.

3. Por otra parte, el Teorema 17, dice que el orden de las transformaciones no tienen importancia, sin

embargo, en el caso de una ecuación de segundo grado en la cual los términos de 2x , 2y y xy forman

un cuadrado perfecto, se sugiere primero hacer una rotación y luego la traslación.


27

La Parábola

Definición

La parábola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que sudistancia de una recta fija del plano, es siempre igual a su distancia de un punto fijo de ese plano y que nopertenece a la recta.

En la figura, el punto fijo F se llama foco y la recta fija l directriz de la parábola.

En la definición anterior, se excluye el caso en que el foco está sobre la directriz.

Definiciones 1. La recta a que pasa por F y es perpendicular a la directriz l , se llama el eje de la parábola.

2. Si A es el punto de intersección de la directriz y el eje de la parábola, el punto V , que es un punto de la

parábola y es el punto medio de AF , se llama el vértice.

3. Si B y 'B son dos puntos distintos de la parábola, el segmento 'BB , se llama una cuerda.

4. Una cuerda que pasa por el foco, como 'CC , se llama una cuerda focal.

5. La cuerda focal 'LL , que es perpendicular al eje de la parábola, se llama lado recto.

6. Si P es un punto cualquiera de la parábola, el segmento PF , que une el punto P con el foco F , sellama radio focal de P , o radio vector.

Veamos la ecuación de una parábola, cuyo vértice está en el origen y cuyo eje es un eje coordenado.

Teorema 18 (Primera forma ordinaria de la ecuación de la parábola)

La ecuación de una parábola de vértice en el origen y eje coincidente con el eje X , es

pxy 42 = ,

donde el foco es el punto )0,( pF y la directriz es la recta de ecuación px -= .

Si 0>p , la parábola se abre hacia la derecha y si 0<p , la parábola se abre hacia la izquierda.

Si el eje de la parábola coincide con el eje Y y su vértice está en el origen, su ecuación es,

pyx 42 =

donde el foco es el punto ),0( pF y la directriz es la recta de ecuación py -= .

Si 0>p , la parábola se abre hacia arriba y si 0<p , la parábola se abre hacia abajo.


28

En cualquiera de los dos casos anteriores, la longitud del lado recto está dado por p4 .

Ejemplo

Una parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo eje, coincide con el eje Y , pasa por el punto)2,4( -P . Hallar la ecuación de la parábola, las coordenadas del foco, la ecuación de su directriz y la longitud

de su lado recto. Trazar la parábola.

Solución

Como el vértice está en el origen y el eje coincide con el eje Y , por el Teorema anterior, la ecuación dela parábola es de la forma

pyx 42 =

Pero la parábola pasa por el punto )2,4( -P , por lo tanto las coordenadas de este punto deben

satisfacer la ecuación anterior, es decir)2(416 -= p 2-=Þ p

Por lo tanto, la ecuación buscada es

yx 82 -=

Por el Teorema anterior, el foco es el punto )2,0(),0( -= FpF y la ecuación de la directriz es

22)2(( =Þ=--=-= ypy .

La longitud del lado recto es 88)2(44 =-=-=p

La parábola es la del gráfico siguiente.

Ahora veremos la ecuación de una parábola cuyo vértice es el punto ),( khV y cuyo eje es paralelo a un

eje coordenado.


29

Teorema 19 (Segunda ecuación ordinaria de la parábola)

La ecuación de una parábola de vértice ),( khV y eje paralelo al eje X , es de la forma

),(4)( 2 hxpky -=-

donde p es la longitud del segmento del eje comprendido entre el foco y el vértice.

Si 0>p , la parábola se abre hacia la derecha y si 0<p , la parábola se abre hacia la izquierda.

Si el vértice es el punto ),( khV y el eje de la parábola es paralelo al eje Y , su ecuación es de la forma

)(4)( 2 kyphx -=- .

Si 0>p , la parábola se abre hacia arriba y si 0<p , la parábola se abre hacia abajo.

Ejemplo

Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice es el punto )4,3(V y cuyo foco es el punto )2,3(F . Además,

hallar la ecuación de su directriz y la longitud de su lado recto.

Solución

Como el vértice y el foco de una parábola están sobre su eje y ambos tienen la misma abscisa 3 , tenemos

que el eje a de la parábola, es paralelo al eje Y .

Por lo tanto, por el teorema 16, la ecuación de la parábola es de la forma

)(4)( 2 kyphx -=- )4(4)3( 2 -=-Þ ypx

Para determinar la ecuación, debemos calcular el valor de p .

Sabemos que 224 =-== FVp , pero como el foco está abajo del vértice, la parábola se abre

hacia abajo y eso ocurre cuando 0<p , por el Teorema 16.

Por lo tanto, 2-=p y la ecuación de la parábola es

)4(8)3( 2 --=- yx

Además, la longitud del lado recto es 8)2(44 =-=p .

Por otra parte, si A es el punto donde el eje a corta a la directriz l y dado que )4,3(V es el punto medio del

segmento AF , las coordenadas del punto A son )6,3( .

Así, la ecuación de la directriz es 6=y


30

Teorema 20

Una ecuación de segundo grado en las variables x e y que carezca del término en xy puede escribirse

en la forma,

022 =++++ FEyDxCyAx

Si 0=A , 0¹C y 0¹D , la ecuación representa una parábola cuyo eje es paralelo a (o coincide con)

el eje X . Si en cambio, 0=D , la ecuación representa dos rectas diferentes paralelas al eje X , dos rectas

coincidentes paralelas al eje X , o ningún lugar geométrico, según que las raíces de 02 =++ FyDyA sean

reales y distintas, reales e iguales o complejas.Si 0¹A , 0=C y 0¹E , la ecuación representa una parábola cuyo eje es paralelo a (o coincide con)

el eje Y . Si, en cambio, 0=E , la ecuación representa dos rectas diferentes paralelas al eje Y , dos rectas

coincidentes paralelas al eje Y o ningún lugar geométrico, según que las raíces de 02 =++ FxDxA sean

reales y distintas, reales e iguales o complejas.

Ejemplo

Demostrar que la ecuación 09724204 2 =+-- yxx representa una parábola. Hallar las coordenadas

del vértice y del foco, la ecuación de su directriz y la longitud de su lado recto.

SoluciónPor Teorema 20, la ecuación representa una parábola, cuyo eje es paralelo al eje Y, ya que 0¹A ,

0=C y 0¹E .

Completando el cuadrado de binomio en x , transformamos la ecuación a la segunda forma ordinaria

)3(625 2

-=÷øö

çèæ - yx

Se obtiene que el vértice es ÷øö

çèæ 3,

25V . Además, 0

2364 >=Þ= pp , por lo tanto, la parábola se abre hacia

arriba.

Por otro lado, como el foco está sobre el eje y el eje es paralelo al eje Y , entonces el foco es el punto

÷øö

çèæ=÷

øö

çèæ +

29,

25

233,

25 FF .

La ecuación de la directriz es23

233 =-=y .

La longitud del lado recto es 64 =p

EjemploHallar la ecuación de la parábola cuyo eje es paralelo al eje X y que pasa por los tres puntos

÷øö

çèæ -1,

23

1P , )5,0(2P y )7,6(3 --P .

SoluciónComo el eje de la parábola es paralelo al eje X , su ecuación es de la forma

02 =+++ FEyDxCy

Como 0¹C y dividiendo la ecuación, se obtiene

0'''2 =+++ FyExDy

donde 'D , 'E y 'F son tres constantes que debemos determinar.

Como los tres puntos dados deben estar sobre la parábola, sus coordenadas deben satisfacer la última ecuación.


31

Así, obtenemos las tres ecuaciones siguientes,

Para ÷øö

çèæ -1,

23

1P tenemos 0'''231 =+-+ FED

Para )5,0(2P tenemos 0''525 =++ FEPara )7,6(3 --P tenemos 0''7'649 =+-- FED

Resolviendo este sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas, se obtiene la solución

15',2',8' -=-== FED

Sustituyendo estos valores en la última ecuación, se tiene la ecuación de la parábola pedida,

015282 =--+ yxy

Para graficar la parábola, es conveniente pasar la ecuación a la segunda forma ordinaria, según elTeorema 19.

La Elipse

DefiniciónUna elipse es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano, de tal manera que la suma

de sus distancias a dos puntos fijos de ese plano, es siempre igual a una constante, mayor que la distanciaentre los dos puntos.

Definiciones1. Los dos puntos fijos se llaman focos de la elipse2. La recta l que pasa por los focos, se llama eje focal

3. El eje focal corta a la elipse en los dos puntos V y 'V , llamados vértices

4. El segmento 'VV , se llama eje mayor

5. El punto medio C , del eje mayor se llama centro

6. La recta 'l que pasa por el centro C y es perpendicular al eje focal l , se llama eje normal

7. El eje normal 'l corta a la elipse en los dos puntos A y 'A y el segmento 'AA , se llama eje menor

8. El segmento que une dos puntos cualesquiera de la elipse, como 'BB , se llama una cuerda

9. Una cuerda focal, es una cuerda que pasa por un foco, tal como 'EE10. El lado recto es una cuerda focal, perpendicular al eje focal, tal como 'LL11. Un diámetro es una cuerda que pasa por el centro C , tal como 'DD12. Los radios vectores de un punto P cualquiera de la elipse, son los segmentos que unen los focos con

el punto P , tales como FP y PF '


32

Teorema 21 (Primera Ecuación Ordinaria de la Elipse)

La ecuación de una elipse de centro en el origen, eje focal el eje X , distancia focal igual a c2 y

cantidad constante igual a a2 , es

12

2

2

2

=+by

ax

Si el eje focal de la elipse coincide con el eje Y , de modo que las coordenadas de los focos sean),0( cF y ),0(' cF - , la ecuación de la elipse es,

12

2

2

2

=+ax

bx

En cualquiera de los dos casos.

1. a es la longitud del semieje mayor, b es la longitud del semieje menor. Además, a , b y c , está ligadaspor la relación

222 cba +=

2. La longitud de cada lado recto esab22

3. La excentricidad e está dada por la fórmula 122

<-

==a

baace

ObservaciónSi se reduce la ecuación de una elipse a su forma canónica, se pude determinar fácilmente su posición

relativa a los ejes coordenados, comparando los denominadores de los términos en 2x e 2y . El denominador

mayor está asociado a la variable correspondiente al eje coordenado con el cual coincide el eje mayor de laelipse.

EjemploUna elipse tiene su centro en el orine y su eje mayor coincide con el eje Y . Si uno de los focos es el

punto )3,0(F y la excentricidad es igual a2

1 , hallar las coordenadas del otro foco, las longitudes de los ejes

mayor y menor, le ecuación de la elipse y la longitud de cada uno de sus lados rectos.

SoluciónComo uno de los focos es el punto )3,0(F , se tiene que 3=c (distancia del centro a cada uno de los

focos)Por lo tanto, el otro foco tiene coordenadas )3,0(' -F .

Como la excentricidad es2

1 , entonces 6321

=Þ=== aaa

ce

Además, tenemos que 3336 2222 =-=-= cab

Así,longitud eje mayor = 122 =alongitud eje menor = 362 =b

La ecuación de la elipse es

13627

22

=+yx

La longitud de cada recto es 962722 2

=×

=ab


33

Teorema 22 (Segunda ecuación ordinaria de la elipse)

La ecuación de la elipse de centro el punto ),( khC y eje focal paralelo al eje X , está dada por

1)()(2

2

2

2

=-

+-

bky

ahx

Si el eje focal es paralelo al eje Y , su ecuación está dada por

1)()(2

2

2

2

=-

+-

aky

bhx

En cualquiera de los dos casos, a es la longitud del semieje mayor, b es la longitud del semieje menor, c es la

distancia del centro a cada foco; a , b y c están ligadas por la relación

222 cba +=

Además, la longitud de cada uno de sus lados rectos esab22

y la excentricidad e está dada por

122

<-

==a

baace

EjemploLos vértices de una elipse son )7,3(-V , )1,3(' --V y la longitud de cada lado recto es 2. Hallar la

ecuación de la elipse, las longitudes de sus ejes mayor y menor, las coordenadas de sus focos y suexcentricidad.

SoluciónSegún se muestra en la figura, como los vértices están sobre el eje focal y sus abscisas son 3- , se

tiene que el eje focal es paralelo al eje Y .

Por lo tanto, por el teorema 22 la ecuación de la elipse es de la forma 1)()(2

2

2

2

=-

+-

aky

bhx


34

Además, el centro es el punto medio del eje mayor 'VV , por lo tanto )3,3(-C

Longitud del eje mayor es 8)1(7' =--=VV , o sea, 482 =Þ= aa

La longitud del lado recto es 222 2

=Þ= bab

Longitud del eje menor es 42 =b

La ecuación de la elipse es 116

)3(4

)3( 22

=-

++ yx

Además, como 32222 =Þ-= cbac . Por lo tanto, las coordenadas de los focos son )323,3( +-Fy )323,3(' --F .

Finalmente, la excentricidad es23

432===

ace

Teorema 23 (Forma general de la ecuación de la elipse)

Si los coeficientes A y C son del mismo signo, la ecuación

022 =++++ FEyDxCyAx

representa una elipse cuyos ejes son paralelos a los ejes coordenados, o bien un punto o no representa ningúnlugar geométrico real.

Ejemplo

La ecuación de una elipse es 061224 22 =+-++ yxyx . Reducir esta ecuación a la forma ordinaria y

determinar las coordenadas del centro, de los vértices y de los focos, calcular las longitudes del eje mayor, deleje menor, de cada lado recto y la excentricidad.

SoluciónPara reducir la ecuación a la forma ordinaria, completaremos los cuadrados de binomio.

En efecto,

6)3(4)2( 22 -=-++ yyxx

916)3(4)12( 4922 ++-=+-+++ yyxx

4)(4)1( 2232 =-++ yx

La forma ordinaria de la ecuación de la elipse es

11

)(4

)1( 2232

=-

++ yx

Por lo tanto, las coordenadas del centro son ),1( 23-C y el eje focal es paralelo al eje X .

Como 242 =Þ= aa y las coordenadas de los vértices son ),21( 23+-V y ),21(' 2

3--V .

Por otro lado, como 314222 =-=Þ-= cbac y las coordenadas de los focos son ),31( 23+-F y

),31(' 23--F

La longitud del eje mayor es 42 =a , la del eje menor es 2122 =×=b

La longitud de cada lado recto es 12122 2

=×

=ab

La excentricidad es23

==ace


35

La Hipérbola

Definición

Una hipérbola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que el valorabsoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano, es siempre igual a una cantidadconstante, positiva y menor que la distancia entre los dos puntos fijos.

ObservaciónUna hipérbola esta formada por dos ramas

Definiciones1. Los dos puntos fijos de la definición, se llaman los focos de la hipérbola2. La recta l que pasa por los dos focos se llama eje focal3. Los vértices de la hipérbola son los dos puntos en que el eje focal corta a la hipérbola

4. El segmento comprendido entre los vértices, 'VV se llama eje transverso

5. El punto medio del eje transverso, se llama centro6. La recta 'l que pasa por el centro y es perpendicular al eje focal l , se llama eje normal

7. La porción del eje normal, determinado por el segmento 'AA se llama eje conjugado

8. El segmento que une dos pontos diferentes de la hipérbola se llama cuerda9. Una cuerda que pasa por un foco, se llama cuerda focal10. Una cuerda focal perpendicular al eje focal se llama lado recto11. Una cuerda que pasa por el centro se llama diámetro12. Si P es un punto cualquiera de la hipérbola, los segmentos que unen los focos con el punto P se llaman

radios vectores de P

unidad 1 (geometra analtica) (2)

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