transformada zzzz

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Transformada Z Definição É uma transformação aplicada a sinais de tempo discreto para o domínio da variável complexa. Z. É semelhante à Transformada de Laplace, porém aplicada a sinais de tempo discreto. A Transformada Z direta é dada por: E a Transformada Z inversa é dada por: Ou seja, pela fórmula mais complicada, raramente utilizaremos a definição para calcular a transformada Z inversa. Propriedades e Teoremas da Transformada Z Linearidade Prova: Definição Deslocamento para direita de f[n]u[n] no tempo discreto Prova:

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Transformada Z

Definição

É uma transformação aplicada a sinais de tempo discreto para o domínio da variável complexa. Z. É semelhante à

Transformada de Laplace, porém aplicada a sinais de tempo discreto. A Transformada Z direta é dada por:

E a Transformada Z inversa é dada por:

Ou seja, pela fórmula mais complicada, raramente utilizaremos a definição para calcular a transformada Z inversa.

Propriedades e Teoremas da Transformada Z

Linearidade

Prova: Definição

Deslocamento para direita de f[n]u[n] no tempo discreto

Prova:

Deslocamento para direita de f[n] no tempo discreto

É a generalização da propriedade anterior considerando os valores de f[n] para n < 0.

Prova:

Para m=1, temos:

E para m=2:

Essas expressões são semelhantes às obtidas para as derivadas na transformada de Laplace. A explicação é que, em

tempo discreto, as equações de diferenças são equivalentes às equações diferenciais.

Deslocamento para esquerda de f[n] no tempo discreto

Prova:

Para m=1, temos:

E para m=2:

Multiplicação por an no tempo discreto

Prova:

Multiplicação por e-naT no tempo discreto

Prova:

Multiplicação por n e n2 no tempo discreto

Prova:

Somatório dos termos da sequência no tempo discreto

Prova:

Convolução no tempo discreto

Seja x[n] uma sequência causal (x[n] = 0, para n < 0) e seja h[n] a resposta ao impulso de um sistema causal, ou seja,

h[n] = Z {δ[n]} onde δ[n] é o impulso unitário no tempo discreto. Como o sistema é causal também temos h[n] = 0,

para n < 0.

Podemos escrever uma sequência x[n] pelo valor de seus termos, ou seja, x[n] = {x[0], x[1], ..., x[m], ...}

Mas,

Então y[n], que é a resposta do sistema à entrada x[n], pode ser escrita como:

Ou, escrevendo em forma de convolução discreta:

y[n] = x[n] * h[n]

Transformada da Convolução no tempo discreto

Se,

Então:

Prova:

Transformada da multiplicação de sequências no tempo discreto

Teorema do Valor Inicial

Prova:

Teorema do Valor Final

Prova:

Transformadas Z de funções comuns no tempo discreto

Transformada da sequência geométrica

Seja a sequência geométrica f[n] definida por:

e:

Lembrando que z é uma variável complexa e que podemos escrever:

Se:

Temos:

Como:

Finalmente:

Transformada do degrau unitário discreto

Fazendo a = 1, temos:

Transformada da sequência exponencial discreta

Fazendo a = e-aT

Transformada do seno e cosseno discretos no tempo

Transformada da rampa unitária discreta

Tabela de Transformadas e de Propriedades

Transformada Z inversa

Expansão em Frações Parciais

É o método utilizado também na Transformada de Laplace Inversa. A única diferença é que, como vimos na tabela,

as transformadas conhecidas são do tipo:

Utilizaremos um artifício para colocar o “z” no numerador de cada fração parcial. Para isto, basta expandirmos F(z)/z

ao invés de somente F(z), ou seja:

Depois é só multiplicar tudo por z e teremos as frações parciais desejadas.

Examplos

Calcule a transformada inversa das funções abaixo:

Divisão Longa de Polinômios

Outra forma de se obter a transformada Z inversa é utilizar a divisão longa de polinômios. Este método não dá uma

forma “fechada” para a sequência f[n], mas é adequado quando queremos descobrir apenas alguns termos da

mesma. Vejamos um exemplo.

Examplo

Determine f[0[, f[1] e f[2] de uma sequência cuja transformada Z é dada por:

Reescrevendo F(z):

Dividindo os polinômios:

Como:

e:

Temos:

Função de Transferência de Sistemas Discretos – Equações de Diferenças

Assim como temos equações diferenciais que descrevem sistemas em tempo contínuo, em tempo discreto temos as

equações de diferenças, que são do tipo:

Supondo sistemas causais e aplicando a transformada Z em ambos os lados, vem:

Definindo:

Se x[n] = δ[n], X(z) = 1 e a resposta do sistema Y(z) = H(z), ou seja, H(z) é a Transformada Z da resposta do sistema à

entrada impulso unitário discreto (δ[n]), e:

Que é a resposta do sistema ao impulso unitário discreto.

Examplo

A equação de diferenças que descreve um sistema discreto é dada por:

a) Calcule a Função de Transferência do Sistema - H(z)

b) Qual a resposta ao impulso do sistema?

c) Calcule a resposta do sistema quando a entrada for um degrau unitário discreto.