388 A~cn. MA~.

U b e r C o h o m o l o g i e v o n s y m m e t r i s c h e n P r o d u k t e n

Von

VOLK~U PuPPE

Durch dis Angabe eines ,,Rechenverfahrens" wird in [5] bewiesen, d~B das Cob~ mologiespektrum des Tensorprodulctes zweier endlich erzeugter, s Cokebten" komplexe (mit Multiplikation) durch dis Cohomologiespektren der einzelnen I(om" p]exe bestimmt ist Dieses Er~eblfis kann man fiir die Cohomolo~ie yon endlich er~

�9 ~ ~ e i ~ , a ~ ~' zeugten, freien Kettenkom plexen mit Dia~onale_ aueh erhalten,, indem man z J~aa ~ " ~;t. dureh die Cohomologiespektren der Faktoren die einzelnen Diagonalen urn* auch die Diagonale im Tensorprodukt bis auf Kettenhomotopie bestimm~ ist. i)araUS ergibt sieh nieht unmittelbar e.in Verfa.hren zur Berechnung, aber die ,,Kenntnis" der Diagonalen erm6glicht es, die Ergebnisse yon [1] fiber die tIomologie yon symrae~ri" schen Produkten unter der zus/~tzlichen Voraussetzung, dab a]le Ket tengrtlppe~ endlich erzeugt sind, auf dis Cohomologie zu fibertragen.

1. Bestimmung der Diagonalen eines (in jeder Dimension) endlich erzeugte~, Iroie" Kettenkomplexes aus seinem Cohomologiespektrum.

(1.1) Definition. a) Das Cohomologiespektrum (kurz: Spektrum) Sp (C) eines Ket~nrs komplexes C (alle hier betraehteten Komplexe sollen, wenn nieht ausdrfieklieh anal* vermerkt, positive Komplexe yon abelschen Gruppen sein) mit Diagonale d: U -~ C @ C ist das Sysbem der Cohomologieringe H* (C, Zn), n = O, 1,2.. . (Zn ~Z/~'~ ffir n ~ 0), zusammen mit den verbindenden Koeffizienten- und Beck steinh~176 morphismen

kn, m:H*(C, Zm) --> H*(C, Zn), m ~ 0, n > 0; fln:H*(C, Zn) --> H*(U,Z), * ~ 0

(s. [5], 2 oder [7], 2). b) Ein (multiplikativer) Homomorphismus yon Spektren h : Sp (C) -* Sp (~) is$ ei~ daS

System yon Ringhomomorphismen hn : H * ( C, Zn) --> H* ( C, Zn), n ~- O, 1, 2, . " ' mit den Koeffizienten- und Bocksteinhomomorphismen vertri~glich ist.

Jede Kettenabbildung /: C -+ C yon Kettenkomplexen mit Diagonale, ffir die daS Diagramm

o - - 0 |

IJ a 111 | !

~ol. XVII, 1966 l~ber Cohomologie yon symmetrisdmn Produkten 389

~~ ist, induziert ha natiirlicher Weise einen Homomorphismus er Spektren/so : Sp (C) -+ Sp (0).

(1.2) Lemma. Seien C, C endlich erzeugte, /reie Kettenkomplexe mit Diaffonale und ~ui h:Sp (C) --> Sp ((7) ein Homomorphismus ihrer Spektren, so gibt es eine Kettenabbil-

ng /: C ~ C, so daft die induzierte A bbildung /so ~ hist. In [7], Lemma 4 ist gezeigt, dab es zu jedem Homomorphismus (multiplikativ wird

~eht Verlangt) yon Spektren endlich erzeugter und endlich dimensionaler Coketten- �9 ~~ eine Abbildung der Cokettenkomplexe gibt, die diesen Homomorphismus ~adUziert. Die Einschrhnkung, dab die Komplexe endlich dimensional vorausgesetzt ~ ad, Wird beim Beweis nur fiir den Urbildkomplex benutzt und ist nicht wesentlich, ~r a sich jeder endlich erzeugte, fl'eie Komplex als direkte Summe von elementaren "~~ darstellen l/~Bt und Itomologie, Bockstein- und Koeffizientenhomomor- Phlsnaen mit der direkten Summe vertauschbar stud. k b~ C, (7 endlich erzeugt und frei sind, kann man die Abbildung der Coketten- ~ durch eine Abbildung der Kettenkomplexe / : (7 --~ C realisieren. ~Iit ttilfe des folgenden Satzes (s. [2], (7.16), (7.17)) soll nun gezeigt werden, dab die so

geWonnene Abbildung /: (7 - ~ C mit der Diagonale bis auf Homotopie vertauschbar ist.

(1.3) Satz. Seien C, C ]reie Kettenkomplexe, dann gibt es eine Cohomologieklasse o o

~ {tk}, t ~ eHk(C, Hk(C)), t e H * ( C , H . (C)) = ~[Hk(C , H~(C)), k = 0

~odafl die Abbildung, die ]edem Homomorphismus f von (7 in C das Element [*t ~ {/* t k} zUardnet, einen Isomorphismus zwischen der Gruppe [(7, C] der A'quivalenzklassen yon

kettenhomotopen oo . Homomorphismen von (7 in C und H* ((7, H , (C)) = ~-[ H e ((7, He (C)) ~ntlUziert. k = o

Als Folgerung aus diesem Satz ergibt sich :

/~ (1.4) Lemma. Seien C, C endlich erzeugte, [reie Kettenkomplexe und [: (7 ~ C eine _.ettenabbildunft, die einen Isomorphismus der ganzzahligen Cohomologiegruppen indu- ~erl, a o . . . . - - - ~t ! ezne Homotopieiiquivalenz.

hd I)ie Formulierung dieses Lemmas ffir den Fall der Homologie ist gel'~ufiger, aber ater den ue~ebenen Voraussetzungen sind Kettenkomplexe und Cokettenkom lexe uaI Zueinander.

, �9 o . I ~ .5) Lemma. Seien (7, C endlich erzeugte, [reze Kettenkomplexe md Dmgonale und :'~ ~ C eine Kettenabbildung, die einen (multiplikativen) Homomorphismus

ls0: Sp (C) -+ Sp ((7) ~Uduziert. Dann ist das Diagramm

h~176

0 ~ = e|

I I 11 | d

0 ~ 0 |

390 V. PUPPE ARCH. l~h~l]"

Zum Beweis ist naeh Satz (1.3) (man ersetze in (1.3) C durch C (~) C) zu zeige~, dab folgendes Diagramm kommutativ ist:

H*(~ ,H . (C (~ C)) --

l'" H* (C (~) O,H, (C (~) C))

T (/|

H*(C,H,(CQ6)) ~ d* H*(C(~C,H,(CQC))

H* (C @ C, H . (C Q C)) ist gleich einer direkten Summe Q H* (C @ C, Znj), und i der

jedes Element yon H* (C (~) C, H. (C Q C)) lg/]t sich als Summe yon Elementen Form 7t (a~ (~) b~) darstellen, a~, bi e H* (C, Zl), at (~ bt e H* (C (D C, ZI), 7l endliches Produkt von Koeffizienten- und Bocksteinhomomorphismen (s. [5], (3.1) und (5.1)).

H* (0, Z~)

II ~ H,(g,~) ) d* :~, (| H*(~,H, (CQ C)) ~.~ H*(O(~ O,H, (CQ C)) ~. (H*(C,Z,) X

1. (l| I

~* ~,(| • t1" (C,~')) H*(C,H. (C Q C ) ) : H*(C @ C,H. (C Q 6)) ~--- (H*(C,Z~)

Abbildungen) und (~)) natiirlich sind. Da auch das aul~ere Diagramm (nach V~ setzung) kommutativ ist, folgt die Kommutativit~t des gewfinschten DiagrammS" damit die Behanptung yon (1.5).

(1.6) Satz. Sei C ein ]reier, endlich erzeugter Kettenkomplex mit Diagonale d, dan# ist d bis au/ Homotopie eindeutig dutch Sp (C) bestimmt. Genauer: Seien C, ~ ]reie, endlich erzeugte Kettenkomplexe mit Diaffonale und sei Sp (C) _~ Sp (0), so gibt es e iae Homotopie~iquivalenz /: 0 --+ C, die diesen lsomorphismus induziert, so daft

homotopielcommutativ ist.

O =0|

t I ,l/O/ d

0 = 0|

Der Beweis folgt unmittelbar aus (1.2), (1.4) und (1.5).

~r~ Xu 1966 l~ber Cohomologie yon symmetrisdmn Produkten 391

(1.7) Folgerung. Das Cohomologiespektrum des Produktes zweier CW-Komplexe von e.ndlichem Typ (d. h. in jeder Dimension gibt es nur endlich vide Zellen) ist durch die e~nzelnen Cohomologiespektren bestimmt.

!i~ ' Cohomologie yon symmetrischen Produkten (F-Produkten). Der Satz (1.6) soll ! FD-Komplexe mit Diagonale/ibertragen werden, was einem die Berechnung der llo~nologie y o n / ' - P r o d u k t e n (F c S (n), Untergruppe der symmetrischen Gruppe) ~6glieht.

(2.1) Lemma. Seien K, 1~ ]reie, endlich erzeugte FD-Komplexe mit Diagonale und sei ~(/f) .~ Sp(/[). Dann gibt es eine ~D-HomotopieSquivalenz ]:I~--> K, so daft das

~agramm

h~176176 ist.

g = g x g

I1 ,~ 11 • 1 K ~ " KxK

~t~ aa betrachte die zu K bzw./~ geh6renden normalen Kettenkomplexe ~ (K) bzw. ~ ) (s. [1]) mit den induzierten Diagonalen ~t (d) bzw. ~ (d), ~t (d) : ~ (K) -+ ~t (K • K).

ach dem Satz von E~LENBERG-ZrLBE~ ist K X K homotopie/~quivalent zu K (~) K ~d 9 t (KxK) homotopie/~quivalent zu ~(K) (~) 9~(K) (s. [3], Th. 8.1., S. 239).

P(h:) ~_ Sp(~(K)) ; Sp(/~) = Sp(~(/~)).) Ua ~(K~ ~t t /~ mit K /~ endlich erzeugt und s sind, kann man Satz (1 6) auf ~ t ' ~ . . . . . '

~ ), ~ (R) anwenden und erh/flt: Es gibt eine Homo~opie/~quivalenz/I : ~ (/~) -> 9t (K) '~ das Diagramm

~(gxg) = = ~t(g) | ~t(.g) / l | A (K) (~) ~ (K) = ~ ~ (K x K)

isthornotopiekommutativ.~ ~ (g) ~ ~ (K) f ~araus folgt (s. [1], (1.10) und (2.6)): Es gibt eine eindeutig best immte Erweiterung ' voll/1, so dab das Diagramm

g ~- s

1 1I xl d

K ~ K x K

lat~~176 und [:i~ --> K eine Homotopiegquivalenz yon FD-Komplexen

392 V. Puvm.: ARZa. U,T~'

Damit ist Lemma (2.1) bewiesen, und es ist klsr, dal3 msn auf die gleiche Weise such die (1.2), (1.4) und (1.5) entspreehenden Anssagen ffir FD.Komplexe erhalteu kann.

Ffir homotopieerhaltende Funktoren T (s. [1], w 4) mit Disgonale -- d.h. jede~a FD-Komplex mit Diagonale ist eine Abbildung dT : T (K) ---> T (K) >( T (K) zugeordneg' so dab gilt : Ist [ :/~ -~ K eine Abbildung, fiir die d[ homotop zu (/• [) • ist, so is~ JT T(/) homotop zu (T(/)7, T(/))da, -- erh/iIt man sus (2.1) den folgenden Sate:

(2.2) Satz. Seien K, R endlich erzeugte, [reie FD-Komplexe und T ein homotOpleer" haltender Funktor mit Diagonale. Dann gilt:

s) Aus Sp(K) ~ Sp(/~) ]olgt Sp(T(K)) ~ Sp(T(/~)). b) Ist T eine Prolongation (s. [1], w 5J mit Diagonale, so/olgt aus Spa(K) ~ SP q(/~)'

daft Spq-I(T(K)) _~ Spq-l(T(R)) ist.

Sp ~ (K) bezeiehnet das Spektrum, das man aus Sp (K) erhMt, indem m~n alle CohO" mologiegruppen oberhslb der Dimension i snnulliert.

Tell a) des Satzes folgt unmittelbar aus Lemma (2.1). Zum Beweis yon Teil b) cleg" S q K gegebener Is0" niere man eine Abbil~lung h : Sp (K) --> Sp (K) dureh h I P ( ) ~ �9 -d f/ir

morphismus, h ~- 0 sonst. Es gibt eine Abbildung ]:/~ --> K, die h induzmrt u~

die d/homotop zu ([ • [) d ist. Dimension q mdu~ierg Da / einen Isomorphismus aller Cohomologiegmppen his zur

und K, R endlieh erzeugt und frei sind, so i s t / . ein Isomorphismus fiir ~lle I-Ior~O" logiegruppen bis zur Dimension q -- I. Dsraus folgt naeh [1], (5.11) die D eh~ul~ von Teil b). (ml~

Betraehtet man Funktoren mit Diagonale, die sowohl auf FD-Komplexell,)~rld Diagonsle) sis such auf topologisehen R/iumen definiert und homotopieerhal~vo ~ smd . . . . und die (emsehhel31ieh der Disgonale) mit der geometrisehen t~eslisierung, d ~"~ (in jeder Dimension endliehen) e. s. s.-Komplexen (s. [6], w 2) vertsusehbsr sin , ergibt sieh aus (2.2) :

(2.3) Satz. Seien X, 2 CW-Komplexe yon endlichem Typ und T ein yunktor der oben genannten Art, so gilt:

s) Aus Sp(X) ~ Sp()~)/olgt Sp(T(X)) ~___ Sp(T(2~)).

b) Ist T eine Prolongation, so ]olgt aus S p a ( X ) ~ Spa(X), daft Sp q~l(~(X)) _~_ Spa -1 (T (3~)) ist.

Ffir geometrische Realisierungen yon c. s.s. Komplexen yon endlichem TyP f~ der Satz unmittelbar aus (2.2). Nach [8], Th. 13 ist jeder CW-Komnlex yon endllcl~r) a Typ homotopie'/iquivalent zu einem simplizialen Komplex von endlichem .~ ' zilt T nsch Voraussetzung auch homotopieerhaltend fiir topologisehe l%/~tune lsv, (2.3) fiir CW-Komplexe yon endlichem Typ.

2 4 Beis iele Die fol enden Funktoren T sind homotonieerhMtend und ~i~ .doe, r ( �9 ) P �9 g . . . . l e ~ "

dieser Diagonale miissen nschgewiesen werden.

u XVII, 1966 l~ber Cohomologie yon symmetr~sdmn Produkten 393

In allan Beispielen kann man die Diagonale von T (K) dureh Zusammensetzen yon (d) : T (K) -+ T (K X K) mit einer natfirlichen Transformation

D: T ( K x K ) ---> T ( K ) X T (K)

erhalten, so dab T ein homotopieerhaltender Funktor mit Diagonale ist. Man iiber- Zeugt sieh leieht davon, dab die als Beispiele genannten Funktoren einschlieBlieh tier so definierten Diagonale mit der geometrischen Realisierung vertausehbar sind.

d a) Kartesisehes Produkt mit einem festen FD-Komplex/~ mit Diagonale (bzw. mit ~ geometrisehen Realisierung eines e.s.s.-Komplexes) T (K) = K X/( ; K , / s

"Kornplex mit Diagonale

D : T ( K x K ) = K x K x K - + T(K) x T(K) = K X / ~ X K X / ~ ,

/) ~ t (1 X d), t Vertauschung der mittleren Faktoren. ~ntsprechendes gilt f/Jr Multiplikation ,,yon links , und man erh/~lt aus Satz (2.3)

eraeut die Folgerung (1.7).

all b) F-Produkt (Symmetrisehes Produkt). Sei /1 c S (n), 1' Untergruppe der Gruppe /)er Permutationen yon n Elementen (symmetrische Gruppe). T(K) = Kn/F,

' ( / ~ . . . . ~ n n ~,~ .,,l~) / F - + K n / I ' x K /1-' wird durch die Abbildung t : ( K x K ) --+K XKn,

Eatspreehend erh/~lt man den Funktor auf topologischen R/iumen.

e) Verallgemeinerte F-Produkte. Sei/~ ein fester FD-Komplex mit Diagonale, auf tle~ F rnit der Diagonalen vertauschbar operiert. (g ~ F operiere in R • dutch g(]~, It') ~_ (g (lc), g (fc')).) 7' (K) = (K n • K ) /F , F c S (n), g (a, $) : (g (a), g ($)) ffir g e /1 , ~ Kn, fc ~ ~ ; D: ((K • K) n • I~)/_P--> (K n • I~)/F• (K n • K)/ F wird induziert durch

t l : (K•215 ~ txd K n •2 1 5 2 1 5 ~ . K n • 2 1 5 2 1 5 t wie unter b), die Per- ~autation t' bringt den (2n + 1)-ten Faktor /~ an die (n -f- 1)-te Stelle.

Ist 2~ die geometrische Realisierung eines c. s. s.-Komplexes, auf dem F operiert (dies iaduziert eine Operation auf der geometrischen Realisierung), so erh~lt man den e~tSprechenden Funktor fiir topologische Rs : T (X) = (Xn • fi~)/F.

(2.5) Bemerkung. Die Beschr~nkung auf ganzzahlige Koeffizienten ist nieht not- ~e~dig. Bei entsorechender Definition des Spektrums sind alle Betraehtun en auch ~r �9 - . . . . . . . g I~oetfizienten in einem nullteilerfremn Hauptldealrmg rmht~g. Die Beweise sind ~ S t W . . . . . . ortlieh dieselben Im Soezialfall yon Koeffizmnten m emem KSroer S~ (diesen t 11 kann man einfaeher aueh direkt erhalten) reduziert sieh das Cohomologiespek- ~ a aufden Cohomologiering mit Koeffizienten in ~. N~a erh/~lt also unter den Voraussetzungen yon (2.3):

//!~.6) Satz. Ist H* (X, ~) als Ring isomorph zu H* (X, ~), so auch H* (T (X), St) zu (~(2), ~).

k (~,7) Bemerkung. Die Voraussetzung ,,yon endliehem Typ" bzw. ,,endlieh erzeugt" e'. ~ a abgesehw/~eht werden. Es geniigt, dal~ die Homologie der Komplexe endlieh ~Ze~gt ist. Sei G ein freier Kettenkomplex (mit Diagonale d) mit endlieh erzeugter

Atdtlv der Mathematik XVII 26

394 V. PvePr. A~c~. ~ATS.

Homologie , so g ib t es einen freien, endlich erzeugten U n t e r k o m p l e x C c C, der homO" to ie~ u iva lent zu C ist Sind �9 C --> C. a" C --> ~ rezinroke HomotonieKaUivalen~e~' P q �9 ]. . . . r r -* . . . . lb~r so kann m a n in C eine Diagonale J definieren dureh ~ = (g (~ g)d]. Es ist unmlr~" klar, dab dann d/homotop zu (l (~) l )d ist. Die Ergebnisse i iber t ragen sich also aul K omplexe mi t endlich erzeugter Homologie , wenn die be t rach te ten Funk$ore~ T ffirrl. beliebige c . s . s . -Komplexe (nicht nur fiir solehe endliehen Typs) nfit der geom~t~ schen nea l i s ie rung ve r t auschba r sind. (Es genfigt zu wissen, da~ S P ( ] T F ] [ : ~

S p ( T I V]) ffir jeden c.s .s . K o m p l e x V ist. Dies ist ffir alle be t raeh te ten BelsplV erffillt. I V] bezeichnet die geometr isehe Realis ierung yon V.)

Fiir ganzzahlige Koeff iz ienten folgt aus der Abzghlbarke i t der Cohomologie, da~ die Homologie endlieh erzeugt ist (s. [4], Th. 9).

Literaturverzeichnis

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Eingegangen am 6. 5. 1965

Anschrift des Autors: Volker Puppe Mathematisches Institut der Universit~t 69 Heidelberg