transformaciones matriciales

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Preparado por: Gustavo J. Ruberté Maldonado Curso: Algebra Lineal Avanzada Dr. Orlando Planchart Transformacione s lineales

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Transformaciones con matrices

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Page 1: Transformaciones matriciales

Preparado por: Gustavo J. Ruberté Maldonado

Curso: Algebra Lineal AvanzadaDr. Orlando Planchart

Transformaciones lineales

Page 2: Transformaciones matriciales

Conceptos que debemos conocer• Se denota con R2 el conjunto de pares ordenados de números

reales.

• Los arreglos de tres números reales se pueden interpretar de dos formas: como la localización de un punto en el espacio de tres dimensiones con respecto a un sistema de coordenadas xyz, o como un vector de posición.

• Se denotará con R3 al conjunto de triples ordenados de números reales.

• Sin embargo, los elementos de Rn se interpretan como puntos en el espacio n o como vectores de posición en el espacio n. Las matemáticas que se formulen en Rn serán la generalización de la geometría en R2 y R3, espacios con los que se encontrará familiarizado.

Page 3: Transformaciones matriciales

• Rn junto con las operaciones de adición y multiplicación por un escalar de las componentes constituye un ejemplo de espacio vectorial, cuyos elementos reciben el nombre de vectores.

Page 4: Transformaciones matriciales

Introducción• Una función es una regla que asigna

a cada elemento de un conjunto exactamente un elemento de otro conjunto.

• Las transformaciones lineales son una clase importante de funciones entre espacios vectoriales.

Page 5: Transformaciones matriciales

Un espacio vectorial Rn posee dos operaciones definidas sobre él: la adición y la multiplicación por un escalar.

Page 6: Transformaciones matriciales

• La primera condición implica que T transforma la suma de dos vectores en la suma de las imágenes de dichos vectores, “la transformación de una suma es igual a la suma de las transformaciones”.

• La segunda condición implica que T transforma la multiplicación de un vector por un escalar en la misma multiplicación del escalar por la imagen, “la transformación de un escalar por un vector es igual que el escalar por la transformación del vector”.

Por lo tanto, las operaciones de adición y multiplicación por un escalar se conservan bajo la transformación.

Page 7: Transformaciones matriciales

Rn Rm

u T(u)

v T(v)

T(u + v)

T(cu)

u + v

cu

T

T es lineal si T(u + v) = T(u) + T(v)

T(cu) = cT(u)

Page 8: Transformaciones matriciales

Ejemplo 1

Page 9: Transformaciones matriciales
Page 10: Transformaciones matriciales

Ejemplo 2

Page 11: Transformaciones matriciales
Page 12: Transformaciones matriciales

Transformaciones matriciales

Page 13: Transformaciones matriciales

Usando la multiplicación entre matrices de la siguiente manera

Page 14: Transformaciones matriciales

Teorema

la transformación es lineal

Page 15: Transformaciones matriciales

Ejemplo 3

Page 16: Transformaciones matriciales

R2R3

Esta parte del diagrama representa al conjunto de elementos que conforman R2

Page 17: Transformaciones matriciales

Ejemplo 4

Page 18: Transformaciones matriciales

Composición de las transformaciones lineales

Page 19: Transformaciones matriciales

Rn Rm Rs

x

T

Page 20: Transformaciones matriciales

Teorema

Page 21: Transformaciones matriciales

Ejemplo 5

Por lo tanto,

Page 22: Transformaciones matriciales
Page 23: Transformaciones matriciales

Transformaciones 2D• El corazón de todo paquete gráfico es el

kernel de transformaciones geométricas– Traslación– Escalado– Cizallamiento– Reflexión– Rotación– y la concatenación de cualquiera de ellas.

Page 24: Transformaciones matriciales

Transformaciones 2D• Traslación

– Transformación que sitúa un punto (x,y) del plano en una nueva posición (x',y').

– Se consigue añadiendo unas ciertas cantidades dx y dy

• dx representa cuántas unidades hemos trasladado el punto sobre el eje x

• dy representa lo mismo sobre el eje y

y

x

dyydxx

''

Page 25: Transformaciones matriciales

Transformaciones 2D• En notación matricial

y

x

dyydxx

''

y

x

dd

Tyx

Pyx

P ,,''

'

y

x

dd

yx

yx''

TPP '

Page 26: Transformaciones matriciales

Transformaciones 2D

• Escalado– Consiste en multiplicar por un factor

(agrandar o disminuir) las coordenadas del punto.

– El factor puede ser diferente para cada una de ellas.

ysyxsx

y

x

''

Page 27: Transformaciones matriciales

Escalado

• En forma matricial

ysyxsx

y

x

''

yx

ss

yx

y

x

00

''

PSP '

y

x

ss

Syx

Pyx

P0

0,,

''

'

Page 28: Transformaciones matriciales

Cizallamiento– Desplaza un punto en la dirección de uno de

los ejes un espacio proporcional a la distancia del punto al origen según otro de los ejes.

– Los puntos con una coordenada mayor resultan más desplazados que aquellos que la tienen menor. 

– El cizallamiento de x respecto de y es

yyycxx x

''

Page 29: Transformaciones matriciales

Rotación)(')cos('

sinryrx

)()cos(

sinryrx

)cos()()()cos()()()()cos()cos()cos(

sinsinsinsinsin

)cos()()()cos(')()()cos()cos('

sinrsinrysinsinrrx

)cos()(')()cos('

ysinxysinyxx

Page 30: Transformaciones matriciales

Coordenadas Homogéneas• En forma abreviada las principales transformaciones son

TPP 'PSP 'PRP '

• conviene que todas sean de la misma forma para poder operar de una forma homogénea

Page 31: Transformaciones matriciales

Coordenadas homogéneas• El concepto de coordenadas homogéneas busca una notación matricial que

integre todas las transformaciones en una sola matriz.

• Ello permite realizar las rotaciones, escalado, etc. respecto a otros puntos

que no sean el origen mediante operaciones matriciales simples.

• En una matriz de 2x2 esto no es posible.

Page 32: Transformaciones matriciales

Coordenadas homogéneas• Las coordenadas homogéneas de (x, y) son • (x', y', h), donde

– x = x'/h – y = y'/h – h no puede ser 0.

• Para un punto concreto del plano existen infinitas representaciones en coordenadas homogéneas

• (4, 5) se puede representar como – (8, 10, 2)– (4, 5, 1)– (12, 15, 3)

Page 33: Transformaciones matriciales

Coordenadas homogéneas• Un conjunto preferido para representar en coordenadas

homogéneas es el conjunto • (x, y, 1) o, como vector

1yx

1yx

• Las matrices de transformación son ahora de 3x3Las matrices de transformación son ahora de 3x3

Page 34: Transformaciones matriciales

Traslación en coordenadas homogéneas

• Las traslaciones quedan

• y en forma abreviada

• El escalado es

• y en forma abreviada

11001001

1''

yx

dd

yx

y

x

PddTP yx ),('

11000000

1''

yx

ss

yx

y

x

PssSP yx ),('

Page 35: Transformaciones matriciales

Transformaciones en coordenadas homogéneas

• El cizallamiento respecto a x

• y en forma abreviada

• La rotación

• y en forma abreviada

PcCP x )('

11000)cos()(0)()cos(

1''

yx

sinsin

yx

PRP )('

110001001

1''

yxc

yx x

Page 36: Transformaciones matriciales

Concatenación de transformaciones

• La aplicación consecutiva de transformaciones

geométricas se denomina concatenación

• El resultado es otra transformación geométrica

equivalente.

• En notación matricial equivale al producto de matrices

Page 37: Transformaciones matriciales

Concatenación de transformaciones• Propiedades de las operaciones con matrices cuadradas

– Adición • Asociativa (A+B)+C=A+(B+C)• Conmutativa A + B = B + A

– Multiplicación • Asociativa (A·B)·C = A·(B·C)• NO conmutativa A·B ‡ B·A en general• Distributiva con respecto a la adición por ambos lados

A·(B+C) = A·B+B·C(B+C)·A = B·A+C·A

• A·B=0 no implica necesariamente A=0 o B=0• A·B=A·C no implica necesariamente B=C

Page 38: Transformaciones matriciales

Propiedades de las Operaciones con Matrices

TT ABBA

1000)cos()(0)()cos(

11''

sinsin

yxyx

11000)cos()(0)()cos(

1''

yx

sinsin

yx

Page 39: Transformaciones matriciales

Propiedades de las Operaciones con Matrices11, BAABIABBA

1001001

1001001 1

y

x

y

x

dd

dd

100

010

001

1000000 1

y

x

y

x

s

s

ss

1000)cos()(0)()cos(

1000)cos()(0)()cos( 1

sinsin

sinsin

10001001

10001001 1

xx cc

Page 40: Transformaciones matriciales

PddTP yx ),(' 11 '),('' 22 PddTP yx

PddTddTPddTddTP yxyxyxyx )),(),(()),((),('' 11221122

),(),( 1122 yxyx ddTddT

1001001

1001001

1001001

),(),( 21

21

1

1

2

2

1122 yy

xx

y

x

y

x

yxyx dddd

dd

dd

ddTddT

Concatenación de Traslaciones• Supongamos que realizamos 2 traslaciones consecutivas.

• Y nos queda realizar el producto matricial

Page 41: Transformaciones matriciales

PssSP yx ),(' 11'),('' 22 PssSP yx

PssSssSPssSssSP yxyxyxyx )),(),(()),((),('' 11221122

),(),( 1122 yxyx ssSssS

1000000

1000000

1000000

),(),( 12

12

1

1

2

2

1122 yy

xx

y

x

y

x

yxyx ssss

ss

ss

ssSssS

Concatenación de Escalados• Cabría esperar que la concatenación de escalados fuera

multiplicativa

• Y nos queda realizar el producto matricial

Page 42: Transformaciones matriciales

PRP )(' ')('' PRP

PRRPRRP ))()(())(()(''

)()( RR

1000)cos()(0)()cos(

1000)cos()(0)()cos(

)()(

sinsin

sinsin

RR

Concatenación de Rotaciones• Cabría esperar que la concatenación de rotaciones fuera aditiva

• Y nos queda realizar el producto matricial

Page 43: Transformaciones matriciales

)()( RR

1000)cos()cos()()()()cos()cos()(0))cos()()()(cos()()()cos()cos(

)()(

sinsinsinsinsinsinsinsin

RR

Concatenación de Rotaciones

)cos()()()cos()()()()cos()cos()cos(

sinsinsinsinsin

1000)cos()(0)()cos(

)()(

sinsin

RR

Page 44: Transformaciones matriciales

Ejemplo

• Rotar la figura respecto de P, un ángulo

P(x,y) P

Page 45: Transformaciones matriciales

Ejemplo• Rotación respecto a un punto fuera del origen =>

– Traslación al origen– Rotación– Traslación al punto P P

1001001

1000)cos()(0)()cos(

1001001

yx

sinsin

yx

),()(),( yxTRyxT

P

100)())cos(1()cos()()())cos(1()()cos(

xsinysinysinxsin

Page 46: Transformaciones matriciales

Convención de signos • Convención de signos para las rotaciones

– Sistema dextrógiro• Un giro de 90º en sentido antihorario transforma un eje

en otro, visto desde la parte positiva del tercero.– Sistema levógiro

• (al revés)

• Atención: No todos los textos usan la misma convención.

– Matemáticas dextrógiro– 3D levógiro

• Conversión: Reflexión respecto al plano xy

Z

X

Y

Levogiro

ZX

Y

Dextrogiro

Page 47: Transformaciones matriciales

Transformaciones 3D• Traslaciones

1000100010001

),,(z

y

x

zyx ddd

dddT

• Escalado

1000000000000

),,(z

y

x

zyx ss

s

sssS

10000100010001

),( y

x

yxxy

cc

ccC

• CizallamientoCizallamiento

Page 48: Transformaciones matriciales

10000)cos()(00)()cos(00001

)(

sin

sinRx

10000)cos(0)(00100)(0)cos(

)(

sin

sin

Ry

1000010000)cos()(00)()cos(

)(

sin

sin

Rz

Transformaciones 3DRotación alrededor de x Rotación alrededor de z

Rotación alrededor de yRotación alrededor de y Reflexión respecto del plano Reflexión respecto del plano xy (z->-z)xy (z->-z)

1000010000100001

xyE

Page 49: Transformaciones matriciales

Transformaciones / Cambio de Sistema Coordenado

• Transformaciones Geométricas– Cambio de un conjunto de

coordenadas a otro en un mismo sistema.

– También puede pensarse como un cambio entre sistemas de coordenadas.

• Aproximación útil para múltiples objetos cada uno definido en su propio sistema.

• Sea jiM

la transformación que pasa la transformación que pasa del sistema j al i.del sistema j al i.PP(i)(i) es la representación de es la representación de P en el sistema i, P en el sistema i, PP(j)(j) es la representación de es la representación de P en el sistema jP en el sistema jPP(k)(k) es la representación de es la representación de P en el sistema kP en el sistema k

)()( jji

i PMP

)()( kkj

j PMP

Page 50: Transformaciones matriciales

Transformaciones / Cambio de Sistema Coordenado

Hay que notar queHay que notar que

)()( jji

i PMP )()( k

kjj PMP

)()()()( kki

kkjji

jji

i PMPMMPMP

kjjiki MMM

ijji MM

1

La aproximación consiste en La aproximación consiste en considerar cada cuerpo en su considerar cada cuerpo en su propio sistema de coordenadas propio sistema de coordenadas y transformarlo y transformarlo apropiadamenteapropiadamente

Page 51: Transformaciones matriciales

Composición de transformaciones

• Como en 2D se resume en la multiplicación de matrices.

• Es la herramienta básica a la hora de– posicionar los objetos– establecer sus orientaciones– animar los movimientos– crear objetos compuestos

Page 52: Transformaciones matriciales

Rotación alrededor de un eje arbitrario

y

x

z

d

ux

uz

uy

22zy uud

duz)cos(

du

sin y)(

d)cos(

xusin )(

xyzyx RRRRRM 11