transformada z
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TRANSFORMADA Z
Ing. Juan Sacerdoti
Departamento de Matemática
Facultad de Ingeniería
Universidad de Buenos Aires
2003
V 2.07
ÍNDICE
TRANSFORMADA Z 1.- INTRODUCCIÓN 1.1- SISTEMAS Y SEÑALES 1.1.1.- DESCRIPCIÓN Y ELEMENTOS DE UN SISTEMA DE SEÑALES 1.1.2.- VARIANTES DE MODELOS DE SISTEMA 1.1.2.1.- SISTEMA SIN CONTROL (DE LAZO ABIERTO) 1.1.2.2.- SISTEMA CON CONTROL O CON REALIMENTACIÓN (DE LAZO CERRADO) 1.1.2.3.- SISTEMAS CON PERTURBACIONES 1.1.2.4.- EJEMPLO DE UN SISTEMA CON CONTROL Y PERTURBACIONES 1.2.- TIPIFICACIÓN DE SISTEMAS 1.2.1.- SEÑALES Y SISTEMAS DE TIEMPO CONTINUO Y DISCRETO 1.2.1.1.- DEFINICIONES DE SEÑALES Y SISTEMAS DE TIEMPO CONTINUO Y DISCRETO 1.2.1.2.- CONVERSIONES ANALÓGICA/DIGITAL (A/D) Y DIGITAL/ANALÓGICA (D/A) 1.2.1.2.1.- CONVERSIÓN A/D 1.2.1.2.2.- CONVERSIÓN D/A 1.2.2.- SISTEMAS CON Y SIN MEMORIA 1.2.3.- SISTEMA CAUSAL 1.2.4.- SISTEMA ESTABLE 1.2.5.- SISTEMAS LINEALES 1.2.6.- SISTEMAS INVARIANTES 1.3.- TRANSFORMADAS EN GENERAL Y TRANSFORMADA ZETA 1.3.1.- QUE ES UNA TRANSFORMADA 1.3.2.- QUE ES LA TRANSFORMADA ZETA Y SUS APLICACIONES 1.4.- APLICACIONES DE TRANSFORMADA ZETA: SISTEMAS TDLI 1.5.- SEÑALES PARTICULARES 1.6.- ELEMENTOS DE LOS SISTEMAS TDLI
2.- DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA ZETA
2.1.- TEOREMA DE LA SERIE DE LAURENT 2.2.- DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA ZETA 2.3.- CAMPO O REGIÓN DE CONVERGENCIA (ROC) 2.4.- NOTACIÓN 2.5.- REDUCCIÓN A LA TRANSFORMADA FINITA DE FOURIER 3.- TRANSFORMADA ZETA DE SUCESIONES ELEMENTALES
3.1.- ESCALON UNITARIO u[n] 3.2.- IMPULSO UNITARIO δδδδ[n] 3.3.- TABLA DE TRANSFORMADAS ZETA DE FUNCIONES ELEMENTALES
4.- PROPIEDADES 4.1.- LINEALIDAD 4.2.- DESPLAZAMIENTO EN TIEMPO 4.3.- DESPLAZAMIENTO z – a 4.4.- MODULACIÓN DE SUCESIÓN EN TIEMPO 4.4.1.- MODULACIÓN CON an
4.4.2.- MODULACIÓN CON eiααααn
4.5.- CAMBIO DE ESCALA 4.5.1.- GENÉRICO 4.5.2.- INVERSIÓN EN z 4.6.- TZ DE LA DIFERENCIA FINITA 4.6.1.- PRIMERA DIFERENCIA 4.6.2.- SEGUNDA DIFERENCIA 4.7.- TZ DE LA SUMA FINITA 4.8.- DERIVADA DE LA TZ 4.9.- PRIMITIVA DE LA TZ 4.9.1.- PRIMITIVA DE LA TZ EN EL ANILLO A(r1,r2) 4.9.2.- PRIMITIVA DE LA TZ EN EL ANILLO A(r1,∞∞∞∞) 4.10.- CONVOLUCIÓN DE SUCESIONES. ANTITRANSFORMADA DEL PRODUCTO DE TRANSFORMADAS. 4.11.- CONVOLUCIÓN DE TRANSFORMADAS. TRANSFORMADA DE PRODUCTO DE SUCESIONES 4.12.- SUCESIÓN PERIÓDICA 4.13.- RESUMEN DE PROPIEDADES
5.- TRANSFORMADA ZETA UNILATERAL - CAUSAL
5.1.- DEFINICIÓN DE FUNCIÓN CAUSAL 5.2.- DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA ZETA UNILATERAL 5.3.- CAMPO DE CONVERGENCIA DE LA CAUSAL 5.4.- NOTACIÓN 5.5.- PROPIEDADES DE LA CAUSAL 5.5.1.- DESPLAZAMIENTO EN TIEMPO DE LA CAUSAL 5.5.2.- DIFERENCIAS FINITAS 5.5.2.1.- CAUSAL DE LA PRIMERA DIFERENCIA 5.5.2.2.- CAUSAL DE LA SEGUNDA DIFERENCIA 5.5.3.- CONVOLUCIÓN DE LA CAUSAL 5.5.4.- TEOREMA DE RIEMANN Y COROLARIOS 5.5.5.- TEOREMA DEL VALOR INICIAL 5.5.6.- TEOREMA DEL VALOR FINAL 5.6. RESUMEN DE PROPIEDADES ESPECÍFICAS DE LA TRANSFORMADA ZETA UNILATERAL 6.- APROXIMACIÓN ENTRE LAS SEÑALES DE TIEMPO CONTINUO Y DISCRETO 6.1.- ERRORES DE LA APROXIMACIÓN 6.2.- RELACIÓN ENTRE LA TRANSFORMADA ZETA UNILATERAL Y LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 6.3.- APROXIMACIÓN DERIVADAS CON DIFERENCIAS FINITAS 6.4.- APROXIMACIÓN ECUACIONES DIFERENCIALES CON ECUACIONES EN DIFERENCIAS FINITAS 6.5.- APROXIMACIÓN DE INTEGRALES CON SUMAS FINITAS 6.5.1.- INTEGRALES DE RIEMANN 6.5.2.- INTEGRALES IMPROPIAS
7.- APLICACIONES 7.1.- RESOLUCIÓN DE ECUACIONES EN DIFERENCIAS 7.1.1.- ECUACIONES EN DIFERENCIAS FINITAS SIN CONDICIONES INICIALES 7.1.2.- ECUACIONES EN DIFERENCIAS FINITAS CON CONDICIONES INICIALES 7.2 .- APLICACIONES A SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO LINEALES E INVARIANTES. (TDLI) 7.2.1.- SISTEMAS TDLI EN EL CAMPO z 7.2.2.- EJEMPLOS DE TDLI 7.3.- APROXIMACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES POR ECUACIONES EN DIFERENCIAS FINITAS
8.- TABLA DE TRANSFORMADAS ZETA
9.- EJERCICIOS RESUELTOS DE TRANSFORMADAS ZETA
Agradecimientos: Se agradece a todos los docentes y alumnos que han aportado observaciones y comentarios al texto,
especialmente a mi ayudante Juan Pablo Frías.
TRANSFORMADA ZETA
1.– INTRODUCCIÓN
La Transformada Zeta (TZ) es un modelo matemático que se emplea entre otras aplicaciones en el estudio del
Procesamiento de Señales Digitales, como son el análisis y proyecto de Circuitos Digitales, los Sistemas de Radar o Telecomunicaciones y especialmente los Sistemas de Control de Procesos por computadoras.
La TZ es un ejemplo más de Transformada, como lo son la Transformada de Fourier para el caso de tiempo discreto y las Transformada de Fourier y Laplace para el caso del tiempo continuo.
La importancia del modelo de la Transformada Z radica en que permite reducir Ecuaciones en Diferencias o
ecuaciones recursivas con coeficientes constantes a Ecuaciones Algebraicas lineales. Se introducen en primer término algunos elementos de Sistemas y Señales. 1.1.- SISTEMAS Y SEÑALES 1.1.1.- DESCRIPCIÓN Y ELEMENTOS DE UN SISTEMA DE SEÑALES Se llama Sistema a un conjunto de elementos de cualquier tipo, naturales o artificiales (construidos por el
hombre) como mecanismos, máquinas, circuitos etc. Un Sistema está sometido a la excitación de una Señal de Entrada o de Control (causa) a la cual le responde
transformándola en una Señal de Salida (efecto).
Las señales de Entrada y de Salida son funciones de una o más variables.
El modelo de un Sistema para analizar y diseñar el comportamiento causa- efecto se puede representar por el siguiente esquema:
Dicho esquema o modelo es aplicable a todas las ramas de la ingeniería: electricidad, mecánica, comunicaciones, astronáutica, aeronáutica, naval, control de procesos químicos, construcciones, etc.
Los problemas que se presentan en el estudio de Sistemas son dos: Análisis y Síntesis
Análisis: Dado un Sistema sometido a una entrada determinada X analizar que salida Y produce.
SX
→→→→ Y
Síntesis: Dadas una entrada X y una salida Y determinadas diseñar el Sistema que transforma una en otra.
YX
→→→→ S
Ejemplos simples de Sistemas son:
Ejemplos de Sistemas
Entrada Sistema Salida
Presión en el acelerador Automóvil Velocidad del automóvil
Acciones del conductor: - Giro del volante - Presión en el acelerador - Freno - etc.
Automóvil Movimiento del automóvil
Fuerza vibratoria excitatriz Sistema vibratorio Movimiento vibratorio del cuerpo
Movimiento de la Luna Mar Altura mareas
Programa de mecanizado Central de mecanizado Pieza mecanizada
Tensión eléctrica Circuito eléctrico Corriente eléctrica
Corriente eléctrico Circuito eléctrico Tensión eléctrica
Energía Hidráulica o Térmica etc
Sistemas de generación y distribución de energía
Energía Eléctrica
Energía combustible Cohete Movimiento
Onda electromagnética Radio Emisión de la voz
Onda emitida Radar Información sobre la posición de objetos
Luz Cámara fotográfica Fotografía
Ritmo cardíaco Equipo para electrocardiograma
Electrocardiograma
Ingreso de Materias Primas, temperatura, humedad, etc
Proceso químico Producto químico
Recursos minerales y orgánicos, Producción de alimentos y equipos, polución y Reproducción humana
Sociedad Crecimiento de población
1.1.2.- VARIANTES DE MODELOS DE SISTEMA Los modelos de sistemas usuales tienen diferentes formas de clasificarse: 1.- Sistema de Lazo Abierto: Sin Control 2.- Sistema de Lazo Cerrado o con realimentación: Con Control 3.- Sistemas con Perturbaciones cuyas características se describen a continuación.
1.1.2.1.- SISTEMA SIN CONTROL (DE LAZO ABIERTO) Los Sistemas Sin Control también llamados de Lazo Abierto son los sistemas más sencillos caracterizados por
una Señal de Entrada no afectada por una eventual modificación de la Señal de Salida , es decir la entrada no depende de la salida.
El esquema que lo representa es
1.1.2.2.- SISTEMA CON CONTROL O CON REALIMENTACIÓN (DE LAZO CERRADO) Los Sistemas con Control también llamados de Lazo Cerrado o con realimentación son aquellos donde la
Señal de Entrada es modificada o regulada también en función de la Señal de Salida Su esquema es:
1.1.2.3.- SISTEMAS CON PERTURBACIONES Los Sistemas con Perturbaciones son aquellos donde la Señal de salida es afectada por fenómenos externos al
Sistema. En general estas perturbaciones son indeseables porque hacen el sistema no predecible, por lo menos con buena aproximación.
Las Perturbaciones pueden estar presentes tanto en los Sistemas sin o con Control. Se representan del siguiente
modo:
En los Sistemas con Control pueden presentarse también perturbaciones o desviaciones producidas por los
elementos componentes del mismo control.
1.1.2.4.- EJEMPLO DE UN SISTEMA CON CONTROL Y PERTURBACIONES Un ejemplo de un Sistema con Control con Perturbaciones, es él de una Antena dirigible con un movimiento
angular y que puede recibir como Señales de Entrada, además de la Orden de Posición de Referencia, a perturbaciones externas, como por ejemplo fuerzas producidas por el viento, o también perturbaciones en el Control producidas por errores de lectura en las mediciones de la Señal de Salida o en el proceso del Computador.
El esquema que representa el sistema es:
donde se distinguen los siguientes elementos que lo componen: Sistema Base : Antena + Plataforma + Engranaje + Motor + Amplificador de Potencia
Y: Señal de Salida: Posición angular de la Antena Pert.: Perturbación externa
A: Antena P: Plataforma de la Antena E: Engranaje M: Motor
AP: Amplificador de Potencia Sistema Control : Medidor de Posición de Antena + Comparador + Controlador
Med: Medidor de Posición de la Antena (Potenciómetro) Cmp: Comparador
Ctrl: Controlador (Computador) X: Señal de entrada (Referencia )
Pert. Med: Perturbación del medidor: Perturbación del Control
1.2.- TIPIFICACIÓN DE SISTEMAS 1.2.1.- SEÑALES Y SISTEMAS DE TIEMPO CONTINUO Y DISCRETO Las Señales y los Sistemas que las operan también se pueden clasificar como: 1.- De tiempo continuo (funciones continuas) que son las llamadas señales analógicas. 2.- De tiempo discreto (sucesiones) que son las llamadas señales digitales.
En los Sistemas se establece esta clasificación porque para ellos es necesario un tratamiento con modelos
matemáticos diferentes para el Procesamiento de Señales y Resolución de Sistemas (o Circuitos) 1.- Para el caso de Tiempo Continuo se emplean las Transformadas de Laplace o la de Fourier . 2.- Para el caso de Tiempo Discreto se emplean las Transformadas Zeta o la transformada de Fourier Discreta (basada en la Serie de Fourier Exponencial). La razón principal del empleo de la variable discreta es que permiten el proceso y almacenamiento de la
información (datos) en computadoras digitales. Para ello finalmente se reduce la información a códigos binarios. 1.2.1.1.- DEFINICIONES DE SEÑALES Y SISTEMAS DE TIEMPO CONTINUO Y DISCRETO
Def: Señales de tiempo continuo o analógicos := Son funciones de tiempo continuo o analógicas Señales de tiempo discreto o digital := Son funciones de tiempo discreto (sucesiones) o digital
Señales de tiempo continuo Señales de tiempo discreto Analógicas Digitales
t ∈∈∈∈ R n ∈∈∈∈ Z ó N
f:D⊂⊂⊂⊂ R →→→→ R f:D⊂⊂⊂⊂ N →→→→ R
Def: Sistemas de tiempo continuo o analógicos := Son los Sistemas que procesan Señales de tiempo continuo o analógicas Sistemas de tiempo discreto o digitales := Son los Sistemas que procesan Señales de tiempo discreto o digitales
Sistema de tiempo continuo Sistema de tiempo discreto t ∈∈∈∈ R n ∈∈∈∈ Z ó N
1.2.1.2.- CONVERSIONES ANALÓGICA/DIGITAL (A/D) Y DIGITAL/ANALÓGICA (D/A) El Control de Procesos por Computadoras o Procesadores digitales hace necesario la conversión de la
información analógica a digital y viceversa.
La primera conversión para ingresar datos de origen analógico al procesador digital se llama Conversión Analógica/Digital (A/D) y la segunda para alimentar la entrada analógica al Sistema Base desde el Computador de Control se llama Conversión Digital/Analógica (D/A)
1.2.1.2.1.- CONVERSIÓN A/D La Conversión A/D significa tomar registros a intervalos discretos regulares de señales (eléctricas o de otra
índole) consideradas variables de forma continua en el tiempo ( representables por números reales). Dichos valores discretos llamados muestras conforman una sucesión cuyo dominio son los números enteros y su codominio los reales (fraccionarios).
Por ejemplo si se considera una función f(t) continua , las muestras de la función, tomados a intervalos regulares de tiempo T empezando de t =0 forman la sucesión de números reales (fraccionarios):
f[0], f[T], f[2T], f[3T], ..., f[nT], ...
La ventaja fundamental de la variable discreta como ya se dijo, es que permite el proceso y almacenamiento de
la información (datos) en computadoras digitales. Como los datos son números fraccionarios, entonces la Conversión A/D debe transformar dichos fraccionarios (o eventualmente enteros) a código binario.
La conversión A/D conlleva entonces dos aproximaciones, que introducen una perturbación o error en la señal de
entrada.
Aproximaciones de la Conversión A/D 1.- Aproximación por la conversión de la función continua (números reales) a función escalonada (
sucesión o función discreta sobre los números enteros o fraccionarios) En esta aproximación se presentan errores por exceso o por defecto según la forma de la señal de entrada. La aproximación depende esencialmente del período T de muestreo. 2.- Aproximación por la conversión de un Código de número entero (o fraccionario) a Código Binario La aproximación al código binario depende a su vez de la cantidad de bits que se tomen para representar a los
números enteros o fraccionarios en el procesamiento digital. Por ejemplo la suma de los errores de conversión A/D de una señal de tensión de 0 a 10 V lineal (recta) se
representa en código binario de 4 bits
Cada salto de código binario representa un
421 10 V = 6.25 % * 10V que es la cota del error para una
conversión con 4 dígitos. Si se hubiera empleado un código de 16 bits la cota del error es 1621 10 V =
0.001525890625 %*10 V 1.2.1.2.2.- CONVERSIÓN D/A La Conversión D/A es el proceso inverso para transformar los valores discretos en señales (eléctricas o de otra
índole) de variable continua en el tiempo ( representables por números reales). Esto significa que las funciones son escalonadas con un período T.
1.2.2.- SISTEMAS CON Y SIN MEMORIA Un Sistema sin memoria es aquel cuya salida depende solamente de la entrada en ese mismo instante de tiempo
Por ejemplo:
1.- Un circuito eléctrico con una resistencia y(t) = R x(t) 2.- Un circuito digital regido por la ecuación en diferencias y[n] = a x[n] Un Sistema con memoria por el contrario es aquel cuya salida no depende solamente de la entrada en ese
mismo instante de tiempo sino también de entradas en instantes anteriores Por ejemplo:
1.- La tensión sobre un capacitor (incluido en un circuito eléctrico) y(t) = C1∫ ∞−
t x(τ) dτ
2.- Un circuito digital regido por la ecuación en diferencias y[n] = a x[n] + b x[n– 1] 1.2.3.- SISTEMA CAUSAL Un Sistema es causal cuando su salida depende solamente de la entrada presente y pasada y no depende de la
entrada futura. En consecuencia, un sistema causal , se llama así porque a dos entradas de tiempo iguales hasta un instante dado le corresponden dos salidas iguales en ese mismo instante de tiempo (independencia de entradas futuras). Por ejemplo:
1.- El movimiento de un automóvil es causal porque no depende de acciones futuras del conductor. 2.- x[n] + y[n–1] = y[n] es causal porque sólo depende de x[n] y no de valores futuros: de x[n+1] , x[n+2],... 3.- x[n] + x[n+1] = y[n] no es causal porque depende de x[n+1] En general en los sistemas donde las señales dependen del tiempo, son causales. En las aplicaciones prácticas donde el tiempo no es la variable independiente , los sistemas son no causales. Por
ejemplo procesamiento de imágenes, estudios demográficos estudio de la tendencia de los mercados de valores, etc. Un ejemplo de un sistema no causal para promediar valores con fluctuaciones de alta frecuencia tiene en cuenta
los futuros como el dado por la siguiente ecuación:
y[n] =1p2
1+
[ x[n+p] + x[n+p – 1] + ...+ x[n+1] + x[n] +x[n – 1] + x[n – (p – 1)] + x[n – p] ]
1.2.4.- SISTEMA ESTABLE Un Sistema estable es aquel cuya salida es acotada, es decir no diverge. A entrada acotada le corresponde una
salida acotada. Un Sistema inestable es el caso contrario: a entrada acotada le corresponde una salida no acotada.
Ejemplos:
Sistemas estables Sistemas inestables
1.2.5.- SISTEMAS LINEALES
Los Sistemas regidos por funciones lineales (en particular sistemas de ecuaciones lineales) son los modelos más sencillos y de mayor aplicación en la ingeniería. La condición de linealidad implica que a una combinación lineal de entradas le corresponde la combinación lineal de salidas. Esto es la propiedad de superposición de sistemas.
Sistema de Tiempo Continuo Lineal
→→
)t(y)t(x)t(y)t(x
22
11⇒ a x1(t) + b x2(t) → a y1(t) + b y2(t)
Sistema de Tiempo Discreto Lineal
→→
]n[y]n[x]n[y]n[x
22
11⇒ a x1[n] + b x2[n] → a y1[n] + b y2[n]
En resumen los Sistemas Lineales son modelos regidos por Ecuaciones Lineales . Ecuaciones diferenciales lineales en el caso de Sistema de tiempo continuo y Ecuaciones en Diferencias lineales
en el caso de tiempo discreto.
1.2.6.- SISTEMAS INVARIANTES EN EL TIEMPO
Los Sistemas lineales son invariantes en el tiempo, cuando cumplen las condiciones:
x(t) → y(t) ⇒ x(t-a) → y(t-a)
x[n] → y[t] ⇒ x[n-a] → y[n-a]
Estos Sistemas son los regidos por Ecuaciones Lineales con Coeficientes Constantes
1.2.7.- MEDIDAS RELATIVAS A LAS SEÑALES En los modelos de señales se emplean algunas medidas ligadas a ellas. Una medida genérica en un espacio E de sucesiones es la norma || x ||p correspondiente para un real p ≥ 1 , así
definida Def: E:= { x[n] }
p ≥≥≥≥ 1 || x ||p := ( ∑∑∑∑+∞+∞+∞+∞
−∞−∞−∞−∞====n
| x[n] | p ) 1/p
p = +∞∞∞∞ || x ||+∞∞∞∞ := supn∈∈∈∈ Z | x[n] | En particular se destacan por su aplicación 3 de estas medidas que se llaman acción, energía y amplitud .
p = 1 || x ||1 := ∑∑∑∑+∞+∞+∞+∞
−∞−∞−∞−∞====n
| x[n] | acción
p = 2 || x ||2 := ( ∑∑∑∑+∞+∞+∞+∞
−∞−∞−∞−∞====n
| x[n] | 2 ) ½ energía
p = +∞∞∞∞ || x ||+∞∞∞∞ := supn∈ Z | x[n] | amplitud
1.3. – TRANSFORMADAS EN GENERAL Y TRANSFORMADA ZETA
Las Transformadas en general y la Transformada Zeta (TZ) en particular son modelos matemáticos que se
emplean entre otras aplicaciones en el estudio del Procesamiento de Señales y Resolución de Circuitos Digitales. En el párrafo siguiente se recuerda el concepto de Transformada. 1.3.1.- QUE ES UNA TRANSFORMADA Dadas dos Estructuras (E T) y (E’ T’) conformadas por los espacios E y E’ dotados respectivamente de
las Leyes de Composición Interna T y T’ , se llama Transformada a una aplicación biyectiva : f: E →→→→ E’ que establezca un Isomorfismo entre dichas Estructuras .
T: ExE →→→→ E T’: E’xE’ →→→→ E’ (a,b) →→→→ c (a’,b’) →→→→ c’ f: E ↔↔↔↔ E’ f∈∈∈∈ biyectiva a ↔↔↔↔ a’ b ↔↔↔↔ b’ c = a T b ↔↔↔↔ c’ = a’ T’ b’
Las estructuras isomorfas (E T) y (E’ T’) se comportan en forma análoga, hecho que permite obtener
usando la transformada f (función biyectiva) de puente, el resultado de una composición interna en una de ellas T , conociendo la de T’, o viceversa.
Apoyándose en la analogía el resultado de T en E se obtiene en forma indirecta en 3 pasos: 1.- transformando f: a ↔↔↔↔ a’
b ↔↔↔↔ b’ 2.- componiendo T’: (a’,b’) →→→→ c’ = a’T’b’
3.- antitransformando f -1: c’→→→→ c = a T b
El uso de la transformada, por supuesto, se justifica siempre y cuando el camino indirecto de: transformación,
composición y antitransformación sea más sencillo que el camino directo de la composición T.
Un ejemplo simple de la idea de transformada es el cálculo logarítmico para el producto de dos números reales positivos.
E = R+ E’= R T = ••••R
+ T’ = +R
••••R: R+xR+ →→→→ R+ +R : RxR →→→→ R (a,b) →→→→ c = a •••• b (La,Lb) →→→→ Lc = La + Lb L: R+ ↔↔↔↔ R L∈∈∈∈ biyectiva a ↔↔↔↔ La b ↔↔↔↔ Lb c = a •••• b ↔↔↔↔ Lc = La + Lb
1.3.2.- QUE ES LA TRANSFORMADA ZETA Y SUS APLICACIONES
La Transformada Zeta es una aplicación entre un espacio de Sucesiones (funciones discretas) y un espacio de Funciones Analíticas (desarrollables en serie de Laurent).
La función que los liga es la Serie de Laurent cuyos coeficientes son los elementos de la Sucesión de origen. La importancia del modelo de la Transformada Zeta radica en que permite reducir Ecuaciones en Diferencias o
ecuaciones recursivas con coeficiente constantes a Ecuaciones Algebraicas lineales.
a0 y[n] + a1 y[n–1] +...+ ak y[n–k] = x[n] ↔↔↔↔ Y(z) [ a0 + a1 z –1 + ... + ak
z –k ] = X(z)
Ecuaciones en Diferencias Lineales ↔↔↔↔ Ecuaciones Algebraicas Lineales
con coeficientes constantes
Esta Transformada se usa ampliamente en el Estudio de Sistemas digitales (como computadoras),
El modelo que se procesa resuelve en su esencia Ecuaciones en Diferencias donde se emplea la Transformada Zeta.
Ecuaciones en diferencias se emplean también en economía , crecimiento de poblaciones, biología, etc. y en problemas de la misma matemática.
1.4.- APLICACIONES DE LA TRANSFORMADA ZETA: SISTEMAS TDLI
La Transformada Zeta es de particular aplicación sobre los Sistemas de Tiempo Discreto Lineales e Invariantes. (TDLI)
1.5.- SEÑALES PARTICULARES Dos señales de uso frecuente en los Sistemas TDLI son el Escalón Unitario y el Impulso Unitario.
Def: Impulso Unitario δδδδ: Z →→→→ R
n →→→→
====≠≠≠≠
0n 10n 0
Def:- Escalón Unitario u: Z →→→→ R
n →→→→
≥≥≥≥<<<<
0n 10n 0
1.6.- ELEMENTOS DE LOS SISTEMAS TDLI
Los elementos de un Sistema TDLI son 3:
1.- Suma.
2.- Producto por una Constante.
3.- Demora (Delay)
Ejemplos: los circuitos siguientes con las ecuaciones que los representan:
x[n] + y[n–1] = y[n] b x[n] + a y[n–1] = y[n]
Obs.: Los Sistemas TDLI que incluyan elementos Delay necesitan memoria para computar oportunamente los valores y[n –1] , y[n–2], etc.
2.- DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA ZETA
La definición de la Transformada Zeta se basa en el desarrollo de funciones complejas en Serie de Laurent. Se recuerda entonces el Teorema de Laurent .
2.1.- TEOREMA DE LA SERIE DE LAURENT
Teorema de Laurent
⊂⊂⊂⊂∈∈∈∈
A)I( )r,r(A/HF 21
γγγγ ⇒⇒⇒⇒
−−−−====
−−−−====
++++
+∞+∞+∞+∞
−∞−∞−∞−∞====
∫∫∫∫
∑∑∑∑
ςςςςςςςς
ςςςςππππ γγγγ
d )a()(F
i21)n(f
)az( )n(f)z(F
1n
n
n
A(r1, r2 ) : Campo de CV (Anillo de CV)
Obs: La Serie de Laurent (SL) dentro del Anillo de CV (Anillo de Convergencia) es simultáneamente CV
(Convergente) , CA (Absolutamente Convergente) y también CU (Uniformemente Convergente) para el Anillo A(r1+δ1, r2 – δ2 ) con δ1 y δ2 arbitrarios y positivos
2.2.- DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA ZETA
Dada una sucesión { f[n] } se define como su Transformada Zeta a la serie de Laurent F(z)
⊂⊂⊂⊂∈∈∈∈
A)I( )r,r(A/HF 21
γγγγ ⇒⇒⇒⇒
====
====
−−−−
−−−−+∞+∞+∞+∞
−∞−∞−∞−∞====
∫∫∫∫
∑∑∑∑
ςςςςζζζζζζζζππππ γγγγ
d )(Fi2
1]n[f
z ]n[f)z(F
1n
n
n
F : Transformada Zeta de la Sucesión f f : Antitransformada de F
Obs: Nótese que en la definición de Transformada Zeta
1.- En la presentación de la serie se empieza con las potencias positivas
2.- El centro del desarrollo de Laurent es a = 0
3.- Se ha tomado por simplicidad y sin perder generalidad en el análisis a la Sucesión: f[0], f[1], f[2], f[3],..., f[n],... en vez de f[0], f[T], f[2T], f[3T],..., f[kT],... que representa un
cambio de escala: n = kT . Es decir:
F(z) = ∑+∞
−∞=n
f(n) z – n = ∑+∞
−∞=k
f(kT) z – kT
Un caso particular de esta definición es la llamada Transformada Zeta unilateral también llamada Causal que corresponde a las sucesiones que tienen todos los términos de la serie de potencias positivas nulos, es decir la serie sólo está compuesta por los términos de potencias negativas y el término independiente.
A la Transformada Zeta general se la denomina también como Transformada Zeta bilateral .
La Transformada Zeta unilateral es la de mayor aplicación y es esencialmente similar a la general salvo detalles que se estudiarán por separado. Su utilidad mayor es análisis de los sistemas causales regidos por ecuaciones en diferencias y con condiciones iniciales ( es decir, aquellos que en su inicio no se encuentran en reposo).
La Transformada Zeta unilateral de una sucesión x[n] se puede considerar como Transformada Zeta bilateral de la sucesión x[n] u[n]
2.3.- CAMPO O REGIÓN DE CONVERGENCIA (ROC) El Campo de Convergencia de la Transformada Zeta es el anillo:
A(r1 , r2) = { z: r1 < |z| < r2 }
En el caso de Transformada Zeta unilateral el Campo de Convergencia es una Bola de centro ∞ y radio r:
A(r1 , r2) = B(∞∞∞∞,r)
Obs: La abreviatura ROC para el Campo de Convergencia proviene del inglés: Region of Convergence 2.4.- NOTACIÓN La Transformada Zeta es una aplicación del conjunto de sucesiones { f[n] } sobre el conjunto de funciones
complejas { F(z) }. Por la unicidad de la Serie de Laurent y unicidad del valor de una Serie la Transformada Zeta es biyectiva. La notación que se conviene es:
f[n] →→→→ F(z)
donde se usará en general para las Sucesiones f[n] letras minúsculas, (como por ejemplo f ,g ) con el argumento entre corchetes [n] y las correspondientes mayúsculas para las transformadas (en el ejemplo F,G ) con el respectivo argumento entre paréntesis (z).
2.5.- REDUCCIÓN A LA TRANSFORMADA FINITA DE FOURIER
Partiendo de la definición de Transformada Zeta, se puede reducir a un caso particular de Transformada finita de Fourier:
Esta proposición se prueba tomando el Anillo de CV la circunferencia de gráfica z = r eiϕϕϕϕ . Queda entonces:
⊂⊂⊂⊂∈∈∈∈
A)I( )r,r(A/HF 21
γγγγ ⇒⇒⇒⇒
π+αα=ϕπ
=
=
ϕϕ
ϕ−−+∞
−∞=
ϕ
∫
∑
]2,[I: d e r )eF(r 21]n[f
e r ]n[f)e r(F
inni
I
inn
n
i
3.- TRANSFORMADAS ZETA DE SUCESIONES ELEMENTALES
3.1.- ESCALÓN UNITARIO u[n]
Def.- Escalón Unitario
u: Z →→→→ R
n →→→→
≥≥≥≥<<<<
0n 10n 0
u[n] =
≥<
0 n 10n 0
→ U(z) = ∑+∞
−∞=n
u(n) z – n
= ∑+∞
=0n
1 z – n
= )z/1(1
1−
= 1z
z−
|z| > 1
3.2.- IMPULSO UNITARIO δδδδ
Def.- Impulso Unitario
δδδδ: Z →→→→ R
n →→→→
====≠≠≠≠
0n 10n 0
δ[n] =
=≠
0 n 10n 0
→ Λ(z) = ∑+∞
−∞=n
δ(n) z-n = 1
Obs: La función δ[n] puede expresarse en función del escalón unitario:
δ[n] = u [n] – u [n–1]
3.3.- TABLA DE TRANSFORMADAS ZETA DE FUNCIONES ELEMENTALES
f[n] F(z) ROC
1 u[n] )z/1(11
−−−− |z| >>>> 1
2 δδδδ[n] 1 z ∈∈∈∈ C
4.- PROPIEDADES
Las propiedades de la Transformada Zeta están dadas por los siguientes teoremas:
4.1.- LINEALIDAD
T1.-
→→→→→→→→
)z(G]n[g )z(F]n[f
⇒⇒⇒⇒ a f[n] + b g[n] →→→→ a F(z) + b G(z)
D.- ∑∑∑∑+∞+∞+∞+∞
−∞−∞−∞−∞====n
( a f[n] + b g[n] ) z– n = a ∑∑∑∑+∞+∞+∞+∞
−∞−∞−∞−∞====n
f[n] z– n + b ∑∑∑∑+∞+∞+∞+∞
−∞−∞−∞−∞====n
g[n] z– n
= a F(z) + b G(z)
Obs: La ROC de la combinación lineal propuesta es la intersección de las respectivas ROC de f y de g: A(f) ∩∩∩∩ A(g)
4.2.- DESPLAZAMIENTO EN EL TIEMPO
T2.- k∈∈∈∈ Z f[n] →→→→ F(z) ⇒⇒⇒⇒ f[n – k] →→→→ z– k F(z) ⇒⇒⇒⇒ f[n – 1] →→→→ z– 1 F(z) ⇒⇒⇒⇒ f[n + 1] →→→→ z F(z)
D1.- ∑+∞
−∞=n
f[n–k] z– n →→→→ ====−−−− pkn = ∑+∞
−∞=p
f[p] z – (p+k) = z – k F(z)
D2.- z – k F(z) = ∑+∞
−∞=n
f[n] z – (n+k) →→→→ ====++++ pkn = ∑+∞
−∞=p
f[p – k] z – k
En particular se tiene:
f[n–1] →→→→ z – 1 F(z) f[n+1] →→→→ z F(z)
4.3.- DESPLAZAMIENTO z – a
T3.- f[n] →→→→ F(z) ⇒⇒⇒⇒ ∑−
=
1n
0k
Cn – 1 , k a n–1–k f[ k+1] →→→→ F(z – a)
D.- i2
1π ∫γ F(z – a) z n–1 dz → =− waz =
i21π ∫γ F(w) (w+a) n–1 dw
= i2
1π ∫γ F(w) [∑
−
=
1n
0k
Cn – 1, k wk a n – 1 – k ] dw
= ∑−
=
1n
0k
Cn–1,k a n – 1 – k f[ k+1]
= a n–1 f[1] + Cn – 1, k a n – 2 f[2] + ...+ Cn–1, k a n – 1 – k f[ k+1] + ...+ f[n]
4.4.- MODULACIÓN DE LA SUCESIÓN EN TIEMPO
4.4.1.- MODULACIÓN CON an
T4.- f[n] →→→→ F(z) an f[n] →→→→ F(z/a)
D1.- an f[n] →→→→ +∞+∞+∞+∞
−∞−∞−∞−∞====n
f[n] (z/a) –n = F(z/a)
D2.- i21π
�γ F(z/a) z n–1 dz →→→→ ==== a/zςςςς = i2
1π
�γ F(ζ) a n–1 ζ n–1 a dζ
= an i2
1π
∫γ F(ζ) ζ n–1 dζ
= an f[n]
4.4.2.- MODULACIÓN CON eiααααn
T’4’.- f[n] →→→→ F(z) ⇒⇒⇒⇒ e +iααααn f[n] →→→→ F(e–iαααα z) z = ρρρρ eiϕϕϕϕ w = ρρρρ ei(ϕϕϕϕ––αααα)
D1.- Este Teorema es corolario del anterior. e +iαn f[n] → F(z/e+iα ) = F(e–iα z)
Obs.1: La modulación de la sucesión con una exponencial compleja e +iαn f[n] → F(z/e+iα ) = F(e–iα z)
representa una rotación de en el plano complejo. Esto corresponde a un desplazamiento de la frecuencia de la Transformada de Fourier. En el caso de la modulación an f[n] →→→→ F(z/a) esta, representa además de la rotación dada por el argumento de a, una dilatación del módulo del complejo z en | a |.
4.5.- CAMBIO DE ESCALA
4.5.1.- GENÉRICO
T5.- f[n] →→→→ F(z) f[an] →→→→ F(z1/a)
ROC = A(r1 r2) ⇒⇒⇒⇒ A(r11/a r2
1/a)
D.- f[a n] → ∑+∞
−∞=n
f[a n] z –n → =pan = ∑+∞
−∞=n
f[p] z –p/a = ∑+∞
−∞=n
f[p] (z 1/a )–p = F(z1/a)
En cuanto a La ROC
{ z: r1 < | z | < r2 } ⇒⇒⇒⇒ { z: r11/a < | z |1/a < r2
1/a}
4.5.2.- INVERSIÓN EN z
T’5.- f[n] →→→→ F(z) :ROC = A(r1 r2) ⇒⇒⇒⇒ f[ – n] →→→→ F(1/z) ) : ROC = A(r2–1 r1
–1 )
Corolario : ROC ={ z: |z| < r } ⇒⇒⇒⇒ f[ – n] →→→→ F(1/z) ) : ROC = {z: |z| > 1/ r}
D1.- Este Teorema es corolario del anterior.
4.6.- TZ DE LA DIFERENCIA FINITA
4.6.1.- PRIMERA DIFERENCIA
T6.- f[n] →→→→ F(z) ⇒⇒⇒⇒ ∆∆∆∆f[n] := f[n+1] – f[n] →→→→ (z – 1) F(z)
D1.- ∆f[n] := f[n+1] – f[n] → z F(z) – F(z) = (z–1) F(z)
D2.- i21π
∫γ (z–1) F(z) z n–1 dz = i2
1π
∫γ F(z) z n dz – i2
1π
∫γ F(z) z n–1 dz
= f[n+1] – f[n]
4.6.2.- SEGUNDA DIFERENCIA
T’6.- f[n] →→→→ F(z) ⇒⇒⇒⇒ ∆∆∆∆2f[n] := ∆∆∆∆ f[n+1] – ∆∆∆∆ f[n] →→→→ (z–1) 2 F(z)
D1.- [Aplicando T6] ∆2f[n] → (z–1) [(z–1) F(z)]
D2.- [Aplicando la definición de ∆2f[n] ] ∆2f[n] = f[n+2] – 2 f[n+1] + f[n] → (z2 – 2 z + 1) F(z)
4.7.- TZ DE LA SUMA FINITA
T7.- f[n] →→→→ F(z) ⇒⇒⇒⇒ ∑=
p
0k
f[n+k] →→→→ F(z) z1
z1 1p
−−−−−−−− ++++
: z ∈∈∈∈ A(f) (Anillo de Convergencia de f)
D1.- ∑=
p
0k
f[n+k] = F(z) + z F(z) + z2 F(z) + z 3 F(z) + ... + z k F(z)+...+ z p F(z)
= F(z) z1
z1 1p
−− +
4.8.- DERIVADA DE LA TZ
T8.- f[n] →→→→ F(z) ⇒⇒⇒⇒ n f[n] →→→→ – z F’(z)
D1.- F(z) = ∑∑∑∑+∞+∞+∞+∞
−∞−∞−∞−∞====n
f[n] z – n
Como la SL es CU se puede derivar término a término en su ROC
F’(z) = ∑∑∑∑+∞+∞+∞+∞
−∞−∞−∞−∞====n
(– n) f[n] z – (n+1)
– z F’(z) = ∑∑∑∑+∞+∞+∞+∞
−∞−∞−∞−∞====n
n f[n] z – n
D2.- i21π
∫γ – z F’(z) z n–1 dz = i2
1π
∫γ – F’(z) z n dz
= – F(z) z n γ
+ ni2
1π
∫γ F(z) z n–1 dz
= 0 + n f[n]
La parte integrada es nula porque en el anillo de CV de la serie F(z)
– F(z) z n γ
= – F(z) z n )2(ieA π+ϕρ= + F(z) z n ϕρ= ieA
= 0
4.9.- PRIMITIVA DE LA TZ
4.9.1.- PRIMITIVA DE LA TZ EN EL ANILLO A(r1,r2)
En el caso de la Región de CV A(r1,r2)
T9.-
⊂⊂⊂⊂====→→→→
)r,r(A])ab[I( )z(F]n[f
21ΓΓΓΓ ⇒⇒⇒⇒ – f[n+1] / n →→→→ ∫∫∫∫
z
aF(ζζζζ) dζζζζ
D1.- Llamando G(z) := ∫z
a F(ζ) dζ
– z G’(z) = – z F(z) n g[n] = – f[n+1]
D2.- i21π ∫γ [ ∫
z
aF(ζ) dζ ] z n–1 dz =
i21π
n1 [ ∫
z
aF(ζ) dζ ] z n π+α
α – i2
1π
n1∫γ F(z) z n dz =
La parte integrada es nula porque la función G(z) := ∫z
a F(ζ) dζ es unívoca. Queda:
∫z
aF(ζ) dζ ← – f[n+1] / n
4.9.2.- PRIMITIVA DE LA TZ EN EL ANILLO A(r1,∞∞∞∞)
En el caso de la Región de CV A(r1,∞∞∞∞) el Teorema queda así:
T’9.-
+∞+∞+∞+∞⊂⊂⊂⊂→→→→
),r(A)I( )z(F]n[f
1γγγγ ⇒⇒⇒⇒ -- f[n+1] / n →→→→ ∫∫∫∫∞∞∞∞
z F(ζζζζ) dζζζζ
Aplicando el Teorema anterior e invirtiendo el orden de integración::
+∞+∞+∞+∞⊂⊂⊂⊂→→→→
),r(A)I( )z(F]n[f
1γγγγ ⇒⇒⇒⇒ f[n+1] / n →→→→ – ∫∞
z F(ζζζζ) dζζζζ = ∫∫∫∫
∞∞∞∞
z F(ζζζζ) dζζζζ
4.10.- CONVOLUCIÓN DE SUCESIONES. ANTITRANSFORMADA DEL PRODUCTO DE TRANSFORMADAS.
T10.-
→→→→→→→→
)z(G]n[g )z(F]n[f
⇒⇒⇒⇒ h[n] := f[n] * g[n] := ∑∑∑∑+∞+∞+∞+∞
−∞−∞−∞−∞====k
f[k] g[n – k] →→→→ F(z) G(z)
D1.- F(z) G(z) = ∑+∞
−∞=k
f[k] z – k ∑+∞
−∞=j
g[j] z – j
= ∑+∞
−∞=k
f[k] ∑+∞
−∞=j
g[j] z – (k+j)
Haciendo n – k = j
= ∑+∞
−∞=k
f[k] ∑+∞
−∞=n
g[n– k] z – n
= ∑+∞
−∞=k
∑+∞
−∞=n
f[k] g[n– k] z – n
Queda
h[n] = ∑+∞
−∞=k
f[k] g[n–k]
D2.- i21π
∫γ F(z) G(z) z n–1 dz = i2
1π
∫γ [ ∑+∞
−∞=k
f[k] z – k ] G(z) z n–1 dz
= ∑+∞
−∞=k
f[k] [i2
1π
∫γ G(z) z n–k–1 dz ]
= ∑+∞
−∞=k
f[k] g[n–k]
4.11.- CONVOLUCIÓN DE TRANSFORMADAS. TRANSFORMADA DE PRODUCTO DE SUCESIONES
T11.-
→→→→→→→→
)z(G]n[g )z(F]n[f
⇒⇒⇒⇒ f[n] g[n] →→→→ F(z)*G(z) :=i2
1ππππ
∫∫∫∫γγγγ ζζζζζζζζζζζζ )/z(G)(F dζζζζ
D1.- f[n] g[n] →→→→ F(z)*G(z) := ∑+∞
−∞=n
f[n] g[n] z – n
= ∑+∞
−∞=n
[i2
1π
∫γ F(ζ) ζ n–1 dζ ] [i2
1π
∫γ G(ψ) ψ n-1 dψ ] z – n
= ∑+∞
−∞=n
[i2
1π
∫γ [i2
1π
∫γ F(ζ) ζ n –1 G(ψ) ψ n-1 dζ dψ ] ] z – n
= →→→→ ====ζψζψζψζψττττ ∑+∞
−∞=n
[i2
1π
∫γ [i2
1π
∫γ ζ
ζτζ )/(G)(F dζ ] τ n–1 dτ ] ] z – n
f[n] g[n] →→→→ F(z)*G(z) := i2
1π
∫γ ζ
ζζ )/z(G)(F dζ
D2.- ζζζ )/z(G)(F =
ζ1 ( ∑
+∞
−∞=n
f[n] ζ – n ) ( ∑+∞
−∞=k
g[k] (ζz )– k )
= ∑+∞
−∞=n∑+∞
−∞=k
f[n] g[k] z – k ζ – n+k –1
i21π
∫γ ζζζ )/z(G)(F dζ =
i21π
∫γ ∑+∞
−∞=n∑+∞
−∞=k
f[n] g[k] z – k ζ – n+k–1 dζ
= i2
1π ∑
+∞
−∞=n∑+∞
−∞=k
f[n] g[k] z –n [ ∫γ ζ – n+k– 1 dζ ]
∫γ ζ –n+k –1 dζ =
≠=π
kn 0kn i2
i21π
∫γ ζζζ )/z(G)(F dζ =
i21π ∑
+∞
−∞=n
f[n] g[n] z – n
4.12.- SUCESIÓN PERIÓDICA
T12.- f[n] = f[n–T]
f[0], f[1], f[2], ... , f[T–1] ⇒⇒⇒⇒ f[n] u[n] →→→→ F(z) =Tz1
1−−−−−−−−
[ f[0] + f[1] z –1 + f[2] z –2 + ...+ f[T-1] z –(T -1)]
= Tz1
1−−−−−−−− ∑∑∑∑
−−−−
====
1T
0k
f[k] z – k | z | > 1
D.- ∑+∞
=0n
f[n] z – n = f[0] + f[1] z –1 + f[2] z –2 + ... + f[T–1] z – (T –1)
+ f[0] z –T + f[1] z –(T+1) + f[2] z –(T+2) + ... + f[T–1] z – (2T –1) + + ... + + f[0] z – nT + f[1] z – (nT+1) + f[2] z – (nT+2) + ... + f[T–1] z – ((n+1)T – 1) + ...
= Tz1
]0[f−−
+ T
1
z1z ]1[f−
−
− +
T
2
z1z ]2[f−
−
− + ... +
T
)1T(
z1z ]1T[f−
−−
−− .
= Tz1
1−−
[ f[0] + f[1] z –1 + f[2] z –2 + ... + f[T–1] z – (T –1) ]
La ROC es | z –T | < 1 ⇔ | z | > 1
4.13. RESUMEN DE PROPIEDADES
f[n] F(z) ROC
f[n] =
i21ππππ
∫∫∫∫I F(z) z n–1 dz F(z) = ∑∑∑∑+∞+∞+∞+∞
−∞−∞−∞−∞====n
f[n] z – n
A(r1,r2)
1 a f[n] + b g[n] a F(z) + b G(z) A(f) ∩∩∩∩ A(g)
2 k∈∈∈∈ Z
f[n–1]
f[n+1]
f[n–k]
z – 1 F(z)
z F(z)
z – k F(z)
A(f)
2’ k∈∈∈∈ N f[n+k] u[n]
f[n–k] u[n]
z k[F(z)– f[0]– f[1] z -1– ... – f[k–1] z –(k–1) ]
z -k F(z) B(∞∞∞∞,r)
3 ∑−
=
1n
0k
Cn–1,k b n–1–k f[ k+1]
F(z –b)
A(f , b)
4 an f[n]
e +iααααn f[n]
F(z/a)
F(e–iαααα z)
A(|a|r1 , |a|r2)
A(r1,r2)
5 f[an]
f[–n]
F(z1/a)
F(1/z)
A(r11/a , r2
1/a)
A(r2– 1 , r1
– 1)
6
∆∆∆∆f[n] :=(f[n+1] – f[n]) u[n]
∆∆∆∆2f[n] := (∆∆∆∆f[n+1] –∆∆∆∆f[n]) u[n]
(z–1) F(z)
(z–1)2 F(z) A(f)
6’ ∆∆∆∆f[n] := f[n+1] – f[n]
∆∆∆∆2f[n] := ∆∆∆∆ f[n+1] – ∆∆∆∆f[n]
(z–1) F(z) – z f[0]
(z–1)2 F(z) – z ( z – 2) f[0] – z f[1] B(∞∞∞∞,r)
7 ∑∑∑∑====
p
0k
f[n+k] F(z) z1
z1 1p
−−−−−−−− ++++
A(f)
8 n f[n] – z F’(z) A(f)
9 n
)1n(f ++++−−−−
n)1n(f ++++
∫∫∫∫z
a F(ζζζζ) dζζζζ
∫∫∫∫∞∞∞∞
z F(ζζζζ) dζζζζ
A(r1,r2)
A(r1,∞∞∞∞)
10 f[n] * g[n] := ∑∑∑∑
+∞+∞+∞+∞
−∞−∞−∞−∞====k
f[k] g[n–k]
F(z) G(z)
A(f) ∩∩∩∩ A(g)
10’ ( f[n] u[n] )*( g[n] u[n] ) :=
:=∑∑∑∑====
n
0k
f[k] g[n– k]
F(z) G(z)
B(∞∞∞∞,r)
11 f[n] g[n] F(z)*G(z):=
i21ππππ ∫∫∫∫γγγγ ζζζζ
ζζζζζζζζ )/z(G)(F dζζζζ
A(f) ∩∩∩∩ A(g)
12 f[n] = f[n+T] Tz1
1−−−−−−−−
[ f[0]+f[1] z -1+...+f[T–1] z -(T-1)] | z | > 1
5.- TRANSFORMADA ZETA UNILATERAL - CAUSAL
Los Sistema son del tipo causal cuando su salida depende solamente de la entrada presente y pasada, es decir no depende de valores futuros.
En los Sistemas TDLI causales donde se quiere analizar el efecto de condiciones iniciales, se hace por medio de la Transformada Zeta Unilateral que se estudia a continuación:
5.1.- DEFINICIÓN DE FUNCIÓN CAUSAL
Def.- Función Causal
f: Z →→→→ R
n →→→→ ����
≥≥≥≥<<<<
0n ]n[f0n 0
Es decir que una función causal cumple:
f∈∈∈∈ Causal := f[n] = f[n] . u[n]
5.2.- DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA ZETA UNILATERAL
Dada una sucesión { f[n]} se define como su Transformada Zeta unilateral a la Transformada Zeta de la sucesión { f[n].u[n] } .
⊂⊂⊂⊂∈∈∈∈
A]I[ )r,r(A/HF 21
γγγγ ⇒⇒⇒⇒
====
====
−−−−
−−−−+∞+∞+∞+∞
====
∫∫∫∫
∑∑∑∑
ςςςςζζζζζζζζππππ γγγγ
d )(Fi2
1]n[u].n[f
z ]n[f)z(F
1n
n
0n
F : Transformada Zeta unilateral de la Sucesión f [Causal] f : Antitransformada de F Obs: Nótese que en la definición de la Transformada Zeta unilateral 1.- La serie sólo tiene las potencias negativas y el término independiente. 2.- El centro de desarrollo es siempre a = 0 como en la Transformada Zeta.
5.3.- CAMPO O REGIÓN DE CONVERGENCIA
El Campo o Región de Convergencia de la Transformada Zeta unilateral es una Bola de centro ∞ y radio r:
A(r1 , r2) = B(∞∞∞∞,r)
5.4.- NOTACIÓN
La notación para la Transformada Zeta unilateral es la misma que la adoptada para la Transformada Zeta
f[n] →→→→ F(z)
manteniéndose las convenciones sobre las letras minúsculas y mayúsculas para la sucesión y su transformada , como así también la de los corchetes y paréntesis para los respectivos argumentos.
5.5.- PROPIEDADES ESPECÍFICAS DE LA CAUSAL La mayor parte de las propiedades de la Transformadas Unilateral son las mismas que las de la Bilateral. Las
propiedades específicas se desarrollan a continuación. 5.5.1.- DESPLAZAMIENTO EN TIEMPO DE LA CAUSAL El teorema del desplazamiento en el tiempo para la Transformada Zeta unilateral tiene la siguiente forma:
T’2.- k∈∈∈∈ N ∩∩∩∩ f[n] u[n] →→→→ F(z) ⇒⇒⇒⇒ f[n+k] u[n] →→→→ z k [ F(z) – f[0] – f[1] z –1 – f[2] z –2 - ... – f[k-1] z –(k–1) ]
⇒⇒⇒⇒ f[n–k] u[n] →→→→ z – k F(z)
D.- f[n] u[n] →→→→ F(z) =∑∑∑∑+∞+∞+∞+∞
====0n
f[n] z – n
f[n+k] u[n] →→→→ ∑∑∑∑+∞+∞+∞+∞
====0n
f[n+k] z – n = z k ∑∑∑∑+∞+∞+∞+∞
====0n
f[n+k] z – (n+ k)
Cambiando n + k = p
= z k ∑∑∑∑+∞+∞+∞+∞
====kn
f[p] z – p
Quedando
f[n+k] u[n] →→→→ z k [ F(z) – f[0] – f[1] z –1 – f[2] z –2 – ... – f[k-1] z – (k–1) ]
En particular
f[n+1] u[n] →→→→ z [ F(z) – f[0] ] f[n+2] u[n] →→→→ z 2 [ F(z) – f[0] – f[1] z –1 ]
por otro lado en el caso de los desplazamientos negativos
f[n – k] u[n] →→→→ ∑∑∑∑+∞+∞+∞+∞
====0n
f[n – k] z – n = z –k ∑∑∑∑+∞+∞+∞+∞
====0n
f[n – k] z – (n– k)
Cambiando n – k = p
= z – k ∑∑∑∑+∞+∞+∞+∞
−−−−==== kn
f[p] z – p
Queda
= z – k ∑∑∑∑+∞+∞+∞+∞
====0n
f[p] z – p
f[n – k] u[n] →→→→ z – k F(z) En particular
f[n – 1] u[n] →→→→ z – 1 F(z) f[n – 2] u[n] →→→→ z – 2 F(z)
5.5.2.- CAUSAL DE LAS DIFERENCIAS FINITAS 5.5.2.1.- CAUSAL DE LA PRIMERA DIFERENCIA
T6.- f[n] →→→→ F(z) ⇒⇒⇒⇒ ∆∆∆∆f[n] := ( f[n+1] – f[n] ) u[n] →→→→ (z – 1) F(z) – z f[0]
D1.- ∆f[n] := ( f[n+1] – f[n] ) u[n] → z [ F(z) – f[0] ] – F(z) = (z – 1) F(z) – z f[0]
5.5.2.2.- CAUSAL DE LA SEGUNDA DIFERENCIA
T’6.- f[n] →→→→ F(z) ⇒⇒⇒⇒ ∆∆∆∆2f[n] := (∆∆∆∆ f[n+1] – ∆∆∆∆ f[n] ) u[n] →→→→ (z – 1) 2 F(z) ) – z ( z – 2) f[0] – z f[1]
D1.- [Aplicando T6] ∆2f[n] → (z – 1) [ (z – 1) F(z) – z f[0] ] – z ∆f[0]
→ (z – 1) [ (z – 1) F(z) – z f[0] ] – z [f[1] – f[0] ]
→ (z – 1)2 F(z) – [z (z – 1) f[0] – z f[0]] – z f[1]
→ (z – 1)2 F(z) – z ( z – 2) f[0] – z f[1]
D2.- [Aplicando la definición de ∆2f[n] ]
∆2f[n] = f[n+2] – 2 f[n+1] + f[n] → z 2 [ F(z) – f[0] – f[1] z –1 ] – 2 z [ F(z) – f[0] ] + F(z)
→ (z 2 – 2 z + 1 ) F(z) – (z2 – 2 z) f[ 0] – z f[1]
→ (z – 1)2 F(z) – z ( z – 2) f[0] – z f[1]
5.5.3.- CONVOLUCIÓN DE CAUSALES
T’10.- ������������
→→→→→→→→
)z(G]n[u]n[g )z(F]n[u]n[f
⇒⇒⇒⇒ h[n] := ( f[n] u[n] ) * ( g[n] u[n] ) := ∑∑∑∑====
n
0k
f[k] g[n– k] →→→→ F(z) G(z)
D1.- Aplicando el producto de convolución general
h[n] = ∑+∞
−∞=k
f[k] u [k] g[n–k] u[n–k]
= ∑∑∑∑====
n
0k
f[k] g[n– k]
5.5.4.- TEOREMA DE RIEMANN Y COROLARIOS. En una causal se cumple el Teorema de Riemann, cuya tesis enuncia que el coeficiente del término enésimo de
una Causal f[n] tiende a cero cuando n tiende a +∞.
Además un corolario inmediato es que si F(z) es una función racional (cociente de dos polinomios), el orden del numerador es menor o igual que el orden del denominador.
T13.- Teorema de Riemann. ∀∀∀∀ n < 0 f[n] = 0 (Causal) f[n] →→→→ F(z) F(z)∈∈∈∈ CV/ B(∞∞∞∞,r) ⇒⇒⇒⇒ f[n] → +∞→n 0
⇒⇒⇒⇒ F(z) = )z(D)z(N
p
n ⇒⇒⇒⇒ n ≤≤≤≤ p ⇒⇒⇒⇒ # ceros ≤≤≤≤ # polos
D.- La convergencia absoluta de la Serie de Potencias F(z) =∑∑∑∑+∞+∞+∞+∞
====0n
f[n] z –n sobre B(∞∞∞∞,r) asegura el
teorema de Riemann que el módulo del término enésimo tiende a cero.
Un corolario es que para una función racional: cociente de dos polinomios F(z) = )z(D)z(N
p
n para que pueda
desarrollarse en B(∞∞∞∞,r) tiene que satisfacerse n ≤≤≤≤ p es decir el orden del numerador es menor o igual que el orden del denominador. Esto implica que el número de ceros es menor o igual que el número de polos.
5.5.5.- TEOREMA DEL VALOR INICIAL
T14.- ∀∀∀∀ n < 0 f[n] = 0 (Causal) f[n] →→→→ F(z) ⇒⇒⇒⇒ F(z) → +∞→z f[0]
⇒⇒⇒⇒ [ f[0] ∈∈∈∈ Acotada ⇒⇒⇒⇒ F(z) ∈∈∈∈ Estable ]
D.- f[n] →→→→ F(z) =∑∑∑∑+∞+∞+∞+∞
====0n
f[n] z – n = f[0] + f[1] z1 + ... + f[n]
nz1 +... → +∞→z f[0]
Pasando al límite para z tendiendo a infinito todos los términos tienden a cero salvo el primero. Como corolario inmediato se deduce para la Causal : f[0] ∈ Acotada ⇒ F(z) ∈ Estable
5.5.6.- TEOREMA DEL VALOR FINAL
T15.- ∀∀∀∀ n < 0 f[n] = 0 (Causal) f[n] →→→→ F(z) F(z)∈∈∈∈ CV/ B(∞∞∞∞,r) ∧∧∧∧ r ≤≤≤≤ 1 ⇒⇒⇒⇒ (z – 1) F(z) → →1z
f[+∞∞∞∞] =+∞+∞+∞+∞→→→→n
lim f[n]
D.- f[n] u[n] →→→→ F(z) =∑∑∑∑+∞+∞+∞+∞
====0n
f[n] z – n
f[n+1] u[n] →→→→ z F(z) – z f[0] = ∑∑∑∑+∞+∞+∞+∞
====0n
f[n+1] z – n
∑∑∑∑+∞+∞+∞+∞
====0n
[ f[n+1] – f[n] ] z – n = z F(z) – z f[0] – F(z) = (z – 1) F(z) – z f[0]
Pasando al límite cuando z → 1
∑∑∑∑+∞+∞+∞+∞
====0n
[ f[n+1] – f[n] ] = 1z
lim→
(z – 1) F(z) – f[0]
Desarrollando el primer miembro de la igualdad
∑∑∑∑+∞+∞+∞+∞
====0n
[ f[n+1] – f[n] ] =+∞→n
lim ∑∑∑∑====
n
0k
( f[k+1] – f[k] )
=+∞→n
lim ( f[n+1] – f[n] )+ ( f[n] – f[n–1] ) + … +( f[2] – f[1] ) + ( f[1] – f[0] )
=+∞→n
lim f[n+1] – f[0]
= f[+∞] – f[0] Resulta entonces
f[+∞] – f[0] =
1zlim→
(z – 1) F(z) – f[0]
f[+∞] = 1z
lim→
(z – 1) F(z)
5.6. RESUMEN DE PROPIEDADES ESPECÍFICAS DE LA TRANSFORMADA ZETA UNILATERAL
f[n] u[n] F(z) ROC
f[n] u[n]=
i21ππππ
����I F(z) z n–1 dz F(z) =⌠⌠⌠⌠+∞+∞+∞+∞
====0n
f[n] z– n
B(∞∞∞∞,r)
2’ k∈∈∈∈ N f[n+k] u[n]
f[n–k] u[n]
z k[F(z)– f[0]– f[1] z– 1– ... – f[k–1] z –(k–1) ]
z– k F(z)
B(∞∞∞∞,r)
6’ ∆∆∆∆f[n] := ( f[n+1] – f[n] ) u[n]
∆∆∆∆2f[n] := (∆∆∆∆ f[n+1] –∆∆∆∆f[n] ) u[n]
(z–1) F(z) – z f[0]
(z–1)2 F(z) – z ( z – 2) f[0] – z f[1] B(∞∞∞∞,r)
10’ ( f[n] u[n] )*( g[n] u[n] ) :=
:=∑∑∑∑====
n
0k
f[k] g[n– k]
F(z) G(z)
B(∞∞∞∞,r)
11 f[n] g[n] F(z)*G(z):=
i21ππππ ∫∫∫∫γγγγ ζζζζ
ζζζζζζζζ )/z(G)(F dζζζζ
B(∞∞∞∞,r)
12 f[n] = f[n+T] Tz1
1−−−−−−−−
[ f[0]+f[1] z– 1+...+f[T–1] z–(T– 1)] | z | > 1
6.- APROXIMACIÓN ENTRE LAS SEÑALES DE TIEMPO CONTINUO Y DISCRETO Como ya se ha dicho en la Introducción , el control de procesos por computadoras o procesadores digitales hace
necesario la conversión de la información analógica a digital (A/D) y viceversa (D/A).
La ventaja fundamental de la variable discreta, es que permite el proceso y almacenamiento de la información
(datos) en computadoras digitales. La Conversión A/D significa captar registros a intervalos discretos regulares de señales continuas en el tiempo
(eléctricas o de otra índole representables por números reales). Dichos valores discretos llamados muestras conforman una sucesión de números enteros.
A partir de una función f(t) de variable continua (real), las muestras de la función, tomados a intervalos regulares de tiempo T empezando de t = 0 se forma la sucesión :
f[0], f[T], f[2T], f[3T], ..., f[nT], ...
Por otro lado a partir de la sucesión f[nT] se puede la construir una función de variable continua escalonada
tomando el valor f[nT] como constante en cada intervalo de tiempo amplitud T: t∈∈∈∈ [ nT (n+1)T[ . Esta función escalonada es la aproximación de la señal de entrada f(t) . Desde el punto de vista matemático la función escalonada fe(t) de variable continua puede representarse como:
fe(t) := ∑∑∑∑ f[nT] pulso[nt] = ∑∑∑∑ f[nT] [u[nT] – u[(n+1)T]
La relación entre las funciones de variable continua, f(t) y fe(t) permite establecer métodos aproximados de
resolución para variable continua con variable discreta y viceversa. Son ejemplo de ello:
Variable real (continua) Variable discreta (enteros y fraccionarios) Sistemas analógicos Sistemas digitales Transformada de Laplace Transformada Zeta Derivadas Diferencias finitas Ecuaciones diferenciales lineales Ecuaciones en diferencias finitas lineales Integrales Sumas
6.1.- ERRORES DE LA APROXIMACIÓN La conversión A/D conlleva entonces dos aproximaciones, que introducen una perturbación o error en la señal
de entrada: 1. Error por pasaje de función continua (números reales) a función escalonada (sucesión o función discreta
de números enteros o fraccionarios) Esto aproximación puede llevar a errores por exceso o por defecto de la entrada. La cota del error de aproximación depende esencialmente del período T de muestreo. 2.- Error de conversión de un Código de número entero a Código Binario
Un segundo error se introduce cuando los valores discretos (enteros o fraccionarios) se representan en código binario. Este error depende de la cantidad de bits que se tomen para representar los números enteros en el procesamiento digital. Ejemplo de ello se ha especificado en la Tipificación de Sistemas y Señales.
6.2.- RELACIÓN ENTRE LA TRANSFORMADA ZETA UNILATERAL Y LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
La aproximación entre la función continua y la función escalonada correspondiente también establece la relación entre las Transformadas de Laplace y Zeta de cada una de ellas
f(t) →→→→ TL F(s) = ∫∫∫∫+∞+∞+∞+∞
0 f(t) e– st dt
↓ muestreo con período T
f(nT) →→→→ TZ F(z,T) = ∑∑∑∑+∞+∞+∞+∞
====0n
f[nT] z – n
A partir de la TZ se puede definir una TZ para un período T.
F(z) = ∑∑∑∑+∞+∞+∞+∞
====0n
f[n] z – n
F(z,T) = ∑∑∑∑+∞+∞+∞+∞
====0n
f[ nT] z – n
Multiplicando por T
F(z,T) T = ∑∑∑∑+∞+∞+∞+∞
====0n
f[ nT] z – n T
Y cambiando de variables y pasando al límite pata T → 0+ se obtiene la TL
tn = nT T = (n+1)T – nT = ∆t z = e sT
F(z,T) T = F(e s T ,T) T = ∑∑∑∑+∞+∞+∞+∞
====0n
f[ tn ] ( e sT ) – n ∆t = ∑∑∑∑+∞+∞+∞+∞
====0n
f[ tn ] nste− ∆t
↓ T → 0+
F(s) = ∫∫∫∫+∞+∞+∞+∞
0 f ( t ) e– s t d t s
La Región de CV de la TL y la TZ también están relacionadas por la función z = e s T
ROC TL: Re(s) > αααα ↔↔↔↔ ROC TZ: B(∞∞∞∞, R = eααααT)
Como se observa en el gráfico la ROC de la TL: un semiplano de s a la derecha de la abscisa αααα se transforma en la ROC de la TZ unilateral , una Bola con centro en el ∞∞∞∞ y Radio R = eααααT
6.3.- APROXIMACIÓN DE DERIVADAS CON DIFERENCIAS FINITAS
El método consiste en reemplazar las derivadas por diferencias finitas:
y’(t) ≅≅≅≅ T
]1n[y]n[y −− =T
]1n[y −∆
donde con T suficientemente pequeño se puede esperar una aproximación conveniente. Análogamente para segundo orden.
y’’(t) ≅≅≅≅ T
T]2n[y]1n[y
T]1n[y]n[y −−−−
−−
=2T
]2n[y]1n[y2]n[y −+−− =2
2
T]2n[y −∆
6.4.- APROXIMACIÓN ECUACIONES DIFERENCIALES CON ECUACIONES EN DIFERENCIAS FINITAS La aproximación de las Ecuaciones Diferenciales por Ecuaciones en Diferencias se basa en la aproximación de
las Derivadas con Diferencias. Se presentan como ejemplo dos variantes , aunque puede haber otras opciones : I.- Primera aproximación para la Ecuación Diferencial
y(t) →→→→ y[n]
y’(t) →→→→ T
]1n[y −−−−∆∆∆∆
y’’(t) →→→→ T
]2n[y2 −−−−∆∆∆∆ etc.
II.- Segunda aproximación:
y(t) →→→→ y[n]
y’(t) →→→→ T
]n[y∆∆∆∆
y’’(t) →→→→ T
]n[y2∆∆∆∆ etc
En ejercicios posteriores se ejemplifican algunas aproximaciones. 6.5.- APROXIMACIÓN DE INTEGRALES CON SUMAS FINITAS También las Integrales de Riemann o Impropias se pueden calcular por aproximación por la TZ: 6.5.1.- INTEGRALES DE RIEMANN
∑=
N
0k
f[ nT] T = T ∑=
N
0k
f[ nT]
6.5.2.- INTEGRALES IMPROPIAS
∑+∞
=0k
f[ kT] T = T ∑+∞
=0k
f[ kT] = T F(z) 1z==== = T F(1)
7.- APLICACIONES
7.1.- RESOLUCIÓN DE ECUACIONES EN DIFERENCIAS
7.1.1.- ECUACIONES EN DIFERENCIAS SIN CONDICIONES INICIALES Dado una Ecuación en Diferencias Lineal y con Coeficientes Constantes su Transformada Z es:
a0 y[n] + a1 y[n–1] + a2 y[n–2] + ... + an-k y[n–k] = x[n] ↓ Y(z) [ a0 + a1 z –1 + a2 z –2 + ... + an–k z – (n–k) ] = X(z)
Llamando
A(z) := [ a0 + a1 z –1 + a2 z –2 + ... + an–k z – (n–k) ]
Se tiene la solución general de la ecuación en diferencias en el campo Transformado z. (que responde a la ley de
Ohm).
Y(z) := )z(A)z(X
7.1.2.- ECUACIONES EN DIFERENCIAS CON CONDICIONES INICIALES
Dado una ecuación en diferencias y las condiciones iniciales:
an+k y[n+k] + an+k-1 y[n+k–1] + ... + a0 y[n] = x[n] y[0] = c0 y[1] = c1 y[2] = c2 y[n–k] = cn-k
Se transforma como:
an+k y[n+k] + an+k-1 y[n+k-1] + ... + a0 y[n] = x[n] ↓ an+k z k [ Y(z) – y[0] – y[1] z –1 – y[2] z –2 - ... – y[k–1] z – (k–1) ] + + an+k-1 z k–1 [ Y(z) – y[0] – y[1] z –1 – y[2] z –2 - ... – y[k–2] z – (k–2) ] + + ... + a0 [Y(z)] = X(z)
Ordenando: Y(z) [ an+k z k + an+k-1 z k–1 + ... + a0 ] – – y[0] [ an+k z k + an+k-1 z k–1 + ... + a1 z ] – – y[1] [ an+k z k–1 + an+k-1 z k–2 + ... + a2 z ] – – y[2] [ an+k z k–2 + an+k-1 z k–3 + ... + a3 z ] – ... – y[k–1] [ an+k z ] = X(z)
Llamando A(z) := [ an+k z k + an+k-1 z k–1 + ... + a0 ] C(z) := f[0] [ an+k z k + an+k-1 z k–1 + ... + a1 z ] + + f[1] [ an+k z k–1 + an+k-1 z k–2 + ... + a2 z ] + + f[2] [ an+k z k–2 + an+k-1 z k–3 + ... + a3 z ] + ... + f[k] [ an+k z ] .
Resulta:
Y(z) A(z) – C(z) = X(z) Se tiene la solución general de la ecuación en diferencias en el campo Transformado z
Y(z) = )z(A)z(X +
)z(A)z(C
Esta solución es la suma (superposición) de dos soluciones, la primera
Y1(z) = )z(A)z(X
que es la respuesta del sistema a la señal de Entrada (Sistema forzado) que responde a la ley de Ohm y la segunda
Y0(z) = )z(A)z(C
que es la respuesta del sistema a las Condiciones Iniciales (Sistema libre)
7.2 .- APLICACIONES A SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO LINEALES E INVARIANTES. (TDLI) 7.2.1.- SISTEMA TDLI EN EL CAMPO z Un Sistema TDLI representado por una Ecuación lineal en diferencias finitas
se trasforma por medio de la Transformada z en
Y(z) = X(z) H(z)
que no es otra que la Ley de Ohm generalizada.
A la relación entre la salida y la entrada del Sistema se la llama transferencia H(z)
H(z) := )z(X)z(Y
La solución del sistema es en general la convolución:
y[n] = x[n] * h[n]
7.2.2.- EJEMPLOS DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS TDLI Ejemplo 1: Resolver el circuito de la figura con x[n] = u[n]
La ecuación que representa el circuito es: y[n] = x[n] + a y[n–1] x[n] = u[n]
Transformando con TZ :
y[n] – a y[n–1] = x[n] ↓ TZ Y(z) – a z–1 Y(z) = X(z)
Y(z) [1 – a z–1 ] =
z11
1
−
Y(z) =
z11
1
−
za1
1
−
Y(z) = )az)(1z(
z 2
−−
Se antitransforma:
y[n] =i2
1π ∫∫∫∫γγγγ Y(z) z n–1 dz
y[n] =i2
1π ∫∫∫∫γγγγ )az)(1z(
z2
−− z n–1 dz
y[n] =i2
1π ∫∫∫∫γγγγ )az)(1z(
1−−
z n+1 dz
I.- Caso a ≠ 1
y[n] →→→→ −−−−≥≥≥≥ 1n = R(1) + R(a) = 1a
1−
[ – 1n+1 + a n+1 ] = a n+ a n–1+ a n–2+ ...+ a2 + a + 1
y[n] →→→→ −−−−<<<< 1n = R(1) + R(a) + R(0) = – R(∞) = R ( )a
w1)(1
w1(
1
−−
2w1 w – (n+1) ; 0 ) = 0
y[n] = 1a
1−
( an+1 – 1) u[n]
II.- Caso a = 1
y[n] →→→→ −−−−≥≥≥≥ 1n = R(1) = n+1
y[n] →→→→ −−−−<<<< 1n = R(1) + R(2) + R(0) = – R(∞) = R (2)1
w1(
1
−2w
1 w – (n+1) ; 0 ) = 0
y[n] = ( n+1) u[n+1] Verificación: el caso de a = 1 se puede obtener como límite cuando a tiende a 1 en el caso general de (a ≠≠≠≠ 1)
y[n] = a n+ a n–1+ a n–2+ ...+ a2 + a + 1 →→→→ →→→→1a n+1
Verificación de la antitransformada por otros métodos : 2.- Forma por convolución (para a ≠ 1)
Y(z) =
za1
1
−
z11
1
−
y[n] = ∑+∞
−∞=k
ak u[k] u[n-k]
y[n] = ∑=
n
0k
ak u[k] u[n-k] = 1+ a+ a2+ ...+ an–1 + an
3.- Forma por fracciones simples (para a ≠ 1)
Y(z) =
za1
1
−
z11
1
− =
)1a(1−
[
za1
a
− –
z11
1
−]
y[n] =)1a(
1−
[ an+1 – 1 ] u[n]
Verificación por método directo para a = 2
n X[n] y[n]=x[n]+2y[n-1] Potencia[2,n+1] - 1
-1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 3 3 2 1 7 7 3 1 15 15 4 1 31 31 5 1 63 63 6 1 127 127 7 1 255 255 8 1 511 511 9 1 1023 1023
10 1 2047 2047 11 1 4095 4095 12 1 8191 8191
Verificación por método directo para a = 3
Ej 2
n x[n] y[n]=x[n]+3y[n-1] Potencia[3,n+1]
-1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 4 4 2 1 13 13 3 1 40 40 4 1 121 121 5 1 364 364 6 1 1093 1093 7 1 3280 3280 8 1 9841 9841 9 1 29524 29524
10 1 88573 88573 11 1 265720 265720
Casos particulares:
a = – b y[n] = 1 –b + b2+ ...+ (–b)n a = – 1 y[n] = 1 – 1 + 1+ ...+ (–1)n {y[n]} = {1,0,1,0,1...}
7.3.- APROXIMACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES POR ECUACIONES EN DIFERENCIAS FINITAS
7.3.1.- APROXIMACIÓN
El método consiste en reemplazar las derivadas por diferencias finitas:
y’(t) ≅≅≅≅ T
]1n[y]n[y −− =T
]1n[y −∆
donde con T suficientemente pequeño se puede esperar una aproximación conveniente. Análogamente para segundo orden.
y’’(t) ≅≅≅≅ T
T]2n[y]1n[y
T]1n[y]n[y −−−−
−−
=2T
]2n[y]1n[y2]n[y −+−− =2
2
T]2n[y −∆
7.3.2.- EJEMPLO
y’ + y = u(t) y(0) = 0 ⇒⇒⇒⇒ y = – e – t + 1
I.- Primera aproximación
T]1n[y −−−−∆∆∆∆ + y[n] = u[n]
T1 [ Y(z) – z –1 Y(z) ] + Y(z) =
z11
1
−
Y(z) {T1 [ 1 – z –1 ] + 1} =
z11
1
−
Y(z) =
z11
1
−
z)1T(11
1TT
+−
+
y[n] = 1T
T+
1T11
1
+−
( 1 – (1T
1+
)n+1 ) u[n+1]
y[n] = ( 1 – (1T
1+
)n+1 ) u[n+1]
II.- Segunda aproximación:
T]n[y∆∆∆∆ + y[n] = u[n]
T1 [ z Y(z) – Y(z) ] + Y(z) =
z11
1
−
Y(z) {T1 (z –1) + 1} =
z11
1
−
Y(z) =
z11
1
−
T1zT+−
Y(z) = z–1
z11
1
−
zT11
T−−
y[n] = ( 1 – (1 – T)n ) u[n] para comparar el error de las aproximaciones se ha preparado la tabla que tiene 3 errores
Serie 1 : error de la primera aproximación y[n] = ( 1 – (1T
1+
)n+1 ) u[n+1]
Serie 2 : error de una aproximación derivada de la primera y[n] = ( 1 – (1T
1+
)n ) u[n]
Serie 3 : error de la segunda aproximación y[n] = ( 1 – (1 – T)n ) u[n]
T Comparación de las Aproximaciones de y'+y = u(t) con Diferencias Finitas 0.1 Serie 1 Serie 2 Serie 3 n 1-pot(1/(T+1),n+1) 1-pot(1-T,n) t y(t)=1-exp(-t) err=En-Bn err=En-Bn-1 err=En-Cn
0 0.090909091 0 0 0 -0.090909091 0 0 1 0.173553719 0.1 0.1 0.095162582 -0.078391137 0.004253491 -0.004837418 2 0.248685199 0.19 0.2 0.181269247 -0.067415952 0.007715528 -0.008730753 3 0.316986545 0.271 0.3 0.259181779 -0.057804765 0.01049658 -0.011818221 4 0.379078677 0.3439 0.4 0.329679954 -0.049398723 0.012693409 -0.014220046 5 0.43552607 0.40951 0.5 0.39346934 -0.04205673 0.014390663 -0.01604066 6 0.486841882 0.468559 0.6 0.451188364 -0.035653518 0.015662294 -0.017370636 7 0.53349262 0.5217031 0.7 0.503414696 -0.030077924 0.016572814 -0.018288404 8 0.575902382 0.56953279 0.8 0.550671036 -0.025231346 0.017178416 -0.018861754 9 0.614456711 0.612579511 0.9 0.59343034 -0.02102637 0.017527959 -0.019149171 10 0.649506101 0.65132156 1 0.632120559 -0.017385542 0.017663848 -0.019201001 11 0.681369182 0.686189404 1.1 0.667128916 -0.014240266 0.017622816 -0.019060488 12 0.71033562 0.717570464 1.2 0.698805788 -0.011529832 0.017436606 -0.018764675 13 0.736668746 0.745813417 1.3 0.727468207 -0.009200539 0.017132587 -0.01834521 14 0.760607951 0.771232075 1.4 0.753403036 -0.007204915 0.01673429 -0.017829039 15 0.782370864 0.794108868 1.5 0.77686984 -0.005501024 0.016261889 -0.017239028
16 0.802155331 0.814697981 1.6 0.798103482 -0.004051849 0.015732618 -0.016594499 17 0.82014121 0.833228183 1.7 0.817316476 -0.002824734 0.015161145 -0.015911707 18 0.836492009 0.849905365 1.8 0.834701112 -0.001790897 0.014559902 -0.015204253 19 0.851356372 0.864914828 1.9 0.850431381 -0.000924991 0.013939372 -0.014483447 20 0.864869429 0.878423345 2 0.864664717 -0.000204712 0.013308345 -0.013758629 21 0.877154026 0.890581011 2.1 0.877543572 0.000389545 0.012674143 -0.013037439 22 0.888321842 0.90152291 2.2 0.889196842 0.000874999 0.012042815 -0.012326068 23 0.898474402 0.911370619 2.3 0.899741156 0.001266754 0.011419314 -0.011629463 24 0.907704002 0.920233557 2.4 0.909282047 0.001578045 0.010807645 -0.01095151 25 0.916094547 0.928210201 2.5 0.917915001 0.001820454 0.010211 -0.0102952 26 0.923722316 0.935389181 2.6 0.925726422 0.002004106 0.009631875 -0.009662759 27 0.930656651 0.941850263 2.7 0.932794487 0.002137837 0.009072172 -0.009055776 28 0.936960591 0.947665237 2.8 0.939189937 0.002229346 0.008533287 -0.008475299 29 0.942691447 0.952898713 2.9 0.94497678 0.002285333 0.008016189 -0.007921933 30 0.947901315 0.957608842 3 0.950212932 0.002311616 0.007521485 -0.00739591 31 0.952637559 0.961847958 3.1 0.954950798 0.002313238 0.007049482 -0.00689716 32 0.956943236 0.965663162 3.2 0.959237796 0.00229456 0.006600237 -0.006425366 33 0.960857487 0.969096846 3.3 0.963116833 0.002259346 0.006173597 -0.005980013 34 0.964415897 0.972187161 3.4 0.96662673 0.002210833 0.005769243 -0.005560431 35 0.967650816 0.974968445 3.5 0.969802617 0.002151801 0.005386719 -0.005165828 36 0.970591651 0.9774716 3.6 0.972676278 0.002084627 0.005025462 -0.004795323 37 0.973265137 0.97972444 3.7 0.975276474 0.002011337 0.004684823 -0.004447967 38 0.975695579 0.981751996 3.8 0.977629228 0.001933649 0.004364091 -0.004122768 39 0.977905072 0.983576797 3.9 0.979758089 0.001853017 0.00406251 -0.003818708 40 0.979913702 0.985219117 4 0.981684361 0.001770659 0.003779289 -0.003534756
8.- TABLA DE TRANSFORMADAS ZETA
f[n] F(z) ROC
f[n] =i2
1ππππ
∫∫∫∫γγγγ F(z) z n-1 dz F(z) = ∑∑∑∑+∞+∞+∞+∞
−∞−∞−∞−∞====n
f[n] z –n A(r1,r2)
1 u[n] )z/1(11
−−−−=
1zz−−−−
|z| >>>> 1
2 δδδδ[n] 1 z ∈∈∈∈ C
3 k ∈∈∈∈ Z δδδδ[n-k] z –k k>0 | z|>0 k<0 z ∈∈∈∈ C
4 k∈∈∈∈ Z k >0
pulso[n,k] := u[n+k] – u[n–k] )z/1(1
1−−−−
( z k – z – k) |z| >>>> 1
5 an u[n] )z/a(11
−−−−=
azz−−−−
|z| >>>> |a|
6 sin[ααααn] u[n] )1cos z2z(
sin z2 ++++−−−− αααα
αααα |z| >>>> 1
7 cos[ααααn] u[n] )1cos z2z(
)cosz( z2 ++++−−−−
−−−−αααααααα |z| >>>> 1
8 sh[ααααn] u[n] )1ch z2z(
sh z2 ++++−−−− αααα
αααα |z| > e|αααα |
9 ch[ααααn] u[n] )1ch z2z(
)chz( z2 ++++−−−−
−−−−αααααααα |z| > e|αααα |
10 n = Cn,1 2)1z(z−−−−
|z| >>>> 1
11 !2
1 n(n-1) = Cn,2 3)1z(z−−−−
|z| >>>> 1
12 !2
1 n(n-1)...(n-k) = Cn,k 1k)1z(z
++++−−−− |z| >>>> 1
13 n2 3)1z()1z(z
−−−−++++ |z| >>>> 1
14 a≠≠≠≠0 b≠≠≠≠0 a≠≠≠≠b
)ba(1−−−−
(an+1– bn+1 ) u[n+1]
za1
1
−−−−
zb1
1
−−−−
|z|>>>>max(|a|,|b|)
15 a≠≠≠≠0
(n+1) an u[n+1]
2)
za1(
1
−−−−
|z| >>>> |a|
16 Cn-1,n-k an-k u[n-1] 1k)1z(
z++++−−−−
|z| >>>> |a|
17 f[n] = f[n+T]
f[n] =
++++≠≠≠≠∈∈∈∈++++====
pT0n 0Np pT 0 n 1
Tz11−−−−−−−−
|z| >>>> 1
18 n1 u[n–1] L( 1–
z1 ) |z| >>>> 1
19
1n
1−−−−
u[n – 2] – n1 u[n – 1] – (1–
z1 ) L( 1–
z1 ) |z| >>>> 1
20 )1n(1++++ΓΓΓΓ
u[n] =!n
1 u[n] e 1/z |z| > 0