tutorial 2011

Cátedra: Análisis Matemático I

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Tutorial Básico de Mathematica 2011 Temas:

- Manejo Básico. - Cálculos Básicos. - Ecuaciones. - Graficando en el plano. - Límites. - Derivadas. - Integrales. - Como conseguir ayuda.


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Manejo Básico

Este es un pequeño TUTORIAL donde figuran LOS COMANDOS para realizar las operaciones y cálculo básicos, te servirá de ayuda para comenzar con MATHEMATICA, te aconsejamos que uses el Help también y al final te mostramos como buscar ayuda. Los pasos a seguir en una sesión de trabajo con Mathematica son básicamente los mismos que en cualquier otra aplicación de Windows. 1. i. Comenzar un trabajo nuevo (File - New) ii. Abrir un trabajo existente y modificarlo (File - Open) 2. Guardar (La primera vez usar File - Save as y ponerle un nombre y posteriormente File -Save) 3. Imprimir (File – Print) Comenzar un trabajo nuevo Al abrir el programa aparece un rectángulo blanco que no ocupa toda la pantalla, esta es el área de trabajo, podes ampliarlo como cualquier ventana de windows. Es conveniente antes de comenzar, ir a Format (del menú principal) y marcar Show ToolBar, de esta forma queda incorporada al área de trabajo una barra de herramientas, que posee opciones muy útiles. Si comenzas a trabajar y la letra te parece pequeña, selecciona con el mouse en el encabezado del área de trabajo, y aumenta el porcentaje (Format – Magnification). Cálculo - Operaciones Las operaciones aritméticas básicas son + suma - resta * producto ( se puede indicar también con un espacio en blanco) / división ^ potenciación Las operaciones que realicemos aparecerán nuerazas y clasificadas en entradas (In) y salidas (Out). Ingresa las operaciones que deseas realizar, luego presiona Shif+enter o enter de teclado numérico cuando estés ubicado en la/s sentencia/s que deseas evaluar, por ejemplo ingresá 14+15-2 (presiona shift + enter ó intro del teclado numérico) aparecerá

(2-15+3)/45 (intro) aparecerá


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- Para crear una nueva sentencia o cálculo debes ubicarte al finalizar una celda Ï (aparece una línea horizontal que cruza toda la hoja, debajo del Out), hace un clic para crear una nueva celda (subsección) seleccionando TAB o Enter común. Prueba una vez a continuación. - Para evaluar varias sentencias o cálculos crea una nueva celda, ingresá la sentencia y presiona enter común, para la nueva sentencia. Luego enter del teclado numérico para evaluar las dos o más sentencias.

Aparecerá

Si después del comando colocamos " ; " no aparece el Output luego de evaluar, es decir, no devuelve el resultado de la operación.

Diferentes precisiones en el cálculo Utilizando las operaciones básicas, veamos qué tipo de resultado se obtiene con Mathemática

Mathematica tiene dos formas diferentes de tratar los números: valores exactos y aproximaciones decimales. Números con decimales son siempre tomados como aproximaciones decimales por Mathematica, mientras que números sin decimales, incluyendo fracciones, son tomados como valores exactos. Para obtener un valor aproximado basta con poner un decimal en algún sitio.


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También puede obtenerse un resultado aproximado con la función N, de las dos siguientes formas:

En el resultado aproximado, el usuario puede decidir el número de decimales con el que desea efectuar el cálculo.

Se obtiene el resultado de 8/13 con 17 decimales exactos. En general N[expresión, n] calcula el valor numérico de "expresión", con una precisión de n-1 dígitos.

Mayúsculas y minúsculas. Para el programa hay diferencias sustanciales entre las palabras escritas con mayúscula y minúscula. Se escriben comenzando con mayúscula todas las funciones, opciones, variables y constantes contenidas en el programa. Y cuando nos referimos a una función predeterminada la variable va siempre entre corchetes []. Abs[x], Cos[x], Exp[x] son algunos ejemplos de tales funciones. I (unidad imaginaria), Pi (p), E (el número e) son ejemplos de constantes utilizadas por Mathematica. Si ingresamos cos[Pi] (intro) aparece error como se muestra

La forma correcta


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Uso de Paletas El programa permite escribir operaciones expresiones y símbolos matemáticos con la notación que utiliza en la escritura tradicional. No es necesario recordar todas las sentencias para resolver ecuaciones u otros cálculos que necesites realizar. Según los casos podremos optar por hacerlo utilizando el teclado o la opción Palettes que se encuentran en el File del menú principal.

Por ejemplo intenta escribir y calcular π++

143425

Ingresá en el menú principal a File – Palettes – Basic Calculations – Arithmetic and Numbers. Aparecerá una ventana con la paleta

Para abrir cada una de las opciones hace clic en la flecha de la izquierda por ejemplo. Arithmetic and Numbers donde aparece entre otros la operación de potencia, raíz, etc.


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Por ejemplo intenta escribir y calcular π++

143425

Ingresando a File – Palettes – BasicImputs encontraras los símbolos π, ∞, . Ecuaciones Mathematica resuelve ecuaciones polinómicas hasta grado 4 y racionales, utilizando la sentencia Solve como se muestra, Solve[ecuación, incógnita].

Por ejemplo para resolver la ecuación 1

2

−=

xxx ingresamos

Solve[1

2

−=

xx

x ,x]; Evaluando con Intro del teclado numérico obtenemos

Al introducir el signo " " en la sentencia, si se utiliza el teclado, ingresar dos veces. Si se utiliza la paleta (File – Palettes – BasicInput), seleccionar directamente el símbolo " ". También pueden aparecer constantes en las ecuaciones por eso es necesario aclarar respecto a que variable resolvemos la ecuación, en este caso aparece x luego de la coma, por ejemplo

O como ecuación de ‘a’

Puedes ingresar a File-Palettes - BasicCalculations - Algebra - Solving ecuations para usar la sentencia Solve. Sistemas de Ecuaciones con 2 incógnitas

* Para resolver el sistema

=−=+

2y3x1yx


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* Para resolver el sistema

=−=+

ay3x1yx

Inecuaciones Para encontrar el conjunto solución de una inecuación primero debemos cargar el paquete:

<<Algebra`InequalitySolve` Este paquete proporciona una función para resolver inecuaciones. InequalitySolve[expr,x] encuentra las condiciones que deben cumplir los valores reales de x para que expr sea verdadera. La expresión debe contener conectivos lógicos, ecuaciones polinómicas univariadas e inecuaciones en la variable especificada. Ejemplo: Encontrar el conjunto solución de la inecuación: 065 35 >+− xxx

In[6]:= FactorAx5−5 x3+6 xEOut[6]= xH−3+ x2L H−2+ x2L

In[7]:= InequalitySolve@x Hx^2−2L Hx^2−3L >0, xDOut[7]= −

è!!!!3 < x < −è!!!!2 »» 0< x<

è!!!!2 »» x >è!!!!3

Las inecuaciones pueden contener valores absolutos y funciones racionales.

Ejemplo: Encontrar el conjunto solución de 01

≥−xx y 11

+< xx

In[8]:= InequalitySolve@xêAbs@x−1D ≥0&&1êx <x+1, xDOut[8]=

12 I−1+

è!!!!5M < x < 1»» x> 1

Donde && es la operación lógica conjunción “y”(And). Graficando en el plano En esta sección nos ocuparemos del gráfico de funciones de una variable. Y curvas dadas en ecuaciones paramétricas. Graficas de funciones en coordenadas rectangulares

Comando Plot


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El comando más utilizado para graficar en el plano es Plot. La sintaxis básica es: Plot[f,{x, x min, x max}] : construye el gráfico de f en el intervalo [x min, x max]. Plot[{f1,f2,…,fj},{x, x min, x max}] : construye, en un mismo par de ejes, los gráficos de las funciones f1,f2,…,fj en el intervalo [x min, x max]. Por ejemplo Ingresamos la sentencia Plot[2 x4-3 x+1, {x,-2,2}]; (Intro)

Si después del comando colocamos " ; " no aparece la palabra Graphics en el Output. Plot[{Sin[3 x],Cos[-x+π]},{x,-π,π/2}];

-3 -2 -1 1

-1

-0.5

0.5

1

Puedes encontrar el comando Plot también en File - Palettes - BasicCalculations - Graphics. Mathematica grafica las funciones pedidas, aunque no este definida en ese dominio, avisa que hay valores donde se quiere dibujar que no forman parte del dominio de la primer función, como se muestra a continuación. Plot[Log[x-1], {x,-1,5}] (intro)


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Opciones básicas del comando Plot Las opciones de este comando se escriben después del argumento del mismo y tienen la finalidad de mejorar el aspecto del gráfico. La forma general es: Plot[f,{x, x min, x max}, OpciónÆValor] Para conocer todas las opciones del comando Plot, escribimos como entrada Options[Plot]. Veamos las más utilizadas.

PlotLabel AxesLabel->{x,y}, permite colocar nombre a los ejes en este caso `x` e `y`. PlotLabelÆ"nombre" , permite colocar el título "nombre" al gráfico. Plot[Abs[x],{x,-3,4},AxesLabel->{x,y},PlotLabel->"Módulo"]; (intro)

-3 -2 -1 1 2 3 4x

1

2

3

4yMódulo

PlotStyle La opción PlotStyle controla muchos detalles de la apariencia final de un gráfico.


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PlotStyleÆ{Thickness[t]} : da el grosor de la curva. El argumento "t" representa la razón

entre el ancho de la línea y el ancho total del gráfico. Por ejemplo ingresando Plot[-2 x+3,{x,-1,4}] ; (intro) Mostrará

-1 1 2 3 4

-4

-2

2

4

Ingresando Plot[-2 x+3,{x,-1,4},PlotStyle→Thickness[0.02] ]; (intro) Mostrará

-1 1 2 3 4

-4

-2

2

4

PlotStyleÆ{RGBColor[a,b,c]} : permite dar color al gráfico, por medio de la combinación de colores de "a" (rojo), "b" (verde) y "c" (azul). El valor de estos parámetros varía entre 0 (ausencia) y 1 (presencia máxima).

Por ejemplo si ingresamos Plot[{Sin[2 x], Sin[5 x]}, {x,0,2 π}, PlotStyle -> {RGBColor[0.2,0.8,0.08], RGBColor[0.9,0.7,0.03]}] ; Presionando (Intro) aparece el gráfico


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1 2 3 4 5 6

-1

-0.5

0.5

1

Se puede agregar el color deseado, seleccionándolo directamente de una paleta. Para lograrlo, dentro del comando Plot posicionamos el cursor inmediatamente después de " PlotStyleØ " ; vamos a Input (de la barra de herramientas) y seleccionamos " Color Selector " aparece una ventana que tiene una paleta de colores, a la que, además, se le pueden incorporar colores personalizados. Una vez seleccionado con el mouse un color, se acepta y quedan incorporados dentro de Plot los parámetros del color elegido.

PlotStyleÆ{Dashing[{m,n}]} : con esta opción se puede efectuar el gráfico en línea de puntos; su grosor depende de m y n. Esta opción es cómoda cuando en un mismo gráfico dibujamos varias funciones. Por ejemplo ingresamos

Plot[{Log[x-1],Log[x]}, {x,0,5},PlotStyle->{Dashing[{0.02,0.04}],RGBColor[1,0.5,0]}];

Presionando Enter del teclado numérico (Intro) aparece en la pantalla

Recordemos que por no estar definida Log(x-1) en el intervalo indicado, aparece en pantalla el error y luego la gráfica. En muchas ocasiones es conveniente usa el comando Show.

Comando Show Show[gráfico 1, gráfico 2, ... ,gráfico n] representa en un mismo sistema de ejes, los gráficos 1, 2, ... , n, ya existentes.


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Con este comando podemos, por ejemplo, graficar funciones en distintos dominios como así también permite incluir graficas de funciones y curvas dadas paramétricamente en un mismo gráfico. Primero vemos un comando que puede ser útil en este caso. En ocasiones, queremos construir un gráfico, pero no necesitamos que se muestre inmediatamente en pantalla. Podemos lograrlo con la opción DisplayFunctionÆIdentity. En el momento que necesitamos ver el gráfico utilizamos la opción DisplayFunctionÆ$DisplayFunction. Por ejemplo, primero generamos las graficas gr1, gr2 que no queremos que se muestren inmediatamente, en este ejemplo gr1 en color rojo gr1=Plot[x2,{x,0,2},PlotStyle→RGBColor[1,0,0],DisplayFunction→Identity]; gr2=Plot[x3,{x,-2,2}, DisplayFunction→Identity]; Una vez generadas las graficas las mostramos en un mismo sistema usando el comando show Show[{gr1,gr2},DisplayFunction->$DisplayFunction]; Presionando Enter del teclado numérico (Intro) aparece en la pantalla

-2 -1 1 2

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

Otro comando que puede ser útil es el siguiente Show[GraphicsArray[{gráfico 1, gráfico 2, ... ,gráfico n}]] hace los gráficos sobre una línea, de una punta a otra de la hoja. Ingresamos Show[GraphicsArray[{gr1,gr2}]]; Presionando Enter del teclado numérico (Intro) aparece en la pantalla


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0.5 1 1.5 2

1234

-2 -1 1 2

-0.15-0.1-0.050.050.10.15

Gráficas de funciones definidas por tramos

Para graficar funciones definidas por tramos, se pueden seguir los siguientes caminos: 1) escribir la función tantas veces como tramos tenga y mediante el separador /; escribir

la condición, es decir, los valores de la variable independiente para cada tramo. f1[x_]:= (expresión) /; (valores de la variable)

2) Si uno de los tramos corresponde a x=cte, su gráfica será un punto. En tal caso para graficar la función se debe poner nombre a los restantes tramos y, en forma independiente a la gráfica del punto. Con el comando Show mostrar todos los tramos del siguiente modo:

graf1=Plot[f[x],{x,xmin,xmax}];

graf2=Graphics[{PointSize[r],Point[{abs,ord}]}]; Show[graf1,graf2]

Donde el valor de r determina el tamaño del punto y abs y ord son la abscisa y la ordenada del punto a graficar, respectivamente. Para que en la gráfica no aparezcan rectas verticales lo conveniente es definir cada tramo de la función sin el conjunto de valores de la variable independiente y con el comando Plot graficar cada tramo en forma independiente donde xmin y xmax son los valores de la variable independiente en ese tramo. Con el comando Show mostrar todos los tramos en una gráfica.

Epilog es una función que se utiliza en gráficos de funciones. Añade puntos a la gráfica de una curva. Por ejemplo: Plot[Sin[x],{x,0,2π},Epilog→{PointSize[0.05],Hue[1],Point[{π,Sin[π]}]}]

1 2 3 4 5 6

-1

-0.5

0.5

1

Graphics Donde el valor [0.05] es el diámetro del punto; el valor [1] es el color, rojo en este caso, y {π,Sin[π]} son las coordenadas del punto a graficar.


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Gráficas de funciones definidas en forma paramétrica En muchas ocasiones necesitamos realizar las gráfica de curvas dadas en forma paramétricas para esto utilizamos la sentencia ParametricPlot[{f(t),g(t)},{t,tmin,tmax}]

Por ejemplo si queremos graficar la elipse

==

sentytcosx

32

Ingresamos

ParametricPlot[{2*Cos[t],3*Sin[t]},{t,0,2*Pi}]; Presionando (intro) aparecerá

-2 -1 1 2

-3

-2

-1

1

2

3

Importante: El comando ParametricPlot admite en general las mismas opciones que el comando Plot.

Gráficas de funciones definidas en forma implícita

Las instrucciones que permiten graficar una función expresada en forma implícita se obtienen cargando previamente el paquete Needs["Graphics`ImplicitPlot`"]. La sintaxis es: ImplicitPlot[expresión,{x,a,b}] Por ejemplo: ImplicitPlotAx2+y2 ==4, 8x, −2,3<E;

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

La representación simultánea de varias curvas se realiza en forma idéntica al de los comandos vistos para coordenadas cartesianas explícitas. Dibujando con Mathematica. Un ejemplo de lo aprendido


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Veamos un ejemplo para realizar un dibujo aplicando lo aprendido y algunas sentencias más. La idea es graficar un Chinito Feliz! Primero creamos las graficas que intervienen en el dibujo que este caso son 6. Comenzamos con el contorno de la cara que es una elipse, luego la boca, los ojos, la nariz y por último el sombrero. Utilizamos la opción de no mostrar los gráficos de inmediato, con el comando DisplayFunction→Identity. En grf2, grf4, grf5 cambiamos el color con RGBColor, y en grf2, grf4, grf5 y grf6 cambiamos el grosor con el comando Thickness. Como se muestra a continuación. graf1=ParametricPlot[{3*Cos[t],7*Sin[t]},{t,0,2*Pi},DisplayFunction→Identity]; (Contorno de la cara) graf2=Plot[x^2-4,{x,-2,2},PlotStyle→{Thickness[0.02],RGBColor[1,0,0]}, DisplayFunction→Identity]; (Boca) graf3=ParametricPlot[{Cos[t],Sin[t]},{t,0,2*Pi},DisplayFunction→Identity]; (Nariz) graf4=Plot[2*x+6,{x,-1.5,-1},PlotStyle→{Thickness[0.02],RGBColor[0.5,0.5,0]}, DisplayFunction→Identity]; (Ojo derecho) graf5=Plot[-2*x+6,{x,1,1.5},PlotStyle→{Thickness[0.02],RGBColor[0.5,0.5,0]}, DisplayFunction→Identity]; (Ojo izquierdo) graf6=Plot[-2*Abs[x]+10,{x,-3,3}, PlotStyle→{Thickness[0.02]}, DisplayFunction→Identity]; (Sombrero) Por ultimo usamos el comando Show y DisplayFunction->$DisplayFunction para ver todas las funciones juntas Show[{graf1,graf2,graf3,graf4,graf5,graf6},DisplayFunction->$DisplayFunction]; Presionando (intro) aparecerá

-3 -2 -1 1 2 3

-5-2.5

2.55

7.510


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Si queremos ver los ejes en las mismas unidades usamos el comando AspectRatio -> Automatic (ver Fig. 1) Show[{graf1,graf2,graf3,graf4,graf5,graf6},DisplayFunction->$DisplayFunction,AspectRatio→ Automatic];

-3 -2 -1 1 2 3

-5

-2.5

2.5

5

7.5

10

Fig. 1 Fig. 2 Si queremos que no se muestren los ejes usamos el comando Axes -> False Show[{graf1,graf2,graf3,graf4,graf5,graf6}, DisplayFunction->$DisplayFunction,AspectRatio →Automatic,Axes→False]; (Ver fig. 2) Importante: Observemos que en general los comandos AspectRatio y Axes pueden usarse tanto para la sentencias Plot, ParametricPlot y Show. Probalo es muy conveniente en muchos casos! Cálculo de Límites Para calcular un límite sea finito o infinito, usamos la sentencia Limit[f(x),x→a], como se muestran los siguientes ejemplos.

Limit[ x

25

x]x3[Sin

,x→0]

1

Limit[ 1n*2

n*3+

, n →Infinity]

23


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Puedes Ingresar a File - Palettes - BasicCalculations - Calculus para trabajar con el formato Limit. Y en File - Palettes - BasicImput también encontraras símbolos que pueden ser útiles. Importante: Debemos tener cuidado, ya que Mathematica calcula los límites cuando no existen, por defecto, por eso es conveniente calcular los límites laterales siempre, ya que es muy sencillo. Limites Laterales Veamos un ejemplo donde se muestra como calcula Mathematica los límites cuando no existen por infinitud.

Limit[ ]x[Tan , x→2π]

- ∞ Por defecto toma el limite lateral por derecha, por ello calculamos los limites laterales. Para calcular límites laterales debemos indicar la dirección por derecha o izquierda indicamos con -1 para límite lateral por derecha y 1 límite lateral por izquierda.

Limit[ ]x[Tan , x→2π, Direction→ 1]

∞

Limit[ ]x[Tan , x→2π, Direction→ -1]

- ∞

Derivadas La operación de derivación admite dos tipos de sintaxis. Sea la función f(x), con x variable real, para calcular su derivada podemos escribir tanto f´[x] como D[f[x],x]. Para el cálculo de derivadas sucesivas de f(x) se puede usar cualquiera de las formas aunque la primera es inconveniente para mayores órdenes de derivación. Para calcular la derivada segunda, por ejemplo se escribirá f´´[x] ó D[f[x], {x,2}]. Derivada de una función dada implícitamente Para derivar una función dada en forma implícita utilizaremos el comando Dt, como en el siguiente ejemplo:

Dt[x2+y2==4,x] 2 x + 2 y , Dt[y,x]= 0


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Solve[%,Dt[y,x]]

{{Dt[y,x]• - yx}}

Integrales - Para calcular integrales indefinidas usamos la sentencia Integrate[k[x],x] , k[x] función a integrar y x variable, como se muestra en los siguientes ejemplos Integrate[x,x]

2x2

Integrate[ xx2 + ,x]

3x

3x2 323

+

O Ingresando en File del mesú principal a Palettes -BasicCalculations - Calculus para trabajar con el formato

También puedes calcular integrales impropias, en el caso que no convergen da un mensaje


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Gráfica de funciones en coordenadas polares El software permite graficar funciones cuya expresión está dada en coordenadas polares. Para ello debemos cargar antes de empezar a trabajar en el archivo el paquete <<Graphics`Graphics` y cargarlo cada vez que se inicia una nueva sesión de trabajo. La instrucción para realizar un gráfico es:

PolarPlot[{r[θ],{θ,θmin,θmax}]

Como sombrear el área encerrada por curvas Mathematica permite visualizar al área limitada por dos curvas y = f (x) e y = g(x) en el intervalo [a,b], mediante la instrucción FilledPlot, cuya sintaxis es la siguiente:

FilledPlot[{f[x],g[x]},{x,a,b}] Visualiza el área limitada por las curvas y = f (x) e y = g(x) en el intervalo [a,b].

FilledPlot[f[x],{x,a,b}] Visualiza el área limitada por las curva y = f (x) y el eje OX en el intervalo [a,b]. Para utilizar al instrucción FilledPlot hay que cargar el paquete Graphics`FilledPlot` <<Graphics`FilledPlot` Como conseguir ayuda 1. Mathematica proporciona una descripción de cualquier función o comando, escribiendo el nombre de la instrucción y utilizando los símbolos ? y * como sigue: ?C Dará información sobre el comando C. ??C Dará una información mucho más detallada que la anterior, sobre el comando C. ?C* Da una lista con todos los comandos cuyo nombre comienza con la palabra C. ?*C Da una lista con todos los comandos cuyo nombre termina con la letra C. ?*C* Da una lista con todos los comandos cuyos nombres contienen C.


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Por ejemplo nos interesa información sobre Plot, ?Plot ??Plot ?*Plot* Probá para ver que información te da. 2. También se puede conseguir ayuda eligiendo Help del menú principal. El Help, además de contener la explicación de todos los comandos, en algunos temas incluye ejemplificación. Veamos un ejemplo: Ir a Help de la barra de herramientas, elegir Help. Marcar con el mouse Master Index. Buscar en la primer columna la letra P, marcarla. Buscar en la segunda columna la palabra Plot. Marcar la palabra Plot escrita en azul. Dar un vistazo a lo escrito hasta llegar a: "See the Mathematica book: Section 1.9.1", esto último está escrito en azul. Márquelo y lea un poco de qué se trata. Es importante y aconsejable que en otro momento se ponga a investigar un poco las opciones del comando Help. El presente tutorial fue realizado por la Lic. Sandra Ramírez con actualizaciones y adecuaciones de la Prof. Mercedes Moreno Díaz con la colaboración de los alumnos y tutores Cristian Nabte y Alejandro Martínez.

tutorial 2011

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