un joven de ghana, que deseaba reunirse con su madre en el reino unido, vio rechazado el derecho de...
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Un joven de Ghana, que deseaba reunirse con su madre en el Reino Unido, vio rechazado el derecho de entrada por los servicios británicos de inmigración. Los “exámenes habituales” no permitieron determinar si el chico era el hijo o el sobrino de la mujer que pretendía ser su madre. Sólo el análisis directo de la información genética contenida en la molécula de ADN, de uno y otra, permite establecer la filiación sin ambigüedad. La autorización de inmigración fue concedida.
Alec J. Jeffreys
Hypervariable 'minisatellite' regions in human DNA. Jeffreys, A.J., Wilson, V. and Thein, S.L. Nature, 314, 67-73 (1985).
Los marcadores genéticos y el teorema de
Bayes: el problema de paternidad
•La falacia del interrogador
•La potencia de la prueba
Eliseo Martínez H
Hector Varela V.
Depto. Matemáticas
Universidad de Antofagasta
La versión más sencilla del Teorema de Bayes es como sigue:
A
AC
CP(A)
P(AC )
P(C / A)
P(C / AC )
P(C) = P(C / A) P(A) + P(C / AC ) P(AC )
Ocurre C
?
P(A / C) = ?P(C / A) P(A)
P(C)
Thomas BAYES (1702 - 1761)
El caso de identificación de paternidad mediante el ADN
Existe cierta región en el ADN de alta variabilidad. Es decir, en un determinado locus (lugar geométrico en el cromosoma donde se ubica un gen) hay opción para varios alelos existente en la población. Un alelo es una manifestación del gen en ese locus.
En los esquemas que vienen a continuación supondremos que estaremos trabajando en un locus de alta variabilidad
Locus
Gen ZAlelos para el gen
p + p + ... + p + ... + p = 11 2 n
p es la frecuencia con que se presenta el alelo en una determinada población
ip1 p
2
pn
p
Frecuencia del alelo es p
El caso de identificación de paternidad mediante el ADN
“constelación” madre - hijo presunto padre acusado
madre hijo
Gen “faltante”
El padre acusado lo tiene
H
HC
FP(H)
P(HC )
P(F / H)
P(F / HC )
Definamos por F el suceso “el genotipo de la persona acusada es compatible con la constelación madre-hijo”.
Sea H el suceso que que el padre acusado “es el verdadero padre”
Estas probabilidades la determina el SMLEstas también ... 1/2
H
HC
FP(H)
P(HC )
P(F / H)
P(F / HC )
P(H / F) =P(F / H) P(H)
P(F / H) P(H) + P(F / HC ) P(HC )
Explicación de las probabilidades involucradas
P(H /F) = P(F / H ) P(H)
P(F / H ) P(H ) + P(F / HC ) P(HC )
Probabilidad de ser el padre dado que tiene el genotipo F compatible con el sistema madre-hijo
Probabilidad de ser el verdadero padre
Probabilidad de no ser el verdadero padre
Probabilidad de tener el genotipo F dado que no es el verdadero padre
Probabilidad de tener el genotipo F dado que es el verdadero padre
P(H /F) = P(F / H ) P(H)
P(F / H ) P(H ) + P(F / HC ) P(HC )
P(H /F) = P(F / H )
P(F / HC )
P(F / H )
P(F / HC )P(H)
P(H ) + P(HC )
P(F / H )
P(F / HC )L = p = P (H)
P(H / F) =L p
L p + (1-p)si p = 1/2 P(H / F) = L
L + 1
Índice de paternidad
padre acusadomadre hijo
Gen “faltante”
El padre acusado lo tiene
Cálculo de P(F / H )
Bajo H el padre presunto está obligado a dar el gen faltante ...
por lo tanto, el otro gen ( ) se rige por las leyes del azar...
Locus
Gen ZAlelos para el gen
p1 p
2
pn
p + p + ... + p + ... + p = 11 2 n
p es la frecuencia con que se presenta el alelo en una determinada población
i
p
. .. P(F / H ) = pFrecuencia del alelo es p
Cálculo de P(F / H )
Cálculo de P(F / HC )
Bajo HC el hombre acusado no está obligado a dar el gen faltante
por lo tanto, ambos alelos se rigen por las leyes del azar...
madre hijo
Gen “faltante”
Locus
Gen ZAlelos para el gen
p1 p
2
p + p + ... + p + ... + q = 11 2
p
q ...
... de modo que, para tener el mismo genotipo del padre acusado ...ambos genes que forman el genotipo se rigen por las leyes del azarentonces ...
alelos del padre acusado
P(F / HC ) = 2pq
Bajo H , no ser el padre, no está obligado a dar el gen faltante...c
Cálculo de P(F / HC )
P(F / H )
P(F / HC )L = = p / 2pq = 1 / 2q
donde q es la frecuencia poblacional del “alelo faltante”
Por ejemplo supongamos que el alelo faltante es el 14 del marcador VWA, cuya frecuencia en la población chilena es de q = 0.063. Se tiene que L = 7.93650, lo que para una probabilidad a priori, P(H), de 1/2 nos entrega una probabilidad a posteriori de P(H / F) = 0.888099
Este cálculo se repite de manera análoga en todos los marcadores considerados. Se puede verificar que existen tres formas de valores para el índice de paternidad. A saber:
L = 1/2q; L = 1/q; L = 1
Este análisis estadístico y molecular se realiza en un determinado loci de alta variabilidad. Y se verifica, en virtud de la independencia de los locus de este loci, que la probabilidad de ser el verdadero padre, dado que el genotipo del padre no es excluyente de la constelación madre - hijo, es
El producto de todos los índices de paternidad en cada locus
)1(
/Prpp
pSFHW
n
iiL
1
Esta simbología significa que el hombre acusado tiene el fenotipo compatible con la constelación madre-hijo
Para un índice de paternidad conjunto de 450, y probabilidades a priori de 0.3, 0.5 y 0.7 se tienen los valores de 0.994841, 0.997782 y 0.999048, respectivamente
El poder de exclusión a priori: la potencia de la prueba
Resolución 1.450 exenta: (Consideraciones estadísticas)
El laboratorio que realice análisis de paternidad por medio del DNA deberá poseer un número de marcadores/loci con un Poder de Exclusión a Priori en su conjunto de al menos 0.999. Si el sistema no alcanza este valor, deberá considerarse el uso de otros marcadores/loci que aseguren el mínimo indicado. En caso de inclusión de paternidad de un porcentaje inferior a 99.9%, deberán analizarse otros marcadores, hasta llegar a ese porcentaje de inclusión o bien, excluir la paternidad.
Para determinar una exclusión de paternidad, ésta debe necesariamente demostrarse en a lo menos dos marcadores genéticos
El poder de exclusión a priori: la potencia de la prueba
El Poder de Exclusión A Priori en un conjunto de marcadores genéticos es "la probabilidad de que en al menos un marcador, una persona que no sea el padre verdadero, sea excluído como tal ". En un conjunto de marcadores se define como la probabilidad de excluir en "al menos uno", lo cual se exige internacionalmente que alcance probabilidades iguales o superiores al 99,9 % (Dra. Lucía Cifuentes)
“Para determinar una exclusión de paternidad, ésta debe necesariamente demostrarse en a lo menos dos marcadores genéticos”. (Resolución del SML)
El poder de exclusión a priori: la potencia de la prueba
... en la práctica se excluye realmente con al menos tres loci que demuestren incompatibilidad entre el padre presunto y el hijo, (por el riesgo de las mutaciones) por lo tanto lo que habitualmente se llama "Poder de exclusión a priori" no corresponde en rigor a la probabilidad de excluir con al menos tres loci (sino con al menos uno), habría que corregir el cálculo probabilístico para ser consecuentes y rigurosos, sin embargo en todo el mundo se sigue utilizando como medida de eficiencia del sistema al poder de exclusión en al menos uno, cómputo que no contempla la ocurrencia de mutaciones. (Dra. Lucía Cifuentes)
El poder de exclusión a priori: la potencia de la prueba
El algoritmo para determinar el poder de exclusión sigue los siguientes pasos:
Determinar la probabilidad, de que una persona cualquiera sea tenga un genotipo concomitante con la constelación madre - hijo en el locus i
Para cada locus i la combinación madre - hijo es necesariamente una y solo una de las siguientes formas
El poder de exclusión a priori: la potencia de la prueba
El sistema de alelos que necesariamente debió aportar el padre es
Por lo tanto la probabilidad de que una persona, que no sea el verdadero padre, no sea excluido en el locus i, es
El poder de exclusión a priori: la potencia de la prueba
1er locusincluyente excluyente
2º locus
6º locus
P(0) P(1) P(2) P(3) P(4) P(5) P(6)
El poder de exclusión a priori: la potencia de la prueba
Por lo tanto la probabilidad de que una persona no sea excluyente en ningún locus es
De manera que sea excluyente en algún locus es
El poder de exclusión a priori: la potencia de la prueba
Luego, según la normativa chilena, de que la exclusión ocurra en al menos dos locus se tiene que la probabilidad de exclusión es
La probabilidad de exclusión en a lo menos tres marcadores es
Conclusiones
Modificaciones en la normativa sobre pruebas biológicas de paternidad
a) la probabilidad a priori, p, debe ser determinada por el poder judicial (puede asumirse que es 1/2).
b) Se debe crear una base de datos sobre las frecuencias alelícas de alta variabilidad en la población chilena. (Por lo menos hasta el año 2002 no existía)
c) El cálculo de la probabilidad de exclusión a priori se debe realizar conforme a lo expuesto aquí. De otra forma, el poder de exclusión a priori es la probabilidad de que se excluya a una persona que no sea el padre en a lo menos dos marcadores.
