flber den Zusammenhang zwischen der Einbettbarkeit einer Kategorie und der ihrer Skelette in ein Gruppoid

Von LOTHAR MICHLER in Kothen (Anhalt)

(Eingegangen am 4. 3. 1974)

I m folgenden wird bewiesen, dalJ eine zusammenhangende Kategorie genau dann in ein Gruppoid einbettbar ist, wenn das fur eines ihrer Skelette der Fall ist 1) . Weiter beweist man leicht, dalJ eine Kategorie mit lauter kleinen zusammen- hangenden Komponenten, insbesondere also eine kleine Kategorie, genau dann in ein Gruppoid einbettbar ist, wenn jede ihrer zusammenhiingenden Komponenten in ein Gruppoid einbettbar ist. Mit Hilfe dieser Feststellungen erhalt man sofort, daB man sich bei der Frage nach der Einbettbarkeit einer kleinen Kategorie in ein Gruppoid auf eine zusammenhangende Kategorie b beschranken kann, fur die fur jeden Isomorphismus f von 8 das Rechts- und das Linkseinselement bezuglich b von f ubereinstimmen. SchlieBlich wird bewiesen, da13 eine Kategorie mit lauter kleinen zusammenhiingenden Komponenten genau dann in ein Grup- poid einbettbar ist, wenn das fur eines ihrer Skelette der Fall ist.

Fur Kategorien verwenden wir die folgenden Bezejchnungen und Begriffe :

Definition 1. Es sei b eine Kategorie. Dann bezeichnet ,,morb" die Klasse aller Morphismen von 19, ,,ob 8'' die Klasse aller Einselemente (Identitaten, identischen Morphismen) von b, ,,is0 b" die Klasse aller Isomorphismen von b, ,,.b" die Komposition von if, ,,D( b)" den Vorbereich (Definitionsbereich) von a b , ,,tcb'' die Funktion tc von mop 8 in ob bmit [f, tc(f)]ED( b) fur jedes Element f von mor b und ,,,f?8" die Funktion @ von mor b in ob b mit [fi(f), f] ED( b) fur jedes Element f von mor Y: sowie ,,Horn (el, e2)" fur beliebige Einselemente el, e2 von b h e Menge (f 1 f E mor b, tc (f) =el, Pd( f ) = e2}. (Wenn keine Verwechslungen zu befurchten sind, so wird der Index an ,;", ,,tc", ,,!" und ,,Horn" (hier also ,, b") auch weggelassen.) 1st f ein Isomorphismus von b, so bezeichnet ),f-I'' (wenn keine MilJverstandnisse zu befiirchten sind) den bezuglich b zu f inversen Iso-

1) Man beachte hierbei, daB fur jede Kategorie b je zwei Skelette von b isoniorph sind. Man siehe hierzu etwa [B], S. 24. Beziiglich der Mengentheorie sei fur das folgende besonders auf [5] verwiesen, wahrend wir bezuglich der Kategorientheorie im folgenden besonders [ 2 ] , [4] und [9] berucksichtigen. Wir betrachten hier wie in [2] und [4] Kategorien ohne Objekte, d. 11. als geordnete Paare [&, .] mit einer Klasse & und einer speziellen Bedingungen geniigenden binaren par- tiellen Operation - in a. Sind a , 6 Dinge, so siehe man [7] zur Definition des geordneten Paares [a, b ] .

rY d

232 Niohler, Einbcttbarkeit einer Kategorie in ein Gruppoid

morphismus von b. Genau dann ist b klein bzw. grob, wenn mor b eine Menge bzw. eine Unmenge ist 2).

Es ist genau dannB eine Unterkategorie von b, wennB eine Kategorie ist sowie D(B) & D( 8)) ob B & ob b und g -a f= g - f fur beliebige Morphismen f, g von 3 b mit [g,flED(B) gilts). Genau dann jst B eine volle Unterkategorie won t?, wenii B eine Unterkategorje von b ist und Horn ( e l , e,)=Hom ( e l , e z ) fur beliebige a, b Einseleiiieiite el , e2 von a, gilt. Genau dann ist B ein Skelett won b, wenn 3 eine volle Unterkategorie von b ist und fur jedes Einselement e von b genau ein Einselement e’ von B mit Honi ( e , e’) n is0 b =k B existiert. Es ist genau dann B eine Bbersattigte Unterkategorie won b, wenn B eine Unterkategorie von b und jeder Morphismus f von b init c i ( f ) E mor B oder p(f) E mor 2) ein Morphismus von a ist. Genau dann ist a eine zusammenhangende Komponente won b, wenn B eine ubersiittigte Unterkategorie von b ist, mor Ba+0 gilt und es keine uber- siittigte Unterkategorie X von b init 0 c mor Tc mor 2) gibt. Genau dann ist le: zusammenhangend, wenn inor b die leere Menge oder b eine zusammenhhngende Komponente von b ist. I

b

Bemerkung. Fur jede Kategorie b gibt es ein Skelett von b. Es sei nlimlich b eine kleine Kategorie. Dann ist die biniire Relation 2 in

ob b mit fur beliebige Ejnselemente e , e‘ von b:

eine Bquivalenzrelation in ob t?. Es gibt dann ein Reprasentantensystem E von s , und es existiert dann offenbar eine Unterkategorie 3‘ von b mit mor B =

eze ‘ genau dann, wenn Horn(e, e’) n is0 b+0

= u Hornb (e, e’), u n d d ist ein Skelett von t?. Nun sei b eine groIjeKategorie e.e’EE

und folglich ob b eine Unmenge. Dann gibt es eine Familie ( e J r E D uber der Klasse D aller Ordinalzahlen mit {e, 1 1 E,D) = ob b und ed =i= e, fur beliebige Ordinalzahlen 1, ,u mit A=t=,u. 1st dann E die Unterklasse {e , I ,u E D, und fur jede Ordinalzahl 3, : Wenn 3, -=p, so Horn (eR, e,) fl is0 b = S} von ob b, so gibt es wieder offenbar eine Unterkategorie 3 von 1p mit mor d= = u Hornb ( e , e’), und 9 jst ein Skelett von 1p. Demnach gibt es fur jede Kate-

s.e’EE gorie tY ein Skelett von b.

Definition 2. Genau dann ist b ein Grwppoid, wenn b eine Kategorie ist und isob = morg gilt. Genau dann ist If: ein BRANDTsches Gruppoid, wenn b eiii Gruppoid und eine zusammenhhngende Kategorie ist 4 ) . 1st b eine Kategorie, so ist genau dann B ein Untergruppoid von b bzw. ein BRANDTSCheS Untergrappoid von b, wenn 2) eine Unterkategorje von b sowie ein Gruppoid bzw. ein BRANDT- aches Gruppoid ist. I

2) 1st Y: eine Kategorie, so ist genau dann 1p klein bew. grol3, wenn ob t? eine Menge bzw. eine

3) Fur jede Kategorie 1p und jede Unterklasse B von mor b gibt es hochstens eine Unter-

4) Klejne BRANDTsche Gruppoide wurden bereits in [I] behandelt.

Unmenge ist.

kategorieB von b mit m o r a = B.

Miehler, Einbettbarkeit einer Kategorie in ein Gruppoid 233

Definition 3. Es seien b, 9, Kategorien. Dann ist genau dann @ ein treuer Funktor von b in 3, wenn Q, ein Funktor von b in 3 ist und fur beliebjge Mor- phismen f, g von b gilt: Wenn @(f)=@(g), a(f)=ct(g) und /?(f)=p(g), so f=g. Genau dann ist @ ein Isomorphismus won b auf a, wenn @ ein eineindeutiger Funktor von b auf 9, ist, und es ist genau dann 9, zu 1": isomorph, in Zeichen: ,, b sB", wenn ein Isoinorphisinus von b auf 2) existiert und genau dann b in B einbettbar, wenn es einen eineindeutigen Funktor von b in B gibt.

1st b eine Kategorie, so ist genau dann b in ein Gruppoid einbettbar bzw. in e i n BRANDTsChes Gruppoid einbettbar, wenn es ein Gruppoid 9, bzw. ein BRANDT- sches Gruppoid 3 gibt, so dal3 b in 9, einbettbar ist. I

Man beweist leicht :

Fur jede zusamnienhangende Kategorie b gilt : 1. 1st b in ein Gruppoid einbettbar, so gibt es ein BRANDTsches Gruppoid 3,

2. Genau dann ist b in ein Gruppoid einbettbar, wenn b in ein B R - ~ N D T S C ~ ~ S so daI3 ob 3 zu ob b gleichmachtig und b in 3 ejnbettbar ist.

Gruppoid einbettbar ist.

Mit Hilfe von Satz 5 in [3] beweist man sofort5):

Satz 1. Far jede zusammenhangende Kategorie b gilt: Genau dann ist 8 in ein Gruppoid einbettbar, wenn es eine Gruppe X und einen treuen Funktor von b in JY gibt. I

genau dann in ein Grup- poid einbettbar ist, wenn ein Skelett von b in ein Gruppoid einbettbar ist, be- notigen wir die folgenden beiden Satze :

Satz 2. .Fur jede Kategorie I? und jedes Skelett Y von b gibt es einen treuen Funktor von b auf 3.

Beweis. Es sei b eine Kategorie, und es seiY ein Skelett von b. 1st speziell mor b leer, so ist auch mor d leer und 0 ein treuer Funktor von b in Y. Es sei nun mor b nichtleer. Dann gibt es fur jedes Einselement e von b genau ein Eins- element e' v o n f mit

Zum Beweis, da13 eine zusammenhiingende Kategorie

Hornb (e, e') n is0 b =t= 0 .

{Hom ( e , e')niso b I eEobb, e'EobY'}\{O}

Es ist dann

eine Klasse nichtleerer Mengen, und folglich gibt es eine Auswahlfunktion von dieseiii Mengensystein. Offenbar gibt es dann auch eine Auswahlfunktion A von diesem Mengensystem mit A (Hom ( e , e) n is0 S) = e fur jedes Einselement e von 8. Weiter sei dann 6 &e Funktion uber ob 8 rnit fur jedes Einselenient e

5 ) Man siehe hierzu auch [4], Kap. V, Satz 17. Hierbei ist zu beachten, dal3 der zwar nur fur kleine Kategorien gefuhrte Beweis dieses Satzes ganz entsprechend auch fur grode Kategorien gefiihrt werden kann.

234 Michler, Einbettbarkeit einer Kategorie in ein Gruppoid

von b und das Einselement e' von 8 mit Hom (e, e') f l is0 b =k Ii :

Dann gilt 6(e)ciso b, a(@(e))=e und /3(6(e))EobiiP fur jedes Einselement e von Y: sowie 6 (e ) = e fur jedes Einselenient e von 8. Demnach gilt fur jeden Morphismus f von d

und

also

sowie

und

6(e)=A (Hom ( e , e')nisoif) .

B(w4f))- ' ) =.(s(.(f),) = 4 f )

B(f) = ~ ( ~ ( B C S ) ) ) J

[f, q.(f,)-il, [ W f ) ) , f l c D( 8)

V. (a(B(f)) . f . @ ( ~ ( f ) ) - l ) = a ( W a ( f ) ) - ' ) =B(WaCf))) 6 ob 8

P ( & B ( f ) ) .f- 8(df))-i) =B(6(B(f)))cob14 .

6 ( P O ) f . 8 ( ~ ( f ) ) - * ~ m o r ; i " Mithin gilt

fur jeden Morphismus f von b. Es sei nun Y die Funktion iiber mork? mit fur jeden Morphismus f von i': :

Dann ist also Y eine Funktion von mor b in mor 3 und wegen Y(f) =f fur jeden Norphisinus f von Lf sogar eine Funktion von nior b a u f nior 8. Weiter gilt fur jedes Einselement e von b :

und fur beliebige Morphismenf, g von b mit [g,f]cD( b) gilt

also [ Y ( g ) , Y(f)]ED(B): sowie

Wf)=W?(f)) .f* @(a(f))-' *

Y(e) =6(e ) . e *6(e)-I=B(6(e))cobB,

B( Wf)) =B(@(B(fN = P ( @ ( W ) ) = a ( W g ) ) - I ) = .( Y(9)) >

W g ) ' u'(f) = (S(BCg)) . g 6 ( d g ) ) - i ) - (@(B(f)) * f * @(4f ) ) - I )

=@(B(S .f)) - ( 9 *f) * @ ( 4 9 .f))-' = F ' q * f ) .

Mithin ist Y ein Funktor von d auf 3.

P(f) =p(g) . D a m gilt Es seien nun f, q Morphismen von i':, und es gelte Y(f) = Y(g) und a(f) = a ( g ) ,

'W(f,) * f a ~wf,)- '=s(Bc8,) * 9 * S(.Cq,)-' =Ww) 9 * @(V.(f,)-'

und folglich wegen a(x(f))- ' , S(/?(f)) E is0 b :

Demnach ist Y ein treuer Funktor von b auf $6). I 'j) DaIJ fur jede Kateporie 1: und jedes Skelett ci" van k? ein treuer Funktor von b aufd existiert,

folgt auch sofort rnit Hilfe der Feststellung. daW 3 und d iiquivalent sind. Man siehe hierzu [S], Abschnitt 16.3.

f=Y. -

Michler, Einbettbarkeit einer Kategorie in ein Gruppoid 235

Mit Hilfe von Satz 2 beweist man weiter sofort :

Satz 3. Fur jede zusammenhangende Kategorie 6 i s t auch jedes Skelett v o n b

Mit Hilfe der vorangehenden Satze beweist man nun leicht : Satz 4. Fur jede zusammenhangende Kategorie b gilt: Genau d a n n i s t 1": in e i n

Gruppoid einbettbar, w e n n e i n Xkelett v o n b in e i n Gruppoid einbettbar i s t . Beweis. (*) Es sei b eine zusammenhangende Kategorie, und es sei b in

ein Gruppoid einbettbar. Dann ist offenbar auch jede Unterkategorie von b und damit insbesondere jedes Skelett von b in ein Gruppoid einbettbar.

( G ) Es sei t? eine zusammenhangende Katogorie, es sei b ein Skelett von b, und es sei b in ein Gruppoid einbettbar. Dann ist auch 3' eine zusammenhangende Kategorie (Satz 3). Folglich gibt es eine Gruppe Jt' und einen treuen Funktor @ vonB i n X (Satz I). Weiterhin gibt es einen treuen Funktor Y von t? i n b (Satz 2). Dann ist offenbar @!P ein treuer Funktor von b in X . Mithin ist 1p in ein Gruppoid einbettbar (Satz 1). I

Es sei nun wieder b eine Kategorie, und es sei y die binare Relation in ob b mit fur beliebige Einselemente e , e' von b:

und [ die binare Relation in obb mit fur beliebige Einselemente e, e' von t?: ece' genau dann, wenn es eine von 0 und 1 verschiedene natiirliche Zahl n und Einseleinente e l , e2, . . . , en von b mit e,=e, elL=e' und elye2, e2ye.<, . . . , el.L-iye, gibt.

Man beweist leicht, daI3 5 eine Aquivalenzrelation in ob b ist. 1st weiter e ejn Einseleinent von 6, so gibt es genau eine Unterkategorie A' von I f : mit niorA'=

e ine zusammenhangende Kategorie. I

eye' genau dann, wenn Hom (e , e') U Horn (e', e ) + fl

- -

= U Hornb (e l ,e2) , und A' ist dann eine zusammenhangende Komponente %e2 E SW

von b, fiir die e E ob 2 gilt, und zwar ist 2 auch &e einzige zusammenhangende Koniponente van 6 , von der e ein Einselement ist7). 1st insbesondere b ein Gruppoid, so ist jede zusammenhangende Komponente von b ein BRANDTsches Untergruppoid von b, und fur jede zusammenhangende Komponente 2 von t? gibt es kein BRANDTsChes Untergruppoid 3 von b mit mor A'c mor 3. Demnach ist die folgende Definition berechtigt :

Definition 4. 1st b eine Kategorie und ist e ein Einselement von b, so be- zeichnet ,,A',(e)" die zusammenhangende Komponente 2 von t? mit eEob A'. 1st 6 eine Kategorie bzw. ein Gruppoid und ist e ein Einselement von b, so wird unter der e zugeordneten zusammenhangenden Komponente v o n b bzw. dem e zugeordneten max imalen BRANDTschen Untergruppoid von b die Unterkategorie 2,(e) von b verstanden. (Wenn keine Verwechslungen zu befurchten sind, so wird der Index an ,,A"' (hier also ,, g") auch weggelassen.) I

7) 1st A eine Klasse, Q eine Aquivalenzrelation in A und n ein Element von A , so bezeichnet , , ~ ( n ) " die Aquivalenzklasse niodulo e, von der a ein Element ist.

236 Wchler, Einbettbarkeit einer Kategorie in ein Gruppoid

1st Z eine Klasse und ( bJIEI eine Familie von kleinen Kategorien und ist dann 0 die Klasse U ( ( r )~n io r b,) uncl * die binare partielle Operation in 6 niit dem

Vorbere ich L E I

u ("b 91, r k f l ] I f , YElllor b,, [s t f l€D(b,)) LEI

und niit fur jedes Element c von I und beliebige Eleniente f, g von niorg, niit [9, fl c D( bL) :

[ L , 91 * [ b fl = rb Y - fl >

so ist offenbar [K, a ] eine Kategorie, die ersichtlich genau dsnn ein Gruppoid ist, wenn ( bL)lEI eine Familie von kleinen Gruppoiden ist. Deinnach ist die folgende Definition berechtigt :

Definition 5.Ist I eine Klasse uncl ( bJLEI eine Familie von kleinen Kategorien, so bezeichnet ,, 8," die Kategorie b niit

r E I

nior b = U ((6) x nior b') , LEI

D ( b ) = U i "b 93, [LJll lf?!7Elnor~', [9,flED(bl)) CEI

und fiir jedes Element L von I und beliebige Xorphismen f, g ron bL rnit [g, f] E ED( 19,) :

[ L , 91 * fl = [ L , Y . fl und es wird dann unter der S'zimm.e Z ~ O ~ A ( bJCEI die Kategorie i f L verstanden. I

LEI Man bew-eist nun leicht :

Fur jede Kategorie b, fur die jede zusammenhiingende Komponente von 19 eine kleine Kategorie ist, gibt es eine Unt,erklasse E von ob b, so daf3 gilt: 1. Fur jede zusamnienhangende Komponente 2 von 19 gibt es genau ein Element

2 . inor Z ( e ) n nior 2 ( e ' ) = 0 fur beliebige Elemente e , e' von E mit e + e'. 3. U mor a ( e ) = mor 8'.

e von E init X ( e ) =A'.

LEE

Wir beweisen nun :

Satz 5. Fur jede Kategorie b, f i i r die jede susammenhangende Komponente von b eine Eleine Kategorie ist, gilt: Genau d a m ist b in e in Gruppoid einbettbar, wem, jede eusanzmenhiingendp Komponente von Y: in e in Grzcppoid einbettbar ist.

Beweis. Es sei b eine Kategorie, und es sei jede zusammenh&ngende Korn- ponente von b eine lrleine Kategorie. (a) 1st b in ein Gruppoid einbettbar, so ist offensichtlich auch jede Unter- kategorie von b und folglich insbesondere jede zusammenhangende Komponente von b in ein Gruppoid einbettbar.

Michler, Einbettbarkeit einer Kategorie in ein Gruppoid 237

{+) Es sei jede zusammenhangende Koinponente von 6 in ein Gruppoid einbett- bar. Dann gibt es fur jede zusammenhangende Komponente 2 von b ein kleines BRANDTsches Gruppoid 3, so da13 2 in 3 einbettbar ist. Nun existiert eine Unter- klasse E von ob b, so daB gilt : a) Fur jede zusammenhangende Komponente 2 von b gibt es genau ein Element

b) inor 2 ( e ) n nior 2 ( e ' ) = 0 fur beliebige Elemente e , e' von E mit e .i. e', e von E mit 2 ( e ) =2,

c ) U mor2(e)=mor b. eEE

Dann sei re fur jedes Element e von E die Klasse aller geordneten Paare [@, 31, fur die gilt : a) ist ein kleines BRANDTsChes Gruppoid, b) @ ist ein eineindeutiger Funktor von 2 ( e ) in 3, c ) Es gibt kein BRANDTsChes Gruppoid 3*, so da13 2 ( e ) in S* einbettbar und

Es ist dann I', fur jedes Element e von E eine nichtleere Menge, und es gilt Ten re, = 0 fur beliebige Elemente e, e' von E mit e + e'. Folglichgibt es eineAuswah1 von (re I e E E ) und damit eine Familie (S,),,, von kleinen BRANDTschen Gruppoiden und eine Familie ( @ J e E E vonFunktionen derart, dal3 2 ( e ) fur jedes Element e von E in 3, einbettbar und Ge fur jedes Element e von E ein eineindeutiger Funktor von 2 ( e ) in S, ist. 1st d a m S die Summe von ( S J e E E und @ die Funktion von mor b in mor S mit fur jedes Element e von E und jeden Morphismus f von X(e) :

so ist 3 ein Gruppoid und offenbar @ ein eineindeutiger Funktor von b in 3. Demnach ist b in ein Gruppoid einbettbar. I

mor 8" stufenkleiner als mor 3 ist.

@ t f ) = [ e , @ e ( f ) l 9

Mit Hilfe der SBtze 4 und 5 beweist man schliefllich noch leicht : Satz 6. Fur j ede Kategorie 8, fur die jede zusammenhangende K o m p o n e n t e von

d eine kleine Kategorie ist, gilt: Genaru d a n n ist 8 in e i n Gruppoid e i d e f t b n r , w e n n ein Skelett V O ~ L 8 in e i n Gruppoid einbettbar id.

Beweis. Es sei b eine Kategorie, und es sei jede zusammenhangende Iiompo- nente von b eine kleine Kategorie. (a) 1st b in ein Gruppoid einbettbar, so ist auch jede Unterkategorie von b und damit insbesondere jedes Skelett von b in ein Gruppoid einbettbar. (e) Es sei ein Skelett von d in ein Gruppoid einbettbar. Dann ist, du je zwei Skelette von b isornorphe Kategorien sind, jedes Skelett von b in ein Gruppoid einbcttbar. Es gibt nun eineunterklasse E von ob b, so daB { 2 ( e ) 1 eEE}die Klasse aller zusaniinenhangenden Koinponenten von b ist und morX(e) n mor X ( e ' ) = 0 fiir beliebige Elemente e , e' von E mit e + e' gilt. Dann existiert weiter eine Familie (CIPe)eEE von kleinen Kategorien, so daB 3 fur jedes Element e von E ein Skelett von 2 ( e ) ist. Offenbar gibt es dann genau eine Unterkategorie f von mit rnor 9= u rnor 9,, und 9 ist ersichtlich ein Skelett von b und damit in ein

eEE

238 Michler. Einbettbarkeit einer Kategorie in ein Gruppoid

Gruppoid einbettbar. Da Y, fur jedes Element e von E eine Unterkategorie von 9 ist, so ist demnach 3, fur jedes Element e von E in ein Gruppoid einbettbar. hlithin ist 2 ( e ) fur jedes Element e von E in ein Gruppoid einbettbar (Satz 4). Folglich ist jede zusainnienhangende Komponente von d in ein Gruppoid ein- bettbar und damit auch d (Satz 5 ) . I

JVenn wir anstelle der Mengentheorie von D. KLAUA die von M. KUHNRICK zu- grunde gelegt 8) und anstelle des Auswahlnxioins dieser Mengentheorie 9) gefordert hatten, daI3 fiir jeden Bereich B und jede &uivalenzrelation 9 in B ein Bereich A derart existiert, da13 A $ B gilt und fiir jedes Ding x mit x c B es ein Ding a init A no(r) ={a} gibt, so behielten die Siitze 1 bis -1 ihre Gultigkeit, und die Satze5 und 6 bliebeii offenbar richtig, wenn man die dort geinachte einschriinkende Bedingung fiir die Kategorien b weglieoe.

8 ) Man siehe hierzu [8] . 9) Man siehe [8 ] , Seite 342.

Literatur

El] H. BRANDT, ifber eine Verallgemeinerung des Gruppenbegriffes, Math. Ann. 96, 360 -366

[ Z ] C. EHRESJIANN, Categories et structures, Paris 1965. [ S ] M. HASSE und L. MICHLER, a b e r die Einbettbarkeit voii Kategorien in Gruppoide, Diese

Sachr. 25, 169 - 177 (1963). [4] -, Theorie der Kategorien, Berlin 1966. [ 5 ] D. KLAUA. Xllgenieine Mengenlehre I, 11. Berlin 1968, 1969. [6] A. G. KUROSCH, A. CH. LIWSCHITZ, E. (2. SCHULGEIFER und M. S. ZALENKO, Zur Theorie der

[7] &I. KUHXRICH, Zur Definition des geordneten Paares, Z. Math. Logik Grundlagen Math. 13, 379 - 380 (1967).

[8] -, Eine Blengentheorie mit Supelklassen, in: Theory of sets and topology, Berlin 1972, 333 - 353.

[9] H. SCHUBERT. Kategorien I, 11. Berlin 1970.

(1927).

Kategorien, Berlin 1963.

Padagogisches Institut Kothen Sektion Jluthewzutik DDR-437 Kothen (Anhalt) LohmannstraJe 23