Sistemas Matemticos Coputacionales

Sistemas Matemticos ComputacionalesMathematicaMTI. Mnica del Roco Torres IbarraIntroduccinMathematica es un programa diseado por la empresa Wolfram Research, Inc. que emplea algoritmos muy potentes para la resolucin de problemas en diversas ramas de la Matemtica. Existen versiones diseadas para operar en diversos sistemas operativos e interfaces grficas. Estructura de los documentosLos documentos en Mathematica son llamados Notebooks, el cual contiene una lista de celdas. En ellas se introducen las expresiones. Todas las celdas estn agrupadas por un corchete en la parte derecha de las mismas.Podemos dar formato a nuestros documentos de forma que no queden como simples clculos.DilogoTodo se basa en el estilo pregunta-respuesta, es decir, bajo el formato de entrada (In[n]), y salida (Out[n]).

Donde:(In[n]) Es la operacin a realizar(Out[n]) Su respectiva respuestaOperaciones elementalesPodemos utilizar Mathematica como una calculadora, utilizando los operadores:+ Adicin. - Sustraccin. * Multiplicacin. / Divisin. Sqrt [n] Raz cuadrada de "n". n! Factorial de "n".

Para ejecutar una operacin se utiliza la combinacin + o Ejercicios Operaciones bsicasRealice las siguientes operaciones en el mathematica

ComentariosPodemos escribir texto en nuestros archivos sin que esto nos origine errores en los resultados, simplemente indicndolos como comentarios.Para ello debemos encerrar el texto entre parntesis-asterisco

(* Este es un comentario *)Manejo de resultadosPodemos trabajar con resultados obtenidos anteriormente fines sin la necesidad de volverlos a escribir. Solo con la siguiente nomenclatura: % Para referirse el ltimo resultado.%% Para referirse al penltimo resul. %n Se refiere al resultado especificado con el nmero n.

Ejm: % * 1.15Ejercicios Valores numricos y (3/2-7/5I)(2/5-8/3I)(3./2-7/5I)(2/5-8/3I)Sqrt[2] //N N[Sqrt[2],50]Calcule el Seno de Pi/3= con formato decimal= con formato decimal con 8 dgitos= con280 dgitos

Sintaxis Elemental

Caracteres especiales; No despliega resultados\ Continua en la siguiente lnea? Informacin sobre un comando?? + Informacin del comando Opciones de las funciones[ ] Argumentos de funciones ( ) Para agrupar trminos{} Se usan para las listas[[ ]] Se usan para elementos de las listasConstantes y salidasMatemtica identifica algunos smbolos como caracteres especiales, tales como:

Para indicar el tipo de salida que queremos:Oper.Valor numrico de la expresin//N =N[ ]=N[f1, n] = con n dgitos de precisin

Ejercicios Constantes internas{Pi, E, I, Infinity}PiN[Pi/4]N[ /4]N[E] e //N 1/01/Infinity1/

Funciones Matemticas (Help)

Ejercicios - FuncionesSqrt[2]Abs[-5]Sqrt[-4](4+3 I)/(2-I)Exp[2+9 I]Log[e]Exp[Log[x]]Cos[Pi/2]ArcCos[0]5!Binomial[5,2]Gamma[1]Gamma[3.5]Beta[2,3.5]Valores en variablesUna tcnica ms apropiada para referirse a resultados anteriores es justamente dar un nombre a dichos resultados.b=valorasigna valor a bbregresa el valor de bb=. o Clear[b]limpia el valor de b/.Asigna el valor a la expRemove[x]Elimina x como var.Ejercicio Valores smplesx=5y=9x^2+3yx+y

Remove [x,y,p]p=x+Sin[y]p /. {x3.7, y2}p^2p=x+Sin[y]x=3.7; y=1.2; pp^2x^3-3x^2-6x+2/.x1x^3-3x^2-6x+2/.x 5x^3-3x^2-6x+2/.x9Ejercicio - Lista de valores(x+y+z)2 donde x=1, y=2 y z=3regla = {x1, y2, z3};(x + y + z)^2 /. regla (x + y^2 + z^3) /. regla(x^2 + y - z^2) /. reglax=3; y=6; z=9;(x + y + z)^2 (x + y^2 + z)^2 (x^2 + y - z^2)ListasCuando se realizan clculos, a veces es conveniente juntar varios resultados y tratarlos todos a la vez como uno slo. Para ello tenemos las Listas. Una Lista no es ms que una coleccin ordenada de cero o ms objetos. Una lista se puede manejar de muchas maneras, es decir, hacer operaciones, asignar valores a una variable y en general manejar una lista como si ella fuese un simple nmero.a={3,5,6} Ejercicios Listas simplesa={3,5,1}a^2+1b=3a+2aba+bSin[a] //N

Manipulacin de listas{a,b,c}lista unidimensional List[a,b,c]{{a,b,c,d},{e,f,g,h}}lista bidimensionallista[[i]]elemento i de la listalista[[i,j]]elemento (i,j) de la listaLenght[lista]nmero de elementos en listaMatrixForm[lista]lista en forma de matrizTableForm[lista]lista en forma de TablaEjercicios - Listasa={x,y,z}b={{3,2,5,4},{4,1,6,2},{3,1,1,6}}a[[3]]b[[2]]b[[2,3]]{Length[a],Length[b]}b//MatrixFormb//TableFormClear[a,b]Formando ListasEl comando Table[] nos permite formar listas en generalTable[expresin,{b}] forma una lista de b valores de expresinTable[expresin,{i,b}] forma una lista de los valores de expresin con i tomando valores desde i=1 hasta i=b Table[expresin,{i,a,b}] forma una lista de los valores de expresin con i tomando valores desde i=a hasta i=bTable[expresin,{i,imin,imax},{j,jmin,jmax},...] genera una tabla multidimensionalEjercicios - TablasTable[a, {6}]Table[Random[],{4}]Table[i^2,{i,6}]Table[Exp[x],{x,0.,5.}]m=Table[i-j,{i,2},{j,2}]m[[1]]%[[2]]m[[1,2]]TableForm[m]m//MatrixFormD[%,x]FuncionesAdems de las muchas funciones que el Mathematica incluye para su uso directo, nos permite definir y manipular nuestras propias funciones.

f[x_]:=Expresindefine la funcin f de variable xf[x_,y_]:=Expresiondefine la funcin f de variables x yClear[f]limpia todas las definiciones para fRemove[f]remueve f completamenteEjercicios - Funcionesf[x_]:=x Cos[x]f[2]f[x+x2]f'[x]f[a_, b_, c_]:=ax2+bx+cf[1,2,3][x]g[x_]=f[3,2,1][x]AsignacinComo indicamos anteriormente el smbolo = se usa para asignar valores a una variable mientras que el smbolo := lo usamos para definir una funcin. Mientras el smbolo = evala la expresin del lado derecho y realiza una asignacin, el smbolo := hace que la expresin del lado derecho sea guardada para ser evaluada posteriormente. Operadores==Igual!= Diferente< >Menor que, Mayor que=Menor Igual, Mayor Igual p && qverdadero si p y q son verdaderos pp || pverdadero si p o q o ambos son verdaderos (o lgico)Xor[p,q]verdadero si solo p o q son verdaderos (o lgico)!pverdadero si p es falsoNot[p]Operadores CondicionalesIf[condicin, entonces]If[condicin, entonces, caso contrario]If[condicin, entonces, caso contrario, en otro caso]Which[condicin1, entonces1, condicin2, entonces2,...]Switch[expresin, forma1, valor1, forma2, valor2,...]Ejercicio - Operadores

PolinomiosTeclear nicamente los trminos de un polinomio permite al programa agrupar trminos comunes.5-4x+3x^2-7x+x^2La funcin Expand[exp, var] realiza los productos y eleva las potencias. Si se especifica alguna variable lo hace solo para ella, de lo contrario lo hace para todas.Expand[(a+b)^2]p=(x+1)^2-(y+3)^2Expand[p,x]Expand[p,y]La funcin Collect[exp, var] agrupa todas las potencias de la variable indicadaCollect[(x-3)^2(2y+1)^2,x]Collect[(x-3)^2(2y+1)^2,y]La funcin Factor[exp] factoriza la expresin.Factor[2x^3+9x^2+10x+3]La Funcin Simplify[exp] simplifica la expresin.p=(2+4x^2)^2(x-1)^3p2=Expand[p]Factor[p2]Simplify[p2]

Ejercicios - Funciones(2+4x^2)^2(x-1)^3Expand[(2+4x^2)^2(x-1)^3](2+4x^2)^2(x-1)^3 //ExpandPoli=(2+4x^2)^2(x-1)^3Expand[poli] Factor[%]p1=(x+1)^2(y+1)^2p2=Expand[p1]Factor[p2] Collect[p2,x]

Cuidado con las variables!p3=2x^2+2x^3-12xy-10x^2y+18y^2+6xy^2+18y^3p3=2x^2+2x^3-12x y-10x^2y+18y^2+6x y^2+18y^3Factor[p3]Factor[p4]*** Si se trata de la multiplicacin de 2 variables estas deben estar separadas ***Funciones RelacionalesCociente de dos polinomios

ExpandNumerator[expr]expande el numeradorExpandDenominator[expr]expande el denominadorExpand[expr]expande el numerador dividiendo por el denominadorExpandAll[expr]expande nume. y denomi. Apart[expr]descompone en frac. simplesTogether[expr]combina los trminos sobre un denominador comnCancel[expr]elimina factores comunes Factor[expr]factoriza completamenteEjemplosExpandNumerator[w]ExpandDenominator[w]Together[w]Factor[%]Apart[w]

DominiosComplexesnmeros complejos CRealsnmeros reales RAlgebraicsnmeros algebraicos ARationalsnmeros racionales QIntegersnmeros enteros ZPrimesnmeros primos PBooleansnmeros booleanos BEcuaciones x=y es una asignacin en la que el valor de y es asignado a x, mientras que x==y verifica si x es igual a y.

x=4x==5x==4% /. x4x==6xClear[x]x=.RepresentacinExpresiones como 3x3-x2+2x-7==0 representan ecuaciones en Mathematica y es nuestra forma de definirlasecu=x2+2x-15==0ecu /. x4ecu /. x3Solve[ecu]Solucin de EcuacionesLa funcin Solve[exp, var] resuelve la ecuacin mostrando la solucin para las diferentes variables.

Solve[izq==der,x]devuelve valores para x (solucin)nombre = izq==derasigna un nombre a la ecuacinnombre = Solve[izq==der,x] asigna un nombre a la solucinx /. solucinda valores a xexpr /. solucinda valores a la expresin

EjerciciosResuelva las siguientes ecuaciones:x2+2x-7=0c=6x^2+5 m x+m^2=0(x+1)2=x2+2x3x3-2x2+7x-2=34xy-7x2y+4xy2=0x2+3x-7=-2SolveEl comando Solve trata siempre de proporcionar valores para las soluciones de una ecuacin. Sin embargo, hay ecuaciones complicadas. Por ejemplo, una ecuacin polinomial en una variable, la ms alta potencia de la variables es cuatro, entonces Mathematica siempre dar las soluciones. Sin embargo, si la ms alta potencia es cinco o ms, sera en muchos casos imposible dar una solucin en forma explicita.EjemplosObtenga el valor numrico de la solucin de las siguientes expresiones:x^4 - 5 x^2 - 3 =0x^6 = 12 - 4 x + x^5 = 0x2+2x-7=0(x+1)2=x2+2xX3-3(x-1)2=(x-1)3+3x-2Resolver un sistema de ecuacionesSolve[{izq1==der1,izq2==der2,...},{x,y,...}]resuelve el sistema de ecuaciones para x,y,...Solve[eqns,vars,elims]intenta resolver la ecuacin para vars eliminando las variables elimsResolvera x+y=0, 2 x+(1-a)y=1x^2+y^2=1, x+3 y=0ec1=2x+y+11z=18ec2=x+2y-8z=-3ec3=2x+3y+z=10sistema={2x+3y=0,x+3y=3,x+y+3z=5}

Resolver de forma aproximadaNSolve[izq==der,x]da una lista de aproximaciones numricas para una ecuacin polinmicaNSolve[izq==der,x,n]igual, con n dgitos de precisinNSolve[{ec1,ec2,...},{var1,var2,...}]resuelve el sistema de ecuaciones polinmicasFindRoot[izq==der,{x,x0}]busca una solucin numrica para la ecuacin con x0 como valor de arranqueNSolve[{ec1,ec2,...},{{x,x0},{y,y0},...}]busca una solucin numrica para el sistema de ecuacionesResolverx5-x+1=0 f=e-x-x2Solve, N[ ], Nsolve[ ], N[Solve[ ]]ecus=x2+y3=xy, x+y+x2=1ecua=x2+y2=1, Seno(x)-y=0Ecui=c2+y2=1, y=x Exp[x]

Lmiteslimit[f,xv] Obtiene el lmite de la funcin f cuando x tiende a v

Lmites lateralesAlgunas funciones pueden tener diferentes lmites en puntos particulares, dependiendo de la direccin que se use para aproximarse a dicho punto, en ese caso usaremos la opcin Direction para indicar la direccin que deseamos. Direction1 lmite por la izquierdaDirection -1lmite por la derechaEjemplosObtenga el lmite que se aproxima tanto por la izquierda como por la derecha de las siguientes expresiones:

Intervalo de valoresPuesto que no toda funcin tiene lmite en un punto particular, el Mathematica proporcionar, de ser posible, un intervalo de valores en los cuales la funcin oscila, de manera de indicar el comportamiento de la funcin al aproximarse al valor pedido.EjemplosObtenga el lmite de las siguientes expresiones:

DerivadasD[f,x]derivada parcial de f respecto de x, tambin f[x] y D[f,x,y]derivada parcial de f respecto de y luego respecto de x , D[f, x1,x2, ... ]derivada parcial de f respecto de x1,x2,.,D[f,{x,n}]n-sima derivada de f respecto de x, es decir

Ejemplos

EjerciciosObtenga la 1 y 2 derivada parcial de las siguientes expresiones: respecto a x respecto a yrespecto a x y

Cuando diferenciamos una funcin conocida se proporcionar un resultado en forma explicita, mientras que cuando diferenciamos una funcin desconocida f los resultados quedarn en funcin de f'

Derivadas TotalesPara las derivadas totales de una funcin usaremos el smbolo Dt. En Mathematica D[f,x] proporciona la derivada parcial de f respecto de x asumiendo, a menos que se indique lo contario, que todas las otras variables que aparezcan son independientes de x. Dt[f,x] nos proporciona una derivada total, en la que se asume que todas las variables dependen de x. EjerciciosObtenga la derivada parcial y total de:x2+y2 dxx2+y2+z2 dxx3-y2 dxx3-y2 dyIntegrales IndefinidasEl Mathematica usa la funcin Integrate[f,x] para proporcionarnos . Este resultado de la integral indefinida puede ser fcilmente verificado calculando la derivada del resultado y simplificando. La funcin Integrate asume que cualquier objeto que no contenga explcitamente la variable de integracin, es independiente de ella y en consecuencia es tratado como una constante.Integrate [f,x]

Ejemplos

Sumas y Productos finitosSum[f,{i,b}]suma con i desde 1 hasta bSum[f,{i,a,b}]suma con i desde a hasta bSum[f,{i,a,b,d}]suma con i desde a hasta b con paso dProduct[f,{i,b}]producto con i desde 1 hasta bProduct[f,{i,a,b}]producto con i desde a hasta bProduct[f,{i,a,b,d}] producto con i desde a hasta b con paso d

EjerciciosSum[s,{i,4}]Product[x+n,{n,4}]Suma de 1/n2 con n de 1 hasta 80Suma de (n+1)/(n+2)3 con n de 0 a infinitoProducto de 1-(1/2n2) con n de 1 a infinitoSuma de 1/n con n de 1 a infinito

GraficasPlot[f,{x,xmin,xmax}]grafica f con x de xmin a xmaxPlot[f,{x,xmin,xmax}, opcionvalor]= con la opcin indicadaPlot[{f,g,h,...},{x,xmin,xmax}] grafica juntas varias curvasPlot[Evaluate[Table[f1,f2,...]],{x,xmin,xmax}]genera la lista de funciones y las graficaShow[graf]redibuja la grfica grafShow[g1,g2,...]combina las grficas g1, g2, ...Show[graf,option->value]redibujar la grfica graf cambiando la opcin indicadaShow[GraphicsArray[{{g1,g2,...},...}]]dibuja un arreglo de grficasEjemplog1= grfica de Seno(x) de 0 a 2Pig2= grfica de Coseno(x) de 0 a 2PiMostrar g1 y g2 en una sola figuraComando PlotComando Show

EjemplosGraficar las siguientes expresiones:fun1=Seno(x) con x de Pi a Pifun2= de -5 a 5

de Pi/2 hasta Pi/2

Opciones - GridLinesDibuja una cuadricula bajo la grfica, sus opciones son:None Se veAutomatic No se veGridLines AutomaticEjercicio Dibuje la grfica de fun con una cuadrculaOpciones - PlotLabelPermite poner un ttulo a la grficaPlotLabelTulo de la GrficaEjercicio: En la grfica anterior escribe el Ttulo Grfica de la funcin Seno

Opciones - PlotStylePermite dar un estilo al dibujado de la grfica, dependiendo de el valor asignadoPlotStyleThickness[0.008]Dibuja la grfica con un grosor de la lnea de 0.008 puntosEl valor debe estar entre 0 y 1Opciones - AspectRatioEs la razn alto-ancho para la grfica. Determina la escala para la imagen finalAspectRatioAutomaticAspectRatio1/GoldenRatio

Observe la diferencia al realizar estas grficasShow[Graphics[Circle[{0,0},1]]];Plot[Sin[x],{x,0,2 p}]Opciones - PlotRangeEstablece un rango para y en la grficaEspecifica qu puntos se incluyen en la grficaPuede tomar los siguientes valoresAll Todos los puntos son incluidosAutomatic Es el valor por default{min, max} Lmites para y(2D) o z(3D){{xmin,xmax},} Lmites explcitosEjemplosGrafica la tangente de x de 0 a 2PiAgrega un rango a la grfica de -8 a 8Modifica el rango de Pi a PiGrafica x5-4.5x4+21.x2-7 de -10 a 14Agrega la opcin de PlotRange en cada una de sus 4 variantes (All, Automatic,{min,max}, {{xmin,xmax},{ymin,ymax}})

Opciones- AxesPermite manipular los ejes de modo para que sean representados en la grfica de la siguiente forma:AxesOpcionFalse No se ve ninguno True Se ven ambos{False, True} Se ve el eje x pero no el y{True, False} Se ve el eje y pero no el xEjercicio:Haga una representacin grfica de las siguientes expresiones con todas las variantes de Axes.De -5 a 5De -1 a 1De 0 a 2PiSeno(x), Coseno(x), Tangente(x)Secante(x), Cosecante(x), Cotangente(x)

Opciones - DisplayFuncionEs una opcin para grficas y sonido que permite especificar cmo desplegarlos:Opcin por defaultDisplayFuncionDisplayPara que la grfica no se muestre en pantallaDisplayFuncionIdentityEjerciciosRealiza las grficas de las funciones trigonomtricas anteriores utilizando la opcin de Identity.Nota. Utilizamos ; para decirle a mathematica que no muestre salida, en el caso de las grficas ese ; nicamente no despliega la palabra Graphics que aparece despus de cada grfica. Opciones - GraphicsArrayUtilizada con Show, permite mostrar las grficas como un arreglo (tantas lneas como se le indique)GraphicsArray[{, , }] representa las grficas en una sola lnea. GraphicsArray[{{, , }, }] representa las grficas como un arreglo bidimencional.Ejercicio. Represente todas las grficas anteriores en 1, 2 y 3 lneas.Opciones - AxesLabelPermite poner rtulos o etiquetas a los ejes.AxesLabeNoneSin etiquetasAxesLabeEtiqueta Especifica la etiqueta para el eje y (2D) y el eje z (3D)AxesLabel{x,y,} etiqueta para cada ejeEjercicio. Realice la grfica de y coloque como etiqueta de eje y Poblacin y en el eje x Tiempo rango 0 a 3Realice la grfica del Seno de x y etiquete el eje x valor de x y el eje y Seno de x (-2Pi a 2Pi)

Opciones - TicksPermite establecer las marcas que aparecern en los ejes (escala).None no aparece ninguna marcaAutomatic marcas establecidas por default{xmarcas,ymarcas} marcas para cada eje Ejercicio: Para fun= Cos[Abs[x]], establezca marcas con cada una de las opciones y combinacin de las 2 ltimas (x=0,Pi/2,Pi, 3Pi/2,2Pi)

Opciones - AxesOriginPermite modificar el punto de cruce de los ejes, se debe especificar el punto de cruceAutomatic Cruza en el punto 0,0{x,y} Cruza en el punto x,y establecidoEjercicio: Establezca 2 diferentes puntos de cruce de los ejes para la grafica de la funcion fun=seno(x)Opciones - FramePermite dibujar un margen alrededor de la grfica, si las marcas (ticks) estn activadas se colocan alrededor del mrgen. Sus opciones son: True y FalseEjercicio: Realice la grfica del Coseno de x en un rango de -2Pi a 2Pi, cuadricula y margen a su alrededor.Opciones - FrameLabelPermite colocar etiquetas al lado de cada uno de los mrgenes (debe estar activado Frame en True)FrameLabel{"A","B","C","D"}Donde, cada letra representa la etiqueta cada lado del marco, iniciando abajo en el sentido de las manecillas del reloj.Ejercicio: Realiza la grfica de con un margen y escribe las etiquetas arriba, abajo, izquierda y derecha en su respectivo sitio

Opciones - FrameTicksMarcas en el cuadro (escalas). Igual que el ticks, pero en lugar de que las marcas aparezcan sobre los ejes aparecen sobre el marco.Ejemplo: Para fun= Cos[Abs[x]], establezca marcas para ambos ejes con los valores + 0,Pi/2,Pi, 3Pi/2,2Pi y + 0.2, 0.4, 0.6, 0.8,1

Opciones DefaultFontPermite establecer el tipo de letra que ser utilizada para la generacin del grficoSu estructura es:DefaultFont{Tipo-Estilo,tamao}Ejercicio: Realice la Grfica de la funcin e indique 2 diferentes tipos y tamaos de letra para ella.

Opciones - CMYKColorOpcin de PlotStyle, permite especificar el color en el que sern desplegadas las lneas de la grficaCMYKColor[cyan, magenta, yellow, black]Ejercicio: Genera en una grfica el Seno de x, 2x, 3x, 4x de 0 a 2Pi. Colorea las lneas en azul y luego en amarillo. Realiza la misma grfica con un color para cada lnea.Opciones - RGBColorOpcin de PlotStyle, permite especificar el color en el que sern desplegadas las lneas de la grficaRGBColor[red, green, blue]Ejercicio: Genera en una grfica el Seno de x, 2x, 3x de 0 a Pi. Colorea las lneas en azul y luego en verde. Realiza la misma grfica con un color para cada lnea.Opciones - GrayLevelOpcin de PlotStyle, permite especificar que las lneas sern desplegadas en cierta escala de grises, dependiendo de el valor, el cul debe estar entre 0 y 1.GrayLevel[valor]Ejercicio: Genera en una grfica el Seno de x, 2x, 3x de 0 a Pi. Asigna diferentes tonos de gris a cada lnea.Opciones - BackGroundPermite especificar el color del fondo de la grfica.Sus opciones pueden contener cualquiera de las formas y combinaciones vistas anteriormente.Ejercicio: Copia 3 de las grficas que haz realizado hasta el momento y establece para cada una diferente color de fondo.Resumen de OpcionesNombre de la OpcinExplicacin

AspectRatiola razn alto-a-ancho para la grfica. se calcula de las coordenadas x e yPlotRangerango para y en la grficaPlotLabeluna expresin para poner como nombre a la grficaAxespara mostrar o no los ejesAxeslabelpara poner nombres a los ejesAxesOriginel punto de cruce de los ejesTicksmarcas en los ejes. None ocasiona que no haya marcasTextStyleel estilo de la letra a usar en el texto de la grficaFormatTypeel tipo de letra a usar en el texto de la grficaDisplayFunctioncomo mostrar la grfica. Identity ocasiona que no se muestreFramepara mostrar un cuadro alrrededor de la grficaFrameLabelnombres para poner alrrededor del cuadroFrameTicksmarcas en el cuadro. None ocasiona que no haya marcasGridLineslineas. Automatic hace que haya una por cada marca mayorPaquetes adicionalesAdicional al comando Plot existen un montn de comandos para graficar. Los comandos Plot, ListPlot y ParametricPlot estn en las funciones internas en forma directa. Otros comandos como PolarPlot, LinearLogPlot, FilledPlot, etc., se encuentran normalmente en los llamados paquetes adicionales, esto significa que antes de usarlos debemos indicar al Mathematica que queremos usar un determinado paquete, para entonces proceder a usar los comandos que all se encuentran.Grficas de Puntos - ListPlotPermite generar grficas de puntos de la funcin especificadaLisPlot[Funcion, {rango}]Ejercicios: Genera la grfica de los puntos {1,-1},{3,-2},{-2,-4},{1,2}Genera 20 puntos para la funcin 4n/(n+1) y graficalos.