trigono smk dasar12

Perbandingan ,fungsi, persamaan dan

identitas trigonometri

Adaptif

Seorang ingin mengukur tinggi tiang bender dengan Seorang ingin mengukur tinggi tiang bender dengan

menggunakan klinometermenggunakan klinometer

Perbandingan trigonometri

Adaptif

Pengalaman Belajar Seorang siswa program keahlian bangunan ingin

praktik membuat rangka atap rumah dengan ketentuan ukuran seperti gambar berikut. Maka panjang x adalah …

x m

4 m

2 m

3

Perbandingan Trigonometri

Adaptif

Pengalaman BelajarPengalaman Belajar Puncak suatu menara dilihat dari tempat A dengan sudut Puncak suatu menara dilihat dari tempat A dengan sudut

elevasi 30elevasi 3000 dan dilihat dari B dengan sudut elevasi 45 dan dilihat dari B dengan sudut elevasi 450 0

seperti pada gambar. Apabila jarak A dan B adalah 20 seperti pada gambar. Apabila jarak A dan B adalah 20 meter, berapa tinggi menara tersebut?meter, berapa tinggi menara tersebut?

300 450

A B

20 m

Perbandingan Trigonometrri

Adaptif

APA yang terjadi ?APA yang terjadi ?

Apabila ada beberapa guru memberi tugas pada Apabila ada beberapa guru memberi tugas pada muridnya sbb:muridnya sbb:

“ “Segitiga siku-siku ABC mempunyai sisi-sisi Segitiga siku-siku ABC mempunyai sisi-sisi AC=4, BC=6AC=4, BC=6 dan dan AB=8AB=8. Tentukan . Tentukan besar sudut besar sudut A.”A.”


Adaptif

Sekilas ???Sekilas ???

Tidak ada yang aneh dalam soal yang diberikan Tidak ada yang aneh dalam soal yang diberikan oleh guru tersebut?oleh guru tersebut?

Murid ya mencoba menghitung besar sudut A Murid ya mencoba menghitung besar sudut A dengan terlebih dahulu menghitung nilai Sinus Adengan terlebih dahulu menghitung nilai Sinus A

Guru merasa tak bersalahGuru merasa tak bersalah


Adaptif

4M

3 M

BERAPA M TINGGI ANAK TANGGA?


Adaptif

Manakah bangun yang kelilingnya terpanjang?

4)

1) 2)

3)


Adaptif

RuangRuang Lingkup Lingkup

2. Sudut-sudut Istimewa ( Khusus )

3. Rumus-rumus Trigonometri

4. Koordinat Kartesius dan Kutub

5. Aturan Sinus, Kosinus dan Luas segitiga

1. Perbandingan Trigonometri suatu sudut

6. Identitas Trigonometri

7. Persamaan Trigonometri


Adaptif

SINUS ADALAH PERBANDINGAN ANTARA SISI DIDEPAN SUDUT DENGAN HIPOTENUSA PADA SUATU SEGITIGA SIKU-SIKU

Sin AOC = ACOC

0 A

C


Adaptif


Cosinus adalah nilai perbandingan antara sisi disampaing sudut dengan hipotenua suatu segitiga siku-siku

O A

C

Cos AOB =OAOC

Adaptif


Tangen adalah nilai perbandingan antara sisi didepan sudut dengan sisi disamping sudut

O

C

A

Tan AOC =ACOA

Adaptif

Sudut Dalam Kedudukan Baku

A

B

C

θ

Sudut θ tidak dlm kedudukan baku

X

Y

A B

C

θ

Sudut θ dalam kedudukan baku

Sisi AB disebut sisi permulaan dari sudut θ

Sisi AC disebut sisi batas dari sudut θ


Adaptif

PERBANDINGAN TRIGONOMETRIPERBANDINGAN TRIGONOMETRI

KONSEP SINUS

...AEEE'

ADDD'

ACCC'

ABBB'

Adaptif


KONSEP KOSINUS

...AEAE'

ADAD'

ACAC'

ABAB'

Adaptif


KONSEP TANGEN

...AE'

EE'

AD'

DD'

AC'

CC'

AB'

BB'

Adaptif

Diketahui segitiga ABC, siku-siku di C. Panjang sisi AB = 10 cm, sisi BC = 5 cm. Nilai cos A dan tan A berturut-turut adalah ....

didapat 5V3C

B

5

A

10

?

Maka diperoleh : sin A = ½ Jadi : cos A = ½ V3 tan A = 1/3 V3


Adaptif

Dikembangkan Soal

Dengan mengukur panjang tangga BC, dan mengukur besa sudut ABC, dan menggunakan konsep sinus, maka siswa ditugasi untuk menentukan ketinggian lantai II dari dasar lantai.

A B

C

Tangga


Adaptif


C

A B

Tali pancang

Tiang

Dengan mengukur besar sudut BAC dan jarak AB, serta menggunakan konsep

kosinus maka siswa dapat menentukan panjang tali pancang AC, yang sudah

waktunya diganti itu!

Adaptif

Sudut KhususSudut khusus

S

A B

C

D P Q

R

ABC sama sisipanjang sisi = 2a

PQRS persegipanjang sisi = 2a


Adaptif


Dengan menggunakan gambar di atas,tentukan nilai perbandingan :

0o 300 450 600 900

…. …. …. …. ….

…. …. …. …. ….

…. …. …. …. ….

…. …. …. …. ….

…. …. …. …. ….

…. …. …. …. ….

sin

costg

ctgsec

eccos

Adaptif

Sudut KhususSudut Khusus

1

45o

45o

90o

1

V2sin 45o = ½ V2

cos 45o = ½ V2

tan 45o = 1

V32

160o

30o

90o

sin 30o = ½

cos 30o = ½ V3

tan 30o = 1/3 V3

sin 60o = ½V3

cos 60o = ½

tan 60o = V3

Perbandibgan Trigonometri

Adaptif

RUMUS-RUMUS TRIGONOMETRIRUMUS-RUMUS TRIGONOMETRI

A. Relasi/Rumus Dasar Fungsi Trigonometri1. a. Relasi Kebalikan:

csc α = sec α = cot α = tan

1

cos

1sinα

1

cosαsinα

αsinαcos

b. Relasi Pembagian: tan α =

cot α =

c. Relasi “Pythagoras”: sin2α + cos2α = 1 (dan variasinya) tan2α + 1 = sec2α 1 + cot2α = csc2α

Perbandingan Trigonometry

Adaptif

Sudut BerelasiSudut Berelasi2. Fungsi trigonometri sudut-sudut yang berelasi a. sin(90 – α)o = cos αo cos(90 – α)o = sin αo

tan(90 – α)o = cot αo cot(90 – α)o = tan αo

sec(90 – α)o = csc αo csc(90 – α)o = sec αo

b. sin(180 – α)o = sin α0 sin(180 + α)o = –sin αo

cos(180 – α)o = –cos α0 cos(180 + α)o = –cos αo

tan(180 – α)o = –tan α0 tan(180 + α)o = tan αo

c. sin(360 – α)o = –sin α0 sin(–αo) = –sin αo

cos(360 – α)o = cos α0 cos(–αo) = cos αo

tan(360 – α)o = –tan α0 tan(–αo) = –tan αo

AllSin

Tan Cos

Bernilai ”+”


Adaptif

1. 1. Jika Jika ααoo + + ββoo + + γγoo = 180 = 180oo , maka: , maka:

sin(sin(αα + + ββ))oo = sin(180 – = sin(180 – γγ))oo = sin = sin γγoo

cos( cos(αα + + ββ))oo = cos(180 – = cos(180 – γγ))oo = –cos = –cos γγoo

sin ½ ( sin ½ (αα + + ββ))oo = sin(90 – ½ = sin(90 – ½ γγ))oo = cos ½ = cos ½ γγoo

cos cos ½ ( ½ (αα + + ββ))oo = = coscos (90 – ½ (90 – ½ γγ))oo = sin ½ = sin ½ γγoo

Hal KhususHal Khusus

2. 2. Jika Jika ααoo + + ββoo + + oo = 270 = 270oo, maka:, maka:

sin(sin(αα + + ββ))oo = sin(270 – = sin(270 – ))oo = –cos = –cos oo

cos(cos(αα + + ββ))oo = cos(270 – = cos(270 – ))oo = –sin = –sin oo


Adaptif

Koordinat Kartesius dan KutubKoordinat Kartesius dan Kutub

y

x

x

Y P( x,y )

o Koordinat Kartesius

y

x

X

YP( r, )

r

O

Koordinat Kutub

x = r cos aY = r sin a

r2 = x2 + y2

tan α = xy

Koordinat Kutub ke Kartesius Koordinat Kartesius ke Kutub

Adaptif

Rumus Trigonometri dalam SegitigaRumus Trigonometri dalam Segitiga

1.Aturan (rumus) sinus dalam segitiga ABC:

sinsinsin

cba

2. Aturan (rumus) kosinus:

a2 = b2 + c2 – 2bc cos α b2 = a2 + c2 – 2ac cos β c2 = a2 + b2 – 2ab cos γ

2ca

2b2a2c

cos α =

cos β =

2bc

2a2c2b

2ab2c2b2a cos γ =

atau

Adaptif

Dari sebuah pelabuhan kapal A bertolak dengan kecepatan 10 knot (mil/jam) ke arah 160o dan kapal B ke arah 220o dengan kecepatan 16 knot. Berapa jarak kedua kapal 2 jam kemudian?

160o

220o

60o

20

32

O

A

B

AB2 = 202 + 322 – 2. 20 . 32 . cos 60o

= 400 + 1024 – 640

= 784

AB = 28

Jarak antara kedua kapal 28 mil

Rumus Trigonometri dalam segitiga

U

Adaptif

37

51

20

A B

C

Berapakah nilai tan A dan sin B?

cos A = sehingga cos B =

cos B = sehingga sin A =

Rumus trigonometri dalam segitiga

Adaptif

RUMUS FUNGSI TRIGONOMETRI DUA SUDUTRUMUS FUNGSI TRIGONOMETRI DUA SUDUT

1. 1. Rumus jumlahRumus jumlah sin(sin(αα + + ββ) = sin ) = sin αα cos cos ββ + cos + cos αα sin sin ββ cos(cos(αα + + ββ) = cos ) = cos αα cos cos ββ – sin – sin αα sin sin ββ

tantan1

tantan)tan(

Rumus selisihRumus selisih sin(sin(αα – – ββ) = sin ) = sin αα cos cos ββ – cos – cos αα sin sin ββ cos(cos(αα – – ββ) = cos ) = cos αα cos cos ββ + sin + sin αα sin sin ββ

tantan1

tantan)(tan

2. 2. Rumus sudut rangkapRumus sudut rangkap Sin 2Sin 2αα = 2 sin = 2 sin αα cos cos αα Cos 2Cos 2αα = cos = cos22αα – sin – sin22αα

Rumus setengah sudutRumus setengah sudut 2 sin2 sin22 ½ ½ αα = 1 - cos = 1 - cos αα 2 cos2 cos22 ½ ½ αα = 1 + cos = 1 + cos αα

2tan1

tan22tan

cos1

cos1tan 2

12

cos1

sintan 2

1

Adaptif

RUMUS FUNGSI TRIGONOMETRI DUA SUDUTRUMUS FUNGSI TRIGONOMETRI DUA SUDUT

3. Rumus sudut rangkap tiga3. Rumus sudut rangkap tiga

Sin 3α = 3 sin α – 4 sin3 α Sin 3α = 3 sin α – 4 sin3 α

Cos 3α = 4cos3α – 3 cos α Cos 3α = 4cos3α – 3 cos α

2

3

tan31

tantan33tan

Adaptif

Rumus Jumlah, Selisih, dan Hasil Kali Rumus Jumlah, Selisih, dan Hasil Kali

Fungsi Sinus/KosinusFungsi Sinus/Kosinus

1. 1. Hasil kali sinus dan kosinusHasil kali sinus dan kosinus 2 sin 2 sin αα cos cos ββ = sin( = sin(αα + + ββ) + sin() + sin(αα – – ββ)) 2 cos 2 cos αα sin sin ββ = sin( = sin(αα + + ββ) – sin() – sin(αα – – ββ)) 2 cos 2 cos αα cos cos ββ = cos( = cos(αα + + ββ) – cos() – cos(αα – – ββ)) ––2 sin 2 sin αα sin sin ββ = cos( = cos(αα + + ββ) – cos() – cos(αα – – ββ))

atau 2 sin α sin β = cos(α – β) – cos(α + β)atau 2 sin α sin β = cos(α – β) – cos(α + β)

22. Jumlah dan Selisih Fungsi Sinus/Kosinus. Jumlah dan Selisih Fungsi Sinus/Kosinus sin A + sin B = 2 sin A + sin B = 2 sin ½ (A + B) cos ½ (A – B)sin ½ (A + B) cos ½ (A – B) sin A – sin B = 2 cos sin A – sin B = 2 cos ½ (A + B) sin ½ (A – B) ½ (A + B) sin ½ (A – B) cos A + cos B = 2 cos ½ (A + B) cos A + cos B = 2 cos ½ (A + B) cos cos ½ (A – B) ½ (A – B) cos A – cos B = –2 sin cos A – cos B = –2 sin ½ (A + B) sin ½ (A – B) ½ (A + B) sin ½ (A – B)

Adaptif

IDENTITAS TRIGONOMETRIIDENTITAS TRIGONOMETRI

IdentitasIdentitas adalah suatu kalimat terbuka yang adalah suatu kalimat terbuka yang

bernilai benar untuk setiap pengganti nilai bernilai benar untuk setiap pengganti nilai

variabelnya, misal : variabelnya, misal : sin2α + cos2α = 1

x

x

x

xx

sin

cos1

cos1

sincsc2

Buktikan !Buktikan !

sec4 – sec2 = tan4 + tan2

Adaptif

Bukti:

xsin)xcos1(

)xcos1(xsin 22

xsin)xcos1(

xcosxcos21xsin 22

xsin)xcos1(

xcos22

xsin

2

(terbukti)kanan ruas xcsc2

x

x

x

x

sin

cos1

cos1

sin

IDENTITAS TRIGONOMETRI

Adaptif

IDENTITAS TRIGONOMETRI

Bukti:

Alternatif I Dari ruas kiri lternatif II Dari ruas kanan

Ruas kiri: Ruas kanan:

sec4 – sec2 tan 4 + tan 2

= sec2(sec2 – 1) = tan 2(tan 2 + 1)

= sec 2 x tan 2 = (sec 2 – 1) sec 2

= (1 + tan 2) x tan 2 = sec 4 – sec 2

= tan 2 + tan 4 = ruas kiri (terbukti)

= tan 4 + tan 2

= ruas kanan (terbukti)

Adaptif

Persamaan Trigonometri SederhanaPersamaan Trigonometri Sederhana

1). Jika sin 1). Jika sin xx sin sin maka: maka: x x + + kk. 360. 360 atau atau xx (180 (180 ) + ) + kk. 360. 360 , , kk B B

2). Jika cos 2). Jika cos xx cos cos maka : maka : xx + + kk. 360. 360 atau atau

xx + + kk. 360. 360, , kk B B3). Jika tan 3). Jika tan xx tan tan maka : maka : xx + + kk. 180. 180 kk B B

Rumus I :Rumus I :

Adaptif

Rumus II : Pada keadaan sama dengan nolRumus II : Pada keadaan sama dengan nol

1). Jika sin 1). Jika sin xx 0 0

maka: maka: x x kk.180.180 , , kk B B

2). Jika cos 2). Jika cos xx 0 0

maka: maka: x x 90 90 + + kk.180.180 , , kk B B

3). Jika tan 3). Jika tan xx 0 0

maka: maka: x x kk.180.180 , , kk B B

PERSAMAAN TRIGONOMETRI

Adaptif

Rumus III : Rumus III : Persamaan mengandung harga negatifPersamaan mengandung harga negatif

1). Jika sin 1). Jika sin xx - sin - sin sin (- sin (-)) maka: maka: x x - - + + kk. 360. 360 atau atau

xx (180 (180 + + ) + ) + kk. 360. 360 , , kk B B

2). Jika cos 2). Jika cos xx - cos - cos cos (180 + cos (180 + ) ) maka: maka: x x 180 + 180 + + + kk. 360. 360 atau atau

xx - 180 - 180 - - + + kk. 360. 360 , , kk B B

3). Jika tan 3). Jika tan xx - tan - tan tan (- tan (-)) maka: maka: x x - - + + kk. 180. 180 , , kk B B


Adaptif

Contoh Soal

Tentukan himpunan penyelesaian persamaan trigonometri

berikut: Untuk 0 ≤ x < 360:

a) sin x0 = sin 400 b) cos 2x0 =

Jawab:

a) sin x0 = sin 400 x = 40 + k.360 atau x = (180 – 40) + k.360

untuk k = 0 → x = 40 k = 0 → k = 140

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {40, 140}

adalah {30, 150, 210, 330}

2

1


Adaptif


b) cos 2x 0 =

cos 2x 0 = cos 60 0

maka 2x = 60 + k.360 atau 2x = -60 + k.360

x = 30 + k.1 80 x = -30 + k.180

untuk k = 0 → x = 30 Untuk k = 1 → x = 2100

k = 1 → x = 150 k = 2 → x = 330

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah

{30, 150, 210, 330}

2

1

Adaptif

Soal :

1.Diketahui segitiga ABC, AC =25 cm, BC=40 cm, dan panjang garis tinggi dari C,yaitu CD=24 cm. Nilai cos A dan tan B berturut-turut adalah ....

2. Dua kapal meninggalkan suatu pelabuhan secara bersamaan. Kapal pertama berlayar dengan arah 030° dengan kecepatan 8 km/jam, sedangkan kapal kedua berlayar dengan arah 090° dengan kecepatan 10 km/jam. Jarak kedua kapal itu setelah berlayar 3 jam adalah ... km


Adaptif

Kerangka atap suatu bangunan berbentuk seperti gambar berikut:

Hitunglah panjang AB

35,30

BA

10,30 m

28,50

2,20 m

panjang AB adalah 3,14 m

Penerapan ke prgram keahlian

Adaptif

Perhatikan gambar:

a) Hitunglah jarak ABb) Hitunglah jarak BC

18 cm

400 950

700

A

B

C

a) jarak AB = 12,6 cm

b) jarak BC = 21,97 cm

Penerapan ke program keahlian

trigono smk dasar12

Education