Movimiento en un PlanoEl estudio de la Fsica va de lo sencillo a lo complejo y de lo particular a lo general. En este contexto, se analiza el movimiento de un cuerpo que se mueve ya no en un eje (recta), sino en dos ejes mutuamente perpendiculares que forman una superficie. Estos ejes sern ahora nuestro sistema de referencia, al cual tambin se le conoce como:

Sistema de coordenadas cartesiano o coordenadas rectangulares

Localizacin de un punto en el plano cartesianoSe hace a partir del origen del sistema, ya sea:Mediante la pareja de puntos coordenados (x,y)Especificando la distancia, el ngulo y a partir de que eje y hacia donde se mide el ngulo.qy + (m) x + (m)0123412-1-1-2-3-43(4,3)dI cuadranteII cuadranteIII cuadranteIV cuadrante- 2 l l l l l l l l l l l

Como medir DISTANCIAS EN EL PLANO(Teorema de Pitgoras)qy + (m) x + (m)0123412-1-1-2-3-43( 4 , 3 )d- 2 l l l l l l l l l l l(x 2 , y 2)(x 1 , y 1)( 0 , 0 )x 2 - x 1y 2 - y 1

Como medir el ANGULOSe forma un tringulo rectngulo, donde el lado ms largo se denomina hipotenusa y los lados ms cortos catetos.El lado que est junto al ngulo se denomina cateto adyacente El cateto opuesto es el que se encuentra en el lado contrario al ngulo.Se requiere conocer las funciones trigonomtricas

Funciones trigonomtricas

El ngulo se encuentra sacando el inverso de la funcin seleccionada

El sentido se estipula haciendo referencia a los puntos cardinales. El ngulo anterior se expresa en funcin de dichos puntos como:

Lo cual indica que el ngulo se est midiendo hacia el Norte a partir del Este.

Un cuerpo cambia de posicin, si cambia una de las parejas coordenadas (x , y)Eso implica que hay desplazamiento.Este se calcula de la forma acostumbradaPosicin final Posicin inicialComo involucra dos variables (x , y) se utiliza el teorema de Pitgoras para determinar la magnitud del desplazamiento (que en la mayora de las situaciones, no es igual a la distancia recorrida).Vemoslo mediante un ejemplo que involucra dos movimientos sucesivos.CAMBIO DE POSICIN EN EL PLANO

Un cuerpo inicialmente se encuentra en el origen. Recorre 4 m en direccin horizontal en el sentido del eje de las x positivo. Posteriormente se mueve 3 m en direccin vertical en sentido del eje y positivo.Los cambios de posicin se representan grficamente en el plano cartesiano mediante flechas A y B. La longitud de las flechas es proporcional a la distancia que recorre. La punta de la flecha indica el sentido en el cual a ocurrido el movimiento.Ejemplo CAMBIO DE POSICIN EN EL PLANO

Representacin grfica de CAMBIO DE POSICIN EN EL PLANO

El DESPLAZAMIENTO resultante o cambio de posicin se representa mediante la flecha C que va desde la posicin inicial hasta la posicin final.

Tiene las siguientes caractersticas:Magnitud (o longitud): 5Unidad: metrosDireccin: 36.87 0Sentido: al Norte del Este

Todas las cantidades fsicas que cumplan con las caractersticas anteriores, se les denominan VECTORES .Vector DESPLAZAMIENTO

E s c a l a r e sSon todas aquellas cantidades fsicas que para especificarse completamente basta con dar un nmero y su unidad correspondiente. Se manejan mediante las operaciones ordinarias de la aritmtica: suma, resta, multiplicacin y divisin.

Cantidad fsicaUnidadesCantidad fsicaUnidadesTiempo30 sVolumen10 cm3Masa20 kgGravedad9.81 m/s2Distancia, longitud, profundidad, altura.50 mPresin760 mmHgTemperatura300 CDensidad1 Kg/m3Rapidezm/sCarga5x10-6 Coulomb

V E C T O R E SSon todas aquellas cantidades fsicas que para especificarse completamente hay que proporcionar:un nmero (4); una unidad (m, m/s, Newton, Newton / Coulomb); una direccin (horizontal, vertical, inclinada); un sentido (derecha, izquierda, arriba, abajo, eje x positivo, eje x negativo) Se representan grficamente mediante flechas. Se manejan mediante operaciones especiales:Suma y resta vectorialProducto punto o producto escalarProducto cruz o producto vectorial

Cantidades Vectoriales

CantidadMagnitud UnidadDireccinSentidoDesplazamiento5mHorizontalHacia la izquierdaFuerza10Newton300al N del EPeso15NewtonVerticalHacia el centro de la TierraAceleracin9.81m/s2Vertical Hacia el centro de la TierraCampo Elctrico12N/CRadialSaliendoVelocidad11Km/hr600A partir del eje x+ en sentido de las manecillas del relojGraficar los vectores anteriores en el plano cartesiano

Diferencia entre escalares y vectoresPara diferenciar entre escalares y vectores analicemos los siguientes ejemplos:

La distancia entre dos puntos es de 5 metros (es un escalar).

Una persona recorre 5 metros de donde estaba inicialmente.(hay un cambio de posicin o desplazamiento)

5 es el NMERO de metros y ste a su vez es la UNIDAD. Sin embargo no podemos localizar a la persona, puede estar ubicada en cualquier punto de una circunferencia de radio 5 metros, medidos a partir de donde estaba inicialmente. Tenemos que dar su DIRECCIN y SENTIDO, por ejemplo, 300 al S del O

NOTACIN DE VECTORESSe denotan (escriben) mediante letras maysculas o minsculas, a las cuales se les pone encima una flechita para indicar que es un vector. Ejemplo:

Generalmente en libros de textos o notas de clase donde se facilita ms la escritura, se suprime la flechita pero se remarca la letra por ejemplo:A, B, C, D, E, etc. a, b, c, etc.que comnmente son llamadas "negritas" o "bold".

Representacin, magnitud e igualdad de VectoresSe representan mediante flechas. Su magnitud es proporcional a la longitud de la flecha AMagnitud del vector A = valor absoluto del vector AA = |A| = |A| Dos o ms vectores son iguales si tienen la misma magnitud, direccin y sentido, no importa si sus orgenes no coincidan.

Operaciones con VectoresComo se mencion anteriormente, los vectores se manejan mediante operaciones especiales siendo stas:

SUMA VECTORIAL.- Sean A y B dos vectores, se define la suma vectorial como: A + B = Cdonde C es un nuevo vector con su propia magnitud, direccin y sentido.

PRODUCTO ESCALAR O PRODUCTO PUNTO.- Sean A y B dos vectores, se define el producto punto entre los dos vectores como:

A B = |A| |B| cos =AB cos =B A cos = C

donde A B cos = C es un escalar que posee nicamente magnitud y unidad. es el MENOR NGULO que se forma entre los dos vectores. Si .

Operaciones con Vectores

00 < < 900 A B > 0 = 900 A B = 0 900 < < 2700 A B < 0 = 2700 A B = 0 2700 < < 3600 A B > 0

PRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO CRUZSean A y B dos vectores, se define el producto vectorial como:

donde C es un nuevo vector La MAGNITUD del vector C viene dada por:A x B = C|C| = C = | A x B | = | A | | B | sen = AB sen ABDonde AB es el menor ngulo que se forma entre los vectoresLa DIRECCIN del vector C es perpendicular tanto al vector A como al BSu SENTIDO viene dado por la REGLA DE LA MANO DERECHA

Regla de la mano derechaCon los dedos extendidos de la mano derecha y el pulgar perpendicular a ellos, tratar de empujar la punta del primer vector hacia la punta del segundo vector cerrando los dedos y dejando extendido el pulgar, el sentido en el que apunta este pulgar, nos indicar el sentido hacia donde apunta el vector C o producto vectorial entre los dos vectores Si el ngulo entre los dos vectores es de 900, entonces el producto vectorial entre ellos es el VECTOR NULO o Vector cero, ya que Sen 900 = 0Nota: Los vectores A y B forman o estn en un plano, siendo el vector C perpendicular a dicho plano, por ejemplo, es como si los vectores A y B estuviesen en el piso, luego entonces, el vector C estara saliendo o entrando perpendicularmente al piso.

Suma de V e c t o r e sPara sumar dos o ms vectores, existen dos mtodos:Mtodos Grficos Mtodo del paralelogramo (es ideal para dos vectores)Mtodo del polgono ( Para sumar ms de dos vectores)Mtodo Analtico

Mtodo del ParalelogramoConsiste en sumar dos vectores grficamente y se realiza de la siguiente manera:Se unen los orgenes de los dos vectores. A partir de sus puntas o terminaciones se trazan paralelas a cada uno de ellos formando una paralelogramo. La diagonal de dicho paralelogramo es el vector suma, lo cual se ilustra mediante el siguiente ejemplo:

ejemplo:Mtodo del ParalelogramoABABResultante

Mtodo del PolgonoConsiste en unir el origen del segundo vector con la punta del primero. Si son mas de dos vectores, unir el origen del tercer vector con la punta del segundo y as sucesivamente, el vector resultante es el que va desde el origen del primero hasta la punta del ltimo.

ABBResultanteCACDD

Propiedades de la Suma VectorialLey conmutativa de la suma: Al sumar dos o mas vectores se obtiene el mismo resultado, no importa el orden en que se sumen. Del ejemplo anterior: ABCDBACDResultanteResultanteCDAB

Ley asociativa de la suma: Al sumar dos o mas vectores, algunos o todos se pueden asociar para obtener semi-resultantes, las cuales se suman a su vez para obtener el vector resultante. Del ejemplo anterior:

Propiedades de la Suma VectorialABBResultanteCACDDA + DC + B

Multiplicacin de un vector por un escalar Al multiplicar un vector por un escalar, se obtiene un nuevo vector ( B ) que es k veces mayor, k veces menor o bien igual que el vector que le dio origen, todo depende del escalar. Ejemplo:Propiedades de la Suma VectorialFB = 2 Fk = 2k = 1/2W = 1/2 F = F/ 2

Negativo de un vector El negativo de un vector S es aqul que tiene la misma magnitud y direccin que S pero sentido contrario. El negativo de un vector S es aqul que hay que sumarle a S para obtener el vector nulo. O bien el vector multiplicado por un escalar unitario negativo. Ejemplo:Propiedades de la Suma VectorialS- SS + ( - S ) = 0

Resta de VectoresSe define la resta de vectores como:A - B = A + ( - B ) = RPara restar un vector B al vector A, se procede igual que en la suma con la nica salvedad de que se toma el negativo del vector B. Ejemplo ABA + ( - B ) = RA- B

Se define la resta de vectores como:A - B = A + ( - B ) = RPara restar un vector B al vector A, se procede igual que en la suma con la nica salvedad de que se toma el negativo del vector B. Ejemplo Resta de Vectores A B = A + ( - B ) = RA- BB A = - (A - B ) = - R- AB

El mtodo analtico consiste en hablar de vectores con respecto a un sistema de referencia, en el caso del plano, ste es el plano cartesiano M E T O D O A N A L T I C OA0123412-1-2-3-1-2-3-4l l l l ll l ll l l l ll l l l 3 x +y +

Una vez elegido el plano, se definen las componentes Ax y Ay de un vector como las proyecciones o sombras del vector sobre los ejes coordenados, stas se obtienen trazando paralelas a los ejes a partir de la terminacin del vector.Mtodo analtico: componentes rectangularesA0123412-1-2-3-1-2-3-4l l l l ll l ll l l l ll l l l 3 x +y +A xA y

Cuando se proporciona la magnitud del vector y su orientacin mediante el ngulo, las componentes rectangulares se calculan utilizando las funciones trigonomtricas. Se forma un tringulo rectngulo, en donde las componentes vienen siendo los catetos y la hipotenusa la magnitud del vector. Aplicando las funciones trigonomtricas:

Mtodo analtico: clculo de las componentes rectangularesA yA0141-1-1l ll l l 3 x +y +A xqcateto adyacentecateto opuestohipotenusadespejando la componente vertical:despejando la componente horizontal:A x= |A| cos q A y = |A| sen q

Mtodo analtico: clculo de la magnitud y ngulo de un vectorCuando se proporcionan las componentes rectangulares (A x , A y ) de un vector, se puede conocer:Su magnitud aplicando el teorema de PitgorasSu orientacin mediante el inverso de la funcin tangente del ngulo. |A| = (A x )2 + ( A y )2 q = tan -1A x

Cuando se proporcionan las componentes rectangulares (A x , A y ) de un vector, ste puede estar en:

I cuadrante si: Ax > 0 y Ay > 0 sentido al N del E II cuadrante si: Ax < 0 y Ay > 0 sentido al N del O III cuadrante si: Ax < 0 y Ay < 0 sentido al S del OIV cuadrante si: Ax > 0 y Ay < 0 sentido al S del E Mtodo analtico: ubicacin y orientacin de un vectorx +Aplicando la igualdad de vectores

Mtodo analtico: problema de la tangentesi: | Ax | > | Ay | mas orientado al eje X si: | Ay | > | Ax | mas orientado al eje Y A y > 0A04-1-1l l l 2 x +y +A x > 0qA x y A y > 0Ox +A y < 0Ay +A x < 0qNSEA x y A y < 0En ambos casos la funcin tan es positiva. Se recomienda graficarlos para visualizarlos o, analizar signospara ubicarlos en el cuadrante respectivo. Su orientacin serde acuerdo a:-4-2

A04-1-1l l l 2 x +y +qMtodo analtico: problema del ngulo y los ejes

El ngulo puede ser dado respecto al eje x o con respecto al eje y. Hay que tener cuidado al aplicar las funciones trigonomtricas para calcular las componentes, ya que para la misma funcin, las componentes CAMBIAN.A04-1-1l l l 2 x +y +qhip.cat. op.sen q == A y = |A| sen q A x = |A| cos q hip.cat. op.sen q == A x|A|A y = |A| cos q A x = |A| sen q

Suma de vectores: mtodo analticoABRqRqBqAA xB xR xA yB yR yx +y +| R |= ( Rx)2 + (Ry)2Donde:Rx= Ax + BxRy= Ay + ByAdems: Ax = | A | cos AAy = | A | sen ABx = | B | cos BBy = | B | sen B

Ejercicio: suma de vectoresLa magnitud del vector A es de 200 unidades y forma una ngulo de 300 con respecto a la horizontal; la magnitud del vector B es de 300 unidades y forma una ngulo de 1350 con respecto a la horizontal; la magnitud del vector C es de 150 unidades y forma un ngulo de 2350 con respecto a la horizontal. Todos los ngulos son medidos en sentido contrario a las manecillas del reloj.a) Utilizando el mtodo grfico, encuentre:i ) A + B + Cii ) B + A + Ciii ) A - B + Civ ) C - B Ab) Encuentre los puntos del i ) al iv ) del inciso anterior utilizando el mtodo analtico.

Representacin de vectores: vectores unitariosPara representar un vector en forma vectorial, lo analizaremos mediante los siguientes ejemplos: A = |A| Simbologa incorrecta, ya que un vector no puede ser igual a un escalar como lo es la magnitud de un vector.A = A x + A ySimbologa incorrecta, ya que un vector no puede ser igual a la suma de dos escalares como lo son las componentes rectangulares de un vector.|A| = A x + A ySimbologa incorrecta, ya que la magnitud de un vector se determina mediante el teorema de Pitgoras.Como se puede apreciar, an no contamos con una terminologa para describir a un vector en notacin vectorial. Para suplir esta falta de informacin, se definen los vectores unitarios , cuya magnitud como su propio nombre lo indica es la unidad y su direccin es a lo largo de los ejes coordenados, su sentido saliendo del origen. Vemoslos en el plano.

Vectores unitariosPara indicar que se trata de un vector unitario, encima de la letra se le pone un gorrito.La letra se reserva para el vector unitario en la direccin del eje de las x positivoLa letra para el vector unitario en la direccin del eje de las y positivo.Tambin pueden ser escritos en negritas.Se le conocen tambin como vectores direccionales = i = j | | = | | = 1

Un vector se representa como:

A = Ax i + Ay j

Suma de Vectores: mtodo de vectores unitariosSumar los siguientes vectores:A = 4 i + 5 jB = 6 i + 2 jSolucinC = A + B = (4 i + 5 j ) + (6 i + 2 j ) = 4 i + 6 i + 5 j + 2 j = (4 + 6) i + (5 + 2) j =10 i + 7 j ms sencilloA = 4 i + 5 j +B = 6 i + 2 jR = 10 i + 7 jR = |R| = 100+49 = 149 = 12.2 u = tan-1 (7/10) = 350

Como Rx y Ry son positivos, el vector resultante se encuentra en el I cuadrante; como Rx > Ry, mas cargado hacia el eje x. Es decir, al N del E510510x +y +Dibujar los vectores y sumarlos

Producto punto o producto escalarEl producto punto o producto escalar se defini como:A B = |A| |B| cos = A B cos En funcin de los vectores unitariosA B = (A x i + A y j) (B x i + B y j)Desarrollando:AB = A x B x (ii) + A x B y (ij) + A y B x (ji) + A y B y (jj) Aplicando la definicini i = (1) (1) cos 00 = 1i j = (1) (1) cos 900 = 0j j = (1) (1) cos 00 = 1j i = (1) (1) cos 900 = 0

Producto punto Sustituyendo los productos puntoA B = A x B x + A y B y Igualando ambas definiciones|A| |B| cos = A x B x + A y B y Despejando el ngulo

= cos-1

Ejemplo: producto puntoEncontrar el producto punto o producto escalar de los siguientes vectores:A = 4 i + 5 janlisis: I cuadrante a 51.340 al N del E; magnitud 6.4B = 6 i + 2 janlisis: I cuadrante a 17.430 al N del E; magnitud 6.3A B = A x B x + A y B y= 24 + 10= 34 El menor ngulo que forman entre si los dos vectores es:

= cos-1

= cos-1

= 32.90

3416+25 36+4

Producto cruz o producto vectorialEl producto cruz o producto vectorial se defini como:A x B = |A| |B| sen = A B sen En funcin de los vectores unitariosA x B = (A x i + A y j) x (B x i + B y j)Desarrollando:AxB = A x B x (ixi) + A x B y (ixj) + A y B x (jxi) + A y B y (jxj) Aplicando la definicini x i = (1) (1) sen 00 = 0i x j = (1) (1) sen 900 = k (aplicando la regla de la mano derecha)j x j = (1) (1) sen 00 = 0j x i = (1) (1) sen 900 = -k (aplicando la regla de la mano derecha)

Producto cruz Sustituyendo los productos cruz de vectores unitariosA x B = A x B y (k) + A y B x (-k)A x B = (A x B y - A y B x ) kUn nuevo vector cuya:Magnitud es: A x B y - A y B x Direccin: perpendicular al plano formado por A y B. Sentido:Sale del plano si A x B y - A y B x > 0Entra al plano si A x B y - A y B x > 0

Producto cruz en tres dimensionesEl producto cruz o producto vectorial de vectores unitariosA x B = (A x i + A y j + A z k) x (B x i + B y j + B z k)Desarrollando:A x B = A x B x (i x i) + A x B y (i x j) + A x B z (i x k) +A y B x (j x i) + A y B y (j x j) + A y B z (j x k) + A z B x (k x i) + A z B y (k x j) + A z B z (k x k) Aplicando la definicini x i = (1) (1) sen 00 = 0i x j = (1) (1) sen 900 = k i x k = (1) (1) sen 900 = - jj x i = (1) (1) sen 00 = - kj x j = (1) (1) sen 900 = 0 j x k = (1) (1) sen 900 = ik x i = (1) (1) sen 00 = jk x j = (1) (1) sen 900 = - i k x k = (1) (1) sen 900 = 0

Producto cruz SustituyendoA x B = AxBy (k) + AxBz (-j) +AyBx (-k) + AyBz (i) + AzBx (j) + AzBy (-i) ReagrupandoA x B = (AyBz - AzBy) i + (AzBx - AxBz) j + (AxBy - AyBx) k

Producto cruz: determinantesA x B = i jkAxAyAzBxByBz= +(Ay Bz - By Az ) i - (Ax Bz - Bx Az ) j + (Ax By Bx Ay )k