2tschr.I. angew. Math. und Mech. 232 1 u m e n t h a 1 , Ober die K n i c k u n ~ eines Balkens durcli 1,LngskrSftc

Uber die Knickung eines Balkens durch Langskrafte. Dem Andenken an Erich Trefftz gewidmet.

Von Otto Bluii~eizfhnl in Aachen.

m Jalire 1898 liat L. V i a n e 11 o *) ein Naherungsverfahren angegeben, um die Knicksicher- I lieit eines durch ein System von an verscliicdencn Stellcn angreifenden Langskriiftcn be- anspruchten Balkens festzustellen. &Ian gelit ails von einer wahrsclieinlichen Form der Riegungslinie und unterwirft diese eiriein Iterationsverfahren. Die iiberzeugencle ](raft von V i a n e 11 0s Abliandlung licgt in einer Reihe cltirchgefulirter Beispiele, bei denen sich heraus- stellt, dab das Verfaliren aucli bei reclit roller Aiisgsngskurve in g ~ n z wenigen Scliritten zuin Ziel fuhrt. Demgegenuber miichte ich hier zeigen, dab dem Verfahren niclit unbedingt ge- traiit werden kann, dab es nanilich in gewissen, niclit trivialen Fallen entweder schleclit konvergieren oder sogar zu verkehrten Resultaten fuhren kann, die eine wesentlicli hiihere Knicksiclierkeit liefern, nls der Balken tatsiicldicli besitzt. Wie aus dem Folgenden Ilervor- gelien wird, liegt dies daran, dab unler Umstanden die deni kleinsten Knickwert ent- sprecliende Biegungslinie eine unerwaitde Gestalt hat.

Im fs 3 entwickele ich dagegen einigc hinreichende Kriterien far die Anwendbarkeit des Verfahrens, die V i a n e 11 o s Bei- spiele in der Hauptsache decken. Zuni VerstAndnis niuk ich in 5 1 die von E. T r e f f t z * ) entwickelte Theorie der Erscheinung vorausschicken, die auf einer linearen Intc-ginlgleichung beruht.

Diesen Beweis frihre ich in $ 2 an einein Beispiel.

Ich kann dnbei die T r e f f tzsclien Entwicklungen ein wenig abkurzen.

Q 1. Zuruckfuhrung der Aufgabe auf eine Integralgleichung. Der Balken hnbe die Eiidpunkte 0 rind 1 , die Abszisse sei rnit s, die Ordillate der Riegungslinie mit y bezeichnet3). Die Verteilung der Langskrafte wird nacli dern Vorbilrl von T r e f f t z stetig angenomnien, von der Diclite p(s ) , wobei positives y(s) iin Sinnc waclisender s gericlitet sei, auberdem wirke eine stetige Querbclastung von dcr Diclite q (sj'). Auch Elastizitiitsinodul E und Trag- heitsmoment J kiSnnen wir, oline Koniplikntioiien einzuftihren, als stetige Funktionen der Abszissc voraussetden, sie sind frbernll positiv. Das Biegemoment sei m (s). hls Rand- bedingung werde an jedeni der beiden Enden cine der folgenden 4 ,,naturlichen" xugelassen :

a) Stutzung: y = 'wz = 0, b) Einsyannung: y = y' = 0, c) freies Ende: m = ni'= OG), d) Einspannung in eine in wnkrecliter lliclitung verschiebliclie Backe: yf = m' = 0.

Sei M ( s , t ) das von dcr am Punkt t angl.cifencleri senkrecliten Einzellast 1 am Punkte s bei den gegebenen Randbedingungen liervorgerufene Hiegungsnionient. Es ist

wo ATo und Q, Einspaiinungsmoment uiid Stutzkraft ani Punkte 0 bezeiclinen. 31 (s, t ) ist also eine sttickweise lineare Funktion von s. Kombinieren wir also

t P y m (s) JJ,J- . . . . . . . . . . . . . . . . . (1,2)

iis2= - - - -

init d* M(s, t )

d S' =o s + t ,

so erhalten wir nacli dem bekannten Verfahren des C r e e n sclien Satzes

1) ZVDI 42 (1598). S. 1436 bis 1443. Das Vorfahren wird auch undrrwiirts benutzt. siehe 2. B. E. I ' o b l h a u s e n : Bercclinong der Eigenschwingungen statisch besl ininitcr l.'wli\wrke, Z A M M 1 (1921), S . 34 bis 42.

2) ZAMM 3 (1023). S. 272 bis 270. 3) Zwischcnstiilzen, die 1' r e I I t z zuliilt, lassen wir 2111' Vercinfac.linng drr Fiwnieln weg. 4) 111 der Vuruussetziiiig stctiger 1)iehtcn p ( 8 ) und q ( s ) sri cingcscl~losscn. dnU a n d e n b e i d e n E n d e n k e i n e

k o n z e n t r i e r t e n K r i i I t e wirken. Das vereinI;~eht einet~ Srhlii l . D i e E n d f o r n i e l ( 1 , G ) g i l t a b e r , wit! mandurch Grenziibergang zn koiizc?ntriertc!-i KriiIten leieht miat. o h i ~ c j c d e E i n s c h r i i n k u n g der angreifel~den Kriifte.

6) ni'= 0 koinnit herans, weil nach U I ~ S ~ I ' C I ' V c ~ r u i i s ~ e l a i ~ ~ ~ g (I~nlli iolc ')) 811 deli Eiidcii keiiic lionzentricrteii Lii~lgs- kriifte auftreteii.

B 1 u rn e n t 11 a 1 , llber die Knickung eines Balkens durch Lln=skr&lte 233 Band 17, Roft 4 August 1917

und daher, weil die Randglieder wegfallen und weil nach (1,l)

ist,

. . . . . . . (1,3).

Andererseits berechnen wir, unter Beriicksichtigung von FuSnote ‘), das Moment m (s) aus den Langs. und Querkrlften (m, Einspannungsmoment am Ende 0):

8 8

U U m (4 = m, + I (2 (s) - y ( 4 ) p (4 d o - I (s - 4 Q (4 d o .

Daraus folgt:

(1A d

m” (s) = ~ ( 2 ’ (s) P(s)) - Q (s) . . . . . . . . . . . mit

S

P(s) = d p (a) da . . . . . . . . . . . . . . . (1,4’).

Da aber bekanntlicli -- m” (s) diejenige Dicbte der Querbelastung ist, die das Biegemoment m ( 8 )

hervorruft, so ergibt sich aus dem Prinzip der Addition der Querbelastungen 1 1 1

m” ( t ) M (s, t ) d t = - (y’ ( t ) P( t ) ) M ( s , t ) d t+ 5 4 (t) M ( s , t) d t . U U U

Das letzte Integral ist das von der gegebenen Querbelastung herruhrende Moment m, (s). Das erste Integral wird durch Produktintegration umgeformt, wobei die ausintegrierten Glieder wegen Y (0) = P (1) = 0 (siehe FuPnote ’)) verschwinden. Also resultiert

1 a M ( S t ) m (s) = y ’ ( t ) P ( t ) - - L- d t + mg (s) . . . . . . . . . . s a t

u

Setzen wir hierin fur y‘(t) den Wert aus (1,3) ein, so kommt

Dies ist ftir m (s) eine lineare Integralgleichung mit symmetrisierbarem Kern. In der Tat, fiihren wir die neue Fiinktion

(s) n (6) = *Jcs., ein, so geniigt diese der Iiitegralgleichung

I

n. (s) = -- . . . . . . . . . . . . U

rnit dern symmetrisclien Kern 1

. (1,7‘).

Die zugehiirigen Eigenfunktionen genugen den Gleichungen 1

U lyi (s) = l i yi (r ) G (r, s) d r . . . . . . . . . . . . . . . . (1,8),

wobci die l i nach der Gr6Pe ihrer Betrage numeriert sein sollen.

234 B 1 II m e n t h a 1 , Uber die Knickunx eines Balkens durch Lgngskrgfte ~ ~ ~ . r ~ ~ ~ ~ $ :

Das V i a n e 11 o sclie Verfahren besteht darin, dafi man, ausgehend von einer plausibelen Momentenlinie n‘”’ (s), die ihrerseits aus einer plausibelen Biegungslinie gco’ (s) gewonnen wird, das Iterationsverfahren anwendet :

I 1 1

U (I n“) (8) =! n‘O’ ( r ) G (r, s ) d r , ncz) (s) = { n“’ (r ) G (r , s) cl r = { n‘” ( r ) Gf2’ (r , s) d r ,

1 1

dS’ (s) = PZ‘~ ’ ( r ) G (r, s) d r = { do’ (r) G“’ (r, s) d r .... u u

wo G(k) ( r , s ) den kten iterierten Kern bezeichnet. Eigenfunktionen y die (formale) Darst,ellung

Ee liabe nun die Ausgangsfunktion in den

w‘”’ ( s ) = C l yi (s) + ci + 1 ?pi + 1 (s) + . . . . . . . . . . . . . (l,lU), womit ausgedruckt wird, dafi die ers tm Koeffizienten c , , .... C i - 1 verschwinden kbnnen. Wir wollen aufierdern, urn ganz allgemein zu bleiben, annehmen, dab @i (s) und vi + 1 (s) zum gleichen Eigenwert l i geh6renO). Dann wird

1st jetzt I li 1 < I Is + 2 I, so ist das Iterationsverfahren (1,9) konvergent und ergibt

n ( k ) (s) lim = I ( . . . . . . . . . . . . (l,lW’),

k+oo , t k + ’ ) ( S )

wlhrend gleichzeitig lim dik n(k) (s) = c i yi (6) + c i + 1 yi + 1 (s), bis auf den Faktor ~ ’ die

Momentenlinie fur eine m6gliche Knickfigur des Balkens darstellt. Die Bedingung I l i I < I l i + 2 I ist sicher erfiillt iii dem wichtigsten Fall, wenn P(t) sein Vorzeiclien nicht mechselt, also iiber den ganzen Balken weg entweder nur Druck oder nur Zug herrscht. Dann ist nlrnlich der Kern G (r, s) nacli T r e f f t z (S. 274) definit (bei Druck positiv definit) uiid hat also nur Eigenwerte eines Vorzeichens. Bestehen aber Eigenwerte verschiedenen Vorzeichens, so k6nnen wir die Konvergenz des Iterationsverfalirens unter allen Umstinden dadurch enwingen, dafi

n ( 2 k ) (8) .... betracliten. Es gilt immer

k+w V E T ) ’

wir zum iterierten Kern G‘z’ (r , s) iibergehen, d. h. nur die Funktionenfolge nco’ (s), ncr’ (s), ....

Die gesuchte Knicksicherlieit ist . der kleinste positive Eigenwert. Sollte also ftir eine Verteilung P (1 ) der Lingskrafte ein positiver Eigenwert vorlianden, aber der absolut kleinste Eigenwert negativ sein, so ist das V i a n e 11 o sche Verfahren im allgemeinen unbrauchbar. Aber diesen Fall wollen wir hier beiseite lassen. Dann ist eine evi- dente notwendige Bedingung fiir die Brauchbarkeit des V i a n e l l o schen Verfahrefis i = l, d. h. die Ausgangskurve .ncO’ (s) muS Komponenten nach den zum ersten Eigenwert geh6rigen Eigenfunktionen aufweisen. Darilber liinaus miissen, darnit das Verfahren rasch konvergieren soll, diese Komponenten verhiltnismaljig grofi sein.

Da das Fehlen dieser Komponenten in fin‘”’ (s) eine Ausnahmeersclieinung sein wird, kann man sagen, dafi das V i a n e 11 o sche Verfahren im allgemeinen den Knickwert liefert.

Eine groke Schwierigkeit und Unsicherheit kommt aber dadurch herein, dab schon bei sehr einfaclien Beispielen die ublichen anschaulichen Merkniale daflir, dafi n“’ die erste Kom ponente iiberhaupt oder gentigend stark enthllt, vbllig versagen kbnnen. Dies soll im folgenden erbrtert werden. Die Methode V i a n e 1 lo s verliert dadurch nach meiner Auf- fassung erheblich an praktischem Wert.

Es sei also 1, positiv.

Q 2. Ein Beispiel, in dem das Vianellosche Verfahren versagt. An dem in den Punkten 0 und 2 gestutzten Stab von unveranderlicliem E J greife im Punkte a die Lgngskraft + P, im Punkte b (> a) die Lgngskraft - P an. Die Ordinaten der Biegungslinie an den Punkten a und b seien mit a und p bezeichnet (Abb. 1, S. 237). Dann findet man fiir die Momente

Feld I

0) E. T r e f f t z hat mich darauf aufmerlrsnm gemacht, dn6 mehr als 2 orthogonale Eigenfunktionen zu einem Eigenwert nicht cxistieren konnen. weil sie Int,egrnlc einer linearen honiogenen Integralgleirhung 4. Ordnung sind. DaB-andererseita 2 Eigenfunktiouen zu einem Eigeuwert wirklich auftreten, beweist ein Beispiel des 0 4.

B 1 u m e n t 11 a 1 , Uber dip Knickung eines Balkens durch LPngskrBfte 235 Band 17, Heft 4 August 1937

-- a 8-fl 1

MI, = - P -- s + P ( y - a) = P 1 - ( 1 - s) + Piy-p) Feld I1 (a 5 s 5 b)

’ - a 321, = P -- (1 - 8) . 1 Feld I11 ( b 5 s 5 1)

Beracksichtigt man die Randbedingungen y (O)= y ( I ) = 0 und benutzt fiir Feld I1 der Symmetrie halber die letztangegebene Form des Momentes, so ergeben sich mit der Abkurzung EJ=vz die Gleichungen der Biegungslinie:

P

Feld I YI (4

Feld I11 yIIr(s) p - a ( 1 - s)s = -v* -1- p6- - D (1 - S)

Die Integrationskonstanten A, B, C, D bestimmen sich aus den Bedingungen

YI (a) = Yn (a) = a 2 YII (b) = ~ m ( I ) = B . Wir erlialten :

1 - ( b - a) 21

b - a . (2,21), C sin v -2- = (’ - a) -~ . . (2,22). b - a 1 - ( b + a) B cos v -- =(’ -a) -__ 2 21

Die Gleichungen far stetigen nbergang der Tangente, yII (a) = y‘lI (a) und y’II (b ) = yllrn ( b ) , lauten riach Einsetzen aus (2,11), (2,12)

@ - a a 2 Q B-a b - a b - U v2--- +-=--+Bvsinv--+Cvcosv-- a 1 2 2 . . . . (2,23),

p-a(l-bb)* b - a b - a 1 3 1 - b 1 2 2

v 2 _- -- _-_-_-- -’-a Bvsinv--+Cvcosv--. . Die vier G1. (2,2) sind homogene lineare Gleichungen fur die Unbekannten B, C, a, ’, aus denen sich durch Elimination die Gleicliung fur v ergibt:

Wir suclien die kleinste Wurzel v, d. i. den Knickwert.

In der Tat ist F(0) positiv, dagegen

7t S e i z u n 8 c h s t a + l - b . D a n n g i b t e s g e n a u e ine W u r z e l Y , d i e < = i s t .

Also ist mindestens eine Wurzel in dem Interval1 vorhanden. Urn zu zeigen, dafi nur eine da sein kann, geniigt der Nachweis, dafi an jeder Nullstelle dieses Intervalls die Ableitung

(b - a) cos v ( b - a)

negtltiv ist. In der Tat, setzen wir die positive Grtifie

und beacliten, dnB der Koeffizient \-on c o s v ( b - - a ) bis auf den Faktor (b- -a) mit dem Koeffizienten von sin v (h -- a) in F (1') iibereinstimmt, so erlialten wir durch Elimination dieses Koeffizienten vcrmbge P(v) = 0 nach kurzer Reclinung

-p sin v (Z, -~ a) < 0 . 1 1 sin v (Z, - a)

a 1 -- 1) + --; ~ + 2 cos v ( b - a) d F - =- (z, -a) [rb d v

Berwickelter liegen die Verlialtnisse fur n = 2 b (,,s y ni m c t r i s c li c Bean s p rucli u n g").

Hier ist imnier v = - eine M'urzel von F(v) =O. Es kann hbchstens eine nocli kleinere

Wurzel geben. Wir geben die Diskussion genau, weil sicli an sie das einfachstc Beispiel fiir Versagen des V i a n e 11 o sclien Verfalirens ankniipft.

Die Gleichung fur v Iautet:

n b--a

Ob eine solchc auftritt oder niclit, liiingt von dem Werte von a ab.

n n Der zweite Faktor ist for v = O positiv und liat fur v=-=---- dun Wert 6 - n 1 - 2 a

1 f ( a ) riininit in dein i n Betraclit konirnenden Interval1 0 < a < sundig ab und gelit von positiven zu negativen Werten iibcr.

a, = 0,3193 1 . Is t b e i s y ni m e t r i s c h e r B e a n s p r u c 11 u n g d a s g e d r u c k t e S t a b s t ti c k v e r 11 ii 1 t n i s-

miiSig g r o k (a<a,) , d a n n ist d e r K n i c k w e r t v=-- - - - - 1st a b e r d a s g e d r i i c k t c

S t a b s t u c k k l e i i i (u>a,) , d a n n e x i s t i e r t e i n K n i c l i w e r t V , < ~ - T ~ . F ti r a = u, 11 a t

F(v)=O d i e D o p p e l w u r z e l v=------

Wir werden nun zeigen, und darin hestelit unser erstes Beispiel: D i e z u den i I< 11 i c k \v e r t v, g e 11 6 r i g e I3 i e g u 11 gs l i n i e i s t merkwurdigerweisc n i cli t. s y m m e t r i s cli z u r A c 11 s e s == T- , sondern liat bei s =- eine Nullstelle. Die symmetrisclie (konksve)

Biegungslinic geh6rt zu v = era.

3

Die Nullstelle liegt bei

n 1 - 2 u '

ll

n 2 1 U" *

1 1 2 2

n

n In cler Tat, sci zunttclist v = Setzen wir in (2,94) 1 - b = a und nddieren zu (2,23), 1 - 2 a '

b--n 2 so erlialten wir wegen cos v -- = O

R d. 11. 6 = n , auBer wcnn a = R., , also v = -5- Doppelwurzel ist. 1st aber /l= ( 1 , cl. 11.

greifen die beidcn Druckkrttfte in gleicher Hblie an, dann bestelit (GI. (2,O)) die Biegungslinie aus 2 zur Achse s = - symmetrischen GeradenstGckcn und einerii zu dieser A c h e syriime- trisclien konkaven Stuck einer cos-Linie, ist also konkav.

E--La

1 2

n b--u 1st dagegen v = v, < ~- dann ist cos v --- - $= 0 und dalier bei 1 - b = a nacli (2,21) B = 0. Dnher ergibt Subtraktion der G1. (2,23) und (2,24) a + /3 = 0. Demnacli sclineidet die Biegungslinie die s-Ache, und die G1. (2 ,O) zeigen genauei-, daS sie den Punkt s=- - , y = 0 zum Symmetriezentrum liat.

1 - 2 a ' 2

1 2

237 Band l i , Heft 4 Auaiist 1937 B 1 II m e n t 11 a I , Uber die Kiiickung eines Balkens durch LHngskrBfte

Fur n = a, bestelien Biegungslinien der beiden Typen gleichzeitig. Diese zeigt die Abb. 1 '). Die Momentenkurven haben die gleichen Symmetrie-Eigenschaften wie die Biegungs-

linien. Insbesondere ist die zu v, geh6rige Momentenkurve nicht riberall positiv, sondern hat eine zugehbrige Momentenkurve nirgends negativ. Nrillstelle b e i 3 . Dagegen ist die zu v=--- 1--2a

Daraus folgt: F u r a > a , w i r d d a s Viane l losc l ie V e r f a h r e n , wie man es ,,ver- nunftiger" Weise anwendet, un b r a u c h b a r . Denn man benutzt als Ausgnngskurve fur die Riegungslinie immer eine konkave Kurve, in der Erwartung, dab der kleinste v-Wert einer ,koiikaven Biegungslinie entspreclien werde. Diese Erwartung ist aber ftir a > a, falsch. Geht

man insbesondere von der genauen konkaven Biegungslinie aus, die v = -- entspricht, so 1-2n fiilirt das Verfahren immer wieder auf diese Linie zuruck und 1 i e f e r t d e n Y - W e r t ma, d e r n i c h t d e r K n i c k w e r t , s o n d e r n zu gro l i i s t . Geht man von einer anderen kon- kaven Biegungslinie aus, dann k a n n die Zerlegung ilirer Momentenkurve nach den Eigen- funktionen aucli die zu vo geliijrige Eigenfunktion als Komponente enthalten, aber jedenfalls als kleine Komponente. In diesem Falle wurde zwar - wie am Ende des $ 1 gesagt - das V i a n e 11 o sche Verfahren schliefilicli den richtigen Knickwert liefern, aber erst nach eineni langen und praktisch undurchfuhrbaren Prozeli.

Die Tatsache, dab die zum kleinsten Eigenwert gehbrige Biegungslinie niclit konkav ist, erscheint zunachst verwunderlich. Man kann sie sich aber mechaniscli nnscliaulicli machen durch die Erklilrung, dab das gedruckte Stuck (a, 1 -a) , wenn es gentigend klein ist, sich niclit ausbiegt, sondern als Ganzes querstellt.

n 1

n

n

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p-+

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I P Li-5 p n . \\ '1, A) / 2 - 3 4 p

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a \ a

- O& I 0 '\

')J/ Abb. I . Abb. 2. Abb. 3.

Die auffallenden Formen der Biegungslinien, die wir bei symmetrisclier Beanspruchung festgestellt haben, treten auch bei unsymmetrischer Beanspruchung auf und sind hier sogar noch anschaulicher zu verfolgen. Vorauszuschicken ist, dah konkave Biegungslinien uberhaupt nicht auftreten kbnnen, weil die Momente in den Feldern I und I11 entgegengesetzte Vor- zeichen haben. Schon dies erschwert die Anwendung des V i a n e 11 o schen Verfahrens. Es zeigt sich aber dariiber Iiinaus, daB die zum 1. Eigenwert gehbrige Biegungslinie eine Null. stelle haben kann. Wir erhalten so weitere Beispiele fur Nichtanwendbarkeit des V i a n e l l o - sclien Verfahrens. Sei nlmlich das Verhaltnis __ - - q + 1 fest gegeben. Bei kleinem (L er-

halten wir dann zunlchst zum kleinsten Eigenwert v, < __ eine positive Biegungslinie mit ciidliclien Steigungswinkeln der Tangeiiten an den beiden Enden. Mit waclisendem a aber nimmt die Keigung der einen dieser beiden Tangenten zu Null ab. Far einen Wert a = a, entstelit eine Biegungslinie mit horizontaler Tangente an einem Ende, ctls ob der Stab dort cingespannt ware. Mit weiter waclisendem a wechselt diese Tangente ihr Vorzeiclien und es entstelit eine Biegungslinie, die aucli negative Werte annimmt. Das Umgekehrte findet mit

< v1 < -__ zugehbrigen Biegungslinie statt. Diese hat dcr Zuni zweiten Eigenwert v __

fur kleine a einc Nullstelle und das Aussehen einer sin-Linie im Periodenintervall. Mit waclisendem a aber nimmt die Tangente an einem Ende - und zwar an dem entgegengesetzten wie vorher - ab, geht bei einem Werte a, durch Null und wechselt ihr Vorzeichen. Fur Werte a > a2 hat diese Biegungslinie keine Nullstelle mehr. Die zu Y , und vI gelillrigen Biegungslinien liaben also ihren Typus filr genugend grobes a gerade vertauscht. Die Abb. 2 (v= v,) und 3 (v = v l ) zeigen die nbergtlnge.

2 - b U

n b-a

( " b-a b-a 2 x 1

7) Wir haben hirr das in 5 1 ansekiindigte Reispiel. daB der erst6 Eigenwert mehrfacli sein kaiin.

2tacbr.f.an ew. Math. uud d c h .

Ich fuhre den Beweis nur fUr den Eigenwert vo. Zur Aufstellung der Gleichung F = O lassen sich hier, weil Y (b - a) < n ist, B und C aus (2,211 und (2,22) ausrechnen und in (2,23) und (2,24) einsetzen. Man erhiilt zwei hornogene Gleichungen in a und B von folgender Gestalt:

238 B 1 u m e n t h a 1, Ober die Kriickung eines Bdkens durch Ltlngskrafte

. . . . . . . . . . . . . (2,61),

. . . . . (2,62),

aus denen sich F = O in der Form ergibt 1 1 1 1 a 1-11 1--G - --.+;R+- - N = O . . . . . . . . . . (2,7).

Dabei ist b-a . . . . (2,71),

b-a . . (2,72).

Wir verlangen h o r i z o n t a l e T a n g e n t e am l i n k e n E n d e , d. i. A=O. Setzen wir in (2,ll) gemtiP (2,61)

1 1 a

vza2 6 1

a = N , P = = - + N ,

ein, so folgt

(2,811 N = - - - ; - . . . . . . . . . . . . . . . . und daraus nach (2,7)

1 v' a' R=-- . . . . . . . . . . . (2,821.

Dies in (2,71), (2,72) eingesetzt, ergibt unter Einfuhrung der dirnensionslosen Gr6fjen und Bezeichnungen

b-a Z - - ( q + l ) - v ~- = 5--

1--h 1 q=- x = v a , z=- 2 2 -v * ' (299) a ' (C l

nach kurzer Rechnung :

(q -1) x tgp, = -- z+s (- 2 qa + 8 q + 1)) . . . . . . . . (2,91), cl

XP

'I xz

- - z - 2 q + ~ ( 2 q 8 + 3 p - l ) ] . . . . . . (2,92),

und durcli Multiplikation dieser transzendenten Gleichungen die algebraische :

2' X 2 z (9q ' - (2 4' - 1)') +'% (-- q'-qfz (2 4'- 1)) - a ( Z + 2 q) = 0 . . . . (2,93).

1c GI. (2,91) zeigt, wed q <B ist, dafi notwendig

q > l . . . . . . . . . . . . . . . (2,941

sein mufi. Wir wiihlen aufjerdem q so nahe bei 1, dab - 2 q 3 + 3 q + 1 uiid daher der

Koeffizient von 5' in (2,93) positiv ist, also q < Dann hat (2,93) far jedes positive z

eine positive Wurzel x . Fur z kommen nur Werte > q t 1 in Betracht, fIlr diese ist x eine sttlndig wachsende Funktion x (z), die von der Grbfjenordnung fz unendlich wirds). Man denke sich diese Funktion in (2,91) eingetragen. Fur z = q + 1 verschwindet die linke Seite,

2

8) Der Beweis des zweiten Teilv dieser Behauptung folgt cinfach aus (2.93). der erste Teil ist fur das Folgende unwesentlieh. weshalb ich den Beweis weglasse. Die Restiminiing des lntervalls samtlicher Werte q. fur die eine horizontale Tangente auftreten kann, und die Berechnung der zugehorigen Werte a und Y (d. h. z und x ) ist eine inter- essante algebraische Aufgabe, deren Losung ich durcligeliihrt habe. nber hier unterdriicke.

B 1 11 IYI e n t 11 a 1 , Uber die Knickung eines Ba kens 3urch Langskrgfte 239 Band 17, Ee f t 4 August 1937

7c die rechte ist positiv. Man lasse aber jetzt z wachsen, bis den Wert 8 annimmt. Dann

ist die linke Seite grfifier als die rechte. Somit gibt es ein z, d. h. ein a, derart, dafi die

zugehbrige, dem ersten Eigenwert yo < entsprechende Biegungslinie am linken Ende eine horizontale Tangente hat. Eine zusatzliche Betrachtung zcigt, dak die Tangente niit wachsen-

dem a ihr Vorzeichen wechselt, denn dz- ergibt sich als positiv. Somit ist fur Werte y

l < q < - - r 4- v') unsere Behauptung bewiesen. Fur die A'bbildungen wurde q = 1,25 gewlhlt.

7c

d (a A )

Q 3. Hinreichende Kriterien filr Anwendbarkeit des Vianelloschen Verfahrens. Da, wie die Gegenbeispiele des $ 2 zeigen, das V i a n e 11 o sche Verfahren zu falsclien Ergebnissen fuhren kann, ware es wichtig, genugend allgemeine Iiinreichende Kriterien fiir seine GUltigkeit zu kennen. Es ist mir trotz vieler Rechnungen nicht gelungen, in dieser Richtung so weit zu kommen, wie ich wollte; ich kann aber doch einige Ergebnisse angeben. Sie folgen aus einem zuerst von K e 11 og g') bewiesenen Satze, dessen einfachster Fall so lautet:

(K,) . W e n n d e r s t e t i g e , s y m m e t r i s c l i e K e r n G ( r , s ) ftkr a l l e r,8 d e s I n t e r v a l l e s n i c h t - n e g a t i v u n d fiir r = s m i t A u s n a h m e d e r G r e n z e n p o s i t i v i s t , d a n n i s t d e r k l e i n s t e E i g e n w e r t p o s i t i v u n d d i e e i n z i g e zu i h m g e h b r i g e E i g e n f u n k t i o n i s t i m I n n e r n d e s I n t e r v a l l e s pos i t i v .

K e 11 ogg hat diesen Satz verallgemeinert durch Einfuhrung der ,assoziierten Kerne' lo)

Er findet: (KJ. W e n n fiir

rl < r, < . . . < rl,, s,<s,< . . . <s, d i e s l m t l i c h e n K e r n e

n i c h t - n e g a t i v u n d im F a l l e d e r G l e i c h h e i t a l l e r P a a r e . r , s s o g a r m i t A u s n a h m e d e r G r e n z e n p o s i t i v s i n d , d a n n s i n d d i e e r s t e n n E i g e n - w e r t e von G ( r , s ) p o s i t i v , eu j e d e m gehf i r t n u r e i n e E i g e n f u n k t i o n , u n d d i e s e h a b e n d e r R e i h e n a c h

0, 1, ..., .n-I

V o r z e i c h e n w e c h s e l in d e m I n t e r v a l l . I h r e l i n e a r e n K o m b i n a t i o n e n l iaben n i c h t mel i r a l s n - 1 Vorze ichenwechse l . A l l e a n d e r e n E i g e n - f u n k t i one n h a b e n m i n d e s t en s n Vorzei ch e n w e c h sel .

A. Den Satz (K,) kann man bei dem b e i d e r s e i t s gest tktzten Balken anwenden. V i a n e 11 o s Verfahren geht hier von einer tkberall positiven und konkaven Kurve aus, so- dah mcO) (s) nicht-negativ ist. 1st G (r, s) nirgends negativ, dann sind auch m"' (s), mcz' (s), . . . oicht-negativ, das gleiche gilt dalier auch fur die Eigenfiinktion, gegen die sie streben In). Da aber laut (K,) bei nicht-negativem und fur r = s positivem G ( r , s ) die zum 1. Eigenwert gehbrige Eigenfunktion positiv ist und deshalb wegen der Ortliogonalitat keine andere nicht- negativ sein kann, so fiihrt das Verfahren in der Tat aiif den ersten Eigenwert, w. z. b. w.

*) Am. J. of Math. 98 (1916), 9. 1 bis 5, iind 40 (1918). S. 145 bis 154. 10) Ene. Math. Wiss. I1 3. S. 1385. *I) Genauer gesagt: jede konvergente Teillolge 8118 ihnen.

Ztschr. f. angew . 240 B 1 u m e n t h a 1 , Uber die Knickung eines nnlkens durch Llngskrlfte Math. "nd Mech.

Um das Kriterium auszuwerten, bereclinen wir G (r, s), wobei wir zur Vereinfachung der Schreibweise E J = const = 1 annehmen. Es ist

uncl dalier, fur r s s ,

Bezeiclinen wir mit PI, P,, P, Mittelwerte von P in den Intervallen (0, r ) , (T, s), (s, l ) , PO lafit sich G (r, s) in eine der beiden folgeriden Formen setzen:

und daraus crgibt sich: W e n n d e r b e i d e r s e i t s g e s t i i t z t e S t a b u b e r a l l g e d r i i c k t i s t ( P r o ) u n d d i e U i c h t e n d e r L g n g s k r i i f t e y ( t ) u b e r a l l g l e i c l i e s V o r z e i c h e n h a b e n ( P ( t ) nicht zunehmend oder nicht abnehmend), d a n n l i e f e r t V i a n e l l o s V e r f a h r e n d i e K n i c k l a s t . Das Kriteriurngilt z. B. im Eulerschen Falle und in V i a n e l l o s Beispiel 1. Es ist nicht erftillt (in unserem Gegenbeispiel und) in V i a n e 110s Bcispiel 2, doch l&Pt sich bei diesem zeigen, dafi das allgemeine Kriterium G (r, s) 2 0 liier besteht.

B. Falls e i n e s d e r b e i d e n E n d e n e i n g e s p a n n t ist, kornmt man mit so einfachen Betrachtungen nicht aus, weil dann nt (s) sicher sein Zeichen wechselt. Man mufi dann SBtze (K,) oder (K,) lieranziehen.

Wir beschrinken uns auf den Fall E J = 1 (der allgemeine Fall liebe sicli nach der gleichen Methode behandeln).

Falls d a s l i n k e E n d e e i n g e s p a n n t , d n s r e c l i t e g c s t a t z t ist, findet sicli

. . . . . . . (3,3),

2 P ( 3 z - t ) ( l - T ) = M + ( s , t ) 2 2 2 t I t 2

I xst M+ (z, 1) - (t -- 2) M ( 2 , t ) =

+ f ( r , s) J 1

I ' ( r , s )= [ i { P ( t ) d t r s s 1 . . . . . . . . . . (:3,41),

P ( t ) d t 1 . 2 s

Weil m (r) die negative 2. Ableitung der an den beiden Enden verscliwindenden Aus. biegung y ( r ) ist und die erste Ableitung fiir r = 0 verschwindet, ergibt sich

B 1 u m e n t h a 1, Ubcr die KnickunE eines Balkens durch Llngskrgfte 24 1

und da diese Orthogonalitiitsbeziehung fur jede Eigenfunktion des Kerns G (r, s) gilt, so gilt sie nach dem bekannten Satze von E. S c h m i d t auch fur den Kern selbst:

Band 17, Haft 4 Ailgust 1937

1

(I . . . . . . . . . . . . . \(Z-r) G ( r , s ) d r = O (3,519

was sicli auch leicht durcli direkte Rechnung bestiitigen liifit. Daher hat

1 I

II

I

S K ( r , .?,) y1 (r) r

j ~ - ( r , s ~ cpn (r) d 1'

{ ~ ( r , sZ) v1 (r) CE 9-

jK(r, s,) v 2 (r) d 1

II

1 1 1 rl r2

s1 8, = 3 (TI b-1) 4)2 (r,) - Q'1 b-2) p9 b-1)) K ( ) rl d rz * U U

K ( r , s ) y , ( r ) d r = A u s 1 I

. - -;) mcO' (r) d r + G (r, s) WU"' (r) d r I J \ i

U U

1

0 = 1 G (r , s) ~ 1 1 . ' ~ ' (r) d r = m"' (s) nach (3,50).

mr0' (r) Da nun wegen des monotonen Wachstums von l--r der Ausdruck

2 (9% (TI) vz b-2) - 9.1 (rz) 4)2 @I)) = (2 - r,) mcul (r3 - (2 - r2) m'O' (r1) (r1< r 2 )

sicher positiv ist, und der positive Charakter von GI (ST:::) vorausgesetzt wird, so ist auch

(1 - y ) 111"' (s,) - 1 - 2 N2"' (SJ ( (s, < s2) ,

12) Siehe K c l l o g g : Am. J. Math. 40 (1915). 5. 151. 17

Ztschr. f.angew. 242 Math. und Meell.

die linke Seite der obigen Integralidentitat, sicher positiv. Ebenso weiter die entsprechenden Ausdriicke, die mit mcz), m"', . . . gebildet sind. Hieraus ist aber leicht ersichtlich, dafi alle m"' (r), mllZ'a' (r) , . . . nur einen Vorzeiclienwechsel Iiaben. Das gleiche gilt also von m (r) als Grenzfunktion la).

Nun haben nach dem Kel loggschen Satz (K,) die beiden ersten Eigenfunktionen des Kernes G , (r, s) keinen bzw. einen Vorzeichcnwechsel, wiihrend alle weiteren Eigenfunktionen mindestens zwei Vorzeichenwechsel harben. Deslialb gehijrt das nach dem V i a n e 11 o schen Verfahren gebildetc m ( T ) sicher zu dem 1. Eigenwert von G (r , s). Also: Fal l s b e i d e m l i n k s s e i t i g e i n g e s p a n n t e n , r e c h t s s e i t i g g e s t u t z t e n B a l k e n sicli e i n pos i t i ves

A s o g r o k w i i h l e n lafit, dafi G , ( r , s ) und GI (i: z:) nicl i t - n e ga t i v e n t s p r e c1i e n d de l i B e d i n g u n g e n d e s K e l l o g g s c l i e n S a t z e s s i n d , d a n n l i e f e r t d a s V i a n e l l o s c h e V e r f a h r e n in d e r i i b l i c l i en F o r m d e n K n i c k w e r t .

Die Auswertung dieses Kriteriums wird tiberraschcnd einfach. Zuniichst ist sofort zu iibersehen, dak G , (r, s) durch geniigend grofie Wall1 von A positiv gemaclit werden kann, aufier wenn r = 1 oder s = 1 ist, in welchem Falle es verscliwindet. Betrachten wir weiter

B 1 u In e n t h a 1 , Uber die Knickunp eines Balkens durch Lgngskrlfte

+ G ( r , , s , ) A"( l -? ) ( l - -? )+ 1 G(r1 ,s2)

A - ' ( 1 - - - - Ti)( 1 - - - y ) + C r ( r 2 , S 2 ) .+G(v, ,s , ) 1

und ordnen nach Potenzen von A , so fallt das Glied mit A Z heraus, der Koeffizient von A aber

erhtllt bis auf den Faktor 3 nach einigen Vereinfachungen die Form

Betreffs der gegenseitigen Lage der Punkte r,, r2, s,, s, k h n e n bei Reriicksiclitigung der Bedingungen rl < rz, s, <s, sechs Ftllle eintreten, von denen aber wegen der Symmetrie des Kernes G (r, 6 ) nur 3 betrachtet werden miissen:

wo P, den Mittelwert im Intervall (sl, s2), P, denjenigen im Intervall (s,, 1) bezeichnet.

wo P, und P, die gleiche Bedeutung mie oben habeii und F, der Mittelwert in (s1,r9) ist. 13) Siehe FuSnote 11).

Rand August 1937 B 1 u m e n t. h a 1, Uber die Knickung eiiies Ualkens durch Llngskrtifte 243

1 1 1 3. rl 5 sI < s, 5 r , ; r ( r , , s,) =jP(t)'d t ; f(rlrs2) =jP(t) d t ; r ( r 2 , s,)= r(r2, s,) = j P( t ) d t ,

81 SI rz

wo P,' und Pi' die Mittelwerte in den Intervallen (s,, rs) und (r2, 1) bezeichnen, wihrend P, die gleiche Bedeutung wie oben hat.

Daraus schliefien wir: W e n n d i e P n i c h t - n e g a t i v s i n d u n d vom e i n g e s p a n n t e n z u m g e s t u t z t e n E n d e n i c h t a b n e h m e n , d a n n i s t d a s V i a n e l l o s c h e V e r f a h r e n s i c 11 e r a n w e n d b a r.

Die Koeffizienten C,, C,, C, sind namlich dann ini K el loggschen Sinne nicht-negativ.

Bereclinen wir aufierdem das konstante Glied von G, (:::I) -eine Rechnung, die ich hier unterdrucke -, so zeigt sich, dab dieses, abgesehen von dem nicht-negativen Sunimaiiden r( rl, s,) T(r , , s,) - I'(rlr si) I'(t. , , 8,) , in jedem der drei Falle eine lineare Kombination der

gleichen Produkte von Differenzen r,- r,, s, -s,, 1 - 1 -? , . . . ist wie das entsprechende C.

Wenn dalier in eineni C die Koeffizienten dieser Potenzprodukte von Null verschieden sind,

r1r2 iiberall auker an den Grenzen dann llfit sich durch geniigend grofie Wahl von A sicher GI positiv machen. Es bleibt also nur noch zu beweisen, dafi dieses Ergebnis auch bestehen bleibt, wenn der Koeffizient eines Potenzprodukts Null ist. Hier zeigt nun die Betrachtung des konstanten Gliedes, dafi nur das Verschwinden der Differenzen P, - P, oder Pl" - P,' Schwierigkeiten macht. Diese Differenzen verschwinden dann und nur dann, wenn P(t) in dem Interval1 (s,, 1) bzw. (sB,l) konstant ist. Unter diesen Umstanden ist aber, wie die

Rechnung zeigt, das konstante Glied von GI ' l r 2 selbst yositiv, so dafi auch dann die Be- dingungen des K e l l o ggschen Satzes fiir G, h, s) sichergestellt sind").

9 r 1 '

(sl s,)

(8 , 8 3

C. Zum Schluk sollen nocli drei leichter und vollstandiger behandelbare Randbedingungen

Falls das linke Ende eingespannt, das rechte frei ist, wird

besprochen werden, wobei immer E J = 1 gewiihlt wird.

222 21 7 * M (x, t ) = (0" - Daraus folgt

1

G (r , s) = P ( t ) d t (r 5 s) s

1') Der gewoiinene Satz unischliePt irisbesondere den E u l e rscheu Fall. Leider ist e r niclil anwendbar auf V i a i i e l l o s einsehliigiges Beispiel 5, N O niimlich die P vom eingesptlnnten zum gestiitaten Ende abuehuien. Es ist ~ n i r auch nicht gelungen, durch Ubergang zu itorierteu Kerueu (die schiirfere Kriterieu liefern miissen) die Richtigkeit des Vcrfahreos bei den1 Beispiel 5 zu erweisen.

Ini Falle des b e i d e r s e i t s e i n g e s p a u n t e n B a l k e n a scheinen sich nus dem K e l l o g g s e h e n Satz keine hin- reichenden Kriterieu ableiten zu lassen. Die Momeuteiilinieii 711 ( r ) hsben hier miudestens 2 Nullstellcu. so daO ein Kriterium ( K s ) anauwendeu wviirc. Formal bietet sich hierzu auch ein Weg, indein inan den Kern

G1 (2, s) = A + R ( 1 - i') (1 +)+ G (z. 8 )

heranziebt. Dieser kann ober bei den gewiihnlicbeu Forinen der Biegungslinie - insbesondere im E u l e r s c h e n Falle - das Kriteriiim ( K , ) nicht erfiillen. Ileiin im En l e rschen Falle ist die zu der einfnchsten Biegnnyslinie gehijrige Momcnten- linie eine Kosinmlinie im Periodenintervall und wird VOII gewissen Geraden in dicsem Interval1 in S Piuikten geschnitten. entgegeu dem K e l loggschei i Satz.

17.

Ztschr. f.angew. 244 Math. und Mech.

und ist fur P( t ) 2 0 nicht-negativ. Das Viane l lo sche Verfahren, ausgehend von einer tiberall konkaven Biegungslinie, fiihrt also zurn Ziel 16). (V i a n e 11 o s Beispiele 3 und 4.)

Lst das linke Ende gestutzt, das rechte in einer senkrecht beweglichen Backe eingespannt (Fall d, 8 l), dann ist

B 1 u m e n t h a 1, Uber die Knickun~ eines Balkens durch IAngskrMte

M ( x , t ) = (7 und also

r

u G ( r , S) = \P ( t ) cl t ( r s S) .

Aucli in diesem Falle ist also bei uberall gedruckten Staben (P( t ) 2 0) das Viane l lo sche Verfaliren, ausgeliend von einer uberall konkaven Biegungslinie, gerechtfertigt. - Bekanntlich bestehen diese Randbedingungen fur die linke Halfte eines beiderseits gestiitzten, durch Druck- kriifte symmetrisch zur Mitte beansprucliten Stabes von der Lange 2 I, falls der Stab synirnetrisch ausknickt. Die Knicklast eines gedruckten, beiderseits gestutzten, symrnetriseh beanspruchten Stabes entspricht also entweder der rein konkaven symmetrischen Ausbiegung oder einer antisymmetrischen Ausbiegung. Bei der antisyrnnietrischen Ausbiegung erftillt die Biegungs. l ink des halben Stabes an beiden Enden die Randbedingung der einfachen Stutzung. Nehmen also die Druckkriifte vom linken Ende zur Mitte dauernd zu oder ab, so hat nach den Ergeb- nissen von Abschnitt A. diejenige antisymrnetnische Biegungslinie den kleinsten Eigenwert, die links von der Mitte rein konkav verlluft. Im ganzen also zeigt sich: W e n n e i n b e i d e r - s e i t s g e s t u t z t e r S tab v o n D r u c k k r l f t e n b e a n s p r u c h t i s t , d i e z u r M i t t e s y m m e t r i s c h s i n d u n d v o n d e n E n d e n z u r M i t t e m o n o t o n z u - o d e r a b n e h m e n , d a n n i s t d i e d e r K n i c k l a s t e n t s p r e c l i e n d e A u s b i e g u n g e n t w e d e r d i e e i n - f a c l i s t e s y m m e t r i s c h e o d e r d i e e i n f a c h s t e a n t i s y m n i e t r i s c h c . Dieser Satz gibt fur den genannten, praktisch wolil wichtigsten Belastungsfall cine willkoinniene Aufklarung und Erganzung zu den Betrachtungen des 5 2 und zeigt, dafi man in diesem Fall durch An- wendung des V i a n e l 1 o schen Verfahrens auf zwei Ausgangslinien, n2rnlich auf die linken Halften der symmetrischen und der aritisyrnrnetrischen Biegungslinie, die Knicklast s i c h e r bestimmen kann.

In Ihnlicher Weise lafit sich aucli d e r b e i d e r s e i t s c i n g e s p a n n t e , s y i n m e t r i s c h b e a n s p r u c h t e B a l k e n behandeln, dern wir wieder die Liinge 2 I geben wollen. 1st die Biegungslinie symmetrisch, so besteht fur die linke Balkenlililfte bei 0 die Randbedingung b, bei 2 die Randbedingung d. Damit ergibt sicli

und 1 1 1 1

G ( r , s) = I’ ( t ) ta d t - - 1’ (t) t d t -- I’ ( t ) t d t + P ( t ) d t (r 5 s) . ‘ S u ‘,r 1 y 1 Erganzen wir dea Kern zu G,(r,s)= A + G(r , s ) , so erfullt dieser das Kelloggsclie Kriterium (K,) ftir alle nicht-negativen P. D e r K n i c k w e r t d e s g e d r u c k t e n , b e i d e r s e i t s e i n - g e s p a n n t e n , s y rn m e t r i s c h b e a n s p r u c h t e n u n d s y m m e t r i s c 11 a u s k n i c k e n d e n R a l k e n s lilfit s i c h d a h e r n a c h V i a n e l l o e r m i t t e l n , w e n n w i r von e i n e r s t a n d i g Wac h s e n d e n M o m e n t e n k u r ve a u s g e hen’”.

1st aber die Biegungslinie antisyrnmetrisch, so erfullt das reclite Ende der linken Balken- halfte die Bedingungen eines gestutzten Endes, und wir sind also auf den oben behandelten Fall B. zurhckgeftihrt, der unter Umstanden - wenn namlich an dern symmetrischen Balken die Langskrilfte yon den Enden nach der Mitte zunehmen - eine Entscheidung durch V i a n e l l o s Verfahren zulilfit. 628

16) In diesem und den folgenden Fallen ist awar die K e l l o g g s c h e Ungleichung K (r, r)>O nicht immer erfiillt, dann namlich nicht. wenu P ( 1 ) auf gewissen Streaken identisch verschwindet. Diese Ausnahmcn sind aber einfackcr Art und beeintrachtigen die Giiltigkeit der Resnltate nicht, wie man durch leichte Znsatebetrachtungen erweisen kaiin.

1s) Die Beweise, die ganz analog wie unter I). zu fiihren sind, lasse ich weg.