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Universidad Técnica Particular de Loja.

Electrónica y Telecomunicaciones.

MMMaaannnuuuaaalll DDDiiidddáááccctttiiicccooo dddeee MMMaaattthhheeemmmaaatttiiicccaaa 5 55...222

Eduardo A. Suárez R.

Tutora: Ing. Patricia Ludeña.

Loja - Ecuador

Manual de Mathematica 5.2 2

Índice.

Índice Tema 1. Instalación de Mathematica 5.2

1.2 Herramientas y ayuda. 1.2.1 Ayuda en Mathematica 5.2 (Help browser).

1.3 Sintaxis y notación. 1.3.1 Input y output

1.3.1.a Caracteres fundamentales en Mathematica 5.2. 1.3.2 Declaración de variables. 1.3.3 Librerías.

1.3.3.a Llamadas de las librerías (packages). 1.3.3.b Contenidos de las librerías.

1.3.4 Opciones para gráficos. 1.3.4.a Axes y axes label. 1.3.4.b Colores en gráficas.

1.4 Operaciones básicas. 1.4.1 Resolución de ecuaciones. 1.4.2 encontrar puntos de intersección entre gráficas y funciones. 1.4.3 Dibujar una o varias funciones.

1.4.3.a Gráfica de una o varias funciones. 1.4.3.b Gráfica de ecuaciones implícitas. 1.4.3.c Gráfica de inecuaciones.

Tema 2. Nociones básicas de cálculo. 2.1 Límites. 2.2 Diferenciación.

2.2.1 Derivación parcial. 2.3 Integración. 2.4 Sumatorias y notación sigma.

Tema 3. Curvas planas y ecuaciones paramétricas. 3.1 Sintaxis y método de resolución. 3.2 Construcción de tablas de ecuaciones paramétricas. 3.3 Gráficas de ecuaciones paramétricas.

3.4 Ecuaciones polares Tema 4: Vectores.

4.1 Puntos y rectas en el plano y en tres dimensiones. 4.2 Producto escalar y producto vectorial.

Tema 5: Geometría del espacio 5.1 Rectas y planos en el espacio. 5.2 Superficies en el espacio

5.2.1 Superficies cuádricas. 5.2.2 Superficies de revolución 5.2.3 Sombras de superficies en 3D.

5.3 Gráfica con coordenadas polares. 5.3.1 Conversión de coordenadas. 5.3.2 Gráficas con coordenadas polares. 5.4 Gráficas con coordenadas esféricas.

Tema 6: Análisis vectorial. 6.1 Gráficas de campos vectoriales. 6.2 Gráficas de campos vectoriales en tres dimensiones. 6.3 Gráficas de campos vectoriales utilizando el cálculo vectorial.


TEMA 1. INSTALACIÓN DE MATHEMATICA 5.2

El programa de Matemática 5.2 se puede instalar ya sea a través de un cd o con una memory flash cuyo contenido sea mayor a 160 MB y contenga dicho programa. En esta guía obtendrá paso a paso las indicaciones a seguir. 1. Abrimos la carpeta de Mathematica que se encuentra en el cd de instalación o en

cualquier otro dispositivo de almacenamiento masivo superior a 160 MB, en el cual encontraremos el archivo de instalación SETUP (hacemos doble clic sobre el ícono como se muestra en la ilustración 1.1)

Ilustración 1.1 Icono de instalación de Mathematica 5.2

2. Aparecerá de inmediato la ilustración 1.2 que le indica al usuario que el programa

se está instalando correctamente en su computador.


Ilustración 1.2 Ventana de proceso de configuración del instalador

3. Aparecerá un su pantalla una ventana para determinar el tipo de instalación de Mathematica en su computador. El que le recomendamos es el FULL, para obtener todos los beneficios del programa. Cliqueamos en el ícono INSTALL (ver la ilustración 1.3).

Ilustración 1.3 Ventana de aceptación de instalación de Mathematica.

Ilustración 1.4 Ventana de proceso de instalación


4. Una vez terminado el proceso de instalación registramos la información de la

licencia que debe constar en el mismo dispositivo en el cual el usuario haya obtenido el programa. Hacemos clic en FINISH como indica la ilustración 1.5.

Ilustración 1.5 Ventana de entrada de licencia de Mathematica.


• Al ingresar al programa le aparecerá una ventana de aviso informándole que el Wolfram Notebook Inderex no está instalado y que es necesario que el usuario lo haga manualmente cada vez que ingrese al Mathematica. Aquí los pasos a seguir.

1. Presione YES en la ventana de aviso antes mencionada. (Ilustración 1.6).

Ilustración 1.6 Ventana de aviso del Wolfram Notebook Inderex

2. Cliqueamos en NEXT en las tres ventanas siguientes. (Ilustración 1.7, 1.8 y 1.9),

que son de bienvenida, un programa de mantenimiento y de instalación respectivamente.

Ilustración 1.7 Ventana de bienvenida a la instalación del Wolfram Notebook Inderex


Ilustración 1.8 Ventana del mantenimiento del programa.

Ilustración 1.9 Ventana de instalación del programa Wolfram Notebook Inderex

3. Finalmente, presionamos en FINISH como se observa en la ilustración 1.10


Ilustración 1.10 Ventana de culminación de la instalación Luego de este paso usted tendrá acceso a todos los beneficios del Mathematica 5.2 con todas sus ventajas y aplicaciones. 1.2 HERRAMIENTAS Y AYUDA

Luego de los pasos anteriores aparecerá en su pantalla la ventana de Mathematica 5.2 con el cual trabajaremos en este curso como se observa en la figura 1.2.a

Figura 1.2a Ventana de Mathematica 5.2

Lo primero que el usuario debe hacer es obtener las paletas que le permitirán realizar todas las aplicaciones que este programa ofrece. Las paletas con mayor uso son: Basic Input, Basic Calculations y Algebraic Manipulation, en las cuales encontrará íconos y funciones que le servirán como herramientas para la elaboración de sus proyectos. En la figura 1.2.b le daremos la ubicación de estas paletas y sus aplicaciones en la figura 1.2.c


Figura 1.2.b Ubicación de las principales paletas de ayuda

Figura 1.2.c Aplicaciones de las paletas de ayuda


1.2.1 Ayuda en Mathematica 5.2 (help browser) Este programa brinda ayuda al usuario para que mediante ejemplos ya elaborados sirvan de guía al programador en las distintas áreas. El usuario deberá ingresar el nombre del tema en el buscador y el programa se encargará de dar los posibles temas de ayuda con sus respectivos ejemplos. En las ilustraciones 1.2.1a y 1.2.1b se observa la ubicación del Help Browser (Ayuda) y un ejemplo práctico

Figura 1.2.1a Help Browser

Figura 1.2.1b Ejemplo elaborado de Mathematica 5.2


Aquí algunos ejemplos que podemos encontrar en el Help Browser.

Figura 1.2.1c Ejemplo de dodecaedro Figura 1.2.1d Gráfica de una inecuación

Figura 1.2.1e Gráfica en 3D de una integral elíptica


Existen objetos y animaciones mucho más interesantes que el usuario puede navegar y observar en el Mathematica 5.2 aquí alguno de sus ejemplos:

Figura 1.2.1f Imagen de Beethoven generado en Matemática 5.2

Figura 1.2.1h Gráfica de la superficie de Riemman Figura 1.2.1g Botella de Klein


1.3 SINTAXIS Y NOTACIÓN. En el programa Matemática 5.2 se pueden distinguir dos grandes partes. Una de ellas, llamada núcleo (Kernel), es la encargada de ejecutar todos los comandos y realizar los cálculos necesarios y la otra parte es la interfaz del usuario (Front - End). La interacción entre estas dos partes la realiza el usuario mediante la pulsación simultánea de la teclas Shift+Enter o el Intro que se encuentra en el bloque numérico.

1.3.1 Input y output Las líneas de código que el estudiante ingresa se nominan input, y la respuesta que el programa devuelve son output que se detallarán con el mismo número, de esta manera con el signo (%) podemos hacer referencia del último output (ver figura 1.3.1a), dos signos (%%) del penúltimo output, y así sucesivamente; o con la notación (%n) en donde n es el número del output.

Figura 1.3.1a Ejemplo de desarrollo y

Cuando se pulsa solo el Enter, no se ejecuta solo se cambia de línea para que el estudiante ingrese otro input, de manera que Mathematica ejecuta todos las entradas que se han dado antes de pulsar Shift+Enter o Enter en el bloq numérico (Ver Figura 1.3.1b).

Figura 1.3.1b Ejemplo con gráfica y tabla


1.3.1.a CARACTERES FUNDAMENTALES EN MATHEMATICA 5.2 Mathematica 5.2 distingue los caracteres escritos con mayúsculas y minúsculas, por ejemplo todas las funciones, opciones, variables y constantes incorporadas al programa empiezan necesariamente con mayúscula. Un espacio entre dos variables se interpreta como un signo de multiplicación. Por esto, nunca debemos dejar un espacio entre caracteres cuando demos un nombre a una constante, variable o función. Los paréntesis, corchetes y llaves tienen funciones distintas en Mathematica. Los paréntesis se utilizan para agrupar e indican prioridad en las operaciones a efectuar. Los corchetes son exclusivos de las funciones, delimitan el argumento de las mismas, y además se las utiliza en las funciones trigonométricas (Cos[2x]); por último, las llaves se utilizan para definir listas de elementos (vectores y matrices, por ejemplo). Figura 1.3.1c Sintaxis para la elaboración de un gráfico En el ejemplo de la figura 1.3.1c vemos que los corchetes son utilizados para la función de Plot y su delimitación; y obviamente para las funciones seno y coseno; y las llaves para dar el dominio de la variable x. En la tabla 1.1 muestra las funciones más usadas en nuestro manual con su sintaxis y notación.

Notación de Operaciones Suma x+y Resta x-y Producto x*y o bien x y (un espacio) Cociente x/y Potenciación x^y Valor absoluto de x Abs[x] Raíz cuadrada de x Sqrt[x] Parte entera de x Floor[x] Factorial de x x! o Factorial[x] Número aleatorio real entre 0 y 1 Random[] Máximo y mínimo de una lista de valores Max[x1, x2,…], Min[x1, x2,…] Descomposición en factores primos de x FactorInteger[x]

Tabla 1.1 Notación de operaciones matemáticas básicas


Tabla 1.2 Notación de funciones básicas

Notación de Funciones ex E^x o bien Exp[x] ln(x) Log[x] loga(x) Log[a,x] sen(x) Sin[x] cos(x) Cos[x] tg(x) Tan[x] cotg(x) Cot[x] sec(x) Sec[x] cosec(x) Csc[x] arcsen(x) ArcSin[x] sh(x) Sinh[x] arcsh(x) ArcSinh[x]

Como vimos en el capítulo anterior para las funciones de las tabla 1.2 podemos utilizar las paletas BasicCalculations/ Trigonometric and Exponential Functions.

Otros significados N[x] Expresa el valor numérico de x

Expand[x] Forma expandida (efectúa sumas, productos, potencias…).

Factor[x] Factoriza x (escribe x como producto de factores mínimos).

Together[x] Escribe todos los términos de x con un denominador común.

Apart[x] Separa x en términos con denominadores lo más simples posible.

Cancel[x] Cancela factores comunes que posean numerador y denominador.

Simplify[x] Simplifica x siguiendo reglas algebraicas estándar.

FullSimplify[x] Simplifica x usando reglas algebraicas más potentes.

TrigExpand[x] Expande expresiones trigonométricas en suma de términos.

TrigFactor[x] Factoriza expresiones trigonométricas en producto de términos.

Tabla 1.3 Notación para otras aplicaciones

En el ejemplo de la figura 1.3.1d observamos la notación y la sintaxis para la elaboración de una gráfica y como obtener los valores de la misma. En el intervalo del dominio aparece un cuarto elemento, el mismo que nos indica la variación de x de 0 a 2π en pasos de π/4. Hemos hecho uso de las herramientas mostradas en la tablas superiores para encontrar los valores máximos y mínimos de una gráfica que a menudo son muy útiles para el estudio en Análisis Vectorial, de esta manera podemos obtener cualquier valor de la gráfica dado su punto.


Figura 1.3.1d Ejemplo para gráficas, tablas y datos máximos y mínimos 1.3.2 Declaración de variables Muy a menudo se necesita hacer cálculos de algunas variables cuyos procesos son los mismos, por ejemplo obtener las gráficas de algunas funciones, convertir puntos de coordenadas de un sistema a otro, encontrar las rectas tangentes de una función, etc. Para estos procesos es recomendable hacer una declaración de variables para obviar procesos repetitivos y tediosos. En el ejemplo 1.3.2a observamos las aplicaciones de esta herramienta.

Figura 1.3.2a Gráficas generadas con declaración de variables


Ahora probemos con otras variables para observar que el mismo algoritmo nos sirve para cualquier función. (Ver figura 1.3.2b)

Figura 1.3.2.b Gráfica de otras funciones con el mismo esquema

1.3.3 Librerías El programa Mathematica 5.2 posee librerías que permiten al estudiante desarrollar sus algoritmos, los mismos que son llamados o requeridos al inicio de cualquier tarea que el estudiante necesite ejecutar en Mathematica 5.2. Como el desarrollo del presente manual se basa en el cronograma de la asignatura de Análisis Vectorial, por lo general solicitaremos las librerías para las gráficas de cónicas, ecuaciones paramétricas, gráficas polares, gráficas en 3D, superficies en el espacio, transformaciones de coordenadas en los 3 sistemas: rectangulares, cilíndricas o esféricas, etc. Para los distintos ejemplos necesitaremos uno o más librerías que permitirán dar resultados acorde a los procesos matemáticos realizados en clase. 1.3.3.a LLAMADAS DE LAS LIBRERÍAS (PACKAGES). Se hacen las respectivas llamadas a las librerías según las aplicaciones que deseemos hacer. Estas llamadas se realizan antes de ejecutar los algoritmos sino Mathematica los interpretará como errores. En las figuras 1.3.3a y 1.3.3b representamos el mismo ejemplo: el primero cuando no se ha realizado la respectiva llamada a la librería y el segundo cuando el programa nos presenta un output correcto


Figura 1.3.3a Error por la falta de una librería que reconozca el input solicitado

Para que el programa reconozca el input, necesariamente debemos llamar a su respectiva librería la cual pueda darnos la respuesta solicitada. El input 17 es la llamada al package: ContourPlot3D el cual realizará los cálculos necesarios y nos dará el output que deseamos.

Figura 1.3.3b Gráfica solicitada con la librería ContourPlot3D

1.3.3.b CONTENIDOS DE LAS LIBRERÍAS. Cada librería contiene un sinnúmero de aplicaciones y de subtemas que el estudiante puede hacer uso para las aplicaciones de los distintos temas que se desarrollarán en este manual y de una manera sencilla se puede conocer todos sus contenidos.


Primero se solicita la librería que se desea conocer y luego se realiza una llamada a su contenido como se muestra en la figura 1.3.3c.

Figura 1.3.3c Contenido de cualquier librería solicitada

De esta manera podemos buscar en la ayuda (Help Browser) cualquier tema que nos interese, conocer su sintaxis y los beneficios que nos pueda brindar en el desarrollo de nuestro algoritmo. Por ejemplo, queremos conocer acerca de la sintaxis y la notación de algunos subtemas que necesitemos sobre Análisis Vectorial. Procedemos a llamar a su librería: <<Calculus`VectorAnalysis` y obtener los contenidos de la misma. (Ver figura 1.3.3d)

Figura 1.3.3d Contenidos de la librería sobre cálculo vectorial

En este manual le proporcionaremos de todas las librerías para que pueda desarrollar sus algoritmos y compruebe lo aprendido en las aulas. En la tabla 1.4 daremos algunos nombres de las librerías para las distintas funciones, de esta manera encaminamos al estudiante para que, con las herramientas dadas, adquiera la información necesaria.


Librería Aplicaciones

<<Graphics`ImplicitPlot`

Esta librería le permitirá generar gráficas de ecuaciones implícitas que estén presentadas de forma canónica o en forma general como soluciones de ecuaciones Por ejemplo: circunferencias, parábolas, elipses, etc.

<<Graphics`ParametricPlot` Esta librería nos permitirá obtener gráficas de curvas planas y ecuaciones paramétricas

<<Graphics`Graphics` Dentro de esta librería se encuentra el subtema de gráficas polares importante en algunos capítulos de Análisis Vectorial

<<Calculus`VectorAnalysis` Esta librería nos ayudará a convertir coordenadas, sean estas: coordenadas rectangulares, cilíndricas o esféricas a cualquier sistema antes mencionado.

<<Graphics`SurfaceOfRevolution`

Permite al estudiante obtener una gráfica en tres dimensiones cuando a una gráfica 2D se le realiza girar en un eje o sobre un punto generando una superficie de revolución.

<<Graphics`ContourPlot` Genera una gráfica en dos dimensiones que representa mapas de contorno producido por una ecuación en cualquier sistema

<<Graphics`ContourPlot3D`

Genera una gráfica de tres dimensiones de una ecuación en el sistema rectangular igualada a cero lo que nos permite obtener cónicas cuyos colores dan al estudiante una perspectiva de profundidad y altura.

<<Graphics`ParametricPlot3D` Dentro de esta librería se encuentran los temas de gráficas en tres dimensiones de los sistemas esféricos y cilíndricos

<< Graphics`FilledPlot`

Cuando se requiera obtener las áreas comprendidas entre una curva y una línea delimitante ya sea ésta el eje de coordenadas u otra curva.

<<Graphics`InequalityGraphics` Esta librería nos permitirá graficar todo tipo de inecuaciones y conocer el rango que comprenden sus desigualdades.

<<Graphics`PlotField` Nos permitirá obtener gráfica de campos vectoriales en dos dimensiones (2D), tema a tratarse en el capítulo de análisis vectorial.

<<Graphics`PlotField3D`

Esta librería permitirá al estudiante obtener gráficas de campos vectoriales en tres dimensiones tal como está expuesto en el tema de análisis vectorial.

<<Graphics`Graphics3D` Esta librería nos ayudará a obtener todo con respecto a trazas en gráficas en tres dimensiones con gráficas en los distintos planos xy, xz, yz

Tabla 1.4 Aplicaciones para Análisis Vectorial utilizando su respectiva librería


1.3.4 Opciones para gráficos. La presentación de una gráfica es importante para que el estudiante visualice de mejor manera todo lo aprendido en clases. Es por esto que en este manual se dotará de las mejores herramientas dejando abierto un abanico de opciones para que usted las modifique según sean las necesidades de plot. 1.3.4.a AXES Y AXES LABEL. Los axes son líneas, ya sean en dos o tres dimensiones, conocidas como ejes de coordenadas, que poseen una numeración acorde al rango que el estudiante necesite para cada ejercicio para que la gráfica logre tomar forma. Algunas librerías, dentro de sus parámetros predeterminados, presentan la(s) gráfica(s) con sus ejes de coordenadas pero otras no (fig 1.3.4a), por lo cual es necesario que el estudiante ingrese la sintaxis para obtenerlos.

Figura 1.3.4a Gráfica en 3D sin numeración ni nomenclatura de coordenadas

En distintas situaciones se requiere que cada eje de coordenada posea una nomenclatura característica de tal manera que en la gráfica aparezcan visibles. En el siguiente ejemplo, con la sintaxis correcta, obtendremos la numeración y la nomenclatura deseada (fig. 1.3.4b)


Figura 1.3.4b Ejes con numeración y nomenclatura

1.3.4.b COLORES EN GRÁFICAS. Cuando se necesita una mejor visualización de algunas gráficas se emplean colores ya sean en 2D o 3D teniendo como aplicación encontrar puntos de intersección, sombras y contornos de superficies o simplemente estética de las gráficas.(Fig 1.3.4c) Figura 1.3.4c Gráfica de varias figuras con colores distintos De la misma manera podemos hacer esto con gráficas en 3D. En el siguiente ejemplo veremos como se presenta una gráfica normalmente (fig 1.3.4d) y luego modificaremos


los colores de la misma y veremos cual es su efecto. (fig 1.3.4e)

Figura 1.3.4d Gráfica presentada con los parámetros normales

Figura 1.3.4e Gráfica con distintos tonos para una mejor visualización


1.4 OPERACIONES BÁSICAS.

Luego de tener las herramientas básicas y conocer la sintaxis en que se maneja en Mathematica 5.2, procederemos a realizar las operaciones básicas introductorias al cálculo, gráficas, y en especial al análisis vectorial. Con respecto al cálculo encontramos: • Resolución de ecuaciones. • Encontrar puntos de intersección entre gráficas y funciones. • Dibujar una o varias funciones. • Realizar operaciones con matrices.

1.4.1 Resolución de ecuaciones. Mathematica 5.2 posee una notación específica que nos permite encontrar los ceros o raíces de una función. Y posee la siguiente sintaxis: 1. Se escribe Solve[ ], función especializada en resolver ecuaciones. 2. Se iguala la(s) ecuación(es) dependiendo el problema:

a. Una ecuación igualada a un escalar Solve[f (x)==k] b. Una ecuación igualada a otra ecuación Solve[f (x)==g(x)] c. Operaciones con ecuaciones Solve[ f (x)+g(x)-kh(x)==ki(x) ]

3. Por último se denota la variable de evaluación:

Solve[f(x)==g(x),x]

En los siguientes ejemplos (Fig 1.4.1a, Fig 1.4.1b y Fig 1.4.1c) veremos su sintaxis.

Figura 1.4.1a Ecuación igualada a cero


Figura 1.4.1b Ecuación igualada a otra ecuación

Figura 1.4.1c Operaciones con ecuaciones

1.4.2 Encontrar puntos de intersección entre gráficas y funciones. Con la herramienta anterior podemos encontrar los puntos de intersección de dos gráficas al igualar sus ecuaciones respectivas, pero necesitamos los pares ordenados que nos determinen el punto exacto de intersección. Para estos casos utilizamos la herramienta ReplaceAll[ ], el cual reemplaza los valores obtenidos en la ecuación original. 2. Se escribe ReplaceAll[ ]. 3. Dentro de esta función se coloca, primero la ecuación en la cual se va a reemplazar

los valores y luego los valores obtenidos.

ReplaceAl l [ f (x) ,x →a] En la figura 1.4.2a observamos las gráficas de dos ecuaciones y sus puntos de intersección comprobados con los valores obtenidos.


Figura 1.4.2a Gráficas con sus puntos de intersección

1.4.3 Dibujar una o varias funciones. En los temas anteriores para la demostración de algunas herramientas se han realizado algunas gráficas, pero aún no se ha dado su sintaxis precisa para la elaboración de gráficas. Dentro de los temas que veremos a futuro encontraremos varios tipos de gráficas ya sean en dos o tres dimensiones. Por ahora veremos la sintaxis básica y los tipos de gráficas que se pueden realizar: 1. Gráfica de una o varias funciones. 2. Gráfica de ecuaciones implícitas. 3. Gráfica de inecuaciones.


1.4.3.a GRÁFICA DE UNA O VARIAS FUNCIONES. Utilizando todas las opciones que Mathematica 5.2 nos puede brindar podemos crear gráficas con un estilo distinto. La sintaxis para graficar una función es:

• Se escribe la función Plot[ ], destinada para la elaboración de gráficas. • Se coloca la(s) función(es) entre paréntesis: Plot[{ f (x) ,g(x) ,h(x)…..} ] • Por último se escribe el dominio en la cual la(s) gráfica(s) se va a desarrollar:

Plot[{ f (x) ,g(x) ,h(x) ,….} ,{x ,xmin,xmax}]

La figura 1.4.3a muestra las gráficas y la mejor visualización con algunas opciones.

Figura 1.4.3a Gráfica de varias funciones

1.4.3.b GRÁFICA DE ECUACIONES IMPLÍCITAS. Gráficas como un círculo, una elipse, o una hipérbola necesitan una especial notación. En este caso se requiere una librería especializada y una sintaxis distinta que las gráficas anteriores. 1. Se hace el llamado a la librería < < G r a p h i c s ` I m p l i c i t P l o t ` 2. Se escribe la función para ecuaciones implícitas I m p l i c i t P l o t [ ] 3. Se escribe la ecuación completa, eso sí con un doble igual para distinguir de una


declaración de variables. I m p l i c i t P l o t [ e q n ] 4. Por último se le asigna el dominio en donde se va a desarrollar la gráfica.

Impl i c i tP lo t [ eqn , {x ,xmin ,xmax} ] Aquí algunos ejemplos de gráficas de ecuaciones implícitas muy utilizadas en el presente curso (figura 1.4.3b).

Figura 1.4.3b Ejemplos de ecuaciones implícitas o cónicas


Nota: Cuando se trabaje con algunas gráficas que requieran una misma librería, no es necesario volver a escribir la librería para cada ejercicio, basta con hacer el llamado al comienzo de la sesión de trabajo. 1.4.3.c GRÁFICA DE INECUACIONES. Mathematica 5.2 posee una librería especializada en graficar inecuaciones tal como lo habíamos expuesto en la tabla 1.3. Su sintaxis es la siguiente: 1. Se hace el llamado a la librería < < G r a p h i c s ` I n e q u a l i t y G r a p h i c s ` 2. Se escribe la función para inecuaciones I n e q u e l i t y P l o t [ ] 3. Se escribe la inecuación completa, utilizando los signos para inecuaciones ubicados

en la paleta BasicInput. I n e q u a l i t y P l o t [ i n e q s ] 4. Por último se le asigna el dominio en donde se va a desarrollar la gráfica tanto en x

como en y, con sus respectivos límites máximos y mínimos. Inequal i tyPlot[ ineqs ,{x ,min,max},{y ,ymin,ymax}]

El siguiente ejemplo nos ilustrará mejor de cómo realizar su sintaxis, la parte sombreada es la solución de la inecuación (Figura 1.4.3c).

Figura 1.4.3c Ejemplo ilustrativo para inecuaciones


TEMA 2: NOCIONES BÁSICAS DE CÁLCULO.

Para obtener las herramientas necesarias en Análisis Vectorial, debemos dar un espacio muy importante al estudio del cálculo y sus funciones principales en temas como límites, diferenciales, derivadas, notación sigma ,sumas de Riemann, integrales, etc. Conociendo la importancia del cálculo en áreas como matemática, física, química, ingeniería y muchas otras, Mathematica 5.2 pone a disposición su galería de herramientas útiles, cuya sintaxis y notación son de fácil uso. 2.1. LÍMITES. Se puede encontrar los límites de cualquier función, ya sea de una o más variables, o referente a los límites por la derecha o por la izquierda. Su sintaxis es la siguiente:

1. Se escribe la función: Limit[ ]. 2. Se coloca a continuación la función. Limit[f(x),] 3. Por último se define la variable y su tendencia. Cuando se requiera el límite por

la izquierda se coloca la expresión Direction →1, y para el límite por la derecha: Direction → -1. Así:

Limit[exp,x→a, Direction → 1] Aquí algunos ejemplos en la figura 2.1a para ver su sintaxis y los resultados que recibimos.

Figura 2.1a Límites y su representación gráfica.


En el ejemplo 2.1a podemos observar la representación gráfica de los límites, afirmando la respuesta que Mathematica 5.2 nos da, tanto los límites por la izquierda y por la derecha. Ahora en la figura 2.1b se representa la función con los límites en el infinito negativo, comprobado con su gráfica.

Figura 2.1b Límites en el infinito y su comprobación gráfica

2.2. DIFERENCIACIÓN. En este tema veremos las opciones que Mathematica 5.2 posee en todo lo referente a diferenciación: derivadas y derivadas parciales muy útiles en cualquier área de la ingeniería.

1. Se escribe la función representativo de derivación: Dt[ ]. 2. Se escribe la expresión, ya sea una función f(x) o una ecuación en donde

impliquen dos o más variables. Mathematica 5.2 realiza la derivación implícita o la deja expresado como tal: Dt[expr,]

3. Se especifica la variable que se toma como referencia y el número de derivadas que se aplicará a la expresión.

Dt[expr, {x,n}]


En el siguiente ejemplo realizaremos algunas derivadas y veremos la diferencia que existe cuando se trata de expresiones de una sola o más variables.

Figura 2.2a Derivadas de ecuaciones con una sola variable.

En la figura 2.2b observamos la derivación implícita con respecto a ecuaciones que poseen dos o más variables y que empleando la herramienta de resolución de ecuaciones, su solución está expresada como su derivada.

Figura 2.2b Derivación implícita con dos o más variables.

En el siguiente ejemplo haremos uso de algunos temas anteriores y sus herramientas para crear un algoritmo que nos permita graficar una función y dado un punto en su curva encontrar la recta tangente. Dejamos como incógnita para el estudiante para variar la función y su punto en el cual desea ver su recta tangente de manera que pueda comprobar los ejercicios hechos en clase con este programa computacional.


Figura 2.2.c Ejemplo ilustrativo empleando derivación total

2.2.1 Derivación parcial. En los estudios posteriores de Análisis Vectorial y de Ecuaciones Diferenciales, necesitaremos emplear muy a menudo la derivación parcial para encontrar derivadas direccionales, gradientes y divergencia, por dar un par de ejemplos, utilizados en campos vectoriales.

1. Se escribe la función representativa de las derivadas parciales, que se la encuentra en la paleta de BasicInput; añadiendo la expresión que va a ser objeto de la derivación.

∂x (expr)

2. Se puede realizar la derivación parcial con respecto a más variables como en el subtema pasado o realizar un grado más de derivación, separadas la variables por una coma.

∂x,z (expr) ó ∂x,x (expr)


En el siguiente ejemplo veremos la diferencia entre la derivación total y la derivación parcial por lo cual hay que tener cuidado al momento de realizar los algoritmos y verificar resultados.

Figura 2.2d Ejemplos utilizando derivación parcial.

2.3. INTEGRACIÓN.

En este tema veremos los distintos tipos de integración, tanto en integrales en indefinidas, definidas, como su representación gráfica para mejor visualización de las regiones bajo la curva. Integración indefinida. 1. Se escribe la palabra Integrate[ ], o el símbolo de integración ubicada en la

paleta BasicInput: ∫. 2. Se escribe la expresión que se someterá a la integración. Integrate[exp,] ó ∫exp.

3. Y por último se escribe la variable del diferencial de la integral a evaluar.

Integrate[ exp, x] ó ∫ exp ,x

Figura 2.3.1a Ejemplos de integración indefinida


Integración definida. En este tipo de integración o también llamado antiderivada, se definen los límites de la integral tanto superior como inferior. Estos límites pueden ser escalares como funciones, que más adelante veremos nos servirán para la integración múltiple. 1. Se escribe la sintaxis de integrales. Integrate[ ] igual que en la integración

indefinida. 2. Se escribe las expresiones que se va a integral seguido de una coma con la variable

del diferencial y sus límites, primero el inferior y luego el superior. Como en el caso anterior también existe una herramienta ubicada en la paleta BasicInput que representa la integral definida.

Integrate[expr,{x,xinferior,xsuperior}] ó

En los siguientes ejemplos (figura 2.3.2a) mostraremos las dos formas que la integral definida puede ser expresada empleando bien su sintaxis.

Figura 2.3.2a Integrales definidas con una sola variable.


2.4. SUMATORIAS Y NOTACIÓN SIGMA.

Esta sección es la parte inicial para encontrar áreas comprendidas, conocida su función; y además aprenderemos como se puede graficar las funciones y realizar el sombreado de sus áreas ya sean con el eje u otra función.

1. Se escribe el símbolo de la notación sigma ubicada en la paleta BasicInput. 2. Se escriben el índice de sumatoria y sus limites superior e inferior, de esta manera:

El índice de sumatoria puede ser cualquier letra y sus límites acordes al problema a solucionar. Aquí algunos ejemplos:

Figura 2.4a Notación Sigma y su sintaxis Para graficar funciones y sombrear el área bajo la curva, ya sea con respecto al su eje u otra función se siguen los siguientes pasos: 1 . Se hace el llamado a la librería < < G r a p h i c s ` F i l l e d P l o t ` 2 . Se escribe la función F i l l e d P l o t [ ] 3 . Se escribe la(s) ecuación(es), con sus respectivos límites de la(s) gráfica(s).

F i l l e d P l o t [ { f ( x ) , g ( x ) , … . . } , { x , x m i n , x m a x } ] . 4. Si se desea que el sombreado se dibuje con respecto al eje de debe redactar su

sintaxis. Aquí algunos ejemplos con distintas modelos de sombreado.(Figura 2.4b 2.4c)


Figura 2.4b Área sombreada como límite el eje x

En el siguiente ejemplo observamos que la gráfica 1 tiene el límite el eje de referencia (Axis), mientras que las gráficas 2 y 3 tienen sus límites entre sí. Se utiliza la opción Fi l l s→ en la cual podemos combinar colores y ubicar los límites del sombreado. La segunda opción que utilizamos es Curves→ que nos permite visualizar las líneas dibujadas.

Figura 2.4c Sombreado de tres gráficas pero con límites distintos.


Figura 2.4d Sombreado normal de dos funciones.

En muchos de las áreas entre curvas son limitadas por los puntos de intersección, es decir nos interesa las áreas sombreadas fuera de dichos puntos. En el ejemplo anterior (figura 2.4 d y 2.4 e) veremos cómo podemos realizar esta gráfica. La figura 2.4d nos muestra el sombreado que Mathematica 5.2 realiza normalmente sin tomar en cuenta los puntos de intersección como límites del área comprendida entre las curvas. Con los conocimientos ya aprendidos en los temas anteriores, graficaremos únicamente el área buscada y su valor por medio de la integral definida (figura 2.4e)

Figura 2.4e Área comprendida entre dos funciones.


TEMA 3: CURVAS PLANAS Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS.

3.1. SINTAXIS Y MÉTODO DE RESOLUCIÓN. Este es el comienzo de lo que se verá en la asignatura de Análisis Vectorial, ya introduciéndonos con ecuaciones con tres variables. En todas las gráficas que hemos realizado empleamos ecuaciones con 2 variables, ahora la tercera variable es llamada parámetro. Conociendo las ecuaciones paramétricas podemos encontrar su ecuación rectangular con métodos de sustitución o de trigonometría. 3.2. CONSTRUCCIÓN DE TABLAS DE ECUACIONES

PARAMÉTRICAS. 1. Se escribe la función para crear tablas: Table [ ] . 2 . Se escriben las dos ecuaciones paramétricas, entre llaves y separados por una

coma (,): Table [{f(x),f(y)},] . 3 . Se limita la gráfica con el parámetro mínimo y el máximo y su intervalo de

evaluación: Table[{f(x),f(y)},{t ,tmin,tmax,dt}]

Con los siguientes ejemplos quedará más claro lo explicado.(Figura 3.2a)

Figura 3.2a Tablas de valores con ecuaciones paramétricas

Con estos valores podremos realizar el análisis de la gráfica paramétrica, encontrar valores tanto para x como en y. En el siguiente tema verificaremos los valores obtenidos con la gráfica de la ecuación paramétrica. 3.3. GRÁFICAS DE ECUACIONES PARAMÉTRICAS. 1. Se escribe la función para ecuaciones paramétricas: ParametricPlot [ ] . 2 . Se escriben las dos ecuaciones paramétricas separadas por una coma (,):

ParametricPlot [{ f (x) , f (y)} ] .


3. Se ubican los límites del parámetro en donde se va a desarrollar la gráfica. ParametricPlot[{ f (x) , f (y)} , { t , tmin, tmax}]

Figura 3.3b Gráfica de ecuaciones paramétricas

Figura 3.3c Figura que varía con el rango del parámetro.

Ejercicio extra: Varíe el rango del parámetro de la figura 3.3c y observe como cambia su gráfica. En el siguiente ejemplo comprobaremos los valores obtenidos con la tabla y la gráfica; hemos utilizado otras opciones como PlotRange → que nos permite dar límites a la gráfica en las ordenadas (eje de las y) y AspectRatio → grafica una función con la misma escala en el eje de las x como en el eje de las y.


Figura 3.3d Comprobación de la gráfica con su tabla.


3.4 ECUACIONES POLARES Para graficar ecuaciones polares se necesita hacer un llamado a la biblioteca de gráficos: escribiendo en la parte superior: << Graphics`Graphics`. La sintaxis para las gráficas polares es:

PolarPlot [{ f },{θ,θ min, θmax}]; En donde: f: Es la función que se desea graficar. θ min, θmax:Es el rango mínimo y máximo en el cual delimitamos la gráfica. En el siguiente ejemplo (Fig 3.4a) veremos como es la sintaxis para las gráficas polares

Figura 3.4a Gráfica de una función polar

Además podrá graficar varias gráficas polares, ya sean estas para encontrar sus puntos de intersección, las áreas comprendidas entre las gráficas o encontrar la longitud de su arco. En la fig. 3.4b veremos como dos gráficas pueden ser dibujadas una sobrepuesta por otra las dos dentro del mismo rango. Empleando los colores para gráficas, nos ayudaremos para distinguir las distintas líneas en el plot.


Figura 3.4b Visualización de varias gráficas en un mismo plot.

Con la ayuda “ticks” nos permitirá visualizar de mejor manera el rango propuesto cambiando los valores numéricos por valores tipo radianes. (Ver Fig. 1.3)

Figura 3.4c Gráficas de funciones polares con la ayuda de herramientas


Se puede experimentar con las gráficas polares como el ejemplo a continuación (Figura 3.4d). Haga la prueba dándole valores distintos a su ángulo.

Figura 3.4d Ilustración de la curva rosa.

TEMA 4: VECTORES.

Su estudio es muy importante porque la gran mayoría de magnitudes físicas en la naturaleza deben ser expresadas por su magnitud y dirección. Es por esto que en este manual dedicaremos un capítulo para su explicación. 4.1 PUNTOS Y RECTAS EN EL PLANO Y EN TRES DIMENSIONES. Para graficar rectas y puntos en el espacio, debemos utilizar la función Line y Point que nos permitirá observarlos en el espacio o en el plano. Su sintaxis:

1. Se escribe la función que nos permitirá graficarlas Show[Graphics[]. 2 . Se ubican el tipo de función que se requiere graficar y las coordenadas:

Show[Graphics[exp[{coordenadas}]]] 3. Por ejemplo las rectas se las representa por medio de dos puntos expresado en su

respectivo sistema de coordenadas, por ejemplo: Show[Graphics[Line[{{2,-5},{9,2}}]]]


Figura 4.1a Recta formada por dos puntos en el plano.

En la figura 4.1b se observará el desarrollo de una recta partiendo de la gráfica de dos puntos.

Figura 4.2b Puntos y rectas colocadas en el plano.

De la misma manera podemos dibujar las rectas y los puntos en tres dimensiones haciendo ligeros cambios en la nomenclatura obteniendo los gráficas esperadas. Su sintaxis:

1. Se escribe la función Show[Graphics3D[]. 2 . Se ubican el tipo de función que se requiere graficar y las coordenadas en tres

dimensiones: Show[Graphics3D[exp[{coordenadas 3D}]]]


Se puede hacer uso de todas las opciones aprendidas en este manual para una mejor visualización de la gráfica.

Figura 4.2c Recta en el espacio conocido dos puntos.

Y para dibujar puntos en el espacio se sigue la misma sintaxis reemplazando el término Line por Point (ver figura 4.2d)

Figura 4.2d Puntos vistos tridimensionalmente.


4.2 PRODUCTO ESCALAR Y PRODUCTO VECTORIAL. Estas operaciones se las realizan de forma fácil debido a que Mathematica 5.2 posee todo el procedimiento interno; simplemente se colocan los vectores. Su sintaxis:

1. Se escriben los vectores: {a ,b ,c} , {d ,e , f} . 2. Se colocan el punto (.) en representación del producto punto. 3. Si se desea realizar el producto cruz de debe escribir

Cross[{a ,b ,c} ,{d ,e , f} ] y se realizará la operación. Otro concepto muy utilizado es obtener la norma o módulo de un vector. Su sintaxis es simple: 4. Se escribe la función Norm[ ] y su vector: Norm[{a,b ,c}]

Figura 4.2a Ejemplos de producto escalar y vectorial.


TEMA 5: GEOMETRÍA DEL ESPACIO 5.1 RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO. Para graficar rectas en el espacio, debemos utilizar una nueva función denominada ParametricPlot3D que nos permitirá introducir tres ecuaciones paramétricas para que la recta se muestre como una gráfica en tres dimensiones. Su sintaxis:

4. Se escribe la función que nos permitirá graficas rectas en 3D: ParametricPlot3D[ ].

5 . Se ubican los límites del parámetro en donde se va a desarrollar la gráfica con respecto a una incógnita:

ParametricPlot3D [{ f x , f y , f z} , { t , tmin, tmax}] . Nota: Las ecuaciones paramétricas de una recta dada no son únicas. Veremos en el siguiente ejemplo como se grafica una recta en 3 dimensiones (Figura 5.1a).

Figura 5.1a Recta en el espacio con ecuaciones paramétricas.

En cambio para graficar planos tenemos dos opciones, la primera utilizando la función Plot3D, o la librería ContourPlot3D, es mas frecuente utilizar la primera debido a su fácil manejo y su simplificada escritura. Su sintaxis:

1. Se escribe la función para las gráficas en tres dimensiones: Plot3D[ ] . 2 . Se escribe la ecuación de la figura igualada a una tercera variable: Plot3D

[equa].


3. Se ubican los límites de la superficie en donde se va a desarrollar la gráfica con respecto a las dos incógnitas (x, y)

Figura 5.1b Plano constituido por la función Plot3D.

El segundo método utilizar la librería <<Graphics`ContourPlot3D`. Su sintaxis es:

1. Se escribe la función figuras en tres dimensiones: ContourPlot3D[ ] . 2 . Se escribe la ecuación del plano igualada a cero: ContourPlot3D [equa]. 3 . Se ubican los límites de la superficie en donde se va a desarrollar la gráfica con

respecto a las tres incógnitas (x, y, z) ContourPlot3D[{equa},{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax},{z,zmin,zmax}]

Figura 5.1c Plano generado por la función ContourPlot3D


En las figuras 5.1b y 5.1c se trazaron los mismos planos con los dos métodos con la finalidad de observar como estos no varían. Queda a disposición cual de los métodos es más fácil y apropiado dentro de su estudio. 5.2 SUPERFICIES EN EL ESPACIO

5.2.1 Superficies Cuádricas: En este capítulo veremos superficies cilíndricas, superficies cuádricas como por ejemplo el elipsoide, el hiperboloide, el cono elíptico, el paraboloide elíptico y el paraboloide hiperbólico. Para estas gráficas vamos a utilizar la librería <<Graphics`ContourPlot3D`. La sintaxis para estas superficies es:

1. Se escribe la función para superficies en tres dimensiones: ContourPlot3D[ ] .

2 . Se escribe la ecuación cuádrica de segundo grado igualada a cero: ContourPlot3D [equa].

3 . Se ubican los límites de la superficie en donde se va a desarrollar la gráfica con respecto a las tres incógnitas (x, y, z)

ContourPlot3D[{equa},{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax},{z,zmin,zmax}]

Nota: Para que la figura se trace como nosotros esperamos y con un alto estado de claridad, haremos uso de una opción de graficado denominado MaxRecursion→2, para las superficies que lo ameriten. Así tenemos las siguientes superficies:

Figura 5.2.1a Elipsoide 12

2

2

2

2

2

=++cz

by

ax


Figura 5.2.2b Paraboloide hiperbólica zax

by

=− 2

2

2

2

En el siguiente ejemplo utilizaremos una opción gráfica que nos permitirá observar a cualquier gráfica desde un punto especificado (Figura 5.2.1c) Su sintaxis: • Luego de realizar la gráfica colocaremos Show[%,ViewPoint→{x,y,z}] En donde: %: es el símbolo q representa el Output anterior. ViewPoint: es la opción de un punto de vista. • Además utilizaremos la opción GraphicsArray, el cual muestra las figuras como un

arreglo. Su sintaxis: Show[GraphicsArray[g1,g2,….]]


Figura 5.2.1c Hiperboloide de dos hojas 12

2

2

2

2

2

=+−−cz

ax

by

Tarea Extraclase: Realice las superficies cuádricas mostradas en las páginas 812- 813 y muéstrelas desde distintos puntos de vista. 5.2.2 Superficies de Revolución: Este tipo de superficies son generadas por una ecuación en dos planos que rotan sobre un eje específico o sobre punto determinado. Utilizaremos una nueva librería denominada SurfaceOfRevolution Su sintaxis:

1. Hacemos el llamado a la librería <<Graphics`SurfaceOfRevolution`. 2. Se escribe la función para las superficies de revolución y su ecuación:

SurfaceOfRevolut ion[equa] . 3 . Se ubican los límites de la superficie en donde se va a desarrollar la gráfica

con respecto a una incógnita: SurfaceOfRevolut ion[equa,{x ,xmin,xmax}] .

Nota: Mathematica 5.2 tiene predeterminado la rotación de la gráfica con respecto al eje de la variable dependiente; en los siguientes ejemplos veremos su desarrollo (Figura 5.2.2a)


Figura 5.2.2a Superficie de revolución de 2xy =

Figura 5.2.2b Superficie de la Bruja de Agnesi o “La hechicera” )(4 xCoty =


Existe una opción que nos permite girar sobre un punto determinado cualquier ecuación. En los siguientes ejemplos veremos como la misma ecuación ℮x puede tomar distintas superficies variando su punto de revolución. (Figuras 5.2.2c, 5.2.2d) y con herramientas ya aprendidas nos daremos cuenta como en dicho punto toma forma la superficie. Su sintaxis es la misma sino que ahora interviene el punto como eje de revolución: RevolutionAxis→{x,y,z}. Este punto puede ser en un sistema de dos o tres coordenadas.

Figura 5.2.2c Superficie generada por la ecuación ℮x en el punto {0,1}

El punto visto de azul es el nuevo eje de revolución es mismo que puede ser localizado es el trayecto de la ecuación o puede estar en un lugar del plano. En el siguiente ejemplo 5.2.2d veremos como el punto en azul se transformará en un nuevo eje.


Figura 5.2.2d Superficie generado por un punto fuera de la ecuación.

El siguiente algoritmo nos permitirá observar una superficie de revolución (figura 5.2.2e) dado un punto que siempre se encuentre sobre la figura.

Figura 5.2.2e Superficie generada por un punto sobre la curva xey −=


Aquí un ejemplo con un punto de revolución en las tres coordenadas (figura 5.2.2f), pruebe usted también con otros puntos observándolo desde distintos ángulos de vista. Para este ejemplo utilizamos algunas nuevas opciones de graficado, como por ejemplo StackGraphics el mismo que nos permite convertir una gráfica en dos ejes, en una gráfica vista en tres dimensiones.

Figura 5.2.2f Superficie generada por un punto en tres dimensiones

5.2.3 Sombras de superficies en 3D. Una herramienta muy útil que posee Mathematica 5.2 es proyectar una figura sobre los planos de manera que podamos simular como si una lámpara proyectara una luz sobre nuestra figura. En los siguientes ejemplos veremos como esto sucede (Figuras 5.2.3a 5.2.3b) Su sintaxis:

1. Hacemos el llamado a la librería <<Graphics`Graphics3D`. 2. Se escribe la función para estas gráficas y su expresión: Shadow[expr]. 3. Se ubican los planos en el cual se desea que aparezcan las sombras de la figura.

Mathematica 5.2 tiene predeterminado los tres planos. Si se desea, por ejemplo, que el plano z no aparezca se escribe Shadow[expr,ZShadow →False].


Figura 5.2.3a Sombras de un paraboloide elíptico.

Figura 5.2.3b Sombras de un hiperboloide de una hoja.


5.3 GRÁFICA CON COORDENADAS POLARES.

5.3.1 Conversión de coordenadas. Antes de entrar a graficar figuras en otras coordenadas como el cilíndrico o el esférico debemos conocer sus transformaciones y equivalencias. Para este tema haremos uso de la librería de “análisis vectorial” el mismo que nos permitirá hacer el cambio de un sistema a otro. Su sintaxis: 1. Hacemos el llamado a la librería <<Calculus`VectorAnalysis 2. Siempre se escribe la sintaxis de la coordenada cartesiana, es decir se parte de este

sistema o se llega al mismo. El término que varía es From (de) o To (a); es decir si se quiere ir del sistema cilíndrico al esférico, primero se debe transformar a cartesiano y luego ir al esférico o viceversa. En este ejemplo se parte se coordenadas cartesianas y se llega a coordenadas cilíndricas:

CoordinatesFromCartesian[{coordenada},Cylindrical] En cambio aquí se desea llegar al sistema rectangular (cartesiano) partiendo de una coordenada esférica:

CoordinatesToCartesian[{coordenada},Spherical] En los siguientes ejemplo se podrán observar las distintas conversiones de coordenadas rectangulares (cartesianas), cilíndricas y esféricas.

Nota: ¡¡¡¡OJO!!!!!! en el libro de Larson, las componentes en las coordenadas cilíndricas son (ρ,θ,φ), en cambio en el libro de Sadiku y en programa de Mathematica 5.2 la notación es (ρ,φ,θ), es decir en mathematica [θ] es el ángulo comprendido entre el eje de las z y el vector de posición de ρ y [φ] es el ángulo en el plano x-y hasta el vector posición de ρ. Conversión de coordenadas rectangulares a cilíndricas y a esféricas.

Conversión de coordenadas cilíndricas a rectangulares y a esféricas.


Conversión de coordenadas esféricas a rectangulares y a cilíndricas.

5.3.2 Gráficas con coordenadas polares. Luego de ver las nuevas maneras de expresar una coordenada, ya sean coordenadas cilíndricas o esféricas, ahora veremos como plotear figuras en los otros sistemas antes mencionados. Usted se podrá dar cuenta como se reducen su sintaxis y mejoran la calidad del gráfico (Figura 5.3.2a y 5.3.2b). Su sintaxis:

1. Hacemos el llamado a la librería <<Graphics`ParametricPlot3D`. 2. Se escribe la función para las gráficas en el sistema cilíndrico y su ecuación con

respecto a z: Cyl indricalPlot3D[z] . 3 . Se ubican los límites en donde se va a desarrollar la gráfica:

Cyl indricalPlot3D[z,{r ,rmin,rmax} ,{φ ,φmin, φmax}] .


Figura 5.2.3a Gráfica de un cono elíptico en el sistema cilíndrico.

Figura 5.2.3b Gráfica de un paraboloide

5.4 GRÁFICAS CON COORDENADAS ESFÉRICAS. Como el capítulo anterior vamos ahora a realizar gráficas con este sistema (figura 5.4a). Tiene mucho en común ya que utilizamos la misma librería para nuestro estudio. Su sintaxis:

1. Hacemos el llamado a la librería <<Graphics`ParametricPlot3D`.


2. Se escribe la función para las gráficas en el sistema esférico y su ecuación con respecto a ρ : SphericalPlot3D[ρ ] .

3 . Se ubican los límites en donde se va a desarrollar la gráfica: Cyl indricalPlot3D[ρ , {φ ,φmin, φmax},{θ , θmin, θmax}] .

Figura 5.4b Figura generada con el sistema esférico


Figura 5.4a Esfera formada con coordenadas esféricas

TEMA 6: ANÁLISIS VECTORIAL.

6.1 GRÁFICAS DE CAMPOS VECTORIALES.

Dentro de las herramientas didácticas que posee Mathematica 5.2 es presentar de manera gráfica los campos vectoriales dentro de un plano o visto en tres dimensiones. Se puede hacer uso de todas las herramientas disponibles vistas en este manual para combinarlas con ejercicios que ameriten introducir, por ejemplo: planos, superficies cuádricas, etc. Su sintaxis:

1. Hacemos el llamado a la librería <<Graphics`PlotField`. 2 . Se escribe la función para campos vectorial y su vector:

PlotVectorField[{fx, fy}]. 3. Por último se escriben los límites en donde el campo se va a desarrollar:

PlotVectorFie ld[{fx, fy}, {x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax}] En los siguientes ejemplos 6.1a y 6.1b veremos como se grafican los campos vectoriales en el plano.


Figura 6.1a Campo vectorial formado por W=2x +y i

rjr

Figura 6.1b Campo vectorial formado por W=1/2xy +1/4x2 i

rjr


6.2 GRÁFICAS DE CAMPOS VECTORIALES EN TRES DIMENSIONES.

Dentro de estudios posteriores veremos que los campos existentes en la naturaleza se realizan en tres dimensiones y es necesario visualizarla en su forma tridimensional. Su sintaxis:

1. Hacemos el llamado a la librería <<Graphics`PlotField3D`. 2 . Se escribe la función para campos y su vector:

PlotVectorField3D[{fx, fy, fz}]. 3. Por último se escriben los límites en donde el campo se va a desarrollar:

PlotVectorField3D[{fx, fy, fz}, {x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax}] 4. Para que la gráfica mostrada sea más útil al estudiante, podemos representar cada

vector con su dirección, mediante una opción: VectorHeads→True.

Figura 6.2a Campo producido por G=Sen(x) +Cos(y) +z2 i

rjr

kr


Figura 6.2b Campo generado por T= (6xy+z3) +(3x2+z) +(3xz2- y) i

r

Mathematica 5.2 posee una librería de cálculo ya utilizada como es VectorAnalysis que nos permitirá obtener el gradiente, la divergencia, el rotacional y el laplaciano de un escalar. En los siguientes ejemplos veremos como estos conceptos combinados con utilizados anteriormente daremos forma a algunos problemas. 6.3 GRÁFICAS DE CAMPOS VECTORIALES UTILIZANDO EL CÁLCULO VECTORIAL.

Los distintos términos en el párrafo anterior poseen un sinnúmero de aplicaciones dentro de la Ingeniería por lo que su estudio es necesario y aún más su interpretación. La sintaxis a continuación nos permitirá hacer uso de estas nuevas herramientas:

1. Hacemos el llamado a la librería <<Calculus`VectorAnalysis`. 2. Se escribe la función que se desea realizar y su vector (o escalar), en este caso un

escalar: G r a d[exp] .

Divergencia: Div [{ f x , f y , f z} ] . Rotacional: Cur l [ { f x , f y , f z} ] . Laplaciano de un escalar: Laplac ian [exp] . 3 . Por último se escribe el sistema de referencia que se está utilizando, en este caso

el cartesiano: Grad[exp,Cartesian[x,y,z]] . Y si se desea graficarlos se realiza el mismo procedimiento de las secciones anteriores, ya sea en el plano o en tres dimensiones.

jr

kr


Figura 6.3a Campo vectorial producido por el rotacional del vector

De esta manera se puede obtener gráficas como el flujo vectorial a través de un cilindro (figura 6.4c) u observar el gradiente en un paraboloide elíptico (figura 6.4b)


Figura 6.4b Campo vectorial producido por el gradiente a través de un paraboloide

elíptico.

En este ejemplo se han combinado algunas clases de elementos estudiados como superficies cuádricas, gradiente, campos vectoriales en 3D, los cuales nos permiten visualizar de mejor manera aquellos conceptos que parecen abstractos y difíciles de comprender.


Figura 6.4c Campo vectorial por el vector W a través de un cilindro.

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