un poema inspirador de teoremas - catedras …¡tedra mutis... · contenido matemáticas y poesía...

Contenido Matemáticas y poesía El trovador El poema inspirador de teoremas Preguntas y te

Un poema inspirador de teoremas

Víctor S. Albis

Departamento de MatemáticasUniversidad Nacional de Colombia

Cátedra Mutis, 2011

Víctor S. Albis Universidad Nacional de Colombia


Contenido Matemáticas y poesía El trovador El poema inspirador de teoremas ¿Qué es una permutación? Preguntas y te

1 Matemáticas y poesíaMatemáticas y poesíaInteracción entre matemáticas y poesía

2 El trovador3 El poema inspirador de teoremas

Los trovadores y los troveros¿Qué es una “canson”?Clasificación de las cansons

Traducción del poema¿Cómo cambia la rima de estrofa a estrofa?

4 ¿Qué es una permutación?Definición de permutaciónPermutaciones en espiral o de (Arnaut) Daniel

5 Preguntas y teoremasPreguntasMatemáticas produce poesía

π

La bibliografíaVíctor S. Albis Universidad Nacional de Colombia



Matemáticas y poesía

Matemáticas y poesía

Ningún matemático puede ser un matemáticocompleto si no tiene también algo de poeta. K.WEIERSTRASS (en una carta a SONIAKOVALEVSKAYA)La unión de un matemático con el poeta, fervorcon medida, pasión con corrección, esto esciertamente lo ideal. WILLIAM JAMES




Interacción entre matemáticas y poesía

Interacción entre matemáticas y poesía

La poesía puede inspirar matemáticas decalidad (es lo que veremos hoy).

La matemática puede inspirar poesía (no meatrevo a decir que siempre es de calidad).




ARNAUT DANIEL

Las Vidas eran esbozos biográficos de poetas trovadores enlas que aparece información poco confiable. Según la Vida deARNAUT, él vivió a finales del siglo XII y cortejó a una nobledama casada de Gasconia. Escribió en la lengua de oc, de lacual desciende el actual provenzal y está también cercana alcatalán.ARNAUT DANIEL era muy conocido como poeta, conadmiradores como DANTE quien lo menciona en De vulgarielocuentia y lo sitúa en el Purgatorio en la Divina Comedia.




Los trovadores y los troveros

En la Edad Media en Francia se hablaban dos dialectosprincipales: la langue d’oc en el sur y la langue d’oil en elnorte. La primera está emparentada con el catalán y de elladesciende el provenzal moderno. De la segunda desciende elactual francés.

oc = sí

oil = sí → oui





troubador = trovadorPoeta lírico cortesano en la lengua de oc, sus poemas sellamaban cansons → chansons = canciones.trouvère = troveroPoeta, juglar que se expresaba en lengua de oil. Trovaba,inventaba sus poesías (trovas), de manera semejante a losllamados troveros en Colombia, con la gran diferencia de quelos trouvères ponían un gran lirismo en sus poemascortesanos.





Suponemos que todos conocemos lo que en poética se llamauna estrofa.Una canson es una sucesión de estrofas.Una estrofa está caracterizada por una fórmula que tiene tresdatos:

la métrica: la fórmula métrica indica el número de sílabasde cada verso;

la música: las diferentes partes de la melodía;

la fórmula de las rimas: que indica el número y lasucesión de las distintas rimas de la estrofa.





Las cansons se clasifican así:

unisonantes: las rimas son las mismas para loscorrespondientes versos de todas las estrofas;

singulares: el conjunto de rimas se renueva de estrofa enestrofa.

Nosotros estamos interesados en la segunda categoría decansons: las singulares, pues nuestro poema pertenece a estacategoría.




Traducción del poema

Acerca de la traducciónSe pierde la métrica





El firme deseo que en mi corazón entrano pueden ni picas destrozar, ni uñade difamador, que pierde por maldecir su alma;y como no oso batirlo ni con rama ni con varaentonces en un lugar secreto donde no tendrétíogozaré mi gozo, en un vergel o en una alcoba.





Cuando me acuerdo de la alcobadonde sé, y esto me enoja, ningún hombre entra–no, están más en guardia que hermano y tío–no hay miembro de mi cuerpo que no tiemble, incluyendo ami uña,como el niño delante de la vara,tal pavor siento de no ser suficientemente fuerte suyo, con todami alma.





Dejadme ser suyo del corazón, no del alma,y consentid que me esconda en su alcoba,porque hiere mi corazón más que golpes de varaque donde ella mora su servidor nunca entra;siempre cercano a ella estaré como carne y uña,y nunca creeré los reproches del hermano y del tío.





Ni siquiera a la hermana de mi tíoamé yo más o tanto más, lo juro por mi alma,pues como vecinos son el dedo y la uñaestaría, si ella quisiera, en su alcoba.Por mí puede hacer más el amor que en mi corazón entraque un hombre fuerte con una tierna vara.





Puesto que ha florecido la seca varay de Adán descienden sobrinos y tíos,un amor tan puro como este que en el corazón entranunca estuvo ni en cuerpo ni en alma.Donde quiera que esté, afuera en el pueblo o dentro desu alcoba,mi corazón no está más allá que el largor de una uña.





Se enraiza y se aruñami corazón como la corteza en la vara,para mí es la alegría de la torre y la palaciega alcobay no amo así al hermano al padre o al tío;y habrá gran alegría en el paraíso para mi alma,si un hombre es bendecido por bien amar allí y entra.





[Envión]Arnaut envía su canto de la uña y el tío,para complacer a quien rige su alma con su vara,a su deseada, cuya gloria en toda alcoba entra.




¿Cómo cambia la rima de estrofa a estrofa?

entra = 1uña = 2alma = 3vara = 4tío = 5

alcoba = 6

1a. estrofa

alcoba = 1entra = 2

tío = 3uña = 4vara =5alma = 6

2a. estrofa

alma = 1alcoba = 2

vara = 3entra = 4uña =5tío = 6

3a. estrofaσ σ2





alma = 1alcoba = 2

vara = 3entra = 4uña = 5tío = 6

3a. estrofa

tío = 1alma = 2uña = 3

alcoba = 4entra =5vara = 6

4a. estrofa

vara = 1tíos = 2

entra = 3alma = 4

alcoba =5uña = 6

5a. estrofaσ3 σ4





vara = 1tíos = 2

entra = 3alma = 4

alcoba = 5uña = 6

5a. estrofa

uña = 1vara = 2

alcoba = 3tío = 4

alma =5entra = 6

6a. estrofa

entra = 1uña = 2alma = 3vara = 4tío =5

alcoba = 6

1a. estrofaσ5 σ6





Por una permutación:

σ =

(a1 a2 a3 a4 a5 a6

a2 a4 a6 a5 a3 a1

)= (a1a2a4a5a3a6)

σ6 = “identidad” ,

donde a1 = entra, a2 = uña, a3 = alma, a4 =vara, a5 = tío y a6 = alcoba.




Definición de permutación

X = conjunto finito con n elementos.Definición. Una biyección de X en sí mismo se diceuna permutación de los elementos de X .

El conjunto de todas las permutaciones de X sedesigna con S(X ) = Sn.S(X ) = Sn conforma un grupo para lacomposición de permutaciones.Es claro que σ es una permutación del conjuntoX = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.




Definición de permutación

¿Por qué Sn es un grupo?

Componer dos permutaciones σ y τ es calcularuna tras la otra: σ(τ(k))

i) ε(k) = k para todo k ; ε ∈ Sn

ii) si σ ∈ Sn existe σ−1 ∈ Sn tal queσσ−1 = ε = σ−1σ ;

iii) σε = σ = εσ para todo σ ∈ Sn ;

iv) σ(τρ) = (στ)ρ (propiedad asociativa)




Permutaciones en espiral o de (Arnaut) Daniel

Permutaciones en espiral





Permutaciones en espiral

Siguiendo la trayectoria de la espiral yempezando en 6, observamos que 6 (alcoba)ocupa el primer lugar en la segunda estrofa; el2o. lo ocupa 1 (entra); el 3o. lo ocupa 5 (tío); el4o. lo ocupa 2 (uña); el 5o. lo ocupa 4(vara) y el6o. lo ocupa 3 (alma). Es decir, el orden de lasrimas en la segunda estrofa. Es decir,“siguiendo la espiral” obtenemos el orden enque aparecen las rimas en la segunda estrofa.





Definición general de una permutación en espiral

Tomemos X = {1, 2, . . . , n}. Una permutaciónσn ∈ Sn se dice una permutación en espiral si

σn(x) = 2x si x ≤ n/2 ;

σn(x) = 2n + 1 − 2x sin2

< x ≤ n .

La permutación σ6 = (124536) ∈ S6 es unapermutación en espiral.





Orden de una permutación. Subgrupo generado poruna permutación.

Sea σ ∈ Sn. El menor entero m para el cualσm = ε se llama el orden de la permutacion σ.Por ejemplo, la permutaciónσ6 = (124536) ∈ S6 tiene orden 6 como yahemos visto.El subconjunto 〈σ〉 = {ε, σ, σ2, . . . σm−1} de Snse llama el subgrupo generado por σ.





Enteros admisibles

Los números enteros n para los cuales lapermutación en espiral σn en Sn tiene orden nse dicen admisibles. Por ejemplo 6 esadmisible. El subgrupo de Sn generado por σnse llama el grupo de Queneau–Daniel.




Preguntas

¿Cuáles son los enteros positivos que sonadmisibles? ¿Cuántos de ellos hay?

n = 4 no es admisible. En efecto

σ4 =

(1 2 3 44 1 3 2

)

y

σ34 =

(1 2 3 41 2 3 4

).

Luego σ44 �= ε y 4 no es admisible.




Preguntas

Teoremas (¿respuestas?)

[Michelle Bringer]

Si n es admisible, entonces 2n + 1 es primo.

Si n y 2n + 1 son primos, entonces n esadmisible.

Si n = 2p donde p y 4p + 1 = 2n + 1 sonprimos, entonces n es admisible.

n = 4k no es admisible




Preguntas


[J. G. Dumas] Sea n un entero tal quep = 2n + 1. Entonces n es admisible si, y sólosi,

o bien 2 es de orden 2n en Z/pZ,

o bien n es impar y 2 es de orden n enZ/pZ .




Preguntas


[J. G. Dumas] Sea Z/pZ, p = 2n + 1. Entoncesn es admisible si, y sólo si,

o bien 2 es de orden 2n en Z/pZ, y n ≡ 1 o2(mód 4)

o bien 2 es es de orden n en Z/pZ yn ≡ 3 (mód 4) .




Preguntas


[Conjetura de Artin] Si el entero positivo k no esun cuadrado perfecto entonces es una raízprimitiva de p para un número infinito de primosp. Es decir, la clase de k módulo p es ungenerador del grupo multiplicativo (Z/pZ)×.Esta conjetura implica que hay un númeroinfinito de números admisibles n dondep = 2n + 1.




Matemáticas produce poesía

Poemas a π

π inspirador de poemas: para tener una”memoria technica” para recordar los dígitos deldesarrollo de π, matemáticos y poetas hanescrito poemas.

Entre ellos, RAFAEL NIETO PARÍS (ingenierocolombiano) y EDGAR ALLAN POE (poetanorteamericano).Los poemas se han escrito en castellano,inglés, alemán y francés. Véase: C. H.SÁNCHEZ, π inspirador de poemas.





Euclides en verso

El poeta inglés SAMUEL TAYLOR COLERIDGE

propuso hacer una versión en odas pindáricasde los Elementos de Euclides. Su ejemplo es elenunciado y la demostración de la proposición 1del Libro I de los Elementos, en 4 estrofas de 19versos cada una.Objetivo: “asistir a la Razón con el estímulo dela Imaginación” para así atraer másadmiradores a la quintaesencia de la verdad: lamatemática.





Euclides en verso

Sin embargo, anotemos que, a nuestro gusto, lademostración de EUCLIDES es deliciosamentesencilla, corta y simétricamente elegante, en elmejor estilo de las construcciones con regla ycompás, mientras las estrofas de COLERIDGEnos parecen largas y pesadas y creemos queno satisfacen las expectativas que pretendía elautor.





Geometría en la Divina Comedia de Dante

Dante menciona los siguientes resultados en suComedia:

Ningún triángulo tiene dos ángulos obtusos .

Un triángulo rectángulo cabe exactamenteen un semicírculo .

La suma de los ángulos de un triángulo esigual a dos ángulos rectos .






La razón de la circunferencia al radio no esun número racional .

En la reflexión de los rayos de luz losángulos de reflexión e incidencia son iguales(lo menciona varias veces) .






En el Paraíso menciona el problema de cuadrarel círculo:

Qual’el geometra che tutto s’affigeper misurar lo cerchio, e non ritrova,pensando, quel principio ond’elli indige,tal era io a quella vista nova:






Cual geómetra que se consagraa medir el círculo, y no lo logra,pensando qué principio necesita,así me encontraba ante esta nueva visión:




La bibliografía

La bibliografía .

M. Bringer. Sur un problème de R. Queneau.Mathématiques et Sciences Humaines. 27 (1969), 5–12.J. Roubaud. Un problème combinatoire posé para lapoésie lyrique des trobadours. Mathématiques et SciencesHumaines. 27 (1969), 13–20.M. P. Saclolo. How a Medieval Troubadour Became aMathematical Figure. Notices of the AMS. 58 (2011),682–687.C.H. Sánchez. π un número inspirador de poemas.P. Stevenhagen. The correction factor in Artin‘s primitiveroot conjecture. J. Théorie Nombres Bordeaux. 15 (2003),383–391.



un poema inspirador de teoremas - catedras …¡tedra mutis... · contenido matemáticas y poesía...

Documents