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Una descripción de lageometría fractal
Gilberto Arenas Dıaz Sonia M. Sabogal [email protected] [email protected]
Profesores Universidad Industrial de Santander
XXII Coloquio Distrital de Matem aticas y Estadıstica
Universidad Nacional de Colombiadiciembre 4 al 7 de 2006
Bogota, D.C.
Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 1/10
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Espacios métricos
Un espacio métrico es un conjunto M , no vacío, deobjetos (que llamaremos puntos ) dotado de una función
d : M × M −→ R
(x, y) 7−→ d (x, y)
(llamada métrica o distancia en el espacio) que satisfacelos dos siguientes axiomas:
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Espacios métricos
Un espacio métrico es un conjunto M , no vacío, deobjetos (que llamaremos puntos ) dotado de una función
d : M × M −→ R
(x, y) 7−→ d (x, y)
(llamada métrica o distancia en el espacio) que satisfacelos dos siguientes axiomas:
M1: ∀x, y ∈ M : d (x, y) = 0 ⇐⇒ x = y.
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Espacios métricos
Un espacio métrico es un conjunto M , no vacío, deobjetos (que llamaremos puntos ) dotado de una función
d : M × M −→ R
(x, y) 7−→ d (x, y)
(llamada métrica o distancia en el espacio) que satisfacelos dos siguientes axiomas:
M1: ∀x, y ∈ M : d (x, y) = 0 ⇐⇒ x = y.
M2: ∀x, y, z ∈ M : d (x, y) ≤ d (x, z) + d (y, z) .
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Espacios métricos
Un espacio métrico es un conjunto M , no vacío, deobjetos (que llamaremos puntos ) dotado de una función
d : M × M −→ R
(x, y) 7−→ d (x, y)
(llamada métrica o distancia en el espacio) que satisfacelos dos siguientes axiomas:
M1: ∀x, y ∈ M : d (x, y) = 0 ⇐⇒ x = y.
M2: ∀x, y, z ∈ M : d (x, y) ≤ d (x, z) + d (y, z) .
Fácilmente se verifica que, no importa cuáles sean lospuntos x, y, z ∈ M , se cumple d (x, y) ≥ 0,d (x, y) = d (y, x) y d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y).
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Espacios métricos
Un espacio métrico es un conjunto M , no vacío, deobjetos (que llamaremos puntos ) dotado de una función
d : M × M −→ R
(x, y) 7−→ d (x, y)
(llamada métrica o distancia en el espacio) que satisfacelos dos siguientes axiomas:
M1: ∀x, y ∈ M : d (x, y) = 0 ⇐⇒ x = y.
M2: ∀x, y, z ∈ M : d (x, y) ≤ d (x, z) + d (y, z) .
Fácilmente se verifica que, no importa cuáles sean lospuntos x, y, z ∈ M , se cumple d (x, y) ≥ 0,d (x, y) = d (y, x) y d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y).
x
z
y
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Completez
(X, d) espacio métrico, Sn sucesión en X, L ⊆ X.
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Completez
(X, d) espacio métrico, Sn sucesión en X, L ⊆ X.
X L X L
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Completez
(X, d) espacio métrico, Sn sucesión en X, L ⊆ X.
X L◦ X L◦
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Completez
(X, d) espacio métrico, Sn sucesión en X, L ⊆ X.
X L◦
◦
X L◦
◦
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Completez
(X, d) espacio métrico, Sn sucesión en X, L ⊆ X.
X L◦
◦◦
X L◦
◦◦
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Completez
(X, d) espacio métrico, Sn sucesión en X, L ⊆ X.
X L◦
◦◦ ◦
X L◦
◦◦ ◦
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Completez
(X, d) espacio métrico, Sn sucesión en X, L ⊆ X.
X L◦
◦◦ ◦ ◦
X L◦
◦◦ ◦◦
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Completez
(X, d) espacio métrico, Sn sucesión en X, L ⊆ X.
X L◦
◦◦ ◦ ◦
◦◦
X L◦
◦◦ ◦◦◦•
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Completez
(X, d) espacio métrico, Sn sucesión en X, L ⊆ X.
Sn es de Cauchy
X L◦
◦◦ ◦ ◦
◦◦
X L◦
◦◦ ◦◦◦•
Sn es de Cauchy
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Completez
(X, d) espacio métrico, Sn sucesión en X, L ⊆ X.
Sn es convergente Sn es de Cauchy
X L◦
◦◦ ◦ ◦
◦◦
X L◦
◦◦ ◦◦◦•
Sn es de Cauchy Sn converge en L
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Completez
(X, d) espacio métrico, Sn sucesión en X, L ⊆ X.
Sn es convergente =⇒ Sn es de Cauchy
X L◦
◦◦ ◦ ◦
◦◦
X L◦
◦◦ ◦◦◦•
Sn es de Cauchy 6=⇒ Sn converge en L
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Completez
(X, d) espacio métrico, Sn sucesión en X, L ⊆ X.
Sn es convergente =⇒ Sn es de Cauchy
X L◦
◦◦ ◦ ◦
◦◦
X L◦
◦◦ ◦◦◦•
Sn es de Cauchy 6=⇒ Sn converge en L
1, 1.4, 1.41, 1.412,. . . es de Cauchy pero no converge en Q.
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Completez
(X, d) espacio métrico, Sn sucesión en X, L ⊆ X.
Sn es convergente =⇒ Sn es de Cauchy
X L◦
◦◦ ◦ ◦
◦◦
X L◦
◦◦ ◦◦◦•
Sn es de Cauchy 6=⇒ Sn converge en L
1, 1.4, 1.41, 1.412,. . . es de Cauchy pero no converge en Q.
1/n es de Cauchy pero no converge en (0, 1).
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Completez
(X, d) espacio métrico, Sn sucesión en X, L ⊆ X.
Sn es convergente =⇒ Sn es de Cauchy
X L◦
◦◦ ◦ ◦
◦◦
X L◦
◦◦ ◦◦◦•
Sn es de Cauchy 6=⇒ Sn converge en L
1, 1.4, 1.41, 1.412,. . . es de Cauchy pero no converge en Q.
1/n es de Cauchy pero no converge en (0, 1).
(X, d) es un espacio métrico completo si todasucesión de Cauchy es convergente
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Contracciones
Una función f : X −→ X se dice que esuna contracción si existe r ∈ [0, 1) tal qued(f(x), f(y)) ≤ r d(x, y) para todo x, y ∈ X.
•x
•y
f
•f(x)
•f(y)
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Teorema del punto fijo
Sea f una contracción de X
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Teorema del punto fijo
Sea f una contracción de X
•x
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Teorema del punto fijo
Sea f una contracción de X
•x
•f(x)
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Teorema del punto fijo
Sea f una contracción de X
•x
•f(x) •
f(f(x))
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Teorema del punto fijo
Sea f una contracción de X
•x
•f(x) •
f(f(x))
•f◦3(x)
Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 5/10
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Teorema del punto fijo
Sea f una contracción de X
•x
•f(x) •
f(f(x))
•f◦3(x)
••••p
Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 5/10
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Teorema del punto fijo
Sea f una contracción de X Para cualquier x ∈ X, la sucesión
Fn ={x, f(x), f(f(x)), . . . , f◦n(x), . . .}
es de Cauchy.•x
•f(x) •
f(f(x))
•f◦3(x)
••••p
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Teorema del punto fijo
Sea f una contracción de X Para cualquier x ∈ X, la sucesión
Fn ={x, f(x), f(f(x)), . . . , f◦n(x), . . .}
es de Cauchy.
Si X es completo la sucesión Fn
converge a p.
•x
•f(x) •
f(f(x))
•f◦3(x)
••••p
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Teorema del punto fijo
Sea f una contracción de X Para cualquier x ∈ X, la sucesión
Fn ={x, f(x), f(f(x)), . . . , f◦n(x), . . .}
es de Cauchy.
Si X es completo la sucesión Fn
converge a p.
f(p) = f(lım f◦n(n)) = lım f(f◦n(n)) = p
•x
•f(x) •
f(f(x))
•f◦3(x)
••••p
Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 5/10
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Teorema del punto fijo
Sea f una contracción de X Para cualquier x ∈ X, la sucesión
Fn ={x, f(x), f(f(x)), . . . , f◦n(x), . . .}
es de Cauchy.
Si X es completo la sucesión Fn
converge a p.
f(p) = f(lım f◦n(n)) = lım f(f◦n(n)) = p
p es un punto fijo de f , e.i., f(p) = p.
•x
•f(x) •
f(f(x))
•f◦3(x)
••••p
Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 5/10
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Teorema del punto fijo
Sea f una contracción de X Para cualquier x ∈ X, la sucesión
Fn ={x, f(x), f(f(x)), . . . , f◦n(x), . . .}
es de Cauchy.
Si X es completo la sucesión Fn
converge a p.
f(p) = f(lım f◦n(n)) = lım f(f◦n(n)) = p
p es un punto fijo de f , e.i., f(p) = p.
•x
•f(x) •
f(f(x))
•f◦3(x)
••••p
••
•••
Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 5/10
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Teorema del punto fijo
Si X es completo toda contracción tiene un único punto fijo.
Sea f una contracción de X Para cualquier x ∈ X, la sucesión
Fn ={x, f(x), f(f(x)), . . . , f◦n(x), . . .}
es de Cauchy.
Si X es completo la sucesión Fn
converge a p.
f(p) = f(lım f◦n(n)) = lım f(f◦n(n)) = p
p es un punto fijo de f , e.i., f(p) = p.
•x
•f(x) •
f(f(x))
•f◦3(x)
••••p
••
•••
Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 5/10
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El hiperespacio H(X)
Un conjunto A ⊆ X es compacto si toda sucesión en A
contiene una subsucesión convergente en A.
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El hiperespacio H(X)
Un conjunto A ⊆ X es compacto si toda sucesión en A
contiene una subsucesión convergente en A.
H(X) está formado por todos los subconjuntosA ⊆ X compactos y no vacios.
Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 6/10
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El hiperespacio H(X)
Un conjunto A ⊆ X es compacto si toda sucesión en A
contiene una subsucesión convergente en A.
H(X) está formado por todos los subconjuntosA ⊆ X compactos y no vacios.
Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 6/10
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El hiperespacio H(X)
Un conjunto A ⊆ X es compacto si toda sucesión en A
contiene una subsucesión convergente en A.
H(X) está formado por todos los subconjuntosA ⊆ X compactos y no vacios.
Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 6/10
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El hiperespacio H(X)
Un conjunto A ⊆ X es compacto si toda sucesión en A
contiene una subsucesión convergente en A.
H(X) está formado por todos los subconjuntosA ⊆ X compactos y no vacios.
Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 6/10
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El hiperespacio H(X)
Un conjunto A ⊆ X es compacto si toda sucesión en A
contiene una subsucesión convergente en A.
H(X) está formado por todos los subconjuntosA ⊆ X compactos y no vacios.
Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 6/10
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Distancia para H(X)
Sean A,B ∈ H(X), a ∈ A, se define:
Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 7/10
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Distancia para H(X)
Sean A,B ∈ H(X), a ∈ A, se define:
d(a,B) = inf{d(a, x) : x ∈ B}
aA
B
Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 7/10
![Page 42: Una descripción de la geometría fractal - UISmatematicas.uis.edu.co/~garenasd/files/Presentacion Curso... · 2006-12-04 · Una descripción de la geometría fractal ... los dos](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040619/5f2b2c9b7375a97f20508216/html5/thumbnails/42.jpg)
Distancia para H(X)
Sean A,B ∈ H(X), a ∈ A, se define:
d(a,B) = inf{d(a, x) : x ∈ B}
aA
Bd(A,B) = max{d(a,B) : a ∈ A}
•
A
B
Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 7/10
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Distancia para H(X)
Sean A,B ∈ H(X), a ∈ A, se define:
d(a,B) = inf{d(a, x) : x ∈ B}
aA
Bd(A,B) = max{d(a,B) : a ∈ A}
•
A
B
h(A,B) = max{d(A,B), d(B,A)}
A
B
Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 7/10
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Distancia para H(X)
Sean A,B ∈ H(X), a ∈ A, se define:
d(a,B) = inf{d(a, x) : x ∈ B}
aA
Bd(A,B) = max{d(a,B) : a ∈ A}
•
A
B
h(A,B) = max{d(A,B), d(B,A)}
A
BSi (X, d) es completo
(H(X),h) forma unespacio métrico completo.
Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 7/10
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Sistemas iterativos de funciones
{X; ω1, . . . ,ωN}, ωi contracción de X
Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 8/10
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Sistemas iterativos de funciones
{X; ω1, . . . ,ωN}, ωi contracción de X
SIF : {X; ω1, . . . ,ωN},X esp. mét. completo∀i, ωi contracción
Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 8/10
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Sistemas iterativos de funciones
{X; ω1, . . . ,ωN}, ωi contracción de X
SIF : {X; ω1, . . . ,ωN},X esp. mét. completo∀i, ωi contracción
W : H(X) −→ H(X)
K 7−→ W (K) =
N⋃
i=1
ωi(K)
Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 8/10
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Sistemas iterativos de funciones
{X; ω1, . . . ,ωN}, ωi contracción de X
SIF : {X; ω1, . . . ,ωN},X esp. mét. completo∀i, ωi contracción
W : H(X) −→ H(X)
K 7−→ W (K) =
N⋃
i=1
ωi(K)
=⇒W es contracción en H(X)
Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 8/10
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Sistemas iterativos de funciones
{X; ω1, . . . ,ωN}, ωi contracción de X
SIF : {X; ω1, . . . ,ωN},X esp. mét. completo∀i, ωi contracción
W : H(X) −→ H(X)
K 7−→ W (K) =
N⋃
i=1
ωi(K)
⇑ H(X) es completo
=⇒W es contracción en H(X)
Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 8/10
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Sistemas iterativos de funciones
{X; ω1, . . . ,ωN}, ωi contracción de X
SIF : {X; ω1, . . . ,ωN},X esp. mét. completo∀i, ωi contracción
W : H(X) −→ H(X)
K 7−→ W (K) =
N⋃
i=1
ωi(K)
W tiene un punto fijo A ∈ H(X)
⇑ H(X) es completo
=⇒W es contracción en H(X)
Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 8/10
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Sistemas iterativos de funciones
{X; ω1, . . . ,ωN}, ωi contracción de X
SIF : {X; ω1, . . . ,ωN},X esp. mét. completo∀i, ωi contracción
∃!A ⊆ X, A compacto,
A 6= ∅ tal que A =N⋃
i=1
ωi(A)
A : atractor del SIF
⇑
W : H(X) −→ H(X)
K 7−→ W (K) =
N⋃
i=1
ωi(K)
W tiene un punto fijo A ∈ H(X)
⇑ H(X) es completo
=⇒W es contracción en H(X)
Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 8/10
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Sistemas iterativos de funciones
{X; ω1, . . . ,ωN}, ωi contracción de X
SIF : {X; ω1, . . . ,ωN},X esp. mét. completo∀i, ωi contracción ⇒
∃!A ⊆ X, A compacto,
A 6= ∅ tal que A =N⋃
i=1
ωi(A)
A : atractor del SIF
⇑
W : H(X) −→ H(X)
K 7−→ W (K) =
N⋃
i=1
ωi(K)
W tiene un punto fijo A ∈ H(X)
⇑ H(X) es completo
=⇒W es contracción en H(X)
Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 8/10
![Page 53: Una descripción de la geometría fractal - UISmatematicas.uis.edu.co/~garenasd/files/Presentacion Curso... · 2006-12-04 · Una descripción de la geometría fractal ... los dos](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040619/5f2b2c9b7375a97f20508216/html5/thumbnails/53.jpg)
Ejemplo
{R2; ω1,ω2,ω3}, ωi
(
xy
)
=
(
a bc d
) (
xy
)
+
(
ef
)
Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 9/10
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Ejemplo
{R2; ω1,ω2,ω3}, ωi
(
xy
)
=
(
a bc d
) (
xy
)
+
(
ef
)
W (K) = ω1(K) ∪ ω2(K) ∪ ω3(K)
Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 9/10
![Page 55: Una descripción de la geometría fractal - UISmatematicas.uis.edu.co/~garenasd/files/Presentacion Curso... · 2006-12-04 · Una descripción de la geometría fractal ... los dos](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040619/5f2b2c9b7375a97f20508216/html5/thumbnails/55.jpg)
Ejemplo
{R2; ω1,ω2,ω3}, ωi
(
xy
)
=
(
a bc d
) (
xy
)
+
(
ef
)
W (K) = ω1(K) ∪ ω2(K) ∪ ω3(K)
i a b c d e f
1 0.5 0 0 0.5 0 0
2 0.5 0 0 0.5 0.5 0
3 0.5 0 0 0.5 0.5 0.5
1
1
K
Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 9/10
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Ejemplo
{R2; ω1,ω2,ω3}, ωi
(
xy
)
=
(
a bc d
) (
xy
)
+
(
ef
)
W (K) = ω1(K) ∪ ω2(K) ∪ ω3(K)
i a b c d e f
1 0.5 0 0 0.5 0 0
2 0.5 0 0 0.5 0.5 0
3 0.5 0 0 0.5 0.5 0.5
1
1
K
Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 9/10
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Ejemplo
{R2; ω1,ω2,ω3}, ωi
(
xy
)
=
(
a bc d
) (
xy
)
+
(
ef
)
W (K) = ω1(K) ∪ ω2(K) ∪ ω3(K)
i a b c d e f
1 0.5 0 0 0.5 0 0
2 0.5 0 0 0.5 0.5 0
3 0.5 0 0 0.5 0.5 0.5
1
1
K
Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 9/10
![Page 58: Una descripción de la geometría fractal - UISmatematicas.uis.edu.co/~garenasd/files/Presentacion Curso... · 2006-12-04 · Una descripción de la geometría fractal ... los dos](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040619/5f2b2c9b7375a97f20508216/html5/thumbnails/58.jpg)
Ejemplo
{R2; ω1,ω2,ω3}, ωi
(
xy
)
=
(
a bc d
) (
xy
)
+
(
ef
)
W (K) = ω1(K) ∪ ω2(K) ∪ ω3(K)
i a b c d e f
1 0.5 0 0 0.5 0 0
2 0.5 0 0 0.5 0.5 0
3 0.5 0 0 0.5 0.5 0.5
1
1
K
Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 9/10
![Page 59: Una descripción de la geometría fractal - UISmatematicas.uis.edu.co/~garenasd/files/Presentacion Curso... · 2006-12-04 · Una descripción de la geometría fractal ... los dos](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040619/5f2b2c9b7375a97f20508216/html5/thumbnails/59.jpg)
Ejemplo
{R2; ω1,ω2,ω3}, ωi
(
xy
)
=
(
a bc d
) (
xy
)
+
(
ef
)
W (K) = ω1(K) ∪ ω2(K) ∪ ω3(K)
i a b c d e f
1 0.5 0 0 0.5 0 0
2 0.5 0 0 0.5 0.5 0
3 0.5 0 0 0.5 0.5 0.5
1
1
K
W (K) W (W (K))
Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 9/10
![Page 60: Una descripción de la geometría fractal - UISmatematicas.uis.edu.co/~garenasd/files/Presentacion Curso... · 2006-12-04 · Una descripción de la geometría fractal ... los dos](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040619/5f2b2c9b7375a97f20508216/html5/thumbnails/60.jpg)
Ejemplo
{R2; ω1,ω2,ω3}, ωi
(
xy
)
=
(
a bc d
) (
xy
)
+
(
ef
)
W (K) = ω1(K) ∪ ω2(K) ∪ ω3(K)
i a b c d e f
1 0.5 0 0 0.5 0 0
2 0.5 0 0 0.5 0.5 0
3 0.5 0 0 0.5 0.5 0.5
1
1
K
W (K) W (W (K))
W (W (W (K)))
Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 9/10
![Page 61: Una descripción de la geometría fractal - UISmatematicas.uis.edu.co/~garenasd/files/Presentacion Curso... · 2006-12-04 · Una descripción de la geometría fractal ... los dos](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040619/5f2b2c9b7375a97f20508216/html5/thumbnails/61.jpg)
Ejemplo
{R2; ω1,ω2,ω3}, ωi
(
xy
)
=
(
a bc d
) (
xy
)
+
(
ef
)
W (K) = ω1(K) ∪ ω2(K) ∪ ω3(K)
i a b c d e f
1 0.5 0 0 0.5 0 0
2 0.5 0 0 0.5 0.5 0
3 0.5 0 0 0.5 0.5 0.5
1
1
K
W (K) W (W (K))
W (W (W (K)))W ◦4(K)
Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 9/10
![Page 62: Una descripción de la geometría fractal - UISmatematicas.uis.edu.co/~garenasd/files/Presentacion Curso... · 2006-12-04 · Una descripción de la geometría fractal ... los dos](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040619/5f2b2c9b7375a97f20508216/html5/thumbnails/62.jpg)
Ejemplo
{R2; ω1,ω2,ω3}, ωi
(
xy
)
=
(
a bc d
) (
xy
)
+
(
ef
)
W (K) = ω1(K) ∪ ω2(K) ∪ ω3(K)
i a b c d e f
1 0.5 0 0 0.5 0 0
2 0.5 0 0 0.5 0.5 0
3 0.5 0 0 0.5 0.5 0.5
1
1
K
W (K) W (W (K))
W (W (W (K)))W ◦4(K)
Triángulo de Sierpinski
Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 9/10
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Referencias
[1] M. Barnsley. Fractals Everywhere, Academic Press, Inc.
San Diego, 1988.
[2] B. Mandelbrot. Los Objetos Fractales. Forma, azar y
dimensión. Tusquets Editores, S.A. Barcelona, 1993.
[3] B. Mandelbrot. The fractal Geometry of Nature. Freeman
San Francisco, 1992.
[4] G. N. Rubiano. Fractales para profanos. Universidad
Nacional de Colombia, Editorial Unibiblos, Bogotá, 2002.
Una descripcion de lageometrıa fractal– p. 10/10