uber stetige algebraische korper

Annals of Mathematics

Uber Stetige Algebraische KorperAuthor(s): L. PontrjaginSource: Annals of Mathematics, Second Series, Vol. 33, No. 1 (Jan., 1932), pp. 163-174Published by: Annals of MathematicsStable URL: http://www.jstor.org/stable/1968110 .

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UBER STETIGE ALGEBRAISCHE KORPER.*

VXoN L. PONTRJAGIN IN MOSKAU.

? 1.

Der Zweck dieser Arbeit ist, eine topologische Charakterisierung der Korper der reellen und der komplexen Zahlen zu geben (Satz II). Wenn wir auf die Kommutativitdtsbedingung, die in dieser Charakterisierung eine wesentliche Rolle spielt, verzichten, erhalten wir noch den Quaternionen- korper (Satz I).

Die Fragestellung, die zu dieser Arbeit gefilhrt hat, sowie zahlreiche Anregungen bei der Beweisffihrung und bei der Redaktion der vorliegenden Abhandlung verdanke ich Herrn A. Kolmogoroff.

? 2. Definition I. Eine Menge K von Elementen a, b, c, * bildet einen

stetigen Kdrper, wenn folgende Bedingungen erfillt sind: 1. K ist ein topologischer Raum,1 2. K ist ein algebraischer, im allgemeinen nicht kommutativer Korper, 3. die Funktionen fi(a, b) - a+b, f2(a, b) - ab, f3(a) - a,

f4 (a) a-1 sind stetig (ilberall, wo sie definiert sind, d. h. fi, f2 und ,fq im ganzen Raum und f, iiberall mit Ausnahme des Nullpunktes).

Im folgenden wird unter einem Kiirper stets ein stetiger Korper ver- standen.

Definition II. Zwei stetige Korper heifen isomorph, wenn sie aufeinander eineindeutig abgebildet werden konnen, und zwar so, dal3 dabei sowohl die algebraischen als auch die topologischen Relationen in beiden Korpern einander entsprechen (d. h. daB die Abbildung gleichzeitig einen Isomor- phismus der Korper und einen Homoomorphismus der Raume darstellt).

* Received May 17, 1931. I Eine Menge R von irgendwelchen Elementen soll ein topologischer Raum heilBen,

(vgl. Alexandroff, Math. Ann. 96, S. 555), wenn fur jede Teilmenge Ml von R die abgeschlossene Huille M definiert ist, und zwar so, daBi folgende Bedingungen erfillit sind:

I. Eine aus einem einzigen Punkt bestehende Menge ist mit ihrer abgeschlossenen Hiulle identisch.

II. A+B-A+B. I1. (A)-=A. Mengen, die mit ihrer abgeschlossenen Hulle zusammenfallen, hei1en abgeschlossen, ihre

Komplementarmengen offen. Jede offene Menge, die einen gegebenen Punkt enthiilt, heilit eine Umgebung dieses Punktes.

163



164 L. PONTRJAGIN.

SATZ I. Jeder stetige lokalbikompakte,2 zusammenhdngende Korper K ist dem K6r2per der reellen, dem Korper der komplexen Zahien oder dem Quater- nionenkdrper isomorph.

SATZ Il. Jeder stetige lokalbikompakte, zusammenhangende kommutative Koirper K ist entweder dem Korper der reellen oder dem Kirper der komplexen Zahien isomorph.

In der Formulierung der Satze I und II kann die Bikompaktheit durch die Bedingung ersetzt werden, daB K ein Hausdorffscher lokalkompakter topologischer Raum mit erstem Abzahlbarkeitsaxiom ist:

SATZ Ia. Jeder stetige lokalkompakte, zusammnenhiingende Kirper K, in dem das erste AbzdAlbarkeitsaxiom und das Iausdorffsche Trennbarkeitsaxiom erfillt sind, ist mit dem ICorper der reellen Zahien, dem Kdrper der komplexen Zahlen oder dem Quaternionenk6rper isomorph.

SATZ II a. Unter den Bedingungen des Satzes I a mit Iinzuftigung der Kommutativitdt von K ist K entweder dem Kdrper der reellen Zahien oder dem Korper der komplexen Zahien isomorph.

Wir werden beweisen, daB die Bedingungen von Satz Ia aus den Be- dingungen von Satz I folgen, worauf wir nur noch den Satz Ia beweisen muissen: II und lIa folgen ja unmittelbar aus I und Ia infolge der Nicht- kommutativitat des Quaternionenkorpers.

? 3. In jedem stetigen Korper K gilt folgender Satz, der keines Beweises

bedarf: HILFSSATZ I. Wenn a 4 0 ist, so ist die Abbildung

.x - ax+b

von K auf sich eine topologische (d. h. eineindeutige und beiderseits stetige) Abbildung.

Dieser Satz zeigt, daB K topologisch homogen ist, d. h. daB man mittels einer topologischen Abbildung des ganzen Korpers auf sich selbst jeden Punkt a in jeden Punkt b utberfuhren kann: es genuigt in der Tat, die Ab- bildung x' x- a + b heranzuziehen.

? 4. In diesem Paragraphen setzen wir voraus, daB der Korper K lokal-

bikompakt und zusammenhangend ist.

2Wegen der Kompaktheit bzw. Kompaktheit im kleinen, sowie der weiteren hier ge- brauchten topologischen Begriffe (wie Trennungsaxiome, insb. Regularitat, Abzahlbarkeits- axiome u. dgl.), siehe Alexandroff, Math. Ann. 96, S. 555, sowie Alexandroff und Urysohn, Math. Ann. 92.



UBER STETIGE ALGEBRAISCHE KORPER. 165

HILFSSATZ II. Es existiert eine abzdhlbare Menge a,, a2, *** ar3, (1) von Elementen von K, die 0 zum Hdufung.qzpunkt hat.

Beweis. Daraus, daB K zusammenhangend ist, folgt, daB alle seine Punkte Haufungspunkte sind (K enthalt ja mindestens zwei Elemente: Null uind Eins). Sei G eine offene Menge, deren abgeschlossene Hlile G kompakt ist. Da alle Elemente von K Haufungspunkte sind, enthalt G unendlich viele Elemente. Sei bl, b2, * ., br, ... (2) eine abzahlbar unendliche Menge von Elementen aus 6 und b ein Haufungspunkt dieser Menge. Man sieht leicht, daB die Menge bl -b, b2- b, *.., br - ...

Null zum Haufungspunkt hat. HILFSSATZ III. Sei F eine bikompakte Menge3 und

(1) a,, a2, ..*, ar ..

eine Folge von Elementen, die Null zum id ufungspunkt hat und G eine Umgebung der Null, so existiert ein n, so daft Fn = Fan c G.a

Beweis. Fur jeden Punkt a gibt es stets eine Umgebung G (a) von a und eine Umgebung G'(a) von Null, so daB, wenn xc G (a) und yc G'(a) ist, xy in G liegt. Wenn nun a die ganze Menge F durchlauft, so uiberdecken die Gebiete G(a) die ganze Menge F; infolge der Bikompaktheit von F kann man aus diesem {Yberdeckungssystem ein endliches Teilsystem G (a(')), G (a(2)), * * *, 0 (a(k)) herausgreifen, welches ebenfalls F uiberdeckt; bezeichnen wir nun mit G' den Durchschnitt G'(a(1)), G' (a(2)), *.., G'(a(k)). Man sieht leicht, daB das Produkt eines beliebigen Elementes aus F mit einem beliebigen Element aus G' in G liegt. Da aber G' eine Umgebung der Null ist, so gibt es unter den Elementen der Folge (1) sicher ein Element an C G'; daraus folgt aber Fn C G , w. z. b. w.

HILFSSATZ IV. K ist ein reguldrer Hausdorffscher Raum mit erstem Ab- zdhlbarkeitsaxiom.

Beweis. Es sei U eine Umgebung des Nullpunktes mit bikompakter abgeschlossener Huille U und b. eine Folge, die Null zum Haufungspunkt hat. Bei beliebiger Wahl der Umgebung V des Nullpunktes ist bei entsprechend gewahltem it U.b, C V, woraus folgt, daB die offenen Mengen U.bn ein der Regularitatsbedingung gentigendes abzahlbares Umgebungs- system des Nullpunktes bilden.

Wegen der Homogenitat von K (Hilfssatz I) existiert ein solches Um- gebungssystem auch fMr jeden Punkt x. Daraus folgt bekanntlich auch das Hausdorffsche Trennungsaxiom (denn, wenn x und y zwei Punkte sind,

3 d. h., daB F als Raum betrachtet bikompakt ist. 3aWenn X eine Teilmenge von K und y ein Punkt von K ist, so bedeutet Xy die

Menge aller Punkte x y, wobei x zu X gehort.



166 L. PONTRJAGIN.

V(x) zu y fremd, U(x) in V(x) enthalten ist, so bilden U(x) und das Komplement K- U(x) zwei disjunkte Umgebungen von x und y).

Auf diese Weise sehen wir, daB in K die Voraussetzungen des Satzes Ia erfuillt sind. Wir gehen also zum Beweis dieses Satzes fiber.

? 5. Wir setzen voraus, daB K lokalkompakt und zusammenhangend ist und

dem ersten Abzahlbarkeitsaxiom und dem Hausdorffschen Trennungsaxiom genuigt. Ist x Haufungspunkt einer Menge E, so konnen wir aus E eine Folge herausgreifen, die gegen x konvergiert.4 Dies ermoglicht uns, die ganze Untersuchung mit Hilfe des Begriffes der Konvergenz einer Folge zu fiuhren.

HILFSSATZ V. Wenn die Folge bn gqqen Null konvergiert, so ist die Folge b-' divergent, d. h. sie besitzt keinen einzigen iHfufungspunkt.

Wenn namlich c ein Haufungspunkt der Folge b-1 ware, so hatte die Folge Xn - bn. b -, 1 den Punkt 0 - c - 0 zum Haufungspunkt, was offenbar unmoglich ist.

HILFSSATZ VI. Zu jedem Punkt a gibt es eine gegen diesen Punkt konvergierende Folge von a verschiedenen Punkten.

Beweis. Dies folgt daraus, daI a kein isolierter Punkt ist, und aus dem ersten Abzahlbarkeitsaxiom.

HILFSSATZ VII. K ist nicht komnpakt. Es gibt namlich nach Hilfssatz VI eine Folge b? mit b,, t 0, lim b- 0.

Die Folge b-1 ist dann nach Hilfssatz V divergent. HILFSSATZ VIII. Wenn F kompakt,5 V eine Umgebung des Nullpunktes

und lim bn 0 ist, so ist fur hinreichend grojies n F. bn C V. Man nehme das Gegenteil an. Dann gabe es unendlich viele Produkte

xn fn bk. (fn C F), die zu V fremd sind. Nun haben aber die fn einen Haufungspunkt f, wahrend die bk. gegen 0 konvergieren. Die xn haben daher den Haufungspunkt f 0 0, was unmoglich ist, da sie auBer- halb V liegen.

HILFSSATZ IX. Es seien U und V zwei Umgebungen des Nullpunktes mit konmpakten abgeschlossenen Hii7len. TVenn an eine diverqente Fol>qe ist, so hat fur hinreichend grojJes n die Begrenzung U' von U mit V. an notwendig gemeinsame Punkte.

Beweis. Wir betrachten den Durchschnitt D (U, Van). Diese Menge ist kompakt und enthalt den Nullpunkt. Da K selbst nicht kompakt ist, bildet sie eine echte Teilmenge von K. Da ferner K zusammenhangend

4Eine Folge xI, x2, * , x,1, * konvergiert gegen x, wenn jede Umgebung von x alle bis auf endlich viele dieser Punkte enthalt.

"Kompakt-" bedeutet in sich kompakt (d. h. kompakt und abgeschlossen).



UJBER STETIGE ALGEBRAISCHE KORPER. 167

ist, ist der Rand von D (U, Va,,), d. h. die Menge D (U', Van) + D (U, V'an), gewiB nicht leer. Wenn fur unendlich viele n der erste Summand leer ware, so ware fur dieselben n die Menge D(U, V'an) von 0 verschieden. Es wiirden m. a. W. die Folgen Uk C U, Vk C V und eine Teilfolge an,, von an existieren, so daB Uk - vk a, ist. Offenbar kann man ilberdies voraussetzen, daB Uk und vk konvergente Punktfolgen mit

lim k- 'It C U und lim Vk -- v C IT

sind. Dabei ist v wegen der letzten Relation gewiBi von 0 verschieden (1' ist ja die Grenze von V). Folglich ist lim a = lim 17i U--- V-1 i, was der Divergenz der Folge a, widerspricht.

HILFSSATZ X. Tl1enn die Polge a,,, diver~qiert, so konvergiert die Folqe a-' geqen 0.

Es genfigt zu beweisen, daf3, falls an divergiert, die Folge a-' Null zum. llaufungspunkt hat: daraus folgt namlich, daB3 auch jede Teilfolge von a- den Nullpunkt zum Haufungspunkt hat, woraus sich vermolge des ersten Abzahlbarkeitsaxioms ergibt, daB die ganze Folge a,, gegen Null konvergiert.

Es seien U und V zwei Umgebungen des Nullpunktes mit kompakter abgeschlossener Eiille (vgl. deii vorigen Hilfssatz). Fur alle hinreichend groBen n ist D(U', Va,,) nicht leer, so daJ man die Punkte v?, in V so wahilen kann, daB fur alle Punkte u,, v), an zu U' gehoren. Man kann Teilfolgen it,, k Vnk auswahlen, so daB uzk gegen i c U' und Vcflk gegen V C V konvergieren, wobei u t 0 ist. Somit miuBte a-' uz vl gegen U- v konvergieren; da aber a,,1 divergent ist, muB i-1 v der Nullpunkt sein, w. z. b. w.

HILFSSATZ XI. iVenn a,, divergiert, F komrpakt unXd V eine Unwqebunq des lNullptnkts ist, so ist fib hinreichend grojies n F C Va,,.

In der Tat: aj-- konvergiert wegen Hilfssatz X gegen Null und daher ist fMr alle hinreichend groBen n Faj1 C V, woraus der Satz folgt.

HILFSSATZ XII. Wenn F kormpakt utnd V offen ist, _n geqen J ionvergyiert and Fp in V enthalten ist, so qilt ffir hinreicihend qrojles n: Fp,, C V.

Sonst gabe es eine Folge fkC F, so daB ffir unendlich viele n, etwa nk die Punkte xk fk pZk aul3erhalb V liegen w'frden. Da die P",,k gegen r konvergieren und die fn,,, ejinen Haufungspunkt f CF besitzen, so mfissen die xkt den Punkt fp C T als Hauffungspunkt haben, was der Definition der Xk widerspricht.

HILFSSATZ XIII. I'Venn F belieb&q, U abqeschlossen ?and lim p.- 1p ist, so folqt aus Fpn C U, daft auch Fp C U ist.

Andernfalls gabe es ein f aus F, so dara fp ci- U; dann lagen aber auch fast alle fp" aufierhalb U, was unniglich ist.



168 L. PONTRJAGIN.

HILFSSATZ XIV. Es sei a irgendein Punkt von K. I4Tenn die Foge

a, a2, a3 ... a ...

(die ,,Potenzfolge von a") den Nullpunkt als Hliifungspunkt besitzt, so konvergiert sie gegen diesen Punkt, und dasselbe gilt auch von der Potenzfolge eines jeden Puenktes b, der zu einer passend gewahlten Umngebung von a gehort.

Beweis. Fur jede Umgebung G des Nullpunktes, deren abgeschlossene Hfille G kompakt ist, existiert vermoge Hilfssatz VIII ein solches m, daB

GamcG

ist. Wegen Hilfssatz XII gilt die analoge Inklusion

(1) GbtmcG

fur jeden Punkt b einer gewissen Umgebuing U(a) von a. Wir wollen zeigen, daB unter der Bedingung (1) die Folge b" gegen

den Nullpunkt konvergiert. Damit wird der Hilfssatz XIV offenbar bewiesen sein.

Wiederholte Anwendung der Formel (1) gibt zunachst fur jedes ganzzahlige q (2) G bqmcGb(q-l) C. c bm c G.

Wenn cc G, c t- 0 ist, so gilt somnit

c bqn c G c G und daher bqm c c-l G.

Alle Punkte von der Form bqm liegen somit in der kompakten Menge c-1 G, so daB die Folge bqm mindestens einen Haufungspunkt besitzt.

Wir nehmen jetzt an, die Folge besaBe einen von Null verschiedenen Haufungspunkt. Dann gabe es eine gegen diesen Punkt konvergierende Teil- folge bmqk wobei man offenbar voraussetzen kann, daB qk -qk-i = Vk mit k unendlich groB wird. Offenbar konvergiert dann die Folge bVkm gegen den Einheitspunkt 1 von K. Andererseits haben wir nach (2)

G bV tl C CT bm c G.

Anwendung des Hilfssatzes XIII ergibt dann (indem man fur das dortige U die abgeschlossene Menge Gbm wahilt)

G - 1 cGbmcG,

was unmoglich ist, denn K ist ja zusammenhangend.



1BER STETIGE ALGEBRAISCHE KORPER. 169

Dasselbe gilt naturlich auch fuir jede Folge der Gestalt blqw+k mit. kon- stantem k. Da aber die ganze Folge bn aus m Folgen der obigen Gestalt besteht (die man erhalt, indem man k alle Werte von 0 bis n - 1 gibt), konvergiert auch diese Folge gegen 0, w. z. b. w.

HILFSSATZ XV. Wenn die Folge an eine divergente Teilfolge enthdlt, so ist auch die ganze Folge an divergent. Dasselbe gilt auch von der Potenz- fo7ge eines jeden Elementes b aus einer gewissen Unigebung U (a).

Beweis. Die Folge a-}t hat nach Hilfssatz X den Nullpunkt unter ihren Haufungspunkten; folglich konvergiert nicht nur a-', sondern auch jede Folge b' mit b aus einer gewissen Umgebung von a-' gegen Null. Vermoge Hilfssatz V folgt hieraus, daB an bzw. b-n divergiert.

HILFSSATZ XVI. Der Kirper K zerfdllt in drei paarweise zueinander fremde Mengen 2, Ik und e, wobei ein Punkt zu 2, bzw. zu p gehiart, wenn seine Potenzfolge gegqen Null konvergiert bzw. divergent ist. Die lMenge e besteht aus allen Ptunkten, deren Potenzfolgen keine divergenten Teitfolgen enthalten und trotzdem den Nullpunkt nicht zutm Hdufungspunkt haben.

Beweis. Folgt aus Hilfssatzen XIV uind XV. HILFSSATZ XVII. ) 4- Q ist kompalt. Beweis. Man nehme an, die Punktfolge xn aus I + Q sei divergent.

Dann konvergiert xn' wegen Hilfssatz X gegen Null und, da I eine Umgebung des Nullpunktes ist, sind alle xl' bis auf endlich viele in X enthalten. Es sei x -I c 1. VermOge Hilfssatz V ist dann x7 divergent, so daB xn zu , gehort, was unserer Voraussetzung widerspricht.

HILFSSATZ XVIII. TTVenn a C ) + e ein mit jedem, Element aus K ver- tatuschbares Element ist, so gilt: la C ).

Beweis. Wenn x C ) ist, so konvergiert die Folge xx2, *, x>, gegen Null; da aber die Folge a, a2, a , a, ... keine divergente Teil- folge enthalt, so konvergiert auch die Folge ax, a2 x', *... a7 n * ... gegen Null. Da aber diese Folge wegen ax = xa mit der Folge xa, (xa)2,* , (xa)" , ... zusammenfallt, ist auch ax C ). Es ergibt sich also Ia C , wenn wir von beiden Seiten dieser Inklusion die abgeschlossene Huille bilden, erhalten wir: )-a C I.

HILFSSATZ XIX. Sei q ein beliebiges, von Null verschiedenes Element von K und F eine kompakte Teilmen~ge von K. Dann existiert ein endliches System von Elementen a1, a2 ..., an, aus T, so daft es fUr jedes Element x aus F ein aj gibt, so daf x-ai C ) q ist.

Beweis. Im geoenteiligen Falle wuirde eine unendliche Folge

(l) ~~~~~a1, 2, *a2 a'

aus F existieren, so daB fur i + j stets aj - aj 1 q ist. Dies ist aber unmoglich: die Folge (1) hat namlich einen Haufuingspunkt a und wenn



170 L. PONTh.JAGIN.

die Teilfolge a,,, gegell a konvergiert, so konvergiert die Folge an,- a,,?+ gegen Null, und daher ist ffir genuigend groBes i

(11-i aii+l C ;- q.

HILFSSATZ XX. 1Venn F eine kompakte Teilmenge von K und p ein beliebiges, von Null verschiedenes Element von K ist, dann gibt es fuir jede yanze Zahl k eine gcnaze Zahl N, so daft, wenn

(1) aX1, * XN

beliebige A Elemente aes F sind. es unter ihnen k Elemente, etwva x,1,, xn2,

**, xn, gibt, so dat,6 x,,- xn C )p gilt fJir beliebiges i und j (i, j < k). Beweis. Wegen Hilfssatz VIII bilden die )q bei beliebigem q ein

vollstandiges Umgebungssystem des Nullpunktes. Daher kann man q so bestimmein, daB aus x1 C ) q, x, C ) q folgt: xI+x2 C )p. Fir das auf diese Weise bestimmte q bestimmen wir ein System von Elementen a,, a2, *.., can1, das den Bedingungen des Satzes XIX genuigt, umid setzen N= km. Dann entspricht jedem Element xi des Systems (1) ein Element ar so daB xi - ar C ) q ist. Da aber N- km ist, so gibt es ein solches Element a7, dem auf diese Weise mindestens k Elemente des Systems (1) entsprechen, etwa xAt1, Xn2, * * *, Xk. Auf diese Weise haben wir fur (i, j) k: xnj - ar

C ) q, a -xj C ),q und daher xn,- xnj- (x- ar) + (a,- xn) C Sp. HILFSSATZ XXI. Bezeichnen wir mit 4. die M11enge aller Elemente der

Form xi + x2 + *-- + xn,, wobei xi C ), ist, dann ist: 1. 4 eine oftene Menqe; 2. ihre abqeschlossene Hidle X,^ besteht aus allen Elementen der Form

x1 + x2 + *-- + x,1, wobei xi C ist, 4, ist daher kompakt; 3. 4 - 4-n ist nicht leer. Bewveis. 1. und 2. erkennt man unmittelbar, 3. folgt daraus, daB K

zusammenharngend und nicht kompakt ist. HILFSSATZ XXII. IWenn x C 4 und y c 4 ist, so ist x + y c 4rs;

wenn x C 4 und y C 4 ist, so ist x+ y C 4-ts

HILFSSATZ XXIII. Wenn x C 4 und y C 4 ist, so ist X + y C Ar-'s Bewveis. Da y C 4 ist, so gibt es fur jede Umgebung G des Nullpunktes

ein z c G, so daB y - z C 4 ist. Da aber 4 eine offene Menge ist, so ist f Fr geniigend kleines G : x + C 4, also

x+y (x+z)+(y-Z), X + Z C y - C 4s

und mithin nach Hilfssatz XXII: x + y C 4?+. HILFSSATZ XXIV. Fur jedes ganzzahlige k > 1 gibt es ein Ok C ), so dai

k Wkl-kl



UBER STETIGE ALGEBRAISCHE KORPER. 1 71

Beweis. Sei p 1) 0 so bestinmmt, daB aus yi C )1p, i 1, 2, *, k-1 folgt: y1. + Y2 + + y,1 c ) . (Ein solches p existiert, da die 2p ei vollstandiges Umgebungssystem des Nullpunkts bilden.) Die ganze Zahl N sei entsprechend Hilfssatz XX bestimmt fur p, k und F ) . Sei weiter zC: A'. (Infolge Hilfssatz XXI existiert ein solches z.) Dann ist

Z -- .l + X2 + * + XNT, X C , .

Auf Grund von Hilfssatz XX kUnnen wir annehmen, daf3 ffir die ersten k Elemente dieser Summe x -- xjc ).p gilt (i, j < k). Wir erhalten:

(XLi-X) + (X -Xk)+ +- (x_ -xk)+ k xxc + x +1 + xk1+-2 + --.

Wegen xj- xk c Xp (i < k) ergibt sich:

- (X1 - Xk) + (X2 -Xk) + + (,Vh-l -- Xk) C

Aus der Inklusion x,, c folgt weiter:

X' -- Xk+1 + Xk+2 + ? XN C iN-k

Foiglich haben wir nach Hilfssatz XXIII:

X + X C iN-k+i

Hieraus und aus kxk C Xkl ergabe sich dann nach Hi]fssatz XXIII: z c )N, was der Voraussetzung widerspricht. Wir erhalten also k Xk Cj 7,--) und (Ok Xk.

HILFSSATZ XXV. Der Kdrper K hat die Charakteristik Nitll. Beweis. Nehmen wir an, der Korper K habe eine Charakteristik p + 0.

Dann gilt ffir beliebiges x c K: px 0 O. Dies ist aber unmoglich, denn nach Hilfssatz XXIV gilt p cp Ci-:2-1; lp-1 enthalt aber ffir p> 1 den Nullpunkt.

HILFSSATZ XXVI. Wenn e die Einheit des Kdrpers K ist und mit und n

zwei ganze positive Zahlen sind (m ? n), dann ist 4,m - ):

Beweis. Jedes Element der Menge i n e konnen wir in der Form x + x + *+ x + 0 + O + * * + 0 (x n-rnal, 0 (m -n)-mal genommen), wobei x c. Folglich ist nach Hilfssatz XXI i) t e C n. Indem wir diese Inklusion mit-multiplizieren, erhalten wir: C - e. n

HILFSSATZ XXVIL. e liegt in ), Q oder {I, je nachldem ob m < n, n inm n oder mi it ist.



1 72 L. PONTRJAGIN.

Beweis. Wir betrachten zunachst den Fall rn>In. Ware e C + Q,

so hatten wir nach Hilfssatz XVIII * e c)i, da-e mit allen Elementen

von K vertauschbar ist. Da co, C i st, ergibt sich -c. wm c ) und folg-

lici mflo 0n c )t; nach Hilfssatz XXIV wissen wir aber, daf3 mn W nicht in Inlt liegt. Daraus ergabe sich aber n > m - 1, also n > in (anderenfalls hatten wir namlich m tn C , C '1-) was der Voraussetzung wider-

spricht. Also ist e C ,t.

Ist n < It, so ist e C t und foiglich nach Hilfssatz X -eC .

Ist endlich mi -i, so ist -" eCi. n HILFSSATZ XXVIII. Die Folqe

(1) e, 2e Tl, ne, ... e e

divergiet und die Folge e, ..., -, *. konvergiert gegen 1 ull.

Beweis. Anderenfalls gabe es eine konvergente Teilfolge der Folge (1) n1 e, n2 e, *.**, nke, * * * wobei die ganzen Zahlen nk eine wachsende Folge bilden. Die Folge (n2 -n) e, (n3 - n2) e, ***, (ne - k-1) e, ** wuirde dann gegen Null konvergieren, was unmoglich ist, da alle Elemente (nk -nk-1)e nach Hilfssatz XXVII auflerhalb ) liegen und ) eine Unigebung des Nullpunktes ist.

Aus der Divergenz der Folge e, 2e, ***, ne, * folgt nach Hilfssatz X, e e

dal3 die Folge e, -2? * - ... gegen Null konvergiert.

HILFSSATZ XXIX. K enthdlt einen Korper R, der isomorph ist mnit demn gewihnlichen stetiqen Kdrper der rationalen Zahien.

Beweis. Nach Hilfssatz XXV enthalt K einen Korper R, der im rein algebraischen Sinn isomorph ist mit dem Korper der rationalen Zahlen; dabei schreibt sich jedes Element von R in der Form r e, wobei r eine beliebige rationale Zahl ist. Nach Hilfssatz XXVIII bilden die off enen

Mfengen )- - ei vollstandiges Umgebungssystem des Nullpunktes im

Korper K. Daraus folgt aber, daB die Durchschnitte der ) . mit h ein n

vollstandiges Umgebungssystem des Nullpunktes in R bilden. Diese Durch- schnitte bestehen aber nach Hilfssatz XXVII aus denjenigen Elementen re,

I<1 fur die r <- ist. R ist also tatsachlich isomorph mit dem stetigen

Korper der rationalen Zahlen.



UBER STETIGE ALGEBRAISCHE KORPER. 173

HILFSSATZ XXX. Im Kdrper- K gilt die Cauchysche Konvergenzbedirguqunq, d. h. fiir die Konverqenz dor Folge

a,, 0.*2 a??.s

ist notwendig und lhinreichend, daft es zu einerjeden Umrgebung U des Null- pnnktes eine ganze Zahl N gibt, so daft aus r > N, s > N folqt ar - as C U.

Beweis. Die Notweildigkeit der Bedingung erkennt man unmittelbar; beweisen wir, daBl sie hinreichend ist. Wenn die Folge (1) dem Cauchyschen Konvergenzkriterium geniugt, so gibt es ein N, so dal3 aN+x - aNCt ist; da 2 kompakt ist, hat daher die Folge a-+l - aN, aN+2- aN, * * *, aN+k- aN, ...

mindestens einen Haufungspunkt a und enthalt keine divergente Teilfolge; infolgedessen hat die Folge (1) einen Haufungspunkt aA+ a; andererseits hat sie aber, wie man leicht erkennt, auch hichstens einen Haufungspunkt ind enthalt keine divergente Teilfolge. Sie ist also konvergent.

HILFSSATZ XXXI. Der Kirper K enthalt einen Korper D, der isomorph ist mit dem gewdhniichlen stetiqen Kirper der reellen Zahlen; dabei ist jedes Element von 1) mit jedem Element von K vertauschbar.

Beweis. Auf Grund der Hilfssatze XXIX und XXX ilberzeugt man sich leicht, daf) die abgeschlosseine Hiille 1R = D isomorph ist mit dem stetigen Korper der reellen Zahiein. Da jedes Element von P mit jedem Element von K vertauschbar ist, so gilt das gleiche auch fur die abgreschlossene Hilile D-- R.

HILFSSATZ XXXII. Sei An, die Iengqe der Elemente ans K der Gestalt

x - aC1 XI + a2 X.) + . . * + Cn, X 2

wobei x1, X2, , x, geqebene Elemente von K sind und die variabien Koeffizienten ao in D liegen. VTJenn dann A. nicht mit K zusammenfdllt, so existiert ein Element zCo, das nicht auf folgende WVeise dargestellt ,werden kann:

x-[- x z', xCA,,,, z'C2.

Beweis. Die Menge An ist abgeschlossen in K. Wenn daher arAn ist, so gibt es unter den Umgebungen von a der Gestalt a +-2a, (a c D), welche ein vollstandiges Umgebungssystem von a bilden, eine solche, die zu A, fremd ist. Setzen wir dann a' a a-1, so ergibt sich, daB a'+ 2 (a +2 a) a-1 zu A, A, a-1 fremd ist. Sei nun B. die Menge der Elemente der Gestalt x + z, x cA., z C 2. Offenkundig ist B. eine offene Menge und a' geh6rt nicht zu B,,. Da K zusammenhangend ist, existiert also mindestens ein Randpunkt von Bn. Sei b ein solcher Punkt und moge die Folge xIc + Zk (xk c An, Zk CI) gegen b konvergieren. Die Zk haben mindestens einen Haufungspunkt z und die xk daher den Haufungs-



174 L. PONTRJAGIN.

punkt x = b- z. Wegen x C A,, b x +z kann z' nicht zu i gehoren, als Haufungspunkt der Punkte z, C gehort es aber zu 2,; folglich ist z c Q. Wenn sich nun z in folgender Form darstellen lieBe: .x':+ ',

x'C Al, 'C c , so ergabe sich: b --x+x'+z' x"?z', x" c A. Dann mill3te .aber b zu B, gehOren, was unmoglich ist. Folglich genugt z allen Bedingungen des Hilfssatzes.

HILFSSATZ XXXIII. Es existiert eine linear 'unabhangage endijeke Basis

( 1 ) .X1 X * Xm

des Kdrpers K beziiglich D, d. h. jedes Element von IC kann auf eine und nuxr eine Weise in dler Formn

(2) i Xi (aj C D) i-=1

dargestellt werden. Beweis. Sei x1 e. Nehmen wir an, wir hatten bereits in K ein

System (3) XI. I X'), * @ , ,

von beziiglich D linear unabhAngigen. Elementen derart, daB xico und xi -.j x: 1- ffir i ti. Entweder fAllt die AMenge aller Elemente der Form

(4) e xi tai c D) i -

bereits mit K zusammen, oder man kann das System nach Hilfssatz XXX1I zu einem System x1, x2, *.., iXny Xn-1 erweitern, das denselben Bedingungen genfigt. Auf Grund der Kompaktheit von Q und wegen Hilfssatz XX erkennt man, daB diese Erweiterung des Systems (3) nicht endlos fortgesetzt werden kann, und folglich gelangen wir schlielflich zu einem System (1), welches eine linear unabhangige Basis von K bezuiglich D bildet.

Der Hilfssatz XXXIII bedeutet, daB K isomorph ist mit einer Divisions- algebra im Korper der reellen Zahlen im Sinne von Dickson. In diesem Falle muB K mit einem der drei in Satz I angegebenen Korper isomorph sein, was zuerst Frobenius bewiesen hat6. Ein Beweis dieses Satzes, der nicht den komplizierten Hilfsapparat von Frobenius benutzt, findet sich in dem Buche ,,Algebren und ihre Zahlentheorien" von Dickson (deutsche Aus- gabe S. 46 Satz V).

6 Journal fur reine und( angewandte Mlathematik, Bd. 84.



uber stetige algebraische korper

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