tratado de topografia[1]

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Tratado de topografía Soluciones prácticas Por: josé miguel tilguant Página 1 TRATADO DE TOPOGRAFÍA Soluciones prácticas Por: José Miguel Tílguant La topografía de hoy. Ofreciendo en este tratado, soluciones para el trabajo de topografía.

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 1

TRATADO DE TOPOGRAFÍA

Soluciones prácticas

Por: José Miguel Tílguant

La topografía de hoy.

Ofreciendo en este tratado, soluciones para el trabajo de topografía.

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 2

INTRODUCCIÓN

El presente tratado va dirigido a los topógrafos y especialmente a los hondureños, ya que en

Honduras (mi país) los topógrafos no reciben ninguna preparación académica, se forman mien-

tras realizan su trabajo en el campo, primero como ayudantes y a partir de allí poco a poco van

escalando posiciones y a la vez mejoras en su sueldo hasta convertirse en topógrafos. Para des-

envolverse como topógrafos necesitarán la aprobación de un topógrafo con experiencia, para

que puedan ser recomendados con el ingeniero jefe de algún proyecto.

Muy pocas personas se han preocupado por la preparación de los topógrafos; hasta hace poco

una nueva universidad, la Universidad Politécnica de Ingeniería a dado inicio a su preparación,

desde luego que esto no es gratis, los topógrafos tienen que pagar por unas pocas clases en cur-

sos que no van más allá de las 100 horas. Tal vez este no sea el tiempo suficiente para poder

preparar de forma eficiente a un topógrafo, pero viendo el tiempo que llevan dando su aporte a

la construcción en Honduras, podríamos decir que este es el principio de querer ayudar a un

gremio tan útil en la industria de la construcción. En Honduras hace muchos años que existe la

Universidad Nacional Autónoma, y jamás nadie ha pensado en los topógrafos, ni los que dirigen

la Universidad, ni los ingenieros que allí se forman, ninguno de ellos ha mostrado interés por su

preparación aunque estos sean los principales colaboradores para el desarrollo de sus proyectos.

No hay trabajo de construcción que se lleve a cabo en que un topógrafo no esté presente, por lo

tanto, resulta importante dar inicio a su preparación, con este tratado queremos dar un pequeño

aporte a la preparación de este importante gremio. El objeto de este tratado, lleva la finalidad

de colaborar con la topografía aunque sea en una pequeña parte, ya que el trabajo de topografía

es muy extenso debido a que tiene que estar presente en todo tipo de construcción importante.

El trabajo de topografía está basado en la trigonometría, ya que todo cálculo que se realiza invo-

lucra esta ciencia, por eso veremos como funciona la trigonometría dentro de la estructura de los

nuevos instrumentos de medición que se usan en la actualidad, tales como la Estación Total y

el GPS.

Conviene decir aquí, que lo que hacen estos novedosos instrumentos es lo que antes y ahora

realiza el topógrafo, la diferencia es que el topógrafo, lo hace todo a mano y el nuevo instru-

mento lo realiza internamente, de acuerdo a un programa pre elaborado e introducido dentro de

su mecanismo que funciona basado en la electrónica.

El trabajo de topografía ha existido desde siempre, porque el hombre como tal siempre sintió la

necesidad de conocer las distancias entre lugares y la diferencia de elevación entre los mismos,

es por eso que en este tratado queremos enfocar las cosas más puntuales que el topógrafo mane-

ja en su trabajo del día a día y que a veces choca con alguna dificultad por su falta de prepara-

ción. Huelga decir aquí, que el topógrafo por su parte una vez que logra su ascenso, empieza a

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sentirse cómodo y muy poco se preocupa por avanzar en su conocimiento. Aquí verá el topógra-

fo que existen muchas formas de resolver los problemas que su trabajo le plantea, se dará cuenta

además, que algunas resultan más fáciles que otras pero, lo importante es que las ponga en

práctica para hacer más agradable la realización de su trabajo.

En el presente tratado he querido dejar plasmado todo lo que logré captar, durante el tiempo que

me dediqué al trabajo de topografía, tiempo este en el que pienso logré aprovechar tal vez no en

su totalidad pero, puedo decir que lo que aprendí me ha servido para lograr tener una vida digna

junto a mi familia, aunque no lo puedo negar, he pasado dificultades a veces originadas por la

falta de trabajo, porque a decir verdad, en nuestra Latinoamérica a veces, es lo que menos po-

demos encontrar (trabajo).

Pienso que todas las personas, no solo los topógrafos, debemos fijarnos metas y siempre mante-

nernos luchando por alcanzarlas, aunque como en toda empresa, nada es del todo fácil. Al

hablar de metas quiero referirme a la que yo me propuse quiero expresar, que yo no tuve la

oportunidad de formarme en alguna academia o universidad, me formé como se forman la ma-

yoría de los latinoamericanos, nos formamos mientras trabajamos, muchas veces uno de los

impedimentos que tenemos para poder estudiar una carrera es la situación económica. Pienso

que con lo poco que estudiamos hemos hecho bastante, nuestros países avanzan con nuestra

colaboración, y eso nos dice que en realidad somos útiles.

Este servidor se formó en la universidad de todos, la que no excluye a nadie, ni tiene preferen-

cia por tal o cual persona, esta universidad se encarga de formar hasta los mismos egresados de

las grandes universidades, porque a decir verdad, la esencia del saber se encuentra en la prácti-

ca, el elemento que le hace falta a la fórmula del conocimiento, este no está en las aulas ni en los

libros, es el resultado del encuentro con la realidad. Esta universidad es la Prestigiosa Universi-

dad de la Vida, la que nos recibe a todos sin importar lo que somos o lo que tenemos, este servi-

dor apenas cursó segundo año de primaria y puedo decirlo con mucho orgullo que no me aver-

güenzo de ello, mas bien, pienso que lo he sabido aprovechar.

Quiero decir también que a veces al topógrafo no se le da el puesto que se merece dentro de la

industria de la construcción, a pesar de ser el primer colaborador del ingeniero, no se le da un

trato digno, solo se toma en cuenta su utilidad, lo demás no cuenta. Tal vez esto obedezca a que

no es portador de un título universitario, título que en nuestra Latinoamérica, es de mucha im-

portancia, una vez que concluye un proyecto solo se le menciona como un empleado que prestó

un servicio y nada más.

Con lo antes expuesto no quiero causar molestias a nadie, ni estoy mostrando resentimiento ni

frustración, porque con el tipo de preparación que obtuve en el aula pienso que llegué bastante

lejos, a tal grado que, lo que hoy escribo se basa en ese logro. Espero que parte de mi conoci-

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miento les pueda ser útil a los demás, para su beneficio y que a la vez puedan prestar su cola-

boración a la importante industria de la construcción.

Mi saludo a los topógrafos del continente, y porque no decirlo a los del mundo entero, si tam-

bién prestan su concurso participando en la construcción de un futuro mejor para sus pueblos.

Quiero dedicar esta obra a mi esposa, a mis hijos y a mis amigos, porque siempre me animaron

para que hiciera realidad el presente tratado.

José Miguel Tìlguant Mendoza, [email protected]

2010-06-20

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TRIÁNGULOS

Vamos a dar inicio a este tratado con un repaso a los triángulos; haciendo uso de la trigonometr-

ía sus leyes y teoremas, que son de mucha utilidad para realizar el trabajo de topografía de for-

ma fácil y eficiente. Decimos fácil aunque en realidad no lo es, ya que para llevar a cabo el tra-

bajo de topografía tenemos que emplear matemática pura, debido a que esta ciencia requiere de

mucha exactitud. Por suerte para nosotros ya contamos con las fórmulas creadas para tal fin,

fórmulas que fueron desarrolladas hace mucho tiempo y que permanecen allí para ser utilizadas

por todos aquellos que nos dedicamos a este fascinante trabajo. A veces empezamos con mucha

dificultad; número uno, porque disponemos de poco tiempo para el aprendizaje y número dos,

porque los topógrafos en su mayoría no se preparan en una academia ya que no existe para ello,

al menos en Honduras.

Continuando con los triángulos; empezaremos con dos tipos de triángulos, rectángulos y obli-

cuángulos. Todo triángulo se compone de tres ángulos en su interior y la suma de estos equivale

a 180 grados, si usamos un círculo graduado con 360 grados, si usáramos un círculo graduado

con 400 grados, entonces los ángulos en su interior medirían 200 grados. El triángulo rectángulo

es aquel que está compuesto por un ángulo recto o sea un cuadrante de 90 grados y dos obli-

cuos. El triángulo oblicuángulo se compone también de tres ángulos, con la diferencia que nin-

guno de ellos es igual a 90 grados, todos son menores o mayores que 90 grados, las distancias

pueden variar en longitud, la hipotenusa o sea el lado que llamamos “c”, varía en la medida que

cambia la longitud de los catetos o sean los otros lados del triángulo. El cateto adyacente de A

es el que está más próximo al ángulo A y que dentro del triángulo llamamos “b”, el cateto adya-

cente de B es el que está más próximo al ángulo B, el cual llamamos “a”.

Más adelante veremos que para el cálculo de estos triángulos, se usan formas diferentes, de-

pendiendo de qué triangulo se trate, así hacemos uso de la ley o teorema que corresponda. Si

estamos tratando de calcular las partes de un triángulo rectángulo, hacemos uso del teorema de

Pitágoras, Fig. 1. Si estamos tratando de calcular distancias, ángulos o lo que corresponda de

un triangulo oblicuángulo, hacemos uso del teorema coseno, ley de cosenos y ley de senos,

Fig.

B

Hipotenusa

(y) ordenada

Cateto adyacente a B

(x) abscisa

A Cateto adyacente a A C

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Veamos aquí algunos elementos de un triángulo rectángulo, el cateto adyacente a A, el cual

representa el lado “b” del triángulo, el cateto adyacente a B el cual representa el lado “a” del

triángulo y la hipotenusa o sea el lado “c”, los catetos son las partes más cortas del triángulo y la

hipotenusa su lado más largo. A los lados del triángulo también se les da el nombre de vectores.

Si tenemos un triángulo con catetos iguales podemos encontrar su hipotenusa multiplicando uno

de sus catetos por la raíz cuadrada de 2, ejemplo: c=a·√2

Fig.1

Es importante anotar aquí un detalle, este es el que se refiere al uso de diferentes instrumentos y

diferentes sistemas angulares. Anteriormente y aún hoy en día, se usan mucho los instrumentos

con círculos graduados con 360 grados, pero podemos ver hoy que se está volviendo más

común el uso de instrumentos con círculos graduados con 400 grados o sea grados centesimales,

por lo tanto, si se diera el caso de que tengamos que hacer el replanteo de un trabajo en donde la

información esté anotada en uno de los sistemas y nuestro instrumento use el otro, conviene

entonces hacer la conversión.

Para convertir grados sexagesimales a grados centesimales dividimos 400 sobre 360,

(400/360=1.1111111), y este será el factor por el cual debemos multiplicar los grados sexagesi-

males, si el caso fuera a la inversa, tendremos que dividir 360 sobre 400, (360/400=0.9) y este

será el factor por el cual debemos multiplicar los grados centesimales.

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Como ya lo hemos expresado, todo triángulo rectángulo se compone de un ángulo de 90 grados

y dos ángulos oblicuos, si solo conocemos las distancias que lo componen podemos encontrar

sus ángulos, para esto hacemos uso del teorema de Pitágoras que es muy útil para trabajar con

este tipo de triángulos, por ejemplo, para conocer la perpendicular de cualquier línea recta

haciendo uso únicamente de una cinta métrica.

Supongamos que solo conocemos la distancia (a) y el ángulo A, de un triangulo rectángulo,

podemos conocer la distancia (b) y los demás elementos, lo que tenemos que hacer es: dividir

la distancia (a) sobre la tangente del ángulo A y así obtenemos la distancia (b). Si no conocemos

el ángulo B, lo que tenemos que hacer es, restar de 180 grados la suma de los ángulos A y C,

que en este caso C es igual a 90 grados: 180-(A+C).

Este teorema nos resulta de mucha utilidad cuando tenemos dificultad para escalar un terreno

muy inclinado y queremos conocer una distancia, para el caso la distancia (b) del triangulo de

la Fig.1. Si tenemos que la diferencia entre los punto A y B es muy significativa, conviene en-

tonces medir la distancia inclinada (c) y como de antemano conocemos la diferencia entre A y

B, hacemos uso de la formula 2 de la Fig. 1. Conociendo lo anterior podemos conocer todos los

demás elementos que le faltan al triángulo.

En la figura de abajo podemos ver como se resuelve un triangulo rectángulo, compuesto por

supuesto, por un ángulo de 90 grados y complementarios de 30 y 60 grados.

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TRIANGULOS OBLICUANGULOS

(1)

Ley de senos

sen C= (a.senθ)/c

B=180-(θ+C) (2)

Teorema Coseno

c=√(a²+b²-2ab.cosθ)

(3) Ley de Cosenos

Cos B=a²+c²-b²

2ac

Fig.2

Si conocemos dos distancias y un ángulo, hacemos uso del teorema coseno, ya que este nos

ayuda a encontrar la distancia que no conocemos, c=√(a²+b²-2ab.cosθ), ejemplo de la Fig. 2.

Una vez encontrada la distancia c, (fig. 2) procedemos a calcular los ángulos restantes, para ello

hacemos uso de la ley de cosenos, cosC=(b²+c²-a²)/2bc una vez que encontramos el ángulo C,

nos resulta fácil encontrar el ángulo restante, (B, Fig. 2), para lo cual hacemos lo siguiente:

restamos a 180, la suma de los ángulos (A+θ) y este es nuestro ángulo. B=180-(C+θ). Para re-

solver la forma anterior empleamos el teorema coseno y la ley de cosenos. Si solo conocemos

dos ángulos y una distancia, entonces hacemos uso de la ley de senos.

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Ley de Senos

b=a. sen B

sen A

c=a.sen C

sen A

a=b.sen A

sen B

sen B= (b.senA)/a

Fig. 3

Hacemos uso de la ley de senos, cuando de un triángulo solo conocemos dos ángulos y una

distancia. También nos ayuda a resolver triángulos en donde conocemos, un ángulo y dos dis-

tancias, diferenciándose del teorema coseno en la forma del cálculo. Como lo veremos más

adelante, la ley de senos es muy útil para resolver problemas, por ejemplo para el cálculo de

curvas con PI inaccesible, especialmente en carreteras que se establecen en terrenos difíciles,

más que todo al momento de hacer el estudio de las mismas. También veremos que esta ley tie-

ne aplicaciones dentro de otros teoremas, ya que algunos involucran otros elementos de la trigo-

nometría debido a su complejidad.

Vale la pena volver a mencionar que la topografía debido a que se basa en la trigonometría, su

desarrollo es muy amplio y complejo, pero a la vez muy interesante.

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CURVAS

VR

Fig. 4

A continuación trataremos las curvas circulares; de mucha utilidad para el diseño de calles, ca-

rreteras, autopistas, líneas férreas, túneles, canales, muros y muchas obras más, nos facilitan su

desarrollo a la vez que le agregan belleza al diseño. Más adelante veremos algunos de sus ele-

mentos que las componen y su forma de calcularlos.

Para trazar una curva es necesario tener dos líneas rectas, unida una de la otra y girada a la vez

en cualquier dirección, partiendo la segunda línea del punto que conocemos como PI y que co-

rresponde al punto de intersección de ambas líneas. Como lo expresamos anteriormente, en esta

parte veremos los elementos de la curva y lo que significa cada símbolo o abreviatura. También

daremos una breve explicación respecto a su uso y las fórmulas, ecuaciones o expresiones ma-

temáticas, empleadas para el cálculo de cada elemento.

PI= Punto de Intersección de Líneas

Δ= Delta o Angulo Central=Angulo de giro de la línea. También llamado I

R= Radio. Distancia que hay al punto de intercepción de las perpendiculares PC-PI y PT-PI.

G= Grado de curvatura o sea el elemento que sirve para fraccionar la curva.

T= Longitud de Tangente o sea la distancia entre PC-PI y PI-PT.

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LC= Longitud de Curva. Arco que va de PC a PT.

E= Externa. Distancia que hay de PI al centro de la curva.

CL= Cuerda Larga, distancia que hay entre PC y PT.

D= Deflexión. Angulo que se obtiene de la división del Grado de curvatura entre 20 y multipli-

cado por una distancia cualquiera dentro de la curva.

Δ/2= Medio Delta. Ángulo que forman los puntos VR-PC-PI y PC-PI-PT

2D = Doble Deflexión. Ángulo que se forma desde el punto VR y visando los extremos del arco

que describe una deflexión cualquiera.

VR= Punto donde se interceptan las perpendiculares de PC y PT.

PC= Principio de la curva y final de tangente o línea recta de atrás.

PT= Principio de tangente o inicio de línea recta y final de la curva.

POC= Punto sobre el arco de la curva que sirve para continuar observando la curva.

Estación, abscisa o progresiva: número correlativo que se inicia en el principio de un proyec-

to y que se aplica entero en el fraccionamiento del kilometraje para un mejor manejo, general-

mente se da un número fraccionario en los puntos como PC, PI, PT, POT, POC…etc. También

en las estaciones donde se ubican tuberías, puentes y otros puntos de interés dentro de un pro-

yecto.

Ecuación de distancia: esta se origina cuando se hace un cambio sobre un alineamiento ya es-

tablecido, obedeciendo a mejoras en su línea o en su pendiente (línea de rasante), lo que da lu-

gar a que la distancia se alargue o se acorte creando así la ecuación. Si la distancia por el cam-

bio se acorta, esto quiere decir que al final de este tendremos dos estacionamientos en el mismo

punto, menor el de atrás y mayor el de adelante. Si la distancia se alarga el resultado será a la

inversa, mayor atrás y menor adelante. Conviene decir que el estacionamiento de adelante, no

pierde su correlatividad con el punto de inicio del proyecto, este siempre mantendrá esa rela-

ción. No está mal anotar aquí, que las ecuaciones de distancia se deben establecer en líneas rec-

tas siempre, a partir de la línea que va de PT a PC, puede ser también un POT, nunca dentro del

arco de una curva.

Las ecuaciones de distancia, también tienen su origen en errores al momento de establecer el

alineamiento original y que se descubren cuando el proyecto está ya en ejecución, por lo que no

queda más que hacer una ecuación, pues si no se hace, esto dará lugar a replantear todo el ca-

denamiento, lo cual no es conveniente por la pérdida de tiempo, el costo económico y el atraso

que representa.

PI: es el punto donde se interceptan las líneas o sea el punto en donde se gira la línea para dar

así, lugar al cálculo de una curva, el cual se identifica con un número de acuerdo al cadenamien-

to o kilometraje con que se está trabajando. También se le puede asignar un número secuencial,

para poder llevar un conteo de cada uno de ellos.

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Delta: es el ángulo de giro de la línea de adelante con respecto a la línea de atrás, leído en gra-

dos, casi siempre está compuesto por ángulos fraccionarios.

Radio: es un punto que se ubica en la intersección de la perpendicular de PC y PI, lo mismo

que de PT a PI, y es la distancia que sostiene todo el arco de la curva desde PC a PT, mante-

niendo la curva sin salirse de las líneas de donde principia y termina, este equivale a la mitad

de un diámetro cualquiera. Este puede ser encontrado de acuerdo a la velocidad de diseño de la

carretera, autopista o cualquiera otra obra que requiera del empleo de una curva. A veces en las

carreteras en zonas escarpadas se trabaja con radios mínimos, esto obedece a la naturaleza del

terreno por lo cual se puede trabajar con radio dado. Debido a que este tipo de carreteras gene-

ralmente se diseñan para bajas velocidades, lo que se busca es establecer la carretera de la me-

jor manera posible de modo tal, que nos permita acomodarla al terreno sin tener problemas al

momento de la construcción.

Grado de curvatura: el grado de curvatura nos sirve al momento de establecer u observar la

curva, ya que con este podemos calcular las deflexiones para cualquier punto de la curva, de

acuerdo a la distancia que elijamos medir.

Haciendo un poco de historia, cuando los cálculos se hacían a lápiz, se usaba mucho el cálculo

de la tangente por medio de grado de curvatura, pues había tablas para ello que servían para

calcularlas. Es decir, también por medio del grado de curvatura siempre fue más fácil calcular

deflexiones a cualquier punto de la curva. Eran tiempos difíciles para el topógrafo, sin embargo

poco a poco fueron apareciendo elementos que resultaban de mucha ayuda, como la regla de

cálculo, que era el equivalente de la calculadora de hoy, con la que se podían realizar cálculos

con más agilidad, aunque no estaba siempre al alcance de todos los topógrafos.

Con la llegada de las calculadoras electrónicas de bolsillo, el topógrafo logró un paso importan-

te, ya que esto le permitió hacer sus cálculos de forma más precisa y en menor tiempo. Hoy has-

ta se cuenta para ello con calculadoras de bolsillo programables, lo que le da todavía más agili-

dad al trabajo del topógrafo.

Tangente: es la distancia que hay entre PC y PI, lo mismo que de PI a PT, antes esta se obtenía,

haciendo uso de un numero de la tabla que coincidía con el medio Delta y dividiéndolo por el

grado de curvatura, ahora para su cálculo hacemos uso de las calculadoras de bolsillo y de las

funciones naturales o trigonométricas, multiplicando el radio por la tangente de medio Delta,

que viene siendo igual a una de las ecuaciones del teorema de Pitágoras.

También se le llama tangente a la línea recta que hay entre el PT de una curva y el PC de la si-

guiente y toda línea recta también es llamada tangente.

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Longitud de Curva: es la distancia que hay entre PC y PT, o sea el arco que forman los puntos

(VR-PC-PT), la cual se obtiene dividiendo el ángulo Delta por el grado de curvatura y multi-

plicando por 10. Si solo conocemos el radio de la curva podemos calcular su longitud por medio

de la siguiente ecuación: LC=(R.π.Δ)/180.

Externa: es la distancia que hay entre el punto del PI y el centro de la curva o sea al medio ar-

co, la cual se obtiene multiplicando la Tangente (distancia PC-PI), por la tangente (función) de

un cuarto del Delta o Angulo Central. La Externa es de mucha utilidad, para ubicar líneas en

carreteras existentes en donde se desea utilizar al máximo su construcción, esto nos obliga a

establecer curvas con radios que vayan de acuerdo a lo construido.

Cuerda Larga: es la distancia que hay entre los puntos PC y PT, la cual se obtiene multiplican-

do dos veces el radio por el seno de medio Delta o Angulo Central. La cuerda larga nos es útil

para establecer curvas con PI inaccesible, en donde no es posible establecer este, para leer su

Delta y medir la Tangente.

Deflexión: es el ángulo que parte de la línea PC-PI, y que se desplaza hacia el interior de la

curva, nos sirve para ubicar cualquier punto dentro de esta y se obtiene dividiendo el grado de

curvatura entre 20 y multiplicando por cualquier distancia. El número 20 se toma como una

constante para dividir el grado y poder así, encontrar una deflexión para una distancia cualquie-

ra dentro de la curva. Se dice en algunos tratados de topografía que, el grado de curvatura es:

un ángulo que subtiende un arco de 10 metros. Explicándolo mejor: si nos ubicados en el vértice

del radio (VR) y observamos los extremos del arco que describe la deflexión, leeremos un

ángulo igual al doble del ángulo de la deflexión.

Medio Delta: es el ángulo que forman los puntos VR-PC-PI, y nos sirve pata calcular la tangen-

te de la curva, también para calcular la cuerda larga y es el ángulo que forman los puntos PC-PI-

PT, o sea que la curva en toda su longitud nos da un ángulo igual al ½Δ. Este ángulo nos sirve

para comprobar el cierre de la curva. Si al observar la curva y llegamos al PT con un ángulo

mayor o menor a este, quiere decir que hay algún error, pudiendo estar en la medida de las tan-

gentes de la curva o leímos mal algún ángulo al momento de observar la curva.

2D: este es un ángulo igual al doble de una deflexión cualquiera, visto desde el punto VR.

Cuerda: es la distancia que hay entre dos puntos dentro del arco de la curva, se obtiene multi-

plicando dos veces el Radio por el seno de la deflexión. Esta difiere de la distancia por el arco,

en la medida que esta se incrementa. Generalmente para el cadenamiento de las curvas se traba-

ja con distancias que pueden ser iguales a 5, 10 y 20 metros, debido a esto es que tenemos que

calcular la cuerda para la distancia que seleccionamos. En curvas que tienen un grado pequeño

a veces resulta imperceptible esta diferencia, a tal grado que no hace falta calcular su cuerda,

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solo se nota si se trata de cuerdas muy grandes. Vale la pena decir que en la medida que se in-

crementa el grado de curvatura, así se incrementa el corte que hay que hacer a la cuerda.

Resulta importante mencionar aquí, que cuando el topógrafo se inicia en su oficio, una de sus

aspiraciones es aprender a calcular curvas, ya que encuentra fascinante esta parte de la topograf-

ía, como en realidad lo es. Más adelante veremos cuáles son las otras cosas que le van llamando

su atención, ya que a medida en que se desenvuelve en su trabajo, va dándose cuenta que son

muchas, todas muy interesantes y de mucha importancia.

Ecuaciones o fórmulas usadas para el cálculo de una curva circular

Estación del PI= Medida con la cinta métrica o calculada por triangulación

Δ= I=Angulo central. Angulo que se forma en el PI. Puede ser leído o calculado por triangula-

ción.

G=Grado de curvatura, =1800/π/R.

R= Radio= 1800/π/G

T=Tangente, =R.tang½Δ.

LC= (Δ/G) x10, =(Δ.R.π)/180

E=T.tang ¼Δ

CL=2.R.seno½Δ

D= (G/20)x distancia por el arco de la curva.

PC=PI-T

PT=PC+LC

Cuerda = 2.R.senoD

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Por: josé miguel tilguant Página 15

PI inaccesible

C=180-(A+B)

Δ =A+B

a=(c.senA)/senΔ,=(c.senA)/senC

b=(c.senB)/senΔ,=(c.senB)/senC

Fig. 4a

Curva con PI inaccesible

Las curvas con PI inaccesible tienen lugar en terrenos incómodos, en donde no es posible esta-

blecer este para conocer su estación y medir su ángulo. Para llegar al cálculo de una curva de

este tipo, tenemos que empezar trasladándonos a otro punto del terreno, haciéndolo por medio

de una cuerda que nos permita ubicar la línea en un punto donde podamos tener la posibilidad

de ubicar la curva, de modo que se enmarque dentro de las especificaciones o normas con que

estemos trabajando.

Para calcular una curva con PI inaccesible es necesario dar inicio leyendo el ángulo A que se

encuentra en el punto P1 y orientarlo hacia el punto P2 (Fig. 4a), para después medir la cuerda

(c). Habiendo leído el ángulo A y medido la cuerda (c), nos trasladamos al punto P2 para orien-

tar la línea de manera que podamos ubicar nuestra curva de modo que se enmarque dentro de las

normas, para esto leemos el ángulo B.

Por lo general este caso se da cuando la suma de los ángulos A y B se aproxima mucho a los

180 grados (goniómetro de 360), por lo que esto nos está indicando que el punto de intersección

de las líneas se encuentra a una considerable distancia, por lo que resulta más fácil hacer el

cálculo por medio de un triángulo. La otra razón como ya lo hemos dicho, puede obedecer a

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condiciones del terreno en donde no existen condiciones para establecer el punto de intersección

de las líneas, casi siempre que se da esto es motivado por alguna de estas razones.

Una vez que damos inicio al cálculo del triángulo, podemos observar que las distancias (a) y (b)

son diferentes por lo que tenemos que hacer los ajustes necesarios para que nuestra curva se

enmarque dentro de las líneas, para esto tenemos que calcular la tangente de la curva, la cual

nos servirá para compararla con las distancias (a) y (b) de nuestro triangulo y es lógico que

siempre que encontremos estas situaciones habrá diferencia en ambas, lo que queda después es

sumar o restar la diferencia para ubicar el inicio y final de la curva, o sea el PC y el PT.

Como recomendación general, debemos decir que siempre se debe tener el cuidado necesario al

medir las distancias y los ángulos, esto debemos hacerlo siempre en todo trabajo de topografía,

porque la topografía requiere de mucha exactitud.

En los tiempos aquellos en que no existían las calculadoras de bolsillo, el cálculo de estas cur-

vas era motivo de un laborioso trabajo para el topógrafo, ya que todo lo tenía que hacer a lápiz,

consultando a la vez las tablas que había para ello y mientras el topógrafo realizaba el cálculo, el

personal de apoyo se dedicaba a preparar el material necesario para ser usado en el marcaje de

la curva. Si por alguna razón la curva no cerraba, esto significaba que el topógrafo tenía que

realizar el cálculo de nuevo hasta encontrar el error, podemos decir que eran tiempos difíciles

para el topógrafo. Aunque se cuenta con las calculadoras de bolsillo, el topógrafo no ha elimi-

nado del todo la posibilidad de equivocarse.

e=√(c²+d²-2cd·cosE)

∆ cosF=(c²+e²-d²)/(2ce)

cosG=(d²+e²-c²)/(2de)

H=A+F

I=B+G

C=180-(H+I)

∆=180-C

a=e·senH/senC

b=e·senI/senC

Fig 4b

PI inaccesible

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 17

En la fig 4b podemos ver otra de las formas que se pueden emplear para resolver el cálculo de

una curva con PI inaccesible. En este caso se nos presenta la dificultad de poder medir la cuerda

larga CL, tal vez debido al tipo de terreno en donde estemos trabajando por lo que se hace nece-

sario establecer tres puntos P1, P2 y P3.

Para empezar lo hacemos como en el caso anterior (Fig 4a), estableciendo en primer lugar el

punto P1, a partir de allí orientamos el transito, aparato, teodolito o como se quiera llamar, mi-

diendo un ángulo que nos permita medir la distancia “c” y el ángulo A, para establecer el punto

P2 en un sitio que nos de seguridad y visibilidad a la vez, para poder continuar desde allí hasta

llegar al punto donde consideremos conveniente establecer el siguiente punto P3 y leer su ángu-

lo, el ángulo B. Una vez establecido el punto P2 centramos el instrumento en este, leemos el

ángulo E y medimos la distancia “d” hasta encontrar un lugar apropiado para establecer el punto

P3, de forma tal que, tengamos el espacio suficiente para poder desarrollar nuestra curva y que

esta se enmarque dentro de las normas de diseño del proyecto para el cual nos encontremos

trabajando. Hecho lo anterior nos ubicamos con nuestro instrumento en el punto P3, leemos el

ángulo B y procedemos al cálculo del triángulo formado por los puntos P1-P2-P3 para conocer

la cuerda larga CL o sea la distancia “e” del dibujo, empleando para ello el teorema coseno,

para el cual tomaremos como base las distancias “c”, “d” y el ángulo E así: e=√(c²+d²-

2cd·cosE). Para conocer los ángulos F y G haremos uso de la ley de cosenos y lo hacemos de la

siguiente manera: cosF=(c²+e²-d²)/(2ce), cosG=(d²+e²-c²)/(2de), o simplemente restamos a 180

o 200 si fuera el caso, la suma de los ángulos E y F.

Hasta este punto solamente hemos resuelto una parte del cálculo para conocer el ángulo de

nuestro PI inaccesible, lo demás consistirá en sumar los ángulos para saber cuál es el ángulo que

tendremos en el PI.

Una vez conocidos los ángulos F y G continuamos con el cálculo de nuestro PI inaccesible pro-

cediendo a conocer los demás ángulos que completarán el cálculo, para conocer el ángulo H

sumamos los ángulos F y A, H=A+F y para conocer el ángulo I sumamos los ángulos B y G,

I=B+G, para conocer el ángulo C restaremos a 180 los ángulos H e I, C=180-(H+I), entonces

ahora podemos decir que ya conocemos el ángulo ∆ de nuestro PI, ∆=180-C.

Cuando ya conocemos el ángulo del PI procedemos al cálculo de las distancias “a” y “b” para lo

cual tomaremos la distancia “e” y los ángulos H e I, más el ángulo C o el ángulo ∆ ya que en

ambos, para C y ∆ el seno será el mismo. Por lo general al calcular las distancias “a” y “b”,

resulta que estas tienen diferencias en su longitud, por lo que habrá que hacer los ajustes necesa-

rios al momento de comparar con las distancias de las tangentes de la curva y, poder así estable-

cer los puntos PC y PT. Si las distancias “a” y “b” o alguna de estas es mayor que la tangente

de la curva habré que restar a esta, y si por el contrario le diferencia fuera menor lógicamente

que habrá que sumar.

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 18

Curva observada desde el PC

Fig. 5

Para establecer una curva se necesitan; además del topógrafo, los cadeneros y por lo menos una

persona más. Los cadeneros son las personas que colaboran con el topógrafo, encargándose de

llevar la medida sobre la línea.

Las cuerdas por el arco de la curva las establece el topógrafo al momento de decidir como ubi-

car los puntos dentro de esta, estos pueden ser 5, 10 o 20 metros los más usados, también se dan

de acuerdo a la longitud de curva o al radio de esta. Se debe seleccionar una distancia que pueda

caber varias veces dentro de la curva para poder manejarla mejor.

Es una costumbre establecer los puntos de la curva observándola desde el PC, donde el topó-

grafo hace las radiaciones permaneciendo ubicado con el instrumento en este punto, para poder

desde allí ir leyendo las deflexiones que se originan desde la línea PC-PI, mientras los cadene-

ros provistos con una cinta métrica más una plomada cada uno, establecen en el terreno ayuda-

dos por otra persona los trompos, clavos o cualquier otro objeto que se tenga para ello. Si no

hay ningún obstáculo dentro de la trayectoria de la curva o que esta no sea muy larga, no será

difícil poder observarla desde el PC o PT, si se presentara alguna de las razones que hemos

mencionado habrá que proceder de otra manera, más adelante trataremos las otras formas que

existen para observar curvas.

Page 19: Tratado de Topografia[1]

Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 19

Estableciendo un POC

Fig. 6

POC: este como otros símbolos y términos usados en topografía, tienen su origen en los tratados

en ingles (point on curve) y que para nosotros hoy en día resultan muy comunes. En este dibujo

(Fig. 6) estamos agregando este nuevo elemento a la curva, el cual se llama POC. El POC se

establece, cuando por razones del terreno, no es posible observar toda la curva desde el PC, por

lo que nos vemos obligados a establecerlo, siempre sobre el arco de la curva. También hay otras

razones, como el que la curva sea demasiado larga o el que hayan objetos por donde pasa la

línea que impidan su observación.

Razones como las que mencionamos en el párrafo anterior, nos obligan a estar preparados para

poder desarrollarlas sin pérdida de tiempo y sin tener que andar por allí averiguando como de-

bemos proceder.

Veamos que hay que hacer en estos casos. La curva se va desarrollando normalmente hasta lle-

gar a la estación en donde ya no es posible continuar, se establece el punto de acuerdo a su dis-

tancia y deflexión centrando entonces el instrumento en el POC. Como se trata del primer POC

que establecemos, tomamos línea en el PC con el instrumento en cero y el anteojo invertido, a

partir de allí damos vuelta de campana y orientamos la deflexión hacia la siguiente estación

que intentamos colocar de acuerdo a su distancia y corrección de cuerda.

Se pueden dar casos como lo expresamos anteriormente, que la curva sea demasiado larga y no

se puede ver el PT desde el POC establecido, por lo que nos vemos en la necesidad de estable-

cer un segundo POC, lo establecemos de acuerdo a su estación y deflexión como si lo estuvié-

ramos observando desde el PC, una vez establecido, centramos nuestro instrumento y procede-

mos a tomar línea para continuar, tomamos línea en el primer POC, esta vez ya no visamos con

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 20

cero en el instrumento, visamos con la deflexión que corresponde al POC anterior y con el ante-

ojo invertido, damos vuelta de campana y continuamos hasta llegar al PT. Si no fuera posible

observar el PT será necesario ir estableciendo cuanto POC sea necesario.

Más adelante veremos que hay otras formas de poder observar una curva valiéndonos de las

leyes y teoremas de la trigonometría, que en estos casos resultan muy útiles para el topógrafo

profesional o principiante.

Page 21: Tratado de Topografia[1]

Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 21

Fig. 6a

En la Fig.6a, podemos ver la forma de llevar los datos de transito o de la línea central, en nues-

tra libreta de anotaciones. Se acostumbra ir anotando del pié de la hoja hacia arriba, esto se hace

así, porque cuando hacemos un levantamiento y este a la vez requiere que todo lo que se en-

cuentra a su paso sea debidamente ubicado, resulta más fácil ir ubicándolos si lo hacemos de

esta forma. Resulta necesario entonces, poder disponer para ello de una libreta especial en don-

de podamos ir anotando ríos, quebradas, correderos, construcciones y cualquiera otra obra u

objeto que pudiera encontrarse por donde establezcamos nuestra línea.

Para hacer un levantamiento es de mucha utilidad, el poder usar una libreta que tenga dos hojas

a la par, para de este modo llevar los datos de la línea en la hoja de la derecha y en la hoja de la

izquierda ir dibujando la línea con los objetos que se van localizando, la forma de anotar la línea

en la hoja de la derecha o la de la izquierda queda a opción del topógrafo. Si todo lo que encon-

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 22

tramos en nuestra línea se ubica con el tránsito, se debe ir anotando el ángulo y la distancia,

ambos referenciados a la línea central o eje de proyecto. Todo lo que anotemos tiene que rela-

cionarse con la línea central, para que el encargado de hacer el dibujo en la oficina o gabinete,

no tenga problemas al momento de trabajar con nuestro levantamiento. Más adelante veremos

cómo es posible hacer un levantamiento con cinta métrica, para ello dedicaremos una sección

aparte dentro de nuestro tratado, para su mejor comprensión.

Como lo explicamos en la parte que trata de cómo observar una curva; una vez que hemos

comprobado que nuestros datos son confiables, procedemos a anotar los datos de la curva en

nuestra libreta de campo, estos son: la estación del PI, El delta, ángulo central, I o como se le

acostumbre llamar, la estación del PC, la estación del PT, el estacionamiento o cadenamiento de

acuerdo a la distancia seleccionada y las deflexiones para cada estación. Debemos anotar estos

datos para hacer uso de ellos en replanteos posteriores para no tener que hacerlos cada vez que

trabajemos con la curva que corresponde.

Cuando trabajamos en una curva que gira hacia la derecha, empezamos la anotación con cero

grados en el PC y vamos incrementando en cada estación, de acuerdo al grado de curvatura con

que estemos trabajando, hasta llegar al PT. Cuando estamos tratando con una curva que gira

hacia la izquierda, es conveniente empezar la anotación y observación con cero en el PT, para

que nuestras deflexiones vayan hacia la derecha.

Si tuviéramos que observar una curva desde el PT y que a la vez esta tiene un giro hacia la dere-

cha, lo que tenemos que hacer es visar de PT a la línea del PI, anotando en el instrumento (apa-

rato, transito, teodolito o como se le quiera llamar), el medio delta (½Δ) y después ir leyendo la

deflexión que corresponde a cada estación, anotada inicialmente desde el PC. Lo mismo ocurre

cuando observamos una curva que gira hacia la izquierda y que arrancó con cero en el PT, para

observar esta curva, tenemos que visar de PC a PI con el medio delta e ir después leyendo las

deflexiones (anotadas en nuestra libreta) en resta, hasta llegar a cero en el PT.

Lo que tratamos de explicar con lo anterior, nos sirve para no tener que ir calculando y restando

a 360 grados, las deflexiones que corresponden a cada estación, esto nos ayuda a ahorrar el

tiempo que bien podemos emplear en otro trabajo. Mencionamos 360 por si estamos usando un

aparato con un círculo graduado con ese número, si trabajamos con el sistema centesimal habrá

que hacer lo que corresponde.

Resulta de mucha utilidad recordar la forma de calcular la deflexión, utilizando para esto la dis-

tancia que hay desde nuestro punto de observación y la estación que queremos establecer, así:

D=Deflexión, = Distancia x (G/20), en donde G es el grado de curvatura y 20 es la constante por

la que vamos a dividir el grado.

Page 23: Tratado de Topografia[1]

Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 23

Fig. 6b

En la Fig.6b tenemos una curva que gira hacia la izquierda, por lo que hemos anotado las de-

flexiones de adelante hacia atrás, esto no quiere decir que cada vez que tengamos la necesidad

de establecer la línea, tengamos que ubicarnos en el PT.

Como lo explicamos anteriormente, esto se hace para no estar restando a 360 grados las de-

flexiones de la curva, cada vez que tengamos que replantearla. Si observamos en la figura, po-

demos ver que en este caso la deflexión que anotamos es la que corresponde al medio delta.

Como ya lo hemos dicho, para empezar a observar la curva estando ubicados o centrados en el

PC, lo que tenemos que hacer es, tomar línea en el PI o en algún POT que se haya establecido,

en caso que el PI no se pueda ver desde el PC e ir restando al medio delta, la deflexión de

acuerdo a la estación que corresponda hasta llegar a cero en el PT

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 24

Curva observada desde un punto afuera del PC o PT

Forma 1

Fig 7

Durante el desarrollo del trabajo de topografía, se presentan situaciones en donde no es posible

observar una curva desde los puntos que se acostumbra hacerlo, sea este el PC o el PT, para lo

cual acudimos a las otras formas que existen para ello, ejemplo. Fig. 7. A esta parte del tratado

le daremos bastante explicación, para que se entienda mejor y así poder ponerlo en práctica a la

hora de ejecutar cualquier trabajo. Lo haremos recurriendo para ello al teorema coseno, ley de

cosenos y también haremos uso de los senos y sus leyes, si es necesario.

El caso de la Fig. 7 se puede usar para observar curvas de corta distancia, en donde el PI se

encuentra cerca de la curva, por lo que resulta fácil su observación. Los datos que se necesitan

para despejar este teorema son tres: La tangente (dist. PC-PI), la deflexión y la cuerda que co-

rresponde a la estación medida desde el PC. Se supone que de antemano conocemos la distan-

cia de la tangtente, por lo que no hace falta medir esta, la cuerda (c) la calcularemos de acuer-

do a la estación que seleccionemos y nuestro ángulo θ que es igual al ángulo A más la de-

flexión (D), para lo cual aplicaremos el teorema coseno para conocer la distancia (a). Una vez

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 25

que conocemos la distancia (a), solo nos queda por conocer el ángulo C, para el cual aplicamos

la ley de cosenos, hecho esto solo falta leer el ángulo C y medir la distancia (a) y así hasta

haber completado la observación de toda la curva. Si queremos conocer el ángulo B bastará con

restar a 180 0 200 grados, los ángulos θ, y el ángulo C así: B=180-(θ+C)

Como no siempre resulta fácil medir las radiaciones desde el PI, los cadeneros encargados de la

medida pueden ir desplazándose por el arco de la curva, con la cuerda corregida y haciendo co-

incidir la distancia con la línea que da el topógrafo. Esta forma de observar la curva es muy útil

cuando no es posible ubicarse en el PC o PT, también resulta de mucha utilidad en terrenos in-

cómodos para centrarse y en carreteras de mucho tráfico vehicular, ya que le permite al topó-

grafo estar en un lugar donde puede sentirse cómodo y observar mejor.

Sucede que debido a la forma que aprende el topógrafo, este piensa que solo existe una rutina y

se encierra en ella, no explora más allá, todo esto a veces obedece a que el no trata de avanzar

en su preparación, poco se esfuerza por conocer más. Es muy necesario que el topógrafo se

actualice constantemente, debemos agregar algo que siempre tiene vigencia, siempre es bueno

preguntar a los entendidos porque es natural que a veces unos manejan algunas cosas y otros

conocen otras formas, así es que no está mal preguntar, esta es otra de las formas de aprender.

Page 26: Tratado de Topografia[1]

Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 26

Curva observada desde un punto afuera del PC o PT

Forma 2

P

B

θ

E

PC

P= punto de observación

a= distancia P-Estación

D= deflexión

E= Estación

A= ángulo de línea PC-PI al punto P

b= distancia de PC al punto P

θ= A+D, para el cálculo de “a”

Fig. 8

Estas son las fórmulas empleadas para resolver el teorema de la Fig. 8.

P= punto de observación establecido por el topógrafo

D=(E-PC) (G/20)

c=2R senD

θ=A+D

b=distancia dada al punto de observación

A= ángulo dado al punto de observación

a=√(b²+c²-2bc.cosθ)

cosC= a²+b²-c²

2ab

Para resolver este teorema tenemos que empezar estableciendo el punto P, para lo cual tomamos

línea sobre el PI y giramos el instrumento visando hacia el punto, seguidamente medimos la

distancia que hay entre el PC y el punto P, después centramos el instrumento en el punto P y

tomamos línea en el PC con el instrumento en cero. Hecho lo anterior procedemos con el cálcu-

lo de la cuerda “c”, esta de acuerdo a la estación que seleccionemos. El punto P no necesaria-

mente tiene que ser establecido desde el PC, puede darse el caso en que no es posible establecer

el PC, entonces hay que recurrir al teorema coseno y a la ley de cosenos ya que si hacemos uso

de estos elementos nos resultará fácil.

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 27

Hace mucho tiempo la leyes y teoremas de la trigonometría fueron creadas, y han estado allí

para ser utilizadas por nosotros en el momento que las necesitemos, pongámoslas en práctica y

nos serán de mucha utilidad.

Curva observada desde un punto afuera del PC o PT

Forma 3

θ

θ=A-D

a=√(b²+c²-2bc.cosθ)

cosC=b²+a²-c²

2ba

Fig. 9

Como lo hemos dicho anteriormente, no siempre es posible ubicar el instrumento en el PC para

poder observar una curva. El caso de la Fig.9, es uno en que tenemos que establecer el punto P

no al exterior de la curva, esta vez se establece hacia el interior, pudiendo este ser mayor o me-

nor que el medio delta, el lugar de ubicación no tiene importancia lo que se busca es comodidad

al momento de observar la curva, las razones pueden ser; porque es mejor el terreno para ubi-

carse o porque es mejor lugar de observación, y en algunos casos motivado por dificultades en

el PC o PT.

Como podemos ver, cualquier lugar es bueno para establecer un punto de observación de una

curva, quedando únicamente limitado al tamaño de la cinta métrica que disponemos para medir.

Si para medir hacemos uso de una Estación Total, quiere decir que podemos seleccionar distan-

cias mayores a las que nos puede proporcionar una cinta métrica.

Para trabajar con el caso de la Fig. 9, empezamos por medir la distancia (b) y leemos el ángulo

A, continuamos calculando la deflexión y la cuerda para la estación seleccionada. Una vez cal-

culada la deflexión procedemos con el cálculo del ángulo θ. Como el ángulo A es mayor que el

ángulo de la deflexión, restamos al ángulo A la deflexión, y así obtenemos el ángulo θ.

Page 28: Tratado de Topografia[1]

Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 28

Siempre es bueno recordar que la cuerda y la deflexión deben calcularse desde el PC o desde el

PT, si estamos tratando de observar la curva de adelante hacia atrás. Si queremos que el cálculo

de la cuerda y la deflexión tengan su origen en el PC y nos ubicamos cerca del PT, entonces

hacemos uso para ello del teorema coseno y la ley de cosenos, para darle origen en el PC.

Como lo mencionamos al inicio, para facilitar el cálculo, hoy tenemos la oportunidad de contar

con las calculadoras electrónicas, que son de mucha ayuda, y más aún, si el topógrafo cuenta

con una calculadora programable, esta le dará un apoyo mayor todavía.

Es bueno recordar que cuando aparecieron las primeras calculadoras, estas apenas tenía las fun-

ciones matemáticas básicas, poco a poco fueron apareciendo con funciones trigonométricas, o

sean las llamadas calculadoras científicas. Hoy en día el topógrafo puede encontrar en el mer-

cado, calculadoras programables que le resultan de mucha ayuda al momento de realizar su tra-

bajo.

Page 29: Tratado de Topografia[1]

Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 29

Curva observada desde afuera del PC

Forma 4

PC A

c′

θ′

θ

a′ θ=D-A

θ′=A-D

c=2R.senD

P a′=√ (b²+c′²-2bc′.cosθ′)

cosC′= (a′²+b²-c′²)/(2a′b)

c=√ (a²+b²-2ab.cosθ)

cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)

Fig. 10

Para este caso igual que los anteriores, damos inicio estableciendo el punto P, para lo cual me-

dimos la distancia (b) y leemos el Angulo A. Después procedemos al cálculo de la deflexión y

la cuerda, que estarán de acuerdo a la estación que vamos a establecer.

El caso que se presenta en la Fig. 10, es uno de los que encontramos diferencia con relación a

los vistos anteriormente, aquí podemos ver (dibujo) que el ángulo θ lo encontramos de dos

formas, debido que parte del arco de la curva queda afuera de la línea del ángulo A-(E1), para

lo cual tendremos que para encontrar el ángulo θ, haremos el cálculo de dos maneras. Para

encontrar el ángulo θ′ tendremos que restar al ángulo A, la deflexión que corresponde a la esta-

ción E1 y leeremos el ángulo hacia la izquierda, o sea que para todas las estaciones que se ubi-

can en la zona en que el arco esta a la izquierda de la línea del ángulo A (Fig. 10), tendremos

que hacer el mismo cálculo, no así para el resto de las estaciones, ejemplo E2, ya que para esta y

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 30

las demás, para encontrar el ángulo θ tendremos que restar a la deflexión el ángulo A y así hasta

llegar al final de la curva.

Curva observada desde afuera del PC

Forma 5

A=180

θ=A-D

c=2R.senD

a=√ (b²+c²-2bc.cosθ) Δ

cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)

θ C

Fig. 11

Como lo hemos dicho en páginas anteriores, existen muchas formas de establecer puntos para

poder observar una curva. En la Fig. 11 podemos ver que el punto P se ubica atrás del PC y so-

bre la línea de tangente, esto debido a que en un momento dado durante la realización de nuestro

trabajo, se puede dar el caso en que no es posible centrar el instrumento en el PC, o porque des-

de este no se puede observar la curva.

Una vez establecido el punto de la estación E, pudiera ser que desde nuestro punto P no es posi-

ble continuar con la curva, entonces bien podemos usar este como POC y continuar observando

desde aquí hasta llegar al PT, utilizando para esto lo que vimos en la parte que trata el uso del

POC.

Casos como este y como los que ya hemos visto, nos obligan a optar por cualquiera de estas

formas, que de alguna manera, nos resulta más fácil para salir adelante en la realización de

nuestro trabajo.

Es importante que el topógrafo ponga en práctica estas formas y vera que le serán de mucha

ayuda, ya que cada una de ellas le estará ofreciendo solución a cualquier obstáculo que pudiera

tener mientras ejecuta su trabajo.

Page 31: Tratado de Topografia[1]

Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 31

Δ

¼ Δ

¼Δ ¼ Δ

T=E/tan ¼Δ

R=T/tan ½Δ

Fig.12

A continuación trataremos de dar una breve explicación respecto a la externa y su comporta-

miento dentro de la curva. Como lo explicamos anteriormente, la externa es la distancia que

separa el PI del centro de la curva, esta la podemos conocer al multiplicar la Tangente de la cur-

va, por la tangente (función trigonométrica) de un cuarto del delta o ángulo central. E=T. tan

¼Δ.

Si nos ubicamos en los puntos PC y PT, y proyectamos la distancia de la externa hacia afuera

de estos puntos orientados sobre la línea del Radio, veremos que al trazar una línea desde el

final de estas distancias, nuestra línea pasará exactamente por el centro de la curva. Podemos

decir entonces, que en la medida que aumentamos o disminuimos la distancia de la externa, así

también se incrementa o disminuye la distancia de la tangente de la curva, y la curva se acerca o

se aleja del punto del PI. Si tenemos dos líneas rectas trazadas sobre dos tramos rectos que a la

vez forman un PI y estamos tratando de ubicar una curva por un punto específico, tenemos que

recurrir al cálculo por medio de la Externa.

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 32

Una vez que hemos leído el ángulo en el PI y medido la Externa, procedemos al cálculo de la

Tangente por medio de la ecuación conocida: T=E/tan ¼ Δ. Cuando tratamos de calcular la cur-

va por medio de la Externa, necesitamos para ello conocer de antemano el ángulo del PI. Si

estamos trabajando con un grado de curvatura entero o por lo menos que contenga múltiplos de

6. Debemos buscar el grado de curvatura que mas se aproxime a nuestro punto de Externa en-

contrado, para que la curva pase por el punto o muy cerca de el.

Si estamos calculando la Tangente por la Externa, lo que hacemos es dividir la Externa por la

tangente de un cuarto Delta, T=E/tan¼Δ, o sea que nuestro ¼Δ se forma de la línea PI-PC hacia

afuera, lo mismo que de PI-PT también hacia fuera.

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 33

Replanteo de una estación en curva, con cinta métrica

a=a′, =R. sen2D

s=2R.sen²D, =R-(R. cos2D)

Cuerda (A-C)=2.R. senD

Fig. 13

La Fig. 13 nos muestra la forma que podemos aplicar para replantear una estación perdida de-

ntro de una curva.

Antes de explicar lo que debemos hacer, vamos a mencionar aquí a la persona que está perma-

nentemente en el área de trabajo de la construcción de una carretera, esta persona es el che-

queador de talud (término aplicado en Honduras). Esta persona es el que está pendiente revi-

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 34

sando el avance de la obra, ya sea en el corte o desmonte o el relleno. Se emplea a esta persona

ya que el avance de la obra, podemos considerarlo un poco lento, debido a que las cantidades

de material que se mueven son muy importantes y, no tiene sentido disponer de una cuadrilla o

brigada de topografía a tiempo completo en la obra porque podría resultar muy costoso y el che-

queador solo dispone de uno o dos ayudantes, por lo que resulta más económico. Si se presenta-

ra algún problema que no lo pudiera resolver el chequeador de talud, entonces se hace impera-

tivo llamar al topógrafo y su cuadrilla o brigada (cuadrilla: en Honduras, grupo de personas in-

cluyendo al topógrafo que la componen), para hacer lo procedente.

Sucede a veces que, durante la construcción de una carretera, una estación se pierde por com-

pleto, tal vez debido a la incomodidad del terreno en el área de trabajo o por falta de referencia

de las estacas de talud, también estas situaciones se pueden presentar mientras se mueve la ma-

quinaria por la zona de trabajo, esto hace que pensemos replantear la estación, haciendo uso de

la cinta métrica únicamente. En este caso hacemos uso de la cinta métrica porque se trata solo

de una estación y lo hacemos por medio de un pequeño cálculo.

Conociendo el chequeador de talud este procedimiento, él puede hacer este replanteo sin nece-

sidad de llamar al topógrafo y su grupo. Se entiende que se trata de replantear una estación, na-

da más, ya que si se tratara de un mayor número de estaciones, podría darnos como resultado

mucho error en la línea, por lo tanto no resulta conveniente.

Vamos a empezar suponiendo que tenemos tres estaciones A, B y C, y una de ellas ha desapare-

cido, esta es la estación B. Si estuviéramos tratando con una línea recta no tendríamos mucho

problema, ya que solo bastaría alinear de la estación A a la estación C, y medir la distancia que

corresponde a la estación B, pero si se tratara de una estación dentro de una curva, esto nos

complica un poco más, porque tenemos que hacerlo calculando la cuerda A-C, para después

medir la distancia que corresponde a la estación B y que intercepta la línea del radio de la curva,

ya que desde este punto mediremos la distancia S sobre la línea del radio y que está perpendicu-

lar a la línea A-C.

Veamos las fórmulas o ecuaciones usadas:

Cuerda A-C= 2R.senD. (2D es la deflexión entre A y C vista desde el vértice del radio)

a=a′, =R· sen2D

s=2R·(sen² D), =R-(R· cos2D).

Siempre la deflexión es el ángulo que corresponde a cualquier distancia sobre el arco de la cur-

va, partiendo de la perpendicular del radio.

Cuando se trata de estaciones que están a 20 metros de distancia una de la otra, podemos usar el

grado de curvatura para el cálculo, esto es porque generalmente se estaciona a cada 20, pero si

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 35

se hace uso de otra distancia para estacionar, queda a criterio del topógrafo aplicar lo que co-

rresponde a cada caso.

Es muy importante tomar en cuenta una cosa al emplear este método, lo volvemos a repetir,

esto nos sirve únicamente para reponer una estación, ya que al replantear toda una curva nos

puede acumular mucho error. Se puede replantear una curva completa con cinta métrica, sola-

mente cuando esta es muy corta, de tal forma que nos permita ir haciendo un triangulo con la

cinta, tomando como base para ello, el PC o el PT y el PI, pero empleando para esto el teorema

coseno utilizando para ello la deflexión, la cuerda y la tangente.

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 36

Curva compuesta

Fig. 14

Para el diseño de carreteras existen normas establecidas, que debemos tomar en cuenta al mo-

mento de trazar curvas en carreteras, una de ellas es la distancia que debe haber entre el PT de

una y el PC de la siguiente ya que esto es muy importante para hacer eficiente el uso de esta.

Siempre debemos tratar de tener una distancia lo suficientemente larga para evitar que la en-

trada de un vehículo en la siguiente curva sea demasiado violenta, de forma tal que pueda causar

problemas, tanto al conductor como a los pasajeros de un automóvil.

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 37

Las curvas compuestas se originan en terrenos de naturaleza difícil y existen para ello algunas

normas que regulan su uso para el trazado de estas. Este tipo de curva está compuesta por dos

curvas circulares, que se unen en un punto común para ambas conocido como PCC. Este punto

equivale al PT de la curva de entrada y al PC de la de salida, como a partir de aquí empieza la

otra, por eso cambia su nombre a PCC (Punto de Curva Continua).

La otra norma que debe tomarse muy en cuenta es: la diferencia que debe haber entre los radios

de ambas curvas, estos no deben tener una diferencia mayor o menor a 1.5 a 1, (1½:1), uno con

respecto al otro. Otra de las razones que hacen posible el diseño de esta curva es la proximidad

del PI1 con respecto al PI2, (Fig. 14), también como siempre sucede, la otra causa es el tipo de

terreno en que se esté tratando de ubicar las líneas.

Generalmente estas curvas son usadas en carreteras diseñadas para baja velocidad. En carreteras

de alta velocidad tienen su uso siempre y cuando el grado de curvatura sea débil. Estas curvas se

diseñan así en carreteras que se localizan en zonas difíciles para poder acomodarlas mejor sobre

un terreno específico, en donde cualquier movimiento de la línea podría originar problema al

momento de la construcción o para darle más longitud a la curva, ya que no es conveniente tra-

zar curvas muy cortas con un ángulo de giro muy fuerte, siempre debemos tratar de que las

curvas tengan una buena longitud, ya que las curvas muy cortas resultan incómodas al momento

de conducir un vehículo sobre ellas.

Para trazar las curvas debemos medir la distancia entre ambos PI, y calcular la tangente de la

primera curva, esta debe tener una distancia, que nos permita ubicar la siguiente curva, siempre

y cuando esta se ajuste a la norma existente para ello, radio o grado de curvatura no mayor ni

menor que 1.5 por 1.

T2= (PI2-PI1)-T1

El resto del cálculo para ambas curvas, se hace lo mismo como si estuviéramos tratando con

una curva circular simple.

Hacemos uso de curvas compuestas en lugares que no podemos ubicar una sola, tal vez por la

incomodidad del terreno, de tal forma que si la dejamos muy corta usando un solo PI, nos causa

problemas y si la alargamos nos puede causar problemas también, porque nos puede ubicar en

un lugar difícil para la construcción.

En un proyecto de carretera, se trata de evitar al máximo el diseño de este tipo de curvas y se

procura siempre limitar la distancia entre curva y curva, en por lo menos 150 metros, pero como

no todos los terrenos nos ofrecen condiciones para lograrlo, en algún momento nos vemos en la

necesidad de diseñarlas. Se entiende que se trata solo en condiciones extremas en las que no hay

alternativas, ya sea por el tipo de terreno o por el costo económico que representarían si se trata-

ra de darles un mejor alineamiento.

Page 38: Tratado de Topografia[1]

Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 38

Curvas reversas

PI1

PI2

Fig 15

En la figura podemos ver una curva reversa, en realidad se trata de dos curvas, en este caso dos

curvas circulares, una que gira en un sentido y la otra lo hace en sentido contrario. Como po-

demos ver, estas curvas tienen un punto común llamado PCR o sea Principio de Curva Reversa.

Como lo expresamos anteriormente estas curvas están unidas en el PCR, que sería como el PT

de la primera curva o el PC de la siguiente y sus tangentes también se unen en el mismo punto.

Para dar inicio al trazado de estas curvas, resulta necesario conocer la distancia que hay de PI1 a

PI2 y tratar que las tangentes de ambas curvas sean más o menos parecidas.

El trazado de este tipo de curvas no es muy conveniente ya que no hay espacio entre ambas para

poder desarrollar su transición, es por eso que no son muy usadas, especialmente en carreteras

de importancia, ya que generan un conflicto al momento de diseñar su peralte o súper eleva-

ción.

Podemos decir entonces, que el trazado de estas curvas se debe evitar al máximo, ya que solo

podemos trazarlas cuando se trate de un grado de curvatura muy débil, o sea, un grado de curva-

tura que no vaya más allá de unos pocos minutos, que a la vez se disponga de longitudes de cur-

va lo bastante amplias para poder manejarlas mejor y que permitan que la carretera cuando esté

en funcionamiento, le pueda ofrecer comodidad al conductor de un vehículo, por lo tanto, resul-

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 39

ta mejor evitar su trazado para no tener problemas pero, como ya se ha dicho, a veces nos toca

hacer trazados en terrenos difíciles y es allí en donde podemos hacer uso de ellas, pero casi

siempre en carreteras que se diseñan para bajas velocidades.

Para calcular estas curvas, nuestros datos principales son dos: la distancia de tangente y el delta,

una vez que obtenemos estos datos procedemos a calcular el resto de los datos de ambas curvas.

Una vez conocida la distancia que hay entre ambos PI, seleccionamos una distancia que será la

que le aplicaremos a la primera curva como tangente y la diferencia será la tangente de la si-

guiente curva.

A continuación veremos el cálculo que debemos realizar, haciendo uso como siempre de las

funciones trigonométricas y de las fórmulas ya conocidas para el cálculo de una curva circular.

Primero encontramos el radio de la curva y los demás elementos por medio de las siguientes

fórmulas:

R=T/tan½Δ

G=1800/π/R

LC=(R.π.Δ)/180

E=T.tan¼Δ

Si queremos que la curva pase por un lugar específico, la podemos ir ensayando con la externa

para que nos quede como queremos. Otra cosa que es de mucha importancia y que vale la pena

señalar es: que en ambas curvas tendremos un grado de curva fraccionario, por lo que debemos

tratar que la primera curva tenga por lo menos, un grado de curvatura cuya fracción sea igual a

un decimo de grado para un fácil manejo, aunque esto era más frecuente en los tiempos en que

todo se hacía a lápiz, ahora con el uso de la calculadora esta dificultad ha desaparecido ya que

esta se encarga de todo, bueno, casi de todo, por lo tanto ahora no importa si el grado de curva

es entero o fraccionario.

Este tipo de curvas tiene mucho uso en calles y bulevares en donde son usadas en zonas de giro

o en carriles de aceleración y desaceleración, ya que en estas partes los conductores tienen que

disminuir o aumentar la velocidad.

El objeto de este tratado es ayudar, para que el topógrafo este preparado y que mientras realiza

su trabajo, no tenga tropiezos de ningún tipo.

Page 40: Tratado de Topografia[1]

Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 40

Cur- va

cóni- ca

Fig 16

Este tipo de curva podemos considerarlo, como un tipo muy especial, que podemos encontrar

durante el trazado de líneas especialmente para el diseño de carreteras. Como siempre sucede,

podemos encontrarlo en terrenos bastante incómodos, que no permiten poder llegar al punto en

donde se cruzan las líneas para formar el PI, entonces es cuando debemos optar por hacer su

cálculo por medio de un triángulo.

Empezamos por medir una cuerda a la que llamaremos “c”, hasta un punto que consideramos

es el apropiado para orientar la línea hacia delante y que nos permita realizar sin problemas el

trazado o continuidad del alineamiento, siempre enmarcado dentro las especificaciones del pro-

yecto que estemos trabajando o sea, que el radio y grado de curvatura sean los correctos.

A este tipo de curva se le da el nombre de curva cónica o de PI infinito, porque al leer los

ángulos A y B, (dibujo de la Fig.) y hacer la suma de estos, el resultado es mayor que 180 gra-

dos o 200 si fuera el caso de estar usando un instrumento con un circulo graduado con 400 gra-

dos, la verdad es que esta es una curva de PI interno. Esta curva tiene la particularidad de tener

el PI hacia el interior, diferenciándose de las otras que tienen el PI siempre hacia el exterior y su

cálculo se realiza de una manera diferente; usando para el cálculo de las tangentes el ángulo del

PI, que en este caso se encuentra hacia el interior y para la longitud de la curva usamos el ángu-

lo formado por la suma de los ángulos A y B, o por el radio que le asignemos a la curva.

Δ=C+D. T=R.tan(Δ/2). LC=(A+B)/G x 10, =(Δ.π.R)/180

Page 41: Tratado de Topografia[1]

Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 41

Como es de esperarse, siempre que calculamos una curva por medio de un triángulo, encontra-

remos diferencias en sus tangentes, por lo que se hace necesario hacer el ajuste a las distancias

de estas, tanto para el lado del PC como para el lado del PT.

Suponemos que para calcular la curva, de antemano y después de hacer un análisis, sabemos

que los datos que tenemos nos permiten acomodar la curva dentro de las especificaciones. Una

vez comprobado esto procedemos al ajuste de las tangentes valiéndonos para ello de los datos

del triángulo formado por los vértices C, D, E y la cuerda que hay entre los vértices CD, hacien-

do uso de la ley de senos. Distancia DE =c·senC/senoE, =c·senC/sen(C+D).

Distancia CE= c·senD/senoE, =c.senD/sen(C+D).

Como las distancias que obtenemos al hacer el cálculo de nuestro triangulo son irregulares o sea

que ninguna de ellas es igual a la longitud de tangente de nuestra curva, procedemos al ajuste de

las tangentes, porque no es posible que las distancias encontradas durante el cálculo del triangu-

lo, sean iguales y que a la vez coincidan con las distancias de las tangentes□

En la foto del satélite podemos ver dos curvas cónicas, de PI infinito o PI interno, estas curvas

se ubican en la Carretera Panamericana entre las ciudades de Choluteca y San Marcos de

Colón, en la república de Honduras.

Page 42: Tratado de Topografia[1]

Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 42

R= radio de curva

D= deflexión en la línea central.

d′=d= distancia desplazada

c= 2.(R-d).sen(2D)

c′=2·(R+d′)·sen(2D)

E1, E2, E3…= estaciones en la línea central

Fig 17

DESPLAZAMIENTO DE LÍNEA EN CURVAS CIRCULARES

A veces el topógrafo se encuentra con situaciones en donde no es posible establecer la curva por

la línea central o sea el eje de proyecto, tal vez motivado por algún obstáculo en el sitio por

donde pasa la línea; esto se da frecuentemente en carreteras en construcción, en donde hay ma-

quinaria trabajando y se hace necesario el replanteo a un lado de la carretera por lo que existe la

posibilidad de hacer un desplazamiento de la línea para poder hacer el replanteo de la construc-

ción o sea que se trate de ubicar las estacas de talud en su respectivo lugar. En uno de estos ca-

sos se trata de hacer el replanteo en puntos radiales a la línea central o sea cuando se trata de

ubicar los puntos de nuestro replanteo sobre la línea del radio o sea sobre la perpendicular de la

estación de la línea central. Lo que tratamos de hacer es prolongar la línea desde el punto de la

línea central en cada estación, y que coincida con la perpendicular de la estación en la línea cen-

tral.

Para hacer lo anteriormente expuesto, conviene ubicarse en el punto del PC, PT o podría ser

otro punto que bien podríamos ubicar haciendo uso de la trigonometría. Es importante señalar

que para un desplazamiento debemos considerar: la distancia de nuestro desplazamiento, el gra-

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 43

do de curva y el radio de la curva, si lo hacemos hacia el interior de la curva tendremos que re-

star la distancia del desplazamiento al radio de la curva y si se trata de hacer el desplazamiento

hacia el exterior tendremos que sumar la distancia al radio de la curva.

Si nos estamos desplazando ya sea hacia el interior o el exterior, tendremos que calcular la

cuerda que corresponde para cada punto del replanteo, para lo cual hacemos uso de la siguiente

ecuación: hacia el exterior c=2(R+d).senD, en donde “c “ es la cuerda que debemos medir, “R”

es el radio de la curva principal o sea la línea de proyecto, “d” es la distancia desplazada y D es

la deflexión que corresponde a la estación en la línea central. Como en este caso se trata de es-

tablecer puntos sobre la perpendicular de la línea central, las deflexiones serán las mismas de la

línea central, la variación solamente la tendremos en la cuerda, por lo que esta se aumentará si

estamos en el exterior de la curva y se disminuirá si estamos hacia el interior. Hacia el interior la

ecuación será: c =2(R-d).senD. Como no siempre es posible observar la curva, ya sea porque

esta sea muy larga o se encuentren obstáculos a su paso, habrá que establecer uno o más POC

para poder hacer todo el replanteo de la curva.

En algunos tipos de obras, especialmente en obras como puentes o calles construidas de concre-

to, en donde lo que conviene es que la línea límite quede bien definida, no se hace necesario

establecer puntos sobre la perpendicular de la línea central, por lo que se puede establecer una

curva calculando para ello el grado de acuerdo al radio, siempre tomando en cuenta la distancia

de nuestro desplazamiento, ya sea esta positiva o negativa.

Observando el dibujo, en donde nuestro desplazamiento parte del PC, una vez establecido el

punto de acuerdo a la distancia seleccionada, procedemos a ubicar nuestro instrumento en el

punto establecido y tomamos línea en el PC (dibujo). Si tomamos línea con vista directa para

establecer el punto que corresponde a la línea de la estación E2, debemos hacerlo con el instru-

mento en 90 grados, para que al leer cero grados podamos ubicar la perpendicular del radio y

así de esta forma empezar a leer las deflexiones hacia las estaciones siguientes. Como lo anota-

mos anteriormente si lo que tratamos es establecer puntos radiales relacionados sobre la perpen-

dicular de las estaciones de la línea central, las deflexiones deberán ser las mismas que corres-

ponden a estas.

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 44

DESPLAZAMIENTO EN LINA RECTA

Triángulo equilátero

18a

18b

Fig 18

En el dibujo tratamos de explicar cómo hacer un desplazamiento en línea recta cuando encon-

tramos un obstáculo a nuestro paso, aunque también podemos emplear este método en líneas

curvas una vez que conocemos su radio, la forma más práctica para hacer un desplazamiento de

línea es haciendo uso de un triángulo equilátero o sea con ángulos de 60 grados (grados sexage-

simales) y con distancias iguales para cada lado del triángulo.

Este método se usaba muy a menudo en los tiempos en que los cálculos se hacían a lápiz, ya que

hacer uso de otra forma resultaba muy complicado para el topógrafo. Para emplear esta forma lo

que necesitamos es, seleccionar una distancia que nos permita colocarnos al otro lado del objeto

u obstáculo que nos impide establecer nuestra línea; como para desplazarnos de esta forma no es

preciso hacer ningún cálculo, lo que debemos procurar es que nuestra distancia sea la apropia-

da, en cuanto a los ángulos no tendremos problemas ya que los tres son de 60 grados o

66.666666 si usamos grados centesimales.

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 45

Para empezar con nuestro desplazamiento tenemos que ubicar nuestro instrumento en el punto

A, visar hacia atrás con el instrumento en cero grados, dar vuelta de campana, leer 60 grados

hacia un lado del obstáculo y medir nuestra distancia, también podemos dejar de dar vuelta de

campana al instrumento y leer 120 grados que sería el complemento de 180 y así nos ubicamos

en el punto B de nuestro triángulo, después ubicamos el instrumento en el punto B y volvemos a

leer 60 grados, procurando que nuestra línea y distancia se ubiquen adelante del obstáculo,

establecemos nuestro punto de acuerdo a la distancia y leemos nuestro último ángulo para com-

pletar nuestro desplazamiento y así ubicarnos nuevamente en la línea de donde nos habíamos

desplazado.

Para hacer este trabajo se recomienda hacer las medidas (siempre que sea posible), de una vez,

no tener que hacerlo por secciones ya que esto puede dar lugar a la acumulación de error en la

distancia pero, como no siempre es posible lograrlo, el topógrafo deberá hacer lo que le resulte

más conveniente.

En la parte de abajo del dibujo (Fig. 18b), podemos ver la otra forma que podemos emplear para

desplazarnos, en este caso hacemos uso de un triángulo diferente, por lo tanto, tendremos que

hacerlo de forma analítica. Para empezar esto debemos hacer un tanteo de la distancia de forma

que nos pueda ubicar adelante del objeto en mención, empezamos como en el caso anterior,

estableciendo el punto A para ubicarnos con el instrumento, visando atrás leemos cualquier

ángulo (ángulo A) de forma tal que pase a un lado del objeto u obstáculo que nos obliga a des-

plazarnos, leemos un ángulo para establecer el punto B, de forma tal que nos permita ver ade-

lante del objeto y medimos la distancia o cuerda apropiada (distancia “c”). Una vez establecido

el punto B podemos emplear tres formas para encontrar el punto de nuestra línea.

La forma número uno es aquella que hacemos uso de dos triángulos rectángulos o sea haciendo

uso del teorema de Pitágoras, para lo cual tomaremos como base la distancia del punto A al

punto B (distancia “c”), la distancia que seleccionamos en nuestro tanteo (t) y el ángulo A, lo

hacemos de la siguiente manera; primero encontramos la distancia “a” así: a=c·senA, b=c·cosA,

d=t-b, e=√(a²+d²), tanC=a/d, B=A+C.

La forma número dos es la que haremos uso del teorema coseno y la ley de cosenos, empeza-

mos tomando para el cálculo la distancia “a” y la distancia de nuestro tanteo que es “t” y el

ángulo A, lo hacemos de la siguiente manera: e=√(a²+t²-2a·t·cosA), cosB= (a²+e²-t²)/(2ae).

La forma número tres es la que hacemos uso de la ley de senos, empezamos como en las formas

anteriores ubicando el punto B, en este caso no conocemos las distancias “t” y “e”, solo cono-

cemos la distancia “c” y el ángulo A, ahora para conocer estos elementos que nos faltan, visa-

mos con el instrumento en cero sobre el punto A y leemos un ángulo que nos permita ver ade-

lante del obstáculo y este será nuestro ángulo B, hecho lo anterior procedemos a hacer nuestro

cálculo para encontrar la distancia “e”, la distancia “t” y el ángulo C, para lo cual procedemos

Page 46: Tratado de Topografia[1]

Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 46

de la siguiente manera: como ya lo dijimos el ángulo B será dado de acuerdo a nuestro mejor

punto de observación, entonces continuamos así: C=180-(A+B), e=c·senA/senC, t=c·senB/sen

C, como la distancia “t” y el ángulo C no eran conocidos los obtuvimos con la realización del

cálculo. Y así de esta forma hemos visto las formas que hay para hacer un desplazamiento de

líneas.

DESPLAZAMIENTO CON LÍNEA PARALELA

Fig 19

En la figura podemos ver la forma como desplazarse con una línea paralela relacionada a la

línea de proyecto, para lo cual podemos dar inicio ubicando el punto P1, para ubicar nuestro

instrumento; una vez ubicado el instrumento ponemos el círculo en cero grados, visamos sobre

la línea de proyecto y orientamos nuestro instrumento hacia el punto P2 y este será el ángulo A,

seguidamente medimos la distancia entre P1 y P2 y esta será la distancia D.

Una vez establecido el punto P2 ubicamos el instrumento en este, visamos hacia P1 y leemos el

ángulo A′, y así de esta forma habremos establecido nuestra línea paralela a la línea central de

proyecto, que en este caso nuestro ángulo será igual al ángulo A. También podemos leer en vez

del ángulo A′, el ángulo F, F=180 A, o sea el complemento de 180 o 200 si fuera el caso, y así

habremos orientado nuestra línea, lo que nos permitirá poder trabajar en ella para el propósito de

nuestro desplazamiento.

Como ya lo expresamos anteriormente siempre que tengamos que desplazarnos de una línea

cualquiera, debemos tener mucho cuidado de no equivocarnos, tanto al leer los ángulos como al

medir la distancia, ya que un error en cualquiera de estos elementos, solo nos ocasionará pérdida

de tiempo. Si cada vez que tuviéramos que hacer esto lo hiciéramos con distancias largas, nos

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 47

daría la posibilidad de tener menos error en la parte angular, pero puede ser que tengamos que

medir en varias etapas, lo cual nos daría la posibilidad de tener más error acumulado en distan-

cia, porque sucede que a mayor distancia, menor error angular y a la inversa, a menor distancia,

precisión en la distancia y mayor error angular, esto debido a que el retículo del instrumento es

tan fino que cualquier movimiento resultaría imperceptible lo que a la larga vendría a redundar

en error angular al momento de volver a la línea de proyecto.

Así de esta forma hemos visto las formas que hay para hacer un desplazamiento de líneas, y

podemos decir que estamos preparados para poder llevarlo a cabo, ya que en cualquier momento

durante el desarrollo de nuestro trabajo, tendremos la necesidad de hacerlo.

Conviene mencionar que ahora con el uso de la estación total ambos errores se reducen al

mínimo, ya que este instrumento nos permite medir mayores distancias y con mucha precisión.

Page 48: Tratado de Topografia[1]

Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 48

Fig 20

En el dibujo de la Fig. 20, tenemos una curva combinada: espiral-circular-espiral o sea que te-

nemos una curva en espiral en la entrada, una curva circular en el centro y otra curva en espiral

en la salida. Este tipo de curva a tenido uso especialmente en líneas férreas, y en algunos países

se usan también para el diseño de carreteras. En Centro América han tenido poco uso hasta el

presente, tal vez debido a su complejidad, anteriormente solo unos pocos proyectos de carreteras

habían incorporado este tipo de curva y esto sucedió porque los encargados del trazado de estas,

como la Carretera Panamericana, para citar un ejemplo, eran de procedencia extranjera, es de-

cir, venían de países en donde su uso es más común. Hoy en día se está tomando muy en cuenta

su empleo debido a que las nuevas carreteras se están diseñando para mayores velocidades, por-

que con el empleo de este tipo de curva se logra un mejor desempeño de un vehículo, debido a

que el ingreso y la salida de la curva se va alcanzando de forma gradual, diferenciándose de una

curva circular la cual sustituye los elementos de la curva con espiral de entrada y salida, con la

súper elevación y el sobre ancho.

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 49

El cálculo de este tipo de curva es realmente complejo, y debido a eso hemos tratado de encon-

trar una forma más fácil, que nos permita realizar su cálculo valiéndonos en parte, de la trigo-

nometría y tomando algunos fragmentos de la forma ya conocida e incorporando algunos nue-

vos elementos que le permitirán al topógrafo hacerlo de una manera más ágil, haciendo uso de

los medios que maneja en su trabajo del día a día. Mas adelante veremos la tabla de ecuaciones

y trataremos de dar una explicación de cómo debemos emplear cada elemento, al momento de

realizar el cálculo.

Para comenzar diremos que el ángulo de giro en el PI es igual al de una curva circular, con la

diferencia que para el tramo que corresponde a la curva circular, su PI y su delta, en este caso Δ′

se ubican hacia el interior de las líneas. El PI es igual al de una curva circular, teniendo su esta-

ción corrida de acuerdo al cadenamiento que se lleve del kilometraje de proyecto. En este punto

se encuentra el giro principal de la línea de proyecto.

Para dar inicio al cálculo de este tipo de curva es importante conocer algunos parámetros con

anticipación, tales como el grado de curvatura de la parte circular o su radio, la longitud de la

curva espiral, que se tendrá que calcular de acuerdo a la velocidad de diseño de la carretera, en

la zona en donde se trazará este tipo de curva y el disloque de la curva circular respecto a la

línea recta de entrada, esto es porque tendremos una curva circular desplazada.

De acuerdo con algunos tratados de topografía que tienen relación con este tipo de curva, la

longitud no deberá ser menor de 30 metros, por lo tanto, si al hacer el cálculo encontramos que

la longitud es menor que esa distancia, pero muy próximo a ella, tenemos que emplear una cur-

va que tenga una longitud de 30 metros, como mínimo, si en nuestro cálculo esta distancia anda

muy por debajo, entonces no es necesario la espiral.

Debido a que la finalidad de este tratado es, ofrecerle soluciones prácticas al topógrafo para que

pueda llevar a cabo la realización de su trabajo, trataremos de hacer que las cosas le resulten

más fáciles, que pueda realizarlas en el menor tiempo posible y que a la vez pueda lograr una

mayor agilidad en su trabajo. Trataremos de hacer que las cosas no le resulten tan complejas y

que sienta satisfacción al ver que todo le resulta muy práctico.

En nuestros días con el avance del ordenador portátil, el topógrafo tiene la facilidad de poder

llevarlo casi a cualquier lugar y este podemos decir, que es el mejor ayudante con que puede

contar el topógrafo, si no tiene acceso al ordenador, por lo menos debería proveerse de una cal-

culadora programable, hoy en día en el mercado contamos con muchas de diferentes marcas y

muy buenas.

Volvemos a recordar aquí que el topógrafo está en la obligación de actualizarse constantemente,

no tiene que estancarse, porque con los avances tecnológicos las cosas van cambiando cada día

y si no se adapta a los cambios de la tecnología empleada para el trabajo de topografía, se irá

Page 50: Tratado de Topografia[1]

Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 50

quedando rezagado y otros le sustituirán. Es verdad que el topógrafo en Latinoamérica, en su

mayoría se forma en el puesto de trabajo y es a veces por falta de tiempo que su avance en el

conocimiento se va desarrollando muy lentamente, a tal grado que llega a un punto en que pier-

de el interés por el aprendizaje y se conforma con lo poco que aprendió en el tiempo en que se

inició. El topógrafo debe hacer un poco de esfuerzo para ir mejorando su conocimiento, aunque

sea en sus horas de descanso, plantearse problemas el mismo y comprobarlos en algún momento

en la zona de trabajo, todo esto dependerá del deseo de él mismo por alcanzar un mejor nivel de

preparación, a veces cuesta mucho pero debe intentarlo.

Volviendo a lo que nos ocupa, diremos que podemos hacer uso de espirales para ubicar alinea-

mientos en zonas de naturaleza difícil. Cuando se trata de acomodar alineamientos, podemos

hacer uso de una curva espiral de entrada y una circular en la salida, especialmente en carrete-

ras para bajas velocidades y en zonas en donde no se tiene el espacio suficiente, para poder

desarrollar curvas como lo mandan las especificaciones o normas establecidas, o sea que esto

nos permite acomodar un alineamiento aunque haya que salirse de las normas de diseño.

Es importante recordar que cuando hacemos esto, como siempre lo debemos hacer es: anotar

toda la información relacionada con el alineamiento y sus referencias, para que no tener pro-

blemas al momento de hacer replanteos posteriores, porque no siempre esto lo hace el mismo

topógrafo.

Más adelante trataremos esto de las referencias ya que no se deben excluir de ningún trabajo de

topografía, porque a veces todo el trabajo del levantamiento se pierde y lo que nos puede llevar

sin problemas a su replanteo son las referencias.

Page 51: Tratado de Topografia[1]

Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 51

TEOREMA PARA EL CÁLCULO DE LA CLOTOIDE O CURVA CON ESPIRAL

A continuación veremos el teorema que hemos desarrollado para el cálculo de los puntos más

importantes de la clotoide.

PI= estación, abscisa o progresiva y giro de la línea, derecha o izquierda.

Δ= ángulo central

Rc= radio de la curva circular, dado o calculado de acuerdo al grado de curvatura=1800/π/Gc.

Gc= grado de curvatura circular=1800/π/Rc.

LCS= longitud de curva espiral, dada o calculada.

θ= deflexión en el PIS =(LCS/20)x Gc,=(90/π)·(LCS/Rc) en grados sexagesimales,=LCS/2Rc

en radianes.

θ′=θ este es el ángulo en el PIS de la curva de salida, que es igual al de la curva de entrada.

Δ′=Δ-(2θ)

Xe=Lcs·cos1.793566666

(θ/3)

Ye=Lcs·cos1.949333333

(θ/3)·tan(θ/3)

∆R=Disloque, =(Rc+(Ye/cosθ)∙cosθ)-Rc

K1=Xe-((Rc+Ye/cosθ)*senθ-Ye·tan θ)

TL=X-(Y/tanθ)

TC=Y/senθ

TCC=Tangente de curva circular=Rc·tan(Δ′/2)

LCC= longitud de curva circular=(Δ′/Gc)·10,=(Rc·π·Δ′)/180

D=(180-Δ)/2

E=180-(D+θ)

TM=((TCC+TC)·senE)/senD

Te=TM+TL

De=distancia dada a cualquier punto de la espiral

Dfe=deflexión a cualquier punto de la espiral=(De²/LCS²)·¹/3θ

Xp=coordenada (x) a cualquier punto de la espiral =De/(cosDfe)1.80089368

Yp=coordenada (y) a cualquier punto de la espiral =(Xp·(cosDfe)1.80089368

·tan(Dfe)

Page 52: Tratado de Topografia[1]

Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 52

Programa Basic para CASIO fx-880P para el cálculo de una curva con espiral.

10 PRINT “CURVA ESPIRAL-CIRCULAR-ESPIRAL”

20 INPUT “EST PI=”,A

30 INPUT “ANG. CENTRAL=”;B

40 INPUT “GRADO CIRCULAR=”;G

50 INPUT “LONG. C. ESPIRAL=”;L

60 RC=1800/PI/G

70 C=L/20*G

80 B1=B-(2*C)

90 TC=RC*TAN(B1/2):U=C/3

100 X=L*(COS(U))^1.793566666

110 Y=(L*(COS(U))^1.943333333)*TAN(U)

115 TS=X-(Y/TANC):SC=Y/SIN(C)

120 D=(180-B)/2:E=180-(D+C)

130 T1=(TC+SC)*SIN(E)/SIN(D)

140 T2= T1+TS:F=A-T2

150 LCC=B1/G*10

160 H=F+L:I=H+LCC:J=I+L:SET F3

166 PRINT “Te (TS-PI)=”;T2

170 PRINT “TS PIS-TS=”;TS;

180 PRINT “SC=”;SC

190 PRINT “DELTA CIRCULAR=”; DMS$(B1)

200 PRINT “θ ESPIRAL=”;DMS$(C)

210 PRINT “RADIO CIRCULAR=”;RC

220 PRINT “TANG CIRCULAR=”;TC

230 PRINT “LONG C. CIRCULAR=”;LCC

240 PRINT “EST TS=”;F;

250 PRINT “EST SC=”;H

260 PRINT “EST CS=”;I;

270 PRINT “EST ST=”;J

280 PRINT “CALC DE COORD ESPIRAL”

300 INPUT “EST A CALCULAR=”; M

310 N=M-TS

320 O=(N/L)^2*(C/3)

320 P=N*(COS(O))^1. 80089368

330 Q=N*(COS(O))^1. 80089368*TAN(O)

340PRINT “Xes=”;P; “ Yes=”;Q

350 GOTO 300

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 53

Exterior

Interior

Fig 21

TOPOGRAFÍA EN PROYECTOS DE CARRETERAS

Con lo que hemos visto hasta este punto del tratado, podemos decir que ya estamos preparados

para poder realizar trabajos de importancia, tales como el trabajo de las carreteras.

Para dar paso al trabajo de topografía en una carretera o sea el trazado de la línea, podemos

decir que lo primero se basa en la necesidad de realizar el proyecto, ya sea que se trate este de

comunicar poblaciones, proyectos mineros, agrícolas, turísticos o de otra índole, para lo cual lo

primero que debemos hacer, de ser posible es, observar la zona del proyecto en una hoja car-

tográfica para formarnos una idea de lo que tenemos que hacer. Una vez que hemos hecho lo

anterior, lo más importante es ir haciendo un reconocimiento del terreno, si se trata de mejorar

un camino construido podemos movilizarnos en vehículo e ir deteniéndonos de vez en cuando

en zonas en donde pensemos que requieren mayor atención lo que nos preparará para cuando

llegue el momento de ubicar la línea de nuestro proyecto.

Cuando se trata de un proyecto nuevo en donde no existe camino alguno, nuestro reconocimien-

to tendremos que hacerlo a veces a pié o de ser posible a lomo de mula, siempre lo que resulta

mejor es hacer un recorrido entre el punto de inicio y el final del proyecto, si se tratara de un

proyecto corto, por supuesto, o hacer reconocimientos lo suficientemente distantes y observar a

la vez que es posible darle continuidad al proyecto, de forma tal que no tengamos que regresar y

buscar por otro lado debido a que podríamos encontrar alguna dificultad que nos impida avan-

zar. Algunas veces encontraremos zonas despejadas y con poca vegetación, por lo que nos re-

sultará más fácil poder ubicar nuestra línea preliminar en la que basaremos el levantamiento del

proyecto, para después ubicar la línea definitiva o sea la que se establecerá y poder tomarla para

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 54

llevar a cabo la construcción pero, esto no siempre sucede, podría sucede que arranquemos en

una zona cubierta de mucha vegetación por lo que será necesario hacer uso de un clinómetro,

para ir orientando la brecha de acuerdo a la pendiente. Por eso resulta de mucha utilidad ir de-

jando una que otra marca durante el reconocimiento de la zona, de modo que podamos enmar-

carnos en ella al momento de ubicar nuestra línea, siempre y cuando la pendiente sea la exigida

por las normas del proyecto.

Una vez que hemos hecho el reconocimiento del terreno, procedemos a dar inicio a la ubicación

del alineamiento, haciendo uso para ello del aparato, tránsito, teodolito o como se le llame de

acuerdo al país en donde estemos trabajando, cinta métrica (wincha en la America del Sur) para

ir midiendo el estacionamiento o cadenamiento y los demás implementos que se necesitan para

ello. Como para esto se entiende que ya tenemos seleccionada una zona específica, empezare-

mos ubicando una línea preliminar, es bueno tomar en cuenta un detalle que no debe faltar al

momento de hacer cualquier tipo de levantamiento, este consiste en que para nuestra primera

línea siempre es necesario leer el rumbo de dicha línea, esto le servirá a cualquiera que en el

futuro le tocara ubicar el proyecto, hecho esto procedemos a ubicar la línea de PI, o sea ubican-

do vértices de una poligonal abierta la cual nos servirá de base para hacer el seccionamiento

que servirá para dibujar las curvas de nivel y así poder observarlo mejor en planta al momento

de hacer el trabajo de gabinete.

En este tratado empleamos la palabra cadenamiento, palabra que viene desde los inicios del tra-

bajo de topografía en donde se hacía uso de una cadena para medir, después se usó una cinta un

tanto pesada ( que también algunos le llamaban cadena), la cual tenía marcas cada metro con

partes impregnadas de plomo en donde se podía leer los metros, esta cinta tenía el primer metro

marcado cada diez centímetros en la parte del extremo del cero, el cadenero tenía que proveerse

de una pequeña regla graduada en centímetros (si este fuera el caso), para medir las fracciones

de metro cuando llegaba a un punto de importancia, como por ejemplo un punto de cambio en

este caso un POT o un PI.

Es importante recordar aquí que la cinta al momento de medir una distancia cualquiera, tiene

que estar al mismo nivel, tanto la parte que sostiene el cadenero de adelante, como la parte que

sostiene el cadenero de atrás, como esto no resulta fácil hacerlo a ojo, uno de los cadeneros o

una tercera persona deberá proveerse de un nivel de mano para ir nivelando la cinta, ya que de

no hacerlo redundaría en error de distancia, error que no es conveniente ya que siempre la medi-

ción se debe hacer lo más precisa posible.

En cada país se cuenta ya con normas para el trabajo de topografía, las cuales tenemos que

aplicar. Es una costumbre que para proyectos grandes se use una cuerda de veinte metros para

ubicar cada estación o abscisa, y siempre ubicar estaciones intermedias en partes en donde se

vea que el terreno tiene una configuración diferente, entonces podemos colocar una estación

intermedia a cualquier distancia siempre obedeciendo a la causa que la origina, en este caso

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 55

puede ser un accidente del terreno o ya sea un punto en donde haya que ubicar una obra de

drenaje, todo esto tiene que saber el topógrafo y aplicarlo donde sea necesario.

Material usado en topografía

Estacas y trompos de madera

En la figura podemos ver el material usado para hacer el trabajo de topografía, estos son objetos de

madera detallados así:

1. Estaca que acompaña a cada trompo que se coloca en la línea o para anotar datos de construcción o

estacas de talud.

2. Trompo usado para marcar rasante o para uso en terrenos blandos

3. Trompo usado en puntos de importancia como PC, PT, PI o para puntos de referencia temporales.

4. Trompo temporal usado al momento de colocar el estacionamiento o cadenamiento

5. Trompo usado para nivelación (TP), este trompo tiene una parte con una punta roma de modo que la

estadia o regla pueda girar sobre él, para que su contacto con esta sea lo más mínimo posible.

En este grupo hace falta el jalón de madera que por lo general se usa para colocar las perpendiculares,

para usarlos en rutas con el clinómetro, o para acompañar las estacas de talud. Cuando se trabaja en

campo abierto casi siempre es posible encontrar madera para fabricarlos.

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 56

Plomada, nivel de mano y clinómetro

Una vez que hayamos colocado un buen tramo de línea, con su debido estacionamiento o cade-

namiento, habrá que proceder empezando con las perpendiculares en cada estación, para dar

inicio a las brechas que servirán para el seccionamiento o toma de perfiles transversales y poder

así conocer mejor la configuración del terreno. El seccionamiento se puede hacer de dos formas,

una es tomando como nivel cero el eje de la línea en cada estación e ir conociendo la diferencia

entre el nivel del eje y cada punto que vayamos nivelando o sea donde se vean los cambios del

terreno, la otra forma es acotando cada punto de acuerdo a la nivelación general de proyecto o

sea haciendo uso de una elevación, que siempre para proyectos de importancia deberá estar

relacionada al nivel del mar, esta última forma resulta más fácil para el trabajo de gabinete ya

que en el campo se tomarán los puntos donde se cumpla la elevación de la curva de nivel que se

haya seleccionado, por lo general se acostumbra tomar curvas de nivel con diferencia de un

metro, ya que para el propósito de estos proyectos resulta suficiente.

Otro cosa que tiene que observar el topógrafo son los puntos donde se ubica cada PI, esto debi-

do a que cuando el ángulo de giro que tenemos es importante, hará que las perpendiculares

próximas a este, tanto la de la línea de atrás como la de adelante, se separen mucho hacia el

lado en donde se abre la línea, diríamos hacia afuera, entonces lo que debemos hacer es trazar

una bisectriz que partirá del punto del PI y se orientará hacia la mitad del complemento del

ángulo leído en el PI, si lo hiciéramos hacia el interior, sería la mitad del complemento de 180 o

200 si fuera el caso, y hacia el exterior sería la mitad de 180 o 200 si fuera el caso, más el ángu-

lo del PI. Hacia el interior o sea la parte en donde se encierra la línea será (180-∆)/2 y hacia el

exterior o sea hacia donde la línea se abre (180+∆)/2. Si estuviéramos usando un tránsito con un

círculo graduado con 400 grados lo que tenemos que hacer es modificar la fórmula sustituyendo

180 por 200.

Para dar paso al establecimiento de las líneas perpendiculares también llamadas normales, no

será necesario hacer uso del tránsito o teodolito, para esto solo hará falta la colaboración de tres

personas, cada una con su respectiva plomada, así como una cinta métrica, para esto habrá que

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 57

hacer un pequeño cálculo empleando el teorema de Pitágoras. Es una costumbre emplear las

distancias 3, 4 y 5, o cualquier múltiplo o submúltiplo de estos números, para lo cual usamos la

forma número tres de la figura número dos del tratado, en donde se refiere a este teorema.

Para empezar a conocer la perpendicular, lo primero que hacemos es medir una distancia sobre

la línea, ya sea hacia adelante o hacia atrás, haciendo uso de los números que mencionamos

anteriormente, supongamos 3 metros y arrancando del trompo de la línea central de la estación,

hecho esto una de las personas sostendrá el cero de la cinta en el punto de la estación, una se-

gunda persona se ubicará en el punto donde se midieron los 3 metros, sosteniendo la cinta en la

distancia marcada con 9 metros y la tercera persona se moverá sobre la línea de la perpendicular

sosteniendo la cinta donde tiene marcados 4 metros y así habremos establecido nuestra perpen-

dicular. Para conocer perpendiculares en curva se emplea otra forma. Como en esta parte nos

referimos al trabajo en líneas rectas, más adelante veremos la forma de cómo hacerlo en curva.

En Honduras a la perpendicular le llamamos “noventa o el noventa”, porque lo que se hace es,

conocer la línea por donde pasan los 90 grados respecto a la línea de proyecto.

Es importante recordar que al momento de sostener la cinta en cada uno de los puntos indicados,

esta deberá estar al mismo nivel en los tres puntos, ya que de no haberse nivelado podríamos

tener una línea fuera de la normal o perpendicular.

Teorema de Pitágoras para este ejercicio:

c=√(a²+b²)

Fig 22

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 58

La forma que estamos mostrando es la más conocida y usada para conocer la perpendicular de

una línea. Si hacemos uso del teorema de Pitágoras, podemos hacerlo con cualquier distancia,

esto dependerá de las condiciones del terreno en el sitio en donde nos encontremos trabajando.

A veces nos encontramos en terrenos cubiertos de mucha vegetación y la brecha no da mucho

espacio, ya sea también en zonas rocosas o con algún grado de incomodidad que nos podrían

impedir emplear la forma del dibujo, es entonces cuando debemos recurrir al empleo de este

teorema. Este método lo podemos emplear cuando las distancias de las perpendiculares no sea

tan largas ya que cualquier movimiento del punto de la perpendicular en una distancia grande,

podría ocasionar el cruce de las líneas de las secciones, es entonces cuando tendremos que hacer

uso del tránsito, aparato, teodolito o como se le llame de acuerdo a la costumbre, para conocer

la línea de la perpendicular.

No debemos olvidar que, durante el barrido de nuestro levantamiento al momento de ubicar la

línea y tomar las secciones, se debe ir tomando nota de todas las cosas importantes que encon-

tremos a nuestro paso tales como cercas que limitan propiedades y el nombre de sus dueños,

árboles importantes, rocas, postes del tendido eléctrico, torres, casas y cualquiera otra edifica-

ción etc…, ya que esto servirá de referencia para nuestro levantamiento.

En terrenos inclinados, siempre es conveniente prolongar las distancias de las secciones más de

lo normal, ya que en estos tipos de terreno la construcción tanto de corte o desmonte como de

relleno, siempre ocupa un espacio mayor en el terreno por lo que, el topógrafo debe tomar muy

en cuenta este detalle y aplicarlo cuando vea que es necesario.

Respecto a lo tratado en el párrafo anterior, siempre es muy importante que el topógrafo que va

a realizar trabajos en estudios de carretera, haya tenido alguna experiencia en la construcción de

estas, así él, sabrá donde aplicar este tipo de criterio.

El trabajo de topografía nos plantea a veces muchas dificultades y como tal, debemos estar pre-

parados para salir de ellas sin problemas, ya que se puede dar el caso en que no tengamos a na-

die que nos preste auxilio para la solución de los mismos.

Haciendo un poco de historia respecto a las carreteras en Honduras, podemos decir que las pri-

meras carreteras que comunicaron muchas de las zonas pobladas, fueron construidas por los

explotadores de la madera, diciéndolo mejor, los industriales de la maderera, quienes para poder

extraer la madera de los busques se vieron en la necesidad de abrir carreteras, aunque no cumpl-

ían con todos los requisitos de una buena carretera, estas sirvieron de mucho a la población, lo

que hicieron después los gobiernos fue hacerles mejoras en su alineamiento y drenaje. Hasta

hemos llegado a pensar que sin la acción de los industriales de la madera, muchos poblados aún

hoy en día no tendrían comunicación por carretera.

Page 59: Tratado de Topografia[1]

Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 59

En mi país (Honduras), se ha criticado mucho a los madereros, pues se dice que solo se dedica-

ron a destruir el bosque pero, la verdad es que los empleados del gobierno encargados de vigilar

la explotación maderera, nunca fueron capaces de sugerir la creación de reglamentos a los legis-

ladores para que obligara a estos a sembrar nuevos bosques. Muchos de estos que critican la

acción de los madereros, de no haber sido por ellos, tal vez ni siquiera hubieran podido llegar a

los grandes centros urbanos o lo hubieran tenido que hacer a pié, entonces podemos decir que se

critica por desconocimiento de la materia.

NIVELACIÓN DE LA LÍNEA

Una vez que hayamos avanzado con nuestra línea de PI debidamente estacionada, debemos em-

pezar con el trabajo de nivelación de la línea central, para lo cual haremos uso del nivel de pre-

cisión, llamado así este instrumento, porque podemos tomar con él, lecturas a mayores distan-

cias dándonos mucha precisión. Para empezar la nivelación de nuestra línea especialmente

cuando se trata de proyectos de importancia, debemos referenciarla al nivel del mar o sea que

tenemos que tomar referencia de un banco de nivel geodésico BNG que para esto, cada país

cuenta ya con una red de bancos establecidos de los cuales podemos tomar nuestra referencia.

Por lo general casi siempre podemos encontrar uno cerca de donde estamos tratando de realizar

algún proyecto.

En Honduras muchos de estos bancos de nivel fueron establecidos al mismo tiempo en que se

hizo la triangulación, para dar paso a la cuadrícula que podemos ver en las hojas cartográficas y

aún hoy día se continúa ampliando la red de modo tal que, casi los podemos encontrar en cual-

quier parte del país; los datos de referencia de estos bancos los podemos adquirir en el Instituto

Geográfico Nacional (IGN), dependencia de la Secretaría de Obras Públicas, Transporte y Vi-

vienda (SOPTRAVI) y para obtenerlos será necesario pagar una cantidad de dinero por ellos.

En el campo estos puntos los encontraremos en construcciones permanentes tales como igle-

sias, parques, puentes y en cualquier otro lugar que les ofrezca seguridad y permanencia.

Después de haber dado esta pequeña explicación, damos inicio a la nivelación de la línea central

de nuestro proyecto, empezando con el establecimiento de nuestro primer banco de nivel, al cual

se le da el nombre de BN o BM, (BM también viene del inglés Bank Mark, marca de banco o

Benchmark que significa punto de referencia) este ya en el inicio del proyecto, para lo cual se

entiende que habremos traído la referencia de nivel desde el banco más próximo, donde habre-

mos realizado una nivelación de ida y vuelta para comprobar su exactitud. Para lo antes expues-

to será necesario la colaboración de tres personas: el nivelador u operador del nivel de precisión

ya puede ser el topógrafo mismo, quién a la vez, llevará la anotación de las lecturas tomadas en

cada punto, el porta mira (mira se le llama también a la estadia o regla), y una tercera persona

que se encargará de ir clavando en el suelo los trompos que se usarán como puntos de cambio,

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 60

en Honduras llamados TP, que también viene del inglés, turning point o sea punto de vuelta, de

cambio o de regreso.

Las estadias o reglas usadas para el trabajo de nivelación son por lo general de 4 metros ya que

este tamaño además de ayudar para avanzar, nos puede dar una mayor facilidad de manejo, al-

gunas vienen provistas con un nivel circular, llamado ojo de buey y que una vez que está bien

centrado nos está indicando que la regla se encuentra a plomo, que es la forma que se necesita

para que la nivelación sea correcta, en caso de usar una regla que no tenga este nivel, se puede

hacer uso de un nivel de mira, este tipo de nivel lo podemos encontrar en las casas que venden

implementos para topografía, de no hacer uso de uno de estos niveles, el encargado de llevar la

mira o estadia tendrá que desplomarla hacia delante y hacia atrás, siempre sobre la línea del

nivelador y este a la vez tomará la menor lectura como buena, ya que no sería posible leer más

abajo de ese punto.

Una vez que establecemos cada banco de nivel le pondremos un nombre y lo anotaremos tanto

en el sitio en donde lo establecimos como en nuestra libreta de apuntes. Se acostumbra dar un

nombre relacionado al kilómetro en donde queda establecido, por ejemplo BN 0-1, BN 0-2, esto

es si queda establecido dentro del kilómetro 0 o sea dentro del estacionamiento de 0 a 1+000 o

simplemente le damos un número secuencial, también lo podemos llamar con letras, lo impor-

tante es que se pueda identificar el BN. Los datos del BN además de llevar este nombre, se debe

anotar en la libreta de anotaciones el lugar en donde se estableció y sobre que se estableció,

pueden ser grapas, clavos o cualquier otro objeto que sirva para ello, el lado en donde está ubi-

cado, la distancia y la estación que coincide su perpendicular. Siempre deberán ubicarse a una

distancia considerable respecto al eje del proyecto y además, que sea posible leerlo cuando

hayamos centrado el nivel de precisión en un punto de la carretera cuando esta esté construida,

que no haya necesidad de hacer cambios para llegar a una parte donde se pueda observar, y de

modo que se pueda mantener aún cuando el proyecto se encuentre en ejecución, aunque esto no

siempre es posible lograrlo, debemos tratar de establecer nuestro BN lo más próximo al eje del

proyecto pero afuera del área de la construcción.

Aquí un ejemplo de cómo hacer la anotación de los BN en nuestra libreta:

BN 0-1, BN # 1, BN 1-A…etc.

Elevación

Establecido sobre dos grapas, en raíz de árbol de roble.

A 30 metros izquierda de estación 0+010

También en la libreta de anotaciones, además de estos datos es importante anotar el nombre del

nivelador o topógrafo y la fecha de ejecución del trabajo.

Los bancos de nivel o BN se acostumbra ubicarlos a una distancia de 500 metros, en el sentido

longitudinal del proyecto, más o menos, para ello habrá que buscar el tronco o raíz de un árbol

que se considere que tiene una buena edad y que se vea que la composición de su madera permi-

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 61

tirá la conservación de la referencia, además que este quede sobre un objeto metálico ya sea un

clavo o simplemente un par de grapas de las usadas en las cercas de alambre, estas colocadas en

cruz, una sobre la otra. Al árbol habrá que quitarle un poco de corteza para que sea visible, en

donde se le anotará el número de BN y de ser necesario su elevación también. En lugares donde

no es posible encontrar árboles con las características antes mencionadas, habrá que enterrar

monumentos de concreto de forma tal que sean visibles y accesibles para el topógrafo o nivela-

dor a una profundidad que les de seguridad.

En terrenos en donde se vea que la pendiente es fuerte y que la diferencia de elevación en 500

metros sea muy significativa, no estará demás colocar un BN intermedio, ya que esto eliminaría

en parte la acumulación de error. Además de establecer el BN será necesario hacer una nivela-

ción de regreso para comprobarla, esto se debe hacer siempre. Esta nivelación se puede hacer de

dos formas: la primera es verificar la diferencia de las lecturas positivas y negativas. En la nive-

lación de regreso podremos comprobar si hay coincidencia con la de ida, si coinciden esto nos

dirá que la nivelación se hizo correctamente. Debemos recordar que para el establecimiento de

bancos de nivel en carreteras el error tiene que andar muy por debajo de un centímetro.

El topógrafo puede hacer la nivelación de dos formas, número uno, tomando las lecturas en to-

dos los puntos que se dejaron marcados durante el establecimiento de la línea central o estacado,

ya que esto no solo incluye las estaciones principales, también se ubican estacas en todos los

accidentes o cambios del terreno, esto servirá para observar mejor el perfil del terreno al mo-

mento de hacer el trabajo de gabinete. La otra forma que puede emplear para establecer los BN

es, la de hacer una nivelación con lecturas en más y menos o sea tomando lectura en los puntos

de cambio o sean los TP, siempre con su debido regreso, ya que esto le dará seguridad a la nive-

lación. Si después le tocara nivelar el estacionamiento, bastará la nivelación de ida ya que ade-

lante ya cuenta con un banco establecido en donde podrá comprobarla.

Resulta de mucha importancia mencionar aquí que, en nivelación también se pueden dar las

ecuaciones, en este caso por supuesto, se trata de ecuación de nivel o ecuación vertical. Las

ecuaciones de nivel podemos decir que se originan por varias razones, por error en el levanta-

miento, o por error en el cálculo, esto ocurre a veces cuando se hace el cálculo de la nivelación

después de haber logrado un avance importante en el proyecto y hasta entonces se conoce el

error, por lo que resulta más productivo hacer una ecuación que repetir todo el trabajo que se

haya realizado. Otra razón que puede dar lugar a una ecuación de nivel es cuando se realizan

trabajos en ambos extremos de un proyecto por diferentes cuadrillas o brigadas, ocurre esto por-

que a veces solo se tiene un banco de nivel (BN) con referencia al nivel del mar en uno de los

extremos, digamos en el inicio del proyecto y puede suceder que en el otro extremo solo se

cuente con las curvas de nivel de las hojas cartográficas, ya que en ese extremo se establecería

un BN con una elevación aproximada, ocurre también que en estos casos se arranca en el otro

extremo con un estacionamiento aproximado y en resta, tal vez leído en la carta o medido con

un vehículo.

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 62

Estas situaciones a las que hemos hecho referencia se dan, cuando se trata de realizar el trabajo

de un proyecto en menos tiempo y se cuenta para ello con varias cuadrillas o brigadas y el área

de trabajo no es suficiente para todos en un solo lado. Este tipo de ecuación quedará establecida

siempre en un banco de nivel (BN) y se deberá tener el cuidado de anotar toda la información

relacionada con la ecuación en nuestra libreta de anotaciones, tomando en cuenta que siempre se

nivelará hacia atrás con la elevación de atrás y por supuesto que partiendo de allí hacia delante

se tomará como referencia la elevación de adelante. Podemos decir que esto no se da con fre-

cuencia pero, como los errores nunca faltan podría ser que en un momento dado tengamos que

hacer una ecuación vertical.

ESTABLECIMIENTO DE LA LÍNEA DEFINITIVA

Una vez que hayamos finalizado la línea preliminar y que el diseñador haya encontrado apta la

franja que seleccionamos para hacer el levantamiento, procederemos al establecimiento de la

línea definitiva o sea la línea con la cual se construirá el proyecto, suponemos que en gabinete

ya se trazó la línea teórica y se ha elaborado un plano del cual se nos entregará una copia. En

este plano se ha ubicado la línea para desarrollarla en el campo y lo que viene después es colo-

carla, siempre enmarcada dentro de la franja del primer levantamiento o línea preliminar. La

línea definitiva arrancará también de cero en el inicio de nuestro levantamiento en un punto que

se haya seleccionado en gabinete o ya sea que se trate de darle continuidad a una carretera exis-

tente, para lo cual habrá que hacer coincidir nuestra primera tangente con la línea central de la

carretera existente.

Para ubicar la línea definitiva habrá que ir estableciendo los nuevos PI, colocando de una

vez el estacionamiento que será el que regirá nuestro proyecto a partir de aquí y leyendo

su nuevo delta, de acuerdo a lo que haya decidido el diseñador, los PI deberán establecer-

se en los puntos indicados en el plano o muy aproximado, es bueno anotar que al PI le da-

remos una estación corrida de acuerdo al cadenamiento que traemos, esto se hace así por-

que una vez que hayamos calculado las tangentes de la curva, habrá que restar de esta es-

tación para darle su valor al PC de acuerdo al estacionamiento del proyecto o para com-

probación del estacionamiento. Una vez establecido el PI con su línea de giro y su ángulo

correspondiente, procedemos al cálculo de la curva de acuerdo al radio o grado de curva-

tura que se enmarque dentro de las normas dictadas para el diseño del proyecto.

Esta son las anotaciones que haremos en nuestra libreta de tránsito:

PI= estación

∆= ángulo de giro

G= grado de curvatura

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 63

R= radio de curva

LC= longitud de curva

Si queremos podemos agregar en esta tabla de anotaciones la cuerda larga, la externa…etc.

Para el cálculo de la curva empezamos calculando la tangente, y la longitud de la curva, hecho

esto medimos la tangente para establecer el PC, arrancando desde el punto del PI y para darle

valor al PC restamos la distancia de la tangente a la estación del PI o la comparamos con el

estacionamiento que llevamos y esta será su estación, una vez que se haya medido la tangente

hacia el lado del PC y haberle dado valor a este, procedemos a medir la tangente hacia el lado

del PT, la estación del PT será igual a la estación del PC más la longitud de la curva calculada,

si una vez que llevamos a cabo el cadenamiento de la curva y este no coincide con el estaciona-

miento calculado, habrá que revisar el cálculo o la medida, tanto de las tangentes como la medi-

da de la curva, porque podría tratarse de un error en cualquiera de estos elementos. Es impor-

tante recordar que al establecer la curva se debe observar que a las cuerdas se les haga su res-

pectiva corrección, porque debemos tomar en cuenta que las cuerdas que medimos van en línea

recta y no describiendo el arco de la curva tal como es, lo que medimos es la secante entre am-

bos puntos, el de arranque y el que vamos a ubicar.

Una vez que se ha comprobado la curva y que las diferencias encontradas son la permitidas,

podemos continuar con el cadenamiento hasta el próximo PI, no olvidemos que la estación del

PT es la que se encontró al hacer el cálculo o sea, PC más longitud de curva, no debemos darle

la estación con que llegamos porque no siempre se llega con la que se ha calculado, casi siempre

llegaremos con alguna diferencia, además de que es incorrecto ponerle le estación que nos dio

nuestro cadenamiento.

Después de haber llevado a cabo estos procedimientos habrá que dar inicio la nivelación de la

línea, para esta nivelación no será necesario hacer regreso de comprobación, porque debemos

recordar que durante la nivelación de la línea preliminar se establecieron los bancos de nivel y

bastará llegar a ellos con la nivelación para compararla.

Al hacer la nivelación de la línea definitiva habrá que ir tomando lecturas en las estaciones, tan-

to completas como fraccionarias así como los puntos de estación de POT, PC, POC, PT, y en

cualquier otra estación de importancia tal como la de alguna quebrada, riachuelo, corredero, así

como los altos y bajos relieves que se consideren importantes.

Hecho lo anterior ahora se procede a establecer las perpendiculares de la línea, para lo cual

haremos uso de la cinta métrica y las plomadas, lo que corresponde a los tramos en recta ya co-

nocemos el procedimiento ya que fue explicado en una sección anterior, en la cual menciona-

mos el uso del teorema de Pitágoras, esta vez veremos cómo conocer las perpendiculares en

curva siempre haciéndolo con cinta métrica o wincha.

Page 64: Tratado de Topografia[1]

Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 64

Para conocer la perpendicular de una estación en curva haremos lo siguiente: si pudiéramos ob-

servar el punto del radio no tendríamos problemas ya que la línea perpendicular en curva está

orientada con el radio pero, como esto no siempre es posible porque este punto no siempre es

visible, entonces lo que tenemos que hacer es medir una distancia sobre la línea de la estación

anterior a la que queremos conocer su perpendicular y otra distancia igual a la anterior orientada

sobre la línea de la siguiente estación, para esto las estaciones en donde hemos orientado ambas

líneas tienen que estar a la misma distancia. Una vez que se han medido estas distancias, uno de

los encargados tomará el cero de la cinta sobre el punto de una de las distancias que se midie-

ron para tal fin, una segunda persona se ubicará con cualquier distancia sobre el punto que se

orientó sobre la línea de la otra estación, de preferencia se acostumbra poner metro completo,

una tercera persona se ubicará sobre la línea imaginaria del radio tomando la mitad de la distan-

cia que sostienen las otras personas, una vez hecho esto habremos establecido la perpendicular

en curva.

Fig 23

ESTABLECIENDO PERPENDICULAR EN CURVA, SOLO CON CINTA

La figura 23 nos muestra la forma de conocer la perpendicular solamente haciendo uso de la

cinta, en donde podemos ver que las distancias sobre la línea de las estaciones E1 y E2 son

iguales (d y d′), también las distancias que van hacia la línea de la perpendicular son iguales, (c

y c′). Estas distancias se pueden variar de acuerdo a las condiciones del terreno, aunque no es

recomendable que las distancias sean demasiado cortas porque cualquier movimiento en uno de

los puntos hará que la perpendicular se desplace.

Page 65: Tratado de Topografia[1]

Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 65

Para emplear este método, se hace necesario que los puntos que visamos para medir la distancia

que nos servirá para conocer la perpendicular, se encuentren a distancias iguales o sea equidis-

tantes, porque cometeríamos un error si los puntos visados estuvieran a distancias diferentes,

esto daría lugar a una perpendicular incorrecta, como ejemplo podemos decir que si medimos

una distancia alineándonos con una estación que se encuentra a 20 metros, en el otro sentido

también tenemos que medir alineándonos con otra estación que se encuentre también a 20 me-

tros y en cuanto a las distancias medidas, esta tienen que ser también iguales, es importante ob-

servar siempre que estas condiciones se cumplan. A veces se comete el error de conocer la per-

pendicular de la estación que está próxima al PC o PT, midiendo una distancia y alineándose

con la estación de uno de estos puntos y la otra distancia alineándose con una estación de 20

metros, esto solo nos demuestra que la línea de nuestra perpendicular es incorrecta, porque casi

siempre estas estaciones son fraccionarias o sea que tiene menos de 20 metros.

Fig 24

Para establecer la perpendicular de la figura de arriba (Fig 24), estamos haciendo uso de la cinta

también, con la diferencia que aquí hay que hacer un pequeño cálculo, para esta forma hay que

hacer uso del teorema coseno, debido a que para esta forma solo tomamos línea de un solo lado

o sea que, solo alineamos con una de las estaciones próximas a la que queremos conocer su per-

pendicular, esta forma se debe emplear en las estaciones próximas al PC o al PT porque casi

siempre son estaciones fraccionarias o en zonas en donde no es posible visar hacia estaciones

completas, completas son aquellas que tienen múltiplos de 20: ejemplo 40, 80, 260, 480…etc.

Page 66: Tratado de Topografia[1]

Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 66

Para el cálculo de esta forma tomamos los siguientes elementos: la distancia que se mide sobre

la línea de la próxima estación, la distancia sobre la línea de radio (a y b), ya sea hacia el interior

o exterior y el ángulo que forma la perpendicular de radio menos o más la deflexión (D) o sea

90-D, si lo hacemos hacia el interior de la curva así: c=√(a²+b²-2ab·cos(90-D)), si lo hacemos

hacia el exterior, la fórmula cambia ya que hacia ese lado debemos sumar a la perpendicular del

radio la deflexión (D) o sea 90+D, c=√(a²+b²-2ab·cos(90+D)).

Si tratáramos de establecer la perpendicular de una estación cualquiera haciendo uso del tránsi-

to, teodolito, aparato o como se le quiera llamar, tendremos que centrarlo en la estación y tomar

línea en cualquiera estación conocida y después calcular la deflexión que hay entre la estación

que queremos conocer su perpendicular y la estación en donde tomamos línea. Una vez que

hayamos visado procedemos a leer nuestro ángulo para orientar la perpendicular, si lo hacemos

hacia el interior de la curva nuestro ángulo será, 90 grados menos la deflexión que corresponde

al punto visado, si lo hacemos hacia el exterior nuestro ángulo será, 90 grados más la deflexión

que corresponde al punto visado. Si usamos 400 grados hacer lo que corresponde.

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 67

SECCIONAMIENTO DE LA LINEA DEFINITIVA

Las secciones en la línea definitiva se tomarán en las estaciones que se hayan definido para el

eje o línea central del proyecto, estas pueden ser 10 o 20 metros, por lo general la que más se

acostumbra es la de 20 metros, ya que se considera que para proyectos de carreteras es suficien-

te, por supuesto que donde hay accidentes importantes se deben tomar secciones también.

El seccionamiento de la línea central se puede hacer de dos formas: una de ellas es ir tomando

lecturas en la estadia o regla utilizando para ello un nivel de mano, partiendo de la línea central

o eje y tomando este punto como cero, a este método se le llama “secciones en más y menos”,

la otra es como ya lo hemos dicho en páginas anteriores, esta consiste en acotar la línea central

con la elevación de proyecto, también para esta otra forma hacemos uso del nivel de mano, esta

última forma de seccionar es conveniente para objeto de diseño, ya que si se tratara de diseñar

obras que requieran el empleo de alguna pendiente resulta más fácil para el diseñador. Las sec-

ciones son muy importantes ya que servirán para conocer los volúmenes de material que se mo-

verán en el proyecto.

En zonas en donde la pendiente transversal del terreno es muy fuerte, se deberán prolongar las

secciones más de lo normal, esto debido a que cuando se realiza la construcción del proyecto se

pueden tener problemas con los derrumbes en las zonas de corte o desmonte, y en las zonas de

relleno podría arrancar la construcción en partes en donde no se conoce el terreno, todo esto es

importante tomarlo en cuenta a la hora de hacer el seccionamiento.

En terrenos planos y con buena visibilidad podemos hacer uso del nivel de precisión para tomar

las secciones ya que este instrumento nos permite leer mejor la regla o estadia a mayores distan-

cias, aunque esto conlleva pérdida de tiempo pero, esto no importa porque se compensa con la

precisión.

Para seccionar con el nivel de precisión en cualquier tipo de terreno, ya sea este plano o incli-

nado, se hace necesario elaborar una planilla para hacer la anotación de las lecturas sobre el

terreno y en los puntos de cambio, esto de la misma forma como si estuviéramos haciendo una

nivelación de la línea central, con la diferencia de que anotaremos las distancias relacionadas al

eje, en las casillas en donde se anotan las estaciones o abscisas cuando nivelamos la línea cen-

tral del proyecto.

Page 68: Tratado de Topografia[1]

Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 68

USO DE LA ESTACIÓN TOTAL PARA HACER LEVANTAMIENTOS.

La estación total es uno de los instrumentos de reciente aparición dentro de los avances tec-

nológicos que están orientados para el trabajo de topografía y que agilizan el trabajo del topó-

grafo, ya que este instrumento tiene la capacidad de hacer mediciones con mucha precisión y

que además permite acumular en su memoria interna grandes cantidades de datos tomados en el

campo, que resultan de gran ayuda para el trabajo de levantamientos topográficos de cualquier

tipo.

Si se tratara de hacer un levantamiento empleando para ello una estación total, el procedimiento

sería diferente al usado con instrumentos convencionales, ya que este instrumento no necesita

una cinta para medir, lo hace por medio de un reflector, también llamado prisma y la emisión

de un rayo infrarrojo o laser para realizar la medición. Cuando se hace uso de la función laser no

es necesario emplear el prisma ya que esta función no lo necesita. La estación total emplea el

uso de coordenadas x, y, z, y utiliza para su cálculo el acimut y la distancia inclinada, que es la

que mide al momento de tomar un punto; a cada punto que se toma le aplica estos elementos,

además de otros que también forman parte de la información almacenada en su memoria inter-

na y que pueden servir para ver áreas en donde se tenga duda de algún error.

Cuando hacemos uso de la estación total, lo importante es ir ubicando puntos de estación en

sitios que nos permitan observar áreas importantes de terreno, esto hace que podamos hacer en

menos tiempo nuestro levantamiento. Se ha comprobado que los programas de diseño y que

generan la topografía del terreno, trabajan mejor cuando los puntos están ubicados sobre líneas,

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 69

no necesariamente tienen que ser líneas completamente paralelas como las que se hacen cuando

el levantamiento se hace con instrumentos convencionales, estas pueden ser líneas imaginarias

u orientas con jalones* o simplemente varas de árboles. El uso de la estación total nos permite

hacer un trabajo con mucha precisión, la rapidez con que hagamos el trabajo es relativa, ya que

si nos encontramos trabajando en áreas cubiertas de vegetación y de regular altura, tendremos

que ir haciendo brechas de visado casi como lo haríamos con los instrumentos conocidos.

Una de las ventajas de la estación total es que se puede ir codificando todos los elementos to-

mados en el sitio del levantamiento, tales como el terreno natural, casas, árboles…etc. Esto de

llevar codificado el levantamiento permite ver el levantamiento con todos sus detalles al mo-

mento de ser descargados al ordenador.

El trabajo con la estación total nos da la ventaja de poder ir llevando la información del levan-

tamiento dentro de su memoria interna y de manera precisa, lo que hacemos es llevar un barrido

de puntos dentro de una franja de terreno seleccionada, lo demás está dirigido al trabajo de ga-

binete, en donde el encargado del diseño hará lo pertinente de acuerdo a su criterio y experien-

cia. Siempre será de mucha importancia las anotaciones que vaya llevando el topógrafo en su

libreta, ya que también le serán útiles al diseñador, además podemos decir que siempre será de

mucha importancia el buen criterio del topógrafo, y su colaboración con el personal de gabinete

al momento de ver la información descargada al ordenador. Por otra parte, la ubicación del ali-

neamiento estará a cargo del diseñador, quien dará al topógrafo la información necesaria, al

momento de establecer la línea definitiva del proyecto de acuerdo a lo que este encontró conve-

niente al observar el levantamiento.

Cada vez contamos con nuevos instrumentos que nos facilitan el trabajo de topografía, ya que

los avances tecnológicos también han involucrado esta ciencia, esto solo nos demuestra la im-

portancia del trabajo del topógrafo. Podemos decir que a pesar de contar hoy en día con instru-

mentos avanzados y que casi lo hacen todo, esto no hace que dejemos de usar los instrumentos

convencionales, estos seguirán usándose por mucho tiempo todavía, tal vez por lo costoso que

resultan los nuevos y otras porque en algún momento dado podrían llegar a fallar y no tenga-

mos como reemplazarlos. Lo importante es que conozcamos el procedimiento para hacer el tra-

bajo de topografía, pues ese es el objeto de este tratado. Más adelante trataremos en una parte

especial lo de la estación total y su funcionamiento, podemos decir que este hace lo que el

topógrafo ha hecho siempre. Debido a que el trabajo de topografía tiene su grado de compleji-

dad, alguien tuvo la idea de fabricar un instrumento que le ofreciera soluciones más prácticas al

topógrafo para la realización de su trabajo y así de esta forma apareció este novedoso instru-

mento.

La palabra jalón, es una palabra compuesta que también viene del inglés, ya que en este idioma

trompo se escribe hub y se pronuncia job y long que quiere decir largo, entonces job long trom-

po largo y que nosotros ahora llamamos simplemente jalón.

* La palabra jalón viene del inglés hub long, que significa trompo largo.

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 70

COMO REFERENCIAR LA LINEA CENTRAL

Fig 26

Forma 1

Forma 2

Establecimiento de referencia para la línea central

Una vez que se ha realizado el levantamiento del proyecto en su totalidad y que se considera

que este es fiable, procederemos a referenciarlo para posteriores replanteos. Como ya lo hemos

dicho todo levantamiento de topografía debe referenciarse, esto porque en cualquier momento

habrá que hacer algún trabajo dentro del mismo y puede suceder que cuando tengamos que

hacerlo haya pasado ya mucho tiempo y como es de esperarse, los materiales usados cuando se

hizo por primera vez ya hayan desaparecido por acción del tiempo y su exposición a los elemen-

tos (los trompos o tacos de madera), es allí cuando se hace necesario el uso de la referencia.

Page 71: Tratado de Topografia[1]

Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 71

En las carreteras así como en cualquier otro trabajo se acostumbra establecer puntos de referen-

cia temporales o sea que servirán mientras dura la ejecución del proyecto, siempre lo más con-

veniente son las referencias permanentes hachas de concreto, las referencias temporales se es-

tablecen sobre trompos de madera enterrados de forma vertical y a buena profundidad dentro del

suelo, es decir que tengan buen tamaño y que asomen sobre el suelo un máximo de 2 centíme-

tros para evitar que el golpe de cualquier objeto los pueda desviar de la línea. Para la fabricación

de estos trompos se hace necesario que la madera sea gruesa pero manejable, no gruesa en exce-

so, que tenga muy buena consistencia, es decir, madera fina y que a la vez esté completamente

seca, no es recomendable hacerlos de madera recién cortada o lo que llamamos madera verde,

aunque esta tenga buena apariencia debido a que al secarse reduce su espesor y podría aflojarse

y por lo tanto moverse la línea.

La colocación de estos trompos para referencia se hará un tanto alejada de la línea central pero,

siempre a una distancia que nos permita establecerlos afuera del derecho de vía, para evitar que

sean dañados por la maquinaria que se usa para la ejecución del proyecto, para esto se estable-

cerán dos líneas, línea #1 y línea #2, ambas unidas en un punto común que, en este caso es el eje

o línea central del proyecto. Para ubicar la primera de estas líneas se hace necesario visar sobre

la línea de proyecto con el instrumento en cero, ya sea adelante o atrás, la forma más común es

visando hacia delante, y girando el instrumento hacia el lado en donde se establecerán los pun-

tos P1 y P2 (ver dibujo), ambos sobre la misma línea además de colocarle un clavo a cada uno

siempre sobre la línea.

La forma de visar para dar inicio a la colocación de las referencias dependerá de la costumbre

en cada lugar. A estos puntos habrá que medirles la distancia siempre relacionada a la línea cen-

tral, ya sea que se trate de PC, PT, POT o PST, PI…etc. de preferencia la distancia de P1 a P2,

debería ser mayor que la que hay entre el eje y P1, igual que la distancia entre P3 y P4 pero,

como esto no siempre se logra por las condiciones del terreno o por otras causas, entonces se

eligen otras opciones. El ángulo hacia la primera línea de referencia deberá ser uno que nos

permita colocar la distancia al primer punto (P1), afuera de la línea del derecho de vía aunque

no tan alejado de esta ( ángulo A), para el siguiente ángulo o sea el que definirá la otra línea

(Linea2 ) se debe tener mucho cuidado, siempre se debe tratar de colocar un ángulo no menor a

60 grados, aunque el ángulo más conveniente es el de 90 grados ya que el error que podemos

obtener al interceptar las líneas será el mínimo. Con ángulos menores a 60 grados la posibilidad

de incrementar el error es mayor al momento de interceptar las líneas. Los ángulos del dibujo se

colocaron como ejemplo para entender cómo hacerlo al momento de referenciar líneas.

Para este tipo de referencias no es necesario que las distancias sean exactas, bastará si se quiere,

hacerlas medidas con estadia, regla o como se llame según la costumbre del lugar o país, ya que

solo se necesitarán para buscar los puntos al momento de hacer algún replanteo o que hayan

sido cubiertas por la vegetación. Esta forma de referenciar nos da la facilidad de hacer uso de la

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 72

línea, ya que para ello solo bastará centrarse en uno de los puntos tomar línea en el otro y aline-

ar, ejemplo P2-P1, colocar estacas y un clavo a media profundidad en cada una de ellas, siempre

donde pasa la línea. Al centrarnos en uno de los puntos P4-P3, ya habremos colocado una línea

sobre las estacas y lo que falta es interceptarla con la línea que viene de los puntos P4-P3, para

ello haremos uso del cordón de una de las plomadas uniendo con este los puntos establecidos

sobre las estacas y con la otra plomada con su cordón rosando el cordón que hace línea con las

estacas y el punto que indique el topógrafo, será nuestro punto de la línea central, en donde

pondremos el trompo para ubicar el instrumento y así hacer el replanteo de la línea. Esto último

que hacemos referencia se pondrá en práctica al momento de hacer replanteos de la línea.

Lo referencias deberán establecerse en los puntos importantes del eje de proyecto o línea central

estos son: PC, PI, PT, POT,…etc. Si la distancia entre PT y el próximo PC es importante habrá

que establecer y referenciar uno o más POT, esto dependerá de la distancia entre los puntos,

estos se referenciarán de forma tal que sean visibles uno del otro para poder visar y así estable-

cer el posterior replanteo.

En el dibujo vemos algunas de las formas que se usan para referenciar líneas, aunque existen

muchas, en algunos casos las líneas pueden ubicarse a ambos lados del eje, podría ser una a la

izquierda y la otra a la derecha, son las condiciones del terreno las que a veces nos indican que

hacer, siempre lo que debemos tratar es que los puntos de referencia queden seguros, de manera

que los podamos encontrar y utilizar siempre que sea necesario.

Cuando un levantamiento se ha realizado con una estación total la forma de referenciar será

diferente, para esto solo será necesario establecer puntos de coordenadas, de preferencia sobre

monumentos de concreto o puntos en lugares que se consideren permanentes, como muros,

puentes aceras de edificaciones, rocas o en cualquier parte que se considere que estarán seguras

y que no serán dañadas. Para referenciar una línea con la estación total no es necesario referen-

ciar las estaciones importantes del alineamiento del proyecto, PC, PT…etc. Esto debido a que

todo el proyecto estará relacionado a las coordenadas de su inicio, y por supuesto los puntos

establecidos como referencia tendrán la misma relación.

Los puntos de referencia se establecen para replantear la línea cuando el proyecto tarda mucho

tiempo para dar inicio a su ejecución y también para poder replantear la línea cuando el proyec-

to está en ejecución, esto debido a que el alineamiento del eje se pierde debido al paso de la ma-

quinaria por el mismo y por la excavación y relleno que se hace para darle forma al proyecto.

Page 73: Tratado de Topografia[1]

Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 73

Fig 27

Forma 3

Como ya lo hemos dicho existen muchas formas para referenciar líneas, la del dibujo es otra que

también podemos aplicar. Este tipo de referencia exige que las distancias sean exactas como

también los ángulos, por supuesto. Como podemos ver, solo hemos establecido un punto para el

PT y uno para el PC, en esta forma como en la otras existentes, lo conveniente sería que las dis-

tancias y los ángulos sean exactos, ya que esto nos daría la ventaja de poder recuperar nuestra

línea con tan solo haber encontrado dos puntos en estaciones próximas, uno en cada una de

ellas, y como siempre, esto implica realizar un cálculo haciendo uso de la trigonometría.

Las referencias de puntos estación dentro de un proyecto se deben hacer a distancias regulares

de forma tal que se pueda observar un punto del otro. El número de estaciones que debemos

referenciar dentro de un proyecto no debería tener límite, entre más podamos referenciar será

mucho mejor, ya que esto nos dará la seguridad de poder mantener nuestra línea base en su sitio.

Para establecer este tipo de referencia podemos hacer uso de árboles que se consideren

permanentes y que estén ubicados a una distancia considerable del eje o línea central, también

podemos hacer uso de rocas y de construcciones permanentes, si las hubieran, siempre teniendo

que emplear para ello objetos metálicos tales como clavos, que sean estos de buena calidad y

siempre será necesario colocarlas en sitios que se consideren visibles, aún después de haber

hacho el movimiento de tierra del proyecto, es decir, cortes o desmontes y rellenos.

Cuando se piensa en replanteos con instrumentos convencionales se recomienda colocarlos a

distancias que se puedan medir de una vez, que no haya que hacerlo por partes ya que esto redu-

ce la posibilidad de equivocarse y de acumulación de error.

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 74

Fig 28

Forma 4

Referencia de punto en curva

Cuando la longitud de una curva es grande resulta conveniente referenciar uno o más POC,

hacemos esto porque si una curva es muy larga puede que haya la posibilidad de acumulación

de error, tanto en la distancia como en el ángulo y como no resulta fácil ir comprobando la línea

a medida que avanzamos, entonces optamos por establecer referencias en puntos de la curva,

como ya lo mencionamos esto será en los puntos llamados POC, esto lo haremos una vez que se

ha comprobado la exactitud de la curva..

En todo trabajo de medición que realicemos siempre existirá la posibilidad de acumular algún

error, es por eso que resulta necesario referenciar la línea. Con el uso de los nuevos instrumen-

tos electrónicos como la estación total, esta posibilidad desaparece casi en su totalidad, esto

debido a que ya no dependemos de la cinta métrica, aunque a estos instrumentos también les

afectan otras causas, tales como los campos magnéticos a veces generados por las líneas de

transmisión eléctrica, la temperatura y como siempre el error humano por lo que habrá que to-

mar en cuenta esto y tener cuidado al momento de trabajar en zonas en donde sospechemos

que podríamos tener algún problema.

Para referenciar puntos en curva lo hacemos de forma diferente a como lo hacemos en líneas

rectas, para esto lo que necesitamos es conocer la perpendicular de la línea del radio, ya que

esta será la línea que nos servirá para ubicar y relacionar nuestros puntos de referencia. Como

no siempre resulta fácil observar el punto del radio o sea donde este arranca, esto podría ser por

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 75

la configuración del terreno, la distancia muy larga, algún obstáculo o exceso de vegetación.

Por lo general el punto del radio casi nunca se establece debido a las condiciones antes descri-

tas, entonces lo que tenemos que hacer es visar en el PC, PT o en otro POC establecido. Para

conocer la perpendicular del radio no se hace necesario visar hacia el punto de este o sobre su

línea, bastará visar sobre uno de los puntos que mencionamos y girar el instrumento desde allí

para orientar la línea hacia nuestra primera referencia, debemos recordar que el dato que lleva-

remos en nuestra libreta de anotaciones y que también se entregará al personal de gabinete, es-

tará relacionado a la perpendicular del radio, tal y como se ve en el dibujo.

Debemos tomar en cuenta que al momento de visar en cualquier otro punto de la curva ya esta-

blecido, estamos incluyendo la deflexión correspondiente a dicho punto, por lo que será necesa-

rio restar al momento de hacer la respectiva anotación, si no se hace por lo menos deberá dibu-

jarse un pequeño esquema a la vez que se anota la información señalando como se estableció la

referencia.

Los puntos referenciados, además de ayudarnos a conservar el alineamiento también nos sirven

para eliminar errores, siempre y cuando estos sean pequeños, sean estos de distancia o errores

angulares, recordemos que la línea se debe referenciar una vez que se ha comprobado que se ha

establecido de manera correcta. Si una vez que hacemos el replanteo y encontramos errores sig-

nificativos habrá que revisar el trabajo, si una vez revisado nuestro cálculo y la medición, vemos

que el error persiste, habrá que comunicarlo al responsable del proyecto para su corrección. Es

importante tomar en cuenta que los errores en curva son fáciles de detectar, ya que si existen el

resultado es que tendremos una línea desplazada y es muy posible que la distancia de llegada

también no coincida con la de nuestro cálculo o el que se nos haya entregado.

Como se ha dicho ya, los puntos de referencia deben establecerse sobre monumentos de concre-

to ya que esto les asegura una mayor permanencia y nos permiten anotar un poco de informa-

ción sobre ellos, la mejor forma de establecer estas referencias es fabricándolas de concreto y

hacerlo en el sitio, para ello será necesario cavar un agujero de buena profundidad, de unos 30

centímetros como mínimo, con un ancho que oscile entre 20 y 25 centímetros y que puedan

quedar sobre el terreno a una altura aproximada de unos diez centímetros. Otra de las formas

que se usa para este tipo de referencia es, fabricar los monumentos en un sitio y llevarlos al

lugar en donde se establecerán de manera permanente, estos tendrán una forma piramidal, para

lograr que se puedan afianzar mejor en el terreno y que pueda resultar más difícil su extracción

por personas que desconocen su importancia. No se recomienda fabricar monumentos de forma

cilíndrica ya que estos se vuelven inestables con los cambios de humedad del terreno y por su

forma resulta más fácil su extracción. En Honduras a estos monumentos les llamamos “min-

gos”, anotamos esto porque es bueno que en otras latitudes conozcan los vocablos empleados

por nosotros para algunos de los elementos empleados para el trabajo de topografía.

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 76

COMO REPONER LINEAS PERDIDAS EN PUNTOS DE REFERENCIA

Fig. 29

Cuando se trata de replantear una línea, ya sea que se trate de una carretera o de cualquier otro

tipo de levantamiento y que estas tengan ya mucho tiempo de haberse colocado, será de mucha

importancia conocer el método para reponer algunos puntos que hayan desaparecido en las refe-

rencias originales y así poder conocer su línea. Lo que acabamos de mencionar se da al momen-

to de llevar a cabo la ejecución del proyecto, que es cuando tenemos que hacer el replanteo de la

línea, porque sucede que los proyectos no siempre se ejecutan una vez que se ha finalizado con

el estudio o levantamiento, y podría suceder que algunos puntos de referencia hayan desapare-

cido, por acciones del tiempo u otras causas, entonces es cuando se hace necesario su reposición

para usarlos durante el transcurso de la ejecución del proyecto a realizarse.

A continuación veremos algunas formas que podemos usar para reponer la línea de las referen-

cias. El método que vamos a ver, es el que podemos usar para reponer líneas cuando para esta-

blecer las referencias originales solo hicimos uso de distancias medidas con la estadia o regla,

por lo tanto estas no son exactas, ya que su error podría andar dentro de los 10 centímetros co-

mo mínimo y no podemos hacer uso de estas distancias porque estaríamos estableciendo nues-

tra línea con error. Debido a lo anterior es que haremos uso de líneas nada más, porque de esta

forma si tendremos una línea con mucha exactitud, aunque también podríamos tener un porcen-

taje de error, porque con las acciones del tiempo nuestros puntos originales podrían haberse

movido pero, en este caso vamos a suponer que nuestros puntos han permanecido en su sitio y

esto nos ofrece la posibilidad de poder replantear nuestra línea con bastante precisión.

En el dibujo de la Fig. 29 podemos ver que ha desaparecido el punto P3 y solo permanecen los

puntos P1, P2 y P4, como podemos ver, es posible observar el punto P4 desde el punto P2, por

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 77

lo que para reponer la línea nos ubicaremos con nuestro instrumento en el punto P2, visaremos

con el instrumento en cero sobre la línea del punto P1 y giraremos hacia el punto P4 para cono-

cer el ángulo C. Una vez que conocemos el ángulo C o sea el que forman los puntos P2-P1-P4,

hacemos la siguiente operación matemática para conocer el ángulo D: D=180-(B+C). El ángulo

B es el ángulo que se estableció entre las líneas originales de la referencia y el ángulo C es el

que leeremos para hacer el cálculo.

Podemos decir que esta es la forma menos complicada para hacer la reposición de la línea, por-

que solo tratamos de completar el triángulo formado por los puntos de la referencia, recordemos

que esta forma y las que veremos a continuación se hace solo con líneas, las distancias no se

incluyen, pues no hace falta, porque para este tipo de referencias se mide con estadia y por lo

tanto, estas distancias tienen un margen de error el cual no permite hacer uso de ellas. En este y

los demás dibujos ponemos como ejemplo el punto P3 como perdido pero, pudiera ser cualquier

punto el que se pierde en la referencia, esto solo se debe tomar como ejemplo, ya que en las

líneas de referencia se pierde cualquier punto, y se han dado casos en que desaparecen los cua-

tro puntos, por lo que en ese caso lo que queda por hacer es, replantear el alineamiento trayén-

dolo desde otros puntos de referencia.

B

Fig. 30

En el dibujo de la Fig. 30 podemos ver otro caso que se nos puede presentar al momento de re-

plantear nuestra línea desde los puntos de referencia. Como podemos ver en el dibujo, en esta

oportunidad no es posible observar el punto P4 desde los puntos P1 y P2, por lo que conviene

centrar nuestro instrumento en el punto P2, visar en el punto P1 y prolongar la línea más allá de

la línea central o eje del proyecto hasta encontrar un sitio en donde podamos establecer el punto

P y que sea posible desde allí observar el punto P4. Una vez que hayamos hecho lo anterior cen-

tramos nuestro instrumento en el punto P procedemos a leer el ángulo C, este se formará al visar

cualquiera de los puntos, P1 o P2 y girar hacia el punto P4, realizado este procedimiento calcu-

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 78

lamos el ángulo D, el ángulo E, es el que nos servirá para ubicar la línea que interceptará la

línea de los puntos P2-P1.

Veamos a continuación nuestro cálculo para resolver el problema, para ello lo hacemos de la

siguiente manera: el ángulo C es el que leímos desde el punto P, D=180-B, E=180-(C+D).

Fig. 31

En la Fig. 31 podemos ver otra forma de la cual podemos hacer uso para un replanteo desde

nuestras referencias, aún cuando hayamos perdido uno de los cuatro puntos. En este caso esta-

bleceremos el punto P en un sitio que se ubica entre la línea central y el primer punto de una de

las líneas P1, lo establecemos allí porque desde allí disponemos de la suficiente visibilidad que

nos permite poder observar el punto P4 y poder así reponer nuestra línea perdida. Establecido el

punto P procedemos a leer el ángulo C visando en uno de los puntos P1 o P2, de preferencia en

el punto P2, ya que este se encuentra a mayor distancia y esto nos reduce el error angular, una

vez que hayamos visado sobre uno de estos puntos, orientamos nuestro ángulo hacia el punto P4

(ángulo C), después lo que sigue es hacer el cálculo de los demás ángulos y lo hacemos de la

siguiente manera:

D=180-C

E=180-(B+D)

En este caso como en el anterior, el ángulo E es el que nos servirá para reponer nuestra línea

perdida y como a veces es posible encontrar algún vestigio del punto perdido, colocamos un

nuevo punto allí y de no existir alguna huella del anterior, habrá que establecerlo con una dis-

tancia aproximada a la distancia original. Siempre en estos casos será necesario establecer un

nuevo punto que reemplace al que se ha perdido, para no tener que estar repitiendo el cálculo

cada vez que haya que hacer un replanteo.

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 79

C= ángulo leído para empezar

Fig. 32

En el dibujo podemos ver otra forma de las muchas que hay para reponer líneas perdidas en

puntos de referencia, en este caso como en los anteriores, empezamos centrando nuestro instru-

mento en el punto P2; las formas que vemos en esta sección son solo para ejemplo y se puede

observar que partimos casi siempre del punto P2, aunque podemos arrancar del punto que esti-

memos conveniente para hacer la reposición de nuestra línea ya que, las condiciones de visibili-

dad hacia un punto de la línea que deseamos reponer serán las que dirán que debemos hacer,

tanto el punto que utilicemos para dar inicio a la solución del problema como el punto perdido,

puede ser cualquiera, no necesariamente tiene que ser el que hemos puesto en el dibujo.

Empezando con este caso, nos ubicamos en el punto P2 para leer el ángulo que orientaremos

hacia el punto P, desde el cual es posible observar el punto P4 y desde allí visando hacia el pun-

to P2 leeremos el ángulo E, orientando este hacia el punto P4 para leer el ángulo F con el cual

llegaremos a la solución final. Lo importante que hay en estas formas de reponer líneas es que,

el punto P se ubique en un lugar en donde sea posible observar el punto existente en la línea

perdida y como se trata de usar solamente líneas para llevar a cabo la solución del problema, lo

que conviene es buscar comodidad para poder centrar el instrumento, siempre y cuando se pre-

senten las condiciones que deseamos: facilidad para centrar el instrumento y visibilidad.

Veamos el cálculo de los ángulos:

C= primer ángulo leído

D=180-(B+C)

D′=D

E= segundo ángulo leído

F=180-(D+E)

Con el ángulo F finalizamos el cálculo, lo leemos y así hemos resuelto el problema.

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 80

Fig. 33

En la Fig. 33 podemos ver una forma diferente a las anteriores, aunque como ejemplo seguimos

usando el punto P3, como punto perdido en la línea, en este caso como en los anteriores el pro-

blema es, el punto perdido y la dificultad de visualización del punto P4 desde los puntos P1 y

P2, por lo que nos vemos en la necesidad de establecer el punto P en un punto medio entre las

líneas. Como podemos ver damos inicio centrando nuestro instrumento en el punto P2, para leer

el ángulo C y lo orientamos hacia el sitio en donde ubicaremos el punto P, una vez establecido

el punto P nos movemos hasta este, nos centramos, tomamos línea en el punto P2 y leemos el

ángulo D, orientándolo hacia el punto P4 de la línea perdida. Terminado este procedimiento

pasamos a hacer el cálculo del ángulo que nos dará la línea perdida y para esto lo hacemos de la

forma siguiente:

B= ángulo de la referencia original

C= primer ángulo leído

D= segundo ángulo leído

E= 360-(B+C+D)

Una vez que hemos realizado este cálculo procedemos a leer el ángulo E con el cual nos orienta-

remos sobre la línea perdida y así estamos listos para hacer la intersección de las líneas.

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 81

REFERENCIA CON DOS PUNTOS

Fig 34

Grupo de fórmulas para resolver esta parte del problema

d= √(a²+b²-2ab·cosA)

cosC= (a²+d²-b²)/(2ad)

D=180-(A+C)

E= B-D

e= √(c²+d²-2cd·cosE)

cosF= (d²+e²-c²)/(2de)

G=C+F

H=180-(E+F)

Fig. 35

En la Fig. 34 hemos referenciado dos puntos, el PT de una curva y el PC de la siguiente curva,

esta forma también se puede usar para colocar puntos de referencia, lo importante de esta forma

es que, las distancias como los ángulos tienen que ser exactos para poder hacer con ellos un

cálculo analítico. Este tipo de preferencia puede funcionar mejor cuando los puntos se estable-

cen en sitios que se consideren permanentes, como edificaciones, puentes, muros, árboles gran-

des, rocas…etc. Podría suceder que estos puntos se establezcan como puntos de referencia ori-

ginales, como también puede darse el caso que cualquiera de estos puntos PT o PC, se hayan

referenciado con más puntos y estos hayan desaparecido por alguna causa y que solo haya que-

dado uno en cada referencia.

Como podemos ver en el dibujo de la Fig. 35, solo contamos con el punto P1 y la distancia “a”

para el PT y el punto P2 y la distancia “c” para el PC de la siguiente curva, los ángulos A y B, la

distancia “b” será la diferencia que hay entre la estaciones del PC y PT, estos elementos que

hemos mencionado son los que usaremos para hacer el cálculo para nuestro replanteo. Para la

solución de este problema haremos uso del teorema coseno, ley de cosenos y ley de senos.

La forma de resolver el problema que estamos tratando podría tener su origen en dos razones,

una podría ser la dificultad de poder centrar el instrumento, tránsito, teodolito…etc, en cual-

quiera de los dos puntos de referencia y la otra es que se pueda centrar el instrumento en alguno

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 82

de ellos y sea imposible visar el otro punto desde allí, esto puede darse cuando los puntos se

establecen sobre muros, en donde el espacio es tan pequeño que imposibilita la ubicación del

instrumento. Esto ocurre porque en partes donde se lleva a cabo la construcción de una obra,

todo el trabajo que se hizo en campo desapareció y después solo se cuenta con los puntos de

referencia para replantear. Es por eso que damos inicio estableciendo un punto en cualquier par-

te, para dar paso al cálculo.

Viendo las fórmulas usadas para resolver el problema, nos podemos dar cuenta que esto nos

puede llevar un poco de tiempo pero, como no hay alternativa no queda más que realizar el

cálculo. Lo que pudimos ver en la Fig. 35 es solo el inicio del cálculo que nos llevará a la solu-

ción del problema, ya que lo haremos en dos etapas, a continuación pasaremos a resolver la se-

gunda etapa para la solución y como se ve, solo estamos resolviendo para un punto, en este caso

para el replanteo del PT. Como en el PC se nos presenta la misma situación, habrá que realizar

el cálculo de la misma forma para este. En esta explicación solo queremos orientar para conocer

la forma que emplearemos cuando tengamos un caso similar durante la ejecución de nuestro

trabajo. Para esta parte haremos uso de la ley de senos, teorema coseno y ley de cosenos.

f= distancia P-P1

I= ángulo formado por los puntos P-P1-P2

senJ= f·senoI/e

K= 180-(I+J)

L= G-K

g= √(a²+f²-2af·cosL)

cosM= (f²+g²-a²)/(2fg)

N= 180-(L+M)

Q= N-A

P

Fig. 36

Como pudimos ver en la Fig. 35, con el cálculo que realizamos conocimos el ángulo G y la dis-

tancia “e” que nos servirán para completar el cálculo y así poder replantear nuestro punto.

Para empezar damos inicio estableciendo el punto P, sobre el cual centraremos nuestro instru-

mento, este punto lo ubicaremos en un lugar que nos permita medir hacia el punto P1 sin pro-

blemas y de ser posible medir con una sola cuerda, que esta se enmarque dentro de lo que nos

permite nuestra cinta métrica. Centrados en el punto P visamos hacia el punto P1, medimos la

distancia “f” y leemos el ángulo I (ver dibujo). Hecho esto damos paso al cálculo de acuerdo a

las fórmulas que vemos al lado del dibujo.

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 83

Como pudimos ver para resolver el problema tuvimos que realizar un laborioso trabajo, este al

igual que otros problemas que nos puede plantear el trabajo de topografía resultan un tanto

complicados pero, si estamos preparados podremos salir adelante haciendo uso de la lógica y la

trigonometría.

Fig. 37

e=√((x4-x2)²+(y4-y2)²)

tanθ= ((x4-x2)/(y4-y2))

Si la diferencia de “x” e “y” es positiva: A1=θ

Si la diferencia de “x” es positiva o negativa y la diferencia de “y” es negativa:

A1= θ+180

Si la diferencia de “x” es negativa y la diferencia de “y” es positiva: A1=θ+360

f= a distancia medida de P-P1

senJ= f·senI/e

G=I+J

A2=A1+G

x5= (f·senA2)+x2

y5= (f·cosA2)+y2

Para PT: tanθ=((x1-x5)/(y1-y5))

g=√((x1-x5)²+(y1-y5)²)

A3= θ+360

De acuerdo a la posición del dibujo el PT se ubica en el noroeste (como ejemplo), por lo tanto el

ángulo θ es negativo.

Esta es otra de las formas que podemos emplear, para llevar a cabo un replanteo de línea central

haciendo uso de referencias, como existen muchas formas esta es una en la cual haremos uso de

coordenadas. En la Fig. 37 tenemos el mismo problema de la figura 36 con la diferencia que en

esta oportunidad trataremos de resolverlo haciendo uso de coordenadas, por supuesto que para

resolverlo, el alineamiento original debe haberse referenciado con coordenadas también.

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 84

USO DE COORDENADAS PARA HACER EL TRABAJO DE TOPOGRAFÍA

A continuación hablaremos un poco sobre el uso de coordenadas, para hacer el trabajo de topo-

grafía y podemos afirmar que, este es el sistema más práctico ya que para realizarlo solo hace-

mos uso de distancia y azimut. El uso del sistema de distancia y azimut es el mismo que usa la

estación total, esto porque el azimut nos da una función trigonométrica directa, dependiendo

del cuadrante donde se ubique este. En Honduras, con la aparición de la estación total y el

GPS, este sistema se está poniendo en práctica o sea que cada vez dependemos más de él, no

sabemos cuáles fueron las causas que llevaron a su exclusión en el pasado, tal vez la causa haya

sido el tradicionalismo o la costumbre, como sucede casi siempre.

Continuando con la solución del problema y cómo podemos ver en el dibujo, solo tenemos refe-

rencia física de coordenadas en los puntos P1 y P2, o sean los únicos puntos en el PT de la pri-

mera curva y el PC de la siguiente, de estos puntos PT y PC, solo conocemos sus coordenadas

teóricas, las coordenadas del punto P las encontraremos al hacer nuestro cálculo después de

haber tomado como base las coordenadas de los puntos P1 y P2.

Para resolver el problema y establecer la línea central podemos hacerlo con estación total o con

un instrumento convencional o tránsito y la cinta métrica, con la diferencia de que al hacer uso

del tránsito, tendremos que establecer el punto P de manera que nuestra cinta alcance cualquiera

Fig. 38

de los puntos, P1 o P2, si lo hacemos con una estación total, la ubicación del punto P puede ser

cualquiera, ya que con este instrumento podemos medir distancias que pueden ir más allá del

alcance de la cinta métrica.

En el dibujo de la Fig. 38, podemos ver cómo se comporta el azimut a través de los cuadrantes,

por lo tanto no hace falta calcular rumbos para conocer las funciones, ya que estas se rigen por

la posición de este, dentro de los cuadrantes.

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 85

Para empezar con el cálculo para la solución del problema haremos uso de las coordenadas del

punto P1, estas son x2 e y2, las del punto P2 que son x4 e y4. Como lo que debemos conocer

primero es el azimut de la línea P1-P2, lo que tratamos de encontrar es la tangente del rumbo

que hay en esta línea, y como el cálculo del azimut no lo podemos hacer de forma directa debi-

do a que, el cálculo nos da la tangente que corresponde a un cuadrante nada más, empezamos

calculando el ángulo θ y la distancia “e” y lo hacemos para el ángulo como sigue:

tang θ= ((x2-x2)/(y4-y2)), ahora para la distancia hacemos lo siguiente: e=√((x4-x2)²+(y4-y2)²),

como es de mucha importancia conocer la distancia para continuar con el cálculo ( la distancia

“e” del dibujo) el resultado de nuestro cálculo nos da, la tangente del rumbo que corresponde a

la línea de los puntos P1-P2 y su distancia, tenemos que observar de antemano la diferencia de

las “x” y de las “y”, esto nos indicará en que cuadrante se ubica nuestra línea, si la diferencia de

las “x” es positiva nos dice que estamos dentro de los cuadrantes 1 y 2, por lo tanto esto nos da

un azimut que está de 0 (cero) a 180 grados, si esta es negativa nos dice que nos ubicamos en

los cuadrantes 3 y 4, a sea que nuestro azimut está entre 180 y 360 grados. Si la diferencia de las

“y” es positiva nos está dice que nuestro azimut se ubica en los cuadrantes 1 y 4, o sea que nues-

tro azimut estará de 0 a 90 grados o de 270 a 360 grados, parece complicado pero la verdad es

que no es tanto como parece.

Veamos aquí algunas formas para calcular el azimut de una línea determinada, para lo cual es

importante observar lo que debemos hacer al momento de tratar de conocerlo en una línea que

solo tenemos sus coordenadas. Con el uso de los nuevos instrumentos resulta necesario poner en

práctica este método ya que esta forma está desplazando el método tradicional.

Vamos a suponer que solo contamos con coordenadas en dos puntos y en base a ellas trataremos

de resolver el problema que planteamos en la Fig. 37, para ello lo haremos de la siguiente mane-

ra:

tangθ= ((x4-x2)/(y4-y2))

e=√((x4-x2)²+(y4-y2)²)

Al hacer este cálculo estamos conociendo la función tangente del rumbo que se ubica en un

cuadrante determinado, ahora para conocer el acimut es importante observar los siguientes

parámetros:

Si la diferencia de las “x” es positiva y la de las “y” , también es positiva quiere decir que nues-

tro azimut es un ángulo que se ubica entre 0 y 90 grados, círculo de 360 grados en caso de hacer

uso de un círculo de 400 grados, hacer lo que corresponde. Veamos qué hacer en los diferentes

casos:

Si la diferencia de las “y” es negativa aplicamos la siguiente fórmula: A= θ+180, sumamos 180

porque el ángulo θ, en este caso es negativo, A es el azimut que queremos conocer y θ es el

rumbo calculado, siempre debemos tomar en cuenta el signo del rumbo y hacer la suma alge-

braica y el resultado que obtenemos es un azimut que se ubica entre 90 y 270 grados. Si la dife-

rencia de las “y” es positiva y la de las “x” es negativa modificamos la fórmula así: A= θ+360,

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 86

en los dos casos que mencionamos θ tiene un signo negativo. Siempre debemos tomar en cuenta

el signo del ángulo θ. Todo esto lo podemos realizar con una calculadora científica común, si

disponemos de una calculadora programable y logramos introducir estas fórmulas en un pro-

grama todo esto nos resultará más fácil.

Continuando con la solución del problema una vez que conocemos el azimut de la línea en don-

de tenemos referencia, hacemos uso ahora de la ley de senos para darle valor al punto P, para

esto debemos ubicar el punto P en un sitio en que podamos observar los punto P1, P2 y que

nuestra cinta métrica alcance hasta el punto P1, para medir la distancia “f” y poder a la vez leer

el ángulo I.

senJ= f·senI/e

G=I+J

A2= A1+G

Fig. 38

En el dibujo de la Fig.38 hemos dibujado una línea espiral que representa el movimiento del

azimut a través de los cuadrantes, cada vez que se ubica en un cuadrante, sus funciones trigo-

nométricas serán las mismas que corresponden al rumbo que se ubica en ese cuadrante. El azi-

mut puede ser mayor que 360 grados y cada vez que pase por determinado cuadrante, tendrá las

mismas funciones que corresponden a dicho cuadrante. Esto último a que hemos hecho referen-

cia solo lo podremos ver al hacer un cálculo analítico, cuando tratamos de sumar un ángulo que

puede llegar a sobrepasar los 360 grados, con el instrumento no ocurre esto, porque este tiene un

círculo que se cierra al llegar a los 360 grados y arranca de nuevo con cero grados.

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 87

Fig. 39

TEOREMA DE SNELLIUS

Referencia original

*Si se está usando goniómetro de 400 grados este ángulo será 50 y 180 pasará a ser 200.

Para empezar quiero decir que Snellius, fue un matemático de origen holandés, su verdadero

nombre era Willebrord Snel van Royen, célebre por haber creado también la ley de la refrac-

ción, quien además de haber creado este teorema, también desarrolló otras leyes no menos im-

portantes. Tomado de Wikipedia.

Este teorema no solo le sirvió a Snellius. Como lo han hecho los grandes forjadores de esta y

otras ciencias, sus creaciones no solo les han servido a ellos, también nos sirven a nosotros hoy

en día y le seguirán sirviendo a todos aquellos que se dedican al trabajo de topografía y tengan

la necesidad de resolver problemas relacionados con su labor diaria. Este teorema sirve para

referenciar cualquier trabajo de topografía, lo que se tiene que hacer previamente es ubicar hitos

en lugares donde sean visibles. Para esto es importante tomar en cuenta una cosa; los puntos

deben ubicarse en lugares de fácil observación, que sean visibles por lo menos tres de ellos, ya

que se requieren tres para hacer el cálculo.

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 88

Es importante recordar al momento de hacer el cálculo, que las distancias (PQ) y (QR) son co-

nocidas, lo mismo que el ángulo C, estos datos deben conocerse al momento de establecer los

hitos. Las distancias que hay entre los puntos P-Q y Q-R, las hemos sustituido por las letras “a”

y “b” para hacer menos complicada la fórmula.

También es bueno hacer una observación: este teorema es el que usa el GPS para calcular la

posición en cualquier punto de la tierra. La idea de crear el GPS, vino porque el topógrafo tenía

muchas limitaciones cuando necesitaba hacer trabajos que se ubicaran más allá de los puntos de

observación establecidos y que se deseaba relacionarlos. Para ello tendría que haber establecido

infinidad de hitos o medir grandes distancias, para poder asociarlos con los ya existentes, lo cual

le complicaba mas su labor, o por otra parte, tenía que establecer nuevos hitos para cada locali-

dad, no pudiendo estos estar relacionados con los de otros trabajos, o sea que para cada trabajo

solo tendría referencia local.

Hemos incluido en esta sección el teorema de Snellius, ya que es de gran ayuda para referen-

ciar puntos en trabajos de topografía y cómo podemos ver, existen muchas formas para referen-

ciar puntos en líneas.

En cualquier zona en donde a menudo se hacen trabajos de topografía, deberían existir hitos

establecidos para referenciar líneas en trabajos de topografía, especialmente en lugares como

ciudades y valles, y con más razón, cuando estos lugares tengan montañas en sus proximidades,

ya que esto le daría más seguridad a las referencias. Estos puntos, además de darle seguridad a

las referencias, nos permiten ubicar cualquier trabajo que se haya hecho, aún cuando todo haya

desaparecido en el sitio.

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 89

L= ángulo original de la refrerencia

θ=S´-S

d=√(T´²+T²-2T´·T·cosθ)

cosK=((T´²+d²-T²)/(2T´d))

M=180-(K+θ)

Fig. 40

Replanteo

A continuación veremos cómo funciona este teorema cuando lo aplicamos al trabajo (ver figura).

Una vez terminado nuestro trabajo, ya sea este un polígono o cualquiera otro trabajo, debemos

ubicarnos en un punto de nuestra línea, visar otro punto de la línea en mención y leer el ángulo

que se forma entre nuestra línea y el primer hito. Hecho esto lo que sigue es leer los ángulos A y

B, partiendo del hito al cual leímos nuestro primer ángulo, ya que estos ángulos son los datos

que faltan para realizar nuestro cálculo y poder así, dejar amarrado nuestro trabajo a la referencia

previamente establecida (los hitos).

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 90

Al momento de referenciar un trabajo y utilizar para ello el teorema de Snellius, no será necesa-

rio en ese momento calcular las distancias T, U y V, solo será necesario leer los ángulos A y B,

este cálculo se puede hacer al momento de hacer el replanteo, bastará con leer el ángulo que se

forma entre de una de las líneas de la poligonal y el primer hito, este es el ángulo L. Si el topó-

grafo que estableció por primera vez la referencia, continua desarrollando el trabajo dentro de la

poligonal, perfectamente puede realizar el cálculo si así lo desea. Con el cálculo lo que tratará

de encontrar son las distancias T, U, V, y los ángulos E, y S, y en el replanteo las distancias T′,

U´, V′ y los ángulos E´ y S´, los ángulos A´ y B´, tendrá que leerlos desde su nuevo punto de

ubicación.

Una vez hecho lo anterior, en cualquier momento en el futuro se tendrá la necesidad de replan-

tear el trabajo y para ello se debe hacer uso del teorema nuevamente. Para el replanteo de este

teorema como para muchos de los ejemplos de este tratado, tal vez haremos uso de simbología

arbitraria o sea que los símbolos en muchos de los casos corresponderán a cada ejemplo en es-

pecial.

Suponemos que en el área de trabajo se perdió todo y ahora solo se cuenta con los hitos para el

replanteo, lo primero que haremos es: ubicarnos en donde se piense que un punto del trabajo

anterior está muy cerca, para esto nos ubicamos en un punto cualquiera y tomamos línea en

cero en el hito 1 y leemos el ángulo entre este y el hito 2 (este es el ángulo A´ ), después visa-

mos hacia el hito 2, en cero nuevamente y leemos el ángulo entre este y el hito 3, este es el

ángulo B´. Hecho esto procedemos a realizar nuestro cálculo, tomando para ello los ángulos A´

y B´, las distancias PQ-QR y el ángulo C.

Para ubicar el punto anterior hacemos nuevamente el cálculo del teorema con los nuevos datos

(A´ y B´ ) y para lo demás haremos uso del teorema coseno y de la ley de cosenos. Con el teo-

rema coseno calcularemos la distancia “c”, que es la que nos unirá al punto referenciado ante-

riormente. Se supone que para este cálculo ya hemos calculado las distancias T´, U´, V´, el

ángulo E´ y el ángulo S´, aunque en este caso solo usaremos la distancia T, T´ y el ángulo que

obtenemos al restar S´ de S. Si el ángulo S´ es menor que S, entonces nuestro ángulo para cal-

cular la distancia “c” será, S-S´. θ=S-S´

Ahora solo falta calcular el ángulo K, y la distancia “c”, para lo cual haremos uso del teorema

coseno y la ley de cosenos así: c=√(T²+T´²-2TT´·cosθ).

cosK=(T´²+c²-T²)/(2T´c). Aclaramos que para nuestro cálculo usamos los símbolos del dibujo

de la figura.

Al hacer uso de este teorema, podemos decir que estamos tratando referencias especiales, para

lo cual no necesariamente debemos tener establecidos puntos especiales como hitos, por ejem-

plo, el topógrafo puede hacer uso de árboles, estructuras o cualquier otro objeto que le permita

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 91

tener segura su referencia. Esto lo puede poner en práctica en cualquier momento y en cualquier

tipo de trabajo. El topógrafo debe hacer lo propio en su área de trabajo, lo importante es que

haga uso de los valores encontrados al momento de hacer su cálculo. Este teorema es de mucha

utilidad en trabajos que son repetitivos, por ejemplo, el replanteo de puentes y otras obras de

importancia.

Resulta de mucha importancia recordarle al topógrafo que todo trabajo, por pequeño que sea,

debe referenciarse para no tener problemas en replanteos que se hagan en el futuro. Por lo gene-

ral en trabajos relacionados con medidas de terrenos (poligonales), casi nunca se les pone refe-

rencia y resulta que cada vez que se hacen trabajos relacionados con estos, haya que medirlos de

nuevo. Al repetir las medidas hace que perdamos el tiempo valioso que bien podría servirnos

para desarrollar nuestro nuevo trabajo.

Al momento de hacer el replanteo, es importante tomar en cuenta la posición en que ubicaremos

el punto para centrar el instrumento, en la figura podemos ver cuál es la mejor forma, si nos

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 92

ubicamos en una posición parecida a la que está en la parte de abajo del dibujo, podríamos tener

un resultado erróneo ya que tendríamos ángulos muy cerrados.

PI

θ

θ= (180·L)/(π·R)

D= ½θ

A2= A1+D

x2= x1+(S·senA2)

y2= y1+(S·cosA2

E= Estación

L= E-PC

S= secante o cuerda entre los puntos PC y E

D= deflexión que corresponde a la estación

Fig. 41

COMO CONOCER LAS COORDENADAS DE UNA CURVA CIRCULAR

Para conocer las coordenadas de una curva circular, es necesario conocer algunos parámetros

para realizar el cálculo, estos parámetros son los siguientes: las coordenadas del PC, las coorde-

nadas del PI o de cualquier punto de la línea entre PC y PI, el radio de la curva y la estación que

vamos a establecer, si no conocemos coordenadas de la línea entre PC y PI, por lo menos debe-

mos conocer el azimut de esta línea, ya que esto bastará para hacer nuestro cálculo.

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 93

Conocer coordenadas de una curva circular en muy útil, porque esto nos da la facilidad de po-

der ubicarnos en cualquier parte para poder establecer los puntos de la curva. Este método tiene

las mismas funciones de lo que pudimos ver en la sección donde tratamos la forma de observar

la curva desde afuera del PC, y como hoy en día el uso de la estación total se ha puesto tan de

moda, será de mucha utilidad para el topógrafo conocer este procedimiento.

El uso de coordenadas para el trabajo de topografía, nos ofrece mejores condiciones que el

método tradicional, ya que para conocer la distancia y el azimut entre dos puntos no tenemos

que hacer cálculos laboriosos y complicados, especialmente en aquellos casos en que se hace

necesario conocer la distancia entre dos vértices de una línea quebrada, para esto solo se necesi-

ta hacer uso del teorema de Pitágoras y usar la lógica y el razonamiento. Más adelante vere-

mos que el uso de azimut y coordenadas, se puede emplear para cualquier trabajo de topografía,

y notaremos que resulta ser el más práctico.

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 94

CALCULO DE POLIGONAL CON DISTANCIA Y AZIMUT

En la figura número, tratamos de mostrar la forma en que se puede calcular una poligonal,

haciendo uso solamente de distancia y azimut.

Con este método ya no hace falta realizar el tan tedioso cálculo de rumbos, cálculo este que nos

absorbe tanto tiempo, con esto estamos tratando de mostrar la forma que se comportan las fun-

ciones trigonométricas cuando de calcular una poligonal con acimut se trata.

Primero veremos la función SENO.

Para esto siempre será necesario tomar en cuenta el tipo de instrumento que estemos usando, ya

sea uno con círculo graduado con 360 grados o uno graduado con 400 grados.

La función seno en acimut de 0 a 180 grados es positiva ( de 0 a 200 gradianes) y de 180 a 360

es negativa (de 200 a 400 gradianes), por lo tanto, esto nos ahorra el tiempo que nos ocupamos

calculando los rumbos.

A continuación veamos un ejemplo: Un acimut de 135 grados (150 gradianes) es igual a un

rumbo de 45 grados SE (50 gradianes), por lo tanto, el seno de 135 grados (150 gradianes) es

igual al seno de un rumbo de 45 grados SE (50 gradianes), en ambas formas es positivo.

Ahora veamos la siguiente forma: Un acimut de 225 grados (250 gradianes), tiene un seno

negativo, igual al seno de 45 grados SW (50 gradianes), entonces para que calcular rumbos, si el

acimut nos da la misma función y en una forma directa.

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 95

CALCULO DE POLIGONAL CON ACIMUTES

En la figura número, tratamos de mostrar la forma en que se puede calcular una poligonal,

haciendo uso solamente de distancia y acimut.

Con este método ya no hace falta realizar el tan tedioso cálculo de rumbos, y que nos absorbe

tanto tiempo. Estamos tratando de mostrar la forma que se comportan las funciones trigonomé-

tricas, cuando de calcular una poligonal se trata.

Fig.

Función COSENO.

Al trabajar con azimut y distancia, ya sea para el trabajo de medición de poligonales, poligona-

les abiertas, alineamientos de carreteras o cualquier otro tipo de trabajo, no quiere decir que

cada vez que nos ubiquemos en un punto tengamos que visar al norte para leer el azimut sobre

la línea siguiente, no, esto solo lo haremos en el punto d inicio, a partir de allí el ángulo que

iremos leyendo en el instrumento será nuestro acimut.

Antes de dar paso a lo que vamos a tratar, daremos una breve explicación respecto al compor-

tamiento de las funciones trigonométricas al hacer uso del azimut, el acimut nos da una función

directa no hay la necesidad de calcular rumbos, la función dependerá de la posición de este

dentro del círculo o cuadrantes, veamos adelante como funciona.

El coseno de 0 a 90 grados es positivo lo mismo que, de 270 a 360 grados que también es posi-

tivo. El coseno de un azimut de 45 grados es positivo, lo mismo que el coseno de un rumbo de

45 grados NE. El coseno de un acimut de 280 grados es positivo lo mismo que el coseno de un

rumbo de 80 grados NW. El coseno es positivo en los cuadrantes 1 y 4, y es negativo en los

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 96

cuadrantes 2 y 3. Podemos crear una línea espiral dentro del círculo y siempre que esta pase por

los cuadrantes 1 y 4, el coseno será positivo.

Para trabajar con este método lo que necesita el topógrafo es: 1) Anotar las coordenadas del

punto de inicio o arranque: 2) leer el acimut sobre la línea entre el punto de inicio y el siguiente

punto y medir su distancia. Una vez hecho lo anterior lo que falta por hacer es, calcular las pro-

yecciones. Para la proyección en (x), multiplicar la distancia por el seno del acimut, y para la

proyección en (y) multiplicar la distancia por el coseno del acimut.

Ahora para calcular la coordenada (x) del punto, solo tiene que sumar la proyección en (x) a la

coordenada (x) del punto de inicio y para calcular la coordenada (y) del punto, debe sumar la

proyección en (y) a la coordenada (y) del punto de inicio (siempre de acuerdo a su signo) y así

sucesivamente.

Haciendo uso de este método, el topógrafo puede ir calculando las coordenadas de cada punto

de la poligonal, desde el mismo momento en que toma la distancia y lee el azimut. Una vez que

el topógrafo ha llegado al último punto de la poligonal y puede observar el punto de inicio, ya

puede hacer el cálculo de las coordenadas de llegada y compararlas con la coordenadas del pun-

to de arranque de la poligonal.

Este método es aplicable también para poligonales abiertas, porque nos da la ventaja de poder ir

probando nuestro trabajo, (siempre y cuando sea posible observar el punto de inicio desde nues-

tro recorrido) aunque esto no siempre se logra.

El topógrafo debe saber que no es posible encontrar un polígono perfecto, porque siempre exis-

ten condiciones adversas, que a veces sin notarlo nos impiden lograrlo, estas pueden ser errores

humanos, instrumentales o de ambiente, pero debemos procurar obtenerlo de la mejor manera

posible dentro de los parámetros permitidos para cada trabajo. ¿Como lo vamos ha lograr?. Te-

niendo cuidado al realizar nuestro trabajo.

Este procedimiento es de mucha utilidad y le da la seguridad al topógrafo en el mismo momen-

to en que cierra el polígono, para saber que su trabajo se ha hecho muy bien. Si hubiera algún

error; allí mismo lo puede revisar, no tiene que esperar hasta llegar a la oficina para darse cuen-

ta.

Error de distancia= √ [((x) de llegada-(x) de inicio)²+((y) de llegada-(y) de inicio)²]. El error de

azimut lo puede comprobar cuando se ubique en el punto de inicio, tomar línea en el último

punto y visar al punto que precede al punto de inicio de la poligonal, el acimut tiene que ser

igual al acimut de inicio o muy aproximado, porque es muy difícil encontrar error cero, si no

encontramos error en el ángulo lo encontraremos en la distancia, pero siempre debemos tener

mucho cuidado para que el error sea lo más mínimo posible.

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 97

USO DE COORDENADAS

Las coordenadas (x e y), son los valores numéricos de un punto dentro de un plano cartesiano

en dos dimensiones. Si lo queremos en tres dimensiones, entonces le agregamos la (z) que re-

presenta la cota o elevación, respecto a un punto, ya sea este el nivel del mar o un nivel local

establecido únicamente para nuestra zona de trabajo. A este conjunto de coordenadas “x”, “y” y

“z” se les da el nombre de tripleta de coordenada. Las coordenadas nos dan la facilidad de po-

der ubicar cualquier punto u objeto dentro de un plano, tan solo haciendo uso de un lápiz y una

regla para unir puntos (cuando se trata de unirlos con líneas). Esto es si estamos trabajando de-

ntro de un papel cuadriculado.

Hoy en día se ha puesto muy de moda el uso de coordenadas para realizar el trabajo de topograf-

ía, debido quizás a que los nuevos instrumentos, tales como el GPS y la Estación Total, basan su

funcionamiento en el empleo de coordenadas y observándolo desde el punto de vista práctico, es

que resulta más fácil hacer el trabajo incluyendo para ello el uso de coordenadas.

Resulta importante recordar que en nuestro tiempo con el avance del ordenador la mesa de

dibujo tiende a desaparecer, ya que este (el ordenador) se encarga de todo, a la vez que nos

facilita el trabajo de dibujo y nos permite con mayor agilidad corregir errores si los hubiéramos

cometido durante la ejecución del dibujo y muchas cosas más. Mencionamos aquí dibujo, por-

que el topógrafo durante la realización de su trabajo, también tiene que hacer trabajo de dibujo.

Movimiento del acimut a través de los cuadrantes

Cuadrantes seno coseno

En la Fig. podemos ver el comportamiento del acimut, este va de 0 a 360 grados, tomando

como cero el norte en un círculo graduado en 360 grados. Esto es como si tuviéramos un circulo

y nos ubicáramos en su centro, visando hacia el norte (0), cada vez que nos ubicamos en un

punto, este será igual al centro del círculo, con la diferencia de que para continuar tenemos que

anotar en nuestro instrumento, el acimut que leímos cuando lo establecimos.

Page 98: Tratado de Topografia[1]

Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 98

Las coordenadas son elementos que parten desde el centro del eje de un plano cartesiano, en donde

el centro es el origen de las mismas. El centro de este eje puede tener coordenadas cero en (x) y

cero en (y), aunque esto no es una norma a la cual nos debemos apegar, todo dependerá de la

modalidad que adoptemos para ejecutar nuestro trabajo, ya sean coordenadas locales o coordena-

das UTM las que tienen más uso en nuestros días y con las cuales podemos asociar un proyecto

con otro en cualquier parte del planeta. Queda claro que el topógrafo trabaja por lo general en áreas

pequeñas, quizás los proyectos de mayor longitud son las carreteras.

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 99

CÁLCULO DE RUMBOS O AZIMUT A PARTIR DE PUNTOS DE COORDENADAS CONOCIDAS

Veamos cómo podemos calcular la orientación entre dos puntos en donde solo conocemos sus

coordenadas, esto dependerá de la diferencia algebraica al hacer la resta de las “x” y las “y”:

R=Rumbo

D=distancia

x2-x1>0= E tanR=(x2-x1)/(y2-y1)

x2-x1<0=W D=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)

y2-y1>0=N

y2-y1<0=S

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 100

Como al dividir las diferencias de “x” e “y” lo que obtenemos como resultado es la tangente

del rumbo que corresponde a determinado cuadrante, se hace necesario utilizar este para calcu-

lar el acimut, siempre tomando en cuenta su signo.

A=acimut

1.- y2>y1 y x2>x1 entonces A=R+0=resultado menor que 90 (dif. x-y positiva)

2.- y2<y1 y x2>x1 entonces A=R+180 =resultado menor que 180 (dif. x-y negativa).

3.- y2<y1 y x2<x1 entonces A=R+180 =resultado mayor que 180 (dif. x-y positiva).

4.- y2>y1 y x2<x1 entonces A=R+360=resultado menor que 360 (dif. x-y negativa).

Las formas de esta tabla la podemos usar para calcular el acimut entre dos puntos de coordena-

das conocidas.

Aquí podemos ver cómo es posible calcular el rumbo o el acimut, de una línea determinada,

siempre y cuando tengamos sus coordenadas, las del inicio y las del final de dicha línea. Si la

diferencia en (x) es negativa, esto nos dice que dicha línea está orientada hacia el oeste. Para

esto tenemos que restar la (x) de adelante a la (x) del punto en donde nos ubicamos. Ahora si

restamos la (y) de adelante a la (y) de nuestro punto y resulta que es negativa, esto nos da a

entender que nuestra línea se orienta hacia el sur, por lo tanto este rumbo será SW.

Seguimos, si tenemos una diferencia positiva en (x) y una diferencia negativa en (y), esto nos

dice que tenemos un rumbo SE. Ahora para convertirlo en acimut lo que tenemos que hacer es

restar este rumbo a 180 grados, 180-rumbo. En la figura (7a) tenemos un rumbo NE, por lo

tanto el acimut es igual al rumbo. En la figura (7b) tenemos un rumbo SE, ahora para obtener

nuestro acimut, lo que haremos es: restar a 180 grados ese rumbo.

Continuando con la figura (8c) tenemos un rumbo SW, porque cuando hicimos nuestro cálculo

encontramos diferencia negativa en (x), lo mismo que en (y), y esto nos dice que para conocer

nuestro acimut, sumamos este rumbo a 180 grados. En la figura (8d) tenemos un rumbo NW,

debido a que cuando hicimos la resta en (x), encontramos una diferencia negativa y en la resta

en (y) tuvimos una diferencia positiva, por lo tanto nuestro acimut será igual a 360- el rumbo

encontrado en nuestro cálculo.

Page 101: Tratado de Topografia[1]

Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 101

ESTABLECIENDO COORDENADAS EN UN PUNTO CUALQUIERA.

A C

b=√[(x2-x1)²+(y2-y1)²]

tan AC= (x2-x1)/(y2-y1)

sen C= (c. sen θ)/b

x3

y3

A=180-(C+θ)

Acimut AB= acimut (AC)+A

x3=x1+(c.sen(acimut(AB))

y3=y1+(c.cos(acimut(AB))

Fig.

Si la diferencia en “x” e “y” es positiva el resultado no necesita modificación porque el azimut

es igual y el cálculo nos dice que estamos en el cuadrante “1” o sea NE. Si la diferencia en “y”

es negativa y en “x” es positiva, sumamos 180 al resultado, al sumar tendremos un número infe-

rior a 180 grados, debido a que obtuvimos un resultado negativo. Si la diferencia en “y” es ne-

gativa y en “x” es negativa también sumamos 180 grados y el resultado será un ángulo mayor a

180 grados, esto es porque al dividir las diferencias en “x” e “y” fue positiva porque ambas

diferencias eran negativas. Si la diferencia en “y” es positiva y la diferencia de “x” es negativa

sumamos 360, el resultado de la suma será menor que 360 grados, porque el resultado obtenido

fue negativo.

El problema que nos ocupa ahora es el de la figura. Trataremos de darle valores al punto B, para

el cual tenemos datos de coordenadas en los puntos A y C. Para calcular las coordenadas del

punto B, debemos aportar los siguientes datos: La distancia (a), la distancia (c) y el ángulo θ.

Primero que todo procedemos a calcular la distancia y el acimut sobre la línea que hay entre A y

C, para lo cual hacemos lo siguiente: para la distancia hacemos uso del teorema de Pitágoras

usando la diferencia en (x) e (y), para el acimut empleamos el método de la tangente, fórmula 6

del mismo teorema.

Si las distancias que hay entre los puntos A y C son cortas, tan cortas que podemos alcanzarlas

con la cinta que usemos para medir, podemos hacer uso del teorema coseno, para verificar si la

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 102

distancia entre los puntos A y C es la correcta, suponiendo que con anticipación hemos calcu-

lado la distancia entre ambos puntos.

Una vez que hayamos hecho uso del teorema coseno, b=√(c²+a²-2ac.cosθ), ahora hacemos uso

de la ley de cosenos para calcular el ángulo A, cos A=b²+c²-a²

2bc

Volviendo al problema (Fig.10), se nos puede presentar una situación en que nos resulta impo-

sible medir desde el puntos B a los puntos A y C, entonces lo que tenemos que hacer es lo si-

guiente: ubicamos el punto B, lo más próximo al punto A, de manera que lo alcancemos con

nuestra cinta de medir pero, que nos permita poder observar el punto C. Una vez que hayamos

medido la distancia al punto A, lo que sigue es, leer el ángulo BAC , o sea el ángulo θ de la Fig.

10.

Conviene recordar aquí el teorema de Pitágoras el cual nos sirve para conocer la distancia AC

y su Acimut, para la distancia aplicamos la fórmula 3) del teorema: AC= √((x2-x1)²+(y2-y1)²) y

para el acimut de la línea AC, hacemos lo que sigue: Formula 6) del teorema de Pitágoras,

tan (A-C)= x2-x1

y2-y1

Continuando con el problema de la Fig. 10, aplicaremos al problema la ley de senos como si-

gue: 1) seno C= c seno θ

b

:2) A= 180-(θ+C). Una vez hecho esto, tratamos ahora de conocer el acimut sobre la línea AB,

para lo cual sumamos el ángulo A al acimut AC.

Ahora calculamos las coordenadas del punto B, tomamos para el cálculo de la (x) la distancia

(c) y la multiplicamos por el seno del acimut AB, a la coordenada (x) del punto A, le sumamos

el producto de la multiplicación, de acuerdo a su signo y el resultado de esta suma es la coorde-

nada (x) del punto B.

Ahora calculamos la coordenada (y) del punto B. Tomamos la distancia (c) y la multiplicamos

por el coseno del acimut AB, una vez hecha la multiplicación tomamos la (y) del punto A y le

sumamos el producto de esta, de acuerdo a su signo y esta será la coordenada (y) del punto B.

Para calcular la distancia (a) hacemos uso del teorema coseno, tomando como base las distan-

cias AC, la distancia (c) y el ángulo A o lo hacemos por medio del teorema de Pitágoras así:

√((x2-x1)²+(y2-y1)²).

La estación total Leica tc805 hace lo que acabamos de explicar con un programa que tiene in-

tegrado y que se llama Estación Libre. Para la estación total, la distancia entre los puntos no

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 103

tiene importancia, ya que estos instrumentos son capaces de medir distancias mayores a las que

podemos medir con la cinta métrica y lo hacen con mucha precisión.

Para realizar este cálculo la estación total, hace uso del teorema coseno y la ley de cosenos,

esto es porque puede medir las distancias a los puntos A y C, lo mismo haríamos nosotros si las

distancias estuvieran al alcance de nuestra cinta de medir.

Levantamiento en Monjarás, departamento de Choluteca, Honduras.

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 104

LA ESTACIÓN TOTAL

El topógrafo operando la Estación Total, mientras su ayudante coloca el reflector en un punto.

El funcionamiento de la estación total con respecto al transito tradicional, es muy diferente. La

estación total, hace uso de su memoria interna, para llevar toda la información del trabajo que

se realiza en el campo, utilizando para ello el sistema de coordenadas y la asignación de un

código a cada elemento que compone el levantamiento, para de esa forma poder manejar mejor

la información a la hora de hacer el trabajo en gabinete, oficina o centro de diseño.

Podemos decir que con el aparecimiento de la estación total, el trabajo del topógrafo se ha re-

ducido grandemente, ya que su desempeño ahora se limita al manejo de esta e ir dibujando un

pequeño esquema, que le servirá para cotejar al trabajo al momento de descargarlo en la ofici-

na o centro de diseño. También puede ir anotando los puntos importantes que le serán de mu-

cha utilidad para replanteos posteriores.

Page 105: Tratado de Topografia[1]

Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 105

Transfiriendo la información de campo desde la estación total al ordenador.

Para poder procesar la información de campo tomada con la estación total, se debe disponer de

un ordenador para poder manejarla. En primer lugar debemos disponer de un programa previa-

mente instalado, propio de la estación total que se esté usando, para poder transferir los datos

al ordenador, ya que estos programas difieren de acuerdo a la marca de la estación.

Una vez transferidos los datos al ordenador, también se hace necesario disponer de otro pro-

grama de diseño instalado, para poder así ir manejando los datos y realizar cualquier trabajo

relacionado con nuestro levantamiento.

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 106

Nube de puntos levantados con la Estación Total y descargados al ordenador.

Así se ven los puntos tomados en el campo con la estación total y descargada al ordenador.

Aquí las curvas de nivel generadas basándose en los puntos

Levantamiento con Estación Total

Hay algunas cosas que es muy importante considerar al momento de hacer un levantamiento

con la estación total, una de ellas es: la de procurar que al momento de hacer el barrido de pun-

tos sobre el terreno, estos se establezcan sobre líneas, estas pueden estar orientadas a partir de

objetos y no necesariamente tienen que estar sobre líneas paralelas, lo importante es que la sepa-

ración entre dichas líneas no sea tan excesiva, para que al generar la topografía nos de una for-

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 107

ma realmente representativa de lo que es el terreno, estas líneas deberán estar a distancias que

nos permitan mostrar el terreno tal como es. Para esto podemos hacer uso de objetos tales como

jalones, estacas o cualquier otro objeto para alinearse, esto se debe hacer para evitar que las

líneas que representan las curvas de nivel, se crucen unas con otras al momento de generar la

topografía en el ordenador. La otra cosa es evitar aumentar el trabajo en gabinete sin necesidad,

ya que esto puede ir ordenado desde el momento en que se realiza el levantamiento, esta es la

que trata de los detalles del levantamiento.

Lo que tratamos en el párrafo anterior está debidamente basado en experiencias obtenidas en

trabajos hechos con las estaciones totales, el objeto de hacer esto en el campo lleva la finalidad

de evitar tener que estar haciendo interpolaciones en gabinete motivado por no haber tomado en

cuenta las consideraciones antes mencionadas. Si al momento de hacer tal o cual levantamiento

no tomamos en cuenta esto y empezamos a tomar puntos en desorden, el resultado será una to-

pografía engañosa, porque el programa que genera las curvas de nivel no analiza estos detalles.

En cuanto al trabajo de gabinete el encargado de este, deberá separar los elementos que compo-

nen el levantamiento, esto le ayudará a que el trabajo con sus elementos se vea mejor. Explicán-

dolo mejor la persona encargada deberá generar la topografía del terreno con los puntos del te-

rreno natural y aquellos que estuvieran sobre las líneas. Los puntos con la estación total no re-

quiere que el topógrafo vaya levantando por etapas los elementos que componen el levanta-

miento, es decir: el terreno natural en un grupo, casas u otros objetos en otro…. esto no tiene

importancia ya que al ejecutar el programa en gabinete, este cuenta con modalidades que le

permiten separarlos de acuerdo al código asignado a cada punto.

La estación total supera al trabajo que se hace con los instrumentos convencionales, nos da mu-

cha precisión, agilidad y nos ahorra tiempo; lo del tiempo resulta un tanto relativo, ya que si

estamos tratando de hacer un levantamiento en terrenos cubiertos con vegetación muy alta, ten-

dremos que hacer brechas de visado, para poder hacer radiaciones hacia los puntos que debemos

tomar, también en aéreas con muchos obstáculos se pierde tiempo debido a la posición en que

están ubicados los objetos.

Debido a que todo punto que se toma con la estación lleva los tres elementos base del levanta-

miento, estos son: x, y, z, el programa en el ordenador no está en la capacidad de diferenciar

entre un elemento y otro del levantamiento, esto es porque podrían estar en desorden, como en

realidad lo es, por lo tanto el encargado de generar la topografía en el ordenador deberá integrar

primero los puntos que corresponden a un código y después los demás. Una vez que se haya

generado las curvas de nivel, se podrá entonces integrar los detalles, tales como puentes, casas,

aceras, tuberías, postes, arboles y cualquier otro objeto que hayamos encontrado durante nuestro

barrido de puntos ya que si lo hacemos integrando todo de una vez, tendremos una nube de pun-

tos en forma desordenada y por lo tanto esto nos dará como resultado curvas de nivel mostrán-

donos algo que no es lo correcto.

Page 108: Tratado de Topografia[1]

Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 108

El objeto de hacer lo antes expuesto, es para tener en la curvas de nivel algo realmente represen-

tativo del terreno, por lo que solo quedará ir integrando aquellos puntos de importancia, tales

como entradas y salidas de tuberías ya que estos puntos serán muy útiles al momento de realizar

el diseño del proyecto.

Para este, como para todo trabajo de topografía, debe mantenerse una comunicación constante

entre el topógrafo y el personal encargado de realizar el trabajo en gabinete, porque está claro

que quién conoce mejor el terreno en el sitio del levantamiento es el topógrafo, por lo tanto,

este siempre tendrá que ir dibujando un pequeño esquema con los detalles más importantes, ya

que como la estación va codificando cada punto, no será necesario que el topógrafo vaya ano-

tando todo lo encontrado a su paso.

La estación total y el GPS, tan de moda hoy en día, se basan en el uso de coordenadas. ¿Por-

que?. Porque es la forma más práctica que hay para hacer el trabajo de medición.

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 109

PROBLEMAS ESPECIALES

Fig. 42

Teorema especial

Este es un problema que se nos puede presentar en la carretera, a veces generado por alguna

falla en la misma o por algún cambio de línea que se quiera realizar. Para resolver este teorema

necesitamos lo siguiente: 1) Conocer la distancia que nos vamos a separar de la línea LC, “m”:

2) Conocer la distancia que hay desde el PT, al punto en donde nos separamos de la LC, “j”.

Para realizar el cálculo de este teorema, no tenemos que modificar el ángulo de la curva origi-

nal, solo necesitamos trabajar a partir del PT, después si se quiere trabajar con un solo PI, en-

tonces lo que se debe hacer es, sumar o restar el ángulo θ al ángulo del PI, esto es si nos hemos

movido hacia la derecha (ej. dibujo). Si el movimiento fue hacia la izquierda lo que tenemos que

hacer es, restar el ángulo θ al ángulo del PI y modificar las tangentes.

Cabe señalar que la modificación solo se hará a las tangentes, al ángulo central y la estación del

PT, no así el PC, ya que este se mantendrá en el mismo sitio. Conviene aquí también tomar en

cuenta otro detalle; la curva que sigue a la que se ha modificado también se verá afectada debi-

do a que la línea fue desplazada, por lo tanto; su posición también cambiará.

Esta situación no siempre se presenta durante el desarrollo de nuestro trabajo, pero igual que en

otros tipos de trabajo, a veces se presentaran problemas y como responsables de la ejecución de

los mismos debemos estar preparados para enfrentarlos sin contratiempos.

Page 110: Tratado de Topografia[1]

Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 110

El trabajo de topografía es tan diverso, que poco a poco nos vamos dando cuenta de que existen

más y más formas dentro del mismo, quizás más de las que ya conocemos.

Espero que este tratado sirva como una herramienta, para ayudar ha resolver algunos de los

problemas que se nos presentarán durante la ejecución de nuestro trabajo, cualquiera que sea.

Vuelvo a repetir aquí que este aporte en realidad es pequeño, tal vez no sea lo suficiente pero,

pienso que en algo le puede servir al topógrafo.

Mencionaré aquí que el trabajo de construcción involucra a otras personas además del topógra-

fo, aunque todas relacionadas con el mismo. Podemos mencionar a ingenieros, arquitectos, di-

bujantes o delineantes, calculistas…etc., pues todos ellos dan su aporte durante su desarrollo,

sea este del tipo que fuere.

Fig. 43

En la Fig. 43, podemos ver el caso que vimos anteriormente en donde se ha producido una falla

en la carretera, por lo que nos vemos en la necesidad de mover la línea, con la idea de separar-

nos del problema que se nos ha presentado. En este caso la falla se produjo en el lado derecho,

por lo que el movimiento de nuestra línea, lógicamente se hará hacia la izquierda.

Para empezar a resolver el caso, damos inicio midiendo la distancia que hay desde el PT al pun-

to en donde se encuentra la falla “j”, esta medida la haremos siempre por la línea central. Una

Page 111: Tratado de Topografia[1]

Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 111

vez medida esta distancia, medimos una distancia perpendicular a la anterior “m”, y que a la

vez nos permita ubicar nuestra línea sobre un terreno seguro.

Una vez que hemos dado estos pasos procedemos al cálculo de nuestra línea, para lo cual toma-

remos como base la distancia que medimos desde el PT “j”, la distancia perpendicular “m” y el

radio de la curva que vamos a acortar “R”. Lo primero que haremos es: calcular el ángulo A,

dividiendo la distancia “j” sobre el radio “R” más la distancia “m” esto lo hacemos con una de

las formas del teorema de Pitágoras o sea por el método de la tangente A=tan(j/(R+m)). Hecho

lo anterior procedemos a calcular la distancia “t”, esta la calcularemos también con otra de las

formas del teorema de Pitágoras extrayendo la raíz al cuadrado del radio más “m” y la distan-

cia “j”, t=√((R+m)²+j²). Continuamos ahora calculando el ángulo B, también haciendo uso del

teorema de Pitágoras esta vez lo haremos por el coseno, cos B=R/t. Nos quedan aún otros da-

tos por calcular, estos son: el ángulo θ, la tangente que corresponde a la sección que acortare-

mos y la fracción de arco que restaremos a la curva.

Para encontrar el ángulo θ, lo hacemos de la siguiente forma: θ=B-A, θ′=θ. Continuamos con el

calculo de la tangente T2 de la siguiente manera: T2=R·tan(θ/2), Esta tangente (T2) será la que

restaremos al PT para ubicar el punto del PI, que corresponde al arco de curva que vamos a re-

star a la curva principal, este punto quedará ubicado sobre la línea de tangente de nuestra nueva

línea, a partir de este punto y sobre la línea de nuestro cálculo o sea sobre el ángulo de nuestro

desplazamiento mediremos la distancia de T2 hacia atrás y así ubicaremos el punto de nuestro

nuevo PT o sea PT′. Una vez que hemos dado todos estos pasos solo queda darle valor al nuevo

PT. Para darle valor a PT′ tenemos que calcular el arco del tramo que vamos a restar LC, lo

hacemos por medio de la fórmula siguiente: LC=(R·π·θ)/180. Hecho lo anterior procedemos a

restar a la estación del PT la distancia del arco LC y esta será la nueva estación del PT de la

curva.

Como ya lo explicamos en la otra forma, la estación del PC no cambia, los cambios solo se pro-

ducen en la parte que modificamos la curva. Si queremos cambiar los datos de lo que queda de

la curva original solo tenemos que restar el ángulo θ al ángulo central y así calculamos los nue-

vos datos de la curva. Está claro que si una vez hecho el cálculo queremos convertir todo a una

sola curva, la posición del PI cambiará ya que el cálculo modifica su posición., este se modifica

si se acorta o se prolonga la curva.

Como ya lo hemos explicado en la parte que trata la forma de cómo prolongar la curva, en don-

de apuntamos que la curva de adelante también se verá afectada, porque con el cambio la línea

se desplazó, por lo que será necesario trazarla de nuevo. Siempre que se haga este tipo de ope-

ración es muy importante observar el terreno en la parte donde se ubica la curva de adelante, no

vaya a suceder que resolvimos el problema de la curva que prolongamos o acortamos y después

tengamos dificultades en la curva siguiente. En este como en cualquier cambio de línea, siempre

debemos ser muy cuidadosos y tomar en cuenta todos estos detalles, ya que de eso dependerá

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 112

que el trabajo quede bien hecho y enmarcado dentro de las normas recomendadas para el pro-

yecto en donde nos encontremos trabajando.

Para evitar el que podamos tener algún problema al realizar este tipo de trabajo, resulta de mu-

cha importancia observar con anticipación el terreno por donde pasará la nueva línea o sea el

cambio generado por el problema.

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 113

LEVANTAMIENTO RADIAL CON TRÁNSITO

Cuando tenemos que hacer levantamientos en aéreas pobladas donde podemos encontrar cual-

quier tipo de construcción, se hace necesario ubicar todo lo que se encuentre dentro de la zona

del levantamiento, especialmente las casas. Esto lo encontramos frecuentemente cuando hace-

mos levantamientos urbanos para desarrollo de proyectos, ya sean para instalación de tuberías

de agua potable, alcantarillado sanitario, pavimentación, instalaciones eléctricas…etc. Para

hacer este tipo de levantamiento habrá que establecer la línea con anticipación, esta puede ser la

línea central del proyecto o cualquier otra, siempre amarrada a la línea central o eje de proyecto.

Este tipo de levantamiento se puede hacer de varias maneras, vamos a mencionar tres, empe-

zando con la de hacer el levantamiento de forma radial (figura) o sea haciendo uso del aparato,

tránsito…etc, con el cual haremos radiaciones desde un punto establecido para tal fin, a la vez

que haremos mediciones con la cinta métrica a los puntos que corresponden, también las medi-

ciones se pueden hacer con la estadia, entendiéndose que esto lo podemos hacer cuando las dis-

tancias no requieren tanta precisión, generalmente en proyectos de agua potable y electricidad.

Cuando hacemos levantamientos de forma radial, tenemos alguna dificultad debido a que tene-

mos que ir dibujando los objetos y las líneas que los unirán con nuestro punto, desde donde

hacemos las radiaciones, para esto tenemos que hacer uso de un transportador para dibujar la

línea de nuestro ángulo y sobre ella anotar la distancia que corresponde. Siempre se hace nece-

sario llevar el trabajo de forma ordenada, para evitar que se den situaciones en donde no se en-

tienda lo que se hizo en el levantamiento y haya que repetir el trabajo, ya que esto acarrea un

costo adicional.

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 114

Para hacer este tipo de trabajo, centramos el instrumento en una estación de la línea central,

visamos en otra estación, de preferencia visando hacia delante, sobre esta línea ubicaremos el

cero para cada caso y desde allí partirán los ángulos a cada punto del objeto a levantar. Cuando

son casas las que hay que levantar, es muy importante anotar el nombre del propietario, ya que

esto será de mucha utilidad como referencia del proyecto y siempre que sea posible medir las

distancias hacia el fondo de las casas.

COMO HACER UN LEVANTAMIENTO CATASTRAL CON CINTA MÉTRICA

c= E3-E1

cosA= (a²+c²-b²)/2ac

d=a·senA

e=a·cosA

E2=E1+e

En el dibujo, estamos presentando una forma más que podemos emplear para hacer un levanta-

miento, en este caso se trata de hacer el levantamiento de objetos, utilizando para ello solamente

la cinta métrica y las plomadas, este tipo de levantamiento nos da mucha precisión y agilidad.

Para este tipo de levantamiento como en la forma anterior, se hace necesario haber establecido

la línea con anticipación, puede tratarse de la línea central o eje de proyecto o simplemente es-

tablecer una línea afuera del eje pero, siempre relacionada a este. Este tipo de levantamiento nos

proporciona una mayor facilidad al momento de hacer el dibujo, ya que en nuestros datos del

levantamiento, la información que llevaremos será la estación que corresponde a cada punto del

objeto (esquinas de casas por ejemplo) y su distancia de acuerdo a la perpendicular de la esta-

ción que corresponde.

Para hacer uso del levantamiento con cinta métrica, lo primero que debemos observar es que el

objeto a levantar se ubique dentro de dos estaciones ya establecidas, ya que de allí partiremos

con la medición hacia el objeto en mención, ya pueden ser árboles, muros, esquinas de casas o

cualquier otro objeto que esté dentro del área del levantamiento, para esto haremos uso de la

trigonometría ya que hay que hacer un pequeño cálculo, este lo podemos hacer con una calcula-

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 115

dora científica común y si pudiéramos hacerlo con un ordenador a una calculadora programable,

nos resultará más fácil debido a que, el cálculo lo estaremos haciendo de forma repetitiva.

Damos inicio midiendo de la estación E1 hacia un punto del objeto, esta será nuestra distancia

“a” del dibujo, luego nos ubicamos en la estación E3 y medimos hacia el punto del objeto que

medimos anteriormente y esta será la distancia “b”, la distancia “c” la obtendremos al restar, E3

menos E1: c=E3-E1. Una vez que tenemos las distancias procedemos a calcular el ángulo A em-

pleando para ello trigonometría. Para calcular el ángulo A, que es el único que necesitamos,

haremos uso de la ley de cosenos así: cosA=(a²+c²-b²)/2ac, ahora procedemos a conocer la dis-

tancia y la estación que está perpendicular al objeto: d=distancia= a·senA, e=distancia entre E1 y

E2: e= a·cosA.

Como en este tipo de levantamiento lo que anotaremos en nuestra libreta será, la estación y la

distancia, siempre será necesario dibujar un pequeño esquema, para mejor comprensión de lo

que trata el levantamiento, porque se entiende que las distancias que anotaremos están normales

o perpendiculares a la estación que encontramos con el cálculo que hicimos.

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 116

LEVANTAMIENTO CON CINTA EN CURVA

Objeto hacia el exterior de la curva

G=grado de curva= 1800/π/R

R=1800/π/G

D=( E3-E1)· (G/20)

c=2R·senD

cosA= (a²+c²-b²)/2ac

B=90-D

C=A+B

e=√(a²+R²-2aR·cosC)

d=e-R

cosF=(R²+e²-a²)/2Re

L=arco entre E1 y E2=

F/G·10,=(R·π·F)/180

E2=E1+L

Esta forma al igual que la empleada cuando tratamos de ubicar un objeto relacionado a la línea

central en recta o tangente, damos inicio identificando las estaciones de las cuales tomaremos

referencia, en este caso (ejemplo del dibujo) las estaciones E1 y E3; de la estación E1 medire-

mos la distancia “a” y de la estación E3 mediremos la distancia “b”, la distancia “c” la encon-

tramos al restar la estación E1 de la estación E3.

Como en este caso se trata de ubicar un objeto relacionado a la línea central en curva, tenemos

que hacer un cálculo un poco más complejo pero, como es posible que contemos por lo menos

con una calculadora científica, no tendremos mucho problema. Como el objeto está en una zona

de curva, se hace necesario conocer el radio o el grado de curvatura, ya que ambos elementos

estarán involucrados en el cálculo (ver la tabla de fórmulas junto al dibujo).

La idea de hacer un levantamiento empleando el método de la cinta, es porque resulta menos

complicado que al hacerlo con el tránsito, a la vez que resulta más fácil, por lo tanto tenemos la

ventaja de hacerlo en menos tiempo y con menos complicaciones para el trabajo de gabinete. La

cinta es uno de los elementos indispensables dentro del equipo de topografía, ya que con ella

podemos hacer muchos trabajos.

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 117

LEVANTAMIENTO CON CINTA EN CURVA

Objeto hacia el interior de la curva

G=grado de curva= 1800/π/R

R=1800/π/G

D= (E3-E1)· (G/20)

c=2R·senD

cosA=(a²+c²-b²)/(2ac)

B=A+D

C=90-B

e=√(a²+R²-2aR·cosC)

d=R-e

cosF=(R²+e²-a²)/(2Re)

L=arco entre E1y E2=

(F/G·10), =((R·π·F)/180)

E2=E1+L

Fig.

En este caso Fig. como en el anterior, damos inicio midiendo las distancias a un punto del obje-

to que queremos levantar, estas son las distancias “a” y “b”, para obtener la distancia “c” o sea

la secante que hay entre las estaciones E1y E3, la obtenemos haciendo el siguiente cálculo para

encontrar la deflexión D, que hay de E1 a E3, multiplicamos la distancia que hay por el arco

entre estas estaciones y la dividimos por el grado de curva o curvatura entre 20.

D=G/20·10.

c=2R·senD

Para el resto del cálculo podemos ver la tabla al lado de la figura, allí podemos ver todo el pro-

cedimiento que debemos emplear para hacer un levantamiento con cinta. Huelga recordar aquí

lo que hemos dicho antes, si el topógrafo cuenta con la ayuda de un ordenador portátil o una

calculadora programable esto le resultará mucho más fácil de hacer.

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 118

COMO MEDIR UN POLÍGONO CERRADO CON CINTA

La cinta métrica (wincha en América del Sur) es uno de los elementos importantes que se em-

plean para hacer el trabajo de topografía, esto cuando se trata de equipo convencional, si se trata

de hacer uso de los nuevos equipos como la estación total, esta es sustituida por otro elemento

pero, como el trabajo de topografía tal como lo conocemos hasta el día de hoy ha dependido en

gran parte del uso de la cinta métrica o sea de el equipo tradicional, pensamos que todavía lo

seguiremos utilizando por algún tiempo más, es por ello que, presentamos estos ejemplos para

que nos formemos una idea de lo que somos capaces de hacer en topografía utilizando para ello

únicamente la cinta, las plomadas, y como ahora ya no dependemos de las tablas de funciones

trigonométricas, nos auxiliamos con una calculadora científica.

En la figura podemos ver un ejemplo de una medición con cinta, en donde no hacemos uso del

tránsito o teodolito para conocer los ángulos en sus vértices, podemos decir que al medir un

polígono haciendo uso de la cinta tendremos un margen de error, porque no es lo mismo alinear

con un instrumento que hacerlo a ojo pero, tratándose de conocer aéreas de forma rápida, pode-

mos decir que es suficiente el empleo de la cinta. Es posible que el error se refleje más en la

medida angular, ya que si somos cuidadosos el error en la medida será muy mínimo debido a

que esta la estaremos haciendo como si lo hiciéramos usando el tránsito o teodolito.

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 119

Para hacer una medición de este tipo damos inicio formando un triángulo, posicionándonos en

el vértice inicial medimos una distancia sobre la línea del vértice anterior y otra distancia visan-

do sobre la línea del siguiente vértice. Si para el cálculo hacemos uso de la ley de senos, las dis-

tancias tienen que ser iguales, tanto la distancia medida hacia atrás “a” como la distancia medi-

da adelante “b”, una vez que hayamos medido estas distancias se hace necesario conocer la dis-

tancia que hay entre los extremos de las distancias “a” y “b” y esta será la distancia “c”. A con-

tinuación veremos las fórmulas que vamos a emplear para conocer el ángulo en el vértice que

estamos utilizando, este es el ángulo A del dibujo y lo hacemos de dos formas. Forma 1 emple-

ando para ello la ley de senos: sen½A= c/2a. Para la forma 2 hacemos uso de la ley de cosenos,

para hacerlo con la ley de cosenos no es necesario que las distancias “a” y “b” sean iguales ya

que para el empleo de esta ley no tiene importancia, puede hacerse con cualquier distancia,

veamos la fórmula o ecuación: cosA= (a²+b²-c²)/2ab.

Como es de esperarse, no todos los ángulos en un polígono o poligonal van en un mismo senti-

do, habrá casos en que los tendremos en sentidos diferentes, por lo que debemos ser cuidadosos

y observar su posición al medir este tipo de polígono, lo que tratamos es conocer los ángulos

internos que por supuesto, serán menores que 180 grados o 200 si fuera el caso. En el caso en

que el giro sea en sentido contrario, el ángulo que calcularemos estará hacia el exterior del polí-

gono, por lo que tendremos que restar este ángulo a 360 o 400 si fuera el caso, para de esta for-

ma conocer el ángulo interno.

Una vez que conocemos todos los ángulos del polígono o poligonal, lo que queda por hacer es,

conocer el aérea. Existen varias formas para conocer el área, una de ellas es hacerlo de forma

analítica, para esto se hace necesario trabajar con las distancias que hay entre los distintos vérti-

ces, para ir formando triángulos. Una vez conocidas las distancias y los ángulos, procedemos a

calcular el área que hay entre los vértices 1, 2 y 3 del dibujo (como ejemplo), empleando la ley

de senos de la siguiente manera: area= (a·b·senA)/2. Como para emplear otras formas se hace

necesario conocer la distancia que hay entre V1 y V3, empleamos para ello el teorema coseno,

vamos a mencionar aquí que las distancias para el cálculo empleando la ley de senos como el

teorema coseno son las que separan los vértices: c=√(a²+b²-2ab·cosA). Como para el desarrollo

del cálculo tenemos que hacer varios triángulos, los símbolos que identifican las distancias irán

cambiando, la fórmula del teorema es solo el ejemplo.

Otra formas que podemos emplear para conocer el área de un polígono levantado con cinta o

wincha es haciendo uso del ordenador, dibujando dentro de un programa de diseño y auxilián-

donos con los datos del levantamiento, también con el ordenador podemos hacer uso de una

hoja de cálculo y de igual forma, ingresando los datos del levantamiento es decir, ángulo y dis-

tancia debidamente comprobados. Si se tratara de conocer el área de un polígono pequeño en

donde es posible medir las diagonales entre vértices, no se hace necesario calcular los ángulos

salvo que se tenga que dibujar. Para conocer el área hacemos uso del teorema o fórmula de

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 120

Herón, haciendo triángulos utilizando solo las distancias “a”, “b” y “c” así: s=(a+b+c)/2,

área=√(s·(s-a)·(s-b)·(s-c)).

Como hacer el cálculo analítico de un polígono de este tipo no resulta del todo fácil, habrá que

empezar formando el primer triángulo con los tres primeros vértices, esto hará que los ángulos

restantes se vayan descomponiendo, debido a que para el primer triángulo se tendrán que calcu-

lar los ángulos que se forma en los extremos de las distancias y estos ángulos habrá que ir

restándolos a los ángulos ya calculados. Junto al dibujo hemos colocado la tabla de fórmulas

que nos pueden ayudar para resolver un polígono cuando se presentara el caso, los símbolos del

dibujo sirven nada más para ilustrar el procedimiento que debemos llevar a cabo.

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 121

COMO ENCONTRAR PUNTOS DE REFERENCIA CON CINTA MÉTRICA

Cuando tenemos que hacer un replanteo de un proyecto, en donde haya pasado mucho tiempo

después de haber realizado el estudio y que este se haya referenciado debidamente, se hace ne-

cesario establecer la línea haciendo uso de las referencias originales. Como sucede casi siem-

pre, con la acción del tiempo la parte visible de los monumentos o mojones de concreto que se

colocaron ha desaparecido, esto debido a que el terreno o la vegetación los han cubierto, es en-

tonces cuando tratamos de encontrarlos haciendo uso de la cinta métrica.

Para hacer esto necesitamos llevar el cadenamiento desde una estación conocida, hasta llegar al

sitio del punto que queremos replantear, lo que hacemos es una medida rápida que nos permita

ubicarnos en un lugar muy próximo al punto deseado. Una vez ubicados en la estación corres-

pondiente procedemos a calcular un triángulo en donde uno de sus vectores (el vector AB), nos

indicará la línea sobre la cual fueron establecidas originalmente las referencias. Para calcular el

triángulo procedemos a medir una distancia sobre el que suponemos es el alineamiento original,

esta distancia puede ser cualquiera y el tipo de triángulo que seleccionemos para el cálculo pue-

de ser, rectángulo u oblicuángulo ya que con los dos tipos podemos hacer el cálculo. Es necesa-

rio conocer el ángulo original con el cual se orientaron las referencias respecto a la línea de pro-

yecto, ya que este nos servirá para el cálculo de la línea hacia el primer punto y así poder medir

la distancia original para dar con el sitio en donde se ubicó originalmente el punto.

Una vez conocidos estos datos y habiendo medido la distancia sobre la línea de proyecto, pro-

cedemos a calcular las otras partes del triangulo. Cuando ya hemos calculado el triángulo, pro-

cedemos con la cinta métrica para conocer el punto que nos dará la línea hacia el punto o puntos

que buscamos, para esto se hace necesaria la participación de tres personas, una se ubicará en el

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Tratado de topografía Soluciones prácticas

Por: josé miguel tilguant Página 122

punto A, otra en el punto B y la otra en el punto C. Después de haber hecho esto se procede a

medir la distancia hacia el primer punto, esta distancia es la que se midió en el momento en que

se establecieron las referencias, es normal que nuestro calculo nos dé una línea con un poco de

error, debemos recordar que el alineamiento se hace a ojo y esto hará que lleguemos con algún

desplazamiento. Casi siempre ocurre que los puntos se encuentren un poco afuera de la línea

calculada pero, por lo general un poco cerca, lo importante es que podemos ver que la cinta nos

puede servir para hacer este tipo de trabajo y muchos más.

Cuando hayamos encontrado los puntos que corresponden a una de las líneas, no resultará difí-

cil encontrar los que corresponden a la otra línea, para esta parte tendremos una línea con mayor

aproximación debido a que estaremos partiendo ya desde un punto conocido. Para buscar los

puntos de la otra línea podemos hacerlo desde uno de los puntos encontrados, después de haber

realizado un pequeño cálculo o desde el punto del centro haciendo para ello el cálculo de otro

triángulo.

Volvemos a repetir aquí que la cinta nunca debe faltar cuando hacemos trabajo de topografía y

más aún, cuando se trata de hacer uso de instrumentos convencionales.