umetnuti lanci markova u teoriji masovnog opsluživanja · 1.1.1 osnovni pojmovi teorije...

UNIVERZITET U NIŠUPRIRODNO-MATEMATICKI FAKULTET

DEPARTMAN ZA MATEMATIKU

Umetnuti lanci Markova u Teorijimasovnog opsluživanja

- master rad -

student: Aleksandar Jeremic mentor: dr Jasmina Ðor devic

Niš, 2018.

Sadržaj

Predgovor 3

1 Uvodni pojmovi 41.1 Osnovni pojmovi i rezultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1 Osnovni pojmovi teorije verovatnoce . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.2 Puasonova i eksponencijalna raspodela . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.3 Stohasticki procesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 Lanci Markova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Ulazni potok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4 Funkcija generatrise i Laplasova transformacija . . . . . . . . . . . . . . . 141.5 Klasifikacija sistema masovnog opsluživanja . . . . . . . . . . . . . . . . 151.6 Little-ov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.7 Sistem M/M/m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2 Sistemi masovnog opsluživanja kod kojih su vremena opsluživanja sa proi-zvoljnom raspodelom 232.1 Sistem M/G/1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2 Raspodela broja klijenata u M/G/1 sistemu . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3 Vreme provedeno u redu cekajuci na opsluživanje . . . . . . . . . . . . . 312.4 Period zauzetosti M/G/1 sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.5 Sistem M/G/1/K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.6 Grupni dolasci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.7 Opsluživanje sa prioritetom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.8 Optimizacija M/G/k sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

1

2

3 Sistemi masovnog opsluživanja kod kojih su vremena izmedu dolazaka kli-jenata sa proizvoljnom raspodelom 563.1 Sistem G/M/1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.2 Raspodela broja klijenata u G/M/1 sistemu . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.3 Ocekivano vreme provedeno u sistemu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.4 Ciklus zauzetosti sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.5 Sistem G/M/l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.6 Sistem G/M/1/K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Zakljucak 71

Bibliografija 72

Biografija 73

Predgovor

C ekanje u redovima je postalo svakodnevna pojava u ljudskom životu. Ono uklju-cuje kako usluživanje kupaca u prodavnici, tako i procesuiranje podataka u racu-

narskom centru, brodove koji ulaze u luku na istovar, telefonske pozive, protok poslovakroz radionicu, itd. Sve to je uticalo na formiranje grane matematike ciji je cilj da kli-jentima omoguci što efikasniji prolazak kroz sistem, dok sa druge strane poslodavcimaomogucava bolju optimizaciju broja lica potrebnih za opsluživanje klijenata. Ta granamatematike je formirana pocetkom dvadesetog veka i naziva se Teorija masovnog opslu-živanja ili Teorija redova cekanja. Sistem masovnog opsluživanja sastoji se od klijenata(mušterija), koji u slucajnim trenucima vremena stižu na mesto gde bivaju opsluženi(gde dobiju neku vrstu usluge) i onda odlaze. Klijentima nazivamo kako mušterije kojeocekuju uslugu na kasi, kod frizera, ili kod lekara, tako i autobuse koji ulaze na stanicu,mašine koje cekaju na popravku, itd.

Osnovni cilj ovog rada je predstavljanje i analiza sistema masovnog opsluživanjakoji se neretko srecu u svakodnevnom životu.

Rad se sastoji iz tri dela. U prvom delu su izloženi osnovni pojmovi teorije ve-rovatnoce, stohastickih procesa i teorije masovnog opsluživanja koji su neophodni zaizucavanje i razumevanje sistema koji ce u radu biti opisivani. U drugom delu analizi-rane su razne modifikacije sistema kod kojih klijenti pristižu u skladu sa Puasonovomraspodelom, dok dužina trajanja opsluživanja ima proizvoljnu raspodelu. Treca glavaje prirodni nastavak druge glave, u kojoj su obradivane neke varijante sistema kod kojihnije odredena raspodela po kojoj klijenti pristižu, dok je dužina opsluživanja opisanaeksponencijalnom raspodelom. Na kraju rada dat je zakljucak i navedena korišcenaliteratura.

Izucavanje ovih sistema je jako bitno, ne samo zbog minimiziranja vremena ceka-nja u redovima, vec i zbog smanjenja materijalnih i drugih gubitaka do kojih dovodeneadekvatno optimizovani redovi.

3

1Uvodni pojmovi

1.1 Osnovni pojmovi i rezultati

1.1.1 Osnovni pojmovi teorije verovatnoce

Teorija verovatnoce je grana matematike koja se bavi analizom slucajnih fenomena.Neka je Ω skup svih mogucih ishoda nekog eksperimenta. Pre formalne definicije ve-rovatnoce, potrebno je definisati σ-algebru dogadaja.

Definicija 1.1. F je podskup partitivnog skupa P(Ω) za koji važi:

(1) Ω ∈ F ,

(2) A ∈ F ⇒ A ∈ F ,

(3) Ai∈N ⊆ F ⇒ ∪i∈N Ai ∈ F .

Tada je F σ-algebra dogadaja nad skupom Ω.

Elementi skupa Ω se nazivaju elementarni dogadaji i oznacavaju se sa ω, dok jeslucajni dogadaj svaki skup A ⊆ F . Dogadaj Ω je siguran dogadaj, dok je ∅ nemogucdogadaj.

Definicija 1.2. Neka je Ω skup elementarnih dogadaja i F σ-algebra nad Ω. Funkcija P :F → [0, 1] koja zadovoljava sledece uslove:

(1) P(Ω) = 1,

(2) za Ai∈N ⊆ F i Ai ∩ Aj = ∅, i 6= j, i, j = 1, 2, ..., važi

P( ∞⋃

i=1

Ai

)=

∞

∑i=1

P(Ai), (1.1)

4

1.1. OSNOVNI POJMOVI I REZULTATI 5

je verovatnoca na prostoru (Ω, F ). Uredena trojka (Ω, F , P) se naziva prostor verovatnoca.

Definicija 1.3. Uslovna verovatnoca dogadaja A ∈ F , pod uslovom realizacije dogadaja B ∈F , u oznaci P(A|B) je

P(A|B) = P(AB)P(B)

,

gde je P(B) > 0.

Definicija 1.4. Dogadaji A1, A2, ... su stohasticki nezavisni ukoliko za svaki konacni niz in-deksa k1, ..., kn, k1 < ... < kn, n ∈ N, važi

P(Ak1 Ak2 ... Akn) =n

∏i=1

Aki .

Teorema 1.1. (Formula potpune verovatnoce) Neka su H1, ..., Hn slucajni dogadaji koji cinepotpun sistem dogadaja

(Hi ∩ Hj = ∅, i 6= j i ∪n

k=1Hk = Ω)

i neka je A dogadaj iz istogprostora verovatnoca. Verovatnoca dogadaja A se može izracunati po sledecoj formuli

P(A) =n

∑i=1

P(Hi)P(A|Hi).

Definicija 1.5. Realna funkcija X je slucajna promenljiva definisana na slupu Ω, ukoliko zasvaki Borelov skup B ∈ B važi da je X−1(B) = ω : X(ω) ∈ B ∈ F .

Definicija 1.6. Funkcija raspodele slucajne promenljive X je funkcija F : R → [0, 1], koja jedefinisana na sledeci nacin

F(x) = P(X < x

).

Dva osnovna tipa slucajnih promenljivih su diskretne i apsolutno neprekidne slucajnepromenljive.

Definicija 1.7. Slucajna promenljiva X je diskretnog tipa ukoliko je njen skup vrednosti najvišeprebrojiv, tj. ukoliko postoji skup xii∈I takav da je ∑i∈I P

(X = xi

)= 1.

Definicija 1.8. Skup vrednosti x1, x2, ... diskretne slucajne promenljive X zajedno sa odgo-varajucim verovatnocama p(xi) = P(X = xi), i=1,2,... , predstavlja zakon raspodele slucajnepromeljive X i obicno se predstavlja u obliku šeme

X :(

x1 x2 · · ·p(x1) p(x2) · · ·

).


Definicija 1.9. Ako postoji nenegativna integrabilna funkcija ϕ(x), ∞ < x < ∞, takva da zasvaki Borelov skup S ∈ B važi

P(X ∈ S) =∫

Sϕ(x)dx,

onda je slucajna promenljiva X apsolutno neprekidnog tipa i funkcija ϕ(x) je gustina raspodeleverovatnoca slucajne promenljive X.

Veza izmedu gustine i funkcije raspodele slucajne promenljive X je data sa

F(x) =∫ x

−∞ϕ(t)dt.

U svakoj tacki neprekidnosti gustine ϕ(x) važi

ϕ(x) = F′(x).

Definicija 1.10. Matematicko ocekivanje E(X) diskretne slucajne promenljive X, koja je datazakonom raspodele iz definicije (1.8), je

E(X) =∞

∑k=1

xk p(xk).

Definicija 1.11. Neka je X slucajna promenljiva apsolutno neprekidnog tipa sa gustinom ras-podele ϕ(x). Ako integral

∫ ∞−∞ xϕ(x)dx apsolutno konvergira, onda postoji matematicko oceki-

vanje slucajne promenljive X, i jednako je

E(X) =∫ ∞

−∞xϕ(x)dx.

Definicija 1.12. Disperzija slucajne promenljive X u oznaci DX ili σ2(X), predstavlja oceki-vanu vrednost kvadrata njenog odstupanja od srednje vrednosti, tj.

DX = E(X− E(X)

)2= E(X2)−

(EX)2.

1.1.2 Puasonova i eksponencijalna raspodela

Neka je verovatnoca realizacije dogadaja A u eksperimentu u kome su mogucasamo dva ishoda, jednaka p. Verovatnoca da se dogadaj A ne realizuje je q = 1− p.Slucajna promenljiva koja broji realizacije dogadaja A u n ∈ N nezavisnih ponavljanjaeksperimenata je slucajna promenljiva sa binomnom raspodelom, oznacava se sa Sn iima zakon raspodele

P(Sn = k

)=

(nk

)pk(1− p)n−k, k = 0, 1, 2, ...n.


Teorema 1.2. Ako u Bernulijevoj šemi broj nezavisnih eksperimenata neograniceno raste, a pri-tom npn → λ > 0, gde je pn verovatnoca realizacije dogadaja A u n ponavljanja eksperimenta,tada

P(Sn = k

)→ λk

k!e−λ, k ≥ 0 ; n→ ∞.

Definicija 1.13. Diskretna slucajna promenljiva S∞ sa skupom vrednosti 0, 1, 2, ... i raspo-delom verovatnoca

P(S∞ = k

)=

λk

k!e−λ, λ > 0,

naziva se Puasonova slucajna promenljiva sa intenzitetom λ i oznacava sa S∞ : P(λ).

Ocekivanje i disperzija Puasonove slucajne promenljive imaju istu vrednost

E(S∞) = D(S∞) = λ.

Definicija 1.14. Slucajna promenljiva X ima eksponencijalnu raspodelu sa parametrom λ > 0,u oznaci X : ε(λ), ako je njena gustina raspodele data sa

ϕ(x) =

λe−λx, x ≥ 0,0, x < 0 .

Funkcija raspodele slucajne promenljive sa eksponencijalnom raspodelom je oblika

F(x) =∫ x

−∞ϕ(t)dt =

1− e−λx, x ≥ 0,

0, x < 0 .

Ocekivanje slucajne promenljive X : ε(λ) je

E(x) =∫ ∞

−∞xϕ(x)dx =

∫ ∞

0xλe−λxdx =

1λ

,

a disperzija je

D(x) = E(X2)−(EX)2

=∫ ∞

0x2λe−λxdx− 1

λ2 =1

λ2 .

Osobina eksponencijalne raspodele koja je jako korisna u teoriji masovnog opsluživanjaje svojstvo odsustva memorije. Za slucajnu promenljivu X sa eksponencijalnom raspode-lom sa parametrom λ, važi

P(X > t + s|X > s

)= P

(X > t

)= e−λt.

Zaista, na osnovu formule za uslovnu verovatnocu je

P(X > t + s|X > s

)=

P(X > t + s, X > s

)P(X > s

)=

P(X > t + s

)P(X > s

) =e−λ(t+s)

e−λs = e−λt.

1.2. LANCI MARKOVA 8

1.1.3 Stohasticki procesi

Definicija 1.15. Neka je (Ω,F , P) dati prostor verovatnoce i T ⊆ R skup vrednosti parametrat. Stohasticki proces X definisan na prostoru verovatnoce (Ω,F , P) sa parametarskim skupomT je familija slucajnih promenljivih X =

X(t, ω)|t ∈ T, ω ∈ Ω

, gde je X(t, ·) : Ω→ R.

Za fiksirano t0 ∈ T dobija se slucajna promenljiva X(t0, ω), koja se naziva zasekposmatranog stohastickog pocesa. Ukoliko se fiksira ω0 ∈ Ω, dobija se realna funkcijakoja se naziva trajektorija posmatranog stohastickog procesa.

U zapisu stohastickog procesa se cesto izostavlja argument ω, kao podrazumevaniargument, pa se proces oznacava sa

X = X(t)|t ∈ T.

Slucajni proces sa diskretnim vremenom n ∈ N0 je niz slucajnih promenljivih X0, X1, ...i oznacava se X = Xn, n ≥ 0. Xn je stanje procesa u trenutku n, a X0 je pocetno stanjeprocesa. Kolekcija svih mogucih vrednosti koje proces X može da uzme oznacava se saS i naziva prostor stanja.

Definicija 1.16. Slucajni proces X = X(t)|t ≥ 0 je stacionaran ako za svaki broj m ∈ N0i svaki k ∈ N važi da vektori slucajnih promenljivih (Y0, ..., Ym) i (Yk, ..., Ym+k) imaju isturaspodelu.

Stacionarna raspodela je veoma važna kada su u pitanju slucajni procesi, jer se po-mocu nje može izucavati ponašanje procesa u dalekoj buducnosti.

1.2 Lanci Markova

Lanci Markova predstavljaju veoma korisne alate u statistickoj i stohastickoj analiziu prakticno svim poljima primenjene matematike. Lanci Markova igraju glavnu uloguu opisivanju ponašanja sistema u modelima Teorije masovnog opsluživanja.

Definicija 1.17. Stohasticki proces je markovski proces (proces Markova), ukoliko buduca sta-nja ne zavise od prošlih, vec samo od sadašnjeg stanja.

Kod markovskih procesa, sadašnjost u potpunosti sadrži informacije koje mogu uti-cati na buduca stanja procesa. Lanci Markova su markovski procesi kod kojih je prostorstanja konacan ili prebrojiv.

Definicija 1.18. Diskretan slucajan proces Xn, n ≥ 0 je lanac Markova sa diskretnim vre-menom, ako za svaki trenutak n ≥ 0 i za sva stanja i, j, i0, i1, ... ∈ S važi

P(Xn+1 = j|Xn = i, Xn−1 = in−1, ..., X0 = i0

)= P

(Xn+1 = j|Xn = i

).


Pri fiksiranom stanju i u momentu n, dalje ponašanje procesa ne zavisi od toga krozkoja je stanja sistem prošao do momenta n.

Neka je pij(n) verovatnoca da ce sistem, koji se u trenutku n nalazi u stanju i, utrenutku n + 1 biti u stanju j, tj.

pij(n) = P(Xn+1 = j|Xn = i

).

Lanac Markova je homogen ako je pij(n) = pij za sve i, j ∈ S i n ≥ 0.

Definicija 1.19. Matrica P = [pij] je matrica prelaza za jedan korak za dati homogeni lanacMarkova.

Za homogen lanac Markova, verovatnoca P(Xn = j|X0 = i

)je verovatnoca prelaza

za n koraka, gde je n ≥ 0 i i, j ∈ S.

Teorema 1.3. Neka je Pn = P ·P · ... ·P n-ti stepen matrice P = [pij]. Za svako n ≥ 0 i svakoi, j ∈ S je

p(n)ij = P(Xn = j|X0 = i

),

gde je p(n)ij element na mestu (i, j) u matrici Pn.

Element na mestu (i, j) u matrici Pn+m = Pn · Pm je oblika

p(n+m)ij = ∑

k∈Sp(n)ik p(m)

kj . (1.2)

Ukoliko se jednacina (1.2) odnosi na verovatnocu prelaza homogenog lanca Markova,onda se ona naziva jednacina Kolmogorov-Cepmena.

Definicija 1.20. Raspodela verovatnoca π = πj, j ∈ S je stacionarna raspodela lanca Mar-kova ukoliko je π′ = π′P, tj.

πj = ∑k∈S

πk pkj, j ∈ S,

gde je P matrica verovatnoca prelaza za jedan korak posmatranog lanca.

Stacionarne raspodele kod lanaca Markova su važne zato što se pomocu njih možeizucavati ponašanje lanaca na duge staze.

Teorema 1.4. Neka je πj, j ∈ S stacionarna raspodela lanca Markova sa matricom verovat-noca prelaza P = [pij]. Tada je

limn→∞

p(n)ij = πj.

Teorema 1.5. Ukoliko postoji stacionarna raspodela za posmatrani lanac Markova, ona je je-dinstvena.


Definicija 1.21. Lanac Markova je ergodican ako je moguce preci iz bilo kog stanja u bilo kojestanje (ne obavezno u jednom koraku).

Definicija 1.22. Lanac Markova je regularan ako neki stepen matrice prelaza ima samo pozi-tivne elemente.

Kod regularnih lanaca Markova je moguce preci iz jednog stanja u bilo koje drugostanje za konacan broj koraka. Iz definicija ergodicnosti i regularnosti sledi da regular-nost lanca Markova povlaci ergodicnost, dok obrnuto ne mora da važi.

Analogno definiciji lanaca Markova sa diskretnim vremenom, definišu se lanci Mar-kova sa neprekidnim vremenom.

Definicija 1.23. Stohasticki proces X(t), t ≥ 0, kod koga je prostor stanja S podskup skupacelih brojeva je lanac Markova sa neprekidnim vremenom ako za svaki ceo broj n i za proizvoljanniz t1, t2, ..., tn+1, takav da je 0 ≤ t1 < t2 < ... < tn+1, važi

P(X(tn+1) = j|X(tn) = in, X(tn−1) = in−1, ..., X(t1) = i1

)= P

(X(tn+1) = j|X(tn) = in

).

Za homogen lanac Markova sa neprekidnim vremenom, verovatnoca prelaza iz sta-nja i ∈ S u stanje j ∈ S, posle vremena dužine t, je

Pij(t) = P(X(t + s) = j|X(s) = i

).

Definicija 1.24. Proces Markova N(t), t ≥ 0 sa najviše prebrojivo mnogo stanja i cije vero-vatnoce prelaza Pij(t) zadovoljavaju sledece uslove:

• Pi,i+1(h) = λih + o(h), i ≥ 0;

• Pi,i−1(h) = µih + o(h), i ≥ 0;

• Pi,i(h) = 1− (λi + µi)h + o(h), i ≥ 0;

• Pij(0) =

1, i = j0, i 6= j ,

je proces radanja i umiranja sa koeficijentima λj, µj ≥ 0, j ≥ 0.

Teorema 1.6. Neka je N(t), t ≥ 0 proces radanja i umiranja sa koeficijentima λj, µj ≥0, j ≥ 0.

(a) Verovatnoca πj = limt→∞ P(

N(t) = j)

postoji i jednaka je

πj =

S−1, j = 0

λ0λ1...λj−1µ1µ2...µj

π0, j ≥ 1 ,

gde je

S = 1 +λ0

µ1+

λ0λ1

µ1µ2+

λ0λ1λ2

µ1µ2µ3+ ... .

1.3. ULAZNI POTOK 11

(b) Ukoliko je λj = λ i µj = µ, j ≥ 0, verovatnoca πj je

πj =(λ/µ)j

j!e−λ/µ.

1.3 Ulazni potok

Definicija 1.25. Stohasticki proces N(t), t ≥ 0 koji uzima cele nenegativne vrednsti, za kojije N(0) = 0 i cije trajektorije ne opadaju, naziva se potok dogadaja (ulazni potok).

Velicina N(t) predstavlja broj dogadaja koji su nastupili u intervalu [0, t]. Skupzk = tk − tk−1, k ≥ 1, gde su 0 = t0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ ... uzastopni trenuci nastupanja do-gadaja, predstavlja skup intervala vremena izmedu uzastopnih nastupanja dogadaja.Potok dogadaja je poznat ako je za svako n ≥ 1 poznata raspodela slucajnog vektora(z1, ..., zn), ili ako je za proizvoljno izabrane n-torke nenegativnih brojeva t1, ..., tn po-znata raspodela slucajnog vektora

(N(t1), ..., N(tn)

).

Stohasticki proces N(t), t ≥ 0, gde N(t) predstavlja broj dogadaja koji su na-stupili u intervalu [0, t], ima nezavisne priraštaje ako je broj dogadaja koji se dese u dis-junktnim vremenskim intervalima nezavisan. Ukoliko raspodela broja dogadaja kojise dese u proizvoljnom vremenskom intervalu zavisi samo od dužine tog intervala, ane i pozicije tog intervala na vremenskoj osi, onda posmatrani proces ima stacionarnepriraštaje.

Definicija 1.26. Puasonov proces sa parametrom λ > 0 je stohasticki proces N(t), t ≥ 0 zakoji važi da je:

(1) N(0) = 0,

(2) za svako 0 ≤ s < t ≤ u < v, važi da su N(t)− N(s) i N(v)− N(u) nezavisni,

(3) Za svako 0 ≤ s < t, priraštaj N(t) − N(s) ima Puasonovu raspodelu sa paramteromλ(t− s), odnosno

P(

N(t)− N(s) = n)=

(λ(t− s))n

n!e−λ(t−s), n ∈ N0.

Iz uslova (3) prethodne definicije može se zakljuciti da Puasonov proces ima staci-onarne priraštaje, jer raspodela dogadaja N(t + s)− N(s) ne zavisi od s vec samo od t,tj. dužine intervala.

Kako slucajna promenljiva N(t) ima Puasonovu raspodelu sa parametrom λt, oce-kivanje i disperzija Puasonovog procesa su:

E(

N(t))

= λt,

D(

N(t))

= λt.


Teorema 1.7. Neka je N(t), t ≥ 0 Puasonov proces sa parametrom λ i neka je τi vreme kojeproces provede u stanju i. Slucajne promenljive τi, i ≥ 0 su nezavisne sa eksponencijalnomraspodelom sa parametrom λ.

Dokaz. Neka je N(t) = i i neka je τi vreme koje proces provede u stanju i. Kako važiP(τi > x) = P

(N(t + x)− N(t) = 0

), to je

P(τi ≤ x) = 1− P(τi > x) = 1− P(

N(t + x)− N(t) = 0)

= 1− (λx)0

0!e−λx = 1− e−λx.

Definicija 1.27. Neprekidna slucajna promenljiva X sa gustinom raspodele

ϕΓ(x) =

λkxk−1e−λx

(k−1)! , x ≥ 0,0, x < 0

je slucajna promenljiva sa gama raspodelom sa parametrima λ > 0 i k > 0. Njena funkcijaraspodele je

FΓ(x) =

1−∑k−1

j=0(µt)j

j! e−µt, x ≥ 0,0, x < 0.

Teorema 1.8. Neka su X1, ..., Xn nezavisne slucajne promenljive sa eksponencijalnom raspode-lom sa parametrom λ. Tada suma ∑n

i=1 Xi ima gama raspodelu sa parametrima λ i n.

Sledi teorema koja ce zbog svoje velike važnosti u ovom radu biti navedena sa do-kazom.

Teorema 1.9. Slucajna promenljiva Vt, koja predstavlja dužinu cekanja od trenutka t do prvogsledeceg dogadaja u homogenom Puasonovom procesu sa parametrom λ > 0 ima eksponenci-jalnu raspodelu sa parametrom λ, nezavisno od trenutka t.

Dokaz. Neka su T1, T2, ... trenuci nastupanja dogadaja u posmatranom Puasonovomprocesu i Vt vreme koje protekne od proizvoljnog trenutka t do prvog sledeceg do-gadaja. Tada je

P(Vt ≥ x) = P(t + x < T1) + P(T1 ≤ t, t + x < T2) + · · ·

+ P(Tk ≤ t, t + x < Tk+1) + · · · . (1.3)

Kako na osnovu teoreme 1.7, slucajna promenljiva T1 ima eksponencijalnu raspodelusa parametrom λ, to je

P(t + x < T1) = e−λ(t+x). (1.4)


Kako je Tn suma n slucajnih promenljivih sa eksponencijalnom raspodelom, prema te-oremi 1.8 Tn ima gama raspodelu sa parametrima λ i n. Za k ≥ 1 je

P(Tk ≤ t, t + x < Tk+1) =∫ ∞

0P(Tk ≤ t, t + x < Tk+1|Tk = s)ϕg(s)ds

=∫ t

0P(t + x < Tk+1|Tk = s)

λksk−1e−λs

(k− 1)!ds

=∫ t

0P(t + x < Tk + τk|Tk = s)

λksk−1e−λs

(k− 1)!ds

=∫ t

0P(t− s + x < τk)

λksk−1e−λs

(k− 1)!ds

=∫ t

0e−λ(t−s+x)e−λs λksk−1

(k− 1)!ds

= e−λte−λx λk

(k− 1)!

∫ t

0sk−1 ds

= e−λte−λx λk

k!tk. (1.5)

Zamenom (1.4) i (1.5) u (1.3), dobija se

P(Vt ≥ x) = e−λ(t+x) +∞

∑k=1

e−λ(t+x) (λt)k

k!

= e−λ(t+x)∞

∑k=0

(λt)k

k!

= e−λ(t+x)eλt = e−λx.

Iz poslednjeg je jasno da Vt ima eksponencijalnu raspodelu sa parametrom λ.

Puasonov potok dogadaja je slucaj kod koga je ulazni potok Puasonov proces. To jeslucaj najprostijeg ulaznog potoka i cesto se koristi u Teoriji masovnog opsluživanja.Kod Puasonovog potoka, verovatnoca nastupanja k dogadaja u intervalu dužine t (ve-rovatnoca da u intervalu dužine t u sistem dodu k klijenata) je

Pk(t) =(λt)k

k!e−λt, k = 0, 1, ... ; λ > 0.

1.4. FUNKCIJA GENERATRISE I LAPLASOVA TRANSFORMACIJA 14

1.4 Funkcija generatrise i Laplasova transformacija

Funkcija generatrise

Definicija 1.28. Za niz brojeva z0, z1, ..., funkcija generatrise se definiše kao suma

Z(s) =∞

∑k=0

skzk,

gde red Z(s) konvergira za svako |s| < C, za pozitivnu konstantu C.

Neka je data slucajna promenljiva X sa raspodelom

X :(

x0 x1 · · ·p0 p1 · · ·

),

gde xi ∈ N0, i ≥ 0. Funkcija generatrise date slucajne promenljive je

G(s) =∞

∑k=0

sk pk.

G(s) se naziva i funkcija generatrisa niza verovatnoca pk, k ≥ 0.

Lema 1.1. Za svako n ∈ N postoji n-ti izvod funkcije G(s) u tacki s=1 i jednak je E(X(X −

1)...(X− n + 1)). Specijalno, za n=1 i n=2 je

(1) G ′(1) = EX,

(2) G ′′(1) = EX2 − EX.

Teorema 1.10. Za nezavisne, nenegativne i celobrojne slucajne promenljive X1 i X2, cije sufunkcije generatrise jednake

GXi(s) =∞

∑k=0

sk pik, 0 ≤ s ≤ 1, i = 1, 2,

važi GX1+X2(s) = GX1(s) · GX2(s).

Dokaz. Kako je

GXi(s) = EsXi , 0 ≤ s ≤ 1, i = 1, 2,

na osnovu nezavisnosti slucajnih promenljivih je

GX1+X2(s) = EsX1+X2 = EsX1 sX2 = EsX1 · EsX2 = GX1(s) · GX2(s).

1.5. KLASIFIKACIJA SISTEMA MASOVNOG OPSLUŽIVANJA 15

Laplasova transformacija

Definicija 1.29. Laplasova transformacija nenegativne slucajne promenljive X cija je funkcijaraspodele F(·), definiše se kao funkcija definisana na R+, na sledeci nacin

ΛX(λ) = Ee−λX =∫ ∞

0e−λxdF(x), λ ≥ 0.

ΛX(λ) se naziva i Laplasova transformacija funkcije raspodele F.

Teorema 1.11. Laplasova trasformacija ima sledece osobine:

(1) ΛX(λ) ≤ 1, za svako λ ≥ 0;

(2) razlicitim raspodelama odgovaraju razlicite Laplasove transformacije;

(3) Laplasova transformacija na jedinstven nacin odreduje raspodelu cija je ona transforma-cija;

(4) Laplasova transformacija zbira nezavisnih slucajnih promenljivih jednaka je proizvoduLaplasovih transformacija sabiraka;

(5) za svako n ≥ 1 i λ > 0, postoji n-ti izvod Laplasove transformacije ΛX(λ) i jednak je

dn

dλn ΛX(λ) = (−1)n∫ ∞

0e−λxxndF(x), λ > 0.

Specijalno, važi EX = −Λ′(0), EX2 = Λ”(0), itd.

1.5 Klasifikacija sistema masovnog opsluživanja

Neki od faktora koji uticu na vreme cekanja i dužinu reda u sistemima opsluživanjasu intenzitet pristizanja i obrade zahteva, nacin opsluživanja, broj dostupnih serveraza pružanje usluge itd. Na osnovu svih tih parametara izvršena je karakterizacija iklasifikacija sistema masovnog opsluživanja. Sledeci faktori odreduju klasu sistemamasovnog opsluživanja.

1) Intenzitet pristizanja klijenata. Intenzitet pristizanja klijenata λ je prosecan brojklijenata koji dodu u sistem u jedinici vremena. Može biti vremenski zavisan, kao naprimer u kaficima, gde je povecan broj dolazaka danima vikenda.

2) Intenzitet opsluživanja klijenata. Intenzitet opsluživanja klijenata µ je prosecan brojopsluženih klijenata u jedinici vremena kada je server zauzet. Uobicajeno je da jedanserver opslužuje jednog klijenta, ali postoje situacije u kojima jedan server istovremenoopslužuje više klijenata. To je slucaj kod racunara kod kojih je moguce paralelno izvr-šavanje zadataka. Još jedan primer su turisti na vodenoj turi, gde ulogu servera ima

1.5. KLASIFIKACIJA SISTEMA MASOVNOG OPSLUŽIVANJA 16

turisticki vodic koji istovremeno opslužuje sve turiste u grupi.

3) Broj servera. Sistem može da se sastoji od jednog ili više paralelnih servera, pa caki beskonacno mnogo. Razliciti serveri mogu da imaju razlicit intenzitet opsluživanjau zavisnosti od usluge. U sistemu sa više servera moguce je da klijenti cekaju u jed-nom redu, tako da klijent koji je na redu za opsluživanje pristupa prvom serveru kojipostane slobodan (takvi su redovi u poštama). Takode, moguce je da za svaki serverpostoji zaseban red (kao na kasi u hipermarketima).

4) Kapacitet sistema. Maksimalan broj korisnika u sistemu (u redu i na opsluživanju)predstavlja kapacitet sistema. Ukoliko nije drugacije naznaceno, smatra se da je kapa-citet sistema beskonacan. Ako je kapacitet konacan i popunjen, novim korisnicima nijedozvoljen ulazak u sistem sve dok makar jedan klijent ne napusti isti.

5) Velicina populacije. Velicina populacije predstavlja ukupan broj klijenata u sistemui van sistema za opsluživanje. Najcešce je velicina populacije toliko velika u poredenjusa brojem klijenata u sistemu, da se može smatrati beskonacnom. Populacija je homo-gena ukoliko su klijenti medusobno jednaki u svojim potrebama za opsluživanjem iukoliko nema razlike u tretiranju klijenata nakon ulaska u sistem.

6) Disciplina (metoda) opsluživanja. Disciplina opsluživanja predstavlja nacin odabiraklijenta za opsluživanje iz reda. Najcešca je FIFO (first in, first out) disciplina, gde jesledeci klijent koji se opslužuje onaj koji je najduže u redu. Primer za ovakvu disci-plinu je auto-servis, gde majstori najpre popravljaju auto koji prvi stigne u servis (kojinajduže ceka), pa ce on prvi i izaci iz istog. FIFO disciplina se još naziva i FCFS (firstcome, first serve) disciplina. Kod LIFO (last in, first out) discipline, poslednji klijentkoji se prikljucio redu bice prvi uslužen. Na primer kod pranja sudova u restoranima,prljavi tanjiri se stavljaju na jedno mesto, te ce osoba koja ih pere prvo prati tanjire kojisu poslednji doneti. Drugi primer za ovu disciplinu su stvari iz kofera, gde ce prvo bitiizvadene stvari koje su poslednje spakovane. SIRO (servis in random order) je metodkod koga se klijent za opsluživanje bira iz reda na slucajan nacin, kao što je primerkod nagradnih igara, gde klijenti šalju poruke (koverte, prijave itd.), a organizator naslucajan nacin bira dobitnika nagradne igre. U informacionim tehnologijama, najce-šce se koristi PS (processor sharing) disciplina. Za ovu metodu karakteristicno je toda opsluživanje svih klijenata odmah pocinje (nema cekanja), ali je intenzitet opsluži-vanja proporcionalan broju klijenata u sistemu. Disciplina opsluživanja koja je širokorasprostranjena je PR (priority) disciplina, kod koje su klijenti podeljeni u grupe razli-citih prioriteta. Klijenti sa višim prioritetom imaju prednost prilikom opsluživanja uodnosu na klijente nižeg prioriteta. Postoje razne varijacije ove discipline, o cemu cekasnije biti reci. Tipican primer ove metode je na odeljenju hitne pomoci u bolnicama,gde se pacijentima koji su u kriticnom stanju prvo ukazuje pomoc.

1.6. LITTLE-OV ZAKON 17

Kendall-ova notacija

Kendall1 je 1953. godine u svom clanku ”Stochastic Processes Occurring in the Theory ofQueues and their Analysis by the Method of the Imbedded Markov Chain" predložio nacin zaoznacavanje i klasifikaciju sistema masovnog opsluživanja, koji se i danas koristi. Na-ime, sistem se može opisati pomocu niza simbola A|B|s|c|p|Z, pri cemu slovne oznakeimaju sledeca znacenja:

• A oznacava raspodelu vremena izmedu dva uzastopna dolaska klijenata ;

• B oznacava raspodelu vremena opsluživanja klijenata ;

• s predstavlja broj servera u sistemu ;

• c je kapacitet sistema ;

• p je velicina populacije iz koje klijenti dolaze ;

• Z oznacava disciplinu opsluživanja.

Simboli koji se najcešce koriste za opis ulaznog potoka i procesa opsluživanja su:

• M - Oznacava da su vremena izmedu uzastopnih dolazaka klijenata u sistem ilidužine trajanja opsluživanja eksponencijalno raspodeljene ;

• Ek - Znaci da vremena izmedu uzastopnih dolazaka klijenata u sistem ili dužinetrajanja opsluživanja imaju gama raspodelu ;

• D - Znaci da je dužina vremena izmedu uzastopnih dolazaka klijenata u sistemili dužina trajanja opsluživanja konstanta ;

• G - Predstavlja proizvoljnu raspodelu.

Na primer, zapis M|D|2|10|∞|LIFO oznacava sistem sa Puasonovim ulaznim potokomkod koga je vreme opsluživanja klijenta konstantno, u kome postoje dva servera zaopsluživanje, ukupno 10 mesta u sistemu i kod koga se klijent koji poslednji stigne usistem prvi opslužuje. Ukoliko nije drugacije naglašeno, podrazumeva se da je popula-cija beskonacno velika, kapacitet sistema beskonacan i da se radi o FIFO disciplini i onise izostavljaju iz notacije u tom slucaju.

1.6 Little-ov zakon

Little2-ov zakon je zbog svoje opštosti jedan od najkorisnijih rezultat u Teoriji ma-sovnog opsluživanja. Može se koristiti za sve modele masovnog opsluživanja, bez ob-zira na proces dolaženja klijenata, broj servera ili uredenje sistema.

1David George Kendall (1918-2007), profesor univerziteta na Kembridžu, u Engleskoj.2John Little (1928- ), penzionisani profesor na Masacusetskom institutu za tehnologiju u Sjedinjenim

Državama.


Teorema 1.12. Neka je L(x) broj klijenata u sistemu u trenutku x i neka je L prosecan brojprisutnih klijenata u sistemu, tokom vremenskog intervala [0, ∞), koji je jednak

L = limt→∞

1t

∫ t

0L(x)dx.

Neka je N(t) broj klijenata koji dodu u sistem u intervalu [0, t]. Prosecan broj pristiglih klijenatau sistem u jedinici vremena se oznacava sa λ i definiše

λ = limt→∞

N(t)t

.

Prosecno ukupno vreme koje klijent provede u sistemu je

T = limn→∞

1n

n

∑i=1

Ti,

gde je Ti vreme koje i-ti klijent provede u sistemu.Ukoliko λ i T postoje i konacni su, onda postoji i L i važi

L = λT. (1.6)

Little-ov zakon se može protumaciti na sledeci nacin. Neka svaki klijent placa svojboravak u sistemu jedan dinar po jedinici vremena. Placanje se može izvršiti na dva na-cina. Prvi nacin je da "konstantno" placaju svoj boravak u sistemu od trenutka dolaskapa sve do trenutka izlaska iz istog. Na ovaj nacin, prosecan prinos u jedinici vremenakoji ce sistem ostvariti od klijenata je L dinara. Drugi nacin placanja je da klijenti pla-caju svoj dug u trenutku kad napuštaju sistem (nakon opsluživanja). Na duže staze,broj klijenata koji napuste sistem u jedinici vremena jednak je broju klijenata koji uduu sistem u jedinici vremena. Na osnovu toga, prosecan prinos u jedinici vremena kojisistem ostvari od klijenata je λT dinara. Kako sistem podjednako zaraduje bez obzirana nacin placanja, važi L = λT.

Dokaz ovog tvrdenja je veoma komplikovan i od prvog objavljivanja Little-ove for-mule (1961. god.), mnogi matematicari su bezuspešno pokušavali da pojednostave do-kaz teoreme. William S. Jewell i Shaler Stidham su dvojica od mnogih matematicara kojisu radili na dokazu ovog tvrdenja. Kompletan dokaz tvrdenja se može naci u J.D.Little,A proof of the queueing formula L = λW, Opns. Res., 9 (1961), pp. 383-392.

Na osnovu Little-ove formule, na jednostavan nacin može se predstaviti veza iz-medu ocekivanog broja klijenata u redu i ocekivane dužine vremena koje klijent pro-vede u redu. Neka je W vreme koje klijent provede u redu od trenutka dolaska u sistemdo pocetka opsluživanja, a Lq broj klijenata u redu koji cekaju na opsluživanje. Tada je

E(Lq) = λE(W).

U narednom primeru ilustrovana je prakticna primena Littl-ovog zakona.


Primer 1.1 Posmatra se sistem u koji klijenti dolaze u skladu sa Puasonovom ras-podelom sa parametrom λ, opslužuju u skladu sa eksponencijalnom raspodelom saparametrom µ i u kome postoji s šaltera za opsluživanje.Opterecenje sistema u oznaci ρ, definiše se kao proizvod intenziteta po kome klijenti pri-stižu u sistem i ocekivane dužine trajanja opsluživanja, tj.

ρ =λ

µ.

Definišimo realizovano opterecenje sistema a′ na sledeci nacin,

a′ =s−1

∑j=1

jπj + s∞

∑j=s

πj, (1.7)

gde su verovatnoce πj odredene u teoremi 1.6.Velicina a′ predstavlja ocekivani broj zauzetih servera u sistemu. Prva suma u jednacini(1.7) ukazuje na cinjenicu da ukoliko je u sistemu broj klijenata manji od broja servera,svi klijenti ce biti na opsluživanju, dok druga ukazuje da ukoliko u sistemu postoji bars klijenata, svi serveri ce biti zauzeti.

Pretpostavimo da u posmatranom sistemu nema mesta za cekanje u redu. Oci-gledno, ovakav sistem se može posmatrati kao proces radanja i umiranja sa koeficijen-tima

λj =

λ, 0 ≤ j < s,0, j ≥ s ,

µj = µj, j ≥ 0.

Koeficijenti µj ce biti jednaki µj jer se klijenti opslužuju nezavisno jedan od drugogna svakom šalteru, a vreme opsluživanja svakog klijenta je opisano eksponencijalnomraspodelom sa parametrom µ. Na osnovu teoreme 1.6, verovatnoce πi, i ≥ 0 su

πj =

(λ/µ)j

j!

∑sk=0

(λ/µ)k

k!

, 0 ≤ j ≤ s,

dok je πj nula ukoliko je j > s.Kako u posmatranom sistemu nema mesta za cekanje u redu, verovatnoca da se u

sistemu nalazi j klijenata jednaka je verovatnoci da u sistemu budu zauzeta j servera.Dakle, verovatnoca da svih s servera budu zauzeta je

πs =(λ/µ)s

s!

∑sk=0

(λ/µ)k

k!

=ρs

s!

∑sk=0

ρk

k!

.


Realizovano opterecenje a′ je po definiciji jednako prosecnom broju zauzetih serveraza opsluživanje, pa je u slucaju kada je sistem bez mesta za cekanje u redu a′ jednakoukupnom broju klijenata u sistemu, tj.

a′ = L. (1.8)

Da bi klijent ušao u sistem, potrebno je da bude slobodan bar jedan server (jer sistemnema mesta za cekanje), pa je zato intenzitet po kome klijenti ulaze u sistem

λ(1− πs), (1.9)

gde je 1− πs verovatnoca da je u sistemu slobodan bar jedan šalter.Opsluživanje klijenta krece odmah nakon njegovog dolaska u sistem, pa je ocekivanovreme koje klijent provede u sistemu ustvari ocekivana dužina trajanja njegovog op-služivanja, tj. 1/µ. Uzeci to u obzir, kao i (1.6), (1.8) i (1.9), sledi

a′ =[λ(1− πs

)] 1µ

.

Za ρ = λµ , prethodna jednakost je

a′ = ρ(1− πs).

Koristeci Little-ovu formulu, u prethodnom primeru je na jednostavan nacin izve-dena veza izmedu ρ i a′.

Zanimljiv je i sledeci primer u kome je primenjena Little-ova teorema.

Primer 1.2 U butiku postoji samo jedna kasa i deo lokala za razgledanje stvari, pricemu se pretpostavlja da niko ne napušta butik bez kupljenog proizvoda. Dakle, sistemizgleda ovako

ulaz→ razgledanje proizvoda→ kasa→ izlaz.

Napomenimo da stopa po kojoj klijenti dolaze u butik ne sme biti veca od stope pokojoj izlaze, jer bi u tom slucaju dužina reda za cekanje težila beskonacnosti.Prema Little-ovoj teoremi, prosecan broj klijenata u sistemu (u ovom slucaju u butiku),jednaka je proizvodu intenziteta po kome klijenti dolaze i prosecnoj dužini zadržavanjau istom, tj.

L = λT.

Neka klijenti dolaze u butik sa intenzitetom 10 klijenata na sat vremena i neka je vremezadržavanja u butiku 30 minuta, odnosno 0.5 sati. To znaci da je ocekivani broj klijenatau butiku (primenom Little-ovog zakona)

L = 0.5 ∗ 10 = 5.

1.7. SISTEM M/M/M 21

Pretpostavimo da je nakon reklame butika privucen veci broj kupaca i da sada klijentidolaze u butik sa intenzitetom od 15 klijenata na sat vremena. Kako je velicina butikaogranicena prostorom, nakon povecanja priliva klijenata potrebno je redukovati vremekoje klijenti provode u sistemu. To se može postici boljim rasporedom proizvoda ubutiku, dodavanjem još jedne kase itd. Primenom Little-ove teoreme može se odreditikoje je vreme zadržavanja klijenta u sistemu odgovarajuce, da bismo održali prosecanbroj klijenata u sistemu istim kao i pre reklame butika. Jednostavnom racunicom dobijase da je traženo vreme zadržavanja T = L

λ = 515 = 0.33 sati, tj. 20 minuta.

Napomenimo da u realnosti, koliko god da je veliki prostor za cekanje u redu (iliprostor za razgledanje proizvoda), ukoliko je stopa dolaska u sistem veca od stope od-laska, doci ce do tzv. prelivanja klijenata, tj. svaki klijent koji dode u trenutku kadasu zauzeta sva mesta za cekanje bice odbijen (ili prinuden da saceka slobodno mesto).Stopa po kojoj klijenti dolaze u sistem (racunaju se i klijenti koji dobijaju otkaz zbognedostatka mesta u sistemu) se naziva stopa dolaska, dok se stopa po kojoj klijenti do-laze i ulaze u sistem (to su klijenti koji nisu odbijeni zbog nedostatka mesta u sistemu)naziva efektivna stopa dolaska.

1.7 Sistem M/M/m

M/M/m predstavlja sistem kod koga je ulazni potok Puasonov sa parametrom λ,dužina trajanja opsluživanja sa eksponencijalnom raspodelom sa parametrom µ i kodkoga postoji m servera za opsluživanje klijenata. Ovo je model koji se neretko koristiu analizi sistema sa više od jednog servera, kao što su banke, pošte, kase u marketima,mesta cekiranje karata na aerodromima itd.

Neka je Pk(t) verovatnoca da se u trenutku t u sistemu nalazi k klijenata. Vero-vatnoca da su u trenutku t + h sve linije slobodne je

P0(t + h) = P0(t)(1− λh) + µhP1(t) + o(h). (1.10)

Prvi sabirak u prethodnoj jednakosti predstavlja verovatnocu da je u trenutku t svihm linija bilo slobodno i da za vreme h nije došao nijedan novi klijent. Drugi sabirakpredstavlja verovatnocu da je u trenutku t jedan server bio zauzet i da je za vreme hzavršeno opsluživanje na tom serveru i da za to vreme nije došao nijedan novi klijent.Kada h→ 0, dodavanjem −P0(t) i deljenjem obe strane jednacine (1.10) sa h sledi

P′0(t) = −λP0(t) + µP1(t). (1.11)

Verovatnoca da se u trenutku t + h nalazi k, 1 ≤ k < m klijenata je

Pk(t + h) = Pk(t)(1− λh− kµh) + λhPk−1(t) + (k + 1)µhPk+1(t) + o(h). (1.12)

Prvi sabirak u prethodnoj jednacini predstavlja verovatnocu da je u trenutku t u si-stemu bilo k klijenata i da za vreme h nije došao nijedan novi klijent i nijedna od k

1.7. SISTEM M/M/M 22

zauzetih linija nije završila sa opsluživanjem. Drugi sabirak predstavlja verovatnocuda je u trenutku t bilo k− 1 klijenata i da je za vreme h došao jedan novi klijent, a nijezavršeno nijedno od k− 1 opsluživanja koja su bila u toku u trenutku t. Treci sabirakpredstavlja verovatnocu da je u trenutku t bilo k + 1 klijenata i da za vreme h nije bilonovih dolazaka klijenata u sistem, a završeno je opsluživanje jednog klijenta.

Kada h→ 0, dodavanjem −Pk(t) i deljenjem obe strane jednacine (1.12) sa h sledi

P′k(t) = −(λ + kµ)Pk(t) + λPk−1(t) + (k + 1)µPk + 1(t). (1.13)

Analogno za k ≥ m se dobija

P′k(t) = −(λ + mµ)Pk(t) + λPk−1(t) + mµPk + 1(t). (1.14)

Na jednostavan nacin, rešavanjem sistema jednacina (1.11),(1.13) i (1.14), kada t → ∞,dolazi se do verovatnoca

π0 =

( m

∑k=0

ρk

k!+

mm

m!

∞

∑k=m+1

( ρ

m

)k)−1

,

πk =ρk

k!π0, 1 ≤ k < m,

πk =ρk

m!mk−m π0, k ≥ m.

U praksi je cest slucaj da sistemi ne zadovoljavaju uslov o Puasonovom ulaznompotoku ili o eksponencijalnosti raspodele dužine opsluživanja klijenta, pa se stoga unastavku rada obraduju uopšteni M/M/m sistemi.

U nastavku rada, test klijent ce biti odredeni klijent cija nam je pozicija znacajnaza analizu konkretnog sistema (njegove karakteristike ce biti istaknute u svakom odanaliziranih sistema).

2Sistemi masovnog opsluživanja

kod kojih su vremenaopsluživanja sa proizvoljnom

raspodelom

2.1 Sistem M/G/1

N eka posmatrani sistem ima jednu liniju za opsluživanje, neogranicen broj mesta zacekanje i neka se klijenti opslužuju po FIFO disciplini. Takode, neka klijenti dolaze

u sistem u skladu sa Puasonovom raspodelom sa intenzitetom λ i neka je raspodeladužine trajanja opsluživanja proizvoljna, sa funkcijom raspodele B(x) = P[S < x] igustinom raspodele fB(·), gde S oznacava dužinu trajanja opsluživanja. Pretpostavljase da slucajna promenljiva S ima konacno matematicko ocekivanje E(S) = b < ∞ i daje D(S) = σ2

s < ∞. Dalje, neka su dužine opsluživanja klijenata S1, S2, S3, ... nezavisneslucajne promenljive sa istom funkcijom raspodele B(x). Opisani model je M/G/1model.

Neka je Q(t) broj klijenata u sistemu u trenutku t (t ≥ 0), tn momenat završetkaopsluživanja n-tog klijenta (n = 1, 2, 3, ...) i Qn = Q(tn + 0) broj klijenata koji je ostao usistemu po odlasku n-tog klijenta iz istog. Pretpostavlja se da je Q0 = 0. Pokazacemoda je niz Qn, n ∈ N lanac Markova.

Stanje procesa u trenutku tn, koje je definisano kao broj klijenata koji su ostali usistemu posle odlaska n-tog klijenta, je broj klijenata koji su bili u sistemu u trenutkutn−1 minus jedan (to je onaj klijent koji je zapoceo svoje opsluživanje u trenutku tn−1i završio sa opsluživanjem u trenutku tn), plus broj klijenata koji su došli u sistem zavreme opsluživanja n-tog klijenta (tj. broj klijenata koji su došli u sistem u intervalu(tn−1, tn)).

23

2.1. SISTEM M/G/1 24

Neka je Xn broj klijenata koji su došli u sistem za vreme opsluživanja n-tog klijenta,tj. broj klijenata koji su došli u sistem tokom vremenskog intervala dužine Sn. Zan = 1, 2, 3, ... je

Qn =

Qn−1 − 1 + Xn, Qn−1 ≥ 1,

Xn, Qn−1 = 0 .(2.1)

Prema uvedenim pretpostavkama, slucajna promenljiva Sn ne zavisi ni od dužine op-služivanja prethodnih klijenata, niti od dužine reda. Kako je ulazni potok Puasonov,broj klijenata koji su došli u sistem za vreme opsluživanja n-tog klijenta zavisi samood od dužine njegovog opsluživanja, a ne zavisi ni od dužine reda ni od momenta po-cetka opsluživanja n-tog klijenta. Iz poslednjeg sledi da je Qn, n ∈ N lanac Markova,koji se naziva umetnuti lanac Markova. Umetnuti lanci Markova imaju kljucnu ulogu uanalizi sistema kod kojih nije poznata raspodela vremena opsluživanja ili ulazni potokklijenata.

Sistem

Serverred

λ

Slika 2.1: Graficki prikaz pomenutog M/G/1 modela.

Odredimo raspodelu slucajne promenljive Xn.Neka je dužina opsluživanja n-tog klijenta jednaka v, tj. Sn = v. Po pretpostavci, brojklijenata koji dodu u sistem tokom vremena dužine v predstavlja slucajnu promenljivusa Puasonovom raspodelom i parametrom λv. Verovatnoca da tokom vremenskog pe-rioda dužine v u sistem dode k klijenata je

P[Xn = k|Sn = v] =(λv)k

k!e−λv, k = 0, 1, 2, ... . (2.2)

Verovatnoca da za vreme opsluživanja n-tog klijenta u sistem dode k klijenata se dobijaiz jednacine (2.2) integraljenjem po svim mogucim dužinama trajanja opsluživanja, tj.

fk := P[Xn = k] =∫ ∞

0P[Xn = k|Sn = x]dB(x)

=1k!

∫ ∞

0(λx)ke−λxdB(x), k ≥ 0. (2.3)

2.2. RASPODELA BROJA KLIJENATA U M/G/1 SISTEMU 25

Primenom Tejlorovog razvoja eksponencijalne funkcije

eλx =∞

∑k=1

(λx)k−1

(k− 1)!,

i koristeci izraz (2.3), sledi

E(Xn) =∞

∑k=0

kP[Xn = k] = limt→∞

t

∑k=0

kP[Xn = k]

=∫ ∞

0limt→∞

t

∑k=1

k

(λx)k

k!e−λxdB(x) =

∫ ∞

0λx

∞

∑k=1

(λx)k−1

(k− 1)!e−λxdB(x)

= λ∫ ∞

0xdB(x) = λE(S) = λb = ρ. (2.4)

Dakle, ocekivani broj klijenata koji dodu u sistem za vreme opsluživanja n-tog kli-jenta je proizvod prosecnog broja klijenata koji dodu u sistem u jedinici vremena (λ) iocekivane dužine trajanja opsluživanja (b), što je u stvari opterecenje sistema (ρ).

2.2 Raspodela broja klijenata u M/G/1 sistemu

Neka u sistemu postoji jedan server za opsluživanje i neka je

Pij = P(Qn = j|Qn−1 = i)

verovatnoca da sistem u jednom koraku prede iz stanja i u stanje j. Ukoliko je i = 0,verovatnoca Pij ce biti jednaka verovatnoci da u sistem dode j klijenata, odnosno bicef j. Zbog toga što u sistemu postoji samo jedan server za opsluživanje, ukoliko je i > 0,verovatnoca Pij zavisi od j i jednaka je

Pij =

f j−i+1, j ≥ i− 1,

0, j < i− 1 .

Matrica verovatnoca prelaza P za lanac Markova Qn, n ∈ N je

P =

P00 P01 P02 . . .P10 P11 P12 . . .

......

...Pi0 Pi1 Pi2 . . ....

=

f0 f1 f2 f3 . . .f0 f1 f2 f3 . . .0 f0 f1 f2 . . .0 0 f0 f1 . . ....

......

. . ....

. (2.5)

Verovatnoce prelaza se mogu prikazati i graficki, kao što je prikazano na sledecoj slici,gde krugovi predstavljaju stanja sistema.


· · · n− 1 n n + 1 n + 2 · · · k · · ·

f0

f1

f2

f3

fk−n+1

Slika 2.2: Graficki prikaz verovanoca prelaza za M/G/1 model.

Ukoliko se sistem nalazi u stanju i, to znaci da se u njemu nalazi i klijenata od kojihje jedan na opsluživanju. Po završetku opsluživanja tog klijenta, u sistemu ce ostatii− 1 klijent (jer ce klijent cije je opsluživanje završeno napustiti sistem) plus klijenti kojisu došli za vreme opsluživanja tog klijenta. Dakle, broj klijenata koji ce biti u sistemunakon opsluživanja ovog klijenta je

j =

i− 1 + x, i ≥ 1,x, i = 0 ,

gde je x broj klijenata koji su došli u sistem tokom opsluživanja posmatranog klijenta.Da bismo mogli da analiziramo ponašanje sistema u buducnosti, ocekivana vred-

nost slucajne promenljive Xn mora biti manja od 1, jer bi u suprotnom klijenti brže do-lazili u sistem nego što bi ga napuštali, što bi vremenom dovelo do toga da server budezauvek zauzet, kao i da se pravi red za cekanje na opsluživanje cija bi dužina težilabeskonacnosti. Kao posledicu uvodimo dodatnu pretpostavku da je E(Xn) = ρ < 1.Iz

Qn =

Qn−1 − 1 + Xn, Qn−1 ≥ 1,

Xn, Qn−1 = 0 ,(2.6)

i formule (2.4), sledi

E(Qn|Qn−1 = i) = i− 1 + E(Xn) = i− 1 + ρ, i ≥ 1,

E(Qn|Qn−1 = 0) = E(Xn) = ρ.

Stacionarne verovatnoce πk, k ≥ 0 za umetnuti lanac Markova su

πk = limn→∞

P(Qn = k), k = 0, 1, 2, ... .

Verovatnoce πk, k ≥ 0 predstavljaju verovatnoce da se u sistemu nalazi k, k ≥ 0klijenata kada vreme teži beskonacnosti. Ocigledno je

∞

∑j=0

πj = 1.


Na osnovu definicije (1.20), verovatnoce πk se mogu naci iz sistema jednacina

π′ = π′P,

tj.

πk =∞

∑j=0

πjPjk, k = 0, 1, 2, ...,

∞

∑j=0

πj = 1, (2.7)

gde su Pjk elementi matrice P definisane u (2.5) i π′ = [π0, π1, ...]. Na osnovu (2.5),sistem jednacina koji rešavamo ekvivalentan je sledecem sistemu,

π0 = π0 f0 + π1 f0,

π1 = π0 f1 + π1 f1 + π2 f0,

π2 = π0 f2 + π1 f2 + π2 f1 + π3 f0,

...

Definišimo νi na sledeci nacin,

ν0 := 1,

νi :=πi

π0, i ≥ 1.

Ukoliko se uvedena smena uvrsti u prethodni sistem jednacina, dobija se sistem

ν1 =1− f0

f0,

ν2 =1− f1

f0ν1 −

f1

f0,

...

νj =1− f1

f0νj−1 −

f2

f0νj−2 − ...−

f j−1

f0ν1 −

f j−1

f0,

...

Ovaj sistem jednacina se može rešiti rekurzivno.Da bi izrazili πi-ove preko νi-ova, primetimo da je

∞

∑i=0

νi = 1 +∞

∑i=1

νi = 1 +∞

∑i=1

πi

π0=

∑∞i=0 πi

π0=

1π0

,


odakle sledi

π0 =

(1 +

∞

∑i=1

νi

)−1

,

πi =νi

1 + ∑∞i=1 νi

, i ≥ 1.

Iz oblika matrice P sledi da su u formuli (2.7) za fiksirano k, samo k + 2 verovatnocePjk razlicite od nule i to: P0k, P1k, P2k, ..., Pkk, Pk+1,k. Stoga je

πk =k+1

∑j=0

πjPjk = π0P0k + π1P1k + π2P2k + ...πkPkk + πk+1Pk+1,k

= π0 fk + π1 fk + π2 fk−1 + ...πk f1 + πk+1 f0 =k

∑j=0

πk−j+1 f j + π0 fk, k = 0, 1, 2, ... .

Dakle,

πk =k

∑j=0

πk−j+1 f j + π0 fk, k = 0, 1, 2, ... . (2.8)

Rešenje sistema (2.8) je moguce dobiti i metodom funkcija generatrisa.Neka su

F (z) =∞

∑k=0

zk fk i π(z) =∞

∑k=0

zkπk, (2.9)

funkcije generatrise nizova fn, n ≥ 0 i πn, n ≥ 0 respektivno, gde je |z| ≤ 1 i nekaje

Ψ(s) =∫ ∞

0e−sxdB(x),

Laplasova transformacija funkcije B(·). Množenjem obe strane jednakosti (2.8) sa zk isumiranjem po svim k-ovima od 0 do ∞, dobija se

π(z) =∞

∑k=0

zk( k

∑j=0

πk−j+1 f j + π0 fk

).

Zbog pozitivnosti sabiraka, u prethodnoj sumi je moguce menjati poredak sumiranja,


pa je

π(z) =∞

∑j=0

f jzj∞

∑k=j

zk−jπk−j+1 + π0

∞

∑k=0

zk fk

=1z

∞

∑j=0

f jzj∞

∑k=j

zk−j+1πk−j+1 + π0

∞

∑k=0

zk fk

=1z

∞

∑j=0

f jzj∞

∑m=1

zmπm + π0

∞

∑k=0

zk fk

=1z

∞

∑j=0

zj f j(∞

∑m=0

zmπm − π0) + π0

∞

∑k=0

zk fk.

Koristeci prethodno dobijeni rezultat i jednacine (2.9), sledi

π(z) =F (z)

z(π(z)− π0) + π0F (z) =

F (z)z

(π(z)− (1− z)π0).

Rešavanjem po π(z), dobija se

π(z) =(1− z)π0F (z)F (z)− z

. (2.10)

Potrebno je naci π0 i F (z).Uzeci u obzir da je F (1) = 1, sledi

F (z)− z1− z

=F (z)−F (1)− z +F (1)

1− z

=F (1)− z

1− z− F (z)−F (1)

z− 1

= 1− F (z)−F (1)z− 1

.

Kada z→ 1, iz prethodne jednakosti je

limz→1

F (z)− z1− z

= limz→1

(1− F (z)−F (1)

z− 1

)= 1−F ′(1). (2.11)

Uzeci u obzir da je π(1) = 1 i jednakost (2.11), kada z→ 1 iz jednacine (2.10) se dobija

1 =π0

1−F ′(1) ,


odakle je π0 = 1−F ′(1). Dalje, koriteci Tejlorov razvoj eksponencijalne funkcije i (2.3),sledi

F (z) =∞

∑k=0

zk fk =∞

∑k=0

1k!

∫ ∞

0(λxz)ke−λxdB(x)

=∫ ∞

0e−λx

∞

∑k=0

(λxz)k

k!dB(x)

=∫ ∞

0e−λx(1−z)dB(z) = Ψ

(λ(1− z)

). (2.12)

Diferenciranjem leve i desne strane jednacine F (z) = Ψ(λ(1− z)

), dobija se

F ′(z) = −λΨ′(λ(1− z)

),

odakle je

1−F ′(1) = 1 + λΨ′(0) = 1− λES = 1− λb = 1− ρ, (2.13)

gde je korišcena osobina (5) iz teoreme (1.11), tj. −Ψ′(0) = ES = b.Iz (2.13) sledi da jeF ′(1) = ρ. Kako je π0 = 1−F ′(1) iF ′(1) = ρ, sledi da je π0 = 1− ρ,tj. ρ = 1− π0.

Iz 2.10 sledi

π(z) =(1− z)(1− ρ)Ψ

(λ(1− z)

)Ψ(λ(1− z)

)− z

. (2.14)

Ovo je funkcija generatrisa za niz koji predstavlja broj klijenata u sistemu koji ostajunakon završetka opsluživanja n-tog klijenta. Iz jednacine (2.12) i (2.14) sledi da se π(z)može izraziti i na sledeci nacin,

π(z) =(1− ρ)F (z)

z−F (z)z−1

=(1− ρ)F (z)1− 1−F (z)

1−z

.

Neka je

C(z) :=1−F (z)

1− z.

Korišcenjem uvedene smene i formule za sumu beskonacnog geometrijskog niza sledi

π(z) = (1− ρ)F (z) 11− C(z)

= (1− ρ)F (z)∞

∑j=0|C(z)|j.

Eksplicitno izražene verovatnoce πk, k ≥ 0 se dobijaju izjednacavanjem koeficijenatauz zk, k ≥ 0 sa leve i desne strane izraza poslednje jednakosti.

2.3. VREME PROVEDENO U REDU CEKAJUCI NA OPSLUŽIVANJE 31

2.3 Vreme provedeno u redu cekajuci na opsluživanje

U ovom radu ce biti opisana dva nacina na koja je moguce odrediti ocekivano vremekoje ce klijent provesti u redu cekajuci na opsluživanje. Prvi nacin je preko formulePollaczek − Khintchina, dok je drugi nacin preko ocekivane preostale dužine opsluži-vanja klijenta koji je na šalteru u trenutku dolaska test klijenta u isti.

I nacinNeka su πi, i ≥ 0 i π(z) stacionarne verovatnoce za umetnuti lanac Markova

Qn, n ∈ N i odgovarajuca funkcija generatrise niza πi, i ≥ 0 respektivno, o ko-jima je prethodno bilo reci. Neka je T slucajna promenljiva koja prestavlja ukupnovreme koje klijent provede u sistemu (vreme koje provede cekajuci na opsluživanjeplus vreme koje provede na šalteru) sa funkcijom raspodele F(·) i Laplasovom trans-formacijom Φ(θ) =

∫ ∞0 e−θtdF(t). Neka W predstavlja vreme koje test klijent provede

u redu cekajuci na opsluživanje.Pretopstavlja se da je test klijent završio sa opsluživanjem i da odlazi, ostavljajuci

iza sebe n osoba u sistemu. To znaci da je za vreme boravka test klijenta u sistemu (zavreme koje je proveo u redu cekajuci plus vreme provedeno na opsluživanju), došlo nosoba. Ukoliko Q(t) oznacava broj klijenata koji su ostali u sistemu nakon odlaska testklijenta iz istog, onda je

P(Q(t) = n|T = t) = e−λt (λt)n

n!.

Integraljenjem po svim mogucim dužinama t, dobija se

P(Q(t) = n) =∫ ∞

0e−λt (λt)n

n!dF(t), n ≥ 0.

Kako je

π(z) =∞

∑n=0

P(Q(t) = n)zn

=∞

∑n=0

zn∫ ∞

0e−λt (λt)n

n!dF(t)

=∫ ∞

0e−λt

∞

∑n=0

(λtz)n

n!dF(t)

=∫ ∞

0e−λteλtzdF(t)

=∫ ∞

0e−(λ−λz)tdF(t) = Φ(λ− λz), (2.15)

koristeci jednacinu (2.14) sledi

Φ(λ− λz) =(1− z)(1− ρ)Ψ(λ(1− z))

Ψ(λ(1− z))− z. (2.16)

2.3. FORMULA POLLACZEK− KHINTCHINA I VREME PROVEDENO U REDU 32

Uvedimo smenu θ = λ− λz. Tada iz (2.16) sledi

Φ(θ) =θλ (1− ρ)Ψ(θ)

Ψ(θ)− λ−θλ

=θ(1− ρ)Ψ(θ)

θ − λ(1−Ψ(θ)). (2.17)

Kako je ukupno vreme provedeno u sistemu (T) jednako zbiru vremena provedenomu redu (W) i vremena provedenom na opsluživanju (S), i uzeci u obzir da su W i Snezavisne slucajne promenljive, to je na osnovu osobine (4) iz teoreme (1.11) je

Φ(θ) = ΦW(θ)Ψ(θ), (2.18)

gde su Φ(θ), ΦW(θ) i Ψ(θ) Laplasove transformacije slucajnih promenljivih T, W i Srespektivno. Uporedujuci (2.17) i (2.18) sledi da je Laplasova transformacija slucajnepromenljive W,

ΦW(θ) =Φ(θ)

Ψ(θ)=

θ(1− ρ)

θ − λ(1−Ψ(θ)). (2.19)

Prethodni rezultat se naziva f ormula Pollaczek− Khintchina i predstavlja veoma kori-stan rezultat koji u Teoriji masovnog opsluživanja ima široku prakticnu primenu.

Na osnovu osobine (5) iz teoreme (1.11) je

E(W) = −Φ′W(0). (2.20)

Koristeci ψ(0) = 1, ψ′(0) = −b i (2.20), iz formule Pollaczek − Khintchina na veomajednostavan nacin (koristeci dva puta Lopitalovo pravilo) sledi

E(W) =ρb

2(1− ρ)

(1 +

σ2s

b2

). (2.21)

Formula Pollaczek− Khintchina se može izraziti i na sledeci nacin,

ΦW(θ) =1− ρ

1− λθ

(1−Ψ(θ)

)= (1− ρ)

∞

∑n=0

[λ

θ

(1−Ψ(θ)

)]n.

Kako je iz (2.15) Φ(θ) = π(λ−θλ ), iz (2.19) sledi

ΦW(θ) =π(λ−θ

λ )

Ψ(θ).

Ocekivano vreme koje ce klijent provesti u redu se može odrediti i na sledeci na-cin.

2.3. FORMULA POLLACZEK− KHINTCHINA I VREME PROVEDENO U REDU 33

II nacinNeka je Lq broj klijenata u redu koji cekaju na opsluživanje i R preostalo vreme op-

služivanja klijenta koji je na šalteru u trenutku dolaska test klijenta u sistem. Kako ρpredstavlja verovatnocu da kod M/G/1 sistema server bude zauzet, to se ocekivanovreme koje test klijent provede u redu cekajuci na opsluživanje može izraziti na sledecinacin,

E(W) = E(Lq)E(S) + ρE(R). (2.22)

Prvi sabirak u (2.22) predstavlja ocekivano vreme potrebno za opsluživanje svih klije-nata koji cekaju na opsluživanje u trenutku dolaska test klijenta u sistem, dok drugisabirak predstavlja potencijalno ocekivano preostalo vreme opsluživanja klijenta koji jena šalteru u trenutku dolaska test klijenta.

Na osnovu Little-ovog zakona je

E(Lq) = λE(W).

Koristeci Little-ov zakon i cinjenicu da je λE(S) = ρ, iz (2.22) sledi

E(W) =ρE(R)1− ρ

.

Potrebno je izracunati E(R).Neka X predstavlja ukupno vreme opsluživanja klijenta koji je na šalteru u trenutku

dolaska test klijenta u sistem i neka je fX(·) gustina raspodele slucajne promeljive X.Tada je

P(x ≤ X ≤ x + dx

)= fX(x)dx = Cx fB(x)dx, (2.23)

gde je C konstanta, takva da važi

C−1 =∫ ∞

0x fB(x)dx = E(S).

Dakle,

fX(x) =x fB(x)E(S)

. (2.24)

Smatra se da je vreme dolaska test klijenta u sistem slucajan trenutak u perioduopsluživanja klijenta koji je na šalteru, tj. za X = x, trenutak dolaska test klijenta jeslucajan trenutak u intervalu (0, x). Dakle, za preostalo vreme opsluživanja R važi

P(t ≤ R ≤ t + dt|X = x

)=

dtx

, t ≤ x. (2.25)

2.4. PERIOD ZAUZETOSTI M/G/1 SISTEMA 34

Za t > x je P(t ≤ R ≤ t + dt|X = x

)= 0, jer je nemoguce da je preostalo vreme

opsluživanja vece od same dužine opsluživanja.Iz (2.24) i (2.25) sledi

P(t ≤ R ≤ t + dt

)= fR(t)dt =

∫ ∞

t

dtx

fX(x)dx

=∫ ∞

t

fB(x)E(S)

dxdt =1− B(t)

E(S)dt,

odakle je

fR(t) =1− B(t)

E(S). (2.26)

Množenjem sa t i integraljenjem obe strane jednakosti (2.26) dobija se

E(R) =∫ ∞

0t fR(t)dt =

1E(S)

∫ ∞

0t(1− B(t)

)dt,

odakle se primenom parcijalne integracije dobija

E(R) =1

E(S)

∫ ∞

0

12

t2 fB(t)dt =E(S2)

2E(S). (2.27)

Dakle, preostalo vreme opsluživanja klijenta koji je na šalteru u trenutku ulaska testklijenta u sistem je kolicnik drugog momenta vremena opsluživanja i dvostrukog oce-kivanja vremena opsluživanja.

2.4 Period zauzetosti M/G/1 sistema

Period zauzetosti sistema predstavlja vreme tokom kog je server zauzet, tj. vremeod trenutka kada u sistem dode klijent, pa do trenutka kada sistem prvi put ostane bezijednog klijenta.

Neka se M/G/1 sistem nalazi u stanju i, tj. neka se u sistemu se nalazi i klijenata, ineka je

g(n)i = P(Bi = n), n = 1, 2, 3, ...,

gde Bi predstavlja broj prelaza stanja lanca Markova pre nego što sistem prvi put izstanja i dode u stanje 0. Prelazak sistema iz stanja i u stanje 0 se može posmatrati kao irazlicitih prelazaka:

(1) i→ (i− 1),

(2) (i− 1)→ (i− 2),


(3) (i− 2)→ (i− 3) ,

...

(i) 1→ 0 .

Ovo sledi iz cinjenice da za jedan korak, maksimalni silazni prelaz sistema iz stanja imože biti u stanje i − 1 (u smislu da je nemoguce da sistem iz stanja i, nakon jednogkoraka prede u stanje i− k, k ≥ 2. Ovo važi za sisteme sa jednim šalterom za opsluži-vanje). Stoga, verovatnoca g(n)i je i-tostruka konvolucija1 verovatnoce g(n)1 . Verovatnoca

g(n)i = 0 za n < i, jer je nemoguce da sistem iz stanja i > 0 stigne do stanja 0 za brojkoraka koji je manji od i.

Funkcija generatrisa niza g(n)i , n ∈ N je

Gi(z) =∞

∑n=i

g(n)i zn =(G1(z)

)i. (2.28)

Važi da je

g(i)i = f (i)0 ,

g(n)i =n−1

∑r=1

f (i)r g(n−i)r , n > i, (2.29)

gde je f (i)r i-tostruka konvolucija verovatnoce fr, koja je definisana u (2.3).Za i = 1 je

g(1)1 = f0,

g(n)1 =n−1

∑r=1

frg(n−1)r , n ≥ 2. (2.30)

Iz (2.30) sledi

g(1)1 z = f0z,

∞

∑n=2

g(n)1 zn =∞

∑n=2

znn−1

∑r=1

frg(n−1)r . (2.31)

1Konvolucija funkcija F1 i F2, u oznaci F1 ⊗ F2 je funkcija raspodele zbira slucajnih promenljivih X1 iX2, gde F1 i F2 predstavljaju funkcije raspodele od X1 i X2 respektivno i definisana je na sledeci nacin

F1 ⊗ F2 =∫ t

0F1(t− x)dF2(x).

Po indukciji, ako su X1, X2, X3, ..., Xn nezavisne i jednako raspodeljene slucajne promenljive sa funkcijomraspodele F(x), tada zbir tih slucajnih promenljivih ima funkciju raspodele Fn−1 ⊗ F.


Dalje je

G1(z) =∞

∑n=1

g(n)1 zn = g(1)1 z +∞

∑n=2

g(n)1 zn,

pa je iz (2.31),

G1(z) = f0z +∞

∑n=2

znn−1

∑r=1

frg(n−1)r = f0z + z

∞

∑n=2

n−1

∑r=1

zn−1 frg(n−1)r

= f0z + z∞

∑r=1

fr

∞

∑n=r+1

zn−1g(n−1)r = f0z + z

∞

∑r=1

fr

∞

∑n=r

zng(n)r . (2.32)

Iz (2.28) i (2.32) sledi

G1(z) = z( f0 +∞

∑r=1

fr[G1(z)]r)

= z∞

∑r=0

fr[G1(z)]r = zF(G1(z)

), (2.33)

gde je F (z) definisana u (2.9).Kako je iz (2.12) F (ω) = Ψ(λ − λω), to iz (2.33) sledi da G1(z) ≡ G(z) zadovoljavajednacinu

ω = zΨ(λ− λω), (2.34)

gde je Ψ(s) Laplasova transformacija raspodele B(·).

Diferenciranjem jednacine

G(z) = zΨ(λ− λG(z)

),

dobija se

G′(z) = Ψ(λ− λG(z)

)− λzΨ′

(λ− λG(z)

)G′(z).

Kako je G(1) = 1, kada z→ 1 iz prethodne jednacine sledi

G′(1) = Ψ(0)− λΨ′(0)G′(1). (2.35)

Kako je Ψ(0) =∫ ∞

0 dB(x) = 1, iz (2.35) je

G′(1)(1 + λΨ′(0)) = 1, tj. G′(1) =1

1 + λΨ′(0). (2.36)

Koristeci Ψ′(0) = −b, E(B1) = G′(1) (što sledi iz Leme 1.1) i cinjenicu da je ρ = λb, iz(2.36) se dobija

E(B1) = G′(1) =1

1− ρ.

Kako je potrebno naci prosecan period zauzetosti sistema, prethodnu jednacinu je po-trebno pomnožiti prosecnom dužinom trajanja opsluživanja. Tako se dobija

2.5. SISTEM M/G/1/K 37

prosecni period zauzetosti sistema= ES1−ρ .

2.5 Sistem M/G/1/K

Pre definisanja M/G/1/K sistema, navedena je teorema koja ce kod obrade pome-nutog modela biti od velike koristi. To je rezultat koji pokazuje jednakost stacionarnihraspodela broja klijenata u sistemu pri dolasku i odlasku klijenta iz istog.

Teorema 2.1. Posmatrajmo sistem u koji klijenti dolaze u skladu sa Puasonovom raspodelom i ukome postoji jedan server za opsluživanje i neogranicen broj mesta u redu. Neka je P

(Q(t) = k

)verovatnoca da u sistemu u trenutku t bude pristutno k klijenata i neka je:

• π′k(t) verovatnoca da test klijent koji stigne u sistem u trenutku t, zatekne k klijenata uistom;

• πk(t) verovatnoca da test klijent koji odlazi iz sistema u trenutku t, ostavi iza sebe kklijenata u istom.

Postojanje granicne vrednostiπ′k = lim

t→∞π′k(t)

ekvivalentono je postojanju sledece granicne vrednosti

πk = limt→∞

πk(t)

i važi πk = Pk = π′k, gde je Pk = limt→∞ P(Q(t) = k

).

Dokaz. Neka je π′k(t) verovatnoca da klijent koji dode u sistem u trenutku t, zatekne kklijenata u istom i neka je Pk(t) = P

(Q(t) = k

).

Ako je sa A(t, t + d) oznacen dogadaj da jedan klijent dode u sistem u intervalu(t, t + d), tada je

π′k(t) = limd→0

P(Q(t) = k|A(t, t + d)

).

Prema definiciji uslovne verovatnoce je


P(Q(t) = k, A(t, t + d)

)P(A(t, t + d))

= limd→0

P(

A(t, t + d)|Q(t) = k)

P(Q(t) = k)P(A(t, t + d))

. (2.37)

Na osnovu odsustva memorije eksponencijalne raspodele, dogadaj A(t, t + d) je neza-visan od broja klijenta u sistemu u trenutku t, tj. važi

P(

A(t, t + d)|Q(t) = k)= P

(A(t, t + d)

).


Iz jednacine (2.37) je


P(

A(t, t + d))

P(Q(t) = k

)P(

A(t, t + d)) ,

tj.

π′k(t) = Pk(t).

Ukoliko t→ ∞, iz prethodne jednacine sledi

π′k = limt→∞

π′k(t) = limt→∞

Pk(t) = Pk. (2.38)

Neka je sa Rk(t) oznacen broj klijenata koji su došli u sistem u intervalu (0, t) i pri-tom ga zatekli u stanju k. Slicno, neka Dk(t) oznacava broj odlazaka klijenta iz sistemau intervalu (0, t), ali samo ostavljajuci ga u stanju k. Razlika Rk(t) − Dk(t) može bitisamo −1, 0, ili 1, tj. važi

|Rk(t)− Dk(t)| ≤ 1. (2.39)

Ukupan broj odlazaka klijenata iz sistema u intervalu (0, t) jednak je razlici broja klije-nata u trenutku T = 0 i broja klijenata u trenutku T = t, plus broj klijenata koji su došliu sistem u tom intervalu. Ukoliko je sa D(t) oznacen ukupan broj odlazaka klijenataiz sistema u intervalu (0, t), a sa R(t) ukupan broj dolazaka klijenata u sistem u istomintervalu, onda je

D(t) = R(t) + Q(0)−Q(t). (2.40)

Verovatnoca da u sistemu bude k klijenata nakon završetka opsluživanja test kli-jenta se može izraziti kao kolicnik broja odlazaka klijenta iz sistema u intervalu (0, t)koji ostavljaju sistem u stanju k i ukupnog broja odlazaka iz sistema u intervalu (0, t)kada t→ ∞, tj.

πk = limt→∞

Dk(t)D(t)

. (2.41)

Koristeci sledecu jednakost

Dk(t)D(t)

=Rk(t) + Dk(t)− Rk(t)R(t) + Q(0)−Q(t)

,

iz jednakosti (2.41) sledi

πk = limt→∞

Dk(t)D(t)

= limt→∞

Rk(t)

R(t) + Q(0)−Q(t)+

Dk(t)− Rk(t)R(t) + Q(0)−Q(t)

. (2.42)


Kada t → ∞, broj Q(0)− Q(t) je zanemarljiv u odnosu na ukupan broj dolazaka klije-nata u sistem R(t), pa je

limt→∞

Rk(t)R(t) + Q(0)−Q(t)

= limt→∞

Rk(t)R(t)

. (2.43)

Kada t→ ∞ i uzeci u obzir (2.39), sledi

limt→∞

Dk(t)− Rk(t)R(t) + Q(0)−Q(t)

= 0. (2.44)

Iz (2.42), (2.43) i (2.44) je

πk = limt→∞

Rk(t)

R(t) + Q(0)−Q(t)+

Dk(t)− Rk(t)R(t) + Q(0)−Q(t)

= lim

t→∞

Rk(t)R(t)

= π′k. (2.45)

Iz (2.38) i (2.45) sledi πk = Pk = π′k.

Model M/G/1 je realnije restrikovati na model sa ogranicenim brojem mesta za ce-kanje u sistemu (da broj mesta u redu ne bude beskonacan). Ranije posmatrani M/G/1model u kome je maksimalni broj klijenata ogranicen na K, predstavlja M/G/1/K si-stem.

Kod M/G/1/K modela, klijent odlazi iz sistema ili po završetku opsluživanja iliodmah po dolasku u sistem (ukoliko su sva mesta za cekanje zauzeta). Ukoliko klijentodlazi zbog popunjenog kapaciteta, kažemo da je dobio otkaz ili da je blokiran u sistemu.Dakle, nakon odlaska opsluženog klijenta, u sistemu ce uvek postojati bar jedno slo-bodno mesto.

Neka je maksimalan broj klijenata u sistemu jednak K. Obzirom da je lanac Markovadefinisan tako da Qn predstavlja broj klijenata koji su ostali u sistemu nakon odlaskan-tog klijenta iz istog, skup stanja sistema je S = 0, 1, 2, ..., K− 1. Na osnovu (2.1) je

Qn =

minQn−1 − 1 + Xn, K− 1, Qn−1 ≥ 1,

minXn, K− 1, Qn−1 = 0 .(2.46)

Sistem

Serverred

λ

Slika 2.3: Graficki prikaz M/G/1/6 modela sa punim kapacitetom.


Matrica verovatnoca prelaza iz stanja i u stanje j ovakvog sistema je

P =

P00 P01 . . . P0,K−1P10 P11 . . . P1,K−1

......

...PK−1,0 PK−1,1 . . . PK−1,K−1

=

f0 f1 f2 f3 . . . 1−∑K−2j=0 f j

f0 f1 f2 f3 . . . 1−∑K−2j=0 f j

0 f0 f1 f2 . . . 1−∑K−3j=0 f j

0 0 f0 f1 . . . 1−∑K−4j=0 f j

......

......

0 0 0 0 . . . 1− f0

, (2.47)

gde su verovatnoce fk definisane u (2.3).Neka je π′ = [π0, π1, ..., πk−1] vektor stacionarnih raspodela umetnutog lanca Mar-

kova, gde πj predstavlja verovatnocu da klijent koji je završio opsluživanje i odlazi,ostavlja iza sebe j klijenata u sistemu. Da bi odredili ove verovatnoce, primetimo naj-pre da je

P(Qn = j) =K−1

∑i=0

P(Qn = j|Qn−1 = i)P(Qn−1 = i).

Kada n→ ∞, tj. prelaskom na stacionarnu raspodelu, sledi

πj =K−1

∑i=0

P(Qn = j|Qn−1 = i)πi, j = 0, 1, ..., K− 1.

Uzeci u obzir (2.47), iz prethodne jednacine je

πj = f jπ0 +j+1

∑i=1

f j−i+1πi, j = 0, 1, ..., K− 1,

odakle sledi

πj+1 = f−10(πj − f jπ0 −

j

∑i=1

f j−i+1πi), j = 0, 1, ..., K− 2. (2.48)

Iz (2.48), svaka verovatnoca πj, 1 ≤ j ≤ K − 1 se može izraziti preko π0. Nakon toga,koristeci

K−1

∑j=0

πj = 1,


dobijaju se verovatnoce za broj klijenata koji ostaju u sistemu po odlasku opsluženogklijenta iz istog, tj. dobijaju se verovatnoce πj, 0 ≤ j ≤ K− 1.

Pretpostavimo da su verovatnoce π0, π1, ..., πK−1 poznate. Zanimljivo je posmatratiraspodelu za broj klijenata u sistemu koje ce zateci klijent koji dolazi u isti. Moguci brojklijenata koje ce zateci novi klijent koji dolazi u sistem je 0, 1, 2, ..., K, cije su stacionarneverovatnoce redom oznacene sa π′0, π′1, ..., π′K. Broj klijenata koje test klijent zatekne pridolasku u sistem jednak je udelu broja klijenata koje ostavlja iza sebe nakon odlaska izistog (jer broj osoba koje ostanu u sistemu nakon odlaska test klijenta je broj osoba kojedodu u sistem za vreme boravka test klijenta u istom, a vreme boravka test klijenta usistemu zavisi od broja klijenata koje zatekne kada dode u isti). Stoga važi

π′i = cπi, i = 0, 1, 2, ..., K− 1, (2.49)

gde je c konstanta proporcionalnosti.U slucaju kada u sistemu postoji jedan šalter za opsluživanje klijenata i K mesta, naosnovu (1.7) sledi da je realizovano opterecenje sistema,

a′ = π′1 + π′2 + ... + π′K = 1− π′0. (2.50)

Verovatnoca da klijent koji stigne u sistem bude opslužen jednaka je verovatnoci da utrenutku njegovog dolaska u sistem postoji bar jedno slobodno mesto (od mogucih K),tj. jednaka je π′0 + π′1 + ... + π′K−1 = 1− π′K. Pošto je a′ udeo klijenata koji nisu dobiliotkaz, važi

a′ = ρ(1− π′K). (2.51)

Koristeci jednacine (2.50) i (2.51), sledi

π′K =ρ− 1 + π′0

ρ. (2.52)

Kako važi

π′0 + π′1 + ... + π′K = 1, (2.53)

zamenom (2.49) i (2.52) u (2.53), dobija se

cπ0 + cπ1 + ... + cπK−1 +ρ− 1 + cπ0

ρ= 1,

odnosno

c(π0 + π1 + ... + πK−1 +

π0

ρ

)=

1ρ

,

odakle je

c =1

ρ(π0 + π1 + ... + πK−1 +

π0ρ

) =1

π0 + ρ ∑K−1j=0 πj

. (2.54)

2.6. GRUPNI DOLASCI 42

Iz (2.49) i (2.53) sledi

cπ0 + cπ1 + ... + cπK−1 + π′K = 1,

tj.

c(π0 + π1 + ... + πK−1

)= 1− π′K. (2.55)

Uzeci u obzir da je

π0 + π1 + ... + πK−1 = 1, (2.56)

iz (2.55) sledi

c = 1− π′K. (2.57)

Iz (2.54) i (2.56) se dobija

c =1

π0 + ρ. (2.58)

Iz jednacina (2.49) i (2.58) dobijaju se stacionarne verovatnoce za broj klijenata koje cezateci novi klijent koji dolazi u sistem,

π′j =πj

π0 + ρ, j = 0, 1, ..., K− 1 .

Iz (2.57) i (2.58) se dobija verovatnoca da ce klijent koji dolazi u sistem dobiti otkaz , tj.verovatnoca da ce sva mesta u redu biti zauzeta,

π′K = 1− 1π0 + ρ

.

2.6 Grupni dolasci

Ovaj sistem je jednostavnije opisati pomocu sledeceg primera.Posmatrajmo skup kutija i pretpostavimo da se u svakoj od njih nalazi bar po jedna

loptica. Neka broj loptica u kutiji odreduje njen tip, tj. ukoliko se u kutiji nalazi nj, j ≥ 1loptica, kutija ce biti tipa j. Neka je X slucajna promeljiva koja predstavlja tip kutijei P(X = j) verovatnoca da je proizvoljna kutija tipa j. Loptica je tipa j ukoliko senalazi u kutiji koja je tipa j. Neka je Y slucajna promenljiva koja predstavlja tip loptice.P(Y = j) je verovatnoca da je izabrana loptica tipa j. Cilj je odrediti vezu izmeduslucajnih promenljivih X i Y.

Pretpostavlja se da je broj kutija beskonacan i da je izabrano m kutija na slucajannacin. Neka je medu m izabranih kutija, mj kutija koje su tipa j. Ocigledno, udeo


kutija tipa j medu odabranim kutijama je mj/m. Koristeci granicnu vrednost, dobija severovatnoca da je slucajno izabrana kutija tipa j, tj.

P(X = j) = limm→∞

mj

m, j ≥ 1. (2.59)

Sa druge strane, u m izabranih kutija imamo ukupno ∑i nimi loptica, od kojih su njmjtipa j. Kao i u slucaju kutija, verovatnoca da slucajno izabrana loptica bude tipa j sedobija na sledeci nacin,

P(Y = j) = limm→∞

njmj

∑i nimi, j ≥ 1. (2.60)

Deleci imenilac i brojilac desne strane jednakosti (2.60) sa m i koristeci jednacinu (2.59),dobija se

P(Y = j) =njP(X = j)

∑i niP(X = i), j ≥ 1. (2.61)

Verovatnoca da slucajno izabrana loptica bude tipa j, proporcionalna je proizvodu brojakuglica tipa j po kutiji i verovatnoce da kutija bude tipa j.

Jednacina (2.61) se može zapisati i u obliku

P(Y = j) = cnjP(X = j), (2.62)

gde je konstanta c =(

∑i niP(X = i))−1.

Iz (2.62) sledi da ukoliko postoji r tipova kutija i ako je jednaka verovatnoca izborakutije svakog tipa, onda važi

P(Y = j) =nj

∑ri=1 ni

, j = 1, 2, ..., r.

Ukoliko svaka kutija ima jednak broj kuglica, onda je

P(Y = j) = P(X = j), j ≥ 1.

Napomenimo da se u nastavku rada pravi razlika izmedu dva tipa blokiranih kli-jenata. Blokirani u sistemu i blokirani na opsluživanju. Blokirani u sistemu su klijentikoji po dolasku u sistem bivaju iskljuceni iz istog zbog nedostatka mesta za cekanje,dok blokirani na opsluživanju su oni klijenti koji su primljeni u sistem, ali svoje opslu-živanje ne zapocinju odmah, vec moraju cekati u redu.

Razmotrimo sada prakticnu primenu prethodnog razmatranja u teoriji masovnogopsluživanja.

Posmatrajmo M/G/1 sistem (uopšteno, možemo posmatrati G/G/1 sistem, jer nemaogranicenja vezanih za proces ulaženja ili opsluživanja klijenata). Vreme je moguce ra-zložiti na cikluse, gde je jedan ciklus period vremena koji sadrži tzv. neaktivan i aktivan


period. Neaktivan period predstavlja period tokom kog nema klijenata u sistemu, dokaktivan period predstavlja period tokom kog postoji bar jedan klijent u sistemu (tj. pe-riod tokom kog je server zauzet). Neka Nb predstavlja broj klijenata koji dodu u sistemu toku aktivnog perioda. Ti klijenti su blokirani na opsluživanju. Odredicemo verovat-nocu da klijent bude blokiran na opsluživanju, odnosno verovatnocu da klijent budena cekanju po dolasku u sistem.

Neka je X broj klijenata koji dolaze u sistem tokom slucajno odabranog ciklusa. Uvezi sa opisanim primerom, slucajno odabrani ciklus predstavlja slucajno izabranu ku-tiju, dok broj pristiglih klijenata predstavlja broj loptica u toj kutiji. Neka Y predstavljabroj klijenata koji dolaze u sistem tokom ciklusa kome pripada proizvoljno izabrani kli-jent. Neka je klijent tipa j ukoliko tacno j klijenata (ukljucujuci i njega) dode u sistemtokom ciklusa kome on pripada. Za nj = j, iz jednacine (2.61) sledi

P(Y = j) =jP(X = j)

E(X). (2.63)

Ukoliko je u sistemu prisutno j klijenata, verovatnoca da nasumicno odabrani klijentceka u redu, odnosno verovatnoca da je nasumicno odabrani klijent blokiran na opslu-živanju, jednaka je (j− 1)/j. Iz formule potpune verovatnoce sledi da je verovatnocada klijent bude blokiran na opsluživanju,

Bl =∞

∑j=1

j− 1j

P(Y = j). (2.64)

Zamenom (2.63) u (2.64) dobija se

Bl =∞

∑j=1

(j− 1)P(X = j)E(X)

=E(X)− 1

E(X). (2.65)

Kako je ukupan broj klijenata koji dodu u sistem tokom ciklusa jednak broju blokiranihklijenata na opsluživanju plus jedan (prvi klijent koji stigne u sistem nakon neaktivnogperioda), tj. X = Nb + 1 i E(X) = E(Nb) + 1, iz jednacine (2.65) sledi

Bl =E(X)− 1

E(X)=

E(Nb)

E(Nb) + 1.

Dakle, procenat blokiranih klijenata na opsluživanju je jednak kolicniku prosecnogbroja blokiranih klijenata na opsluživanju po ciklusu

(E(Nb)

)i ukupnog broja klije-

nata koji stignu tokom ciklusa(E(Nb) + 1

).

Pretpostavimo da u posmatranom M/G/1 modelu klijent predstavlja grupu kli-jenata. Trenuci pristizanja klijenata sada su trenuci dolazaka grupe klijenata, gde suvelicine grupa slucajne promenljive sa istom raspodelom i nezavisne jedna od druge.Klijenti unutar svake od grupa bivaju opsluženi jedan po jedan i neka su kao ranije, du-žine opsluživanja klijenta medusobno nezavisne slucajne promenljive sa istom funkci-jom raspodelom B(x). Ukoliko je velicina grupe 1, model je redukovan na M/G/1


model.Neka je W slucajna promenljiva koja predstavlja vreme cekanja test klijenta do po-

cetka opsluživanja, W1 vreme koje protekne od dolaska test klijenta u sistem (tj. dolaskagrupe klijenata kojoj pripada test klijent) do pocetka opsluživanja grupe kojoj on pri-pada i neka je W2 vreme koje protekne od pocetka opsluživanja grupe kojoj pripada testklijent do pocetka opsluživanja test klijenta. Dakle, važi W = W1 + W2.Pokazacemo da važe sledece dve jednakosti:

E(W1) =λm2b2

2(1− λmb)

(1 +

mσ2s + b2s2

m2b2

), (2.66)

E(W2) =(m− 1)b

2+

s2b2m

, (2.67)

gde su b, σ2s , m i s2 prosecna dužina opsluživanja klijenta, varijansa dužine opsluživa-

nja klijenta, prosecan broj klijenata u grupi i varijansa prosecnog broja klijenata u grupirespektivno.Dokazacemo prvo jednakost (2.66).Neka je N slucajna promenljiva koja predstavlja velicinu grupe i neka je:

(i) E(N) = ∑∞j=1 jP(N = j) = m;

(ii) D(N) = E(N2)−(E(N)

)2= s2.

(iii) E(N2) = ∑∞j=1 j2P(N = j) = D(N) +

(E(N)

)2= s2 + m2.

Neka je dalje S(N) = S1 + S2 + ... + SN slucajna promenljiva koja predstavlja sumuvremena opsluživanja svih klijenata iz posmatrane grupe, gde je Si, i = 1, 2, ..., N,vreme opsluživanja i-tog klijenta u posmatranoj grupi. Od ranije znamo da je E(Si) =b i D(Si) = σ2

s . Ukoliko se grupa klijenata posmatra kao jedan klijent cije je vremeopsluživanja S(N), ocekivana dužina opsluživanja posmatranog klijenta je E(S(N)) =mb, a disperzija je

D(S(N)

)= D

( N

∑i=1

Si

)= E

( N

∑i=1

Si

)2

− E2( N

∑i=1

Si

). (2.68)

Kako je E(S(N)) = mb, to je E2(

∑Ni=1 Si

)= m2b2. Potrebno je odrediti E

(∑N

i=1 Si

)2.

Imamo da je


E( N

∑i=1

Si

)2= E

[E(( N

∑i=1

Si

)2|N = n

)]

= E[

E( n

∑i=1

Si

)2]= E

[D( n

∑i=1

Si

)+ E2

( n

∑i=1

Si

)]= E

[nD(Si) +

(nESi

)2]= E

[nσ2

s + n2b2]

=∞

∑n=1

(nσ2

s + n2b2)

P(N = n)

= σ2s

∞

∑n=1

nP(N = n) + b2∞

∑n=1

n2P(N = n)

= σ2s EN + b2EN2 = σ2

s m + b2(s2 + m2). (2.69)

Iz (2.68) i (2.69) je

D(S(N)) = σ2s m + b2(s2 + m2)−m2b2 = mσ2

s + b2s2. (2.70)

Iz (2.21) sledi da je ocekivano vreme cekanja klijenta u redu,(λE(S)

)E(S)

2(1− λE(S)

)(1 +DS

E2(S)

), (2.71)

gde je S slucajna promenljiva kojom je predstavljena dužina opsluživanja klijenta.Kako se grupa posmatra kao klijent cije je vreme opsluživanja S(N), to na osnovu (2.71)sledi da je ocekivano vreme od trenutka dolaska grupe u sistem, do pocetka opsluživa-nja posmatrane grupe,

E(W1) =

(λE(S(N))

)E(S(N))

2(

1− λE(S(N))) (

1 +D(S(N))

E2(S(N))

). (2.72)

Zamenom E(S(N)) = mb i D(S(N)) = mσ2s + b2s2 u (2.72), dobija se

E(W1) =λm2b2

2(1− λmb)

(1 +

mσ2s + b2s2

m2b2

),

što je i trebalo dokazati.

Dokazacemo sada jednakost (2.67).


Neka je N′ slucajna promenljiva koja predstavlja broj klijenata u grupi kojoj pripadatest klijent. Prema jednacini (2.61) je

P(N′ = j) =jP(N = j)

EN=

jP(N = j)m

, (2.73)

gde P(N = j) predstavlja verovatnocu da nasumicno odabrana grupa sadrži j klijenta.Na osnovu formule potpune verovatnoce sledi

E(W2) =∞

∑j=1

E(W2|N′ = j)P(N′ = j). (2.74)

Pretpostavlja se da je mesto test klijenta u posmatranoj grupi odredeno na slucajan na-cin, pa je zato ocekivano vreme koje on provede u sistemu do pocetka njegovog opslu-živanja (proteklo vreme od pocetka opsluživanja grupe u kojoj se on nalazi do pocetkanjegovog opsluživanja), je

E(W2|N′ = j) =j− 1

2b. (2.75)

Zamenom (2.73) i (2.75) u (2.74) dobija se

E(W2) =∞

∑j=1

(j− 1

2b

jP(N = j)m

)

=b

2m

∞

∑j=1

(j2 − j)P(N = j)

=b

2m

∞

∑j=1

j2P(N = j) − b2m

∞

∑j=1

jP(N = j). (2.76)

Kako je

E(

N2) = ∞

∑j=1

j2P(N = j) = D(N) +(E(N)

)2= s2 + m2,

iz (2.76) sledi

E(W2) =b

2mE(

N2)− b2m

E(N) = − b2+

b2m

(s2 + m2)

= − b2+

bs2

2m+

bm2

=b(m− 1)

2+

bs2

2m, (2.77)

što je i trebalo dokazati.

Prethodno opisani model je moguce primeniti u mnogim realnim situacijama. Naprimer, ovaj model se može primeniti kod odredivanja velicine autobusa koji ide odre-denom linijom, ili kod odredivanja broja polazaka autobusa iz odredenog mesta. Ta-kode, ovaj model je od velike koristi kod racunanja broja potrebnih liftova u nekojzgradi ili bolnici, zatim kod odredivanja ucestalosti polazaka trajekata ka nekom ostrvuitd.

2.7. OPSLUŽIVANJE SA PRIORITETOM 48

2.7 Opsluživanje sa prioritetom

Postoje sistemi u koji dolaze klijenti razlicitih karakteristika, pri cemu se na osnovukarakteristike klijenta odreduje prednost prilikom opsluživanja. Konkretno, posma-tra se M/G/1 model sa r tipova klijenata. Klijenti tipa i pristižu u sistem u skladu saPuasonovom raspodelom sa parametrom λi, 1 ≤ i ≤ r. Neka je Si slucajna promen-ljiva koja predstavlja dužinu opsluživanja klijenta tipa i, i neka Rk predstavlja preostalovreme opsluživanja klijenta tipa k koji je na šalteru u trenutku dolaska test klijenta usistem. Klijent tipa 1 ima prioritet za opsluživanje u odnosu na ostale tipove. Klijenttipa 2 ima prednost u odnosu na klijente tipa i, i ≥ 3, itd.

Razmatrace se slucaj kada dolazak klijenta višeg prioriteta u sistem ne prekida po-tencijalno opsluživanje klijenta nižeg reda koje je u toku, vec samo njegova prednostznaci da ce u redu za cekanje biti ispred svih klijenata koji su nižeg prioriteta od njega(a bice iza klijenata višeg ili istog prioriteta). Primer ovakvog sistema može biti hitnapomoc, gde ce u slucaju neke epidemije, pacijent koji dode u bolnicu sa simptomimakoje nosi epidemija biti zbrinut pre ostalih pacijenata koji cekaju kontrolni pregled, alice morati da saceka zbrinjavanje svih pacijenata sa simptomima epidemije koji su prenjega stigli u hitnu pomoc.

Neka je E(W(i)) ocekivano vreme koje ce klijent tipa i, 1 ≤ i ≤ r provesti u reducekajuci na opsluživanje i neka Lq

k oznacava ocekivani broj klijenata tipa k koji cekaju uredu. Definišimo ρi = λiE(Si).

Za klijenta najvišeg prioriteta, odnosno za klijenta tipa 1, lako se odreduje ocekivanovreme provedeno u redu. Neka je klijent najvišeg prioriteta test klijent. Sledi

E(W(1)) = E(Lq1)E(S1) +

r

∑j=1

ρjE(Rj). (2.78)

U prethodnoj jednacini E(Lq1)E(S1) predstavlja ocekivano vreme koje ce biti potrebno

za opsluživanje klijenata najvišeg prioriteta koji vec cekaju u redu u trenutku dolaskatest klijenta u sistem, dok suma predstavlja preostalo vreme opsluživanja klijenta kojise nalazi na šalteru u trenutku dolaska test klijenta.Prema Little-ovom zakonu je

E(Lq1) = λ1E(W(1)). (2.79)

Na osnovu jednacina (2.78) i (2.79) sledi

E(W(1)) =∑r

j=1 ρjE(Rj)

1− ρ1. (2.80)

Odredivanje ocekivanog vremena provedenog u redu za klijente tipa i, i ≥ 2 jedosta komplikovanije od slucaja kada je i = 1. Neka je sada test klijent, klijent koji nijenajvišeg prioriteta.Vreme provedeno u redu test klijenta može se podeliti na etape:


• Prva etapa je vreme cija dužina zavisi od stanja sistema u trenutku dolaska testklijenta u sistem. Dakle, zavisi od broja klijenata višeg ili istog prioriteta u redu,kao i od potencijalnog preostalog vremena opsluživanja klijenta za šalterom. Nekaje X1 slucajna promenljiva koja predstavlja dužina vremena cekanja u redu naosnovu prvog stanja sistema (trenutak dolaska test klijenta u red).

• Ukoliko pre pocetka opsluživanja test klijenta u sistem dode jedan ili više klijenatavišeg prioriteta od test klijenta, vreme provedeno u redu posmatranog klijenta cese povecati u odnosu na prvobitnu procenu (jer klijenti sa višim prioritetom uredu staju ispred klijenata nižih prioriteta). Nakon proteklog prvobitno proce-njenog vremena cekanja u redu, vrši se nova procena za preostalo vreme cekanjatest klijenta u redu, koja ce zavisiti od trenutnog stanja u sistemu. Neka je sadaslucajna promenljiva koja predstavlja dužina vremena cekanja u redu na osnovudrugog stanja sistema oznacena sa X2.

• Analogno definišemo i Xj, j ≥ 3 , kao što smo definisali X2.

Stoga, ocekivano vreme cekanja u redu klijenta tipa i, i ≥ 2 je

E(W(i)) = E(X1 + X2 + ...) =∞

∑k=1

E(Xk). (2.81)

Potrebno je naci E(Xk), k ≥ 1.Kada test klijent dode u sistem, pre pocetka opsluživanja morace da saceka kraj opslu-živanja klijenta koji je na šalteru u tom trenutku, kao i opsluživanja svih klijenata višegili istog prioriteta koji su došli u sistem pre njega. Procena za vreme cekanja u redu zaklijenta tipa i, i ≥ 1, u trenutku njegovog dolaska je

E(X1) =i

∑j=1

E(Lqj )E(Sj) +

r

∑j=1

ρjE(Rj).

Neka je gk(x) gustina raspodele slucajne promenljive Xk. Kako Xk+1, k ≥ 1 zavisi odXk, to je E(Xk+1) za 1 ≤ k < ∞,

E(Xk+1) =∫ ∞

0E(Xk+1|Xk = x

)gk(x)dx

=∫ ∞

0

(λ1xES1 + λ2xES2 + ... + λi−1xESi−1

)gk(x)dx

= (ρ1 + ρ2 + ... + ρi−1)E(Xk).

Ponavljajuci postupak k puta dobija se

E(Xk+1) = (ρ1 + ρ2 + ... + ρi−1)kE(X1), k ≥ 0. (2.82)


Iz (2.81) i (2.82) sledi

E(W(i)) =∞

∑j=1

E(Xj) =∞

∑k=0

E(Xk+1)

=∞

∑k=0

(ρ1 + ρ2 + ... + ρi−1)kE(X1)

=E(X1)

1−(ρ1 + ρ2 + ... + ρi−1

)=

∑ij=1 E(Lq

j )E(Sj) + ∑rj=1 ρjE(Rj)

1−(ρ1 + ρ2 + ... + ρi−1

) . (2.83)

Na osnovu Little-ovog zakona

E(Lqi ) = λiE(W(i)),

i (2.83), sledi

E(W(i)) =∑i

j=1 E(Lqj )E(Sj) + ∑r

j=1 ρjE(Rj)

1−(ρ1 + ρ2 + ... + ρi−1

)=

∑i−1j=1 E(Lq

j )E(Sj) + ∑rj=1 ρjE(Rj) + λiE(W(i))E(Sj)

1−(ρ1 + ρ2 + ... + ρi−1

)=

∑i−1j=1 E(Lq

j )E(Sj) + ∑rj=1 ρjE(Rj) + ρiE(W(i))

1−(ρ1 + ρ2 + ... + ρi−1

) . (2.84)

Množenjem obe strane jednakosti (2.84) sa 1−(ρ1 + ρ2 + ...+ ρi−1

)i dodavanjem−ρiE(W(i)),

dobija se

(1− (ρ1 + ρ2 + ... + ρi)

)E(W(i)) =

i−1

∑j=1

E(Lqj )E(Sj) +

r

∑j=1

ρjE(Rj). (2.85)

Kako je iz (2.83),

E(W(i−1)) =∑i−1

j=1 E(Lqj )E(Sj) + ∑r

j=1 ρjE(Rj)

1−(ρ1 + ρ2 + ... + ρi−2

) ,

odnosno

(1− (ρ1 + ρ2 + ... + ρi−2)

)E(W(i−1)) =

i−1

∑j=1

E(Lqj )E(Sj) +

r

∑j=1

ρjE(Rj), (2.86)


iz (2.85) i (2.86) je(1− (ρ1 + ρ2 + ... + ρi)

)E(W(i)) =

(1− (ρ1 + ρ2 + ... + ρi−2)

)E(W(i−1)).

Množeci prethodnu jednacinu sa sa 1−∑i−1j=1 ρj sledi

(1−

i

∑j=1

ρj)(

1−i−1

∑j=1

ρj)E(W(i)) =

(1−

i−1

∑j=1

ρj)(

1−i−2

∑j=1

ρj)E(W(i−1)).

Ponavljajuci ovaj postupak i koristeci jednacinu (2.80), dobija se

E(W(i)) =∑r

j=1 ρjE(Rj)(1−∑i

j=1 ρj)(

1−∑i−1j=1 ρj

) , i ≥ 2.

Ukupno ocekivano vreme koje test klijent provede u sistemu (vreme koje provede uredu cekajuci na opsluživanje plus vreme provedeno na šalteru) je zbir E(W(i)) + E(Si).

Vreme provedeno u redu klijenta tipa 2, graficki je prikazano na slici 2.4.

tX1 X1 + X2 X1 + X2 + X3

S1

S2S3

Trenuci dolazaka klijenta tipa 1

Stanje u sistemu, na osnovukoga se vrši procena o vremenu

Slika 2.4: Graficki prikaz vremena provedenog u redu klijenta tipa 2.

2.8. OPTIMIZACIJA M/G/K SISTEMA 52

Na slici 2.4, S1 je stanje sistema na osnovu kojeg se donosi procena za vreme cekanjaX1; S2 je stanje sistema na osnovu kojeg se donosi procena za preostalo vreme cekanja,X2; S3 je stanje sistema na osnovu kojeg se donosi procena za preostalo vreme cekanja,X3.

Pored opisanog tipa opsluživanja sa prioritetom, postoji i opsluživanje kod koga kli-jenti višeg prioriteta prekidaju potencijalno opsluživanje klijenta nižeg prioriteta koje jeu toku. Opsluživanje prekinutog klijenta se kasnije nastavlja tamo gde je ranije preki-nuto. Postoje i sistemi kod kojih se iz reda bira klijent kome je za opsluživanje potrebnonajkrace vreme, zatim sistemi kod kojih se klijent nasumicno bira iz reda itd.

2.8 Optimizacija M/G/k sistema

Organizacija opsluživanja klijenata u sistemima je veoma važna, kako zbog mini-miziranja vremena koje klijenti provode u sistemu, tako i zbog minimiziranja troškovaonih koji pružaju uslugu. Povecanje broja servera u sistemu utice povoljno na vremekoje klijeni provode u sistemu (smanjuje ga), ali sa druge strane utice nepovoljno natroškove poslodavca (uvecava ih).

Posmatra se M/G/n sistem sa n kanala za opsluživanje, kod koga je ulazni po-tok Puasonov proces sa parametrom λ i gde su vremena opsluživanja klijenata medu-sobno nezavisna sa istom funkcijom raspodele B(·). Neka je S slucajna promenljivasa raspodelom B(·) i ocekivanom vrednošcu b. Pretpostavlja se da posmatrani sistemnema mesta za cekanje u redu. Dakle, klijent koji zatekne sve kanale zauzete dobijaotkaz (blokiran u sistemu). Da bi se odredio optimalan plan opsluživanja, potrebno jeimati kriterijum na osnovu koga ce se vršiti procena efektivnosti rada sistema. Vero-vatnoca opsluživanja klijenta (verovatnoca da nece dobiti otkaz) je svakako jedan odparametara koji ukazuje koliko je dobro sistem organizovan. Veliki broj servera u si-stemu mogu dovesti do toga da verovatnoca opsluživanja klijenta bude približno 1,ali bi to verovatno dovelo do toga da mnogi serveri cesto budu slobodni, što nije od-lika optimalnog funkcionisanja sistema. Dakle, drugi kriterijum za procenu efektivno-sti sistema je koeficijent zauzetosti servera. Neka kz predstavlja koeficijent zauzetostiservera i neka je po verovatnoca da ce klijent koji dode u sistem biti opslužen, tj. dace zateci bar jedan slobodan kanal za opsluživanje. Verovatnoca opsluživanja klijentai koeficijent zauzetosti servera su dve obrnuto proporcionalne velicine, pa je stoga po-trebno pažljivo analizirati sistem kako bi bilo moguce organizovati sistem što efikasnije.Parametri koji u najvecoj meri uticu na funkcionisanje sistema su broj kanala za opslu-živanje, ocekivano vreme opsluživanja i ocekivani broj dolazaka klijenata u sistem ujedinici vremena. Razmotrimo optimalnu organizaciju sistema na sledecem primeru.


Neka je ocekivani broj dolazaka klijenata u posmatrani sistem λ=0.5 klijenata/minuti neka je ocekivano vreme opsluživanja klijenta b = 4 minuta. Na slici 2.5 su prikazanedve krive. Jedna predstavlja zavisnost verovatnoce opsluživanja od broja kanala u po-smatranom sistemu, a druga zavisnost koeficijenta zauzetosti servera od broja kanala.Na slici se vidi da verovatnoca opsluživanja dostiže vrednost približno 1 kada je brojkanala u sistemu jednak 10. Medutim, to ne ukazuje da broj kanala u sistemu treba dabude 10, jer je koeficijent zauzetosti servera 0.19 za n = 10. To znaci da bi u srednjem81% servera bilo bilo slobodno, što bi dovelo do bespotrebnih troškova, a to nije karak-teristika optimalnog funkcionisanja sistema.

Posmatrajmo ponašanja krivih u zavisnosti od broja kanala u sistemu.

(i) Ukoliko u sistemu postoji jedan kanal za opsluživanje, verovatnoca opsluživa-nja je po = 0.33, a koeficijent zauzetosti servera kz = 0.67. U ovom slucaju, koeficijentzauzetosti sistema je visok, ali je verovatnoca opsluživanja klijenta veoma mala.

(ii) Za n = 2 je po = kz = 0.6. Verovatnoca opsluživanja se povecala skoro dvaputa, dok koeficijent zauzetosti servera smanjio za 0.07. U ovom slucaju nema razlikeizmedu posmatranih verovatnoca.

(iii) Ukoliko je broj servera 3, sa slike 2.5 se vidi da je po = 0.8, a kz = 0.52.

(vi) Povecanjem broja kanala na 5, verovatnoca opsluživanja je po = 0.9, a koefi-cijent zauzetosti kz = 0.45. Verovatnoca opsluživanja je porasla za 10%, a koeficijentzauzetosti servera je opao za 7% u odnosu na slucaj kada je n = 4.


0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

− − − − − − − − − − − −

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24n

Kriva koja predstavlja vezu izmedu verovatnoce opsluživanja ibroja kanala.

Kriva koja predstavlja vezu izmedu koeficijenta zauzetosti ser-vera i broja kanala.

Slika 2.5: Graficki prikaz verovatnoca opsluživanja klijenta i koeficijenata zauzetostikanala u sistemu u kome je ocekivana dužina opsluživanja klijenta 4 minuta i ocekivanibroj dolazaka u sistem 0.5 klijenata/minut.

Na osnovu prethodna 4 slucaja se vidi da poboljšanje jednog pokazatelja efektivno-sti rada sistema povlaci pogoršanje drugog. Prihvata se da je funkcionisanje sistemamasovnog opsluživanja optimalno, ukoliko su verovatnoca opsluživanja i koeficijentzauzetosti servera dovoljno velike velicine, a razlike medu njima minimalne. Dakle, uslucaju kada je ocekivana dužina opsluživanja klijenta 4 minuta i ocekivani broj dola-zaka u sistem 0.5 klijenata/minut, vidi se da je optimalan broj servera n = 2.

Pored odredivanja broja kanala koji ce doprineti radu sistema u optimalnom re-žimu, postoji još nacina na koje je moguce poboljšati efektivnost sistema. Na primer, uslucaju kada nema klijenata u sistemu (ili u odredenom kanalu), može se ugasiti ser-ver, koji se ukljucuje u trenutku kada u sistem dode klijent (ili odredeni broj klijenata)i ostaje ukljucen sve dok ponovo sistem ne ostane bez ijednog klijenta. U nekim siste-mima nije moguce uvek ukljuciti server tacno u trenutku kada u sistem dode klijent(ili odredeni broj klijenata). Primer za to su racunarski programi koji u ovom slucajupredstavljaju server koji ne može direktno "videti" kada klijent stigne u sistem, vec


se program mora aktivirati na odredeni vremenski period kako bi utvrdio da li klijentceka na opsluživanje ili ne. Dakle, u ovom slucaju je moguce ugasiti server kada nemaprisutnih klijenata, a zatim ga ukljuciti nakon vremenskog intervala odredene dužine,kako bi se utvrdilo da li ima prisutnih mušterija ili ne. Ukoliko nema prisutnih mušte-rija, ponovo ugasiti server. U suprotnom server ostaje ukljucen, sve dok ponovo sistemne ostane bez ijednog klijenta.

3Sistemi masovnog opsluživanja

kod kojih su vremena izmedudolazaka klijenata sa

proizvoljnom raspodelom

3.1 Sistem G/M/1

Posmatra se sistem koji ima jedan server za opsluživanje i neogranicen broj mestaza cekanje. Pretpostavlja se da klijenti izlaze iz sistema u skladu sa Puasonovom ras-podelom sa parametrom µ, ali da je raspodela po kojoj pristižu proizvoljna i sa istomgustinom raspodele izmedu svaka dva dolaska klijenta. Ovakav model se tradicio-nalno zapisuje kao GI/M/1 model (GI-General Independent). Ovde ce se zbog simetrijesa M/G/1 modelom, dati model predstavljati kao G/M/1. Pretpostavlja se da se kli-jenti opslužuju po FIFO disciplini.

Neka su 0 = t0, t1, t2, ... trenuci dolazaka klijenata u sistem u kome postoji jedanserver za opsluživanje. Neka su Zn = tn+1 − tn, n ≥ 1 nezavisne i jednako raspodeljeslucajne promenljive sa funkcijom raspodele A(·) i srednom vrednošcu a. Dakle, Znpredstavlja proteklo vreme izmedu dolaska n-tog i n + 1-og klijenta u sistem. Vremeopsluživanja svakog klijenta je predstavljeno slucajnom promenljivom sa eksponenci-jalnom raspodelom sa parametrom µ, tj. srednja vrednost dužine opsluživanja svakogod klijenata je 1/µ.

Neka je Q(t) broj klijenata u sistemu u trenutku t i neka je Q(tn − 0) = Qn, n ≥ 1,odnosno Qn je broj klijenata u sistemu u trenutku pre dolaska n-tog klijenta u isti. NekaXn predstavlja potencijalni broj klijenata koji su završili opsluživanje u vremenskomperiodu dužine Zn (kaže se potencijalni broj, da bi se naglasilo da Xn nece biti stvarni

56

3.1. SISTEM G/M/1 57

broj opsluženih klijenata ukoliko je broj klijenata u sistemu nakon trenutka tn manji odXn). Kako su dužine opsluživanja klijenata nezavisne slucajne promenljive sa ekspo-nencijalnom raspodelom i parametrom µ, to odlasci iz sistema predstavljaju Puasonovproces sa istim parametrom, pa je

P(Xn = k|Zn = t) = e−µt (µt)k

k!, k ≥ 0.

Ukoliko je bj, j ≥ 1 verovatnoca da j klijenata završi opsluživanje u periodu Zn, prime-nom formule potpune verovatnoce sledi

bj = P(Xn = j) =∫ ∞

0e−µt (µt)j

j!dA(t), (3.1)

gde je A(t) raspodela slucajne pormenljive Zn, n ≥ 1.Kako Xn+1 predstavlja potencijalni broj opsluženih klijenata, Qn + 1− Xn+1 može

biti i manje od nule, pa se veza izmedu Qn i Qn+1 može predstaviti na sledeci nacin,

Qn+1 =

Qn + 1− Xn+1, Qn + 1− Xn+1 > 0,

0, Qn + 1− Xn+1 ≤ 0 .(3.2)

Qn+1 ne zavisi ni od jedne slucajne promenljive sa indeksom manjim od n, pa je Qn, n ≥0 lanac Markova, koji se naziva umetnuti lanac Markova.

Sistem

Serverred

µ

Slika 3.1: Graficki prikaz pomenutog G/M/1 modela.

Iz jednacine (3.2) slede verovatnoce prelaza za jedan korak,

Pij = P(Qn+1 = j|Qn = i) =

P(Xn+1 = i− j + 1), j ≥ 1,P(Xn+1 ≥ i + 1), j = 0 ,

odakle je

Pij = bi−j+1, j ≥ 1,

Pi0 =∞

∑r=i+1

br. (3.3)

3.1. SISTEM G/M/1 58

Kako je Xn+1 ≥ 0 i Pij = P(Qn+1 = j|Qn = i) verovatnoca da je u intervalu izmedu dvadolaska opsluženo i + 1− j klijenata, iz Qn+1 = Qn + 1− Xn+1 sledi da je Pij nula kadaje j > i + 1. Dakle, matrica verovatnoca prelaza za lanac Markova Qn, n ≥ 1 je

P =

P00 P01 P02 . . .P10 P11 P12 . . .

......

...Pi0 Pi1 Pi2 . . ....

=

∑∞

1 br b0 0 0 . . .∑∞

2 br b1 b0 0 . . .∑∞

3 br b2 b1 b0 . . ....

......

. . ....

. (3.4)

Verovatnoca prelaza za n koraka lanca Markova Qn, n ≥ 1, u oznaci P(n)ij , i, j ≥ 0

je odgovarajuci element matrice prelaza za n koraka Pn.Neka je

Φ(θ) =∫ ∞

0e−θtdA(t) (3.5)

Laplasova transformacija raspodele A(t) i neka je β(z) funkcija generatrise niza bj, j ≥1. Iz (3.1) sledi

β(z) =∞

∑j=0

bjzj

=∞

∑j=0

∫ ∞

0e−µt (µt)j

jdA(t)zj

=∫ ∞

0e−µt

∞

∑j=0

(µtz)j

jdA(t). (3.6)

Koristeci Tejlorov razvoj eksponencijalne funkcije i (3.5), prethodna jednakost je

β(z) =∫ ∞

0e−µteµtzdA(t) =

∫ ∞

0e−(µ−µz)tdA(t) = Φ(µ− µz). (3.7)

Verovatnoce prelaza za lanac Markova Qn, n ≥ 1 mogu se predstaviti dijagra-mom na sledeci nacin.

3.2. RASPODELA BROJA KLIJENATA U G/M/1 SISTEMU 59

· · ·n + 1nn− 1n− 2· · ·10

b0

b1

b2

b3

bn

Pn0

Slika 3.2: Graficki prikaz verovatnoca prelaza za G/M/1 model.

Opterecenje sistema ρ se definiše kao kolicnik intenziteta po kome klijenti dolaze usistem i srednje dužine zadržavanja klijenta na šalteru, tj.

ρ =1

aµ.

3.2 Raspodela broja klijenata u G/M/1 sistemu

Neka je π′ = [π0, π1, ...] vektor stacionarnih raspodela, gde je

πj = limn→∞

P(Qn = j

).

Kao i kod M/G/1 modela, ove verovatnoce je moguce pronaci iz sistema jednacina,

π′ = π′P, tj.

πj =∞

∑i=0

πiPij, j = 0, 1, 2, ...

∞

∑j=0

πj = 1. (3.8)


Koristeci (3.4), iz prethodnog sistema sledi

π0 =∞

∑i=0

πi

∞

∑r=i+1

br

π1 = π0b0 + π1b1 + π2b2 + ...

π2 = π1b0 + π2b1 + π3b2 + ...

...

Verovatnoce πj, j ≥ 1 se mogu predstaviti na sledeci nacin,

πj =∞

∑r=0

πj+r−1br, j ≥ 1. (3.9)

Neka je operator D, koji pomera stacionarne verovatnoce za jedan korak, definisan nasledeci nacin,

Dπi = πi+1. (3.10)

Koristeci jednacinu (3.10), jednacina (3.9) se može predstaviti u sledecem obliku,

πj−1(D− b0 − Db1 − D2b2 − D3b3 − ... ) = 0. (3.11)

Rešenje prethodne jednacine se dobija rešavanjem karakteristicne jednacine

D− b0 − Db1 − D2b2 − D3b3 − ... = 0 ,

koja se može predstaviti i na sledeci nacin,

D =∞

∑j=0

bjDj = β(D). (3.12)

Rešenje jednacine (3.12) zadovoljava funkcionalnu jednakost

z = β(z), (3.13)

gde je β(z) funkcija generatrisa niza bj, j ≥ 0.

Rešenje jednacine (3.13) je presek funkcija y = z i y = β(z). Iz (3.6) i (3.7) sledi

(1) β(0) = b0 > 0,

(2) β(1) = ∑∞0 bj = 1,

(3) β′(1) = −µφ′(0) = aµ = ρ−1,


(4) β′(z) = b1 + 2b2z + 3b3z + ... ,

(5) β”(z) = 2b2 + 6b3z + 12b4z2 + ... .

Iz (2) sledi da je z = 1 jedno rešenje jednacine (3.13). Kako je β′(z) monotono ra-stuca funkcija, β(z) ce biti konveksna. Iz (1), (2) i konveksnosti funkcije y = β(z), sledida funkcije y = z i y = β(z) mogu imati presek u najviše dve tacke. Jedna tacka presekaje z = 1 i neka je druga obeležena sa s. Da li ce presek biti u jednoj ili dve tacke i da lice druga tacka biti veca ili manja od jedinice, zavisi od velicine ρ.

Prvi slucaj (ρ < 1).Ukoliko je ρ < 1, onda na osnovu (3) važi β′(1)> 1. Kako je y = β(z) konveksna i

kako je β′(1) > 1 koeficijent pravca tangente funkcije y = β(z) u tacki z = 1, to funkcijay = β(z) sece pravu y = z u jedinici prilazeci joj "odozdo". Dakle, tacka s je levo odjedinice. Kako je 0 < β(0) = b0 < 1 i y = β(z) konveksna, to je drugi presek posmatra-nih funkcija u intervalu (0, 1).

Drugi slucaj (ρ > 1).U ovom slucaju je β′(1) < 1 , pa tada y = β(z) sece y = z prilazeci joj "odozgo" u

tacki z = 1, a kako je još i konveksna i važi β(0) = b0 > 0, sledi da je tacka s desno odjedinice.

Treci slucaj (ρ = 1).Kako je β′(1) = 1, to je prava y = z tangenta krive y = β(z) u tacki z = 1, pa je

jedini presek posmatranih krivih u jedinici. Dakle, u ovom slucaju je z = s = 1.

Neka je sm najmanje rešenje jednacine (3.13) takvo da važi 0 < sm ≤ 1, tj.

sm =

s, ρ < 1,1, ρ ≥ 1 .

Rešenje jednacine (3.11) je oblika

πj = csjm, j ≥ 0. (3.14)

Kako je sm ≤ 1 i ∑∞0 πj = 1, iz prethodne jednacine sledi

∞

∑j=0

πj = c∞

∑j=0

sjm =

c1− sm

= 1 ,

odakle je

c = 1− sm. (3.15)

Iz (3.14) i (3.15) sledi

πj = (1− sm)sjm, j ≥ 0. (3.16)

3.3. OCEKIVANO VREME PROVEDENO U SISTEMU 62

Kako je sm rešenje jednacine z = β(z) i iz (3.7) je β(z) = φ(µ − µz), to sledi da je smrešenje jednacine

z = φ(µ− µz). (3.17)

Rešenje sm se iz jednacine (3.17) odreduje klasicnim numerickim metodama.

3.3 Ocekivano vreme provedeno u sistemu

Ocekivano vreme koje klijent provede u sistemu se može odrediti na dva nacina.Prvi nacin je odredivanjem raspodele slucajne promenljive koja predstavlja ukupnovreme koje klijent provede u sistemu, dok je drugi nacin preko ocekivanog broja kli-jenata u sistemu.

I nacin.Neka je T slucajna promenljiva koja predstavlja ukupno vreme zadržavanja klijenta

u sistemu. Verovatnoca da test klijent u sistemu zatekne n klijenata je πn. Ukupnovreme koje test klijent provede u sistemu je zbir n + 1 nezavisne slucajne promenljive,od kojih je svaka sa eksponencijalnom raspodelom i parametrom µ. Neka Bk predstavljavreme opsluživanja k-tog klijenta, 1 ≤ k ≤ n + 1. Kako je T = ∑n+1

k=1 Bk, to je

P(T > t) = P( n+1

∑k=1

Bk > t)

. (3.18)

Na osnovu teoreme 1.8, slucajna promenljiva T ima gama raspodelu sa parametriman + 1 i µ. Na osnovu formule potpune verovatnoce, iz (3.18) sledi

P(T > t) =∞

∑n=0

P( n+1

∑k=1

Bk > t)

πn , (3.19)

gde je πn verovatnoca da test klijent zatekne n klijenata u sistemu.Na osnovu definicije (1.27), iz (3.19) je

P(T > t) =∞

∑n=0

P( n+1

∑k=1

Bk > t)

πn

=∞

∑n=0

n

∑k=0

(µt)k

k!e−µtπn. (3.20)

Zamenom (3.16) u (3.20) dobija se

P(T > t) =∞

∑n=0

n

∑k=0

(µt)k

k!e−µt(1− sm)sn

m,

3.3. OCEKIVANO VREME PROVEDENO U SISTEMU 63

odakle koristeci formulu za sumu beskonacnog geometrijskog reda i Tejlorov razvojeksponencijalne funkcije sledi,

P(T > t) =∞

∑k=0

∞

∑n=k

(µt)k

k!e−µt(1− sm)sn

m

=∞

∑k=0

(µtsm)k

k!e−µt = e−µ(1−sm)t.

Dakle, slucajna promenljiva T (ukupno vreme zadržavanja klijenta u sistemu) ima ek-sponencijalnu raspodelu sa parametrom µ(1− sm), odakle sledi da je ocekivano vremekoje klijent provede u sistemu,

E(T) =1

µ(1− sm).

II nacin.Ocekivano ukupno vreme koje ce test klijent provesti u sistemu je

E(T) = E(L)1µ+

1µ

, (3.21)

gde L predstavlja ukupan broj klijenata koje ce test klijent zateci u sistemu.Prvi sabirak u jednacini (3.21) predstavlja ocekivano vreme cekanja test klijenta do po-cetka opsluživanja, dok drugi sabirak predstavlja ocekivanu dužinu opsluživanja testklijenta. Ocekivani broj klijenta koji test klijent zatekne u sistemu je

E(L) =∞

∑n=0

nπn. (3.22)

Koristeci∞

∑n=0

nsnm =

sm

(1− sm)2 ,

iz (3.16) i (3.22) sledi

E(L) =∞

∑n=0

n(1− sm)snm =

sm

1− sm. (3.23)

Iz (3.21) i (3.23) sledi da je ocekivano vreme koje test klijent provede u sistemu,

E(T) =sm

µ(1− sm)+

1µ=

1µ(1− sm)

.

3.4. CIKLUS ZAUZETOSTI SISTEMA 64

3.4 Ciklus zauzetosti sistema

Ciklus zauzetosti G/M/1 sistema se definiše kao broj potrebnih koraka (tj. brojprelaza) da sistem iz stanja 0 ponovo dode u stanje 0. Dužina trajanja jednog ciklusa senaziva interval vracanja stanja nula. Interval vracanja stanja nula je interval koji se sastojiiz dva perioda,

(1) Period kada je sistem u stanju nula,

(2) Period u kome je server neprekidno zauzet.

Neka je R slucajna promenljiva koja predstavlja broj potrebnih koraka da sistem izstanja 0 prvi put dode u isto stanje (pretpostavlja se da svaki ciklus zauzetosti ima isturaspodelu). Neka je dalje h(n)j verovatnoca da je broj klijenata neposredno pre dolaskan-tog klijenta u ciklus jednak j. Za j ≥ 1 je

h(j)j = b(j)

0 ,

h(n)j = ∑r

h(n−j)r b(j)

r , n > j, (3.24)

gde je b(j)r j-ostruka konvolucija verovatnoca br, koje su definisane u (3.1).

Funkcija generatrise niza h(n)j , n ∈ N je

Hj(z) =∞

∑n=j

h(n)j zn = |H1(z)|j , |z| ≤ 1. (3.25)

Rešenje jednacine ω = zβ(ω) je presek funkcija y = ωz , |z| ≤ 1 i y = β(ω). Kao što je u

prethodnoj glavi dokazano da G(z) zadovoljava jednacinu (2.34), analogno se pokazujeda je η(z) ≡ H1(z) rešenje jednacine ω = zβ(ω), tj.

H1(z) =∞

∑n=1

h(n)1 zn = h(1)1 z +∞

∑n=2

h(n)1 zn = b0z +∞

∑n=2

znn−1

∑r=1

brh(n−1)r

= b0z + z∞

∑r=1

br

∞

∑n=r

znh(n)r = z∞

∑r=0

br|H1(z)|r = zβ(

H1(z)).

Neka je 0 ≤ z ≤ 1. Kako je β(0) = b0 > 0, β(1) = 1 i znamo da je β(ω) konveksnafunkcija, sledi da grafici funkcija y = ω

z i y = β(ω) imaju jedinstven presek u tomintervalu. Neka je sada −1 ≤ z < 0. Kako je β(0) = b0 > 0, β(−1) < 1 i znamoda je β(ω) konveksna i monotona funkcija, sledi da grafici funkcija y = ω

z i y = β(ω)imaju jedinstven presek u posmatranom intervalu. Dakle, η(z) je jedinstveno rešenje ujedinicnom krugu jednacine ω = zβ(ω), |z| ≤ 1.


Za j = 0, iz (3.24) je

h(1)0 =∞

∑k=1

bk,

h(n)0 =n−1

∑r=1

h(n−1)r

∞

∑k=r+1

bk, n > 1. (3.26)

Iz (3.26) sledi

H0(z) =∞

∑n=1

h(n)0 zn = h(1)0 z + z∞

∑n=2

h(n)0 zn−1

= z∞

∑k=1

bk + z∞

∑n=2

(n−1

∑r=1

h(n−1)r

∞

∑k=r+1

bk

)zn−1, (3.27)

gde je H0(z) funkcija generatrise niza h(n)0 , n ∈ N. Uvodenjem smene βr = ∑∞r+1 bk,

iz (3.27) sledi

H0(z) = zβ0 + z∞

∑n=2

zn−1n−1

∑r=1

h(n−1)r βr

= z(

β0 +∞

∑r=1

βr

∞

∑n=r+1

h(n−1)r zn−1

)= z

(β0 +

∞

∑r=1

βr[H1(z)]r)= z

∞

∑r=0

βr[η(z)]r. (3.28)

Dalje je

∞

∑r=0

βrzr =∞

∑r=0

zr∞

∑j=r+1

bj =∞

∑j=1

bj

j−1

∑r=0

zr

=∞

∑j=1

bj

( ∞

∑r=0

zr −∞

∑r=j

zr)=

∞

∑j=1

bj

( 11− z

− zj∞

∑r=j

zr−j)

=∞

∑j=1

bj

( 11− z

− zj

1− z

)=

∑∞j=1 bj −∑∞

j=1 bjzj

1− z

=∑∞

j=1 bj −(

β(z)− b0)

1− z=

1− β(z)1− z

, (3.29)

gde je β(z) funkcija generatrisa niza bj, j ≥ 0.Iz jednacina (3.28) i (3.29) sledi

H0(z) =z− zβ

(η(z)

)1− η(z)

.


Kako je η(z) koren jednacine ω = zβ(ω), tj. η(z) = zβ(η(z)

), iz prethodne jednacine je

H0(z) =z− η(z)1− η(z)

. (3.30)

Na osnovu leme 1.1, ocekivani broj prelaza u jednom ciklusu se dobija kao granicnavrednost prvog izvoda funkcije H0(z), kada z→ 1.Prvi izvod pomenute funkcije je

H′0(z) =

(1− η′(z)

)(1− η(z)

)+(z− η(z)

)η′(z)(

1− η(z))2

=1− η′(z)1− η(z)

+

(z− η(z)

)η′(z)(

1− η(z))2 . (3.31)

Potrebno je odrediti η(1) i η′(1).Kako je η(z) jedinstven koren u jedinicnoj kružnici jednacine ω = zβ(ω), za z = 1 jeη(1) jedinstven koren jednacine ω = β(ω) u jedinicnoj kružnici, što je u stvari jednacina(3.13). Kako je sm rešenje jednacine z = β(z) koje se nalazi u jedinicnoj kružnici, sledida je η(1) = sm, odnosno

η(1) =

s, ρ < 1,1, ρ ≥ 1.

(3.32)

Iz jednacine

η(z) = zβ(η(z)

),

sledi

η′(z) = zβ′(η(z))η′(z) + β(η(z)

),

odnosno,

β(η(z)) = η′(z)(

1− zβ′(η(z)

)).

Za ρ < 1 i pretpostavku da z→ 1, iz prethodne jednacine sledi

β(s) = η′(1)(

1− β′(s))

,

tj.

η′(1) =β(s)

1− β′(s). (3.33)

3.5. SISTEM G/M/L 67

Zamenom jednacina (3.32) i (3.33) u (3.31) dobija se

limz→1

H′0(z) =

1−β′(s)−β(s)1−β′(s)

1− s+

(1− s) β(s)1−β′(s)

(1− s)2

=1− β′(s)− β(s)(1− s)(1− β′(s))

+(1− s)β(s)(

1− β′(s))(1− s)2

=

(1− β(s)

1− β′(s)

)1

1− s+

β(s)(1− β′(s)

)(1− s)

=1

1− s< ∞. (3.34)

Dakle, ukoliko je opterecenje sistema ρ < 1, onda ocekivani broj prelaza u ciklusu jekonacan.

Za ρ ≥ 1, potpuno analogno se dobija da je

limz→1

H′0(z) = ∞,

tj. da je ocekivani broj prelaza u ciklusu beskonacan.

3.5 Sistem G/M/l

U ovom radu je ukratko opisan G/M/l model, ciji je specijalan slucaj G/M/1 mo-del ranije analiziran.

Ukoliko se u G/M/1 model doda još l − 1 šaltera za opsluživanje, dobija se sistemsa l kanala, u koji klijenti pristižu sa proizvoljnom raspodelom, i vreme opsluživanjasvakog od njih je odredeno eksponencijalnom raspodelom sa parametrom µ.

Podsetimo se da je sa Qn oznacen broj klijenata u sistemu u momentu pre dolaskan-tog klijenta u isti, i da je Xn potencijalni broj klijenata koji su završili opsluživanje uvremenskom periodu izmedu dolaska n-tog i n + 1-og klijenta. Važi,

Qn+1 =

Qn + 1− Xn+1, Qn + 1− Xn+1 > 0,

0, Qn + 1− Xn+1 ≤ 0.(3.35)

Zbog veceg broja servera za opsluživanje, verovatnoce prelaza iz stanja i u stanje jG/M/l sistema se razlikuju u odnosu na verovatnoce prelaza u slucaju kada postojisamo jedan šalter za opsluživanje. Posmatraju se tri slucaja:

(a1) i + 1 ≥ j ≥ l,

(a2) l ≥ i + 1 ≥ j,

(a3) i + 1 > l > j.

3.6. SISTEM G/M/1/K 68

Kako je µ intenzitet eksponencijalne raspodele koja predstavlja dužinu trajanja op-služivanja klijenta, verovatnoca da klijent završi opsluživanje u intervalu (0, t] jednakaje 1− e−µt, dok je verovatnoca da nece završiti opsluživanje u istom intervalu jednakae−µt. Uzeci to u obzir, kao i cinjenicu da serveri rade nezavisno jedan od drugog, vero-vatnoce prelaza Pij se dobijaju u zavisnosti od pomenutih slucaja na sledeci nacin,

(a1) U ovom slucaju i + 1− j klijenata završavaju svoje opsluživanje i pritom su svevreme zauzeti svi serveri. Ovde se Pij dobija na sledeci nacin,

Pij =∫ ∞

0e−lµt (lµt)i+1−j

(i + 1− j)!dA(t),

gde je A(t) funkcija raspodele vremena izmedu dva uzastopna dolaska klijenta.

(a2) Kako je l ≥ i + 1 ≥ j, i + 1− j od i + 1 klijenata ce biti opsluženo, pa se traženaverovatnoca dobija kao

Pij =

(i + 1

i + 1− j

) ∫ ∞

0

(1− e−µt)i+1−je−jµtdA(t).

(a3) U ovom slucaju najpre i + 1− l klijenata izlaze iz sistema sa eksponencijalnomraspodelom sa parametrom lµ, a potom l − j od preostalih l klijenata završavajusvoja opsluživanja nezavisno jedan od drugog. Verovatnoce Pij se dobijaju nasledeci nacin,

Pij =∫ ∞

t=0

∫ t

τ=0e−lµτ (lµt)i−l

(i− l)!lµ(

ll − j

)(1− e−µ(t−τ)

)s−je−jµ(t−τ)dτdA(t) .

3.6 Sistem G/M/1/K

Model koji se od G/M/1 sistema razlikuje u tome što ima ogranicen broj mesta zacekanje je G/M/1/K model, gde K predstavlja kapacitet sistema. Ukoliko su u sistemuzauzeta sva mesta za cekanje, klijenti nece biti primljeni (bice blokiran u sistemu), svedok bar jedan klijent ne napusti sistem. Stoga, na osnovu (3.2) je

Qn+1 =

min

Qn + 1− Xn+1, K

, Qn + 1− Xn+1 > 0,

0, Qn + 1− Xn+1 ≤ 0 .(3.36)


Sistem

Serverred

µ

Slika 3.3: Graficki prikaz G/M/1/6 modela sa punim kapacitetom.

Matrica verovatnoca prelaza je

P =

P00 P01 . . . P0,KP10 P11 . . . P1,K

...PK−1,0 PK−1,1 . . . PK−1,KPK,0 PK,1 . . . PK,K

=

∑∞

1 br b0 0 0 . . . 0∑∞

2 br b1 b0 0 . . . 0...

∑∞K br bK−1 bK−2 bK−3 . . . b0

∑∞K br bK−1 bK−2 bK−3 . . . b0

,

gde su verovatnoce bj, j ≥ 0 definisane u (3.1).Napomenimo da su poslednja dva reda u matrici P identicna, jer stanje K − 1 pred-stavlja stanje sistema neposredno pre dolaska K-tog klijenta, pa ce prakticno i u tomslucaju biti zauzeta sva mesta za cekanje i svaki naredni klijent nece biti primljen u si-stem, sve dok bar jedan klijent ne napusti isti.

Neka je π′ = [π0, π1, ...πK] vektor stacionarnih raspodela umetnutog lanca Mar-kova. Kako je ∑K

0 πj = 1 i πj = ∑Ki=0 πiPij, rešavamo sledeci sistem

π0 =K

∑i=0

πi

(∞

∑r=i+1

br

),

π1 = π0b0 + π1b1 + π2b2 + ... + πK−1bK−1 + πKbK−1,

π2 = π1b0 + π2b1 + π3b2 + ... + πK−1bK−1 + πKbK−2,

...

πK−1 = πK−2b0 + πK−1b1 + πKb1,

πK = πK−1b0 + πKb0. (3.37)

Predstavljeni sistem je moguce rešiti direktno, preko mnogih vec dobro poznatih me-toda za rešavanje sistema jednacina. Alternativna metoda za rešavanje ovog sistema je


uvodenjem smene

νi :=πi

πi−1, i = 1, 2, ..., K, (3.38)

na osnovu koje je

πi = νiπi−1

= νiνi−1πi−2

...

= νiνi−1...ν1π0 , i = 1, 2, ..., K. (3.39)

Iz (3.37) sledi

νK =b0

1− b0,

νK−1 =b0

1− b1 − νKb1,

...

ν1 =b0

1− b1 − ν2b2 − ...− νKνK−1...ν2bK−1. (3.40)

Kako je ∑K0 πj = 1, iz (3.39) je

1 = (1 + ν1 + ν1ν2 + ... + ν1ν2...νK)π0,

pa je

π0 =1

1 + ∑Ki=1 ∏i

r=1 νr. (3.41)

Zamenom (3.40) i (3.41) u (3.39) dobijaju se verovatnoce πj, j = 0, 1, 2, ..., K.

Zakljucak

U ovom radu su obradivani sistemi koji se cesto srecu u svakodnevnom životu, ato su modeli koji ne spadaju u procese radanja i umiranja. Analizirane su dve osnovnegupe ovih modela, a to su sistemi kod kojih ili ulazni potok nije Puasonov, ili kod kojihvremena opsluživanja nisu sa eksponencijalnom raspodelom.

Teorija masovnog opsluživanja je oblast matematike koja se sve više razvija i kojaima veoma široku prakticnu primenu. Savremene informacione tehnologije ne moguse zamisliti bez upotrebe teorije mreža u cijoj je osnovi teorija redova. Ta oblast je jakokompleksna i baš zbog toga je jako bitno dobro optimizovati sistem Zbog svoje bitnosti,u radu je obradena i osnova koja se tice optimizacije sistema.

Pored informacionih tehnologija, primena teorije redova je cesta i u drugim bran-šama. Izucavanje grupnih dolazaka postaje polje koje sve više matematicara proucava,baš iz razloga jer je ovo grane teorije redova koja je u praksi cesto primenljiva. Poredgrupnih dolazaka, sve vecu popularnost dostiže i grana teorije masovnog opsluživanjakoja proucava opsluživanja sa prioritetom. Optimizacija redova kod opsluživanja saprioritetom se može postici i opsluživanjem sa prioritetom koji nije konstantan, vec semenja tokom vremena.

71

Bibliografija

[1] Robert B. Cooper. Introduction To Queueing Theory, Second Edition. Elsevier NorthHoland Inc, 1981.

[2] Ivo Adan and Jacques Resing. Queueing Systems. 2015.

[3] D. Baum L. Breuer. An Introduction to Queueing Theory, Springer, 2005.

[4] Slobodanka Jankovic i Lenka Glavaš. Stohasticki modeli u operacionim istraživanjima.2016.

[5] Svetozar V. Vukadinovic. Elementi teorije masovnog opsluživanja. 1983.

[6] J. Sztrik. Basic Quering Theory, irh.inf.unideb.hu/user/jsztrik/.

[7] U. Narayan Bhat. An Introduction to Queueing Theory: Modeling and Analysis in Ap-plications.

72

Biografija

Jeremic Aleksandar, roden 16.07.1992. godine u Kruševcu. Osnovnu školu završio uVarvarinu 2007. godine. Te godine upisuje gimnaziju u Varvarinu, koju je završio 2011.godine. Osnovne akademske studije matematike upisuje na Prirodno-matematickomfakultetu u Nišu 2011. godine, koje je završio 2015. godine. Iste godine upisuje masterakademske studije na istom fakultetu, smer Verovatnoca, statistika i finansijska matema-tika. Master akademske studije je završio 2018. godine.

73

umetnuti lanci markova u teoriji masovnog opsluživanja · 1.1.1 osnovni pojmovi teorije...

Documents