Tema 1: Economía de Mercados

November 17, 2015

1. Firmas, Bene�cios e Ingresos del Hogar

La economía se caracteriza por los hogares y las �rmas que hay en él. LosHogares se caracterizan por sus recursos, sus preferencias y sus acciones. LasFirmas se caracterizan por su Tecnología.

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1.1. Acciones en una Firma

Los hogares dominan a las �rmas, es decir que cada �rma es propiedad de unoo varios hogares. producto de las ventas, las �rmas obtienen un bene�cio quees repartido entre los propietarios, no necesariamente de forma equitativa.

Denominaremos "acción" a la fracción de la �rma que le corresponde a cadadueño (accionista). Ejemplo:

1

• Tomemos una �rma j que es propiedad de 4 hogares de H. El hogar 1 poseeα1j = 1/6 de la �rma, el hogar 2 posee α2j = 1/6 de la �rma, el hogar5 posee α5j = 2/6 de la �rma, el hogar H posee αHj = 2/6 de la �rma ;donde αij representa la acción del hogar i sobre la �rma j. Notemos que:

α1j + α2j + α5j + αHj = 1

De�nición 1. La acción del hogar i sobre la �rma j se escribirá como αij ∈ R+,αij ≤ 1. Asumiremos que∑

i∈Hαij = 1, para cada j ∈ F

Nota: Si un Hogar i no posee parte de la �rma j entonces su acción será nula(αij = 0)

1.2. Bene�cio de una Firma

Todo Bene�cio de una �rma es el resultado de la diferencia obtenida de la ventade la producción sobre el costo de los insumos y servicios requeridos. Lo queproduce cada �rma depende del precio de los bienes. Por ejemplo: Supongamosque el sistema de precios para tres artículos es p = (1, 3, 2) y supongamos quela producción que maximiza las ganancias de la �rma es y = (−2, 4,−1), luegoel bene�cio de la �rma es "p · y = 8".

De�nición 2. El Bene�cio de la �rma j sobre el sistema de precios p es

π̃j(p) = máx {p · y, y ∈ Y j} = p · S̃j(p)

Teorema 1. Aumir P.II, P.III, and P.VI. π̃j(p) es una función continua bien

de�nida de p para todo p ∈ RN

+ , p 6= 0

Prueba. Y j es compacto y considerando p ∈ P que es compacto, entonces por lacontinuidad del producto interno, se tienen que para cada p ∈ P existe un únicomáx {p · y, y ∈ Y j}. Luego, π̃j(p) está bien de�nido. Sea (pk) ⊂ P tal que (pk)converge a p, entonces (π̃j(pk)) converge a π̃

j(p). Luego π̃j(p) es continua parap ∈ P . Además dado que 0 ∈ Y j entonces π̃j(p) ≥ 0; y π̃j(p) es homogénea degrado 1, ya que dado λ > 0, π̃j(λp) = máx {(λp)·y, y ∈ Y j} = máx {λ(p·y), y ∈Y j} = λ máx {p · y, y ∈ Y j} = λπ̃j(p)

1.3. Ingreso del Hogar

Un hogar obtiene ingresos de la venta de sus recursos o servicios, y del bene�ciode sus acciones.

De�nición 3. El Ingreso del hogar i sobre el sistema de precios p es

M̃ i(p) = p · r +∑j∈F

αij π̃j(p)

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Con las mismas condiciones del teorema 1 se cumple que M̃ i(p) está bien

de�nida y M̃ i(p) ≥ 0 para todo p ∈ RN+ , p 6= 0, M̃ i(p) es continua, acotada y

homogénea de grado 1.

Recordando un lema: Sea M̃ i(p) homogénea de grado 1. Sean B̃i(p) y

D̃i(p) 6= φ. Entonces B̃i(p) y D̃i(p) son homogéneas de grado cero. Usando

este lema y la de�nición de M̃ i(p), tenemos que B̃i(p) y D̃i(p) son homogéneasde grado cero en p. Luego podemos, sin pérdida de generalidad, restringir elespacio de precios al Simplejo en RN , denotado por P

P = {p ∈ RN

+}

2. Demanda Excedente y la Ley de Walras

2.1. Demanda Excedente

La función demanda excedente para el sistema de precios p ∈ P es

Z̃(p) = D̃(p)− S̃(p)− r =∑i∈H

D̃i(p)−∑j∈F

S̃j(p)−∑i∈H

ri

Lema. Asumir C.I-C.V, C.II, C.VIII, P.I-P.III, P.V, y P.VI. El rango de Z̃(p)

es acotado. Z̃(p) es continua y bien de�nida para todo p ∈ P .

Prueba. Aplicar el teorema 5.1 y 6.2. La suma �nita de conjuntos acotados esacotado. la suma �nita de funciones continuas es continua.

2.2. La Ley Débil de Walras

En capítulos anteriores vimos que la ley de Walras es util para provar la existen-cia del equilibrio general. Desafortunadamente, la clásica ley de Walras no esestrictamente cierta en este modelo. Esto se debe a la restricción en la demandadel hogar estudiada en un capitulo anterior.

Teorema 2. Asumir C.I-C.V, C.II, C.VIII, P.I-P.III, P.V, y P.VI. Para todop ∈ P , p · Z̃(p) ≤ 0. para p talque p · Z̃(p) < 0, existe k = 1, 2, ..., N donde

Z̃(p) > 0.

Prueba. Recordar dos propeidades de la economía de mercados. Para todohogar i, tenemos la restricción del presupuesto sobre la demanda, p · D̃i(p) ≤M̃ i(p) = p·r+

∑j∈F α

ij π̃j(p). para cada �rma j, tenemos que ésta es propiedad

completamente de los hogares "i",∑

i∈H αij = 1 para cada j ∈ F .

La prueba empieza con una serie de identidades:

3

p · Z̃(p) = p ·

∑i∈H

D̃i(p)−∑j∈F

S̃j(p)−∑i∈H

ri

=

∑i∈H

p · D̃i(p)−∑j∈F

p · S̃j(p)−∑i∈H

p · ri

=∑i∈H

p · D̃i(p)−∑j∈F

π̃j(p)−∑i∈H

p · ri

=∑i∈H

p · D̃i(p)−∑j∈F

∑j∈F

αij π̃j(p)

−∑i∈H

p · ri

=∑i∈H

p · D̃i(p)−∑j∈F

∑j∈F

αij π̃j(p)

−∑i∈H

p · ri

=∑i∈H

p · D̃i(p)−∑i∈H

M̃ i(p)

Luego p · Z̃(p) ≤ 0.

Por otro lado:

Sea p ∈ P talque p · Z̃(p) < 0

→∑i∈H

p · D̃i(p) <∑i∈H

M̃ i(p)

→ p · D̃i′(p) < M̃ i′(p), para algún i′ ∈ H, ya que caso contrario ∀i ∈ H:

p · D̃i(p) ≥ M̃ i(p)→→∑i∈H

p · D̃i(p) ≥∑i∈H

M̃ i(p) produciéndose una contradic-

ción.

→ |D̃i′(p)| = 0, por el lema 12.3

→ Z̃k(p) > 0, como para algún k ∈ {1, ..., N}.

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3. Existencia del Equilibrio

De�nición 4. p∗ ∈ P se dirá que es un sistema de precios de equilibrio (o un

equilibrio solamente), si Z̃(p∗) ≤ 0 (la desigualdad es de coordenada a coorde-

nada) con p∗k = 0 para k tal que Z̃k(p∗) < 0

Teorema 3. Asumir P.II, P.III, P.V, P.VI, C.I-C.V, C.VII, y C.VIII. Existep∗ ∈ P tal que p∗ es un equilibrio.

Prueba. Tomaremos p∗ ∈ P tal que T (p∗) = p∗. Probaremos que Z̃k(p∗) < 0 si

y solo si p∗k = 0.

Así:

p∗k =máx [0, p∗k + Z̃k(p

∗)]N∑

n=1

máx [0, p∗n + Z̃n(p∗)]

Sean I = {k ∈ NN , p∗k = 0} y II = {k ∈ NN , p

∗k > 0}. Vemos que I ∪ II =

NN .Caso 1: k ∈ I

→ p∗k = 0

→ p∗k + Z̃k(p∗) ≤ 0

→ Z̃k(p∗) ≤ 0, ∀k ∈ I

Caso 2: k ∈ II

Sea DEN =

N∑n=1

máx [0, p∗n + Z̃n(p∗)]

→ DEN =∑n∈I

máx [0, p∗n + Z̃n(p∗)] +

∑n∈II

máx [0, p∗n + Z̃n(p∗)]

→ DEN =∑n∈I

p∗n +∑n∈II

[p∗n + Z̃n(p∗)]

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→ DEN =

N∑n=1

p∗n +∑n∈II

[Z̃n(p∗)]

→ DEN ≥ 1

Ahora:

p∗k =p∗k + Z̃k(p

∗)

DEN

→ ( DEN− 1)p∗k = Z̃k(p∗)

→ ( DEN− 1)p∗k · Z̃k(p∗) = (Z̃k(p

∗))2

→ ( DEN− 1)∑k∈I

p∗k · Z̃k(p∗) =

∑k∈II

(Z̃k(p∗))2

→ ( DEN− 1)(∑k∈I

p∗k · Z̃k(p∗) +

∑k∈II

p∗k · Z̃k(p∗)) =

∑k∈II

(Z̃k(p∗))2

→ ( DEN− 1)(

N∑k=1

p∗k · Z̃k(p∗)) =

∑k∈II

(Z̃k(p∗))2

→ ( DEN− 1)(p∗ · Z̃(p∗)) =∑k∈II

(Z̃k(p∗))2

→∑k∈II

(Z̃k(p∗))2 ≤ 0

→ Z̃k(p∗) = 0, ∀k ∈ II

Luego:

Z̃k(p∗) ≤ 0 , ∀k ∈ NN

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Lema. Asumir P.II, P.III, P.V, P.VI, C.I-C.V, C.VII, Y C.VIII. Sea p∗ unequilibrio. Entonces |D̃i(p∗)| < c, donde c es la cota en la longitud Eu-

clideana de la demanda, D̃i(p). Además, en el equilibrio, la ley de Walras

se cumple como una igualdad: p∗ · Z̃(p∗) = 0.

Prueba. Como p∗ es un equilibrio, entonces Z̃(p∗) ≤ 0

→∑i∈H

D̃i(p∗) ≤∑j∈F

S̃j(p∗) +∑i∈H

ri

→∑i∈H

D̃i(p∗) es accesible

→ |D̃i(p∗)| < c, ∀i ∈ H

Por otro lado, por la ley débil de Walras:

p∗ · Z̃(p∗) ≤ 0

pero Z̃(p∗) ≤ 0, ya que p∗ es un equilibrio, con p∗k = 0 para k tal que

Z̃k(p∗) < 0. Por lo tanto p∗ · Z̃(p∗) = 0.

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