Unidad Didáctica 7

Trazados Geométricos

1.- ¿Qué es la Geometría?La geometría (del latín geometrĭa, que proviene del idioma

griego γεωμετρία, geo tierra y metria medida), es una rama de la matemática que se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras en el plano o el espacio, incluyendo: puntos, rectas, planos, (que incluyen paralelas, perpendiculares, curvas, superficies, polígonos, poliedros, etc.).

Es la base teórica de la geometría descriptiva o del dibujo técnico.

Sus orígenes se remontan a la solución de problemas concretos relativos a medidas. Tiene su aplicación práctica en física aplicada, mecánica, arquitectura, cartografía, astronomía, náutica, topografía, balística, etc. Y es útil en la preparación de diseños.

2.- Tipos de Geometría a tierra, y el universo, está llena de objetos naturales y artificiales con diferentes formas geométricas. Formas circulares, rectangulares, prismáticas, etc.

se distinguen dos tipos de geometría, según las figuras que se estudien:

a) geometría plana, que estudia las propiedades y medidas de las figuras planas, bidimensionales, ósea, las que se dibujan en un plano de dos dimensiones, en una hoja.

b) geometría espacial, estudia las propiedades y medidas de las figuras tridimensionales, las que tienen longitud, anchura y altura, y se encuentran en el espacio en que vivimos.

2.- Tipos de GeometríaEjemplos de Geometría plana o euclidiana.

2.- Tipos de GeometríaEjemplos de geometría espacial

3.- Elementos Geométricosla geometría se puede utilizar y desarrollar gracias a sus tres

elementos básicos (como si fueran los materiales de la obra): punto, línea y plano.

a) el punto. En geometría es uno de los entes fundamentales, junto con la recta y el plano. Son considerados conceptos primarios.

El punto es una figura geométrica adimensional: no tiene longitud, área, volumen, ni otro ángulo dimensional. No es un objeto físico. Describe una posición en el espacio.

El concepto de punto, como ente geométrico, surge en la antigua concepción griega de la geometría, desarrollada en Alejandría por Euclides en su tratado Los Elementos, dando una definición de punto muy curiosa: «lo que no tiene ninguna parte».

3.- Elementos Geométricos – El Punto

En geometría el punto se define como la intersección de dos rectas o de una recta y un plano, y se representa con una letra mayúscula: a, b, c...

3.- Elementos Geométricos – La Línea

b) La línea. es una sucesión de infinitos puntos unos detrás de otros. Pueden formar líneas rectas o líneas curvas. Se dibujan con trazo fino y se representan con letras minúsculas: r, s, t...

En geometría, la línea también puede considerarse como la distancia más corta entre dos puntos puestos en un plano.

3.- Elementos Geométricos – El Plano

En geometría, un plano es un objeto ideal que solo posee dos dimensiones, y contiene infinitos puntos y rectas; son conceptos fundamentales de la geometría junto con el punto y la línea.

Cuando se habla de un plano, se está hablando del objeto geométrico que no posee volumen, es decir, es bidimensional, y que posee un número infinito de rectas y puntos. Los planos se representan con letras del alfabeto griego.

Sin embargo, cuando el término se utiliza en plural (planos) se está hablando de aquel material que es elaborado como una representación gráfica de superficies en diferentes posiciones. Los planos son especialmente utilizados en ingeniería, arquitectura y diseño ya que sirven para representar en una superficie plana objetos que son regularmente tridimensionales.

3.- Elementos Geométricos – El Plano

Un plano queda definido por los siguientes elementos geométricos:

1. Tres puntos no alineados. 2. Una recta y un punto exterior a ella. 3. Dos rectas paralelas. 4. dos rectas que se cortan.

3.- Elementos Geométricos – El Plano

3.- Elementos Geométricos – El Plano

Planos de una casa.

4.- Instrumentos de Dibujo

Podemos realizar dos tipos de dibujos, los dibujos a mano alzada y los dibujos técnicos o geométricos.

Los dibujos a mano alzada son los que se hacen sin instrumentos de dibujo, de forma rápida y se utilizan para expresar ideas sin muchos detalles. Se llaman croquis o bocetos a mano alzada.

Por el contrario los dibujos técnicos se realizan a escala y proporcionado a las medidas de la realidad. Son mucho más detallados y necesitan del uso de instrumentos de dibujo: compás, regla, escuadra, cartabón, plantillas, estilógrafos, etc.

4.- Instrumentos de Dibujo dibujo a mano alzada dibujo técnico

4.- Instrumentos de Dibujo El Compas

El compás es una herramienta de dibujo que se utiliza para realizar circunferencias, arcos de circunferencias, tomar medidas y trasladarlas. Tiene los brazos articulados y se pueden utilizar accesorios, tales como la alargadera y el adaptador de portaminas o estilógrafos.

Hay muchos tipos de compases y de diferentes calidades, pero todos sirven para lo mismo, realizar circunferencias y trasladar medidas.

4.- Instrumentos de Dibujo El Compas

Cómo hay que coger el compás.

4.- Instrumentos de Dibujo La Regla Graduada

Para trazar líneas rectas y medir distancias se utiliza la regla graduada o milimetrada.

Hay muchos tipos de reglas milimetradas. pueden ser de madera, plástico, metal. Pueden medir 20 cm, 30 cm, hasta 100 cm. Pueden llevar hasta seis escalas en la misma regla.

Es muy importante la limpieza y tener en condiciones los cantos de la regla para que al realizar las líneas salgan rectas y uniformes. Los cantos no deben estar mellados.

4.- Instrumentos de Dibujo Escuadra y Cartabón

Son dos reglas de forma triangular. La escuadra tiene dos ángulos de 45º y uno de 90º. El cartabón tiene un ángulo de 30º, otro de 60º y un tercero de 90º.

Combinando la escuadra y el cartabón se pueden realizar líneas paralelas, perpendiculares y oblicuas, además de trazar cualquier ángulo múltiplo de 15º.

4.- Instrumentos de Dibujo Escuadra y Cartabón

Trazado de líneas paralelas, perpendiculares y oblicuas.

5.- Rectas en el PlanoCuando varias rectas están relacionadas en el plano según la posición que ocupan, se pueden definir como:

Rectas paralelas. Las que no llegan nunca a cortarse, o se cortan en el infinito. Rectas oblicuas. Aquellas que se cortan formando un ángulodistinto de 90º.

Rectas perpendiculares. Aquellas que se cortan formando un ángulo de 90º.

5.- Rectas en el PlanoTrazados Rectas Paralelas

Con Escuadra y Cartabón:

5.- Rectas en el PlanoTrazados Rectas Paralelas

De otra Forma:

5.- Rectas en el PlanoTrazados Rectas Perpendiculares

Con Escuadra y Cartabón:

5.- Rectas en el PlanoTrazados Rectas Perpendiculares

Con Regla y Compas:

6.- Rectas, Semirrectas y Segmentos

La recta se define como una línea infinita que no cambia de dirección. No tiene principio ni fin. Por eso en los dibujos trabajamos con semirrectas y segmentos, trocitos de rectas que no salgan del papel.

Semirrecta: es un trozo de recta limitada por uno de sus extremos por un punto e ilimitada por el otro extremo.

Segmento: es un trozo de recta limitada en sus dos extremos por dos puntos.

6.- Rectas, Semirrectas y Segmentos Transporte de medidasPara transportar la medida – distancia – de un segmento AB a una recta r únicamente tomaremos la medida con un compás y la trasladaremos a la recta.

6.- Rectas, Semirrectas y Segmentos Operaciones con

SegmentosSuma de segmentos: Para sumar dos segmentos A y B, se miden sus

distancias y se transportan con un compás a una recta r. El final de un segmento se une al principio del otro y el nuevo segmento suma sería el A+B.

6.- Rectas, Semirrectas y Segmentos Operaciones con

SegmentosResta de segmentos: Dados dos segmentos A y B, la diferencia A-B

se realiza trasladando la medida de la distancia del segmento B al inicio del segmento A. Lo que “resta” es la diferencia, el segmento A-B.

6.- Rectas, Semirrectas y Segmentos División de Segmentos

División de Segmentos en dos partes iguales: Dado un segmento AB, para dividirlo en dos partes iguales hay que realizar su mediatriz. Se realiza de la siguiente manera.

6.- Rectas, Semirrectas y Segmentos División de Segmentos

en Partes IgualesDivisión de un segmento en varias partes iguales:

dado un segmento AB, si lo queremos dividir en varias partes iguales se traza una recta r arbitraria desde el punto A del segmento y se divide en tantas partes (ej.: 6 partes). Se van trazando rectas paralelas desde los puntos de la recta r hacia el segmento AB hasta dividirlo del todo.

7.- ÁngulosSe llama ángulo a la zona del plano comprendida entre dos líneas que se cortan en un punto.

Los lados del ángulo - las dos semirrectas que se cortan en el vértice O – son las rectas que lo forman.

Los ángulos se miden en grados.

7.- Ángulos Según sus Medidas Según la medida del ángulo, se pueden clasificar en cuatro tipos:

A) Ángulo recto, el que mide 90 grados. B) Ángulo agudo, mide menos de 90 grados. C) Ángulo obtuso, mide más de 90 grados. D) Ángulo llano, mide 180 grados, un lado es la prolongación del otro.

7.- Ángulos – Relaciones con Ángulos

Cuando comparamos dos ángulos entre sí en relación a lo que mide cada uno, pueden ser: A) Si los dos ángulos miden lo mismo se denominan iguales.

B) Si entre los dos suman un ángulo de 90º se llama complementarios, uno complementa al otro.

C) Si entre los dos suman 180º se les llama suplementarios.

7.- Ángulos – Relaciones con Ángulos

Si comparamos los ángulos según sus lados, pueden ser:

A) Adyacentes. Cuando tienen un lado en común y los otros dos en línea recta.

B) Consecutivos. Tienen el vértice y un lado común.

C) Opuestos por el vértice. Tienen el vértice común, siendo los lados de cada ángulo prolongación del otro ángulo.

7.- Ángulos – Bisectriz Se denomina bisectriz de un ángulo a la semirrecta que divide a ese ángulo en dos ángulos iguales.

7.- Ángulos – Bisectriz Como se hace la bisectriz de un ángulo

8.- CircunferenciasSe denomina circunferencia a una línea curva y cerrada,

formada por una sucesión de infinitos puntos que equidistan de otro punto fijo, llamado centro. Los elementos principales de una circunferencia son:

1. Arco: Porción de la circunferencia comprendida entre dos puntos de ella.

2. Radio: segmento o distancia comprendida entre el centro de la circunferencia y cualquiera de sus puntos.

3. Diámetro: segmento o distancia de la línea que pasa entre dos puntos de la circunferencia y por el centro de la misma. Divide la circunferencia en dos partes iguales y su distancia es el doble que el radio.

4. Centro: punto del que distan a la misma distancia todos los puntos de la circunferencia. Es el punto donde se pincha con el compás para dibujar la circunferencia.

5. Cuerda: segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia. La cuerda divide la circunferencia en dos arcos. La cuerda mas grandees el diámetro.

8.- Circunferencias

8.- Circunferencia - Circulo

El círculo es una superficie limitada por la circunferencia. Su superficie se mide en unidades de superficie (ej,: 55 cm2).

Circunferencia Círculo Esfera(1 dimensión) (2 dimensiones) (3 dimensiones)

8.- Trazado Circunferencia Trazado de una circunferencia a partir de tres puntos no alineados.

8.- Posiciones Relativas de Rectas y Circunferencias

Una recta puede tener diferentes posiciones en relación a la circunferencia.

1.Recta tangente. Cuando la recta sólo tiene un punto en común, de contacto, con la circunferencia, y es perpendicular al radio que pasa por el punto de contacto.

2.Recta secante. La recta corta a la circunferencia en dos puntos cualesquiera.

3.Recta exterior. No corta a la circunferencia en ninguna parte. Pasa de largo.

8.- Posiciones Relativas de Rectas y Circunferencias

8.- Posiciones Relativas de Dos Circunferencias

También dos circunferencias pueden tener posiciones relativas la una respecto de la otra.

1. Circunferencias exteriores. No tienen ningún punto en común, de contacto o corte.

2. Circunferencias tangentes exteriores. Tienen un punto en común y las dos circunferencias están una fuera de la otra.

3. Circunferencias tangentes interiores. Tienen un punto en común pero una circunferencia está dentro de la otra.

4. Circunferencias secantes. Se cortan en dos puntos.5. Circunferencias concéntricas. Tienen el mismo

centro.6. Circunferencias interiores. Están situadas una dentro de la

otra, pero no tienen el mismo centro. No son concéntricas

8.- Posiciones Relativas de Dos Circunferencias