una propuesta de acción en matemáticas

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  • Apuntes realizados por Santiago Fernndez( Asesor de matemticas del Berritzegune Nagusia-Bilbao)

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    UNA PROPUESTA DE ACCIN EN MATEMTICAS Por Santiago Fernndez Asesor de Matemticas del Berritzegune Nagusia. Bilbao

    Qu matemticas queremos? 1. Introduccin 2. Primeras consecuencias 3. Nos sirve la misma educacin matemtica? 4. Qu matemticas hay que ensear? 5. La resolucin de problemas en la educacin matemtica 6. Metodologa en matemticas 7. Mejorar la enseanza de las matemticas 8. Papel del profesor y de los alumnos en la enseanza de las

    matemticas 9. Aspectos a reforzar y aspectos a disminuir en la enseanza de las

    matemticas 10. La evaluacin en matemticas

    I MATH Qu matemticas queremos?

    1.- Introduccin Vivimos en una sociedad muy diferente a la de hace muy pocos aos. Nos hallamos en tiempos de extraordinarios y acelerados cambios. Conocimientos cientficos relativamente estables, de pocas anteriores, estn ahora en profunda revisin. Muchos de los saberes, que fueron imprescindibles hasta hace muy poco tiempo, tienen ahora una menor importancia. Es la Sociedad del Conocimiento. El periodista y filsofo cataln Josep Ramoneda, define muy bien esta idea: la aceleracin del tiempo y la contraccin del espacio son dos caractersticas de nuestro tiempo, adems le gusta decir que: Google es la figura cultural ms importante del mundo

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    En este mundo cambiante aquellos que comprendan y puedan hacer y usar matemticas tendrn cada vez ms oportunidades y opciones para determinar su futuro. Por otra parte, los conocimientos, las herramientas y las formas de usar y comunicar las matemticas surgen y evolucionan continuamente. La informacin que hace pocos aos estaba en manos de pocas personas se difunde ahora ampliamente y de manera vertiginosa a travs de los medios de comunicacin. El problema en nuestros tiempos no es poseer informacin sino procesarla. La necesidad de entender y ser capaz de usar las matemticas en la vida diaria y en el trabajo est aumentando de manera progresiva. Por citar algunos ejemplos podemos sealar las matemticas que nos permiten tomar decisiones sobre compras, planes de pensiones, seguros, planificar viajes, realizar pagos aplazados, , que se denominan comnmente matemticas para la vida, por otra parte un ciudadano competente necesita un cierto pensamiento matemtico basado en la resolucin de problemas, aplicables a variados contextos de la vida cotidiana, desde el cuidado de la salud hasta la planificacin de un cierto diseo, que podramos denominar matemticas para el trabajo; adems, podemos sealar que cada vez ms hay necesidad de que ms y ms personas dispongan de una slida formacin matemtica que les prepare para trabajar como matemticos, ingenieros, estadsticos y cientficos en general, que podramos denominar matemticas para la comunidad cientfica Los contenidos matemticos necesarios para desenvolverse en la vida tambin cambian, algunos caen en desuso o se trivializan usando las TIC otros, en cambio, se ha de reforzar para filtrar la llegada masiva de informacin y la toma responsable de decisiones. La condicin de ciudadano activo confirma la necesidad de aprender a lo largo de toda la vida. La formacin en la Sociedad del Conocimiento es una actividad permanente y necesaria. En esta nueva sociedad es claramente necesario formar a ciudadanos que dispongan, entre otras, de una cierta cultura cientfica y matemtica. Su adquisicin y actualizacin se ha vuelto tan imprescindible como la alfabetizacin o el aprendizaje de las famosas cuatro reglas. Ello rompe la idea, muy propia de la Sociedad Industrial, de situar la educacin y la formacin slo en la parte inicial de nuestro ciclo vital. La formacin se desarrolla tanto a travs de la formacin formal (procesos educativos y formacin reglada) como a travs de los aprendizajes informales o no formales producidos en los entornos familiares, en el propio lugar de trabajo o en las actividades sociales. En este sentido hay que sealar, el desarrollo exponencial de las Redes Sociales refuerza su importancia educativa y son ya muchas las experiencias incorporadas - desde esta posibilidad- a la enseanza formal. Hay que recordar que la cultura es una abstraccin, un constructo social con una base terica compartida por los individuos de un mismo grupo Es ella la que hace de nosotros seres especficamente humanos, racionales, crticos y ticamente comprometidos. El proceso continuado de transmisin de la cultura de las generaciones adultas a las generaciones que les suceden es el fenmeno que nos enmarca.

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    Las exigencias de nuestra sociedad hacen que la mayora de los ciudadanos, en todos los pases, se estn viendo progresivamente implicados en multitud de tareas que incluyen conceptos cuantitativos, espaciales, representativos, interpretativos, argumentativos, probabilsticos y otras tareas matemticas. Sin embargo, la enseanza de las matemticas no es muy permeable ante estos cambios. En general, el currculo matemtico tiene los mismos ingredientes que hace dcadas: mucha aritmtica y clculo, bastante lgebra y anlisis, un poco de geometra y casi nada de estadstica y de probabilidad. Para afrontar las nuevas tareas es necesario que las matemticas que se enseen en nuestras aulas, para preparar a nuestros estudiantes, sean diferentes tanto en el cmo ensear como en el qu ensear. Nuestros esfuerzos no han de centrarse exclusivamente en el conocimiento de nuevas metodologas; sino, tambin de nuevos contenidos, dando una respuesta actualizada al cmo ensear y al qu ensear. La nocin de lo que es bsico en matemticas se est desplazando poco a poco y los contenidos considerados fundamentales durante dcadas deben sufrir una reflexin profunda y bien pensada. Es una tarea compleja, pero necesaria. Definir un currculo creando una lista de temas matemticos que deben aprender los estudiantes reproducira la idea de que las matemticas es un conocimiento fragmentado y con pocas conexiones. No se trata nicamente de explicar bien los contenidos que sirvieron para otras pocas. Hemos de cambiar de paradigma. Una alternativa interesante puede ser el destacar cuales son las ideas esenciales que atraviesan los contenidos y adems reflexionar sobre los procesos matemticos implicados y analizar qu contenidos son realmente los fundamentales. 2.- Primeras consecuencias Estas reflexiones nos llevan a varias cuestiones clave:

    En primer lugar qu matemtica es todava relevante?

    Desde luego, no podemos mantener intacto el viejo currculo y adems ampliarlo para dejar sitio a temas emergentes como: tratamiento de la informacin, matemtica discreta, modelizacin, tratamiento del azar, etc. Existe un reto formidable, pero necesario: encontrar la manera de edificar sobre la antigua concepcin de las matemticas para construir la nueva matemtica, la que d respuestas ms posibilistas a los problemas sociales. No podemos demoler totalmente el edificio para construir uno totalmente diferente. Debemos remozarlo, adaptarlo, apuntalarlo, de manera adecuada, retirando los elementos superfluos y aadiendo la argamasa fundamental para as construir un edificio ms funcional y moderno, acorde con los nuevos tiempos.

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    En segundo lugar cmo asegurarse de que todos los alumnos dispongan de la oportunidad de aprender las matemticas, que necesitarn para el futuro, as como las herramientas necesarias para conseguir tal objetivo?

    No queremos crear un mundo en el que las matemticas sigan siendo un filtro para los estudiantes, queremos unas matemticas que integren ms que segreguen. Nuestro deseo es que los estudiantes vean a las matemticas como un saber necesario, no slo porque les resuelve problemas matemticos sino porque les puede ayudar a resolver problemas de su mbito cotidiano.

    En tercer lugar, reflexionar respecto al impacto que est suponiendo la aparicin masiva de las TIC en el aula.

    La sociedad actual, dominada por el uso de las tecnologas, se caracteriza por estar centrada en una perspectiva comunicativa tecnolgicamente mediatizada desde la interrelacin de diversos lenguajes: verbal, textual, auditivo, grfico, visual, simblico,.. An estamos en los inicios de cambios tecnolgicos que seguro sern de un gran calado en nuestro quehacer diario, por tanto hemos de tomar posiciones y prepararnos adecuadamente para introducir las TIC en el aula. Las Tecnologas de la Informacin y de la Comunicacin son una oportunidad que no podemos pasar de largo, han venido para quedarse Las TIC en forma de calculadoras, ordenadores, internet... estn a nuestro servicio e influyen en los cambios de los dos apartados anteriores: con la integracin de las TICs la matemtica necesaria cambia y el cmo trabajemos la materia del rea puede incorporar a ms alumnos a disfrutarla. En definitiva, estas tres cuestiones tienen un impacto evidente en la enseanza de las matemticas y no tienen una respuesta sencilla, su resolucin pasa por la incidencia en varios mbitos: la lista de contenidos matemticos, los procesos matemticos, la utilizacin de las TIC, la metodologa empleada, el papel del profesor-alumno, el tipo de actividades presentadas, saber qu procedimientos son realmente relevantes, los contextos utilizados, la evaluacin, etc.

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    Hay que tener presente que las matemticas son un bien comn, que todos tenemos derecho a aprender. Su correcta iniciacin y su aprendizaje sistemtico se inscriben dentro de los derechos del alumno y la escuela necesariamente los ha de satisfacer. A partir de aqu nos resulta fcil comprender que el currculum matemtico deber ser coherente con una necesidad social de alfabetizacin matemtica, que forme personas capaces de comunicarse y entenderse, con sensibilidad y riqueza suficiente de registros, en una sociedad donde tendrn que utilizar de forma continua contenidos y recursos matemticos. En definitiva, a lo largo de la educacin las matemticas han de desempear, indisociable y equilibradamente, un papel formativo bsico de capacidades intelectuales, y un papel instrumental, en cuanto armazn formalizador de conocimientos en otras materias y que a su vez d respuesta adecuada al papel social de las matemticas. 3.- Nos sirve la misma educacin matemtica? Como paso previo, es imprescindible reflexionar respecto a los cambios sustanciales que se han producido en las ltimas dcadas. Muchos de estos cambios son comunes a todas las materias del currculo, pues tienen que ver con las reflexiones sobre las funciones que la sociedad asigna a la educacin, con los contenidos relevantes, con el desembarco masivo de las Tecnologas de la Informacin y de la Comunicacin, con el papel del profesor en el aula, con los materiales existentes en el mercado, con los profundos cambios sociales y econmicos, con las nuevas miradas sobre el aprendizaje, etc. Como ya hemos mencionado la mayora de los ciudadanos, en todos los pases, se estn viendo progresivamente implicados en multitud de tareas que incluyen conceptos cuantitativos, espaciales, representativos, interpretativos, argumentativos, probabilsticos y otras tareas con diverso contenido matemtico. Pensamos, sinceramente que las matemticas que se ensean en nuestras aulas deberan dar respuesta a estas necesidades; lo que implica orientar las actividades matemticas hacia unos contenidos ms funcionales, con el objetivo de preparar a los estudiantes para esas nuevas tareas que les esperan.

    Ensear matemticas de una forma eficaz implica utilizar diferentes mtodos de enseanza. Al mismo tiempo, existe un acuerdo general en que ciertos mtodos, como aprendizaje basado en la resolucin de problemas, la investigacin y la contextualizacin son particularmente eficaces para elevar el rendimiento y mejorar las actitudes del alumnado hacia las matemticas. ( Eurydice, 2011)

    No hemos de potenciar unas matemticas, que se conviertan en un filtro para los estudiantes, sino unas matemticas tiles, que resulten un poderoso medio de comunicacin e interpretacin. En definitiva, unas matemticas que se conviertan en una poderosa herramienta para la oportunidad.

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    4.-Qu matemticas hay que ensear? La nocin de lo que es bsico en matemticas est en continua revisin. La capacidad de calcular que tan importante fue en tiempos pasados no parece que deba ser el objetivo central de la enseanza de las matemticas y sobre el que pivoten la mayora de los contenidos matemticos. Por extensin, la vertiente instrumental de las matemticas ha de tener menor peso. Por otra parte, la componente formativa debera primar sobre los aspectos estrictamente instrumentales. Esa componente formativa es la que contribuye a un mejor desarrollo intelectual, fomenta capacidades como la abstraccin, la generalizacin, el pensamiento reflexivo, el razonamiento lgico, etc. Adems, un trabajo adecuado en esta lnea, contribuye a la creacin de estructuras mentales y hbitos de trabajo, cuya utilidad e importancia no se limita al mbito de las matemticas. Estas reflexiones son asumidas por la mayora de los investigadores en didctica de las matemticas. Pero, qu contenidos son bsicos y fundamentales en la enseanza de las matemticas? Desde muchos organismos se han realizado numerosos esfuerzos y propuestas por definir cuales son los contenidos claves en la enseanza de las matemticas. El NCTM propuso en el ao 2000 una lista de tales contenidos (nos

    referimos a contenidos matemticos en un sentido amplio, en el que se incluyen aspectos conceptuales, procedimentales, procesos matemticos, etc.), son los siguientes:

    Formular y resolver problemas Ser capaces de cuantificar situaciones y razonar acerca de los nmeros Realizar operaciones con una cierta soltura utilizando los recursos

    adecuados. Poseer competencia en el tema de la medida Resolver problemas de

    ndole geomtrico en diversos contextos Entender y usar el razonamiento proporcional Comprender y usar smbolos para comunicarse, procesar informacin Leer e interpretar tablas y grficas. Poseer un lenguaje funcional. Tratar lo incierto Poseer una cierta competencia en el lenguaje algebraico. Utilizar las TICs, de forma continua para enriquecer todos los aspectos

    anteriores

    Como consecuencia de las distintas evaluaciones PISA; en los ltimos aos y especialmente desde 2007, la gran mayora de los pases europeos han revisado sus currculos de matemticas, adoptando un enfoque centrado fundamentalmente en los aspectos funcionales de las matemticas, es decir, en el desarrollo de las competencias y habilidades del alumnado ms que en los contenidos tericos.

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    La propuesta ha ido encaminada a trabajar una matemtica ms competencial, potenciando la importancia que se concede a las relaciones con otras disciplinas, a la resolucin de problemas y a la aplicacin del conocimiento a diferentes contextos. Es un enfoque ms integral y flexible para responder as a las necesidades de una mayor cantidad de estudiantes, y para ayudarles a entender la utilidad de las matemticas en el mundo real.

    El Informe Eurydice revela cuales son los elementos cruciales y las prcticas que caracterizan la enseanza de las matemticas en los distintos pases europeos y propone una serie de orientaciones respecto a los contenidos, los procesos de enseanza, la formacin del profesorado y la evaluacin, y adems pone tambin de manifiesto que la mayora de las autoridades educativas nacionales no ofrecen suficiente ayuda y orientacin al profesorado para poder poner el prctica algunas de sus recomendaciones.

    En la actividad matemtica aparecen tambin una serie de procesos que se articulan en su estudio, cuando los estudiantes interaccionan con las situaciones - problemas, bajo la direccin y apoyo del profesor. Los Principios y Estndares 2000 del NCTM resaltan la importancia de los procesos matemticos:

    Resolucin de problemas (que implica exploracin de posibles soluciones, modelizacin de la realidad, desarrollo de estrategias y aplicacin de tcnicas).

    Representacin (uso de recursos verbales, simblicos y grficos, traduccin y conversin entre los mismos).

    Comunicacin (dilogo y discusin con los compaeros y el profesor). Justificacin (con distintos tipos de argumentaciones inductivas,

    deductivas, etc.). Conexin (establecimiento de relaciones entre distintos objetos

    matemticos). Nosotros, adems aadimos el siguiente proceso: En definitiva queremos formar ciudadanos cultos que utilicen las matemticas de manera competente; no se trata de convertir a los futuros ciudadanos en matemticos aficionados, tampoco se trata de capacitarlos en clculos complejos, puesto que los ordenadores hoy da resuelven este problema. Lo que se pretende es proporcionar una cultura matemtica suficiente para poder resolver los variados problemas a los que se van a enfrentar a lo largo de su vida. 5.-La resolucin de problemas en la educacin matemtica La resolucin de problemas, sin duda, es la actividad ms compleja e importante que se plantea en la enseanza de las matemticas. Los contenidos cobran sentido desde el momento en que es necesario aplicarlos para poder resolver una situacin problemtica.

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    La resolucin de problemas es una actividad primordial en la clase de matemticas, no es nicamente un objetivo general a conseguir sino que adems es un instrumento pedaggico de primer orden.

    Resolver problemas es una cuestin de gran importancia en el currculo escolar. Una de las competencias transversales de las matemticas tiene que ver con la resolucin de problemas. El saber hacer en matemticas, tiene mucho que ver con la habilidad de resolver problemas, de encontrar pruebas, de criticar argumentos, de usar el lenguaje matemtico con cierta fluidez, de reconocer conceptos matemticos en situaciones concretas, de saber aguantar una determinada dosis de ansiedad, .....pero tambin de estar dispuesto a disfrutar con el camino emprendido. La habilidad para resolver problemas es una de las habilidades bsicas que los estudiantes deben tener a lo largo de sus vidas, y deben usarla frecuentemente cuando dejen la escuela. Es una habilidad que se puede ensear. La escuela es el lugar donde los alumnos deben aprender a resolver problemas, por tanto hay que dedicar un tiempo importante a esta misin. Este es un tiempo de oro. El matemtico hngaro G.Polya, deca al respecto: "la resolucin de problemas es un arte prctico, como nadar o tocar el piano. De la misma forma que es necesario introducirse en el agua para aprender a nadar, para aprender a resolver problemas, los alumnos han de invertir mucho tiempo enfrentndose a ellos". Trabajar de esta manera har que poco a poco los alumnos interioricen estrategias y sugerencias de aplicacin, en la medida en que las utilizan para resolver diferentes situaciones problemticas y que amen el gusto por resolver problemas. Un hecho particularmente positivo es el aumento de la cooperacin entre los docentes y del intercambio de buenas prcticas a travs de plataformas web, redes sociales y otros recursos en lnea 6.-Metodologa en matemticas El realizar un aprendizaje para la vida, supone trabajar sobre aquellos contenidos que nos permitan dar respuesta a situaciones no previstas en la escuela; en este sentido la metodologa basada en la resolucin de problemas nos puede ayudar en nuestros aprendizajes posteriores. Esta manera de trabajar necesita un aprendizaje activo, que prepare al alumnado para saber ser, para saber hacer y para saber aplicar el conocimiento en diversos contextos. El aprendizaje activo no se concreta en la utilizacin de una nica metodologa. Es posible y deseable utilizar y desarrollar diferentes modos de actuacin en el aula. No hay un nico camino para presentar los contenidos matemticos. Dentro del aprendizaje activo subyacen una serie de principios y estrategias metodolgicas como son:

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    Generar un ambiente propicio en el aula, Promover el uso de fuentes de informacin diversas, Generar estrategias participativas, Favorecer organizaciones diversas de espacios y tiempos, Favorecer la comunicacin, Proponer y resolver problemas interesantes Favorecer discusiones en el aula

    La actual metodologa en la enseanza de las matemticas, en la mayora de los casos, sigue teniendo un gran componente metodolgico tradicional semiconductista, lo que hace que tengamos serios problemas en la transmisin de los contenidos matemticos desde un punto de vista funcional, debido entre otros factores a la gran variedad de niveles de conocimientos existentes en el aula, la carencia de un aula especfica de matemticas, donde podamos tener los recursos didcticos empleados por los alumnos (material manipulativo, software matemtico de calidad), etc. Ahora bien, el hecho de no existir una metodologa universalmente aplicable (ni en la enseanza obligatoria ni en cualquier otro nivel de enseanza) no significa que no existan estrategias de enseanza ms adecuadas y otras menos aconsejables para cada situacin concreta. El profesor debe conocer las alternativas disponibles y conocerse a s mismo, sabiendo hasta qu punto es capaz de usar con confianza y seguridad cada una de ellas. Tambin tiene que procurar, por medio del intercambio de experiencias con sus compaeros el participar en actividades de formacin, en proyectos innovadores de investigacin o investigacin-accin y perfeccionarse y volverse cada vez ms competente en el manejo de los instrumentos de anlisis propias de su tarea profesional. Hay que sealar algunos aspectos que pueden y deben cambiar nuestra metodologa en el aula:

    Trabajar los contenidos esenciales Apoyarse en las TICs Utilizar la metodologa basada en la Resolucin de problemas La presentacin de actividades matemticas a partir de contextos

    significativos para el alumno Trabajar en grupo y apoyarse mutuamente. Apoyar la participacin del alumno. Fomentar la investigacin

    En este apartado, el citado proyecto Eurydice dice textualmente: Para ser eficaces, los profesores de matemticas deben tener un profundo conocimiento de la disciplina, una buena formacin sobre la forma de ensearla y la flexibilidad suficiente para adaptar sus mtodos de modo que puedan responder a las necesidades de todos los estudiantes. Desde un punto de vista especfico, los profesores que quieren mejorar en su metodologa deberan reflexionar sobre los siguientes aspectos( adaptados del profesor D. Jos Antonio Fernndez Bravo)

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    Dominar el arte de preguntar, partiendo siempre desde el lenguaje del

    alumno, para que sea ste el que vaya construyendo su propio pensamiento

    Fomentar la curiosidad, proponiendo situaciones motivadoras para los alumnos como situaciones necesarias en la enseanza de las matemticas.

    Utilizar modelos didcticos que favorezcan la investigacin y la utilizacin del mtodo cientfico.

    Dominar el arte de la comunicacin, preocupndose por contar las cosas con inters, estimulando los aspectos funcionales hacia el objeto del conocimiento.

    Introducir en el aula aspectos de la historia de las matemticas siempre que sea posible y en relacin con los contenidos trabajados.

    Fomentar la transferencia y aplicacin del conocimiento matemtico a los diversos campos: cientficos, naturales, personales, sociales, etc. sin olvidar que el fin ltimo es el pleno desarrollo de la persona humana.

    Presentar actividades respetando el trnsito que discurre desde lo concreto hacia lo abstracto .y desde aspectos globales a especficos.

    Motivar el aprendizaje de las matemticas hacia el saber, hacia el sentir y hacia el querer.

    Presentar las Matemticas como una unidad en relacin con la vida natural y social.

    Preocuparse por graduar cuidadosamente los planos de abstraccin. Ensear guiando la actividad creadora y descubridora del alumno y

    promover en todo lo posible la autocorreccin. Escuchar y apoyar la participacin del alumno. Dominar la materia que se est enseando y estar al tanto de las

    novedades didcticas en relacin con el tema trabajado Utilizar de manera adecuada e inteligente las nuevas tecnologas de la

    comunicacin e informacin. Cuidar que la expresin del alumno sea traduccin fiel de su pensamiento y

    procurar a todo alumno xitos que eviten su desaliento.

    7.- Mejorar la enseanza de las matemticas Como consecuencia de algunas de los aspectos descritos anteriormente podemos ofrecer una luz de cara a responder a la pregunta: qu hacer para mejorar la enseanza de las matemticas?

    1. Un objetivo de la enseanza de las matemticas es ayudar a que todos los estudiantes desarrollen y alcancen una cierta competencia matemtica. 2. La resolucin de problemas es el ncleo central del currculo matemtico, que fomenta el desarrollo de la competencia matemtica y favorece el aspecto formativo de las matemticas 3. Trabajar desde la competencia matemtica requiere ofrecer experiencias que estimulen la curiosidad de los estudiantes para que sean ellos los que investiguen, razonen y en definitiva resuelvan problemas 4. Las matemticas no son un conjunto de temas aislados, sino ms bien un todo bien integrado e interconectado.

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    5. Discutir, escribir, leer y escuchar ideas matemticas profundiza el entendimiento en esta rea y ayuda a los estudiantes a ser ms competentes; para ello son necesarias muchas oportunidades para poder usar el lenguaje matemtico. 6. El apropiarse de las ideas matemticas es mucho ms importante que el nmero de habilidades y procedimientos matemticos que puedan adquirir. 7. El Razonamiento y la argumentacin son necesarios para saber y hacer matemticas. 8. Los conceptos sobre nmeros, operaciones, y clculos deben de estar integrados en la resolucin de situaciones cotidianas 9. Los conceptos de geometra y medicin se aprenden mejor mediante experiencias que involucren la experimentacin y el descubrimiento de relaciones con materiales concretos. 10. La comprensin y manejo de estadsticas, datos, azar y probabilidad se aprenden mejor en contextos de aplicaciones del mundo real. 11. Las tecnologas de la informacin y comunicacin son recursos de primer orden y deben ser utilizados en el aula. 12. Uno de los mayores propsitos de la evaluacin es ayudar a los profesores y profesoras a entender mejor qu saben los estudiantes y a tomar decisiones significativas sobre actividades de enseanza y aprendizaje. 13. Tenemos que priorizar los contenidos a tratar en matemticas. No todo vale!

    8.- Papel del profesor y de los alumnos en la enseanza de las matemticas

    Hay muchas clases de matemticas, cada una tiene su propia dinmica. En la mayora de ellas los contenidos matemticos son introducidos por el profesor y los alumnos tienen un papel de meros receptores de la informacin. En un esquema clsico, utilizado en todas las pocas y por la mayora de los profesores; el alumno es un agente pasivo, mientras que el profesor es el actor principal de una obra que se representa en el aula. En otras aulas, las menos, el saber se construye en el transcurso de la propia actividad matemtica, dando a los alumnos un papel de participacin activa y al profesor un papel de organizador, mediador y dinamizador del aprendizaje. En esta representacin los actores son tanto los profesores como el alumnado. Adems de estos factores de comunicacin entre profesor-alumno, hay que tener presente que la clase de matemticas es el resultado de muchos factores. Depende, en primer lugar, de las tareas matemticas propuestas por el profesor. Hay clases en las que se proponen ejercicios para resolver, se proponen problemas abiertos, en ocasiones la realizacin de una investigacin, a veces una discusin colectiva, la lectura de algn texto interesante, o bien no se encomienda a los alumnos ninguna labor especfica.

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    Pero la clase est igualmente influenciada por factores que tienen que ver con los alumnos: sus concepciones y actitudes relacionadas con las matemticas, sus conocimientos y experiencia del trabajo matemtico y, de forma general, su forma de entender la escuela. Hay otros factores que se relacionan con el contexto escolar y social: la organizacin y el funcionamiento de la escuela, los recursos existentes, las expectativas de los padres, la comunidad. Finalmente, la forma de dar clase depende tambin, naturalmente, de la concepcin que tiene el profesor del aprendizaje, de su conocimiento y competencia profesional y especialmente del modo en el que introduce las diferentes tareas y apoya a los alumnos en su realizacin.

    La investigacin sobre el aprendizaje demuestra que el alumno aprende como consecuencia de la actividad que desarrolla y de la reflexin que hace sobre ella. No hay que olvidar un tema fundamental y muchas veces olvidado, el llamado clima afectivo en el aula. Hay que sealar que este aspecto es un factor crucial en los procesos de enseanzaaprendizaje, por lo que el profesorado habr de procurar un alto grado de integracin e interaccin entre el alumnado, favoreciendo la participacin, el intercambio de opiniones y la exteriorizacin de respuestas. En este sentido, poseen un gran talante formativo la organizacin de trabajo en grupos que favorezca la labor en equipo, favoreciendo una verdadera comunicacin en el aula. El trabajo en pequeos grupos o de toda la clase es fundamental en la clase de matemticas. Estos agrupamientos pueden servir al profesor para presentar materia nueva, para conducir un debate, o para hacer preguntas a los alumnos, para resolver problemas de manera cooperativa, etc. Adems, el trabajo en pequeos grupos permite a los alumnos exponer sus ideas, comunicarse con sus compaeros, hacerse preguntas, discutir estrategias y soluciones, argumentar y criticar otros argumentos. No olvidar la mejora que produce en los resultados de los alumnos las buenas expectativas que sobre ellos se demuestren. Por ltimo, no hay que olvidar que el trabajo individual es tambin necesario en el proceso de enseanza y aprendizaje de matemticas, ya que el alumno ha de ser capaz de asumir su independencia y su responsabilidad personal.

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    9.- Aspectos a reforzar y aspectos a disminuir en la enseanza de las matemticas

    Despus de los planteamientos anteriores hay una serie de implicaciones que hemos de tener presentes. En el siguiente cuadro se enfrentan, en dos columnas, los aspectos que habra de reforzar y disminuir en lo referente a la enseanza de las matemticas.

    ASPECTOS A REFORZAR / DISMINUIR EN LA ENSEANZA DE LAS MATEMTICAS

    AUMENTAR

    DISMINUIR

    Prcticas de Enseanza en matemticas

    Uso de materiales manipulables Trabajo de grupo cooperativo Discusiones sobre matemticas Cuestionar y realizar conjeturas Justificacin del pensamiento Escribir acerca de las matemticas Solucin de problemas como

    enfoque de enseanza Integracin de contenidos Uso de calculadoras y ordenadores Lecturas sobre matemticas Escuchar la exposicin de ideas

    matemticas Deducir conclusiones lgicas Justificar respuestas y procesos de

    solucin Razonar inductiva y

    deductivamente Conectar las matemticas con otras

    materias y con mundo real Fomentar las ideas matemticas. Aplicar las matemticas Ser un facilitador del aprendizaje Evaluar el aprendizaje como parte

    integral de la enseanza

    Prctica mecnica Memorizacin mecnica de

    reglas y frmulas Respuestas nicas y mtodos

    nicos para encontrar respuestas

    Uso de hojas de ejercicios rutinarios Prcticas escritas repetitivas

    Prctica de la escritura repetitiva

    Ensear diciendo Ensear a calcular fuera de

    contexto Aprender tpicos aislados Desarrollar habilidades

    matemticas fuera de contexto Enfatizar la memorizacin Examinar nicamente para las

    calificaciones Profesor como dispensador del

    conocimiento

    10.- La evaluacin en matemticas 10.1.- Ideas para realizar una buena evaluacin en matemticas

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    La evaluacin en matemticas, debe de sintonizar con una concepcin de la materia que ya ha sido expuesta en los prrafos precedentes. Evaluar el llamado conocimiento matemtico es un tema en el que se viene trabajando a nivel mundial. Por lo general, la mayora de los pases llevan a cabo estas evaluaciones en el mbito nacional mediante pruebas especficas que se aplican en algunos cursos escolares. Muchos pases participan adems, en pruebas internacionales que tienen como propsito obtener indicadores de desempeo comparativos y ms generales, con la realizacin de pruebas como: el Programa Internacional de Evaluacin de Estudiantes (PISA) que evala tres competencias: Lectura, Matemticas y Ciencias; y el Estudio Internacional de Tendencias en Matemticas y Ciencias (TIMSS). La evaluacin se entiende cada vez ms, como parte fundamental de una formacin de calidad, puesto que genera informacin til y permanente para el maestro, el estudiante, la institucin y la comunidad.

    10.2 Por qu se va a evaluar la enseanza de las matemticas?

    Porque la evaluacin es una parte ms del currculo en cualquier rea.

    Porque se quiere obtener informacin sobre la calidad de los aprendizajes de los alumnos para proponer sistemas de mejora en su aprendizaje

    Porque se quiere comunicar a los alumnos, docentes y padres los puntos fuertes y dbiles de los aprendizajes.

    Porque se pretende colaborar con los docentes en el anlisis de los procesos de enseanza y aprendizaje y en las competencias a lograr.

    Porque se quiere obtener resultados de logros de aprendizaje en matemticas para potenciar aciertos y corregir errores.

    Porque se busca orientar la tarea y capacitacin del docente atendiendo a los aprendizajes no logrados.

    Porque una buena evaluacin enriquece el aprendizaje Porque lo que no se evala se devala

    No obstante hay que tener presente un conjunto de ideas esenciales: en el marco de la educacin obligatoria no se debera evaluar para clasificar, para etiquetar, para cuantificar, para separar, para desanimar y no se debera de evaluar sin tener en cuenta las circunstancias sociales, familiares, personales, econmicas. Se ha de evaluar para conocer y mejorar a nustros alumnos pero tambin a nosotros como docentes.

    2. Primeras consecuencias3. Nos sirve la misma educacin matemtica?4. Qu matemticas hay que ensear?5. La resolucin de problemas en la educacin matemtica6. Metodologa en matemticas7. Mejorar la enseanza de las matemticas8. Papel del profesor y de los alumnos en la enseanza de las matemticas9. Aspectos a reforzar y aspectos a disminuir en la enseanza de las matemticas10. La evaluacin en matemticasI MATH1.- Introduccin