TransformacionesLos tres tipos principales de transformaciones son:RotacionesGirar!

ReflexionesVoltear!

TranslacionesDeslizar!

Despus de hacer estas transformaciones (girar, voltear o deslizar), la forma tieneel mismo tamao,rea,ngulos y longitudes.

Si una forma se puede convertir en otra usando giros, volteos y deslices, las dos formas se llamancongruentes.

Cambiar tamaoLa otra transformacin importante es lahomotecia(tambin llamadadilatacin, contraccin, compresin, alargamientooexpansin). La forma se hace ms grande o ms pequea:HomoteciaCambio de tamao!

Si tienes que hacer una homotecia para hacer que una forma se convierta en otra, no son congruentes pero se dice que sonsimilares.Congruentes o similaresEntonces, si una forma se convierte en otra usando estas transformaciones, las dos formas pueden ser congruentes o quizs slo similaresSi...entonces son...

... slo giras, reflejas y/o trasladascongruentes

... necesitas hacer una homoteciaSimilar

TRANFORMACIONES EN GEOMETRIA

Transformacin geomtricaes una aplicacin del plano en el plano tal quea cada punto de un plano le hace corresponder otro punto del mismo plano.Movimiento o isometraMovimiento o isometera en el plano es unatransformacin que conserva las distancias. Puede ser:1Movimiento directo

Cuando lafigura original y la figura transformadapor el movimientose pueden hacer coincidir sin salir del plano.2Movimiento inverso

Cuando lafigura original y transformada no puede hacerse coincidirsin salirse del plano.TRAS LACIONESTraslaciones

La traslacin es una transformacin puntual por la cual a todo punto A del plano le corresponde otro punto A' tambin del plano de forma que. Siendoel vector que define la traslacin.La traslacin se designa por, luego.El puntoA'es elpunto trasladadodeA.Un punto y su trasladado se dice queson homlogos.Coordenadas de un punto mediante una traslacin

Ejemplo:

Traslacin de una recta

Una recta se transforma, mediante una traslacin, en una recta paralela.Traslacin de una circunferencia

La homloga de una circunferencia mediante una traslacin es otra circunferencia de igual radio que tiene como centro el punto homlogo del centro de la circunferencia original.Ejercicios1Una traslacin en el plano est definida por un vector.1Hallar la imagen por dicha traslacin de un punto A (1,3).2Hallar la transformada de una circunferencia que tiene de centro (3,4) y de radio 1.

2En una traslacin mediante el vector, un punto A (3, - 2) se transforma en un punto A' (1,5). Calcular:1El transformado del punto B(-2, 4).2La transformada de una circunferencia de centro (1,2).y radio 3.

3Una traslacin tiene de vector. Hallar la figura transformada de un tringulo cuyos vrtices son:

Composicin de traslaciones

Al aplicar sucesivamentedos traslaciones de vectores, se obtieneotra traslacincuyo vector es lasuma de los vectores:

GIROSGiros

Dados un punto O y un ngulo , se llama giro de centro O y ngulo a una transformacin G que hace corresponder a cada punto P otro P' = G(P) de modo que:

El sentido de giro positivo de es del contrario al movimiento de las agujas del reloj.Los giros son movimientos isomtricos, dado que conservan las distancias.1Giro de centro O(0,0)

2Giro de centro O'(a,b)

Composicin de giros1Con el mismo centro

Al aplicar sucesivamente dos giros de igual centro O y amplitudes y se obtiene un giro de igual centro O y amplitud igual a la suma de las amplitudes+.2Con distinto centro

SIMETRIA CENTRALSimeta central

Unasimetra central, de centro el punto O, es un movimiento del plano con el que a cada punto P del plano le hace corresponder otro punto P', siendo O el punto medio del segmento de extremos P y P'.Coordenadas mediante una simetra de centro O(0,0)

Un punto P' homlogo de un punto P(x,y) mediante una simetra central de centro O(0,0) tiene de coordenadas:Una simetra de centro O equivale a un giro de centro O y amplitud 180.P' = (-x, -y)x' = -x y' = -yCoordenadas mediante una simetra de centro O(a, b)

Un punto P' homlogo de un punto P(x,y) mediante una simetra central de centro O(a ,b) tiene de coordenadas:

P' = (-x+ 2a, -y+ 2b)x' = -x + 2ay' = -y + 2bComposicin de simetras centrales1Con el mismo centro

Como una simetra de centro O equivale a un giro de centro O y amplitud 180, al aplicar otra transformacin el ngulo ser de 360, por lo que se obtiene la misma figura, lo que se llama involucin.Es una transformacin involutiva.2Con distinto centro

La composicin de dos simetras centrales con distinto centroes una traslacin.3Centro de simetra

Un punto es centro de simetra de una figura si define una simetra central.SIMETRIA AXIAL

Una simetra axial de eje e es una transformacin, por tanto a todo punto P del plano le corresponde otro punto P' tambin del plano, de manera que el eje e sea la mediatriz del segmento AA'.Lassimetras axiales son isometrasporque conservan las distancias entre los puntos y sus homlogos.

Coordenadas de puntos mediante simetras axiales1Coordenadas de un punto simtrico al eje de ordenadas

Dos puntos A(x, y) y A'(x', y') simtricos respecto del eje de ordenadas tienen sus abscisas opuestas y sus ordenadas iguales.P(x, y)P(-x, y)x = -x'y = y'2Coordenadas de un punto simtrico al eje de abscisas

Dos puntos A(x, y) y A'(x', y') simtricos respecto del eje de abscisas tienen sus abscisas iguales y sus ordenadas opuestas.P(x, y)P(x, -y)x = x'y = -y'Composicin de simetras axiales1Simetra de ejes paralelos

La composicin de dos simetras ejes paralelos e y e'es una traslacin, cuyo vector tiene:La longitud del vector es el doble de la distancia entre los ejes.La direccin del vector es perpendicular a los ejes.El sentido es el que va de e a e'.2Simetra de ejes perpendiculares

La composicin de dos simetras de ejes perpendiculares e y e' es una simetra central respecto del punto de corte de los dos ejes de simetra.3Eje de simetra

El eje de simetra de una figura es la recta que divide a la figura en dos partes iguales, de modo que define una simetra axial entre una parte y otra.RESUMEN: TRASLACION GIROS Y SIMETRIA AXCIAL Y CENTRAL.Traslaciones1Coordenadas de un punto mediante una traslacin

2Traslacin de una recta

Una recta se transforma, mediante una traslacin, en una recta paralela.3Traslacin de una circunferencia

La homloga de una circunferencia mediante una traslacin es otra circunferencia de igual radio que tiene como centro el punto homlogo del centro de la circunferencia original.Composicin de traslaciones

Al aplicar sucesivamentedos traslaciones de vectores, se obtieneotra traslacincuyo vector es lasuma de los vectores:

Giros1Giro de centro O(0,0)

2Giro de centro O'(a,b)

Simetra central1Coordenadas mediante una simetra de centro O(0,0)

P' = (-x, -y)x' = -x y' = -yUna simetra de centro O equivale a un giro de centro O y amplitud 180.2Coordenadas mediante una simetra de centro O(a, b)

P' = (-x+ 2a, -y+ 2b)x' = -x + 2ay' = -y + 2bSimetra axial1Coordenadas de un punto simtrico al eje de ordenadasP(x, y)P(-x, y)x = -x'y = y'2Coordenadas de un punto simtrico al eje de abscisasP(x, y)P(x, -y)x = x'y = -y'FORMULAS DE TRANSFORMACIIONES

Traslaciones1Coordenadas de un punto mediante una traslacin

2Traslacin de una recta

Una recta se transforma, mediante una traslacin, en una recta paralela.3Traslacin de una circunferencia

La homloga de una circunferencia mediante una traslacin es otra circunferencia de igual radio que tiene como centro el punto homlogo del centro de la circunferencia original.Composicin de traslaciones

Al aplicar sucesivamentedos traslaciones de vectores, se obtieneotra traslacincuyo vector es lasuma de los vectores:

Giros1Giro de centro O(0,0)

2Giro de centro O'(a,b)

Simetra central1Coordenadas mediante una simetra de centro O(0,0)

P' = (-x, -y)x' = -x y' = -yUna simetra de centro O equivale a un giro de centro O y amplitud 180.2Coordenadas mediante una simetra de centro O(a, b)

P' = (-x+ 2a, -y+ 2b)x' = -x + 2ay' = -y + 2bSimetra axial1Coordenadas de un punto simtrico al eje de ordenadasP(x, y)P(-x, y)x = -x'y = y'2Coordenadas de un punto simtrico al eje de abscisasP(x, y)P(x, -y)x = x'y = -y'