Tutorial do MuPAD Light 2.5 marcio/ss2003/Leonardo.pdf · Tutorial do MuPAD Light 2.5.2 Baixando Para…

Download Tutorial do MuPAD Light 2.5 marcio/ss2003/Leonardo.pdf · Tutorial do MuPAD Light 2.5.2 Baixando Para…

Post on 30-Nov-2018

213 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • Universidade Estadual de Campinas - UNICAMP Leonardo Loures Lopes RA 024307

    Engenharia de Computao MA211 Turma K Professor Mrcio Antnio de Faria Rosa

    Tutorial do MuPAD Light 2.5.2

    Baixando Para baixar o software MuPAD, entre no site www.mupad.de

  • J na tela de abertura, clique na figura e logo aps clique em

    Voc ser levado para uma tela com diversas opes de download. Escolha aquela que corresponda ao seu Sistema Operacional. Este tutorial foi feito utilizando a verso MuPAD Light 2.5.2 for Windows. Instalando Aps baixar o programa, instala-lo bastante simples. Siga as instrues. Leia o termo de compromisso do programa. Se concordar com o termo de compromisso, selecione a opo I accept the license agreement e clique em Next. Aps isto, v clicando em Next que em menos de 20 segundos, o MuPAD j estar instalado em seu computador. Fazendo Clculos Para calcular uma expresso algbrica do tipo 3+5, basta digitar a operao seguida de um Ao digitar esta seqncia, o resultado expresso logo abaixo: 3+5

    8 A potenciao calculada utilizando-se o smbolo ^. Portanto, 2^5 representa o valor de 2 elevado quinta potncia: 2^5 32 Para se calcular a raiz quadrada temos a funo sqrt(). Temos tambm as funes trigonomtricas seno, coseno, tangente, etc... Podemos entrar com vrias operaes separadas por vrgula como abaixo: sqrt(9), sin(PI), cos(PI/6), arctan(1) 1/2 3 PI 3, 0, ----, -- 2 4

  • Como podemos perceber acima, a constante representada pela palavra PI. O resultado das expresses tambm so exibidos separados por vrgula e na ordem que aparecem. Para se calcular logaritmos empregamos a funo log(b, x) onde b representa a base que estamos trabalhando e x o valor que queremos extrair o logaritmo. O logaritmo natural requer apenas um parmetro e tem o escopo ln(x). O nmero de euler representado pela letra E maiscula. Portanto log(E, x) equivalente a ln(x) como podemos perceber abaixo: log(2, 1024), log(E, 1), ln(1), ln(E) 10, 0, 0, 1

    Exibindo o valor numrico de expresses Se tentamos calcular o arco tangente de 3, por exemplo, o MuPAD nos responde da seguinte maneira: arctan(3) arctan(3) o que no est errado, pois arctan(3) vale realmente arctan(3). Mas se desejamos saber o valor numrico de arctan(3), temos que utilizar a funo float como segue: float(arctan(3)) 1.249045772 O mesmo pode ser utilizado para obtermos os valores do e do nmero de euler: float(PI), float(E) 3.141592654, 2.718281828 Diferenciais e Integrais O comando diff(e, v) deriva a expresso e em funo da varivel v. Para derivarmos a expresso 3x^3 + 2x^2y^2 + xy + sen(x) + cos(y), fazemos: diff(3*x^3 + 2*x^2*y^2 + x*y + sin(x) + cos(y), x) 2 2 y + cos(x) + 9 x + 4 x y

  • Para integrar, podemos utilizar o comando int(e, v) que significa que iremos integrar a expresso e em funo da varivel v. Para acharmos a integral indefinida da expresso acima em funo de x, fazemos: int(3*x^3 + 2*x^2*y^2 + x*y + sin(x) + cos(y), x) 4 2 3 2 3 x x y 2 x y x cos(y) - cos(x) + ---- + ---- + ------- 4 2 3 Se estamos fazendo vrias operaes com uma determinada expresso, como no caso apresentado acima, o MuPAD nos permite associar uma expresso a uma determinada palavra atravs do operador := (dois pontos igual). Por exemplo, podemos associar a expresso acima palavra exp1 e ento, s precisaremos digitar diff(exp1, x) para obtermos a derivada da expresso. Segue um exempl: exp1 := 3*x^3 + 2*x^2*y^2 + x*y + sin(x) + cos(y) 3 2 2 x y + cos(y) + sin(x) + 3 x + 2 x y diff(exp1, x) 2 2 y + cos(x) + 9 x + 4 x y int(exp1, x) 4 2 3 2 3 x x y 2 x y x cos(y) - cos(x) + ---- + ---- + ------- 4 2 3 Para calcularmos integrais definidas, basta entrarmos com os extremos: int(x^2,x=0..1) 1/3 Limites Limites so calculados utilizando-se o comando limit que possui dois parmetros separados por vrgula, sendo o primeiro uma expresso e o segundo uma varivel seguida de um sinal de igual seguida por um valor. x=0 por exemplo representa x tente a 0. O limite fundamental da trigonometria, por exemplo, sem(x)/x, com x tendendo a 0 pode ser obtido da seguinte forma:

  • limit(sin(x)/x, x=0) 1

    Um smbolo muito importante que precisamos ao calcular limites o (infinito). Este smbolo representado pela palavra infinity. Veja: limit(1/x, x=infinity) 0

    Declarando Funes A declarao de funes no MuPAD bastante simples. Para declarar a funo F(x) = x^3 + x^2 basta fazermos: F := x -> (x^3 + x^2) x -> x^3 + x^2 F(x) 2 3 x + x F(2) 12 F(a+b) 2 3 (a + b) + (a + b) Podemos declarar funes de vrias variveis apenas colocando as variveis entre parnteses: G := (x,y)->(x+y) (x, y) -> x + y Como as expresses, podemos derivar, integrar as funes. bastante intuitiva a maneira de fazermos tais operaes. int(G(a,b),b) 2 b a b + --

  • 2 Podemos tambm considerar a funo como uma equao e isolar uma varivel ou ento encontrar o valor de uma das variveis tendo o valor da outra. Para isso utilizamos o comando solve. No prximo item estudaremos este comando mais detalhadamente para a resoluo de Sistemas Lineares. solve(G(x,y)=5,y) {5 - x} solve(G(x,7),x) {-7}

    Sistemas Lineares O comando solve visto anteriormente utilizado para a resoluo de sistemas lineares. Sua sintaxe a seguinte: solve({equao 1,equao 2,...,equao n},{varivel 1, varivel 2,..., varivel m}) Por exemplo, vamos resolver o sistema linear a seguir: x + y + z = 6 x + y z = 0 2x + y + 2z = 10 Podemos utilizar o operador := para simplificar os clculos: equacoes := { x+y+z=6, x+y-z=0, 2*x+y+2*z=10 } {x + y + z = 6, x + y - z = 0, 2 x + y + 2 z = 10} incognitas := { x, y, z } {x, y, z} solve(equacoes, incognitas) {[x = 1, y = 2, z = 3]} Grficos em duas dimenses O MuPAD possui objetos grficos (plot::Group) que primeiro so criados e s depois so mostrados como grfico. Por exemplo, temos campos escalares (plot::contour), curvas em duas dimenses (plot::Curve2d), superfcies em trs (plot::Surface3d) etc. Primeiro temos que criar estes objetos, para depois, utilizando o comando plot(), mostrarmos o grfico gerado. Podemos colocar mais de um objeto com o comando plot(). Por exemplo,

  • plot(objeto1, objeto2, ..., objeton) o que lhe faz muito semelhante ao comando Show[] do Mathematica. Vamos comear mostrando como traar curvas de nvel e grficos em duas dimenses utilizando o terceiro exerccio da Primeira Parte do Projeto. Mas antes vamos dar uma viso geral dos comandos utilizados para tal fim. c := plot::contour([x, y, f(x,y)], x=[a,b], y=[c,d]) No comando acima, c est recebendo o objeto gerado pelo comando plot::contourn(...). Este comando consiste de trs parmetros. O primeiro [x, y, f(x,y)] significa que a funo f(x,y) que depende das variveis x e y que est sendo traada. Note que f(x,y) pode ser substituda por qualquer funo, como por exemplo x^2 + y^2. Os dois segundos parmetros representam os intervalos de x e y que devem ser considerados. Para parametrizar uma superfcie em duas dimenses utilizamos o comando: c := plot::Curve2d([x(t), y(t)], t=[a,b]) No comando acima c est recebendo o objeto gerado pelo comando plot::Curve2d(...). Este comando recebe como entrada as componentes x e y parametrizadas em funo de t da curva que est sendo gerada, e o intervalo em que t ir variar. Vamos dar agora um exemplo de como resolver o terceiro exerccio da Primeira Parte do Projeto. Primeiro geramos a parametrizao da elipse de centro (8,6) e semi-eixos 4 e 3 sendo as componentes y dos dois focos iguais. f := (t)->[4*cos(t)+8, 3*sin(t)+6] t -> [4*cos(t) + 8, 3*sin(t) + 6] Agora temos que construir a funo do campo escalar da variao de temperatura: g := (x,y)->(x+y) (x, y) -> x + y Agora que j temos as duas funes podemos gerar seus grficos: graficof := plot::Curve2d(f(t),t=[0,2*PI]) plot::Curve2d([4 cos(t) + 8, 3 sin(t) + 6], t = 0..2 PI) graficog := plot::contour([x,y,g(x,y)], x=[-1,13], y=[0,10],

    Contours=[-1,1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23]) plot::Group()

  • Veja que foi utilizado a opo Contours = [v1, v2, ..., vn] na construo das curvas de nveis da funo g(x,y). Agora com os dois grficos, podemos utilizar o comando plot(graficof, graficog) para mostrar na tela os dois grficos sobrepostos: plot(graficof,graficog)

    Tambm possvel traar grfico de funes no parametrizadas. Estes grficos so traados diretamente sem a utilizao do comando plot(). Veja: plotfunc2d(sin(x)/x,x=-3*PI..3*PI)

  • Cabe mencionar apenas que este comando requer o intervalo escrito sob a forma x=a..b e no x=[a,b] como vnhamos utilizando. Tambm possvel criar campos vetoriais com o MuPAD. O comando o seguinte: c := plot::vectorfield([x, y], x=a..b, y=c..d) Veja um exemplo: plot(plot::vectorfield([y,-x],x=-2..2,y=-2..2))

    Grficos em trs dimenses Os comandos para grfico em trs dimenses so muito semelhantes aos de duas dimenses. Portanto, darei apenas a sintaxe dos comandos e j entrarei com os exemplos. Para plotar curvas parametrizadas em trs dimenses utilizamos o comando plot::Curve3d como segue: c := plot::Curve3d([x, y, z], t=.b) Para superfcies parametizadas utilizamos: c := plot::Surface3d([x, y, z], u=a..b, v=c..d) Para exemplificar o uso destes comandos iremos utilizar a quarta questo da prova que era pra achar a interseco de uma esfera de raio R centrada na origem com um cilindro que

  • possui somente z negativo e de circunferncia geratriz de raio R/2 centrada no ponto (0,R/2,0). Iremos considerar aqui R=1 para simplificar os clculos. A circunferncia parametrizada da seguinte forma: x = sen(f)cos(t) y = sen(f)sen(t) z = cos(f) Substituindo estes valores na equao cartesiana do cone encontramos t em funo de teta. Substituindo os novos valores de t nas componentes da esfera obtemos a parametrizao da interseco do cone com a esfera. Primeiro geramos a esfera: esf:=plot::Surface3d([sin(f)*cos(t),sin(f)*sin(t),cos(f)],f=[0,P

    I],t=[0,2*PI]) plot::Surface3d([sin(f) cos(t), sin(f) sin(t), cos(f)], f = 0..PI, t = 0..2 PI) Neste caso, diferentemente da parametrizao em 2d, a funo que queremos parametrizar foi digitada diretamente dentro do comando plot::Surface3d. No caso da parametrizao em duas dimenses, criamos uma funo funcaof e s depois geramos o grfico. Repare tambm que so utilizadas aqui 2 intervalos de valores. Um para f (f=[0,PI]) e outro para t (t=[0,2*PI]). O cone tambm pode ser parametrizado da seguinte forma: cone:=plot::Surface3d([cos(a)/2,sin(a)/2+1/2,b],a=[0,2*PI],b=[-

    1,0]) / -- cos(a) sin(a) -- plot::Surface3d| | ------, ------ + 1/2, b |, a = 0..2 PI, b = \ -- 2 2 -- \ -1..0 | / Como encontramos dois valores para t, t=f e t=PI-f, teremos que parametrizar duas curvas que chamaremos de int1 e int2. Segue: int1:=plot::Curve3d([sin(f)*cos(f),sin(f)*sin(f),cos(f)],f=[PI/2

    ,PI],Color=RGB::Blue,LineWidth=50)

  • / 2 PI \ plot::Curve3d| [cos(f) sin(f), sin(f) , cos(f)], f = --..PI | \ 2 / int2:=plot::Curve3d([sin(f)*cos(PI-f),sin(f)*sin(PI-

    f),cos(f)],f=[PI/2,PI],Color=RGB::Blue,LineWidth=50) / 2 PI \ plot::Curve3d| [-cos(f) sin(f), sin(f) , cos(f)], f = --..PI | \ 2 / Repare que foram utilizadas duas opes novas nesses comandos. A opo Color=RGB::Blue que diz para traar a curva na cor azul e LineWidth=50 que diz para a grossura da linha da curva ser 50. Essas duas opes facilitaram a visualizao da curva sobre a superfcie. Agora que temos os quatro grficos podemos mostra-los na tela utilizando o comando plot. Utilizamos a opo Scaling=Constrained para termos a mesma escala nos eixos x, y e z. plot(esf,int1,int2,cone,Scaling=Constrained)

    Outro comando semelhante ao plot::Function2d o plot::Function3d. Segue um exemplo: plot(plot::Function3d(sin(x)*cos(y), x=[0,2*PI], y=[0,2*PI]))

Recommended

View more >