transformasi-z transformsi-z langsung sifat-sifat transformasi-z transformasi -z rasional...

55
TRANSFORMASI-Z Transformsi-Z Langsung Sifat-sifat Transformasi-Z Transformasi -Z Rasional Transformasi-Z Balik Transformasi-Z Satu Sisi

Upload: dangdung

Post on 29-May-2018

383 views

Category:

Documents


13 download

TRANSCRIPT

Page 1: TRANSFORMASI-Z Transformsi-Z Langsung Sifat-sifat Transformasi-Z Transformasi -Z Rasional Transformasi-Z Balik Transformasi-Z Satu Sisi

TRANSFORMASI-Z

Transformsi-Z Langsung

Sifat-sifat Transformasi-Z

Transformasi -Z Rasional

Transformasi-Z Balik

Transformasi-Z Satu Sisi

Page 2: TRANSFORMASI-Z Transformsi-Z Langsung Sifat-sifat Transformasi-Z Transformasi -Z Rasional Transformasi-Z Balik Transformasi-Z Satu Sisi

TRANSFORMASI-Z LANGSUNG

Definisi :

Contoh Soal 1

Tentukan transformasi Z dari beberapa sinyal diskrit di bawah ini

n

nz)n(x)z(X

1,0,7,5,2)n(x).d

1,0,7,5,2,1,0)n(x).c

1,0,7,5,2,1)n(x).b

1,0,7,5,2,1)n(x).a

4

3

2

1

Page 3: TRANSFORMASI-Z Transformsi-Z Langsung Sifat-sifat Transformasi-Z Transformasi -Z Rasional Transformasi-Z Balik Transformasi-Z Satu Sisi

Jawab:

5321

1

1

zz7z5z21)z(X

1,0,7,5,2,1)n(x).a

3112

2

2

zz75z2z)z(X

1,0,7,5,2,1)n(x).b

64321

3

3

752)(

1,0,7,5,2,1,0)().

zzzzzzX

nxc

311

4

4

zz75z2)z(X

1,0,7,5,2)n(x).d

Page 4: TRANSFORMASI-Z Transformsi-Z Langsung Sifat-sifat Transformasi-Z Transformasi -Z Rasional Transformasi-Z Balik Transformasi-Z Satu Sisi

Contoh Soal 2

Tentukan transformasi Z dari beberapa sinyal impuls di bawah ini

0k),kn()n(x).c

0k),kn()n(x).b

)n()n(x).a

3

2

1

Jawab:

1z)n()z(X).an

n

1

k

n

n

2 zz)kn()z(X).b

k

n

n

3 zz)kn()z(X).c

Page 5: TRANSFORMASI-Z Transformsi-Z Langsung Sifat-sifat Transformasi-Z Transformasi -Z Rasional Transformasi-Z Balik Transformasi-Z Satu Sisi

Contoh Soal 3

Tentukan transformasi Z dari sinyal )n(u

2

1)n(x

n

Jawab:

1AA1

1AAA1

Az2

1z

2

1)z(X

32

0n

n

0n

n

1

0n

n

n

1

1

z2

11

1)z(X

2

1z1z

2

1

1

n

z1

1)z(X)n(u)n(x

1z1

1)z(X)n(u)n(x

Page 6: TRANSFORMASI-Z Transformsi-Z Langsung Sifat-sifat Transformasi-Z Transformasi -Z Rasional Transformasi-Z Balik Transformasi-Z Satu Sisi

SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI-Z

Linieritas

)z(Xa)z(Xa)z(X)n(xa)n(xa)n(x

)z(X)n(x)z(X)n(x

22112211

2211

Contoh Soal 4

Tentukan transformasi Z dari sinyal )n(u)3(4)2(3)n(x nn

Jawab:

1121

n

2

n

1

z31

4

z21

3)z(X4)z(X3)z(X

)n(u)3()n(x)n(u)2()n(x

Page 7: TRANSFORMASI-Z Transformsi-Z Langsung Sifat-sifat Transformasi-Z Transformasi -Z Rasional Transformasi-Z Balik Transformasi-Z Satu Sisi

Contoh Soal 5

Tentukan transformasi Z dari sinyal-sinyal di bawah ini :

)n(u)nsin()n(x).b

)n(u)ncos()n(x).a

o

o

Jawab:

)n(ue2

1)n(ue

2

1)n(u)ncos()n(x).a

njnj

ooo

1j1jze1

1

2

1

ze1

1

2

1)z(X

oo

)zeze1(

)1zeze1(

2

1

)ze1)(ze1(

)e1()e1(

2

1)z(X

2j1j

1j1j

1j1j

jj

oo

oo

oo

oo

2

o

1

o

1

ozcosz21

cosz1)z(Xncos)n(x

Page 8: TRANSFORMASI-Z Transformsi-Z Langsung Sifat-sifat Transformasi-Z Transformasi -Z Rasional Transformasi-Z Balik Transformasi-Z Satu Sisi

)n(uej2

1)n(ue

j2

1)n(u)nsin()n(x).b

njnj

ooo

1j1jze1

1

j2

1

ze1

1

j2

1)z(X

oo

)zeze1(

)zeze(

j2

1

)ze1)(ze1(

)e1()e1(

j2

1)z(X

2j1j

1j1j

1j1j

jj

oo

oo

oo

oo

2

o

1

o

1

ozcosz21

sinz)z(Xnsin)n(x

Page 9: TRANSFORMASI-Z Transformsi-Z Langsung Sifat-sifat Transformasi-Z Transformasi -Z Rasional Transformasi-Z Balik Transformasi-Z Satu Sisi

Scaling in the Z-domain

a

zX)za(X)n(xa)z(X)n(x 1

1

n

Contoh Soal 6

Tentukan transformasi Z dari sinyal-sinyal di bawah ini :

)sin()().)cos()(). 21 nanxbnanxa on

on

Jawab:

22

o

1

o

1

1zacosaz21

cosaz1)z(X

2

o

1

o

1

ozcosz21

cosz1)z(Xncos)n(x

21

o

11

o

11

1o

n

1)za(cos)za(21

cos)za(1)z(Xncosa)n(x

22

o

1

o

1

2zacosaz21

sinaz)z(X

Page 10: TRANSFORMASI-Z Transformsi-Z Langsung Sifat-sifat Transformasi-Z Transformasi -Z Rasional Transformasi-Z Balik Transformasi-Z Satu Sisi

Time Reversal

)z(X)n(x)z(X)n(x 1

Contoh Soal 7

Tentukan transformasi Z dari sinyal )n(u)n(x

Jawab:

1z1

1)z(X)n(u)n(x

z1

1)z(X)n(u)n(x

z1

1

)z(1

1)z(X)n(u)n(x

11

Page 11: TRANSFORMASI-Z Transformsi-Z Langsung Sifat-sifat Transformasi-Z Transformasi -Z Rasional Transformasi-Z Balik Transformasi-Z Satu Sisi

Diferensiasi dalam domain z

dz

)z(dXz)n(nx)z(X)n(x

Contoh Soal 8

Tentukan transformasi Z dari sinyal )n(una)n(x n

Jawab:

11

n

1az1

1)z(X)n(ua)n(x

dz

)z(dXz)z(X)n(una)n(x 1n

21

2

1

1

az1

az)z(

az1

1

dz

dz

dz

)z(dXz)z(X

21

1n

az1

az)n(una

21

1

z1

z)n(nu

Page 12: TRANSFORMASI-Z Transformsi-Z Langsung Sifat-sifat Transformasi-Z Transformasi -Z Rasional Transformasi-Z Balik Transformasi-Z Satu Sisi

Konvolusi antara dua sinyal

)z(X)z(X)z(X)n(x*)n(x)n(x

)z(X)n(x)z(X)n(x

2121

2211

Contoh Soal 9

Tentukan konvolusi antara x1(n) dan x2(n) dengan :

Jawab:

lainnya,0

5n0,1)n(x1,2,1)n(x 21

54321

2

21

1 zzzzz1)z(Xzz21)z(X

)zzzzz1)(zz21()z(X)z(X)z(X 5432121

21

761

21 zzz1)z(X)z(X)z(X

1,1,0,0,0,0,1,1)n(x*)n(x)n(x 21

Page 13: TRANSFORMASI-Z Transformsi-Z Langsung Sifat-sifat Transformasi-Z Transformasi -Z Rasional Transformasi-Z Balik Transformasi-Z Satu Sisi

TRANSFORMASI Z RASIONAL Pole dan Zero

Pole : harga-harga z = pi yang menyebabkan X(z) =

Zero : harga-harga z = zi yang menyebabkan X(z) = 0

N

0k

k

k

M

0k

k

k

N

N

1

1o

M

M

1

1o

za

zb

zazaa

zbzbb

)z(D

)z(N)z(X

Fungsi Rasional

o

N1N

o

1N

o

M1M

o

1M

N

o

M

ooo

a

az

a

aZ

b

bz

b

bz

za

zb

)z(D

)z(N)z(X0b0a

Page 14: TRANSFORMASI-Z Transformsi-Z Langsung Sifat-sifat Transformasi-Z Transformasi -Z Rasional Transformasi-Z Balik Transformasi-Z Satu Sisi

N(z) dan D(z) polinom

o

N1N

o

1N

o

M1M

o

1M

N

o

M

ooo

a

az

a

aZ

b

bz

b

bz

za

zb

)z(D

)z(N)z(X0b0a

)())((

)())((

)(

)()(

21

21

N

MMN

o

o

pzpzpz

zzzzzzz

a

b

zD

zNzX

N

1k

k

M

1k

kMN

)pz(

)zz(

zG)z(X

Page 15: TRANSFORMASI-Z Transformsi-Z Langsung Sifat-sifat Transformasi-Z Transformasi -Z Rasional Transformasi-Z Balik Transformasi-Z Satu Sisi

Contoh Soal 10

Tentukan pole dan zero dari 21

1

z5,0z5,11

z5,12)z(X

Jawab:

)5,0z)(1z(

)75,0z(z2

)5,0z)(1z(

75,0zz2

5,0z5,1z

75,0z

z

z

1

2)z(X

12

22

1

75,0z0z:Zero 21

5,0p1p:Pole 21

Page 16: TRANSFORMASI-Z Transformsi-Z Langsung Sifat-sifat Transformasi-Z Transformasi -Z Rasional Transformasi-Z Balik Transformasi-Z Satu Sisi

Contoh Soal 11

Tentukan pole dan zero dari 21

1

z5,0z1

z1)z(X

Jawab:

5,0zz

)1z(z)z(X

2

1z0z:Zero 21

5,0j5,0p5,0j5,0p:Pole 21 *

21 pp

)]5,0j5,0(z)][5,0j5,0(z[

)1z(z

Page 17: TRANSFORMASI-Z Transformsi-Z Langsung Sifat-sifat Transformasi-Z Transformasi -Z Rasional Transformasi-Z Balik Transformasi-Z Satu Sisi
Page 18: TRANSFORMASI-Z Transformsi-Z Langsung Sifat-sifat Transformasi-Z Transformasi -Z Rasional Transformasi-Z Balik Transformasi-Z Satu Sisi

Fungsi Sistem dari Sistem LTI

)z(X

)z(Y)z(H)z(X)z(H)z(Y)n(x*)n(h)n(y

)z(H)n(h Respon impuls Fungsi sistem

Persamaan beda dari sistem LTI :

)kn(xb)kn(ya)n(yM

0k

k

N

1k

k

kM

0k

k

kN

1k

k z)z(Xbz)z(Ya)z(Y

Page 19: TRANSFORMASI-Z Transformsi-Z Langsung Sifat-sifat Transformasi-Z Transformasi -Z Rasional Transformasi-Z Balik Transformasi-Z Satu Sisi

kM

0k

k

kN

1k

k z)z(Xbz)z(Ya)z(Y

kM

0k

k

kN

1k

k zb)z(X]za1)[z(Y

)z(H

za1

zb

)z(X

)z(Y

kN

1k

k

kM

0k

k

Fungsi sistem rasional

Page 20: TRANSFORMASI-Z Transformsi-Z Langsung Sifat-sifat Transformasi-Z Transformasi -Z Rasional Transformasi-Z Balik Transformasi-Z Satu Sisi

)z(H

za1

zb

)z(X

)z(Y

kN

1k

k

kM

0k

k

Hal khusus I : ak = 0, 1 k N

kMM

0k

kM

kM

0k

k zbz

1zb)z(H

All-zero system

Hal khusus II : bk = 0, 1 k M

1a

za

b

za1

b)z(H o

kN

0k

k

o

kN

1k

k

o

All-pole system

pole-zero system

Page 21: TRANSFORMASI-Z Transformsi-Z Langsung Sifat-sifat Transformasi-Z Transformasi -Z Rasional Transformasi-Z Balik Transformasi-Z Satu Sisi

Contoh Soal 12

Tentukan fungsi sistem dan respon impuls sistem LTI :

Jawab:

)z(X2)z(Yz2

1)z(Y 1

)n(x2)1n(y2

1)n(y

)z(X2)z2

11)(z(Y 1

1z2

11

2)z(H

)n(u2

12)n(h

n

Page 22: TRANSFORMASI-Z Transformsi-Z Langsung Sifat-sifat Transformasi-Z Transformasi -Z Rasional Transformasi-Z Balik Transformasi-Z Satu Sisi

TRANSFORMASI -Z BALIK

Definisi transformasi balik

n

nz)n(x)z(X dzz)z(Xj2

1)n(x 1n

Cluardizbila,0

Cdalamdizbila,dz

)z(fd

)!1k(

1

dz)zz(

)z(f

j2

1

o

o

zz

1k

1k

C k

oo

Teorema residu Cauchy :

Page 23: TRANSFORMASI-Z Transformsi-Z Langsung Sifat-sifat Transformasi-Z Transformasi -Z Rasional Transformasi-Z Balik Transformasi-Z Satu Sisi

Ekspansi deret dalam z dan z-1

n

n

nzc)z(X

Contoh Soal 13

Tentukan transformasi-z balik dari

4321

16

31

8

15

4

7

2

31)( zzzzzXJawab:

4321

16

31

8

15

4

7

2

31)( zzzzzX

n

nz)n(x)z(X

,16

31,

8

15,

4

7,

2

3,1)n(x

Page 24: TRANSFORMASI-Z Transformsi-Z Langsung Sifat-sifat Transformasi-Z Transformasi -Z Rasional Transformasi-Z Balik Transformasi-Z Satu Sisi

Ekspansi fraksi-parsial dan tabel transformasi-z

)z(X)z(X)z(X)z(X KK2211

Contoh Soal 14

Tentukan transformasi-z balik dari

Jawab:

)n(x)n(x)n(x)n(x KK2211

21 z5,0z5,11

1)z(X

)5,0z)(1z(

z

5,0z5,1z

z)z(X

2

2

2

)5,0z(

A

)1z(

A

5,0z5,1z

z

z

)z(X 21

2

Page 25: TRANSFORMASI-Z Transformsi-Z Langsung Sifat-sifat Transformasi-Z Transformasi -Z Rasional Transformasi-Z Balik Transformasi-Z Satu Sisi

)5,0z(

1

)1z(

2

)5,0z(

A

)1z(

A

5,0z5,1z

z

z

)z(X 21

2

)z5,01(

1

)z1(

2)z(X

11

)n(u])5,0(2[)n(x 2

)5,0z)(1z(

)1z(A)5,0z(A

)5,0z(

A

)1z(

A

5,0z5,1z

z 2121

2

5,0z5,1z

)AA5,0(z)AA(

)5,0z(

A

)1z(

A

5,0z5,1z

z2

212121

2

1A2A1A5,0A5,0A 21111

122121 A5,0A0AA5,01AA

Page 26: TRANSFORMASI-Z Transformsi-Z Langsung Sifat-sifat Transformasi-Z Transformasi -Z Rasional Transformasi-Z Balik Transformasi-Z Satu Sisi

Contoh Soal 15

Tentukan respon impuls dari suatu sistem LTI (Linear Time

Invariant) yang dinyatakan oleh persamaan beda :

Jawab:

)z(Xz5,9)z(X5,4)z(Yz2)z(Yz3)z(Y 121

)z5,95,4)(z(X)z2z31)(z(Y 121

21

1

z2z31

z5,95,4

)z(X

)z(Y)z(H

)1n(x5,9)n(x5,4)2n(y)1n(y3)n(y

Page 27: TRANSFORMASI-Z Transformsi-Z Langsung Sifat-sifat Transformasi-Z Transformasi -Z Rasional Transformasi-Z Balik Transformasi-Z Satu Sisi

21

1

z2z31

z5,95,4)z(H

2z3z

5,9z5,4

z

)z(H2

2z

5,0

1z

5

2z

A

1z

A

z

)z(H 21

11 z)2(1

5,0

z)1(1

5)z(H

)n(u])2(5,0)1(5[)n(h nn

Page 28: TRANSFORMASI-Z Transformsi-Z Langsung Sifat-sifat Transformasi-Z Transformasi -Z Rasional Transformasi-Z Balik Transformasi-Z Satu Sisi

Contoh Soal 16

Tentukan output dari suatu sistem LTI (Linear Time Invariant) yang

dinyatakan oleh persamaan beda :

Jawab:

)z(Xz5,9)z(X5,4)z(Yz2)z(Yz3)z(Y 121

)1n(x5,9)n(x5,4)2n(y)1n(y3)n(y

0)2(y0)1(y

dan mendapat input x(n) = (-3)nu(n) )n(y)n(y zs

)z5,95,4)(z(X)z2z31)(z(Y 121

Page 29: TRANSFORMASI-Z Transformsi-Z Langsung Sifat-sifat Transformasi-Z Transformasi -Z Rasional Transformasi-Z Balik Transformasi-Z Satu Sisi

11

n

z31

1

z)3(1

1)z(X)n(u)3()n(x

)z(X)z5,95,4()z2z31)(z(Y 121

1

121

z31

1)z5,95,4()z2z31)(z(Y

)z31)(z2z31(

)z5,95,4()z(Y

121

1

)z31)(z2z31(z

)z5,95,4(z

z

)z(Y1213

12

)3z)(2z)(1z(

)z5,9z5,4(

)3z)(2z3z(

)z5,9z5,4(

z

)z(Y 2

2

2

Page 30: TRANSFORMASI-Z Transformsi-Z Langsung Sifat-sifat Transformasi-Z Transformasi -Z Rasional Transformasi-Z Balik Transformasi-Z Satu Sisi

)3z)(2z)(1z(

)z5,9z5,4(

)3z)(2z3z(

)z5,9z5,4(

z

)z(Y 2

2

2

)3z(

A

)2z(

A

)1z(

A

)3z)(2z)(1z(

)z5,9z5,4( 321

2

)3z)(2z)(1z(

)2z3z(A)3z4z(A)6z5z(A

z

)z(Y 2

3

2

2

2

1

0A2A3A6

5,9A3A4A5

5,4AAA

321

321

321

2

236

345

111

D

Page 31: TRANSFORMASI-Z Transformsi-Z Langsung Sifat-sifat Transformasi-Z Transformasi -Z Rasional Transformasi-Z Balik Transformasi-Z Satu Sisi

5,22

5

D

230

345,9

115,4

A1

12

2

D

206

35,95

15,41

A2

6A5,4A15,2 33

)z31(

6

)z21(

1

)z1(

5,2)z(Y

)3z(

6

)2z(

1

)1z(

5,2

z

)z(Y

111

)n(u])3(6)2()1(5,2[)n(y n2n

zs

Page 32: TRANSFORMASI-Z Transformsi-Z Langsung Sifat-sifat Transformasi-Z Transformasi -Z Rasional Transformasi-Z Balik Transformasi-Z Satu Sisi

Pole-pole berbeda semua

N

N

k

k

1

1

pz

A

pz

A

pz

A

z

)z(X

N

Nkk

1

1kk

pz

A)pz(A

pz

A)pz(

z

)z(X)pz(

k

pz

k Az

)z(X)pz(

k

Page 33: TRANSFORMASI-Z Transformsi-Z Langsung Sifat-sifat Transformasi-Z Transformasi -Z Rasional Transformasi-Z Balik Transformasi-Z Satu Sisi

Contoh Soal 17

Jawab:

Tentukan zero-state response dari suatu sistem LTI yang mendapat

input x(n) = u(n) dan dinyatakan oleh persamaan beda :

)2n(x8)1n(x28)n(x5)2n(y8)1n(y6)n(y

)z(Xz8)z(Xz28)z(X5)z(Yz8)z(Yz6)z(Y 2121

121

21

z1

1

z8z61

)z8z285()z(Y

1z1

1)z(X

1z

A

4z

A

2z

A

)1z)(8z6z(

)8z28z5(

z

)z(Y 321

2

2

Page 34: TRANSFORMASI-Z Transformsi-Z Langsung Sifat-sifat Transformasi-Z Transformasi -Z Rasional Transformasi-Z Balik Transformasi-Z Satu Sisi

1z

A

4z

A

2z

A

)1z)(4z)(2z(

)8z28z5(

z

)z(Y 321

2

146

84

)3)(2(

85620

)1z)(4z(

8z28z5

z

)z(Y)2z(A

2z

2

1

2010

200

)5)(2(

811280

)1z)(2z(

8z28z5

z

)z(Y)4z(A

4z

2

2

115

15

)5)(3(

8285

)4z)(2z(

8z28z5

z

)z(Y)1z(A

1z

2

3

1z

1

4z

20

2z

14

z

)z(Y

111 z1

1

z41

20

z21

14)z(Y

)n(u]1)4(20)2(14[)n(y nn

zs

Page 35: TRANSFORMASI-Z Transformsi-Z Langsung Sifat-sifat Transformasi-Z Transformasi -Z Rasional Transformasi-Z Balik Transformasi-Z Satu Sisi

Ada dua pole yang semua

N

N

k

k2

2

k

k1

1

1

pz

A

pz

A

)pz(

A

pz

A

z

)z(X

kpz

2

kk1

z

)z(X)pz(A

kpz

2

kk2

z

)z(X)pz(

dz

dA

Page 36: TRANSFORMASI-Z Transformsi-Z Langsung Sifat-sifat Transformasi-Z Transformasi -Z Rasional Transformasi-Z Balik Transformasi-Z Satu Sisi

Contoh Soal 18

Jawab:

Tentukan transformasi-Z balik dari :

211 )z1)(z1(

1)z(X

)1z(

A

)1z(

A

1z

A

)1z)(1z(

z

z

)z(X 3

2

21

2

2

4

1

)1z(

z

z

)z(X)1z(A

1z

2

2

1

Page 37: TRANSFORMASI-Z Transformsi-Z Langsung Sifat-sifat Transformasi-Z Transformasi -Z Rasional Transformasi-Z Balik Transformasi-Z Satu Sisi

4

3

)1z(

z2z

)1z(

)z)(1()1z)(z2(

)1z(

z

dz

d

z

)z(X)1z(

dz

dA

1z

2

2

2

2

22

3

)n(u]4

3n

2

1)1(

4

1[)n(x n

2

1

)1z(

z

z

)z(X)1z(A

1z

22

2

Page 38: TRANSFORMASI-Z Transformsi-Z Langsung Sifat-sifat Transformasi-Z Transformasi -Z Rasional Transformasi-Z Balik Transformasi-Z Satu Sisi

Pole kompleks

*pppp 21

211

11

11 z*ppz*ppz1

pz*A*Az*ApA

z*p1

*A

pz1

A

1

2

2

1

1

1

zp1

A

zp1

A)z(X

*AAAA 21

2

2

1

1

1

1o

21

1

zaza1

zbb

z*ppz*)pp(1

z)p*A*Ap(*)AA(

Page 39: TRANSFORMASI-Z Transformsi-Z Langsung Sifat-sifat Transformasi-Z Transformasi -Z Rasional Transformasi-Z Balik Transformasi-Z Satu Sisi

)ARe(2*AAb

)ARe(2)AIm(j)ARe()AIm(j)ARe(*AA

o

)pRe(2*)pp(a

)pRe(2)pIm(j)pRe()pIm(j)pRe(*pp

1

2

2

222 p*ppap)p(Im)p(Re

)]pIm(j)p)][Re(pIm(j)p[Re(*pp

)pIm()AIm(2)pRe()ARe(2

)]pIm(j)p)][Re(AIm(j)A[Re(

)]pIm(j)p)][Re(AIm(j)A[Re(p*A*Ap

*)ApRe(2)p*A*Ap(b

]pIm()ARe()AIm()p[Re(j)]pIm()AIm()pRe()A[Re(

)]pIm(j)p)][Re(AIm(j)A[Re(*Ap

1

Page 40: TRANSFORMASI-Z Transformsi-Z Langsung Sifat-sifat Transformasi-Z Transformasi -Z Rasional Transformasi-Z Balik Transformasi-Z Satu Sisi

Contoh Soal 19

Jawab:

Tentukan transformasi-Z balik dari : 21

1

z5,0z1

z1)z(X

2

2

1

1

1

1o

21

1

zaza1

zbb

z5,0z1

z1)z(X

5,0)ARe(1)ARe(2bo

5,0)pRe(1)pRe(2a1

5,0*)ApRe(1*)ApRe(2b1

5,0)p(Im)p(Re5,0pa 222

2

Page 41: TRANSFORMASI-Z Transformsi-Z Langsung Sifat-sifat Transformasi-Z Transformasi -Z Rasional Transformasi-Z Balik Transformasi-Z Satu Sisi

5,0)p(Im25,0)p(Im)p(Re 222

5,0)ARe(5,0)pRe(

5,0j5,0p5,0)pIm(25,0)p(Im2

)5,0j5,0)](AIm(j5,0[*Ap

25,0j5,0A25,0)AIm(

5,0)AIm(5,025,0*)ApRe(

11

11

z)5,0j5,0(1

25,0j5,0

z)5,0j5,0(1

25,0j5,0

z*p1

*A

pz1

A)z(X

Page 42: TRANSFORMASI-Z Transformsi-Z Langsung Sifat-sifat Transformasi-Z Transformasi -Z Rasional Transformasi-Z Balik Transformasi-Z Satu Sisi

11 z)5,0j5,0(1

25,0j5,0

z)5,0j5,0(1

25,0j5,0)z(X

45j45j e707,05,0j5,0e707,05,0j5,0

n45sin)707,0(5,0n45cos)707,0(

)n45sinjn45)(cos707,0)(25,0(j

)n45sinjn45(cos)707,0)(5,0(

)n45sinjn45)(cos707,0)(25,0(j

)n45sinjn45(cos)707,0)(5,0(

)e707,0)(25,0j5,0()e707,0)(25,0j5,0()n(x

nn

n

n

n

n

n45jn45j

Page 43: TRANSFORMASI-Z Transformsi-Z Langsung Sifat-sifat Transformasi-Z Transformasi -Z Rasional Transformasi-Z Balik Transformasi-Z Satu Sisi

TRANSFORMASI-Z SATU SISI

Definisi :

Contoh Soal 20

Tentukan transformasi Z satu sisi dari beberapa sinyal diskrit di

bawah ini

0n

nz)n(x)z(X

1,0,7,5,2)n(x).d

1,0,7,5,2,1,0)n(x).c

1,0,7,5,2,1)n(x).b

1,0,7,5,2,1)n(x).a

4

3

2

1

Page 44: TRANSFORMASI-Z Transformsi-Z Langsung Sifat-sifat Transformasi-Z Transformasi -Z Rasional Transformasi-Z Balik Transformasi-Z Satu Sisi

Jawab:

5321

1

1

zz7z5z21)z(X

1,0,7,5,2,1)n(x).a

31

2

2

zz75)z(X

1,0,7,5,2,1)n(x).b

74321

3

3

zz7z5z2z)z(X

1,0,7,5,2,1,0)n(x).c

31

4

4

zz75)z(X

1,0,7,5,2)n(x).d

Page 45: TRANSFORMASI-Z Transformsi-Z Langsung Sifat-sifat Transformasi-Z Transformasi -Z Rasional Transformasi-Z Balik Transformasi-Z Satu Sisi

Contoh Soal 21

Tentukan transformasi Z satu sisi dari beberapa sinyal impuls di

bawah ini

0k),kn()n(x).c

0k),kn()n(x).b

)n()n(x).a

7

6

5

Jawab:

1z)n()z(X).a0n

n

5

k

0n

n

6 zz)kn()z(X).b

0z)kn()z(X).c0n

n

7

Page 46: TRANSFORMASI-Z Transformsi-Z Langsung Sifat-sifat Transformasi-Z Transformasi -Z Rasional Transformasi-Z Balik Transformasi-Z Satu Sisi

Time Delay

]z)n(x)z(X[z)kn(xk

1n

nk

Contoh Soal 22

Tentukan transformasi Z satu sisi dari x1(n) = x(n-2)

dimana x(n) = anu(n )

1

n

az1

1)z(X)n(ua)n(x

211

1

2

22

2

1n

n2

1

azaaz1

z

z)2(xz)1(xXz

z)n(xXz)z(X

Jawab:

Page 47: TRANSFORMASI-Z Transformsi-Z Langsung Sifat-sifat Transformasi-Z Transformasi -Z Rasional Transformasi-Z Balik Transformasi-Z Satu Sisi

Time advance

]z)n(x)z(X[z)kn(x1k

0n

nk

Jawab:

1

n

az1

1)z(X)n(ua)n(x

azzaz1

z

z)1(x)0(xXz

z)n(x)z(XzX

2

1

2

12

1

0n

n2

2

Contoh Soal 23

Tentukan transformasi Z satu sisi dari x2(n) = x(n+2)

dimana x(n) = anu(n )

Page 48: TRANSFORMASI-Z Transformsi-Z Langsung Sifat-sifat Transformasi-Z Transformasi -Z Rasional Transformasi-Z Balik Transformasi-Z Satu Sisi

Contoh Soal 24

Tentukan output dari suatu sistem LTI (Linear Time Invariant) yang

dinyatakan oleh persamaan beda :

Jawab:

0]z)2(yz)1(y)z(Y[z2

]z)1(y)z(Y[z3)z(Y

22

1

)1n(x5,9)n(x5,4)2n(y)1n(y3)n(y

5,7)2(y5,8)1(y

dengan input x(n) = 0 )n(y)n(y zi

Page 49: TRANSFORMASI-Z Transformsi-Z Langsung Sifat-sifat Transformasi-Z Transformasi -Z Rasional Transformasi-Z Balik Transformasi-Z Satu Sisi

21

1

21

1

z2z31

5,10z17

z2z31

)5,7(2z)5,8(2)5,8(3)z(Y

)2(y2z)1(y2)1(y3]z2z31)[z(Y

0]z)2(yz)1(y)z(Y[z2

]z)1(y)z(Y[z3)z(Y

121

22

1

)2z)(1z(

17z5,10

2z3z

17z5,10

z

)z(Y2

Page 50: TRANSFORMASI-Z Transformsi-Z Langsung Sifat-sifat Transformasi-Z Transformasi -Z Rasional Transformasi-Z Balik Transformasi-Z Satu Sisi

2z

A

1z

A

)2z)(1z(

17z5,10

2z3z

17z5,10

z

)z(Y 21

2

41

4

1z

17z5,10

z

)z(Y)2z(A

5,61

5,6

2z

17z5,10

z

)z(Y)1z(A

2z

2

1z

1

11 z21

4

z1

5,6

2z

z4

1z

z5,6)z(Y

nn

zi )2(4)1(5,6)n(y

Page 51: TRANSFORMASI-Z Transformsi-Z Langsung Sifat-sifat Transformasi-Z Transformasi -Z Rasional Transformasi-Z Balik Transformasi-Z Satu Sisi

Contoh Soal 25

Jawab:

Tentukan output dari suatu sistem LTI yang mendapat input x(n) =

u(n) dan dinyatakan oleh persamaan beda :

3)2(y4)1(y

)2n(x8)1n(x28)n(x5)2n(y8)1n(y6)n(y

]z)2(xz)1(x)z(X[z8]z)1(x)z(X[z28

)z(X5]z)2(yz)1(y)z(Y[z8

]z)1(y)z(Y[z6)z(Y

221

22

1

]z8z285)[z(X

24z3224]z8z61)[z(Y

21

121

Page 52: TRANSFORMASI-Z Transformsi-Z Langsung Sifat-sifat Transformasi-Z Transformasi -Z Rasional Transformasi-Z Balik Transformasi-Z Satu Sisi

]z8z285)[z(X

24z3224]z8z61)[z(Y

21

121

1

21121

z1

z8z285z32]z8z61)[z(Y

)z1)(z8z61(

z8z285z32z32)z(Y

121

2121

)z1)(z8z61(

z24z45)z(Y

121

21

)1z)(8z6z(

24z4z5

z

)z(Y2

2

Page 53: TRANSFORMASI-Z Transformsi-Z Langsung Sifat-sifat Transformasi-Z Transformasi -Z Rasional Transformasi-Z Balik Transformasi-Z Satu Sisi

)1z)(4z)(2z(

24z4z5

)1z)(8z6z(

24z4z5

z

)z(Y 2

2

2

4z

A

2z

A

1z

A

)1z)(4z)(2z(

24z4z5 321

2

115

15

)5)(3(

2445

)4z)(2z(

24z4z5A

1z

2

1

26

12

)3)(2(

24820

)1z)(4z(

24z4z5A

2z

2

2

410

40

)5)(2(

241680

)1z)(2z(

24z4z5A

4z

2

3

Page 54: TRANSFORMASI-Z Transformsi-Z Langsung Sifat-sifat Transformasi-Z Transformasi -Z Rasional Transformasi-Z Balik Transformasi-Z Satu Sisi

4z

4

2z

2

1z

1

z

Y

111 z41

4

z21

2

z1

1Y

)n(u])4(4)2(21[)n(y 2n

Page 55: TRANSFORMASI-Z Transformsi-Z Langsung Sifat-sifat Transformasi-Z Transformasi -Z Rasional Transformasi-Z Balik Transformasi-Z Satu Sisi

Latihan Soal:

Tentukan transformasi Z dari:

1. 𝑥 𝑛 = −1 𝑛𝑢 𝑛

2. 𝑥 𝑛 =1

𝑛𝑢 𝑛 − 1

Tentukan invers transformasi Z:

1. 𝑥 𝑧 =1

(1−0,4𝑧−1)2 𝑧 > 0.4

2. 𝑥 𝑧 =𝑧5−3

1−𝑧−5 𝑧 > 1