una relación entre hipótesis del continuo, cardinales inaccesibles y problema de la medida
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Una relación entre Hipótesis del Continuo, Cardinales Inaccesibles y Problema de la Medida. Luz Victoria De La Pava Castro Universidad del Cauca. Ordinales. Una extensión de los números naturales. Un conjunto A es transitivo si cada elemento de A es un subconjunto de A. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Una relación entre Hipótesis del Continuo, Cardinales
Inaccesibles y Problema de la Medida
Luz Victoria De La Pava Castro
Universidad del Cauca
Ordinales
Una extensión de los números naturales
, , , ,1 ,01 n
0
01
,1 ,02
1 , ,1 ,0 nn , , ,1 ,0 n
Un ordinal es un conjunto transitivo bien ordenado por la relación de pertenencia ∈.
si sóloy si
Un conjunto A es transitivo si cada elemento de A es un subconjunto de A.
El orden en los ordinales es:
, ..., 3, 2, 1, 0, ,2....,,2,1
, n
21 222 ωωω ,...,......, 43 ωω
,...,,...,..., ,,...,...,,sup...,
ω
...,1,...,...,, sup
,...,......,,,sup...,
llama se 1, Si sucesor ordinal
. llama se entonces
sucesor, ordinal es no Si
límite ordinal
=}<:sup{=
satisface límite ordinalUn
CARDINALES
,< todopara
si númeroun es ordinalUn cardinal
Ejemplos
es un cardinal.
+ 1 no es un cardinal. 1
2 2no es un cardinal.
0
LOS ALEPHS
. entonces si
que manera talde , cardinalun define se , ordinal cada Para
210
AA que tal ordinalun existe , conjunto cada Para (AC)
, ,,,,,, 210
Hipótesis del Continuo (HC).
Conjetura de Cantor
EL TAMAÑO DEL CONTINUO
02R
102
aleph algún a igual ser debe 2 0
HC es independiente de ZFC. Es decir, si ZFC es consistente, ZFC + HC y ZFC + ¬HC son consistentes.
Kurt Gödel, en 1938, construyó un modelo de ZFC, la clase de los conjuntos constructibles, L, de tal manera que L HC⊧ .
Paul Cohen, en 1963,con la técnica del forcing, construyó un modelo en el que vale ¬HC.
Existen modelos de la teoría de conjuntos en los que
102
Cardinales Límites
Cofinalidad
límite ordinalun es si un es límite cardinal
lim si
en es : crecientesucesión Una
límite. ordinales y Sean
cofinal
AA sup si en es cofinal
en cofinal es que tal
ordinalmenor el es ), , de La cf(αdcofinalida
lim satisface que : creciente
sucesión- unahay que talmenor el es, Esto
límite ordinalun es )(cf
)(cf
)())(( cfcfcf
Ejemplo
.)( si es cardinalUn cfregular
.)( si decir, Es
regular. es no si , es cardinalUn
cf
singular
cf
Un cardinal débilmente inaccesible
o simplemente inaccesible es un
cardinal no numerable y regular.
En ZFC no se puede demostrar la
proposición:
existe un cardinal inaccesible
Cardinales Inaccesibles
MEDIDA
Una medida (σ-aditiva probabilística no trivial) sobre un conjunto no vacío S es funciónμ : (℘ S) → [0,1] que satisface las siguientes propiedades:
1y 0 i) S . entonces Si ii) BABA
ad) trivialid(no todopara 0 iii) Saa
parespor disjuntos S, de subconjuntos de
sucesión cada Para )aditividad( iv)
00
nn
nn
Nnn
XX
X
Una medida sobre una -álgebra S de
conjuntos es una función de valor real, con
dominio S, que satisface las 4 propiedades
anteriores.
Una medida sobre S es una medida sobre (S℘ )
Ejemplo:
La Medida de Lebesgue sobre el intervalo [0,1]
La Medida de Lebesgue
Satisface:
R , todopara , a) baabba
R todopara
)( b)
AAaA
estraslacion bajo aInvarianci
Bajo AC se prueba que:
No todos los conjuntos de números reales
son Lebesgue medibles
Problema de la medida
¿Existe alguna medida σ-aditiva sobre [0,1] que extienda la medida de Lebesgue?
Respuesta parcial: (Bajo AC)
No existe una medida σ -aditiva
sobre que extienda la medida de ℝ
Lebesgue y que satisfaga la
propiedad de invariancia bajo
traslaciones.
El continuo: ¿más que inaccesible?
Si existe una medida σ-aditiva sobre que ℝ
extienda la medida de Lebesgue entonces
existe un cardinal débilmente inaccesible κ
tal que
02
Cardinales Grandes
Cardinales Supercompactos
Cardinales medibles
Cardinales Mahlo
Cardinales fuertemente compactos