transformasi hopf-cole pada approksimasi difusi...

SIDANG TERTUTUP

TRANSFORMASI HOPF-COLE PADA

APPROKSIMASI DIFUSI UNTUK

MENYELESAIKAN PERSAMAAN

TRANSFER RADIASI PADA INVERSE

PROBLEM PENCITRAAN KANKER OTAK

Jumini Nrp. 1209 201 702

1 Sidang Tertutup, Juli 2011

Pembimbing: Dr. Erna Apriliani, M.Si Dr. Mahmud Yunus, M.Si

Abstrak Persamaan transfer radiasi atau Radiative Transfer Equation (RTE)

adalah persamaan differensial integral yang mendeskripsikan transfer energi photon yang bergerak menyinari jaringan otot halus yang tembus cahaya, seperti otak. Penyinaran digunakan untuk pencitraan jaringan dan mendapatkan informasi tentang kelainan jaringan otot seperti kanker otak. Pencitraan kanker otak adalah salah satu contoh inverse problem. Pada tesis ini dikaji persamaan transfer radiasi dan menyelesaikannya dengan menerapkan metode approksimasi difusi dan transformasi Hopf-Cole. Kedua metode tersebut digunakan untuk menghitung batas pengukuran kepadatan photon, koefisien absorpsi dan difusi pada otak. Dari hasil simulasi diketahui bahwa penyelesaian inverse problem pencitraan kanker otak dengan metode transformasi Hopf-Cole lebih stabil jika dibandingkan penyelesaian dengan metode approksimasi difusi. Kata kunci: Approksimasi Difusi, Inverse Problem, Transformasi Hopf-Cole.

2 Sidang Tertutup, Juli 2011

PENDAHULUAN

• Gambar jaringan biologi (otak) dalam bidang kedokteran dapat dihasilkan menggunakan salah satu cara yang sudah ada seperti CAT, EROS, MRI, FMRI, EEG, MEG, PET, SPECT. Semua cara tersebut mempunyai kelebihan tetapi juga mempunyai kelemahan diantaranya membutuhkan biaya yang besar

• Optical tomography telah diakui sebagai suatu tehnik diagnostik yang ideal karena biayanya rendah dan sangat sedikit efek sampingnya (Tahir, 2007). Selanjutnya tehnik pencitraan ini dikenal dengan Diffuse optical imaging (DOI) atau Diffuse optical tomography (DOT).

Sidang Tertutup, Juli 2011 3

PENDAHULUAN

DOT, adalah salah satu contoh invers problem, yang merupakan suatu alat diagnostik yang potensial untuk mendeteksi pertumbuhan jaringan otot halus yang tembus cahaya. Pencitraan optical tomography dilakukan untuk mendapatkan informasi tentang kelainan jaringan otot seperti kanker payudara dan tumor otak (Tahir, 2007).

Telah diketahui secara umum bahwa approksimasi difusi berdasarkan invers problem pada optical tomography secara eksponensial tidak stabil (Natterer, 2001).


RUMUSAN MASALAH

Bagaimana penyelesaian persamaan transfer radiasi menggunakan approksimasi difusi untuk menghitung batas pengukuran photon, koefisien absorpsi dan difusi pada pencitraan kanker otak.

Bagaimana penyelesaian persamaan transfer radiasi yeng lebih stabil menggunakan transformasi Hopf-Cole pada approksimasi difusi.


BATASAN MASALAH

Penerapan approksimasi difusi dan transformasi Hopf-Cole pada persamaan transfer radiasi dibatasi untuk medium background konstan yang homogen berdimensi satu.

TUJUAN PENELITIAN

Menghitung batas pengukuran kepadatan photon, koefisien absorpsi dan difusi pada kanker otak dengan menerapkan approksimasi diffusi pada persamaan transfer radiasi yang merupakan invers problem pencitraan kanker otak.

Memperbaiki kestabilan penyelesaian invers problem pada pencitraan kanker otak dengan menerapkan transformasi Hopf-cole


MANFAAT PENELITIAN

Didapatkan penyelesaian persamaan transfer radiasi yang merupakan invers problem pada pencitraan kanker otak dengan menerapkan metode approksimasi difusi.

Didapatkan penyelesaian invers problem pada pencitraan kanker otak yang lebih stabil dengan menerapkan transformasi Hopf-Cole

TINJAUAN PUSTAKA

A. Inverse Problem Pencitraan Otak

Pencitraan otak ada 9 cara yaitu:

1. Computed Axial Tomography (CAT)

2. Even Related Optical Signal (EROS)

3. Magnetic Resonance Imaging (MRI)

4. Functional Magnetic Resonance Imaging (FMRI)

5. Electroencephalography (EEG)

6. Magnetoencephalography (MEG)

7. Positron Emmission Tomography (PET)

8. Single Photon Emission Computed Tomography (SPECT)

9. Diffuse Optical Imaging (DOI) atau Diffuse Optical Tomography (DOT)


Model Perpindahan Photon

Perpindahan photon dalam jaringan biologi seperti otak dapat dimodelkan secara analitik dengan persamaan transfer radiasi (Radiative Transfer Equation).

Sinar didefinisikan sebagai aliran energi per satuan daerah normal per sudut padat per satuan waktu.

Skema aliran energi melalui turunan elemen daerah dA pada posisi dalam sebuah turunan elemen sudut padat


r

d

Penurunan Persamaan Transfer Radiasi

Ada 4 hal pada persamaan transfer radiasi (Ambrocio, 2008), yaitu:

1. Divergence (penyimpangan)

2. Extinction (pemunahan)

3. Scattering (penyebaran)

4. Source (Sumber cahaya)


dVdtsrLsdPdiv ,ˆ,ˆ

dAdtsrLdsdP text ,ˆ,

ddssPtsrLdVdPs

ssca

4

ˆ.ˆ,ˆ,

dVdtsrQdPsrc ,ˆ,

Penurunan Persamaan Transfer Radiasi

Perubahan energi dalam elemen volume dV dalam elemen sudut

solid per satuan waktu diberikan sebagai berikut:

Dengan adalah perambatan energi per satuan volume per satuan

sudut padat. Dengan hukum kekekalan energi, diperoleh

persamaan sebagai berikut:

RTE


d

dVd

t

tsrL

cdP

,ˆ,1

c

L

srcscaextdiv dPdPdPdPdP

tsrQdssPtsrLtsrLtsrLst

tsrL

cst ,ˆ,ˆ,ˆ,ˆ,,ˆ,,ˆ,.,ˆ,1

4

Spherical Harmonic Secara umum Spherical harmonic didefinisikan sebagai berikut:

Dengan

Spherical harmonic mempunyai dua sifat, yaitu:

Delta kroneker didefinisikan sebagai pada saat dan

dan untuk yang lain.


im

mn

m

mnmn ePmn

mnnYsY

cos

!4!121,ˆ ,,,

n

nm

nm

n

m

mn xdx

d

n

xxP 1

!21 222

,

4,

*,,

*,,

ˆˆ

,1,

mmnnmnmn

mn

m

mn

dsYsY

YY

1, mmnn nn

mm 0, mmnn

METODE PENELITIAN


Diagram Alur

Menerapkan Transformasi Hopf-Cole Pada

Persamaan Difusi

Menerapkan Approksimasi Difusi Pada

Persamaan Transfer Radiasi

Mensimulasikan Hasil Estimasi (Koeffisien

Absorpsi dan Difusi)

Menganalisa Hasil Simulasi

Mengkaji Persamaan Tranfer Radiasi

PEMBAHASAN

Persamaan transfer radiasi (Radiative Transfer Equation (RTE)) adalah sebuah persamaan differensial yang mendiskripsikan radiasi .

Persamaan ini dapat diturunkan melalui hukum kekekalan energi. Singkatnya, RTE menunjukkan sinar dari energi cahaya yang hilang melalui penyerapan dan penyebaran dari sinar dan tambahan sumber cahaya dalam jaringan yang akan dibuat gambarnya.

RTE (persamaan Boltzman) ditulis sebagai berikut ( Wang dan Wu, 2007) :

(1)


tsrQdssPtsrLtsrLtsrLst

tsrL

cst ,ˆ,ˆ,ˆ,ˆ,,ˆ,,ˆ,.,ˆ,1

4

Keterangan RTE

adalah kecepatan cahaya yang masuk dalam

jaringan, ditentukan dengan indeks refraksi relatif

, koeffisien punahan

adalah fungsi keadaan yang

merepresentasikan probabilitas dari cahaya dengan

arah propagasi yang disebarkan pada sudut solid

mengelilingi . Dalam sebagian besar kasus , fungsi

keadaan hanya bergantung pada sudut antara

penyebaran dan penyerapan cahaya dengan arah

. Dengan kata lain . Penyebaran yang

tidak isotropi dapat diekspresikan sebagai berikut:

mendiskripsikan sumber cahaya.


c

st

ssP ˆ,ˆ

'ss

s ssPssP ˆ.ˆˆ,ˆ

d

sˆ

dssPssgs 4

ˆ.ˆˆ.ˆ

tsrQ ,ˆ,

Besaran-besaran pada definisi radiasi

Spektrum radiasi ( )

Radiasi ( )

(2)

Intensitas cahaya

(3)

Kepadatan aliran cahaya

(4)


vL

L

vtsrLtsrL v ),ˆ,(),ˆ,(

dtsrLtrs

),ˆ,(),(4

4

),ˆ,(ˆ),(s

dtsrLstrJ

APPROKSIMASI DIFUSI PADA RTE

Pada approksimasi difusi diasumsikan bahwa

penyinaran cahaya near-infra merah pada otak adalah

isotropik yaitu penyebarannya merata disetiap

komponen jaringan otak. Untuk mempelajari radiasi

dalam batas difusi, radiasi direpresentasikan sebagai

sebuah ekspansi spherical harmonic sebagai berikut:

(5)

Dengan menunjukkan spherical harmonic dan

menunjukkan koeffisien ekspansi. Komponen isotropik

dari sesuai dengan dan . Pada saat

dan ada komponen yang tidak isotropik


1

0,, ˆ,,ˆ,

n

n

nm

mnmn sYtrLtsrL

mnY , mnL ,

L 0n 0m 1n

1,0,1m


Dengan subtitusi persamaan (5) ke persamaan (3)

dan (4) akan menghasilkan:

Sehingga persamaan (5) menjadi:

(6)


4),()ˆ(),( 0,00,0

trsYtrL

1

1,1,1 ˆ).,(

43)ˆ(),(

m

mm strJsYtrL

),(43),(

41),ˆ,( trJtrtsrL


Subtisusi persamaan (6) ke persamaan transfer

radiasi (1) akan didapatkan persamaan difusi yang

bergantung pada waktu:

Selanjutnya, approksimasi difusi pada persamaan

transfer radiasi dapat ditulis pada kasus yang tidak

bergantung pada waktu sebagai berikut:


trQtrDtr

tc

tr ,,,,

)()()()( rQrrrrD

INVERS PROBLEM

Dalam penelitian ini jika diasumsikan adalah otak

yang menjadi domain dalam pembahasan pada

permukaan , maka dapat didefinisikan invers

problemnya adalah sebagai berikut: diberikan data

yaitu intensitas cahaya, maka akan ditemukan

koefisien difusi dan koefisien penyerapan .

Koefisien difusi dan koefisien penyerapan

selanjutnya disebut . Objek dari invers atau

parameter estimasi dalam masalah ini dipilih sebuah

parameter dengan meminimumkan kriteria eror

atau fungsional biaya.


D

Dq

*q

20

1

2, qqzqqJN

i

ii

APPROKSIMASI DIFUSI DENGAN BACKGROUND TETAP YANG HOMOGEN

Persamaan Strum-Louiville:

(7)

Dengan konstan, dengan kondisi batas rubin:

(8)

Dalam masalah ini invers problemnya adalah

mengestimasi skalar dari pengukuran kepadatan

photon yang diukur pada atau


022 q

Dq 2

0)0()0(

0)()( ll

qz 0x lx

TRANSFORMASI HOPF-COLE

Transformasi Hopf-Cole dimulai dengan transformasi

sebagai berikut (Evan, 1998):

Persamaan (7) dan (8) berubah menjadi :

(9)

konstan, dengan kondisi batas rubin:

(10)


lnD

022

2

DqD

Dq 2

D )0(

Dl )(

SOLUSI ANALITIK

Solusi analitik approksimasi difusi, solusi analitik

persamaan (7) dan (8):

(9)

Dengan keterangan:

Solusi analitik dengan transformasi Hopf-Cole,

(10)


qD

eeeeqx

qqqq

2);,(

lqe2

q

q

11

qDxeDqx qx 2ln;

SIMULASI

Pada simulasi ini diberikan kondisi batas Rubin

dengan dan . .Estimasi

awal untuk dihitung dengan rumus .

Untuk metode approksimasi difusi, besarnya

fungsional biaya dapat dihitung dengan rumus:

Sedangkan untuk metode transformasi Hopf-Cole,

besarnya fungsional biaya dapat dihitung dengan

rumus:


101,0 mm mmD 3,00q

20

20 );0();0( qqqqqJ

20

20 );0();0( qqqqqJ

.

Dq 2


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

Parameter Estimasi q

Fungsio

nal bia

ya

Parameter Estimasi dengan Approksimasi Difusi

Tanpa Regularisasi (lamda=0)

Dengan regularisasi (lamda=0.01)

Gambar 4.1 Parameter estimasi dengan approksimasi difusi

untuk dan

q

0 01.0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8


Fungsio

nal bia

ya

Parameter Estimasi dengan Transformasi Hopf-Cole



Gambar 4.1 Parameter estimasi dengan Transformasi

Hopf-Cole untuk dan

q

0 01.0


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09


Fungsio

nal bia

ya





untuk dan

q

0 05.0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8


Fungsio

nal bia

ya





Hopf-Cole untuk dan

q

0 05.0


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4


Fungsio

nal bia

ya





untuk dan

q

0 5.0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8


Fungsio

nal bia

ya





Hopf-Cole untuk dan

q

0 5.0

ANALISIS HASIL SIMULASI

Pada keenam gambar tersebut terlihat bahwa parameter regularisasi sangat berpengaruh terhadap besarnya fungsional biaya. Semakin besar parameter regularisasi, swmakin besar pula selisih fungsional biaya. Meskipun demikian pada ketiga gambar tersebut fungsional biaya bernilai minimum terletak pada daerah yang sama, yaitu terletak pada parameter estimasi disekitar dan parameter estimasi inilah yang dipilih sebagai parameter koeffisien absorpsi dan koeffisien difusi (q) yang mendekati parameter sebenarnya, karena tujuan dari simulasi ini adalah mencari parameter estimasi q yang menyebabkan nilai fungsional biaya minimum.


2,0q

Tabel 4.1 Selisih Fungsional Biaya (E) pada saat dan dengan metode Approksimasi Difusi


E E E E E

0 NaN 0.2 3.04E-06 0.4 0.000473 0.6 0.001742 0.8 0.003812

0.01 0.000298 0.21 7.52E-06 0.41 0.000517 0.61 0.001827 0.81 0.003937

0.02 0.000264 0.22 1.4E-05 0.42 0.000564 0.62 0.001913 0.82 0.004063

0.03 0.000233 0.23 2.25E-05 0.43 0.000612 0.63 0.002002 0.83 0.004192

0.04 0.000203 0.24 3.3E-05 0.44 0.000663 0.64 0.002092 0.84 0.004322

0.05 0.000176 0.25 4.55E-05 0.45 0.000715 0.65 0.002185 0.85 0.004455

0.06 0.00015 0.26 5.99E-05 0.46 0.00077 0.66 0.002279 0.86 0.004589

0.07 0.000127 0.27 7.64E-05 0.47 0.000826 0.67 0.002376 0.87 0.004726

0.08 0.000105 0.28 9.49E-05 0.48 0.000885 0.68 0.002474 0.88 0.004864

0.09 8.57E-05 0.29 0.000115 0.49 0.000945 0.69 0.002575 0.89 0.005005

0.1 6.82E-05 0.3 0.000138 0.5 0.001008 0.7 0.002677 0.9 0.005147

0.11 5.27E-05 0.31 0.000162 0.51 0.001072 0.71 0.002782 0.91 0.005291

0.12 3.92E-05 0.32 0.000189 0.52 0.001139 0.72 0.002888 0.92 0.005438

0.13 2.76E-05 0.33 0.000217 0.53 0.001207 0.73 0.002997 0.93 0.005586

0.14 1.81E-05 0.34 0.000248 0.54 0.001278 0.74 0.003107 0.94 0.005737

0.15 1.06E-05 0.35 0.00028 0.55 0.00135 0.75 0.00322 0.95 0.005889

0.16 5.1E-06 0.36 0.000315 0.56 0.001425 0.76 0.003334 0.96 0.006044

0.17 1.58E-06 0.37 0.000351 0.57 0.001501 0.77 0.003451 0.97 0.0062

0.18 6.63E-08 0.38 0.00039 0.58 0.001579 0.78 0.003569 0.98 0.006359

0.19 5.51E-07 0.39 0.00043 0.59 0.00166 0.79 0.00369 0.99 0.006519

001.0

Tabel 4.2 Selisih Fungsional Biaya (E) pada saat dan dengan metode Approksimasi Difusi


005.0

E E E E E

0 NaN 0.2 1.52E-05 0.4 0.002364 0.6 0.008712 0.8 0.019061

0.01 0.001489 0.21 3.76E-05 0.41 0.002586 0.61 0.009135 0.81 0.019683

0.02 0.001322 0.22 7E-05 0.42 0.002819 0.62 0.009567 0.82 0.020316

0.03 0.001164 0.23 0.000112 0.43 0.003061 0.63 0.010009 0.83 0.020958

0.04 0.001016 0.24 0.000165 0.44 0.003313 0.64 0.010462 0.84 0.02161

0.05 0.000879 0.25 0.000227 0.45 0.003576 0.65 0.010924 0.85 0.022273

0.06 0.000751 0.26 0.0003 0.46 0.003848 0.66 0.011397 0.86 0.022945

0.07 0.000634 0.27 0.000382 0.47 0.004131 0.67 0.011879 0.87 0.023628

0.08 0.000526 0.28 0.000475 0.48 0.004423 0.68 0.012372 0.88 0.02432

0.09 0.000428 0.29 0.000577 0.49 0.004726 0.69 0.012874 0.89 0.025023

0.1 0.000341 0.3 0.000689 0.5 0.005038 0.7 0.013386 0.9 0.025735

0.11 0.000263 0.31 0.000812 0.51 0.00536 0.71 0.013909 0.91 0.026457

0.12 0.000196 0.32 0.000944 0.52 0.005693 0.72 0.014441 0.92 0.02719

0.13 0.000138 0.33 0.001087 0.53 0.006035 0.73 0.014984 0.93 0.027932

0.14 9.06E-05 0.34 0.001239 0.54 0.006388 0.74 0.015536 0.94 0.028685

0.15 5.31E-05 0.35 0.001402 0.55 0.00675 0.75 0.016099 0.95 0.029447

0.16 2.55E-05 0.36 0.001574 0.56 0.007123 0.76 0.016671 0.96 0.03022

0.17 7.91E-06 0.37 0.001756 0.57 0.007505 0.77 0.017253 0.97 0.031002

0.18 3.31E-07 0.38 0.001949 0.58 0.007897 0.78 0.017846 0.98 0.031794

0.19 2.76E-06 0.39 0.002151 0.59 0.0083 0.79 0.018448 0.99 0.032597

Tabel 4.3 Selisih Fungsional Biaya (E) pada saat dan dengan metode Approksimasi Difusi dan

Transformasi Hopf-Cole


05.0

E E E E E

0 NaN 0.2 0.000152 0.4 0.023637 0.6 0.087122 0.8 0.190607

0.01 0.014891 0.21 0.000376 0.41 0.025861 0.61 0.091346 0.81 0.196832

0.02 0.013215 0.22 0.0007 0.42 0.028186 0.62 0.095671 0.82 0.203156

0.03 0.011639 0.23 0.001125 0.43 0.03061 0.63 0.100095 0.83 0.20958

0.04 0.010164 0.24 0.001649 0.44 0.033134 0.64 0.104619 0.84 0.216104

0.05 0.008788 0.25 0.002273 0.45 0.035758 0.65 0.109243 0.85 0.222729

0.06 0.007512 0.26 0.002997 0.46 0.038483 0.66 0.113968 0.86 0.229453

0.07 0.006336 0.27 0.003822 0.47 0.041307 0.67 0.118792 0.87 0.236277

0.08 0.005261 0.28 0.004746 0.48 0.044231 0.68 0.123716 0.88 0.243201

0.09 0.004285 0.29 0.00577 0.49 0.047255 0.69 0.12874 0.89 0.250226

0.1 0.003409 0.3 0.006894 0.5 0.05038 0.7 0.133865 0.9 0.25735

0.11 0.002634 0.31 0.008119 0.51 0.053604 0.71 0.139089 0.91 0.264574

0.12 0.001958 0.32 0.009443 0.52 0.056928 0.72 0.144413 0.92 0.271898

0.13 0.001382 0.33 0.010867 0.53 0.060352 0.73 0.149838 0.93 0.279323

0.14 0.000906 0.34 0.012391 0.54 0.063877 0.74 0.155362 0.94 0.286847

0.15 0.000531 0.35 0.014016 0.55 0.067501 0.75 0.160986 0.95 0.294471

0.16 0.000255 0.36 0.01574 0.56 0.071225 0.76 0.16671 0.96 0.302195

0.17 7.91E-05 0.37 0.017564 0.57 0.075049 0.77 0.172535 0.97 0.31002

0.18 3.31E-06 0.38 0.019488 0.58 0.078974 0.78 0.178459 0.98 0.317944

0.19 2.76E-05 0.39 0.021513 0.59 0.082998 0.79 0.184483 0.99 0.325968

Tabel 4.4 Selisih Fungsional Biaya (E) pada saat dan dengan metode Transformasi Hopf-Cole


E E E E E

0 NaN 0.2 3.04E-06 0.4 0.000473 0.6 0.001742 0.8 0.003812

0.01 0.000298 0.21 7.52E-06 0.41 0.000517 0.61 0.001827 0.81 0.003937

0.02 0.000264 0.22 1.4E-05 0.42 0.000564 0.62 0.001913 0.82 0.004063

0.03 0.000233 0.23 2.25E-05 0.43 0.000612 0.63 0.002002 0.83 0.004192

0.04 0.000203 0.24 3.3E-05 0.44 0.000663 0.64 0.002092 0.84 0.004322

0.05 0.000176 0.25 4.55E-05 0.45 0.000715 0.65 0.002185 0.85 0.004455

0.06 0.00015 0.26 5.99E-05 0.46 0.00077 0.66 0.002279 0.86 0.004589

0.07 0.000127 0.27 7.64E-05 0.47 0.000826 0.67 0.002376 0.87 0.004726

0.08 0.000105 0.28 9.49E-05 0.48 0.000885 0.68 0.002474 0.88 0.004864

0.09 8.57E-05 0.29 0.000115 0.49 0.000945 0.69 0.002575 0.89 0.005005

0.1 6.82E-05 0.3 0.000138 0.5 0.001008 0.7 0.002677 0.9 0.005147

0.11 5.27E-05 0.31 0.000162 0.51 0.001072 0.71 0.002782 0.91 0.005291

0.12 3.92E-05 0.32 0.000189 0.52 0.001139 0.72 0.002888 0.92 0.005438

0.13 2.76E-05 0.33 0.000217 0.53 0.001207 0.73 0.002997 0.93 0.005586

0.14 1.81E-05 0.34 0.000248 0.54 0.001278 0.74 0.003107 0.94 0.005737

0.15 1.06E-05 0.35 0.00028 0.55 0.00135 0.75 0.00322 0.95 0.005889

0.16 5.1E-06 0.36 0.000315 0.56 0.001425 0.76 0.003334 0.96 0.006044

0.17 1.58E-06 0.37 0.000351 0.57 0.001501 0.77 0.003451 0.97 0.0062

0.18 6.63E-08 0.38 0.00039 0.58 0.001579 0.78 0.003569 0.98 0.006359

0.19 5.51E-07 0.39 0.00043 0.59 0.00166 0.79 0.00369 0.99 0.006519

001.0



005.0

E E E E E

0 NaN 0.2 1.52E-05 0.4 0.002364 0.6 0.008712 0.8 0.019061

0.01 0.001489 0.21 3.76E-05 0.41 0.002586 0.61 0.009135 0.81 0.019683

0.02 0.001322 0.22 7E-05 0.42 0.002819 0.62 0.009567 0.82 0.020316

0.03 0.001164 0.23 0.000112 0.43 0.003061 0.63 0.010009 0.83 0.020958

0.04 0.001016 0.24 0.000165 0.44 0.003313 0.64 0.010462 0.84 0.02161

0.05 0.000879 0.25 0.000227 0.45 0.003576 0.65 0.010924 0.85 0.022273

0.06 0.000751 0.26 0.0003 0.46 0.003848 0.66 0.011397 0.86 0.022945

0.07 0.000634 0.27 0.000382 0.47 0.004131 0.67 0.011879 0.87 0.023628

0.08 0.000526 0.28 0.000475 0.48 0.004423 0.68 0.012372 0.88 0.02432

0.09 0.000428 0.29 0.000577 0.49 0.004726 0.69 0.012874 0.89 0.025023

0.1 0.000341 0.3 0.000689 0.5 0.005038 0.7 0.013386 0.9 0.025735

0.11 0.000263 0.31 0.000812 0.51 0.00536 0.71 0.013909 0.91 0.026457

0.12 0.000196 0.32 0.000944 0.52 0.005693 0.72 0.014441 0.92 0.02719

0.13 0.000138 0.33 0.001087 0.53 0.006035 0.73 0.014984 0.93 0.027932

0.14 9.06E-05 0.34 0.001239 0.54 0.006388 0.74 0.015536 0.94 0.028685

0.15 5.31E-05 0.35 0.001402 0.55 0.00675 0.75 0.016099 0.95 0.029447

0.16 2.55E-05 0.36 0.001574 0.56 0.007123 0.76 0.016671 0.96 0.03022

0.17 7.91E-06 0.37 0.001756 0.57 0.007505 0.77 0.017253 0.97 0.031002

0.18 3.31E-07 0.38 0.001949 0.58 0.007897 0.78 0.017846 0.98 0.031794

0.19 2.76E-06 0.39 0.002151 0.59 0.0083 0.79 0.018448 0.99 0.032597



05.0

E E E E E

0 NaN 0.2 0.000152 0.4 0.023637 0.6 0.087122 0.8 0.190607

0.01 0.014891 0.21 0.000376 0.41 0.025861 0.61 0.091346 0.81 0.196832

0.02 0.013215 0.22 0.0007 0.42 0.028186 0.62 0.095671 0.82 0.203156

0.03 0.011639 0.23 0.001125 0.43 0.03061 0.63 0.100095 0.83 0.20958

0.04 0.010164 0.24 0.001649 0.44 0.033134 0.64 0.104619 0.84 0.216104

0.05 0.008788 0.25 0.002273 0.45 0.035758 0.65 0.109243 0.85 0.222729

0.06 0.007512 0.26 0.002997 0.46 0.038483 0.66 0.113968 0.86 0.229453

0.07 0.006336 0.27 0.003822 0.47 0.041307 0.67 0.118792 0.87 0.236277

0.08 0.005261 0.28 0.004746 0.48 0.044231 0.68 0.123716 0.88 0.243201

0.09 0.004285 0.29 0.00577 0.49 0.047255 0.69 0.12874 0.89 0.250226

0.1 0.003409 0.3 0.006894 0.5 0.05038 0.7 0.133865 0.9 0.25735

0.11 0.002634 0.31 0.008119 0.51 0.053604 0.71 0.139089 0.91 0.264574

0.12 0.001958 0.32 0.009443 0.52 0.056928 0.72 0.144413 0.92 0.271898

0.13 0.001382 0.33 0.010867 0.53 0.060352 0.73 0.149838 0.93 0.279323

0.14 0.000906 0.34 0.012391 0.54 0.063877 0.74 0.155362 0.94 0.286847

0.15 0.000531 0.35 0.014016 0.55 0.067501 0.75 0.160986 0.95 0.294471

0.16 0.000255 0.36 0.01574 0.56 0.071225 0.76 0.16671 0.96 0.302195

0.17 7.91E-05 0.37 0.017564 0.57 0.075049 0.77 0.172535 0.97 0.31002

0.18 3.31E-06 0.38 0.019488 0.58 0.078974 0.78 0.178459 0.98 0.317944

0.19 2.76E-05 0.39 0.021513 0.59 0.082998 0.79 0.184483 0.99 0.325968

LANJUTAN...

Dari perbandingan ketiga gambar dengan metode approksimasi difusi dan ketiga gambar dengan metode transformasi Hopf-Cole diperoleh selisih nilai fungsional biaya yang sama, bisa dilihat dari tabel 4.1 sama dengan tabel 4.4, tabel 4.2 sama dengan tabel 4.5, dan tabel 4.3 sama dengan tabel 4.6. Adapun yang membedakan antara kedua metode adalah transformasi Hopf-Cole membuat grafik fungsional biaya lebih konveks. Transformasi juga mengubah skala penyelesaian pada fungsional biaya. Selain itu regularisasi pada transformasi Hopf-Cole tidak banyak mengubah kekonvekan dari fungsional biaya. Pada gambar juga terlihat bahwa pada transformasi Hopf-Cole fungsional biaya lebih sensitif terhadap perubahan parameter q, dengan kata lain metode numerik dimulai dimanapun akan konvergen pada parameter yang sebenarnya, sehingga bisa dikatakan bahwa transformasi Hopf-Cole memperbaiki stabilitas invers problem.


KESIMPULAN

a. Penyelesaian persamaan transfer radiasi pada invers problem pencitraan kanker otak dengan background tetap yang homogen berdimensi 1 menggunakan metode approksimasi difusi disimulasikan dengan hubungan antara fungsional biaya dengan parameter estimasi q ( koefisien absorpsi dan difusi).

b. Parameter estimasi yang dipilih adalah parameter q yang menyebabkan nilai fungsional biaya minimum. Dari hasil simulasi didapatkan fungsional biaya bernilai minimum pada saat parameter estimasi disekitar 0.2.

c. Besarnya parameter regularisasi pada fungsional biaya sangat berpengaruh baik dengan metode approksimasi difusi maupun metode transformasi Hopf-Cole. Semakin besar parameter regularisasi maka semakin besar pula error atau selisih nilai fungsional biaya.


KESIMPULAN

d. Transformasi Hopf-Cole mengubah skala penyelesaian pada fungsional biaya. Selain itu regularisasi pada transformasi Hopf-Cole tidak banyak mengubah kekonvekan dari fungsional biaya.

e. Pada transformasi Hopf-Cole, fungsional biaya lebih sensitif terhadap perubahan parameter q, dengan kata lain metode numerik dimulai dimanapun akan konvergen pada parameter yang sebenarnya, sehingga bisa dikatakan bahwa transformasi Hopf-Cole memperbaiki stabilitas invers problem.


SARAN

a. Perlu dilakukan penelitian lebih lanjut tentang penyelesaian persamaan transfer radiasi pada invers problem pencitraan kanker otak dalam medium yang tidak homogen.

b. Perlu dilakukan penelitian lebih lanjut tentang penyelesaian persamaan transfer radiasi pada invers problem pencitraan kanker otak dalam medium dengan dimensi yang lebih tinggi


DAFTAR PUSTAKA Alcouffe, R, Barbour, R, dan Hielscher, A, (1998), “Comparison of finite-difference transport and diffussion calculations for photon migration in homogenous and heterogenous tissues”, Phys. Med. Biol, 42:1285-1302

Alfano, R.R dan Chance, B, (1995), “Optical tomography, photon migration, and spectroscopy of tissue and model media”, theory, human studies, and instrumentations, part 1 dan 2, volume 2389, SPIE

Ambrocio, E, (2008), “ A Self-Consisten Obstacle Scattering Theory for the Diffusion Approximation of the Radiative Transport Equation”, A Technical report submitted in partial fulfillment of the requirement for degree of Master of Science, University of California, Merced

Asrul, (2010), “Kanker Otak”, http://dokter-herbal.com

/kanker-otak.html diakses pada tanggal 27 Januari 2011.

Evans, L, C, (1998), Partial Differential Equations, 19, American Mathematical Society

Ishimaru, A, (1978), Single Scattering an Transport Theory (Wave Propagation and Scattering in Random Media I, Academic, New York


http://dokter-herbal.com/kanker-otak.html










DAFTAR PUSTAKA

Jakob, W dan Marschner, S, (2009), Lecture handout: Diffusion Approximation, Cornell University

Kaipio, J dan Somersalo, E, (2004), Statistical and Computational Invers Problem, 160, Helsinki dan Kuopio.

Khan, T, R, (2007), “ Invers Problem In Optical Tomography Using Diffusion Approximation and Hopf-Cole Transformation”, Departement of Mathematical Science, Clemson University, SC 29634-0975, Clemson

Natterer, F, (2001), Mathematical Methods in Image Recontruction, Siam

Ohwada, T, (2009), “Cole-Hopf Transformation as Numerical Tool For The Burgers Equation”, Departement of Aeronautics and Astronautics, Graduate of School of Engineering, 606-8501, Kyoto Japan

Tahir, K, (2007), “Optical Tomography”, http://www.imperial.ac.uk/research/photonics/reseach/topics /tomog diakses pada tanggal 17 Desember 2010.

Wang, LV, dan Wu, HI, (2007), Biomedical Optics, Wiley. ISBN 9780471743040


http://www.imperial.ac.uk/research/photonics/reseach/topics/tomog




PERSAMAAN TRANSFER RADIASI


INVERS PROBLEM

APPROKSIMASI DIFUSI

PERSAMAAN TRANSFER RADIASI


Terima Kasih

transformasi hopf-cole pada approksimasi difusi...

Documents