tugas kelompok

D E T E R M I N A N

1. PENGERTIAN

Setiap matrik bujursangkar A selalu dikaitkan dengan suatu sknlar yang disebut

Determinan. Sebelum mulai dengan yang lebih umum, kita ambil dahulu matrik A (2x2)

sebagai berikut :

Didefinisikan ; det(A) = = ad –bc

Contoh 1.1

A = maka det(A) = 1.5 – 3.5 = 5 – 15 = -10

1. PERMUTASI

Definisi 2.1

Permutasi himpunan bilangan – bilangan bulat {1,2,3 …,n} adalah susunan bilangan –

bilangan bulat ini menurut suatu aturan tanpa menghilangkan atau mengulangi bilangan –

bilangan tersebut.

Contoh 2.1

Ada 6 permutasi yang berbeda dari himpunan {1,2,3} yaitu {1,2,3}, {1,3,2}, {2,1,3},

{2,3,1}, {3,2,1}, {3,1,2}

Banyaknya permutasi dapat dihitung dengan factorial. Untuk contoh soal diatas 3! = 1.2.3

= 6

Definisi 2.2

Invers pada suatu permutasi (j1, j2, j3 …,jn) adalah adanya jk < ji (jk mendahului ji) padahal

ji < jk (I dan k = 1, 2, . . ., n)

Contoh 2.2

Berapa banyak invers yang terdapat pada permutasi {2, 1, 4, 3} ?

Ada 2 invers yaitu :

1. ji = 2 mendahului jk = 1, padahal 1 < 2

2. ji = 4 mendahului jk = 3, padahal 3 < 4

Tentukan banyaknya integer yang lebih kecil dari j1 dan yang mengikuti j1 dalam

permutasi

Tentukan banyaknya integer yang lebih kecil dari j2 dan yang mengikuti j2 lanjutkan

proses penghitungan ini untuk j3, ..., jn-. Jumlah dari bilangan-bilangan ini akan

merupakan total banyaknya inversi ini dalam permutasi tersebut.

Contoh 2.3

Tentukan banyaknya inversi pada permutasi-permutasi berikut :

a.(6, 1, 3, 4, 5, 2)

b.(2, 4, 1, 3)

c.(1, 2, 3, 4)

Penyelesaian :

a. Banyaknya invers adalah 5 + 0 +1 + 1 + 1 = 8

b. Banyaknya invers adalah 1 + 2 + 0 = 3

c. Tidak ada invers untuk permutasi ini

2. DETERMINAN

Cara termudah mencari determinan dari matrik bujursangkar untuk orde yang tidak

terlalu besar adalah dengan metode SARRUS .

(-) (-) (-)

(+) (+) (+)

Contoh 3.1:

= 2.1.2 + 3.2.3 + 1.2.1 – 1.1.3 – 2.2.1 – 3.2.2

= 4 + 18 + 2 – 3 – 4 – 12 = 5

3.1 MENGHITUNG DETERMINAN DGN REDUKSI BARIS

Metode ini penting untuk menghindari perhitungan panjang yang terlibat dalam

penerapan definisi determinan secara langsung.

Theorema 3.1.1

Jika A adalah matrik segitiga n x n, maka det(A) adalah hasil kali elemen – elemen pada

diagonal utama, yaitu , det(A) = a11.a22.a33 .. ann

Contoh 3.1.1

= (2) (-3) (6) (9) (4) = -1296

Contoh 3.1.2

Hitung det(A) dimana A =

Jawab :

Baris I ditukar dengan baris II ( H21), sehingga menjadi = -

= - 3 H31(-2) = - 3 H32

(-10)

= - 3 = (-3) (-55) = (-3) (-55) (1) = 165

Metode reduksi baris ini sangat sesuai untuk menghitung determinan dengan

menggunakan komputer karena metode tersebut sistematis dan mudah diprogramkan.

3.2 SIFAT-SIFAT DETERMINAN

Misalkan A dan B adalah matriks-matriks n x n, dan k adalah skalar sembarang.

Kita mulai dengan mempertimbangkan hubungan yang mungkin antara det(A), det(B)

dan

Det(kA), det(A + B), dan det(AB)

Karena faktor bersama dari baris manapun dari suatu matriks dapat dikeluarkan

melewati tanda determinan, dan karena tiap baris dari n baris pada kA memiliki faktor

bersama k, maka kita peroleh

Det(kA) = kn det(A)

a. Det[A+B] ≠ det[A] + det[B]

b. Misalkan A,B,C adalah matriks-matriks n x n yang berbeda hanya pada satu baris,

misalnya baris ke-r, dan asumsikan bahwa baris ke-r dari C dapat diperoleh dengan

menjumlahkan entri-entri yang bersesuaian pada baris ke-r dari A dan B maka

det[C]=det[A] + dt[B].

c. Jika A dan B matriks-matriks bujur sangkar dengan ukuran yang sama, maka

det[AB] = det[A] det[B]

d. Jika A dapat di balik, maka det(AT) =

3.3 MINOR, EKSPANSI KOFATOR, & ATURAN CRAMER

Minor aij adalah determinan submatrik yang tetap setelah baris ke – i dan kolom

ke – j dicoret dari A . Dinyatakan dengan |Mij|.

Sedangkan bilangan (-1) i+j |Mij|dinyatakan oleh Cij disebut Kofaktor

Contoh 3.3.1

A = Minor dari elemen a23 = = 18 – 24 = -6

Kofaktor dari elemen a23 = (-1) (-6) = 6

Perhatikan bahwa kofaktor dan minor hanya berbeda pada tandanya, yaitu C ij =

Mij . Cara cepat untuk menentukan apakah penggunaantanda + atau tanda – merupakan

penggunaan tanda yang menghubungkan Cij dan Mij berada dalam baris ke – i dan kolom

ke – j dari susunan :

Misalnya C11 = M11, C21 = -M21 , C44 = M44, C23 = -M23

Theorema 3.3.1

Determinan matrik A yang berukuran n x n dapat dihitung dengan mengalikan elemen –

elemen dalam suatu baris (atau kolom) dengan kofaktor – kofaktornya dan menambahkan

hasil kali – hasil kali yang dihasilkan, yaitu setiap 1 £ i £ n dan 1 £ j £ n , maka

det(A) = a1jC1j + a2jC2j + … + anjCnj

(ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke – j)

dan

det(A) = ai1Ci1 + ai2Ci2 + … + ainCin

(ekspansi kofaktor sepanjang baris ke – i)

Contoh 3.3.2

Det(A) bila A = adalah

Dengan menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama

= 3 - 1 + 0 = (3)(-4) – (1)(-11)

= -12 + 11

= -1

INVERS MATRIKS DENGAN MENGGUNAKAN ADJOIN

Definisi 3.3.1

Jika A adalah sebarang matrik n x n dan Cij adalah kofaktor aij, maka matrik

disebut matrik kofaktor A.

Transpose matrik ini disebut Adjoin A dan sinyatakan dengan adj(A).

Jika A adalah matrik yang dapat dibalik, maka : A = adj(A)

ATURAN CRAMER

Theorema 3.3.2

Jika AX = B adalah sistem yang terdiri dari n persamaan linier dalam n bilangan tak

diketahui sehingga det(A) 0, maka system tesebut mempunyai pemecahan unik.

Pemecahan ini adalah :

x1 = , x2 = , … , xn =

dimana Aj adalah matrik yang didaptkan dengan mengantikan elemen- elemen dalam

kolom ke j dari A dengan elemen matrik B =

Contoh3.3.3

Gunakan aturan Cramer untuk memecahkan

x1 + + 2x3 = 6

-3x1 + 4x2 + 6x3 = 30

-x1 - 2x2 + 3x3 = 8

Jawab :

A= ,

A1= , A2= , A3=

Maka

x1 = = = ,

x2= = = ,

x3 = = =

3. INVERS

Matriks :

A =

A dapat di balik (invers A) jika ad – bc ≠ 0. Dapat di hitung dengan rumus :

A-1 = =

Teorema 4.1

Jika B dan C kedua-duanya adalah invers dari matriks A, maka B = C

Bukti :

Karena B adalah invers dari A, maka BA = I. Dengan mengalikan kedua ruas di sisi

kanannya dengan C di peroleh (BA)C = IC = C. Tetapi (BA)C = B(AC) = BI = B,

sehingga C = B.

Berikut pernyataan mengenai invers dari matriks yang dapat di balik, ‘Jika A

dapat di balik, maka inversnya akan di nyatakan dengan simbol A-1, jadi :

AA-1 = I dan A-1A = I

Teorema 4.2

Jika A dan B adalah matriks matriks yang dapat di balik dengan ukuran yang sama, maka

AB dapat di balik dan

(AB)-1 = B-1 + A-1

Determinan

1. Fungsi determinan

Sebelum memepelajari fungsi determinan, harus kenal terlebih dahulu tentang

permutasi.

Perhatikan definisi dibawah ini

DEFINISI 2.1.1 Permutasi suatu himpunan bilangan bulat {1, 2, 3, …., n} adalah suatu

susunan bilangan-bilangan bulat dalam suatu urutan tanpa pengulangan

Akan lebih jelas, perhatikan contoh dibawah ini

CONTOH 2.1.1 Ada enam permutasi yang berbeda dari himpunan bilangan bulat {1, 2,

3}

permutasi tersebut adalah

(1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1)

CONTOH 2.1.2 Ada 24 permutasi yang berbeda dari himpunan bilangan bulat {1, 2, 3,

4},

permutasi tersebut adalah

(1, 2, 3, 4), (1, 2, 4, 3), (1, 3, 2, 4), (1, 3, 4, 2), (1, 4, 2, 3), (1, 4, 3, 2)

(2, 1, 3, 4), (2, 1, 4, 3), (2, 3, 1, 4), (2, 3, 4, 1), (2, 4, 1, 3), (2, 4, 3, 1)

(3, 1, 2, 4), (3, 1, 4, 2), (3, 2, 1, 4), (3, 2, 4, 1), (3, 4, 2, 1), (3, 4, 1, 2)

(4, 1, 2, 3), (4, 1, 3, 2), (4, 2, 3, 1), (4, 2, 1, 3), (4, 3, 2, 1), (4, 3, 1, 2)

Metode yang lebih mudah, yaitu dengan menggunakan pohon permutasi, seperti pada

Gambar

2.1

Dari contoh diatas, ada 24 permuatasi dari {1, 2, 3, 4}. Hasil tersebut merupakan

perkalian dari posisi, yaitu posisi pertama terdiri dari empat, posisi kedua terdiri dari tiga,

posisi ketiga terdiri dari dua dan posisi ke-empat hanya satu atau dapat ditulis

permutasi - empat = 4.3.2.1 = 4! = 24

Untuk permutasi n bilangan yang berbeda, dapat dicari dengan cara yang sama, yaitu

Selanjutnya akan dibahas tentang pembalikan. Pembalikan adalah suatu urutan bilangan

besar mendahului bilangan yang lebih kecil. Sedangkan jumlah pembalikan adalah

banyaknya bilangan yang lebih besar menadahuli bilangan yang lebih kecil. Lebih

lengkapnya perhatikan contoh dibawah ini.

CONTOH 2.1.3 Hasil permutasi adalah

(6, 1, 4, 3, 2, 5)

bilangan 6, mendahului bilangan 1, 2,3,4, dan 5, sehingga ada 5 pembalikan.

bilangan 5, tidak mendahului

bilangan 4, mendahului 3,2,, sehingga ada 2 pembalikan

bilangan 3, mendahului 2, sehingga ada satu pembalikan

bilangan 2, tidak mendahului, begitu juga bilangan 1

jadi jumlah pembalikannya adalah 5 + 2 + 1 = 8 pembalikan


DEFINISI 2.1.2 Jika dalam suatu permutasi terdapat jumlah pembalikan yang

genapmaka permutasi tersebut disebut permutasi genap, begitu juga jika terjadi jumlah

pembalikan yang ganjil maka disebut dengan permutasi ganjil

CONTOH 2.1.4 Dari Contoh 2.1.1 hasil permutasi tercantum dalam tabel berikut

Hasil kali dasar dari suatu matriks persegi yaitu perkalian dari semua elemen matriks

terhadap elemen matriks yang lain dengan mengikuti aturan tertentu. Jika matriks

tersebut berukuran n x n, maka perkalian dasarnya terdiri dari n elemen yaitu

a1_a2_ a3 … an_

sedangkan banyaknya perkalian dasar adalah n! yaitu banyaknya permutasi yang diisikan

pada tanda setrip dan tanda positif atau negatif tergantung dari hasil pembalikan, jika

permutasi genap bertanda positif dan sebaliknya permutasi ganjil betanda negatif.

Perhatikan definisi fungsi determinan berikut ini

DEFINISI 2.1.3 Pandang matriks A matriks persegi. Fungsi determinan A atau biasanya

disingkat dengan determinan A dinyatakan dengan det(A) sebagai jumlahan hasil kali

dasar beserta tanda dari A.

Akan lebih jelas perhatikan contoh-contoh berikut

CONTOH 2.1.5 Hitung determinan dari matriks persegi A berukuran 2 x 2, misalkan

Sekarang perhatikan contoh untuk matriks berukuran 3 x 3 berikut ini


Sehingga

Contoh yang lain


2. Cara Lain Menghitung Determinan

Pada bagian ini akan dikenalkan cara menghitung determinan dari suatu matriks.

Cara ini merupakan gabungan dari modul sebelumnya yaitu mereduksi suatu matriks

sedemikian hingga matriks tersebut menjadi bentuk baris eselon tereduksi. Metode ini

akan mempermudah mencai nilai determinan untuk ukuran yang besar. Perhatikan

teorema berikut ini

TEOREMA 2.2.1 Pandang matriks persegi A,

a. Jika A mempunyai sebuah atau lebih baris (kolom) nol semua, maka det(A) = 0

b. det(A) = det( )

Bukti:

(a) Untuk mencari nilai dari suatu determinan, hasil kali dasar selalu memuat salah

satu

elemen dari baris atau kolom, sehingga perkalian dasaarnya selalu memuat nol.

Jadi

nilai determinannya selalu nol

(b) Sesaui dengan (a) pada hasil kali dasar selalu memuat salsh satu elemen, maka

dengan

demikian nilai determinan dari A akan sama dengan .

Teorema dibawah ini akan mempermudah perhitungan dari suatu matriks, yaitu

TEOREMA 2.2.2 Jika matriks persegi A adalah matriks segitiga atas atau bawah,maka

det(A)= hasil kali elemen pada diagonalnya

Bukti:

telah dijelaskna diatas bahwa nilai determinan merupakan perkalian dasar yang selalu

memuat salah satu elemen pada setiap baris atau kolom, oleh karena itu pada matriks

segitiga atas atau bawah untuk baris dan kolom yang tidak sama nilai elemennya nol,

sedangkan pada baris atau kolom yang sama elemennya tidak sama dengan nol, sehingga

nilai determinan dari matriks segitiga atas atau bawah hanyalah perkalian elemen pada

diagonal utamanya saja.

CONTOH 2.2.1 Hitung determinan dari

Teorema dibawah ini menunjukkan bagaimana peran dari OBE yang sudah dibahas pada

modul sebelumnya memunyai peran untuk menentukan nilai determinan

TEOREMA 2.2.3 Pandang matriks persegi A berukuran n x n

Jika B adalah matriks yang dihasilkan dari matriks A yang dilakukan dengan

OBE tunggal yaitu dengan mengalikan dengan k pada salah satu baris atau

kolom dari A, maka det(B) = kdet(A)

Jika B adalah matriks yang dihasilkan dari matriks A dengan OBE yaitu

menukarkan baris atau kolom dari A, maka det(B) = -det(A)

Jika B adalah matriks yang dihasilkan dari matriks A dengan OBE yaitu

penggandaan dari baris atau kolom dari A kemudian ditambah atau dikurang

pada baris atau kolom yang lain, maka det(B) = det(A)

CONTOH 2.2.2 Hitung matriks B yang merupakan baris kedua dari matriks A dikalikan

dengan tiga dengan matriks.

Jadi det(B) = 3det(A)

CONTOH 2.2.3 matriks C adalah matriks A pada Contoh 2.2.2 dengan menukarkan baris

1 dengan baris 3, maka

Atau det(C) = -det(A).

CONTOH 2.2.4 matriks D adalah matriks A pada Contoh 2.2.2 dengan baris kedua

dikurangi dua kali baris pertama, maka.

atau det(D) = det(A).

Dengan berpedoman pada Teorema 2.2.3 dan beberapa contoh, maka untuk menghitung

determinan dari suatu matriks, lakukan OBE sehingga menjadi bentuk baris eselon,

kemudian gunakan Teorema 2.2.2, maka akan mudah mencari nilai dari suatu

determinan. Perhatikan teorema dibawah ini, yang akan memudahkan perhitungan

determinan.

TEOREMA 2.2.4 Jika matriks persegi A mempunyai dua baris atau dua kolom yang

sebanding, maka det(A) = 0


untuk menghitung determinan dari matriks A, lakukan OBE, sedemikian hingga

matriksnya menjadi bentuk baris eselon, seperti

Contoh lain dengan menggunakan teorema yang terakhir


untuk menghitung determinan dari matriks A, lakukan OBE, sedemikian hingga

matriksnya menjadi bentuk baris eselon, seperti

karena ada satu baris yaitu baris terakhir mempunyai nilai nol semua sesuai dengan

Teorema 2.2.1, maka

det(A) = 0

2. Sifat Fungsi Determinan

Pada bagian ini akan dibahas tentang sifat dari fungsi determinan, dari sifat fungsi

determinan tersebut diharapkan wawasan mengenai hubungan antara matriks persegi dan

determinannya. salah satunya adalah ada tidak suatu invers matriks persegi dengan

menguji determinannya.

Perhatikan teorema dibawah ini

TEOREMA 2.3.1 Misal A, B dan C adalah matriks persegi berukuran n x n yang

berbeda di salah satu barisnya, misal di baris ke-r yang berbeda. Pada baris ke-r matriks

C merupakan penjumlahan dari matriks A dan B, maka

det(C) = det(A) + det(B)

Begitu juga pada kolomnya

CONTOH 2.3.1 Perhatikan matriks-matriks

perhatikan, hanya pada baris ketiga saja yang berbeda. Dengan menggunakan Teorema

2.3.1,

maka

Contoh diatas adalah penjumlahan dari suatu determinan dengan syarat tertentu,

sekarang, bagaimana dengan perkalian.

Perhatikan lemma dibawah ini

LEMMA 2.3.2 Jika matriks persegi A dan matriks dasar E dengan ukuran yang

sama,maka berlaku

det(EB) = det(E)det(B)

Bukti:

Telah dipelajari pada modul sebelumnya, bahwa matriks dasar E, jika dikalikan dengan

suatu matriks, maka seolah matriks tersebut dilakukan dengan OBE yang sama, jadi

B B’ = EB

dalam hal ini ada beberapa kasus, yang pertama, jika OBEnya adalah mengalikan salah

satu baris dengan k, maka

det(EB) = det(E)det(B) = kdet(B)

sedangkan kasus yang lain, menukarkan baris atau menambah pada baris yang lain akan

menghasilkan seperti kasus pertama.

Perhatikan teorema dibawah ini

TEOREMA 2.3.3 Suatu matriks persegi A mempunyai invers jika dan jika det(A) 0

Bukti:

Dengan memperhatikan, bahwa suatu matriks persegi jika dilakukan OBE, maka ada dua

kemungkinan yaitu mengandung baris yang nol semua atau matriks identitas. Jika matriks

elementer dikalikan dengan suatu matriks persegi hasil sama dengan matriks tersebut

dilakukan satu OBE. Dan suatu matriks jika mengandung baris atau kolom yang nol

semua, maka determinan matriks tersebut adalah nol. Jadi yang mempunyai invers pasti

nilai determinannya tidak nol.

Perhatikan teorema dibawah yang mendukung Lemma 2.3.2, yaitu

TEOREMA 2.3.4 Jika A dan B dua matriks persegi berukuran sama, maka

det(AB) = det(A)det(B)

Bukti: Dengan mengasumsikan salah satu matriks tersebut sebagai perkalian dari matriks

elementer, misal matriks A, yaitu

A = E1E2E3 …..Er

sedangkan dengan menggunakan Lemma 2.3.2, menjadi

AB = E1E2E3 …..ErB

maka

det(AB) = det(E1)det(E2)det(E3) …… det(Er)det(B)

jadi

det(AB) = det(A)det(B)

CONTOH 2.3.3 Pandang matriks dibawah ini

dengan menghitung, maka

det(A) = -1; det(B) = -7; maka det(AB) = 7

sesuai dengan Teorema 2.3.4

Dari beberapa teorema diatas, jika dihubungkan akan menghasilkan teorema berikut

TEOREMA 2.3.5 Jika matriks persegi A mempunyai invers, maka

Bukti:

Karena A = I, maka det( A) = det(I), sedangkan menurut Teorema 2.3.4, maka

det( )det(A) = det(I) = 1 dan det(A) 0, sehingga teorema tersebut terbukti.

3. Kofaktor dan Matriks Invers

Pada bagian ini akan dibahas tentang kofaktor dan cara mencari invers dengan

kofaktor. Ada beberapa hal yang harus diperhatikan sebelumnya, seperti minor, perluasan

kofaktor dan invers dari suatu matriks.


DEFINISI 2.4.1 Jika matriks persegi A, maka minor anggota aij dinyatakan dengan Mij

dan didefinisikan sebagai determinan dari sub-matriks dari matriks awal dengan

menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j, sedangkan kofaktor anggota aij ditulis

Mij

CONTOH 2.4.1 Pandang matriks persegi

Perluasan kofaktor adalah salah satu cara untuk menghitung determinan dengan

menggunakan ,bantuan kofaktor, perhatikan definisi berikut

CONTOH 2.4.2 Hitung determinan dari matriks pada Contoh 2.4.1

Sedangkan yang dimaksud dengan adjoint matriks dapat dilihat pada definisi berikut ini

CONTOH 2.4.3 Cari Adj(A) dari matriks A pada conoth diatas Kofaktor dari A, adalah

C11 = 6 , C12 = -6, C13 = 2

C21 = -5 , C22 = 8, C23 = -3

C31 = 1, C32 = -2, C33 = 1

sehingga matriks kofaktornya adalah

Untuk mencari invers dari matriks persegi yang menggunkan matriks adjoint, perhatikan

teorem berikut ini

Bukti:

Dengan menggunakan perluasan kofaktor dapat dengan mudah dibuktikan.

CONTOH 2.4.4 Dari contoh sebelumnya, bahwa persegi,

Dengan menggunakan dari pencarian invers dan perluasan kofaktor dapat dicari

penyelesaian SPL dengan menggunakan determinan, perhatikan teorema dibawah ini

Bukti:

Dengan menggunakan definisi invers yang menggunakan adjoint matriks, maka nilai

setiap variabel sesuai dengan teorema di atas.

CONTOH 2.4.5 Gunakan aturan Carmer untuk menyelesaikan SPL berikut

x1 + x2 + x3 = 6

x1 + 2x1 + 3x3 = 14

x1 + 4x1 + 9x3 = 36

Karena ada tiga varibel bebas, maka ada matriks A, A1, A2 dan A3, yaitu

tugas kelompok

Documents