transformada zzzz

Download Transformada Zzzz

Post on 10-Dec-2015

213 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

DESCRIPTION

1

TRANSCRIPT

  • Transformada Z

    Definio

    uma transformao aplicada a sinais de tempo discreto para o domnio da varivel complexa. Z. semelhante

    Transformada de Laplace, porm aplicada a sinais de tempo discreto. A Transformada Z direta dada por:

    E a Transformada Z inversa dada por:

    Ou seja, pela frmula mais complicada, raramente utilizaremos a definio para calcular a transformada Z inversa.

    Propriedades e Teoremas da Transformada Z

    Linearidade

    Prova: Definio

    Deslocamento para direita de f[n]u[n] no tempo discreto

    Prova:

  • Deslocamento para direita de f[n] no tempo discreto

    a generalizao da propriedade anterior considerando os valores de f[n] para n < 0.

    Prova:

    Para m=1, temos:

    E para m=2:

    Essas expresses so semelhantes s obtidas para as derivadas na transformada de Laplace. A explicao que, em

    tempo discreto, as equaes de diferenas so equivalentes s equaes diferenciais.

  • Deslocamento para esquerda de f[n] no tempo discreto

    Prova:

    Para m=1, temos:

    E para m=2:

    Multiplicao por an no tempo discreto

    Prova:

  • Multiplicao por e-naT no tempo discreto

    Prova:

    Multiplicao por n e n2 no tempo discreto

    Prova:

    Somatrio dos termos da sequncia no tempo discreto

    Prova:

  • Convoluo no tempo discreto

    Seja x[n] uma sequncia causal (x[n] = 0, para n < 0) e seja h[n] a resposta ao impulso de um sistema causal, ou seja,

    h[n] = Z {[n]} onde [n] o impulso unitrio no tempo discreto. Como o sistema causal tambm temos h[n] = 0,

    para n < 0.

    Podemos escrever uma sequncia x[n] pelo valor de seus termos, ou seja, x[n] = {x[0], x[1], ..., x[m], ...}

    Mas,

    Ento y[n], que a resposta do sistema entrada x[n], pode ser escrita como:

    Ou, escrevendo em forma de convoluo discreta:

    y[n] = x[n] * h[n]

  • Transformada da Convoluo no tempo discreto

    Se,

    Ento:

    Prova:

    Transformada da multiplicao de sequncias no tempo discreto

    Teorema do Valor Inicial

    Prova:

  • Teorema do Valor Final

    Prova:

  • Transformadas Z de funes comuns no tempo discreto

    Transformada da sequncia geomtrica

    Seja a sequncia geomtrica f[n] definida por:

    e:

  • Lembrando que z uma varivel complexa e que podemos escrever:

    Se:

    Temos:

    Como:

    Finalmente:

    Transformada do degrau unitrio discreto

  • Fazendo a = 1, temos:

    Transformada da sequncia exponencial discreta

    Fazendo a = e-aT

    Transformada do seno e cosseno discretos no tempo

  • Transformada da rampa unitria discreta

    Tabela de Transformadas e de Propriedades

  • Transformada Z inversa

    Expanso em Fraes Parciais

    o mtodo utilizado tambm na Transformada de Laplace Inversa. A nica diferena que, como vimos na tabela,

    as transformadas conhecidas so do tipo:

    Utilizaremos um artifcio para colocar o z no numerador de cada frao parcial. Para isto, basta expandirmos F(z)/z

    ao invs de somente F(z), ou seja:

    Depois s multiplicar tudo por z e teremos as fraes parciais desejadas.

    Examplos

    Calcule a transformada inversa das funes abaixo:

    Diviso Longa de Polinmios

    Outra forma de se obter a transformada Z inversa utilizar a diviso longa de polinmios. Este mtodo no d uma

    forma fechada para a sequncia f[n], mas adequado quando queremos descobrir apenas alguns termos da

    mesma. Vejamos um exemplo.

  • Examplo

    Determine f[0[, f[1] e f[2] de uma sequncia cuja transformada Z dada por:

    Reescrevendo F(z):

    Dividindo os polinmios:

    Como:

    e:

    Temos:

  • Funo de Transferncia de Sistemas Discretos Equaes de Diferenas

    Assim como temos equaes diferenciais que descrevem sistemas em tempo contnuo, em tempo discreto temos as

    equaes de diferenas, que so do tipo:

    Supondo sistemas causais e aplicando a transformada Z em ambos os lados, vem:

    Definindo:

    Se x[n] = [n], X(z) = 1 e a resposta do sistema Y(z) = H(z), ou seja, H(z) a Transformada Z da resposta do sistema

    entrada impulso unitrio discreto ([n]), e:

    Que a resposta do sistema ao impulso unitrio discreto.

    Examplo

    A equao de diferenas que descreve um sistema discreto dada por:

    a) Calcule a Funo de Transferncia do Sistema - H(z)

    b) Qual a resposta ao impulso do sistema?

    c) Calcule a resposta do sistema quando a entrada for um degrau unitrio discreto.