TRATAMIENTO ESTADSTICO DE DATOS QUMICOSUNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERA FACULTAD DE CIENCIAS III CURSO DE TITULACIN POR ACTUALIZACIN DE CONOCIMIENTOS Lic. Christian Jacinto Hernndez christian@uni.edu.pe Lima, 2006

IntroduccinUn qumico analista puede enfrentarse a dos problemas: una respuesta cualitativa y una cuantitativa. La qumica analtica moderna es predominantemente cuantitativa, es por eso que es necesario estimar los errores que se cometen cuando se quiere dar una respuesta cuantitativa.

NO EXISTEN RESULTADOS CUANTITATIVOS VLIDOS SI NO VAN ACOMPAADOS DE ALGUNA ESTIMACIN DE LOS ERRORES INHERENTES A ELLOS!

Tipos de ErroresLos errores crasos puede definirse como errores tan graves que no queda otra alternativa que abandonar el experimento y empezar de nuevo. Los errores aleatorios son los que provocan que los errores individuales caigan a ambos lados del valor medio. Los estadsticos afirman que afectan la precisin o reproducibilidad de un experimento. Los errores sistemticos son los que provocan que los resultados sean errneos en un mismo sentido. Los errores sistemticos afectan la exactitud, es decir, la proximidad al valor verdadero.

Precisin y ExactitudLa precisin describe la reproducibilidad de los resultados; es decir, la concordancia entre los valores numricos de dos o mas medidas replicadas o medidas que se han realizado exactamente de la misma forma. Habitualmente se utilizan tres trminos para describir la precisin de un conjunto de datos de replicados que incluye la desviacin estndar, la varianza y el coeficiente de variacin. La exactitud es una medida de la proximidad del valor medido al valor verdadero.

Precisin y Exactitud

Planificacin y Diseo de Experimentos

Las pruebas estadsticas no solo se utilizan para juzgar los resultados de un experimento concluido si no tambin es importante en la planificacin y el diseo de experimentos.

Poblacin y MuestraUna poblacin es el conjunto de todos los casos o unidades experimentales que son objeto de un estudio estadstico. Una muestra es un subconjunto tomado aleatoriamente de la poblacin. El tratamiento de dichos datos para poner de manifiesto sus caractersticas mas relevantes en forma de parmetros muestrales, o tambin en forma grfica, es el objeto de la estadstica descriptiva. El anlisis de las grficas y de los parmetros muestrales con el fin de obtener conclusiones sobre la poblacin constituye el objeto de la Inferencia estadstica.

La Distribucin Normal40

30

20

x Q 2 1 R ! exp 2W 2 W 2T

10

Frecuenci

Std. Dev = .03 Mean = 7.33 0 7.25 7.28 7.30 7.33 7.35 7.38 7.40 N = 80.00

pH

Descriptores EstadsticosDescriptores PoblacionalesN

Descriptores Muestralesn

Q!N

i

i !1

Ni

x! Qn2

xi !1

i

ni

xW !I !1

xs !I !1 n

x

2

2

N

n 1

W !2

x Q i I !1

N

2

s

2

!

x iI !1

x

N

n 1

La Tipificacin z

Cuando se desea comparar datos o estimadores de muestras que tienen diferente Q y W, es necesario tipificar la variable o estandarizarla para que sirva de referencia. La tipificacin se obtiene:xi x zi ! s

Sustituyendo en la ecuacin del modelo Normal o de Gauss, obtenemos: z2 1R !

exp 2 2T 2

Este modelo tiene una media de cero y desviacin estndar de + 1.

La Tipificacin z

El rea subtendida bajo esta curva para los intervalos [- g, - z] o [+z, + g] representa la probabilidad de que un valor cualquiera se encuentre a la izquierda de z o a la derecha de +z respectivamente. En el primer caso, dicha probabilidad z viene dada por:

R

dz dz

Area % = Probabilidad % =

g g

g

R

La Tipificacin z (Ejercicios)Cual es la probabilidad de que al obtener un dato cualquiera, este se encuentre por debajo de z = -2? Cual es la probabilidad de que al obtener un dato cualquiera, este se encuentre dentro de los intervalos z = + 1 y z = + 2 Dentro de que intervalo [-z, +z] se encuentra el 95 % de las medidas. Se sabe que la cantidad de aspirina contenida en los comprimidos analgsicos de un fabricante determinado sigue una distribucin normal, con Q = 250 mg y W2 = 25. En un muestreo aleatorio de comprimidos tomados de la lnea de produccin, qu porcentaje es de esperar contenga entre 243 y 262 mg de aspirina?

Descriptores No Paramtricos

Los descriptores no paramtricos no utilizan modelos por lo que pueden utilizarse para cualquiera que sea la distribucin de la poblacin. Tienen especial inters para muestras muy pequeas (n = 3 o 5). La mediana Los cuantiles (o percentiles) Los cuartiles. Diagrama de cajas

La MedianaMediana Valor tal que el 50 % de las observaciones son menores (se sita a la mitad del intervalo de medida). Nmero de observaciones impar: se toma la [(n+1)2]sima Nmero de observaciones par: se toma el promedio entre la [n/2]sima y la [(n+2)2]sima.

Diagrama de Cajas1er Cuartil (Q1) Valor tal que el 25 % de las observaciones son inferiores

2do Cuartil (Q2)

Valor tal que el 25 % de las observaciones son superiores

Grficos BoxQ1 Mediana Q3

Descriptores No ParamtricosEnsayar para los siguientes datos:28

Serie 1 23 21 22 26 25

Serie 2 21 18 22 24 25

Serie 3 24 27 1922 26

24

20 1920

18

4

16

14

7

7

7

erie 1

erie 2

erie 3

Ensayos de Normalidad

Histograma:40

30

20

10

Frecuencia

Std. Dev = . 3 ean = 7.33 0 7. 5 7. 8 7.30 7.33 7.35 7.38 7.40 N = 80.

pH

Ensayos de Normalidad

Diagrama de Posiciones o Q-Q:Di

,5

z

- ,5

-1,5

- ,5

z

-3,

- ,

-1,

0,

1,

-3

- ,5

-

-1,5

-1

- ,5

0

0,5

1

1,5

1,5

y = , 16x - ,1944 2 2,5

2,

r -

!!

!0

!&

!#

!3

!1

!2

1 &0 ! )( "'& " % $ ##"! , , ,

r

Ensayos de Normalidad

Diagrama de Proporciones acumuladas o P-P:

Pr

Di

r i

P-P

lad a

DCB 4

@A @69 8 7 6 45 4

rvada

!"

!'

!

!

!

!'Pr

!2

r i acumulada

E EF G IH

!3

!&

QP PF

rad a

!!

!'

Inter alo de Confianza

Los intervalos de confianza tambin pueden expresarse usando la media de una muestra de tamao n, extrada de una muestra de s conocida. Por tanto el intervalo de confianza para la media de la poblacin ser:

ts Q!Xs nCul ser el intervalo de confianza del 95 % para los comprimidos analgsicos, si un anlisis de cinco de ellos arroja una media de 245 mg de aspirina y una desviacin estndar de 7 mg?

Grados de Libertad 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 16 18 20 30 50

t 12.71 4.30 3.18 2.78 2.57 2.45 2.36 2.31 2.26 2.23 2.18 2.14 2.12 2.10 2.09 2.04 2.01 1.96

Tabla t de student

Presentacin de ResultadosLa dispersin se expresa con una sola cifra distinta de cero, mas los ceros necesarios para establecer el lugar donde se encuentra la coma decimal. La primera cifra de la izquierda que sea distinta de cero se redondea al entero mas prximo. Son cifras significativas de la media todas las que se conocen mas la primera incierta, la cual se redondea al entero mas prximo. Para saber cual es la primera cifra incierta se atiende al valor de la dispersin.

Presentacin de ResultadosRedondear para obtener la presentacin final de los siguientes resultados:

27,58 + 0,282 0,00197 + 0,00186 48 767,25 + 2 825,7 4,67 + 59

Rechazo de Resultados Anmalos

Utilizando el intervalo de confianza, se halla x y s sin considerar el dato anmalo, y se verifica si se encuentra dentro del intervalo de confianza a un nivel dado de confianza. Ensayo de Dixon, se calcula el estadstico:

Qo !

x xp*

x * xl

Donde xpes el valor mas prximo y xl es el valor mas lejano al valor sospechoso. Qo se compara con el valor crtico Qc que se toma e la tabla de Dixon de dos lados:

Tabla de Dixonn 0,053 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0,970 0,829 0,710 0,628 0,569 0,608 0,564 0,530 0,502 0,479

Ec 0,010,994 0,926 0,821 0,740 0,680 0,717 0,672 0,635 0,605 0,579

Rechazo de Resultados Anmalos (ejemplo)

Se dispone de la serie: 423, 422,422, 421, 421, 420, 415. Analizar si se puede eliminar el valor sospechoso 415

Ensayos de Hiptesis

Ensayar una hiptesis es realizar una comparacin entre un dato o un descriptor muestral y un valor de referencia, o bien, entre dos o mas descriptores muestrales.

La Hiptesis Nula y la Alternati a

La hiptesis nula, Ho, establece que los parmetros son iguales. Ejemplos:

Igualdad de dos varianzas: Ho : s12 = s22 Igualdad de dos medias: Ho : x1 = x2

La decisin de aceptar o rechazar Ho se toma estableciendo previamente su nivel de significacin crtico o lmite de decisin Ec. El rechazo de la hiptesis nula supone la aceptacin de una hiptesis alternativa H1. Esta puede ser:

H1 de dos lados o dos colas, los parmetros que se comparan son distintos. H1 de un lado o una cola, un parmetro es mayor que otro, no siendo posible el caso inverso

La Hiptesis Nula y la Alternati aHiptesis Nula (H0) Hiptesis Alternativa (H1)

No existen diferencias significativas entre nuestras observaciones y una referencia o entre conjuntos de datos

Si existen diferencias significativas entre nuestras observaciones y una referencia o entre conjuntos de datos

Validez

Tests Estadsticos

La Hiptesis Nula y la Alternati a

Establecer la hiptesis nula y alternativa de:

Se compara la varianza de medidas obtenidas a lo largo de una sesin de trabajo de un da, con la varianza obtenida a lo largo de varios das. Se compara las varianzas obtenidas al aplicar el mismo mtodo a la misma muestra en dos laboratorios distintos. Se desea saber si las concentraciones de contaminantes y nutrientes han variado con respecto a lo observado el ao anterior.

Comparacin de dos Varianzas (Prueba F)

Ho : s12 = s22 (homogneas u homocedsticas) Heterogneas u H1 : s12 > s22 (ensayo de un lado) H1 : s12 s22 (ensayo de dos lados) Heterocedsticas 2 El estadstico Fo es: F ! s1 o 2 s2 Con grados de libertad del numerador, X1 = (n1-1) y del denominador, X2 = (n2-1).

Comparacin de dos Varianzas (Prueba F)

Ejemplo:

Las dos series de n1 = 10 y n2 = 9 del cuadro se han obtenido midiendo un estndar de As(III) en dos espectrofotmetros de absorcin atmica. Se desea saber si los dos instrumentos dan varianzas iguales o distintas.Serie 1 325 333 322 322 314 323 323 327 325 321 Serie 2 312 311 307 316 310 314 309 310 311 -

Comparacin de una media con un alor de referencia

Ho : x = Q H1 : x > Q (ensayo de un lado) H1 : x Q (ensayo de dos lados) El estadstico to: (x Q) n to ! s Se compara con el valor crtico de tc tomado de la tabla de Student de uno o de dos lados para un determinado nivel de significacin, y n-1 grados de libertad.

Comparacin de una media con un alor de referencia

Ejemplo:

En el ciclismo profesional, un hematocrito superior al 50 % implica sancin por dopaje con EPO (eritropoyetina). Para la siguiente serie de medidas se quiere decidir para E = 0,05 si se ha sobrepasado el lmite legal: 51,9, 50,6, 50,8, 49,3, 50,0, 51,2, 51,7, 50,9.

Comparacin de dos medias homogneas

Primero se realiza un ensayo F, si se acepta Ho : s12 = s22 (muestras homogneas), es posible calcular una varianza conjunta o promedio, s2. (n 1) s 2 (n 1) s 2

s2 !

1

1

2

2

Entonces:

n1 n2 2

Ho : x1 = x2 H1 : x1 > x2 (ensayo de un lado) H1 : x1 x2 (ensayo de dos lados) El to se calcula: x1 x 2

to !

2 1 1 s n n 2 1

1 2

Los grados de libertad son n1 + n2 - 2

Comparacin de dos medias homogneas

Ejemplo:

Las dos series de n1 = 10 y n2 = 9 del cuadro se han obtenido midiendo un estndar de As(III) en dos espectrofotmetros de absorcin atmica. Las medias de las dos series difieren significativamente a un nivl de confianza del 95 %?.Serie 1 325 333 322 322 314 323 323 327 325 321 Serie 2 312 311 307 316 310 314 309 310 311 -

Comparacin de dos medias heterogneas

Primero se realiza un ensayo F, si se acepta Ho : s12 s22 (muestras heterogneas), to se obtiene:to ! x1 x 22 s12 s2 n n 2 1 1 2

Para hallar los grados de libertad, se utiliza la frmula 2 aproximada: 2 2 s1 s2 n n X ! 12 2 2 2 2 s12 s2 n n 1 2 n1 1 n2 1

Comparacin de dos medias heterogneas

Ejemplo:

Los datos de la siguiente tabla proporcionan la concentracin de tiol (mM) en el lisado sanguneo de dos grupos de voluntarios, siendo el primer grupo normal y el segundo sufriendo artritis reumatoide. Se pide hallar si la media de los dos resultados difieren significativamente a un nivel de significancia de 0,05

Normal 1,84 1,92 1,94 1,92 1,85 1,91 2,07

Reumatoide 2,81 4,06 3,62 3,27 3,27 3,76

Comparacin de resultados apareados

Se utiliza para comparar dos conjuntos de resultados cada uno, cuyos datos en funcin de algn criterio objetivo, se pueden reunir de dos en dos formando parejas: (x1, y1), (x2, y2), , (xn, yn). Se halla la diferencia, di = xi yi, para cada pareja (con su signo) y se calcula la media aritmtica xd de las diferencias y su desviacin estndar sd Ho : xd = 0 xd n El estadstico to: t o !

sd

Los grados de libertad: n-1

Comparacin de resultados apareados

Ejemplo:

El desgaste de un motor se puede evaluar a partir del anlisis del aceite lubricante, que se va enriqueciendo de ciertos metales. En un ensayo de comparacin de motores, se tomaron muestras de aceite de lubricante a distintos tiempos de funcionamiento. Se desea saber si uno de los motores se desgasta mas rpidamente que el otro, o si por el contrario el desgaste es el mismo.

Horas 100 200 300 500 750 1000

Sn, motor 1 0,218 0,312 0,365 0,373 0,379 0,383

Sn, motor 2 0,244 0,299 0,353 0,379 0,388 0,394

Anlisis de la Varianza (ANOVA) En el trabajo analtico suelen presentarse a menudo comparaciones en las que intervienen ms de dos medias. ANOVA se utiliza para analizar medidas que dependen de arios tipos de efectos que actan simultneamente con el doble fin de decidir cuales de ellos son importantes y de poder estimarlos (Scheff, 1953) Compara medias de diversos conjuntos, a travs de sus varianzas

Posibles fuentes de variacin Errores aleatorios Factor controlado

Condiciones bajo las cuales se almacen la solucin Para los ejemplos anteriores Mtodo de anlisis empleado Operadores que realizaron la titulacin

Es posible separar la variacin debida al error aleatorio de cualquier otra variacin provocada al cambiar el factor de control. Podemos asi evidenciar si una modificacin del factor de control genera diferencias significativas entre los valores medios obtenidos.

Anlisis de la Varianza (ANOVA)ANOVA puede emplearse en situaciones donde existe ms de una fuente de variacin aleatoria Por ejemplo: Una situacin de muestreo Las muestras se toman al azar

Ambos tipos de anlisis estadsticos, en donde hay un factor, ya sea controlado o aleatorio, adems del error aleatorio de las medidas, se conoce como ANOVA de un factorEste tipo de anlisis, con mayor grado de dificultad, tambin es aplicable a situaciones ms complejas en las que existen dos o ms factores, posiblemente interactuando entre s

Medida de dispersin dentro de los laboratorios

Medida de dispersin entre los laboratorios

Si Fcal > Ftab

Existe algn error sistemtico

Anlisis de la Varianza (ANOVA) Condiciones para aplicar ANOVA: Los conjuntos de datos son independientes entre si La distribucin de los datos obtenidos para cada conjunto es normal Las varianzas de cada conjunto de datos no difieren significativamenteANOVA evidencia o no la existencia de diferencias significativas entre laboratoriosPero ...

ANOVA no nos indica cuantos laboratorios difieren entre si ni cuales son

Anlisis de la Varianza (ANOVA)

Ejemplo:

Se desea saber si las distintas condiciones de almacenaje de una disolucin afectan a la intensidad de fluorescencia:

TratamientoA) Preparacin reciente B) Oscuridad, 1 h C) Luz tenue, 1 h D) Luz intensa, 1 h

Intensidad de Fluorescencia102, 99, 101, 102, 103, 100 102, 100, 104, 101, 102, 103 97, 95, 99, 95, 98, 96 90, 92,93, 91, 93, 92

Anlisis de la Varianza (ANOVA)Si hay un resultado positivo, indica que al menos una de las medias es distinta de las dems. Se utiliza el ensayo de diferencia significativa menor (DSM). Las medias se ordenan de menor a mayor y se calculan las diferencias que los separan. Se calcula DSM: 2 DSM ! sres t n Donde t se lee de la tabla de Student de dos lados, para h x (n-1) grados de libertad. Las diferencias menores a DSM forman grupos.

Anlisis de la Varianza (ANOVA)

Ejemplo:

Del problema anterior, analizar los grupos que difieren significativamente.

CorrelacinLa correlacin es una medida de la asociacin entre dos variables. Los valores a lo largo de las dos variables estn ligados entre s de algn modo, de forma que una variable proporciona informacin sobre la otra. La asociacin entre variables se estima mediante la covarianza y el coeficiente de correlacin lineal de Pearson, r.cov( x, y ) !

x x y y n i i i

_x x yi i

i

y

a

r!

n 1

2 2 xi x yi y i i

1

2

Coeficientes de Correlacinr = +1

r = -1

r=0

Coeficientes de CorrelacinEs necesario hacer un test estadstico:

t se compara con el valor tabulado para el nivel de significacin deseado usando un prueba t de dos colas y (n-2) grados de libertad. H0 : no existe correlacin entre x e y. Si tcal > ttab , H0 debe rechazarse.

El mtodo de Regresin de Mnimos Cuadrados

Considerando que existe una relacin lineal entre la seal analtica (y) y la concentracin (x), se puede calcular los coeficientes a y b por el mtodo de mnimos cuadrados:y=a+bx

Los coeficientes a y b son:b!

_xi i

i

a x y i y i

x

x

2

a ! y bx

Condiciones de alidez de un modelo de regresinLos errores aleatorios son despreciables en x y predominantes en y. La relacin entre x e y es lineal en el intervalo considerado. Los residuos son homocedsticos. La distribucin de los residuos es normal y su media es cero.

Incertidumbre de los coeficientes de regresinsy/ x y i y 2 i ! n2 sy/ x x i x 2 i 1 2

1 2

sb !

2 i sa ! s y / x 2 n x i x i

1

x

2 i

Lmites de confianza de los coeficientes de regresin

Es posible obtener los lmites de confianza para la pendiente y la ordenada al origen de nuestra recta de ajuste

y = bx + a b s tSb a s tSa

Para un nivel de confianza deseado y (n-2) grados de libertad

Lmites de confianza de los coeficientes de regresin

Ejemplo:

Calcular las desviaciones estndar de la ordenada en el origen y de la pendiente, y sus lmites de confianza. Establecer si la ordenada en el origen no se distingue significativamente de cero, y si la pendiente ha variado respecto al valor de referencia, 0,020, obtenido en estudios anteriores.

x, Qg/mL 0 5 10 20 50 70

y, seal 0,008 0,130 0,190 0,412 0,933 1,319

Incertidumbre de las PrediccionesExpresines aproximadas comunmente utilizadasSolo una lectura de y0

m lecturas de y0

Los lmites de confianza se calculan como: x0 tsx0 , con (m+n-3) grados de libertad para los niveles de confianza deseados

Incertidumbre de las Predicciones

Ejemplo:

Para la determinacin de ascorbato, suponiendo que el valor y = 0,246 sea la media de tres determinaciones, hallar los lmites de confianza de la prediccin x = 21,89 Qg/mL

Lmites de Deteccin

Aquella concentracin que proporciona una seal en el instrumento significativamente diferente (?) de la seal del blanco o seal de fondo. Cantidad de concentracin de analito que proporciona una seal igual a la seal del blanco, yB, mas tres veces la desviacin estndar del blanco, sB.y = yB + 3 sB

En la prctica los trminos yB y sB se determinan cuando se utiliza una recta de regresin convencional para la calibracin. Si consideramos que el mtodo de los mnimos cuadrados sin ponderar cada punto en la representacin grfica tiene una distribucin normal, es apropiado utilizar sy/x en lugar de sB en la estimacin del lmite de deteccin.

Lmites de Deteccin

Ejemplo:

Hallar el lmite de deteccin del anlisis de arcorbato.

El mtodo de adicin estndarMinimiza el efecto matriz Se agregan cantidades conocidas de un determinado analito a una misma muestra o a porciones de sta y se representa la curva. Se debe extrapolar a y = 0 La desviacin estndar del valor extrapolado se calcula segn:

Los limites de confianza se calculan como xE s tsxE Al ser un mtodo de extrapolacin es menos preciso que uno de interpolacin

El mtodo de adicin estndarCuando se usan soluciones puras para establecer las grficas de calibracin se supone que no hay efectos de matriz, es decir, disminucin o aumento de la seal de lectura del analito debido a la presencia de otros componentes en la muestra. Una primera solucin sera formar estndares de matriz parecida a la muestra, pero sin embargo esta forma es impracticable. Otra forma utiliza el mtodo de adicin estndar. El mtodo consiste en volmenes iguales de la solucin problema, pero todas salvo una son tratadas por separado con cantidades conocidas y diferentes del analito, y todas se diluyen al mismo volumen. Despus se determinan las seales instrumentales para todas estas soluciones.

Aplicaciones de las Rectas de RegresinIdentificacin de errores sistemticos Se utilizan para intervalos relativamente grandes de concentracin En cada eje se representan los resultados de cada mtodo a analizar Si se utiliza el mtodo de los cuadrados mnimos debe colocarse en el eje x el mtodo analtico mas preciso (referencia), (este mtodo no admite error en el eje de abscisas) Supone que los errores en el eje de ordenadas son constantes Si los dos mtodos comparados producen resultados que no difieren significativamente a un nivel de significancia E la ordenada de la recta de regresin no ha de ser estadsticamente diferente de 0 y la pendiente no ha de serlo de 1 Recientemente se ha desarrollado el test conjunto para la ordenada al origen y la pendiente considerando errores en ambos mtodos analticos (RIU 1996)

Situacion ideal: a = 0, b = r= 1

curva a curva b

Un error sistemtico proporcional: b { 1 Un error sistemtico constante: a { 0

curva c

Error sistemtico constante + error sistemtico proporcional + errores aleatorios: curva d

Aplicaciones de las Rectas de Regresin (ejemplo)

El nivel de plomo de diez muestras de jugo de fruta se determin por un nuevo mtodo de anlisis potenciomtrico de redisolucin (APR) empleando un electrodo de trabajo de carbono vtreo, y los resultados fueron comparados con los obtenidos mediante la tcnica de espectrometra de absorcin atmica de llama (EAA). Se obtuvieron los siguientes datos (todo los resultados en Qg/L).EAA AP

Introduccin

Un laboratorio debe ofrecer una consistencia de sus resultados da a da. Esta comprobacin debe tener en cuenta los errores aleatorios. Existen tcnicas estadsticas que demuestran si existen o no tendencias dependientes del tiempo en los resultados, asociados a inevitables errores aleatorios. Se trata de los mtodos de control de calidad.

Diagramas de ShewhartPara medias:Q o 2W Q o 2W99.8 %

n n95 %

Q o 2W

n

Q o 2W

n

Diagramas de Shewhart

Criterios para detener el proceso mediante los diagramas e Shewhart:

Un punto cae fuera de la lnea de accin. Dos puntos sucesivos caen fuera de la lnea de aviso. Ocho puntos sucesivos en un lado especfico de la lnea. Seis puntos en sucesin, hacia arriba o abajo sin importar si se encuentra dentro de la lnea de aviso.

Diagramas de ShewhartPara Rangos:x + AR

Rango

x + WR

Tiempo

x - WR x - AR