Uber eine Riemannsche Geometrie ohne Kürzeste

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  • 388 ARCa. MATH.

    l~ber eine Riemannsehe Geometrie ohne Kiirzeste

    Yon

    H. FIEBER

    C. CA2ATI]:~ODORY hat ein Beispiel einer Riemannschen Metrik in der Ebene gegeben, in der nicht alle Punkte durch Geodgtische verbindbar sind [2], S. 348. Im folgenden wird nun eine Metrik konstruiert, bei der, obwohl zwei beliebige Plmkte der x-Aehse durch Geodgtische verbindbar sind, es keine Kiirzesten zwischen zwei Punkten gibt, sobald diese Punkte hinreichend welt auseinanderliegen.

    Es sei in der x, y-Ebene eine Metrik d/0 erkl~rt dureh

    (1) ds 2 : E (y )dx 2 27 Go(y)dy 2 ,

    wobei E (y) ~ 0, stetig und eigentlich monoton fallend sei und ffir y __> a (a ~ 0, fest) gelte

    mit gegebenen 0 ~ k < K. t~erner sei Go (y) beschrgnkt, stetig und positiv; schliel3- lich strebe fiir y --> 27 oo die Funktion

    Y

    f d 1) (2) V Y J E---E-~- ~--> 9

    0

    Die Geodgtischen als die Extremalen des Variationsproblems

    Yl

    haben die Gestalt

    (3) fV a0(y) dY x(y) ~-- c E(y) ~/-E(y) - - c 2 27 C , wobei wegen (2) durcl~ (0, 0) und (x, 0) fiir jedes x eine Geod~tische hindurchgeht. Betrachten wit die durch (0, O) hindurchgehende Schar

    Y

    0

    1) Um (2) zu erfiillen, kann man ffir Go(y) etwa fordern: inf Go(y) * 0; oder auch ]~Go(y) :> Mo ~/E(y), wobei Mo > 0 gegeben.

  • Vol. XV, 1964 l~ber eine Riemannsche Geometrie ohne Kiirzeste 389

    und sei c ~ 0, also mit y ~ 0 aueh x ~ 0. Ffir ein hinreiehend kleines xo > 0 gibt es darm eine (0, 0) mit (xo, 0) verbindende Geoditisehe Ko mit y ~ 0, die auch eine Kiirzeste ist und alle Punkte (x, 0) mit x < xo sind ebenfalls dureh Geoditisehe, die zugleie h Kfirzeste sind, mit (0, 0) verbindbar [3], S. 408. Ffir die Geoditische Ko sei c ~ co. Sie besitzt an jener Stelle y = Yo, ffir die E (y) ~ c~ ist, ein Maximum uad verliuft symmetrisch zu der durch dieses hindurchgehenden Parallelen zur y-Achse. Ffir die halbe Linge lo dieser Geoditischen Ko, d. i. yon (0, 0) bis zum Scheitelpunkt (xo/2, yo), ist

    Yo

    f V E (y) Go (y) ~~ (4) lo = j ?oo dy > I V o(y) dy = 40,

    0 0

    wobei 4o die L inge der zwischen (0, 0) und (0, Yo) liegenden Streeke auf der y-Aehse ist. Ersetzt man nun in Jo die Funktion Go (y) ffir a l ley > yo dutch eine ~unktion

    Gi (y) > 0, beschrinkt und stetig mid yon der Besehaffenheit, dal~

    (Sa) f VG (Y) U < - Y~

    und

    (5b)

    Y

    Yo

    so erhilt man eine Metrik ~s yon der Form

    ds 2 = ~ E (y) dx~ t- Go (y) dy~ (Y ~-- Yo), I E(y)dx~ -~ Gi(y)dy ~ (Y > yo)

    und in ~s ist die die Punkte (0, 0) und (xo, 0) verbindende Geoditische l inger als 2 Ai , wenn

    Ai = 4o S (G1 (y) dy, Yo

    d.h. Ai ist die Linge des Geradenstfickes x --~ 0, y ~ 0 in der Metrik ~s Solehe Funktionen G1 (y), die die Bedingungen (5) erffillen, existieren; man wihle etwa

    - - 1 ~-1 mi Yo fiberein.

    Die Menge der X > xo, ffir welehe die Geoditisehen zwisehen (0, 0) und (X, 0) stets l inger sind als 2 Ai, ist often. Es sei xi > xo die kleinste, nieht zu dieser Menge geh5rige Zahl und Ki die (0, 0) mit (xi, O) verbindende Geoditisehe; weiter sei

    yi = max y (x) (> Yo) 0

  • 390 H . FIEBER ARCH. I~ATH.

    das Maximum yon K~. Ersetzt man nun in ~s fiir y > yl die Funktion GI (y) durch eine Funktion G2 (y) mit den zu (5) analogen Bedingungen, so erh~lt man eine neue Metrik dr'2, in der wieder 2 A2 mit

    Y2 +

    Yo Y~

    kleiner als die L~nge der (0, 0) mit (xl, 0) verbindenden Geod~tischen ist. A2 bedeutet dabei die L~inge des Geradenstfickes x = 0, y ~ 0 in der Metrik ~2- In dieser Weise f~h~ man fort und gelang~ damit zu einer Folge yon Zahlen xo ~ xl ~ x2 ~ "'" und einer ~olge yon Metriken~s ~s .s . . . . . Hierdurch w~rd die x, y-Ebene in Streffen S~ parallel zur x-Achse zerleg~. Jede ~etr ik J/~+~ geht dabei aus J4~ auf folgende Weise hervor:

    Man verbindet in J (~ die Punkte (0, 0) und (Xk, 0) durch eine Geod~tische, deren Maximum an y ~- y~ liege. Der Punkt (x~, 0) ist -- falls ein solcher Punkt existiert -- dabei so gew~ihlt, da$ die L~nge der Geod~tischen gleich 2 A~ (entsprechend der oben eingeffihrten Bezeichnungsweise) ist. Ffir y > y~ ersetzt man dann ind4~ die Funktion G~{y) durch eine neue Funktion G~+~(y) > O, beschr~nkt und ste~ig, und die den Bedingungen genfigt:

    Zun~chst liefert die Eckenbedingung an y~ neben

    G~ (y~) = G~+~ (YD

    auch noch, dal~ die Scharparameter in S~ und S~+~ fibereinstimmen, woraus folgt, dab jede Geod~tische zwischen (0, 0) und (X, 0) mit X > x~ symmetrisch bezfiglich der Geraden x ~ X/2 verl~uft. Ist dann l~ die Ls eines Extremalenstfickes in S~ und ~ die Breite des Streifens Sk in der Metrik ~s so soll ffir Gk+~ (y) weiterhin gelten + r

    y~

    and Y

    y~

    Dann sind fiir alle x > x0 die (0, 0) mit (x, 0) verbindenden Geods nicht die Kfirzesten. Da aber die yon zwei verschiedenen Punkten der x-Achse ausgehenden Extremalenscharen nach (3) durch eine Parallelverschiebung ineinander iibergefiihrt werden kSnnen heiBt das, dab fiir je zwei Punkte x' und x" mit Ix" -- x' I ~ xo, die diese verbindenden Geodatischen nicht Kiirzeste sind.

    Nun hat man noch folgende F~ille zu betrachten: Nach Konstruktion einer Metrik ~n gibt es keinen Punkt (xn, 0) mit xn > xn-1, so dab die Lange der Geodatischen zwischen (0, 0) und (X, 0) gleich 2 A . wird. Dann ist die Aufgabe dutch die Metrik ~n gelSst.

    Die Folge der {x~} h~iuft sich im Endlichen; es sei ~ dieser Limes. Angenommen, es strebt y~--> ~-~, so wegen lira E(y)= 0 auch die E(y,,)

    y--+ c~

    ----c~--> 0. Auf Grand der WeierstraB-Erdmannschen Eckenbedingung ist ~ber

  • Vol. Xu 1954 ~ber eine Riemannsche Geometrie ohne Kfirzeste 391

    c~ = c~-1 fiir alle ~ und daher c~ -~ 0 (v = 1, 2 . . . . ). D.h. jedoch, die L~nge der Geod~tischen zwischen (0, 0) und (2, 0) ist gleich der L~nge der Geradenstiicke x ---- 0, y ~ 0 und x = 2, y ~ 0; somit gibt es keine Kiirzesten.

    Nun strebe y~ -> ~: die (0, 0) mit (x, 0), wo x ~ 2, verbindenden Geod~tischen liegen in einem beschr~nkten Gebiet der x, y-Ebene und sind in ihren L~ngen gleich- m~Big beschr~nkt; dann ist die Menge dieser Kurven beschr~nkt und es gibt aus der Folge der (0, 0) mit (x~, 0) verbindenden Geod~tisehen eine Teilfolge, die gegen jene Geod~tische strebt, die (0, 0) mit (2, 0) verbindet und ihre Ls streben gegen die der Grenzgeods [1], S. 70. Werden deren hatbe Ls mit L~ bzw. L bezeich- net, so ist nach Konstruktion L~ -- A~ ~ 0. Daher hat auch die Grenzgeod~tisehe die L~nge 2A, wenn A die Ls des Geradenstiickes x ~ 0, y ~ 0 in der Grenzmetrik bedeutet; dann ist aber das Verfahren fortzusetzen.

    Literaturverzeichn~

    [1] A. D. ALEXANDROW, Die innere Geometrie der konvexen Fl~chen. Berlin 1955. [2] C. CX~A~H~ODORY, Ges. Math. Schriften V, 345--349. Miinchen 1957 (~ Math. Gaz. 16,

    310--311 (1928/29)). [3] G. D~BOUX, Lemons sur la Th~orie g~n~rale des Surfaces. II. Paris 1915.

    Eingegangen am 9. 7. 1963

    Anschrift des Autors: H. Fieber II. Institut flit Mathematik Techaische Hochschule Wien, 0sterreich