transformacion de laplace
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TRANSFORMACION DE
LAPLACE
LUIS ALFREDO NAVA TORRICO
CI: 19.570.099
SE LLAMA TRANSFORMADA DE LAPLACE DE , SIEMPRE Y CUANDO LA INTEGRAL CONVERJA. CUANDO LA INTEGRAL DEFINITORIA CONVERGE, EL RESULTADO ES UNA FUNCIÓN DE . ESTA TRANSFORMADA INTEGRAL TIENE UNA SERIE DE PROPIEDADES QUE LA HACEN ÚTIL EN EL ANÁLISIS DE SISTEMAS LINEALES. UNA DE LAS VENTAJAS MÁS SIGNIFICATIVAS RADICA EN QUE LA INTEGRACION Y DERIVACIÓN SE CONVIERTEN EN MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN. ESTO TRANSFORMA LAS ECUACIONES DIFERENCIALES E INTEGRALES EN ECUACIONES POLINÓMICAS, MUCHO MÁS FÁCILES DE RESOLVER. OTRA APLICACIÓN IMPORTANTE EN LOS SISTEMAS LINEALES ES EL CÁLCULO DE LA SEÑAL DE SALIDA. ÉSTA SE PUEDE CALCULAR MEDIANTE LA CONVOLUCIÓN DE LA RESPUESTA IMPULSIVA DEL SISTEMA CON LA SEÑAL DE ENTRADA. LA REALIZACIÓN DE ESTE CÁLCULO EN EL ESPACIO DE LAPLACE CONVIERTE LA CONVOLUCIÓN EN UNA MULTIPLICACIÓN, HABITUALMENTE MÁS SENCILLA. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE TOMA SU NOMBRE EN HONOR DE PIERRE-SIMON LAPLACE. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE ES AL TIEMPO CONTINUO LO QUE LA TRANSFORMADA DE ES AL DISCRETO CUANDO SE HABLA DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE, GENERALMENTE SE REFIERE A LA VERSIÓN UNILATERAL. TAMBIÉN EXISTE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE BILATERAL, QUE SE DEFINE COMO SIGUE: LA TRANSFORMADA DE LAPLACE F(S) TÍPICAMENTE EXISTE PARA TODOS LOS NÚMEROS REALES S > A, DONDE A ES UNA CONSTANTE QUE DEPENDE DEL COMPORTAMIENTO DE CRECIMIENTO DE F(T)
Relación entre f(t) y su equivalente F(s).
{ }f(t)L0
-st df(t) te
{ }1
s 6
-6teL
f(t)
tiempoj : Eje Imaginario
: Eje real
F(s)
Plano Complejo: s = + j
16 16
4 82
22 Se{ }
s
t =4
s
n2
L
26s 9 6s4 132
-3t 2 10 10
2 2 2(s+3) s
Sen2t5 =
s
{ } 5eL
Ejemplos
LA TRANSFORMACION DE LAPLACE PERMITE RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES MEDIANTE LA TRANSFORMACION EN ECUACIONES ALGEBRAICAS CON LO CUAL SE FACILITA SU ESTUDIO.
UNA VEZ QUE SE HA ESTUDIADO EL COMPORTAMIENTO DE LOS SISTEMAS DINAMICOS, SE PUEDE PROCEDER A DISEÑAR Y ANALIZAR LOS SISTEMAS DE CONTROL DE MANERA SIMPLE.
ES UNA HERRAMIENTA DE GRAN ALCANCE FORMULADA PARA SOLUCIONAR UNA VARIEDAD AMPLIA DE PROBLEMAS DEL INICIAL-VALOR.
EN MUCHAS AREAS DE INGENIERIA SE UTILIZAN PROCESOS ESTOCASTICOS O ALEATORIOS PARA CONSTRUIR MODELOS DE SISTEMAS TALES COMO CONMUTADORES TELEFONICOS, CONCENTRADORES DE REDES DE COMUNICACIÓN DE DATOS, SITEMAS DE TRAFICO, LINEAS DE ATENCION A CLIENTES EN UN BANCO O SUPERMERCADO.
SIRVE PARA DESCRIBIR CUALQUIER TIPO DE PROCESO QUE IMPLIQUE UNA VARIACIÓN CON RESPECTO AL TIEMPO O DE MOVIMIENTO DE PARTÍCULAS, SÓLO CON ELLAS PUEDES DESCRIBIR MATEMÁTICAMENTE CUALQUIER FENÓMENO DE LA NATURALEZA. EN LA INGENIERÍA CIVIL SE APLICA PRINCIPALMENTE EN TODO EL PROCESO DE ANÁLISIS ESTRUCTURAL, EL CAMPO DE APLICACIÓN ES MUY EXTENSO. APARTE DE ESTO, SI LAS APRENDES BIEN LAS PUEDES APLICAR EN CUALQUIER OTRO PROCESO QUE IMPLIQUE VARIACIÓN ( DE POSICIÓN, DE ENERGÍA, DE FORMA, ETC.), DEPENDE DE TÍ CÓMO LAS APLIQUES. TODAS LA MATEMÁTICAS QUE ESTUDIAS (ÁLGEBRA, TRIGONOMETRÍA, ÁLGEBRA LINEAL, GEOMETRÍA ANALÍTICA, CÁLCULO, ETC) VAN A DESEMBOCAR FINALMENTE EN ESTAS.
APLICACIONES
*REACCIONES QUÍMICAS DE PRIMER ORDEN Y DESINTEGRACIÓN*PROCESOS QUÍMICOS SIMPLES*CIRCUITOS ELÉCTRICOS SIMPLES*PROBLEMAS DE MEZCLAS
APLICACIONES
*CURVAS DE PERSECUCIÓN*MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA*VIBRACIONES DE SISTEMAS MECÁNICOS
En los cursos de matemáticas para ingenieros es común estudiar la transformada de Laplace a través de su definición, sus propiedades y sus aplicaciones. Sin embargo, normalmente no se hace nada por tratar de entender lo que significa. Este tipo de comprensión de los problemas es importante para que un profesionista sea capaz de resolverlos eficientemente cuando se le presentan. Es decir,
, incluyendo el aspecto teórico del mismo. Por otro lado, es necesario entender bien los conceptos teóricos para
beneficiado si se hacen interpretaciones de los resultados teóricos. Normalmente, en los libros para ingenieros no se menciona ninguna interpretación de la transformada de Laplace, aunque es conocido que la transformada de Fourier puede obtenerse a partir de la transformada de Laplace simplemente haciendo cero la parte real de la variable complejas.
La transformada de Laplace puede ser interpretada como un método que permite descomponer una función no periódica en la suma de una gran cantidad de funciones sinusoidales amortiguadas exponenciales. Con el fin de ilustrar esto, se propone un método para el calculo numérico de la transformada de Laplace y de la transformada inversa de Laplace, y se aplica, a manera de ejemplo, a tres funciones diferentes: un escalón unitario, una exponencial y una senoidal.
