Um pouco deGeometria Tropical

Semana da Matemática 2013UFJF

Frederico Sercio FeitosaDM/UFJF

Geometria Tropical

Que figuras são essas?

RETA TROPICAL

Geometria Tropical• Por quê tropical ?• Seria devido a

existência de formas exóticas ?

• A álgebra tropical era conhecida como álgebra max-plus.

• Nome “tropical” dado por pesquisadores de informática da Universidade Paris 7

Imre Simon (Budapeste - Hungria, 1943 – São Paulo, 2009)

• O mundo clássico pode ser degenerado até o mundo tropical.

• Um enunciado tropical tem muita chance de possuir um enunciado clássico similar.

• Os objetos tropicais são lineares por partes, logo mais simples de estudar que os seus análogos clássicos.

Objetivo:Estudar objetos simples, enunciar teoremas sobre objetos complicados.

Álgebra Tropical

Duas operações (tropicais) no conjunto dos números reais :

},max{: yxyx yxyx :

11 1

321 3

21 3

235 10

Muitas propriedades em comum com as operações clássicas dos números reais.São comutativas, associativas e vale a distributividade.Duas diferenças:• Qual é o elemento neutro da adição tropical?

xex e

Para isto estendemos o conjunto dos números reais.

Temos:

é o conjunto dos números tropicais.

xxx },max{)(

)()( xx

• Um número real tem simétrico em relação a adição tropical ?

Consequência: não está definida a subtração tropical.

Observação: a adição tropical é idempotente, ou seja,

yx

xxx

• 0 é o elemento neutro da multiplicação tropical.

• Abreviamos por

Cuidado!!!

xxx 2 22 xx

xx 1 11 xx

xx 0 1)1( xx

yx xy

“Polinômios” Tropicais

xx x1

231 xx

},1max{ x

}32,,1max{ xx

32 )2(31 xxx }23,32,,1max{ xxxd

d xaxaxaaxP ...)( 2210

},...,2,,max{ 210 dxaxaxaa d

Raízes

• Um polinômio tropical é uma função afim por partes.

• Uma raiz de P(x) é qualquer número x0 para o qual o gráfico de P(x) tenha uma “quina” 2)1(0)( xxxP

• Raízes de• Raízes de • Raízes de

Definição:As raízes tropicais do polinômio tropical P(x) são os números tropicais x0 para os quais existem i e j distintos tais que P(x0) = ai + ix0 = aj + jx0

xxP 0)(20)( xxP

)1(32)( 23 xxxxP

Curvas tropicaisPolinômio tropical em duas variáveis:

Curva tropical definida por P(x,y) é o lugar das “quinas” dessa função.

...),( 202

22011011000 yaxaxyayaxaayxP

,...},,,max{ 11011000 yxayaxaa

Exemplo:Devemos resolver o sistema de inequações:

A reta tropical é constituída das três semi-retas

1),( yxyxP

1

1

1

00

00

00

yx

xy

yx

1:),1( 00 yy

1:)1,( 00 xx

1:),( 000 xyx

Exemplo: 223223),( xyxyyxyxP

Exemplo: 22 )1(0),( xyxyxP

Interseções tropicais

Bibliografia:• Brugallé, Erwan. Um pouco de Geometria

Tropical. Tradução: Éden Amorim (UFMG) e Nicolas Puignau (UFRJ). Revista Matemática Universitária nº 46 (2009) 27-40.

• Gathmann, A.• Mikhalkin, G.