una introduccion al uso de femm 4 2014

FSICA 2 (62.03, 62.04 y 82.02) Primer Cuatrimestre 2014 Dr. Guillermo D. Santiago

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Una introduccin al uso de FEMM 4.2 Introduccin La sigla FEM (Finite Element Method o Mtodo de Elementos Finitos en castellano) designa a uno de los muchos mtodos utilizados para la resolucin aproximada de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales (EDP). Estas ecuaciones aparecen en muchas reas: anlisis de tensiones estructurales, diseo de diversas piezas, estudio de mquinas elctricas, la conduccin del calor y una larga serie de aplicaciones imposible de mencionar en detalle. Habitualmente, en los cursos de Anlisis III se estudian algunos de los mtodos analticos que se pueden utilizar para resolver EDP, siendo el de Fourier, en mi opinin, el ms verstil y bello. An con la potencia de estos mtodos analticos, muchos de los problemas de ingeniera son demasiado complejos como para ser resueltos a mano, a menos que se busque una solucin a un problema sobre-simplificado. Para bien y para mal las computadoras han cambiado drsticamente nuestra forma de trabajar. La parte buena reside en mtodos numricos que nos posibilitan atacar problemas cuya complejidad los torna virtualmente imposibles de resolver por mtodos analticos. La parte mala aparece cuando los usamos en forma ciega sin saber qu hacen y cules son las limitaciones. Todo mtodo numrico que resuelva EDP encuentra una solucin aproximada al problema en un conjunto discreto de puntos del espacio. Las dos palabras en cursiva son importantes y reflejan limitaciones esenciales de todo algoritmo de este tipo. Es imposible encontrar la solucin en los infinitos puntos del espacio (ni sera razonable) y ello lleva a que se resuelva un problema (en general matricial) semejante al diferencial. No nos vamos a adentrar en estos temas porque corresponde a cursos superiores de Anlisis Numrico; nos vamos a contentar con aprender a utilizar un programa en particular en algunos ejemplos propios de nuestra materia. Dada la velocidad de evolucin de la tecnologa, es importante ubicarse en el tiempo. Durante muchos aos hemos utilizamos el programa Quick Field, propiedad de la empresa Tera Analysis. La versin empleada era una distribucin libre, destinada a estudiantes y que estaba limitada a calcular en 500 puntos del espacio. Esa versin estaba compilada para el sistema operativo MSDOS, aunque corra bien con versiones antiguas de Windows en nuestras vetustas computadoras. Con el paso del tiempo el uso del programa se fue tornando cada vez ms difcil conforme las versiones de los sistemas operativos iban cambiando. Al presente, Tera Anlisis provee una versin estudiantil actualizada pero limitada a 200 puntos. Esto trae aparejado dos problemas. El primero es que, en principio, la exactitud de la respuesta mejora con el nmero de puntos; entonces la nueva versin sera ms rstica. El segundo problema es, a mi parecer, ms grave. El usuario debe aprender a utilizar sabiamente los 200 puntos que tiene como capital. No es fcil decidir dnde poner esos puntos y requiere de mucho entrenamiento. Por este motivo no hicimos el cambio de versin. Afortunadamente, hemos encontrado otro programa de elementos finitos, llamado FEMM 4.2 que es de licencia libre y no tiene limitacin en el nmero de puntos; el problema puede usar toda la memoria disponible de la computadora. La pgina desde la que se lo puede descargar es: http://www.femm.info/wiki/Download Est compilado para Windows y lo he probado en XP Service Pack 3 y Windows 7. En la actualidad existe una forma para correrlo en LINUX que se puede encontrar en


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http://www.femm.info/wiki/LinuxSupport. No lo hemos probado an. As que los fanticos de LINUX pueden intentarlo y decirnos. An no hemos encontrado una versin para MAC. Es as que agradecemos a estos programadores generosos que nos regalan su trabajo y nos permiten recuperar una herramienta que habamos perdido por la obsolescencia de nuestro material. Vamos a recurrir al mtodo clsico: aprender con los ejemplos.

FEMM 4.2 Este programa resuelve problemas 2D o 3D con simetra de revolucin alrededor de un eje (axisimtrico). Para el caso 2D la pantalla representa los ejes x e y; en el caso 3D axisimtrico el eje vertical es el de simetra (corresponde al eje z) y el horizontal es el eje r . Primer paso: Miramos bastante y tocamos poco. El primer ejemplo es un clsico: el famoso dipolo elctrico. Es un sistema simple de describir por mtodos analticos y hay muchos casos que semejan un dipolo, por ejemplo la molcula de agua. Vamos a estudiar un dipolo aplanado en el plano x-y (dos distribuciones lineales paralelas de carga). Ejecutamos el programa, y siguiendo la secuencia clsica vamos a File->Open y entre las opciones de tipo de archivos seleccionamos .fee. Uno de ellos es dipolo.fee. La imagen luce como la siguiente figura:

Como hay muchos detalles que confunden vamos a representar una variante simplificada y con colores.


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Los dos crculos coloreados representan las cargas. Rojo la positiva y negro la negativa para seguir la costumbre ancestral. La circunferencia azul es el lmite del sistema. Como dijimos antes, es imposible calcular la solucin para todo el espacio, por lo que restringimos el anlisis a la regin interior de la circunferencia azul. Volviendo al dibujo original, vemos que en varias partes aparece la palabra aire. Para el programa hay tres regiones a considerar: el interior de cada uno de los crculos coloreados y la regin interior a la circunferencia azul pero que no pertenece a los crculos rojo y negro. En los tres casos hemos declarado que es el mismo material. La diferencia de comportamiento elctrico entre el aire y el vaco es muy pequea por lo que en principio los consideramos iguales. Ahora vamos a ver qu magnitudes elctricas hemos elegido. Primero notamos que todas las lneas del problema son curvas, para interrogar las propiedades de cada una de ellas marcamos

el botn (quinto de la barra superior de herramientas). Luego marcamos con el botn derecho del Mouse el borde de la circunferencia que representa la carga positiva y vemos que el color cambia a rojo (aparecer un sector de 90). Presionamos la barra de espacio y aparece un cuadro con mucha informacin. Por el momento la que nos interesa es la que dice Boundary cond. En castellano significa condicin de borde y es precisamente que dato elctrico le asignamos. Vemos que dice mas (por positiva, aunque le falte el tilde). Esto es solamente un nombre, an no sabemos el valor. Podemos seguir recorriendo las otras tres partes restantes de esta circunferencia y veremos que todas tienen la condicin de borde igual a la primera. Si pasamos a la carga negativa y hacemos lo mismo vemos que la condicin de frontera es de tipo menos (por negativa). Por ltimo, vamos a la circunferencia azul y vemos que est definida como de tipo front (por frontera). Ahora veremos qu valores tienen asociados estos nombres. Vamos a Properties->Boundary. Al tope del cuadro aparece el nombre Property name. Desplegamos las opciones y vemos que aparece mas, menos y front. Primero seleccionamos mas, presionamos Modify property y aparece un cuadro que dice que el objeto mas tiene asignada una condicin de borde (BC type) dada por una densidad de carga cuyo valor es de 10-9 C/m2 (las unidades no estn explcitas). Pasamos ahora a la propiedad menos y observamos que tambin est definida la densidad de carga, slo que ahora es un valor negativo pero de igual mdulo. Por ltimo, el objeto front tiene asignada una condicin de borde de tipo voltaje fijo (Fixed voltaje). Como la curva azul es el lmite del sistema, lo asimilamos al nefasto infinito y le asignamos un potencial de referencia de cero.


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Despus de haber mirado algunas propiedades del sistema (hay otras de las que no hemos hablado), podemos pasar a generar la malla. En este proceso el programa divide al universo en un conjunto de tringulos adyacentes. Los vrtices de los tringulos son llamados nodos (nodes) y el programa encontrar una solucin aproximada en dichos nodos; para los otros puntos recurrir a un proceso de interpolacin. Para crear la malla presionamos el botn (noveno de la barra superior de herramientas). En un instante el sistema se cubre con muchos tringulos amarillos y el programa informa el nmero de nodos. Simplemente aceptamos. Ya tenemos todo listo as que damos la orden de calcular apretando el botn (dcimo de la barra superior de herramientas). Vemos aparecer informacin del progreso y cuando termina de calcular pasamos a observar los resultados presionando el botn (undcimo de la barra superior de herramientas). Aparece una nueva ventana cuya imagen luce as.

Tenemos un mapa de colores del infame potencial (tomando como referencia de cero la circunferencia exterior). Vemos que en las vecindades de la carga positiva tenemos resultados positivos y cerca de la carga negativa justo lo opuesto. Cerca de la circunferencia externa leemos valores prximos a cero, que es lo que esperamos. Para tener ms informacin vamos a sumarle una grfica del campo elctrico. Presionamos el

botn (ltimo de la barra de herramientas). En el cuadro que aparece abrimos el men desplegable y elegimos Electric Field Intensity (E). Tenemos esta grfica:


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Intuimos las lneas de campo pero el problema es que los puntos estn muy separados. Para solucionarlo presionamos el botn (ltimo de la barra vertical de herramientas). El cuadro nos propone un espaciado de la grilla igual a 1 pero lo reducimos a 0.25 para tener ms densidad de datos. La nueva imagen queda as

Ahora tenemos ms vectores de campo elctrico por lo que podemos imaginar las lneas de campo que nacen en la carga positiva y terminan en la negativa. Hasta aqu observamos un mapa de colores y uno vectorial cualitativo. Para obtener valores ms precisos podemos recurrir a un grfico que releve valores a lo largo de una curva. Para hacer esto hemos puesto, previamente, cuatros puntos a partir de los cuales generaremos lneas a lo largo de las que graficaremos alguna magnitud que nos interese. Los cuatro puntos fuero elegidos para obtener cortes horizontales y verticales. Estos puntos aparecen en el dibujo como los vrtices de un cuadrado imaginario que no est dibujado. Para habilitar esta capacidad de mostrar corte debemos ir al men Operation y habilitar la opcin Contours. Vemos que se habilita la herramienta (cuarta de la barra superior de herramientas). Primero hacemos un corte vertical. Marcamos con el Mouse el punto superior (pasa a rojo) y luego el inferior. Aparece una lnea roja vertical como se muestra. La direccin de circulacin queda definida desde el punto superior hacia el inferior.


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Ahora vamos al cono (sexto de la barra superior). El cuadro que aparece nos propone, en principio, representar el potencial (voltage). Aceptamos y obtenemos el siguiente grfico.

El resultado es previsible. Valores positivos cerca de la carga positiva y negativos en las vecindades de la negativa. Notamos que a mitad de camino (justo entre ambas cargas), el valor es cero como era previsible. Ahora pasamos a visualizar el campo elctrico. Repetimos la operacin pero ahora elegimos |E| (magnitude of field intensity). El resultado es:

El campo elctrico es intenso en el borde de las cargas. Muy pequeo dentro de ellas (Por qu?) y disminuye conforme nos alejamos hacia la frontera. Esta grfica nos informa del mdulo del campo pero no dice nada de la direccin. Abrimos otra grfica pero esta vez optamos por E.t (tangencial field intensity). Esto es la componente de campo elctrico paralela a la lnea roja. Por el dibujo 2D intuimos que es la componente ms intensa. Obtenemos este dibujo.


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Aqu es importante discutir los signos. Entre 0 y 1.5 cm encontramos valores negativos. Esto se debe a que en esa regin el campo elctrico apunta hacia arriba, mientras que la direccin positiva de circulacin es desde arriba hacia abajo. Por este motivo leemos valores negativos. Entra las dos cargas el campo apunta desde arriba hacia abajo, coincidente con la direccin de circulacin, y por eso tenemos valores positivos.. Pasemos ahora a hacer un corte horizontal. Vinculamos ahora los puntos horizontales Primero borramos la lnea roja vertical presionando ESC. Ahora que el dibujo est libre trazamos una lnea entre los puntos horizontales con principio en el punto de la izquierda y finalizacin en el de la derecha (esto define la direccin de circulacin)..


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Volvemos al men de seleccin de grfico y elegimos E.n (normal field intensity) porque el campo elctrico es esencialmente perpendicular a la lnea

Los valores negativos indican que el campo elctrico apunta hacia abajo. Segundo paso: cambiar algunos datos del problema para incorporar otras habilidades. Aumentaremos el valor de la carga positiva en una cantidad arbitraria, por ejemplo la llevaremos al triple del original. Por supuesto que esta estructura ya no es un dipolo pero mantendremos el nombre. Volvemos a la primera solapa, aquella donde est definido el problema y volvemos al men Properties-> Boundary. En el men vamos a la propiedad mas y cambiamos su valor a 3x10-9 C/m2

Ahora recalculamos con

. Aceptamos hasta cerrar el cuadro.

y visualizamos con . Obtenemos esto:

Como esperamos, los valores de potencial son ahora superiores en la cercana de la carga positiva y el dibujo ha quedado asimtrico. Volvemos con las mismas grficas para ver las diferencias. Primero con la lnea vertical:


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Se nota la asimetra. Los valores de potencial son superiores cerca de la carga positiva.

Lgicamente el campo es ms intenso por el mismo motivo. No seguimos repitiendo dibujos porque sera aburrido. Creemos que la idea ha quedado expuesta. Tercer paso: Crear un nuevo problema (capacitor de placas plano paralelas) Vamos a crear ahora un problema desde cero. Tomamos un problema 2 D clsico: un capacitor de placas planas de ancho L, separacin d, espesor de las placas e y profundidad indefinida (de hecho no termina nunca). Esta dimensin indefinida es perpendicular a la pantalla. Algunos resultados que obtengamos: carga en los conductores, capacitancia, etc; sern valores por unidad de longitud. Otros, como los campos, no dependen del largo. Elegimos, arbitrariamente, L = 10 cm, e=0.5 cm y d= 1cm. Comenzamos abriendo el programa. Hacemos la secuencia clsica: File->New. Aparece un cuadro de dilogo que propone, por defecto, resolver un problema magntico. Abrimos el men desplegable y elegimos problema electrosttico.


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Abrimos el men Problem. En la definicin dejamos planar (2D) y en unidades elegimos centmetros (la primera opcin es en pulgadas). Las otras opciones no las tocamos. En el men grid marcamos snap to grid y en set grid elegimos un espaciado de 0.25. Habiendo definido estos parmetros pasamos al dibujo. Notamos que el cuarto cono de la barra

superior de herramientas est marcado y semeja un cuadrado pequeo . Esta es la herramienta para marcar vrtices entre los cuales dibujaremos lneas. Vamos a la placa superior; expandimos al mximo la pantalla y con el mouse marcamos 4 puntos en: (1,3), (11,3), (11,3.5) y (1,3.5) (mirar las coordenadas en el borde inferior izquierdo). Ya tenemos lo cuatro puntos que delimitan la placa superior. Con la inferior procedemos igual y marcamos: (1,2), (11,2), (11,1.5) y (1,1.5). Ahora que tenemos los vrtices pasamos a la herramienta lnea (la cuarta de la barra) . Vamos marcando las lneas (hay que marcar cada punto de arranque, no arrastra desde el punto anterior). Deberamos tener una vista as:

En principio tenemos dibujado el sistema. Pero falta algo importante: si bien la pantalla muestra una regin, es slo una cuestin del nivel de zoom elegido. Todava no hemos definido una frontera del problema, y esto es importante porque la computadora no puede calcular hasta el infinito. Vamos a poner un contorno circular que englobe a las placas. Para que se parezca ms a un problema real, queremos que el radio de este crculo sea grande en comparacin al tamao de las placas. Ac aparece un conflicto clsico. Una circunferencia grande nos acerca a lo ideal pero consume mucha memoria. Tomemos, arbitrariamente un dimetro tres veces ms grande que el ancho de las placas. Obviamente pondremos el centro de la circunferencia en la mitad del espacio entre placas. Para dibujarla volvemos a la herramienta vrtice y marcamos 4 puntos, pero como las placas ocupan toda la pantalla tenemos que quitar zoom. Vamos al men View y marcamos Zoom Out 3 veces. Ahora podemos marcar en: (21,2.5), (6, 17.5), (-9,2.5) y (6,-12.5). Vamos ahora a la herramienta Arco (la quinta de la barra) , marcamos cualquier punto de la futura circunferencia y el que le sigue en sentido antihorario. Se abre un cuadro de dilogo donde nos propone un ngulo de 90 grados (lo dejamos) y pasos de 5 grados (hace un facetado del arco en pasos de 5 grados). Continuamos completando la circunferencia. Luego, con la misma idea del primer ejemplo, vamos a agregar cuatro puntos para poder visualizar cortes. Los ubicamos a


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mitad de camino entre las dos placas (en la direccin horizontal) y como mediatriz de la cara de la placa (en la direccin vertical). Tenemos algo as:

Es importante destacar que el programa va a calcular dentro de la circunferencia. Ese es todo el universo. Podramos haber elegido una frontera ms lejana, pero habramos pagado un precio en requerimientos y tiempo de computadora. Ahora hay que definir qu materiales vamos a usar. Vamos a hacer todo en aire. En el men Properties-> Materials aparece cuadro de dilogo. Elegimos Add Property y el nombre que le damos es aire. Dejamos todos los valores propuestos. Ahora vamos a decir qu lugares son de aire. Vamos a la herramienta Block y marcamos cualquier punto dentro de la circunferencia. Aparece un punto con la leyenda , presionamos sobre dicho punto el botn derecho del Mouse para seleccionarlo y luego la barra de espacio. Se abre un cuadro que nos permite elegir la propiedad aire. Este es el momento de decidir qu distancia queremos entre puntos. Limpiamos el casillero que dice Let triangle chose Mesh Size y en Mesh Size completamos 0.1 (los puntos distan 0.1 cm). Repetimos el procedimiento para puntos interiores a las placas. Es cierto que deberamos definir propiedades de un metal, pero este es un problema introductorio y es mejor dejarlo fcil. La pantalla queda as:


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Ya tenemos la forma y los materiales, pero no hemos dado datos elctricos an. Elegimos que todos los puntos de la placa superior se encuentren a 1 V, todos los de la inferior a -1 V y la frontera a o V. Para hacer esto tenemos que definir tres conductores. Vamos a Properties-> Conductors y agregamos tres conductores. Al primero lo llamamos Sup (superior) y le asignamos un voltaje de 1 V, el segundo se llama Inf (inferior) y le asignamos un voltaje de -1 V y el ltimo se llama Front (frontera) (la circunferencia) y le ponemos 0 V. Ahora salvamos el archivo con el nombre que nos plazca siguiendo la ruta usual. Ahora generamos la grilla. Esta es una distribucin de tringulos que cubre la regin a estudiar. Para hacerlo buscamos el botn (noveno de la barra). Vamos a ver que la regin se cubre con una gran cantidad de tringulos amarillos, tantos que parece que estuviera pintada. Es probable que un reporte diga que se generaron varias decenas de miles de tringulos.

Ahora activamos la rutina que encuentra los resultados. Presionamos y esperamos. Una ventana nos informa del progreso y luego todo parece morirse. A no desesperar; vamos al men Analyze -> View Results. Si todo fue bien tendremos esto:


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El mapa de colores nos devuelve el potencial de cada punto con respecto a una referencia de 0 V (la frontera). Para ver las lneas de campo elctrico vamos a View-> Vector Plot y optamos por Electric Field. Hacemos zoom in algunas veces para ver en detalle y observamos:

El campo elctrico es esencialmente perpendicular a las placas salvo en los bordes. Pasemos ahora a la vista con cortes. Primero a lo largo de la lnea vertical.

Los puntos pertenecientes a la placa positiva tienen un potencial de +1 V y los de la negativa de -1V. Ntese que dentro de cada placa el potencial es constante, lo que significa que el campo elctrico es nulo en esta direccin. Por el contrario, entre las dos placas, el potencial vara rpidamente. Esto est asociado a un campo elctrico intenso.


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Ahora pasamos a representar a lo largo de la lnea horizontal:

Observamos que el campo es intenso en la regin entre las placas y fuera baja rpidamente. Vamos a cerrar con un una pregunta importante: Cunta carga hay en los conductores para los

valores de potencial elegidos? Presionamos el cono y el cuadro que se abre nos dice que la placa sup tiene una carga de 2.15x10-12

Veamos cun lejos hemos quedado del valor terico simple.

C. Este resultado es sospechoso puesto que hemos dicho que las placas tienen una dimensin infinita en la direccin perpendicular al plano de la pantalla,: entonces deberamos obtener un resultado infinito. Cmo se entiende este resultado? La convencin es simple: el programa calcula para una unidad de longitud perpendicular a la pantalla. Como hemos elegido al cm como la unidad tenemos una profundidad (para el clculo) de 1 cm.

Un capacitor idealizado de estas dimensiones tiene una capacidad: C=0 S/d= 8.85x10-12 F/m *(0.1 m x 0.01 m)/ 0.01 m= 8.85x10-13Como la diferencia de potencial entre placas es de 2 V (+1- -1), la carga almacenada en cada placa tiene una carga de: Q=C V= 1.77x 10

F= 0.885 pF.

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El valor de carga reportado es un 21% superior. El resultado puede parecer muy distante del terico, pero no es para asustarse. Hay que notar que el modelo idealizado no considera efectos de borde ni la carga almacenada en las caras laterales de las placas. Si hubiramos dibujado placas ms cercanas y de menor espesor habramos obtenido un resultado ms prximo al idealizado. (Podran rehacer el dibujo siguiendo estas premisas y ver el resultado).

C= 1.77 pC.


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Cuarto paso: Crear un problema con simetra de revolucin Vamos a terminar con un ejemplo de simetra de revolucin. Un sistema de este tipo permite reducir un problema 3D a uno 2D. Como mencionamos antes, en este caso el eje vertical pasa a ser el z y el horizontal es r. Vamos a resolver el ejemplo de la gota de aceite cargada volumtricamente (por qu este ejemplo puede ser considerado relevante?). Este es un problema semejante al que figura como ejercicio obligatorio. El enunciado dice as: Una gota de aceite (r=2) se encuentra cargada uniformemente en volumen con densidad de carga libre l

Manos a la obra. La parte imaginativa es considerar una versin aplanada del problema pero que conserve el carcter 3D.

. Determinar los campos en todo punto del espacio as como las densidades volumtrica y superficial de carga de polarizacin.

Abrimos un nuevo problema. Volvemos a elegir electrosttico pero ahora, en lugar de plano tomamos axisimtrico. Primero dibujamos tres puntos en las posiciones (0,-1), (1,0) y (0,1). Estos tres puntos nos servirn para dibujar media circunferencia de radio 1 (la esfera completa aparece por revolucin de esta media circunferencia alrededor del eje z). Ahora pasamos a definir la frontera con los puntos (0,-5), (5,0) y (0,5). Con la herramienta arco dibujamos la esfera cargada y la frontera. Con la herramienta segmento unimos los puntos libres sobre el eje z. Nuevamente, para ver cortes agregamos un punto en (0,0). Deberamos tener un dibujo as:

Ahora vamos a Properties->Materials y generamos dos materiales; uno llamado aire, con las opciones por defecto y el otro llamado plast. Este es ms complejo. Le asignamos una permitividad relativa igual a 2 y una densidad volumtrica de carga libre igual a 10-12 C/m3

Ya podemos generar la malla y resolver. Deberamos obtener lo siguiente:

. Al interior de la esfera pequea lo designamos como tipo plast y el resto como aire. La esfera exterior la nombramos front y le asignamos una condicin de borde de 0 V.


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El resultado no es sorprendente. Comenzamos a con 0 V en la frontera y luego vamos obteniendo valores crecientes conforme caminamos hacia el centro de la esfera pequea. Es ms interesante si miramos un mapa de colores del desplazamiento. En el men View-> Density Plot optamos por Flux Density (|D|). Ahora tenemos el siguiente mapa de colores:

El mdulo del vector desplazamiento es nulo en el centro (como se obtiene en la resolucin analtica). Conforme nos movemos Radialmente el mdulo del desplazamiento aumenta hasta alcanzar el valor mximo en el borde de la esfera pequea. Si nos seguimos moviendo Radialmente el mdulo del desplazamiento decrece porque nos alejamos de la distribucin de carga. Para tener una mejor visualizacin repetimos la generacin de una lnea a lo largo de la cual representaremos distintas variables. Unimos el punto (0,0) con el (5,0) y mostramos la componente tangencial del desplazamiento a lo largo de esta lnea. Tenemos esta grfica.


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Dentro de la esfera pequea el mdulo del desplazamiento crece desde cero hasta un mximo en el borde. El desarrollo analtico predice una dependencia lineal con la distancia al centro y notamos que la curva es casi una recta. Sin embargo se observa que no parte de cero como predice la resolucin analtica. Esto se debe a que el programa encuentra una solucin aproximada. Ms all de esta discrepancia observamos que fuera de la esfera pequea el mdulo del desplazamiento decrece como la inversa del cuadrado de la distancia. Ahora pasamos a representar el campo elctrico:

Dentro de la esfera pequea el comportamiento es semejante al del desplazamiento puesto que ambos vectores estn conectados con una constante positiva. Sin embargo, en el borde ocurre un fenmeno curioso. Notamos un cambio abrupto al llegar al borde (de hecho el anlisis terico predice una discontinuidad). Este cambio abrupto se debe al cambio de tipo de material. El mdulo del desplazamiento es continuo al atravesar el borde pero el campo elctrico es discontinuo. Quinto paso: Bien, es tiempo de ir cerrando. Adems de esta ayuda hay otras incluidas en el paquete del programa, aunque estn escritas en ingls. A partir de aqu es mejor practicar. Hay que probar como con un juego nuevo hasta que uno le toma la mano, aunque debo reconocer que es mucho ms divertido jugar que usar este programa.

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