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l~ber eine Riemannsehe Geometrie ohne Kiirzeste

Y o n

H. FIEBER

C. CA2ATI]:~ODORY hat ein Beispiel einer Riemannschen Metrik in der Ebene gegeben, in der nicht alle Punkte durch Geodgtische verbindbar sind [2], S. 348. Im folgenden wird nun eine Metrik konstruiert, bei der, obwohl zwei beliebige Plmkte der x-Aehse durch Geodgtische verbindbar sind, es keine Kiirzesten zwischen zwei Punkten gibt, sobald diese Punkte hinreichend welt auseinanderliegen.

Es sei in der x , y-Ebene eine Metrik d/0 erkl~rt dureh

(1) d s 2 : E ( y ) d x 2 27 G o ( y ) d y 2 ,

wobei E (y) ~ 0, stetig und eigentlich monoton fallend sei und ffir y __> a (a ~ 0, fest) gelte

mit gegebenen 0 ~ k < K. t~erner sei Go (y) beschrgnkt, stetig und positiv; schliel3- lich strebe fiir y --> 27 oo die Funktion

Y

f d 1) (2) V Y J E---E-~- ~--> § �9

0

Die Geodgtischen als die Extremalen des Variationsproblems

Yl

haben die Gestalt

(3) fV a0(y) dY x ( y ) ~-- c E (y ) ~/-E(y) - - c 2 27 C ,

wobei wegen (2) durcl~ (0, 0) und (x, 0) fiir jedes x eine Geod~tische hindurchgeht. Betrachten wit die durch (0, O) hindurchgehende Schar

Y

0

1) Um (2) zu erfiillen, kann man ffir Go(y) etwa fordern: inf Go(y) * 0; oder auch ]~Go(y) :> M o ~/E(y), wobei Mo > 0 gegeben.

Vol. XV, 1964 l~ber eine Riemannsche Geometrie ohne Kiirzeste 389

und sei c ~ 0, also mit y ~ 0 aueh x ~ 0. Ffir ein hinreiehend kleines xo > 0 gibt es darm eine (0, 0) mit (xo, 0) verbindende Geoditisehe Ko mit y ~ 0, die auch eine Kiirzeste ist und alle Punkte (x, 0) mit x < xo sind ebenfalls dureh Geoditisehe, die zugleie h Kfirzeste sind, mit (0, 0) verbindbar [3], S. 408. Ffir die Geoditische Ko sei c ~ co. Sie besitzt an jener Stelle y = Yo, ffir die E (y) ~ c~ ist, ein Maximum uad verl iuf t symmetrisch zu der durch dieses hindurchgehenden Parallelen zur y-Achse. Ffir die halbe L inge lo dieser Geoditischen Ko, d. i. yon (0, 0) bis zum Scheitelpunkt (xo/2, yo), ist

Yo

f V E (y) Go (y) ~~ (4) lo = j ?oo dy > I V o(y) dy = 40,

0 0

wobei 4o die L inge der zwischen (0, 0) und (0, Yo) liegenden Streeke auf der y-Aehse ist. Ersetzt man nun in J o die Funktion Go (y) ffir a l l e y > yo dutch eine ~unktion

Gi (y) > 0, beschr inkt und stetig mid yon der Besehaffenheit, dal~

(Sa) f VG (Y) U < - Y~

und

(5b)

Y

Yo

so erhi l t man eine Metrik ~s yon der Form

ds 2 = ~ E (y) dx~ t - Go (y) dy~ (Y ~-- Yo),

I E(y)dx~ -~ Gi(y)dy ~ (Y > yo)

und in ~s ist die die Punkte (0, 0) und (xo, 0) verbindende Geoditische l inger als 2 Ai , wenn

Ai = 4o § S (G1 (y) dy, Yo

d .h . Ai ist die Linge des Geradenstfickes x --~ 0, y ~ 0 in der Metrik ~s Solehe Funktionen G1 (y), die die Bedingungen (5) erffillen, existieren; man wihle etwa

- - 1 ~-1 m i < M i < ~ Y o ( 4 - - 4 o ) .

Die Weierstral3-Erdmannsche Eckenbedingung an y----Yo zeigt, dal~ man Gi(y) stetig an Go (y) anzuschliel~en hat und dal3 jede (0, 0) mi t (X, 0) - - fiir X > xo - - verbindende Geoditische yon ~ i an y ~ yo glatt ist; d.h. es st immen die Schar- parameter c der L5sungen ffir y ~ Yo und ffir y > Yo fiberein.

Die Menge der X > xo, ffir welehe die Geoditisehen zwisehen (0, 0) und (X, 0) stets l inger sind als 2 Ai , ist often. Es sei xi > xo die kleinste, nieht zu dieser Menge geh5rige Zahl und Ki die (0, 0) mit (xi, O) verbindende Geoditisehe; weiter sei

yi = max y (x) ( > Yo) 0 <:X <:xl

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das Maximum yon K~. Ersetzt man nun in ~s fiir y > yl die Funktion GI (y) durch eine Funktion G2 (y) mit den zu (5) analogen Bedingungen, so erh~lt man eine neue Metrik dr'2, in der wieder 2 A2 mit

Y2 +

Yo Y~

kleiner als die L~nge der (0, 0) mit (xl, 0) verbindenden Geod~tischen ist. A2 bedeutet dabei die L~inge des Geradenstfickes x = 0, y ~ 0 in der Metrik ~ 2 - In dieser Weise f~h~ man fort und gelang~ damit zu einer Folge yon Zahlen xo ~ xl ~ x2 ~ "'" und einer ~olge yon Metriken~s ~s .s . . . . . Hierdurch w~rd die x, y-Ebene in Streffen S~ parallel zur x-Achse zerleg~. Jede ~e t r ik J/~+~ geht dabei aus J4~ auf folgende Weise hervor:

Man verbindet in J (~ die Punkte (0, 0) und (Xk, 0) durch eine Geod~tische, deren Maximum an y ~- y~ liege. Der Punkt (x~, 0) ist - - falls ein solcher Punkt existiert -- dabei so gew~ihlt, da$ die L~nge der Geod~tischen gleich 2 A~ (entsprechend der oben eingeffihrten Bezeichnungsweise) ist. Ffir y > y~ ersetzt man dann ind4~ die Funktion G~{y) durch eine neue Funktion G~+~(y) > O, beschr~nkt und ste~ig, und die den Bedingungen genfigt:

Zun~chst liefert die Eckenbedingung an y~ neben

G~ (y~) = G~+~ (YD

auch noch, dal~ die Scharparameter in S~ und S~+~ fibereinstimmen, woraus folgt, dab jede Geod~tische zwischen (0, 0) und (X, 0) mit X > x~ symmetrisch bezfiglich der Geraden x ~ X /2 verl~uft. Ist dann l~ die Ls eines Extremalenstfickes in S~ und ~ die Breite des Streifens Sk in der Metrik ~s so soll ffir Gk+~ (y) weiterhin gelten + r

y~

and Y

y~

Dann sind fiir alle x > x0 die (0, 0) mit (x, 0) verbindenden Geods nicht die Kfirzesten. Da aber die yon zwei verschiedenen Punkten der x-Achse ausgehenden Extremalenscharen nach (3) durch eine Parallelverschiebung ineinander iibergefiihrt werden kSnnen heiBt das, dab fiir je zwei Punkte x' und x" mit Ix" - - x' I ~ xo, die diese verbindenden Geodatischen nicht Kiirzeste sind.

Nun hat man noch folgende F~ille zu betrachten: Nach Konstruktion einer Metrik ~ n gibt es keinen Punkt (xn, 0) mit xn > xn-1, so dab die Lange der Geodatischen zwischen (0, 0) und (X, 0) gleich 2 A . wird. Dann ist die Aufgabe dutch die Metrik ~ n gelSst.

Die Folge der {x~} h~iuft sich im Endlichen; es sei ~ dieser Limes. Angenommen, es strebt y~--> ~ - ~ , so wegen lira E ( y ) = 0 auch die E(y,,)

y--+§ c~

----c~--> 0. Auf Grand der WeierstraB-Erdmannschen Eckenbedingung ist ~ber

Vol. Xu 1954 ~ber eine Riemannsche Geometrie ohne Kfirzeste 391

c~ = c~-1 fiir alle ~ und daher c~ -~ 0 (v = 1, 2 . . . . ). D.h. jedoch, die L~nge der Geod~tischen zwischen (0, 0) und (2, 0) ist gleich der L~nge der Geradenstiicke x ---- 0, y ~ 0 und x = 2, y ~ 0; somit gibt es keine Kiirzesten.

Nun strebe y~ -> ~: die (0, 0) mit (x, 0), wo x ~ 2, verbindenden Geod~tischen liegen in einem beschr~nkten Gebiet der x, y-Ebene und sind in ihren L~ngen gleich- m~Big beschr~nkt; dann ist die Menge dieser Kurven beschr~nkt und es gibt aus der Folge der (0, 0) mit (x~, 0) verbindenden Geod~tisehen eine Teilfolge, die gegen jene Geod~tische strebt, die (0, 0) mi t (2, 0) verbindet und ihre Ls streben gegen die der Grenzgeods [1], S. 70. Werden deren hatbe Ls mit L~ bzw. L bezeich- net, so ist nach Konstrukt ion L~ -- A~ ~ 0. Daher hat auch die Grenzgeod~tisehe die L~nge 2A, wenn A die Ls des Geradenstiickes x ~ 0, y ~ 0 in der Grenzmetrik bedeutet ; dann ist aber das Verfahren fortzusetzen.

Literaturverzeichn~

[1] A. D. ALEXANDROW, Die innere Geometrie der konvexen Fl~chen. Berlin 1955. [2] C. CX~A~H~ODORY, Ges. Math. Schriften V, 345--349. Miinchen 1957 (~ Math. Gaz. 16,

310--311 (1928/29)). [3] G. D~BOUX, Lemons sur la Th~orie g~n~rale des Surfaces. II. Paris 1915.

Eingegangen am 9. 7. 1963

Anschrift des Autors: H. Fieber II. Institut flit Mathematik Techaische Hochschule Wien, 0sterreich