tugas 1 galat dan letak akar

21
Galat, Letak Akar, dan Metode Bagi Dua

Upload: krisnajackson

Post on 09-Jul-2016

103 views

Category:

Documents


16 download

DESCRIPTION

Salah satu materi perkuliahan pada mata kuliah Metode Numerik

TRANSCRIPT

Page 1: Tugas 1 Galat Dan Letak Akar

Galat, Letak Akar, dan Metode Bagi Dua

Page 2: Tugas 1 Galat Dan Letak Akar

Anggota Kelompok

Rohmad Fauzi 1413011093

I Gede Dedi Kurniawan 1413011113I Made Widiatmika 1413011114

Made Krisna Yasa 1413011116

I Ketut Suartika 1413011117

I Kadek Ega Dian Wibawa 1413011061

Page 3: Tugas 1 Galat Dan Letak Akar

Penyelesaian matematika pada prinsipnya ada dua macam yaitu penyesaian analitis yang menghasilkan solusi eksak dan penyelesaian numeris yang menghasilkan berupa pendekatan (hampiran).

Solusi eksakMisalnya persamaan kuadrat : x2 – 5 x + 6 = 0Solusi persamaannya : x = 2 atau x = 3Tidak terjadi error atau penyimpangan

Berbeda dengan persamaan x2 - 5 = 0. Berapa nilai x yang memenuhi bila dinyatakan dalam bentuk desimal ?

Tentu jawabannya bisa bermacam-macam bergantung pada seberapa akurat jawaban tersebut. Apabila diperlukan jawaban akurat sampai 5 desimal tentu berbeda dengan jawaban yang akurat sampai 7 desimal karena solusi yang diberikan berupa hampiran.

Galat

Page 4: Tugas 1 Galat Dan Letak Akar

Berdasarkan sumbernya, galat dapat dibedakan menjadi 4, yaitu:

1. Galat Percobaan (galat bawaan), yaitu galat yang timbul dari data yang diberikan. Hal ini dapat terjadi karena kekeliruan dalam pengukuran maupun kesalahan dalam mengasumsikan data sehingga data yang diolah secara numeris sudah mengandung galat atau penyimpangan yang mengakibatkan hasil perhitungan mengandung galat/eror.

Contoh :Pemakaian alat ukur yang tidak akurat yang menghasilkan pengukuran (data) yang mengandung galat.

Galat

Page 5: Tugas 1 Galat Dan Letak Akar

2. Galat Pemotongan adalah galat yang terjadi karena proses perhitungan untuk mencapai hasil dimana memerlukan sejumlah berhingga atau tak berhingga langkah. Untuk efisiensi baik waktu, tenaga ataupun biaya, proses dipotong sampai sejumlah tertentu langkah, sehingga hasilnya mengandung galat.

Contoh :Untuk menghitung nilai sin x digunakan deret Taylor.

Galat

...!7!5!3

753

xxxxSinx

Page 6: Tugas 1 Galat Dan Letak Akar

Karena deret ini tak hingga maka perhitungan hanya dilakukan sampai 3 atau 5 suku saja, tergantung seberapa akurat nilai yang diperlukan. Suku-suku yang tidak dihitung merupakan galat atau error.

hampiran

error

Galat

!3

3xxSinx

...

!7!5

75

xxE

Page 7: Tugas 1 Galat Dan Letak Akar

3. Galat Pemrograman adalah galat yang timbul akibat kurang cermatnya program komputer yang digunakan. Bentuk matematis atau urutan perhitungan dapat mempengaruhi hasil proses perhitungan. Galat yang terdapat di dalam program sering dinamakan dengan bug. Dan proses penghilangan galat dinamakan debugging

4. Galat Pembulatan (rounding off error), yaitu galat yang terjadi karena pembulatan bilangan sebagai hampiran terhadap suatu bilangan.

Galat

Page 8: Tugas 1 Galat Dan Letak Akar

Contoh :

Dari penjabaran di atas, terdapat tak berhingga banyak angka 3. Namun untuk keperluan perhitungan, cukup diambil sampai empat angka di belakang koma, sehingga pembulatan dari penjabaran di atas menjadi 3,3333 (hampiran). Dalam pembulatan tersebut, galat yang terjadi yaitu sebesar 0,000033…

Galat

...333333,33

10

Page 9: Tugas 1 Galat Dan Letak Akar

Salah satu cara untuk mengurangi galat adalah penggunaan formula matematis yang paling sedikit menggunakan operasi perkalian.

Bentuk terakhir ini hanya mengandung 4 operasi perkalian.

Galat

Contoh:

3784)( 345 xxxxxf

Dalam bentuk matematis seperti di atas terdapat 12 operasi perkalian. Bentuk ini

dapat dimodifikasi untuk mengurangi banyaknya operasi perkalian dengan tujuan

mengurangi besarnya galat, yaitu

3784)( 345 xxxxxf

3}]7)8)4(({[3}]7)84({[

3}7)84({

3)784(

2

23

234

xxxxxxxxxx

xxxxx

xxxx

Page 10: Tugas 1 Galat Dan Letak Akar

Dalam metode numerik terdapat dua macam galat, yaitu galat mutlak dan galat relatif (%). Galat mutlak merupakan harga mutlak dari galat yang terjadi, sedangkan galat relatif merupakan persentase penyimpangan yang terjadi terhadap nilai sejati.

Galat

Misalkan *p adalah suatu nilai hampiran numerik untuk nilai sejati p yang tidak

diketahui. Maka

*ppE

Disebut galat, sedangkan E disebut galat mutlak. Dan nilai

ppp

Er*

, dengan 0p

Disebut galat relatif (biasanya dinyatakan dalam bentuk persen).

Page 11: Tugas 1 Galat Dan Letak Akar

GalatKarena nilai p biasanya tidak diketahui, dalam perhitungan penyebut dalam galat

relatif sering digunakan nilai hampiran, sehingga persamaan menjadi

**

ppp

ErA

Yang disebut dengan galat relatif hampiran.

Nilai Eksak = Nilai Hampiran + Galat

Page 12: Tugas 1 Galat Dan Letak Akar

Menentukan Letak Akar

Beberapa metode pendekatan akar memerlukan interval yang mengandung akar persamaan yang dicari solusinya. Untuk mendapatkan interval tsb dapat ditempuh beberapa cara antara lain sebagai berikut.

Tabel

Grafik

Letak Akar untuk Polinom

Page 13: Tugas 1 Galat Dan Letak Akar

Menentukan Letak Akar

Tabel

Prinsip yang digunakan dalam cara ini adalah, di antara bilangan positif dan negatif dalam bilangan real ada bilangan nol. Jika sebuah fungsi f yang kotinu, di titik a bernilai positif dan di titik yang lain b bernilai negatif atau sebaliknya maka di dalam interval (a,b) pasti ada titik c sehingga f (c) = 0. Ini berarti c adalah akar dari f(x) = 0

Page 14: Tugas 1 Galat Dan Letak Akar

Menentukan Letak AkarTabel

Contoh :Tentukan interval yang memuat salah satu akar dari f(x) = ex - 3 Jawab:

Perbedaan tanda f(x) terjadi di x = 1 dan di x = 2, Ini berarti bahwa dalam interval (1,2) ada akar dari f(x) = 0. Sebenarnya dapat juga dipilih interval (0,2) tetapi ini tidak dipakai.

x f(x)

0 -2 Negatif1 -0.28 Negatif2 1.39 positif

Page 15: Tugas 1 Galat Dan Letak Akar

Menentukan Letak Akar

Grafik

Untuk menentukan letak akar f( x) = 0 dapat ditempuh dengan membuat grafik fungsi tsb. kemudian tentukan interval yang memuat titik potong kurva dengan sumbu x.Contoh :Misalnya f(x) = ex - 3. Fungsi ini dipecah menjadi dua fungsi g(x) dan h( x), yang masing-masing dicari sebagai berikut.

Page 16: Tugas 1 Galat Dan Letak Akar

Menentukan Letak AkarGrafik

ex - 3 = 0 ex = 3

g( x) = ex dan h( x) = 3

Akar dari f( x) = 0 adalah perpotongan antara g( x) dan h( x) Interval yang memuat akar dapat ditentukan dengan melihat atau memperkirakan akar tsb berapa yaitu perpotongan antara g(x) dan h(x). Akar termuat dalam interval (a,b).

Page 17: Tugas 1 Galat Dan Letak Akar

Menentukan Letak AkarLetak Akar untuk Polinom

Persamaan polinom mempunyai bentuk umum:P( x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x 3 + . . . . . . +

an xn an ≠ 0, n > 2

Menurut teori aljabar, P( x) = 0 mempunyai n buah akar yang berupa bilangan real atau kompleks. Akar kompleks selalu berpasangan. Untuk menentukan lokasi akar polinom dapat digunakan aturan Descartes sebagai berikut.

Page 18: Tugas 1 Galat Dan Letak Akar

Menentukan Letak AkarLetak Akar untuk Polinom

Untuk menentukan lokasi akar polinom dapat digunakan aturan Descartes sebagai berikut.

Akar Real PositifMisalkan n menyatakan banyaknya pergantian tanda dari koefisien ai dari P(x). Sedangkan np adalah banyak akar real positif maka: a) np ≤ n b) n - np = 0, 2, 4, ……. ( genap )

Page 19: Tugas 1 Galat Dan Letak Akar

Menentukan Letak AkarLetak Akar untuk Polinom

Akar Real NegatifMisalkan m menyatakan banyaknya pergantian tanda pada koefisien ai pada P(-x), dan ng menyatakan banyaknya akar real negatif maka:

a) ng ≤ mb) m - ng = 0, 2, 4 , …..

Page 20: Tugas 1 Galat Dan Letak Akar

Menentukan Letak AkarLetak Akar untuk Polinom

Batas Selang Akar

Misalkan ρ = 1 + maks n

i

aa . ni 1

maka semua akar real dari P(x) terletak dalam interval (- ρ, ρ)

Page 21: Tugas 1 Galat Dan Letak Akar

SELESAI