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La figura rappresenta un’incisione di M.C.Escher (1898-1972).

Essa fornisce un esempio di riflessione sulla sfera; è interessante notare che le linee rette degli spigoli della stanza dove si trova l’artista sono diventate linee curve.

LE TRASFORMAZIONI DEL PIANO SONOLE TRASFORMAZIONI DEL PIANO SONO

1. CORRISPONDENZE BIUNIVOCHE TRA PUNTI DEL PIANO

Date due figure corrispondenti, ad ogni punto della prima figura

corrisponde uno ed un solo punto delle seconda

2. COLLINEAZIONI

Ovvero conservano l’allineamento dei punti.

B=B'A=A'

D C

S

C'D'

P

BA

D C

B'A'

D' C'

P'

Ogni trasformazione si caratterizza per qualche cosa che rimane invariato, i cosiddetti INVARIANTI

Alcuni invarianti di una trasformazione possono essere

•La lunghezza dei segmenti

•L’ampiezza degli angoli

•Il parallelismo

•Le direzioni

•Il rapporto tra i segmenti

•L’orientamento dei punti del piano

Un punto che nella trasformazione corrisponde a se stesso si dice unito o fisso.

Una figura che si trasforma globalmente in se stessa, anche se non tutti i punti sono fissi, si dice unita nella trasformazione.

DUE ESEMPI DI TRASFORMAZIONI1.Una trasformazione che consiste in uno spostamento ovvero un movimento rigido ha come invariante globale la MISURA delle figure.

Sono suoi invarianti :

•La lunghezza dei segmenti

•L’ampiezza degli angoli

•Il parallelismo

•Il rapporto tra segmenti

Il cavaliere nero è il risultato dell’applicazione, alla figura di sinistra, di una traslazione.

O

A

BC

D

A'

B'C'

D'

2.Una trasformazione che consiste in un ingrandimento o riduzione ha come invariante globale la FORMA delle figure.

Sono suoi invarianti :

• L’ampiezza degli angoli

• Il parallelismo

• Il rapporto tra segmenti

LE ISOMETRIELE ISOMETRIE

In matematica, e in particolare in geometria, si definisce isometria (o trasformazione rigida) una trasformazione che non modifica le distanze tra i punti (e, di conseguenza, le ampiezze degli angoli).

A

B

C

A'

B'

C'

F F‘

Proprietà delle isometrieProprietà delle isometrie

In una isometria:

•a una retta corrisponde una retta

•a rette incidenti corrispondono rette incidenti

•a retta parallele corrispondono rette parallele

•a ogni triangolo corrisponde un triangolo ad esso congruente

•ad ogni angolo corrisponde un angolo ad esso congruente

Quattro particolari isometrie del piano euclideo sono:

• rotazionirotazioni, di cui sono un caso particolare le simmetrie centrali • traslazionitraslazioni • simmetrie assialisimmetrie assiali, anche dette riflessioni • antitraslazioniantitraslazioni, anche dette glissosimmetrie, glissoriflessioni o

simmetrie con scorrimento (composizione di una simmetria assiale e di una traslazione di direzione parallela all'asse di simmetria.)

Rotazione Traslazione Simmetria assiale Antitraslazione

Le quattro classi di isometrie del piano possono essere a loro volta classificate in:

• isometrie invertenti, che comprendono le simmetrie assiali e le antitraslazioni

• isometrie non invertenti o dirette, tra cui si trovano rotazioni e traslazioni

La simmetria assiale è un'isometria invertente La rotazione è un'isometria non invertente

A

B

CA'

B'

C'

A

B

C

A'

B'

C'

Una generica isometria T, non appartenente ad una di queste classi, sarà ottenibile come composizione di alcune isometrie che vi appartengono.

Si può dimostrare un altro risultato interessante:

le simmetrie assiali sono sufficienti per generare tutte le isometrie

ISOMETRIE IN NATURA E NELL’ARTE

In natura si possono individuare forme geometriche interpretabili assumendo come modello le trasformazioni isometriche.

Le più frequenti sono la simmetria centrale e la simmetria assiale, presenti in natura sia nelle forme più elementari quali le diatomee, i protozoi e i cristalli di neve, sia in fiori, piante, pesci, uccelli, mammiferi.

Nell’arte sin dall’antichità le trasformazioni isometriche del piano sono state usate per creare fregi ornamentali e pavimentazioni, per decorare soffitti e pareti di palazzi, per disegnare tessuti, per costruire rosoni ed edifici monumentali, realizzare statue.

fiocchi di neve

medusa

rosoni

porta dei leoni (XV sec a.C.) Micene

fregio disegno di tessuto

I FREGII FREGI

Se si utilizzano due colori, ci sono solamente 7 motivi lineari che possono essere ripetuti all’infinito su una striscia di carta per ottenere un fregio.

Le 4 operazioni elementari che possono essere applicate per ottenere un motivo che si ripete.

Le diverse possibilità si creano agendo su un motivo di partenza, che non deve possedere alcuna simmetria, tramite le seguenti operazioni:

I sette fregi distinti che si possono generare combinando le quattro operazioni fondamentali. Alle lettere corrispondono le combinazioni di tali operazioni.

I sette possibili tipi di fregio simmetrico, ciascuno illustrato da due esempi tratti dalle tradizioni decorative di diverse culture.

(da: John D. Barrow, L’Universo come opera d’arte, Rizzoli 1997)