Rancangan GraecoLatin SquareMata Kuliah Analisis Data 1Disusun oleh:1. 2.

3.4. 5.

6. 7. 8.

Anggun Yuanita Prieskawati Wahyudi Mega Silfiani Ida Ayu Sevita Intansari Rahmi Amelia Arma Fauziyatul Mafrida Dwi Ratnasari Wahyuning Pintowati

1308100021 1308100049 1308100051 1308100079 1308100063 1308100093 1308100097 1308100109

Dosen : Dr. Irhamah, M.Si.

JURUSAN STATISTIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA 2011

Rancangan Bujur Sangkar Graeco-Latin (RBSGL)Pada suatu percobaan atau penelitian, analisis hanya akan bersifat eksak apabila semua asumsi, umumnya mengenai bentuk distribusi, dapat dipenuhi. Tetapi terkadang pemenuhan asumsi tersebut sukar dilakukan sehingga dalam banyak hal sering bergantung pada kecakapan dalam pemilihan metode analisis yang tepat, termasuk cara-cara perencanaan yang tepat untuk memperoleh data yang diperlukan. Untuk memaksimalkan kegunaan data dalam suatu analisis, dibutuhkan perencanaan ilmiah, yang lebih dikenal dengan rancangan percobaan. Dalam rancangan percobaan memuat semua langkah lengkap yang perlu diambil sebelum melakukan percobaan supaya data yang diperlukan dapat diperoleh dan digunakan secara optimal. Hal ini nantinya akan membawa kepada suatu analisis objektif serta dapat ditarik kesimpulan untuk persoalan yang sedang dibahas. Dalam sebuah percobaan bila unit-unit percobaan relatif heterogen, maka dibutuhkan suatu rancangan percobaan yang dapat mengendalikan variasi yang terjadi pada percobaan tersebut. Untuk menghilangkan dua jenis variasi digunakan Rancangan Bujur Sangkar Latin (RBSL) yaitu percobaan dengan cara melaksanakan pemblokan dua arah dan apabila diinginkan untuk menghilangkan tiga variasi, maka digunakan Rancangan Bujur Sangkar Graeco Latin (RBSGL). Dalam makalah ini akan dijelaskan tentang RBSGL serta contoh aplikasi yang disertai dengan penyelesaiannya secara manual dan dengan menggunakan software. RANCANGAN BUJUR SANGKAR GRAECO-LATIN (RBSGL) a. Pengertian Rancangan bujur Sangkar Graeco-Latin (RBSGL) bertujuan untuk menghilangkan tiga jenis variasi. RBSGL digunakan apabila ditemui suatu keadaan dimana respon dipengaruhi oleh tiga sumber variasi selain perlakuan.

Alasan disebut RBSGL, yaitu : 1. 2. 3. Terdapat 4 buah faktor yaitu faktor baris, kolom, huruf-huruf Latin dan hurufhuruf Greek; Keempat faktor mempunyai taraf yang sama; Setiap perlakuan hanya muncul sekali di setiap baris, kolom dan huruf Greek

Model Statistik untuk analisisi rancangan bujur sangkar Graeco-latin (RBSGL), yaitu :Yijkl = +i + j + k +l + ijkl

Model tersebut memiliki syarat-syarat, yaitu : i = j = k = l = Keterangan : Yijkl : : : : : : : hasil observasiyang dicatat dari baris ke-i, huruf Greek ke-k, kolom ke-l dan perlakuan ke-j rata-rata keseluruhan efek baris ke-i efek huruf latin ke-j efek huruf Greek ke-k efek kolom ke-l sesatan random dengan ijkl ~DNI (0, 2 ) Model di atas diartikan bahwa besarnya hasil observasi yang dicatat dari baris ke-i, perlakuan ke-j, huruf Greek ke-k, dan kolom ke-l dipengaruhi oleh rata-rata keseluruhan, efek baris ke-i, efek huruf Latin ke-j, efek huruf Greek ke-k, efek kolom ke-l dan besarnya sesatan random. Keempat faktor tidak boleh berinteraksi dikarenakan RBSGL adalah percobaan faktor tunggal sehingga apabila ada interaksi dari keempat faktor akan menjadi percobaan faktorial. Rancangan Bujur Sangkar Graeco-Latin dengan empat taraf perlakuan dapat digambarkan dalam tabel, sebagai berikut : 1, 2, 3, ..., p 1, 2, 3, ..., p 1, 2, 3, ..., p 1, 2, 3, ..., p p = banyak taraf perlakuan

ij

k lijkl

Tabel 1. Rancangan Bujur Sangkar Graeco-Latin

Baris 1 2 3 4

Kolom 1 A B C D 2 B A D C 3 C D A B 4 D C B A

b. Analisis Statistik *) Langkah-langkah Analisis Statistik 1. Menentukan hipotesis Model Efek Tetap H0 :1 = 2 = ... = a (semua perlakuan memberikan hasil yang

sama terhadap respon) H1 : paling sedikit i j (paling sedikit dua buah perlakukan memberikan hasil yang berbeda terhadap respon) atau H0 : 1 = 2 = ... = a = 0 (perlakuan tidak mempengaruhi respon) H1 : paling sedikit i 0 (perlakuan mempengaruhi respon) Model Efek Random H0 : 2 = 0 (terdapat variabilitas di antara perlakuan) H1 : 2 0 (terdapat variabilitas di antara perlakuan) 2. 3. Menentukan

-1 ))

Menentukan daerah kritis H0 ditolak, jika F0 > F(, (p -1), (p - 3)(p

4. 5.

Menentukan statistik uji, yaitu F0 = Menarik kesimpulan

RK perlakuan RKError

*) Menghitung Jumlah Kuadrat JKT =

Yi j k l

p

p

p

p

2

ijkl

Y .... 2 N

; db = p2-1

JK Baris JK Kolom JK Greek JK Perlakuan/Latin JKT Sehingga, JK Error

= = = = =

i= 1 p

p

Yi ... 2 Y .... 2 p N

; db = p-1 ; db = p-1 ; db = p-1 ; db = p-1

Y ... l 2 Y .... 2 p N l= 1Y .. k .2 Y .... 2 p N k= 1p

Y . j.. 2 Y .... 2 p N j= 1p

JK Baris + JK Perlakuan + JK Greek + JK Kolom +JK Error

=

JKT JKBaris JKKolom JKPerlakuan JKGreek (db = (p-3)(p-1))Tabel 2. ANOVA

Sumber Variasi Perlakuan Baris Kolom Huruf Greek

db p-1 p-1 p-1 p-1 (p-3)(p1) P2-1

JK JKP JKB JKK JK Greek

RK JKP/(p-1) JKB/(p-1) JKK/(p-1) JK Greek/(p-1) JKE/((p-3)(p1)) F0=

FRKP RKE RKB F0= RKE RKK F0= RKE

F0=RKGreek RKE

Error TOTAL

JKE JKT

*) Uji Perbandingan Ganda (uji ini dilakukan apabila pada pengujian model efek diperoleh kesimpulan H0 ditolak) 1. Metode LSD (Least Significant Difference) Prosedur ini digunakan untuk menguji hipotesis sebagai berikut: Ho: H1: ;i j

dengan mengasumsikan bahwa yang digunakan adalah alternatif dua sisi, maka pasangan dari . Nilai statistik uji LSD Perulangan tidak sama LSD= Perulangan sama LSD= 2. Metode Tukey Metode ini juga digunakan untuk menguji hipotesis seperti pada metode LSD: Ho: H1: Prosedur Tukey ini menggunakan studentized range statistic dengan ;i j dan akan dikatakan berbeda secara signifikan jika:

dimana

dan

adalah rata-rata sampel yang tertinggi dan terendah.

Rata-rata dua sampel dikatakan berbeda secara signifikan jika nilai absolut dari selisih kedua sampel tersebut melebihi: untuk perulangan yang sama, dan

untuk perulangan yang berbeda.

CONTOH APLIKASI RBSGL Seorang peneliti mempelajari efek 5 formulasi (perlakuan) berbeda dari bahan bakar roket yang dinotasikan A,B,C,D,E terhadap tingkat penbakaran pada aircrew escape system. Masing-masing formulasi dicampur bedasarkan bahan

mentah dan disiapkan oleh beberapa operator. Dimana operator mempunyai skill dan pengalaman berbeda. Faktor tambahan lain dalam penelitian tersebut adalah uji perakitan (assemblies test) yang dinotasikan dengan , , , dan ini adalah struktur data dari desain RBSGL.Tabel 3. Desain RBSGL

. Berikut

Baris 1 2 3 4 5

A B C D E

1

C D E A

B

2

Kolom 3 C D E A B

4 D E A B C

5 E A B C D

PENYELESAIAN SECARA MANUAL Data pengamatan atau observasi yang diperoleh oleh peneliti adalah sebagai berikut jika di desain sesuai RBSGL.Tabel 4. Desain RBSGL contoh aplikasi

Bahan Mentah 1 2 3 4 5Y... l

1 A =2 4 B =1 7 C =18 D =2 6 E =22 107 11449

2 B =20

Operator 3 4 C =19 D =2 4 E =27 A =2

Yi ...

5 E =24 111 A =36 134 B =2 1 C =2 130 128

Yi 2 ...12321 17956 16900 16384 17424

C =24 D =3 0 D =38 E =2 E

6 7 =26 B =23 =31 A B =20 C =2 121 14641 9 130 16900

A =3 0 143 20449

2 D =31 132 134 17956 635

Y

2 ... l

Uji Hipotesis 1. H0= tidak ada perbedaan tingkat pembakaran pada aircrew system berdasarkan formulasi H1= paling tidak terdapat satu perbedaan tingkat pembakaran pada aircrew system berdasarkan formulasi

2. H0 = tidak ada perbedaan rata rata tingkat pembakaran pada aircrew system berdasarkan bahan mentah H1= paling tidak terdapat satu perbedaan rata - rata tingkat pembakaran pada aircrew system berdasarkan bahan mentah. 3. H0 = tidak ada perbedaan rata rata tingkat pembakaran pada aircrew system berdasarkan operator H1= paling tidak terdapat rata rata tingkat pembakaran pada aircrew system berdasarkan operator 4. H0 = tidak ada perbedaan rata rata tingkat pembakaran pada aircrew system berdasarkan uji perakitan H1= paling tidak terdapat rata rata tingkat pembakaran pada aircrew system berdasarkan uji perakitan Perhitungan ANOVA GRAECO secara manual. SS_total = Yijkli= j= k = l = 1 1 1 1 p p p p 2

2 Y.... N

= (24 2 + 20 2 + 19 2 + ... + 312 ) = 16805 16129 = 676

635 2 25

1 p 2 Y...2 SS_baris = Yi... N p i =1=

(111

2

+ 134 2 + 130 2 + 128 2 + 132 2 ) 635 2 5 25

= 68

1 p 2 Y...2 SS_kolom = Y...l N p l =1=

(107

2

+ 143 2 + 121 2 + 130 2 + 134 2 ) 635 2 5 25

= 150

SS_greek ==

Y2 1 p 2 Y.. k . ... p k =1 N

(135

2

+ 119 2 + 121 2 + 122 2 + 138 2 ) 635 2 5 25

= 62

Y2 1 p 2 Y. j .. ... SS_latin = p k =1 N=

(143

2

+ 101 2 + 112 2 + 149 2 + 130 2 ) 635 2 5 25

= 330

SS_Error = SStotal SSbaris SSkolom SSgreek SSlatin = 676 68 150 62 330 = 66 Sumber Perlakuan/Latin Baris Kolom Greek 1 Y. 2.. j p k =1p

SS Y2 ... N

df p-1 p-1 p-1 p-1

MSSSperlakuan

FMSperlakuan

p 1

MS E

1 p 2 Y...2 Yi... N p i =1 1 p 2 Y...2 Y... l N p l =1 Y...2 1 p 2 Y.. k . N p k =1 SSE = SST - SStreatment+ -SSB SSK SSG

SS baris p 1 SS kolom p 1SS greek p 1

MS baris MS E MS kolom MS EMS greek MS E

Error Total

(p-2)Y N2 ....

Yi= j= k = l = 1 1 1 1

p

p

p

p

2

ijkl

(p-1) P2-1

SS Error ( p 2)( p 1)

Hasil Tabel ANOVA Sumber Formulasi Bahan mentah Operator Uji perakitan Error Total Daerah kritis SS 330 68 150 62 66 676 Df 4 4 4 4 8 24 MS 82,5 17 37,5 15,5 8,25 F 10 2,06 4,54 1,89

Fhitung >F(0.05,4,8) = 3, 84 Kesimpulan 1. Karena Fhitung = 10 > 3,84 maka tolak H0 artinya ada perbedaan tingkat pembakaran pada aircrew system berdasarkan formulasi 2. Karena Fhitung = 2,06 < 3,84 maka gagal tolak H0 artinya tidak terdapat perbedaan rata - rata tingkat pembakaran pada aircrew system berdasarkan bahan mentah. 3. Karena Fhitung = 4,54 > 3,84 maka tolak H0 artinya ada perbedaan tingkat pembakaran pada aircrew system berdasarkan operator. 4. Karena Fhitung = 1,89 < 3,84 maka gagal tolak H0 artinya tidak terdapat perbedaan rata - rata tingkat pembakaran pada aircrew system berdasarkan uji perakitan. UJI PERBANDINGAN BERGANDA TUKEY SECARA MANUAL 1. Ho: ; i j (rata-rata tingkat pembakaran pada aircrew system rata-rata tingkat pembakaran pada

berdasarkan formulasi level ke-i

aircrew system berdasarkan formulasi level ke-j) H1: (rata-rata tingkat pembakaran pada aircrew system berdasarkan rata-rata tingkat pembakaran pada aircrew system

formulasi level ke-i

berdasarkan formulasi level ke-j)PERBANDINGAN GANDA FORMULASI Kesimpulan 1&2 qHitung 6,54 Qtabel Q0.05(5,20) 4.24 Tolak H0 1&3 qHitung 4,83 Qtabel Q0.05(5,20) 4.24 Tolak H0 1&4 qHitung 0,93 Qtabel Q0.05(5,20) 4.24 Gagal Tolak H0 1&5 2&3 qHitung Qtabel qHitung Qtabel 2,02 Q0.05(5,20) 1,71 Q0.05(5,20) 4.24 Gagal Tolak H0 4.24 Gagal Tolak H0

2&4 2&5 3&4 3&5 4&5

qHitung Qtabel qHitung Qtabel qHitung Qtabel qHitung Qtabel qHitung Qtabel

7,47 Q0.05(5,20) 4,51 Q0.05(5,20) 5,76 Q0.05(5,20) 2,8 Q0.05(5,20) 2,96 Q0.05(5,20)

4.24 Tolak H0 4.24 Tolak H0 4.24 Tolak H0 4.24 Gagal Tolak H0 4.24 Gagal Tolak H0

2. Ho:

; i j (rata-rata tingkat pembakaran pada aircrew system rata-rata tingkat pembakaran pada aircrew

berdasarkan operator ke-i

system berdasarkan operator ke-j) H1: (rata-rata tingkat pembakaran pada aircrew system berdasarkan rata-rata tingkat pembakaran pada aircrew system

operator ke-i

berdasarkan operator ke-j)

PERBANDINGAN GANDA OPERATOR 1&2 qHitung 5,6 Qtabel qHitung Qtabel qHitung Qtabel qHitung Qtabel qHitung Qtabel qHitung Qtabel qHitung Qtabel Q0.05(5;20) 2,18 Q0.05(5;20) 3,58 Q0.05(5;20) 4,20 Q0.05(5;20) 3,42 Q0.05(5;20) 2,02 Q0.05(5;20) 1,4 Q0.05(5;20)

Kesimpulan 4.2 4 Tolak H0 4.2 4 Gagal Tolak H0 4.2 4 Gagal Tolak H0 4.2 4 Gagal Tolak H0 4.2 4 Gagal Tolak H0 4.2 4 Gagal Tolak H0 4.2 Gagal Tolak H0

1&3

1&4

1&5

2&3

2&4

2&5

4 3&4 qHitung Qtabel qHitung Qtabel qHitung Qtabel Q0.05(5;20) 2,02 Q0.05(5;20) 0,62 Q0.05(5;20) 4.2 4 Gagal Tolak H0 4.2 4 Gagal Tolak H0 1,4 4.2 4 Gagal Tolak H0

3&5

4&5

Langkah-langkah mengerjakan soal rancangan graeco. Misalnya terdapat contoh seperti pada Tabel 1. Tabel 5. Contoh Soal Rancangan Graeco Bahan Mentah 1 2 3 4 5 1 A =2 4 B =1 C =18 D =2 6 E =22 7 2 Operator 3 4 D =2 5 E =24

B =20 C =19 C =2 D =3 E =3 1 A =3 8 4 D =3 0 E =2 A =2 6 B =2 6

4 E =27 A =36 A =2 7 B =23 C =2 B =2 1 =2 C 2 D =31

0 0 9 Yang harus dilakukan untuk menganalisis rancangan graeco, terlebih dahulu harus mengkoding data. Koding bahan mentah, formulasi, uji perakitan dan operator berdasarkan letak respon. Misalkan Y1232=20 memiliki arti koding bahan mentah=1, formulasi=1, uji perakitan= 3, operator=2 dan respon=20. Hasil dari kodingan dapat dilihat melalui Tabel 2.

Tabel 6. Bentuk Data Rancangan Graeco

bahan

formulasi

uji

operator

respon

mentah perakitan 1 1 1 1 2 3 1 3 5 1 4 2 1 5 4 2 2 2 2 3 4 2 4 1 2 5 3 2 1 5 3 3 3 3 4 5 3 5 2 3 1 4 3 2 1 4 4 4 4 5 1 4 1 3 4 2 5 4 3 2 5 5 5 5 1 2 5 2 4 5 3 1 5 4 3 Setelah mendapatkan rancangan data seperti berikut.

1 24 2 20 3 19 4 24 5 24 1 17 2 24 3 30 4 27 5 36 1 18 2 38 3 26 4 27 5 21 1 26 2 31 3 26 4 23 5 22 1 22 2 30 3 20 4 29 5 31 pada Tabel 6. Langkah

selanjutnya adalah menganalisis dengan menggunakan paket program seperti

Langkah-langkah analisis rancangan graeco dengan menggunakan minitab.

1. Ketik data seperti pada Tabel 6 ke dalam minitab yang dapat dilihat seperti pada Gambar 1.

Gambar 1. Data Rancangan Graeco

2. Klik Stat, sorot ANOVA dan klik general linier model yang dapat dilihat seperti pada Gambar 2.

Gambar 2. Perintah General Linier Model

3. Setelah melakukan perintah pada langkah 2, akan muncul windows General Linier Model yang dapat dilihat seperti pada Gambar 3. a b

c

Gambar 3. Windows General Linier Model a. Masukkan variabel respon ke dalam box Responses b. Masukkan kodingan dari baris (bahan mentah), huruf greek (formulasi), kolom(uji perakitan) dan perlakuan (operator) ke dalam box Model c. Kosongkan box Random Factor jika pada model tidak terdapat variabel faktor random. 4. Abaikan button covariate jika variabel kontinu tidak ingin dikontrol. Jika button covariate dijalankan dengan memasukkan variabel kontinu, maka minitab akan mentransformasi variabel kontinu ke dalam bentuk kategorik untuk menghitung pengaruh dari variabel pengamatan yang sulit untuk dikontrol. Salah satu fungsi covariate adalah menurunkan varians error. 5. Abaikan button option jika anda tidak memasukkan pembobot, tidak memilih jenis sum of squares dan memprediksi pengamatan yang baru. Minitab mendefault tipe sum of squares pada tipe III yaitu sum of squares adjusted. 6. Klik button Comparisons dan akan tampil seperti pada Gambar 4.

Gambar 4. Windows Comparisons Minitab akan default comparison pada pilihan pairwise comparisons. Gunakan comparison with a control jika terdapat variabel pengontrol percobaan. a. Masukkan kodingan dari baris (bahan mentah), huruf greek (formulasi), kolom(uji perakitan) dan perlakuan (operator) ke dalam term untuk membandingkan pasangan level-level dalam faktor. b. Centang metode dalam perbandingan ganda yang diinginkan pada checklist method. Dalam pembahasan ini, digunakan metode Tukey dalam perbandingan ganda. c. Centang group information untuk menampilkan tabel ringkasan yang menyoroti perbandingan signifikan dan non-signifikan untuk setiap metode perbandingan dipilih beberapa. d. Centang Confidence Interval untuk menampilkan selang kepercayaan untuk perbedaan antara beberapa level faktor. Default selang kepercayaan untuk perbandingan berganda adalah 95%. e. Centang Test untuk menampilkan output uji hipotesis perbandingan berganda. f. Klik OK untuk melanjutkan 7. Kembali pada Gambar 3, anda dapat mengeklik button Graph untuk menampilkan plot dari residual tanpa harus menampilkan nilainya. Pada analisis rancangan graeco anda bisa mengabaikannya. 8. Button Result digunakan untuk mengendalikan hasil yang akan ditampilkan di Session Window pada minitab. Default dari button result akan

menampilkan tabel ANOVA, koefisien dari persamaan covariate dan tabel pengamatan yang tidak biasa (unusual observations) yang dapat dilihat seperti pada Gambar 5.

Gambar 5. Windows Result Setelah memilih jenis display of result yang anda inginkan kemudian klik OK. 9. Button Storage pada Gambar 3 digunakan untuk menampilan nilai residual, nilai fit dan diagnosa untuk analisis lebih lanjut . Anda bisa mengabaikan button result untuk analisis graeco. 10. Button Factor plot pada Gambar 3 digunakan untuk menampilkan plot efek utama dan interaksi. Anda bisa mengabaikannya pada untuk analisis rancangan graeco. 11. Klik OK dan akan menghasilkan output seperti pada Tabel 7. Tabel 7. Output MinitabGeneral Linear Model: respon versus bahan mentah, formulasi, ...Factor bahan mentah formulasi uji perakitan operator Type fixed fixed fixed fixed Levels 5 5 5 5 Values 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 4, 4, 4, 5 5 5 5

Menunjukkan adanya pengaruh yang signifikan pada variabel formulasi dan operator terhadap respon karena P-value