ts transpor polutan

Transpor Polutan

Persamaan Konveksi – Difusi

Penyelesaian Analitik

Referensi

Graf and Altinakar, 1998, Fluvial Hydraulics: Chapter 8, pp. 517-609, J.

Wiley and Sons, Ltd., Sussex, England.

Teknik Sungai Transpor Polutan 4-2

More stories on Harbin’s Songhua River

pollution

• http://www.gov.cn/english/2005-

11/25/content_108891.htm


http://www.gov.cn/english/2005-11/25/content_108891.htm




Transpor Polutan

Mekanisme penyebaran polutan di sungai

• Difusi

• Konveksi


Difusi

Dalam bhs. matematis, difusi dituliskan sbb.

ffckq ff

ckq grad

• k = konstanta = koefisien difusi = difusiviti

• k merupakan parameter karakteristik fluida

(polutan)

• k bergantung pada temperatur dan tekanan

i

f

fx

ckq

difusi gradien


Difusi

Sifat proses difusi

• Tidak dapat kembali (irreversible)

• Mengakibatkan kehilangan/peredaman energi

Contoh difusi

• Difusi massa

• Difusi panas

• Difusi momentum (ist: ingat Pers. Navier-Stokes?)


Difusi

Difusi massa Fick’s law

i

mimx

cq

,

Difusi panas Fourier’s law

konstan,

p

i

phih Cx

TCaq

Difusi momentum Newton’s law

konstan,

ij

j

iijmt

x

Vq


Konveksi-Difusi

Bahasan: hanya transpor massa

Apabila air sungai bergerak (mengalir) maka terjadi proses

konveksi

Penyebaran polutan, dengan demikian, didorong oleh

• beda konsentrasi (gradien) difusi

• aliran konveksi

ccVt

cm graddivgrad

c = konsentrasi (lokal)


Konveksi-Difusi

Jika ditulis dalam koordinat Cartesius, maka

2

2

2

2

2

2

z

c

y

c

x

c

z

wc

y

vc

x

uc

t

cm

untuk m = konstan

Jika air sungai tak mengalir, kecepatan nol, terjadi

difusi saja, tanpa konveksi

2

2

2

2

2

2

z

c

y

c

x

c

t

cm


Konveksi-Difusi (Turbulen)

Aliran di sungai aliran turbulen

ccc uuu vvv www

Konveksi-difusi dalam aliran turbulen

ccVt

ctm graddivgrad

umumnya t >> m


Konveksi-Difusi (Turbulen)

Ditulis dalam koordinat Cartesius

z

c

zy

c

yx

c

xz

wc

y

vc

x

uc

t

ctztytx


Penyelesaian Analitik Persamaan Difusi

Persamaan difusi 1D (tanpa konveksi, V = 0), ditulis dalam

sistem koordinat Cartesius

2

2

x

c

t

cm

dengan syarat batas dan syarat awal berikut

0, tc xxc 10, M

• dimana M1 adalah massa per satuan luas [kg/m2] yang

dimasukkan secara sekaligus dan tiba-tiba (instantaneous source)

• M0 = M1 S

M0 adalah massa total yang dimasukkan secara tiba-tiba dan di

suatu titik, sedang S adalah luas permukaan

• karena tidak ada aliran, V = 0, maka t = 0

• yang terjadi adalah difusi murni



• (x) adalah fungsi delta Dirac dimana nilainya sama

dengan nol kecuali di x = 0

1d xx

• Ingat, massa total M0 harus tetap sama sepanjang waktu

yang ditinjau

11 dd0,d, MM

xxxxcxtxc



Penyelesaiannya adalah sbb.

t

x

ttxc

mm4

exp4

,2

1M

Penyelesaian tsb menunjukkan difusi suatu massa, M0

• yang dimasukkan secara tiba-tiba di satu titik

• menyebar menurut distribusi Gauss Normal dan simetris ke arah sumbu x

• konsentrasi maksimum, di x = 0, berkurang seirama dengan waktu



Penyelesaian tsb dapat pula ditulis sbb.

2

2

1

2exp

2,

xx

xtxc

M

Untuk suatu distribusi normal, varian distribusi adalah:

tt mx 22

95% luas daerah di bawah kurva distribusi normal

xxW 496,12



Koefisien difusi dapat dihitung dengan

12

1

2

2

22

2

1

d

d

2

1

tt

tt

t

xxxm

• Persamaan di atas dapat dipakai untuk menetapkan koefisien difusi

dengan pengukuran deviasi standar di suatu titik x pada dua waktu

yang berbeda t1 dan t2



Penyelesaian persamaan difusi 2D

2

2

2

2

2exp

22exp

2,,

yy

y

xx

x yxtyxc

MM

Untuk medium homogen, x = y =

2

22

2

2

2exp

2,,

yxtyxc

M tt m 22

LM02 M



Penyelesaian persamaan difusi 3D

2

2

3

3

2exp

2,,,

rtzyxc

M

2222 zyxr

03 MM



Difusi di suatu medium yang dibatasi dinding

2

22

2

2

1

2

2exp

2exp

2,

x

p

xx

Lxxtxc

M

Konsentrasi di dinding

2

2

2

2exp

2 x

p

x

p

Lc

M2



Apabila massa M0 dimasukkan secara terus-menerus

(kontinu) di x = 0

2

2

x

c

t

cm

dengan syarat batas dan syarat awal berikut

00,0 ctxc

00,0 txc

00, txc



Penyelesaian persamaan tersebut adalah sbb.

t

xctxc

m4erfc, 0

• complementary error function

d2

erfc2

e

• dapat menggunakan fungsi yang tersedia di MS Excel

• =ERFC(…)


Konveksi-Difusi dalam Regime Turbulen

z

c

zy

c

yx

c

xz

wc

y

vc

x

uc

t

ctztytx

Koefisien difusi merupakan besaran tensorial • koefisien difusi longitudinal

• koefisien difusi transversal

• koefisien difusi vertikal

tztytxt ,,



Koefisien difusi vertikal Koefisien difusi vertikal

rata-rata kedalaman

zhh

zutz

Difusi vertikal mencapai seluruh kedalaman setelah difusi mencapai jarak Lz tertentu atau setelah waktu tz tertentu, dimana

uhtz 067,0

kecepatan geser

kedalaman aliran

tz

zz

hUL

2

tz

zz

ht

2

kecepatan rata-rata kedalaman

= 0,4 jika polutan dimasukkan di dasar sungai

= 0,1 jika polutan dimasukkan di tengah kedalaman aliran



Koefisien difusi transversal

• di flume

• di sungai

uhty 15,0

Difusi vertikal mencapai seluruh lebar sungai, B, setelah difusi mencapai jarak Ly tertentu atau setelah waktu ty tertentu, dimana

uhty 6,0

kecepatan geser

kedalaman aliran

ty

yy

BUL

2

ty

yy

Bt

2

kecepatan rata-rata kedalaman

= 0,5 jika polutan dimasukkan di tepi sungai

= 0,1 jika polutan dimasukkan di tengah (separuh lebar) sungai



Koefisien difusi longitudinal

uhtx 23,0

Difusi longitudinal karena turbulensi umumnya tidak begitu diperhatikan mengingat pengaruh dispersi (koefisien dispersi, Kx) lebih dominan

Dispersi terjadi karena adanya variasi besaran kecepatan (distribusi kecepatan) beda kecepatan antara kecepatan rata-rata dan kecepatan di suatu titik

UUU


near-field zone

of mixing

mid-field zone

of mixing

far-field zone

of mixing


Difusi Transversal

Persamaan konveksi-difusi dalam aliran turbulen, dimana

V(u,0,0) = U

2

2

2

2

2

2

z

c

y

c

x

c

x

cU

t

ctztytx

Apabila:

• sumber polutan kontinu dan transpor polutan dianggap permanen

• difusi longitudinal diabaikan

• difusi vertikal telah tercapai

2

2

y

C

x

CU ty

maka: C = konsentrasi rata-rata kedalaman

(depth intergrated average)


Difusi Transversal

Penyelesaian apabila sungai sangat lebar adalah:

x

Uy

Uxh

GyxC

tyty

u4

exp4

,2

0 [kg/s] 00 tMG

debit polutan, merata di

seluruh kedalaman h

Penyelesaian apabila lebar B membatasi:

N

n

uu yynBxCyyxCyxC1

00 2,,,

lokasi asal polutan


Dispersi

x

CK

xx

CU

t

Cxtx xxtx KK

Aliran permanen dan seragam, Kx = konstanta

2

2

x

CK

x

CU

t

Cx

Berlaku setelah difusi vertikal dan transversal tercapai

ty

yy

BUt

2

ty

yy

BL

2

setelah atau setelah


Koefisien Dispersi

Saluran segi empat sangat lebar, Rh = h

uhKx 6

Sungai

uh

UBK x

22

011,0

Saluran, sungai dimana terdapat distribusi kecepatan ke

arah vertikal maupun ke arah transversal

500140 xK


Dispersi Longitudinal

Persamaan dispersi longitudinal

yang berlaku dalam kondisi:

• konsentrasi polutan merata di seluruh tampang

• di far-field zone of mixing

2

2

x

CK

x

CU

t

Cx

ty

yy

BL

2



Polutan M0 dimasukkan secara merata di suatu tampang

dan secara tiba-tiba

tK

tUx

tKtxC

xx4

exp4

,

2

1M

][kg/m 2

01 SMM

sumber polutan merata di

seluruh tampang

UxKtK

tCxx

4

14

11max

MM

konsentrasi maximum (bergerak

dengan kec. U, dan berkurang

seiring waktu t)




dan selama waktu tertentu T

• dapat dilihat spt satu seri polutan yang dimasukkan secara

berurutan, masing-masing dalam waktu yang sangat kecil

ix

i

ix

ii

tK

tUx

tKS

mtxC

4exp

4,

2

TMmi 0

n

i ix

i

i

i

x

n

i

itK

tUx

t

m

KStxCtxc

1

2

1 4exp

4

1,,




dan terus-menerus (kontinu) serta konstan

tK

tUx

tK

tUx

K

xUCtxC

xxx 4erfc

4erfcexp

2, 0

konstanta0 C

jika U(x) positif 10

C

C

x

x

K

U

C

Cexp

0

jika U(x) negatif

pada saat t

erfc(+) = 0

erfc() = 2

Transpor Polutan

The End

ts transpor polutan

Documents