transform ada de laplace y diagramas de bloques
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4 Transformadas de Laplace
Introducción
La transformada de Laplace es un método que transforma una
ecuación diferencial en una ecuación algebraica más fácil de resolver.
En este capítulo se presenta la transformada de Laplace y se estudia
su utilización en la resolución de problemas que de otro modo
requeríría la solución de ecuaciones diferenciales.
Para ayudar a situar el concepto de transformada matemática de
manera objetiva, un ejemplo sencillo de transformación matemática es
cuando el problema de multiplicación se cambia por la simple
operación de adición mediante la transformación logarítmica (figura
4.1). La multiplicación de B por C para dar A,
A=BC
2
se puede transformar, mediante el uso de logaritmos, en
logA = logBC = logB +logC
Podemos ento nces sumar log B y log C para obtener el número D. De
esta manera
LogA = D
Para encontrar el valor de A se debe realizar la operación logaritmo
inverso o antilogaritmo
A = antilogD
La transfonnada de Laplace es un tipo similar de operación
matemática a esta transformación logarítmica (figura 4.2). La
ecuación diferencial que describe cómo se comporta un circuito con el
tiempo se transforma en relaciones algebraicas sencillas, que no
involucran el tiempo, donde es posible realizar las manipulaciones
algebraicas normales de las cantidades. Se dice que el
comportamiento del circuito en el dominio del tiempo se transforma al
3
dominio de s, en el cual se pueden realizar manipulaciones
algebraicas.
Figura 4.1 La transformación logarítmica
Entonces se utiliza una transformada inversa, como el antilogaritmo, a
fin de obtener la solución que describe cómo la señal varía con el
tiempo, es decir, se transforma de regreso del dominio de s al
dominio del tiempo.
Figura 4.2 La transformación de Laplace
Solución en función del tiempo
Dominio del tiempo
Dominio de s
Manipulación algebraica de las
ecuaciones
Comportamiento descrito mediante la ecuación diferencial
Solución
Multiplicación o división Adición o
sustracción Transformación Logarítmica
Transformación Logarítmica
Transformación de Lapalce
Transformación inversa
Dominio del tiempo
4
La transformación de Laplace
El matemático francés P. S. de Laplace (1749-1827) descubrió una
forma de resolver ecuaciones diferenciales: multiplicar cada término
de la ecuación por ste−
y, así, integrar cada uno de esos términos
respecto al tiempo desde cero hasta infinito; s es una constante con
unidades de 1/tiempo. El resultado es lo que hoy día se conoce como
la transformada de Laplace. De este modo, la transformada de
Laplace de algún término que es función del tiempo es
∫∞ −
0)( dteterm st
Debido a que el término es una función del tiempo, es usual escribirla
como f(t) con la transformada de Laplace; puesto que ésta es una
función de s; se escribe como F(s). Es muy común usar la letra
mayúscula F para la transformada de Laplace y la letra minúscula f
5
para la función del tiempo f(t). Así
[1] ∫∞ −
0)( dtetf st
Para ilustrar el uso de la notación de funciones, considere un resistor
R a través del cual circula una corriente i y la diferencia de potencial
v. En general, se escribiría
V = R i
Puesto que tanto v como i son funciones del tiempo, esto se podría
indicar de manera ideal, al escribir la ecuación como
v(t) = R i(t)
El símbolo (t) no indica que el término precedente deba multiplicarse
por t, sino que ese término es una función del tiempo, es decir, su
valor depende de qué tiempo se considere.
6
Si se toman las transformadas de Laplace de i y v la ecuación se
convierte en
V(s) = R I(s)
V(s) indica que el término es la transformada de Laplace de v(t); de
modo similar I(s) indica que el término es la transformada de Laplace
de i(t) La (s) no indica que el término precedente deba multiplicarse
por s.
La transformada de Laplace para una función escalón
Figura 4.3: Una función escalón de altura 1
1
0
tiempo
f(t)
7
Para ilustrar cómo una transformada de Laplace se puede desarrollar a
partir de los primeros principios, considere una función escalón. Esta
función se describe como un cambio abrupto en alguna cantidad, y
con frecuencia se emplea para describir el cambio en la entrada al
sistema cuando se hace un cambio súbito en su valor; por ejemplo, el
cambio en el voltaje aplicado a un circuito cuando éste se enciende de
manera súbita. La figura 4.3 muestra la forma que tomaría una entrada
escalón cuando tiene lugar un cambio abrupto en la entrada en el
tiempo t=0 y la magnitud del escalón es 1 unidad. La ecuación para
esta función es
f(t)=1
para todos los valores de t mayores que 0. Para los valores de t
menores que 0 la ecuación es
f(t)=0
La transformada de Laplace de esta función escalón, para valores
mayores que 0, es, entonces
∫∞ −=0
1)( dtesF st
8
y así
[ ]∞−−= 0
1)( ste
ssF
Puesto que cuando t = ∞, el valor de −∞e es 0 y cuando t = 0, el valor
de 0−e es -1, entonces
[2] ssF
1)( =
Figura 4.4 Una función escalón de altura a
Suponga ahora que en lugar de una señal de entrada escalón de altura
de 1 unidad se tiene uno de una altura de a unidades, como en la
figura 4.4. Entonces, para todos los valores de t mayores que 0 se
tiene
a
0
tiempo
f(t)
9
f(t)=a
La transformada de Laplace de esta función es
∫∞ −=
0)( dtaesF st
∫∞ −=0
dtea st
Pero esto sólo es a multiplicado por la transformada del escalón
unitario. Así
s
asF =)(
La multiplicación de una función del tiempo por una constante a da
por resultado una transformada de Laplace, la cual es sólo la
multiplicación de la transformada de Laplace de la función por la
constante.
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Ejemplo
Determinar, a partir de los primeros principios, la transformada de
Laplace de la función ate , donde a es una constante.
Respuesta
La transformada de Laplace de esta función se obtiene como sigue:
atetf =)(
Transformada de Laplace
∫∞ −=0
)( dteesF stat
Esto se puede simplificar a
∫∞ −−=0
)()( dtesF tas
[ ]∞−−
−−= 0
)(1)( tase
assF
Cuando t = ∞, el término en los corchetes se convierte en 0 y cuando
t = 0, éste se convierte en -1. De este modo
assF
−=
1)(
11
Por fortuna no siempre es necesario evaluar las integrales que se
obtienen al realizar la transformada de Laplace, puesto que se dispone
de tablas que proporcionan las transformadas de todas las funciones
más comunes, que, combinadas con algunas reglas básicas para
manipular dichas transformadas, permiten abordar los problemas por
resolver.
Las reglas básicas son:
1 La adición de dos funciones se convierte en la adición de sus
dos transformadas de Laplace.
f1(t) + f2(t) se convierte en F1(s) + F2(s)
2 La sustracción de dos funciones se convierte en la sustracción de
sus dos transformadas de Laplace.
f1(t) - f2(t) se convierte en F1(s) - F2(s)
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3 La multiplicación de una función por una constante se convierte
en la multiplicación de la transformada de Laplace de la función por
la misma constante
af(t) se convierte en aF(s)
4 Una función que esté retrasada un tiempo T, es decir, )( Ttf − ,
se convierte en )(sFe Ts− para valores de T mayores que o iguales a
cero.
5 La primera derivada de una función se convierte en s
multiplicada por la transformada de Laplace de la función, menos el
valor de f(t) en t=0.
)(tfdt
d se convierte en )0()( fssF −
donde f(0) es el valor de la función en t = 0 .
6 La segunda derivada de una función se convierte en s2
multiplicada por la transformada de Laplace de la función, menos s
multiplicada por el valor de la función en t = 0, menos el valor de la
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primera derivada de f(t) en 1=0.
)(2
2
tfdt
d se convierte en dt
dfsfsFs
)0()0()(2 −−
donde sf(0) es s multiplicada por el valor de la función en t = 0 y
df(0)/dt es la primera derivada de la función en t =0.
7 La n-ésima derivada de una función se convierte en sn
multiplicada por la transformada de Laplace de la función,
menos los términos que involucran los valores de f(t) y sus
derivadas en t=0
)(tfdt
dn
n
se convierte en 1
11 )0(
....)0()( −
−− −− n
nnn
dt
fdfssFs
8 La primera integral de una función, entre el tiempo cero y el
tiempo t, se convierte en (1/s) multiplicado por la
transformada de Laplace de la función.
∫∞
0)(tf se convierte )(
1sF
s
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La tabla 4.1 contiene algunas transformadas de Laplace más comunes
y sus correspondientes funciones del tiempo.
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Ejemplo 2
Determinar, con base en la tabla 4.1, la transformada de Laplace para:
a) Un escalón de voltaje de magnitud 4 V que empieza en t = 0.
b) Un escalón de voltaje de magnitud 4V que empieza en t = 2s.
c) Una rampa de voltaje que empieza en t = 0 y se incrementa a
razón de 3 V/s.
d) Una rampa de voltaje que empieza en t = 2s y se incrementa a
razón de 3 V/s.
e) Un impulso de voltaje de magnitud 4 V que empieza en t =3 s.
f) Un voltaje senoidal de amplitud 2 V y frecuencia angular de 10
Hz.
Respuesta
En la figura 4.5 se muestra la forma de las seis funciones, éstas
representan formas comunes de señales de entrada a los sistemas.
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Figura 4.5:
a) función escalón b) función escalón retrasada
c) función rampa d) función rampa retrasada
e) impulso retrasado f) función senoidal
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a) El escalón de voltaje es una función de la forma
f(t)=a
donde a tiene el valor, en este caso, de 4 V. La transformada de
Laplace de una función escalón de magnitud 1 es 1/s y de este modo
la función escalón de magnitud a tiene la transformada de Laplace de
sasF
1)( =
Por lo tanto
ssF
4)( =
b) La función escalón en el inciso a) se retrasa por 2 s. La
transformada de Laplace para una función retrasada es la misma de la
función sin retraso, es decir, la función empezando en t = 0, pero
multiplicada por ste −
. De este modo, la transformada de Laplace es
ssT es
esa
sF 24)( −− ==
19
b) La función rampa es de la forma
f(t)=at
donde a tiene el valor de 3 V/s. Debido a que a es una constante,
entonces la transformada de Laplace de la función será a multiplicada
por la transformada de t, la cual es 1/ s2. De este modo
22
3)(
ss
asF ==
d) La función rampa está retrasada un tiempo T, donde T =3s. La
transformada de Laplace para una función retrasada es la misma
que la función sin retraso, es decir, la función empezando en
t = 0, pero multiplicada por sTe−
. Así, la transformada de Laplace
es
2
2
2
3)(
s
e
s
aesF
sTs −−
==
20
e) La transformada de Laplace de una función impulso que ocurre en
t=0 es 1. Para un impulso de 4 V la transformada será 4. Retrasar el
impulso significa que la función sin retraso se multiplique por Tse−
.
De este modo, la transformada de Laplace con T=3s es
sesF 34)( −=
f) La transformada de Laplace de una función senoidal sen wt es
22)(
ws
wsF
+=
De este modo, la transformada de Laplace de una función senoidal de
amplitud A, es decir, la función Asenwt, es
22)(ws
AwsF
+=
Así, para una amplitud de 2 V y una frecuencia angular de 10 Hz,
22222 40040
10410*2*2
)(π
πππ
+=
+=
sssF
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Ejemplo 3
Obtener, con base en la tabla 4.1, la transformada de Laplace para las
siguientes funciones:
)1()
)
)
2
2
2
at
at
etc
etb
ta
−
−
+=
=
=
Respuesta
a) La tabla da la transformada de Laplace de 2
2
1t como 3
1s .De
esta manera, para obtener la transformada de Laplace de t2 se debe
multiplicar la función de la tabla por 2. Debido a que ésta es una
constante, la transformada de Laplace de t2 será
3
2)(
ssF =
22
b) Al emplear la tabla, la transformada es
( )3
2)(
assF
+=
Observe que la transformada de Laplace de dos funciones
multiplicadas no es la multiplicación de sus transformadas de Laplace
individuales.
c) La transformada de Laplace de dos funciones sumadas es la
suma de las transformadas de Laplace individuales.
( )33
22
22)(
)(
asssF
etttf at
++=
+= −
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Empleo de la transformada de Laplace para resolver ecuaciones
diferenciales
Para utilizar la transformada de Laplace en la solución de una
ecuación diferencial, se adopta el siguiente procedimiento:
1 Transformar cada término de la ecuación diferencial en su
equivalente en transformada de Laplace, es decir, se cambia la
función del tiempo en una función de (s).
2 Realizar todas las operaciones algebraicas, por ejemplo,
considerar qué pasa cuando al sistema se aplica una entrada
escalón.
3 Convertir otra vez la función de Laplace resultante en una
ecuación que dé una función del tiempo, es decir, la operación
inversa de la transformada de Laplace. A fin de emplear las
tablas para hacer la conversión, a menudo es necesario primero
realizar una expansión en fracciones parciales para obtener de
éstas formas estándares dadas en las tablas.
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Ejemplo 5
Emplear la transformada de Laplace para resolver la siguiente
ecuación diferencial:
423 =+ xdt
dx Con x =0 en t =0
Solución
La transformada de Laplace de 3 dx/dt es 3 veces la transformada de
Laplace de dx/dt. La transformada de Laplace de 2x es 2 veces la
transformada de Laplace de x. La transformada de Laplace de 4 es
4/s, puesto que éste se puede considerar una función escalón de altura
4. De este modo
[ ] ssXxssX /4)(2)0()(3 =+−
donde X(s) es la transformada de Laplace de x. Debido a que x(0) = 0,
entonces
[ ] ssXssX /4)(20)(3 =+−
4)(2)(3 2 =+ ssXsXs
[ ])3/2()3/2(2
234
)(2 +
=+
=ssss
sX
Ahora se necesita encontrar las funciones que darían las
transformadas de Laplace de esta forma para obtener la transformada
inversa y obtener x. Puesto que la transformada inversa
de [ ])(/ assa + , es )1( 3/2te −− entonces
)1(2 3/2tex −−=
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Ejemplo 6
La ecuación diferencial en función del voltaje a través del capacitor
Vc, para un circuito RC en serie al que se le aplica una entrada escalón
de voltaje de magnitud V en t = 0 está dada por
cc v
dt
dvRCV +=
VC es cero en t = 0. Utilice la transformada de Laplace para resolver
esta ecuación.
Solución
La transformada de Laplace para una entrada escalón unitario es 1/s y
así, para un escalón de magnitud V es V/s. La transformada de
Laplace para dt
dvces [ ]0)( −ssVc , debido a que la función vc es
cero en t = 0. La transformada de Laplace para dt
dvRC c
es RCs Vc(s).
La transformada de Laplace para vc es Vc(s). De esta manera, la
transformada de la ecuación diferencial es
)()( SVsRCsVs
Vcc +=
26
Así
( )sRCs
VsVc 1)(
+=
Al reordenar se tiene
( )sRCs
RCVsVc )/1(
)/1()(
+=
La función )1( ate−− proporciona la transformada de Laplace
( )sas
a
+
De este modo, con a = (1/RC),
)1( / RCtc eVv −−=
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Ejemplo 7
Para un circuito LR en serie alimentado por una entrada escalón de
magnitud V en t = 0, la variación de corriente con el tiempo se
describe mediante l a ecuación
R
Vi
dt
di
R
L=+
La corriente i es cero en t = 0. Resuelva esta ecuación usando la
transformada de Laplace.
Solución
La transformada de Laplace para dt
dies sI(s), puesto que i(0) es cero, y
así para dt
diRL )/( es )()/( ssIRL . La transformada de Laplace de i
es I(s). La transformada de Laplace para una entrada escalón unitario
es 1/s y así, para un escalón de magnitud (V/R) es (V/R)/s. Por lo
tanto, la transformada de la ecuación diferencial se puede escribir
como
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s
RVsIssIRL
)/()()()/( =+
Por lo tanto
[ ]ssRL
RVsI
1)/()/(
)(+
=
Al reordenar se tiene
[ ]sLRs
LRRVsI
)/()/)(/(
)(+
=
la función )1( ate−− da la transformada de Laplace
sas
a
)( +
De este modo, con a=(R/L),
)1)(/( / LRteRVi −−=
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Función de transferencia
En la teoría de control, se utilizan frecuentemente funciones
denominadas funciones de transferencia, para caracterizar las
relaciones de entrada-salida de componentes o sistemas que pueden
describirse por ecuaciones diferenciales lineales, invariantes en el
tiempo .
Función de transferencia. La función de transferencia de un sistema
de ecuaciones diferenciales lineales invariante en el tiempo, se define
como la relación entre la transformada de Laplace de la salida
(función respuesta) y la transformada de Laplace de la entrada
(función excitación), bajo la suposición de que todas las condiciones
iniciales son cero. Sea el sistema lineal invariante en el tiempo
definido por las siguientes ecuaciones diferenciales:
Ecuación 1-14
xbxbxbxbyayayaya mm
mm
nn
nn
++++=++++•
−
−•
−
−
1
)1(
1
)(
01
)1(
1
)(
0 ............
mn ≥
30
donde y es la salida del sistema y x es la entrada. La función de
transferencia de este sistema se obtiene, tomando las transformadas de
Laplace de ambos miembros de la ecuación anterior, bajo la
suposición de que todas las condiciones iniciales son cero, o sea
Función de transferencia = G(s) = L[salida]/ L[salida]
Con condiciones iniciales cero.
Luego se tiene
nnnn
mmm
asasasa
bmsbsbsb
sX
sYsG
++++++++
==−
−−
−
11
10
11
10
......
......
)()(
)(
Utilizando este concepto de función de transferencia, se puede
representar la dinámica de un sistema por ecuaciones algebraicas en s.
Si la potencia más alta de s en el denominador de la función
transferencia es igual a n, se dice que el sistema es de orden n.
Comentarios sobre la función de transferencia. La aplicación del
concepto de función transferencial queda limitada a sistemas de
ecuaciones diferenciales lineales, invariantes en el tiempo.
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No obstante, el procedimiento de función transferencia es de uso
extensivo en el análisis y diseño de tales sistemas. A continuación, se
listan importantes comentarios sobre la función de transferencia.
(Nótese que dentro de la lista se hace referencia a un sistema descrito
por una ecuación diferencial lineal, invariante en el tiempo).
1. La función de transferencia de un sistema es un modelo
matemático en el sentido de que es un método operacional de expresar
la ecuación diferencial que relaciona la variable de salida con la
variable de entrada.
2. La función de transferencia es una propiedad de un sistema en si,
independiente de la magnitud y naturaleza de la entrada o función
impulsora.
3. La función de transferencia incluye las unidades necesarias para
relacionar la entrada con la salida; no obstante, no brinda ninguna
información respecto a la estructura física del sistema (Las funciones
de transferencia de muchos sistemas físicamente distintos pueden ser
idénticas).
32
4. Si se conoce la función de transferencia de un sistema, se puede
estudiar la salida o respuesta para diversas formas de entradas con el
objetivo de lograr una comprensión de la naturaleza del sistema.
5. Si se desconoce la función de transferencia de un sistema, se
puede establecer experimentalmente introduciendo entradas conocidas
y estudiando la respuesta o salida del sistema. Una vez establecida,
una función de transferencia brinda una descripción completa de las
características dinámicas del sistema, tan definida como su
descripción física.
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DIAGRAMAS DE BLOQUE
Un sistema de control puede constar de cierta cantidad de
componentes. Para mostrar las funciones que realiza cada
componente, en ingeniería de control se acostumbra usar diagramas
denominados diagrama de bloques. Esta sección explica qué es un
diagrama en bloques, presenta un método para la obtención de
diagramas de bloques para sistemas físicos, y, finalmente, expone las
técnicas para simplificar esos diagramas.
Diagramas de bloques. Un diagrama de bloques de un sistema es
una representación gráfica de las funciones realizadas por cada
componente y del flujo de las señales. Tal diagrama indica las
interrelaciones que existen entre los diversos componentes. A
diferencia de una representación matemáticamente puramente
abstracta, un diagrama de bloques tiene la ventaja de indicar en forma
más realista el flujo de señales del sistema real.
En un diagrama de bloques, todas las variables del sistema se enlazan
entre sí a través de bloques funcionales. El bloque funcional, o
simplemente bloque, es un símbolo de la operación matemática que el
34
bloque produce a la salida, sobre la señal que tiene a la entrada. Sobre
los bloques correspondientes, se colocan generalmente las funciones
de transferencia de los componentes; los bloques están conectados por
flechas para indicar la dirección del flujo de señales. Nótese que la
señal sólo puede pasar en la dirección de las flechas. De este modo,
un diagrama de bloques de un sistema de control presenta
explícitamente una propiedad o característica unilateral.
Figura 1-12: Elemento de un diagrama de bloque
Figura 1-13: Punto de suma
La figura 1-12 muestra un elemento del diagrama de bloques. La
flecha que apunta hacia el bloque indica la entrada, y la que se aleja
del bloque representa la salida. Tales flechas normalmente reciben la
designación de señales.
Función de transferenciaG(s)
a a-b
b
35
Debe notarse que la magnitud de la señal de salida del bloque, es la de
la señal de entrada, multiplicada por la magnitud de la función de
transferencia en el bloque.
Las ventajas de la representación del diagrama de bloques de un
sistema, consisten en que es fácil formar el diagrama de bloques
global de todo el sistema, colocando simplemente los bloques de sus
componentes de acuerdo con el flujo de señales, y en que es posible
evaluar la contribución de cada componente al comportamiento
general de todo el sistema.
En general, el funcionamiento de un sistema se puede ver más
fácilmente examinando el diagrama de bloques, que analizando el
sistema físico en sí.
Un diagrama de bloques contiene información respecto al
comportamiento dinámico, pero no contiene ninguna información
acerca de la constitución física del sistema.
En consecuencia, muchos sistemas disímiles, sin relación alguna
entre sí, pueden estar representados por el mismo diagrama de
bloques.
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Debe notarse que en un diagrama de bloques no aparece representada
la fuente principal de energía y, por lo tanto, el diagrama de bloques
de un sistema no es único. Se pueden dibujar diversos diagramas de
bloques diferentes de un sistema, según el punto de vista del análisis.
Punto de suma. En relación a la figura 1-13, un círculo con una cruz
constituye el símbolo que indica la operación de suma. El signo más o
menos indica si la señal ha de sumarse o restarse. Es importante que
las cantidades a sumar o restar tengan las mismas dimensiones y las
mismas unidades.
Punto de bifurcación. Un punto de bifurcación es un punto desde el
cual la señal de un bloque va concurrentemente a otros bloques o
puntos de suma.
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Figura 1-14: Diagrama de bloques de un sistema de lazo cerrado
Diagrama de bloques de un sistema de lazo cerrado.
La figura 1-14 presenta un ejemplo del diagrama de bloques de un
sistema de lazo cerrado. La salida C(s) es alimentada nuevamente al
punto de suma, donde se compara con la entrada de referencia R(s).
La naturaleza de lazo cerrado del sistema queda claramente indicada
por la figura. La salida del bloque C(s), se obtiene, en este caso,
multiplicando la función de transferencia G(s) por la entrada al bloque
E(s). Cualquier sistema lineal de control puede representarse por un
diagrama de bloques, consistente en bloques, puntos de suma y puntos
de bifurcación.
C(s) R(s) E(s) G(s)
Punto de suma
Punto de bifurcación
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Al inyectar nuevamente la salida al punto de suma para compararla
con la entrada, es necesario convertir la forma de la señal de salida a
la forma de la señal de entrada. Por ejemplo, en un sistema de control
de temperatura, la señal de salida es generalmente la temperatura
controlada. La señal de salida, que tiene la dimensión de una
temperatura, debe convertirse a una fuerza, posición o voltaje antes de
compararla con la señal de entrada. Esta conversión la realiza el
elemento de retroalimentación cuya función de transferencia es H(s),
como se ve en la figura 1 -15.
Figura 1-15: Sistema de lazo cerrado
La función del elemento de retroalimentación es modificar la salida
antes de compararla con la entrada. (En la mayoría de los casos, el
elemento de retroalimentación es un sensor que mide la salida de la
B(s)
C(s) R(s) E(s) G(s)
H(s)
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planta. La salida del sensor se compara con la entrada, y así se genera
la señal de error). En este ejemplo la señal de retroalimentación que se
envía de vuelta al punto de suma para su comparación con la entrada
es B(s) = H(s)C(s).
Función de transferencia de lazo abierto y función de
transferencia directa.
Con referencia a la figura 1-15, la relación entre la señal de
retroalimentación B(s) y la señal de error actuante E(s), se denomina
función de transferencia de lazo abierto. Es decir,
Función de transferencia de lazo abierto = )()()()(
sHsGsE
sB=
La relación entre la salida C(s) y la señal de error actuante E(s) se
denomina función de transferencia directa , de modo que
Función de transferencia directa = )()()(
sGsEsC
=
40
Si la función de transferencia de retroalimentación H(s) es la unidad,
la función de transferencia de lazo abierto y la función de
transferencia directa son lo mismo.
Función de transferencia de lazo cerrado. Para el sistema que se
muestra en la figura 1-15, la salida C(s) y la entrada R(s) están
relacionadas como sigue:
C(s) = G(s)E(s)
E(s) = R(s) - B(s)=R(s) - H(s)C(s)
Eliminando E(s) de estas ecuaciones da
C(s) = G(s)[R(s) - H(s)C(s)]
)()(1
)(
)(
)(
sHsG
sG
sR
sC
+=
(1-15)
La función de transferencia que relaciona C(s) con R(s) se denomina
función de transferencia de lazo cerrado . Esta función de
transferencia relaciona la dinámica del sistema de lazo cerrado con la
dinámica de los elementos de la acción directa y los de la
retroalimentación.
41
De la ecuación (1-15), se obtiene C(s) por
)()()(1
)()( sR
sHsG
sGsC
+=
Así, la salida del sistema de lazo cerrado depende claramente tanto de
la función de transferencia de lazo cerrado como de la naturaleza de la
entrada.
Figura 1-16: Sistema de lazo cerrado sujeto a una perturbación
Sistema de lazo cerrado sometido a una perturbación. En la figura
1-16 se ve un sistema de lazo cerrado sometido a una perturbación.
Cuando dos entradas (la señal de referencia y la perturbación) están
presentes en un sistema lineal, cada entrada puede tratarse
independientemente de la otra; y las salidas correspondientes se
B(s)
C(s) R(s) E(s)
G1(s)
H(s)
G2(s)
Perturbación N(s)
42
pueden sumar a cada una de las entradas individuales, para obtener la
salida total. En el punto de suma se indica, ya sea por medio de un
signo más o un signo menos, la forma en que cada entrada se
introduce al sistema.
Considere el sistema que aparece en la figura 1-16. Al examinar el
efecto de la perturbación N(s), se puede suponer que el sistema está
inicialmente en reposo, con error cero; entonces se puede calcular la
respuesta CN(s) debida a la perturbación solamente. Se puede hallar
entonces que:
[ ]
[ ]
[ ])()()(1)()()(
)()()()()()()(
)()()()()()(
)()()(
)()()()()(
212
212
21
21
sGsGsHsCsGsN
sCsGsGsCsHsGsN
sCsGsGsCsHsN
sCsHsE
sCsGsNsGsE
N
NN
NN
N
N
+=
=−
=−
−=
=+
)()()(1)(
)()(
21
2
sHsGsG
sG
sN
sC N
+=
43
Por otro lado, considerando la respuesta a la entrada de referencia
R(s), se puede suponer que la perturbación es cero. Entonces es
posible obtener la respuesta CR(s) a la entrada de referencia R(s) de
)()()(1)()(
)()(
21
21
sHsGsG
sGsG
sR
sCR
+=
La respuesta a la aplicación simultánea de la entrada de referencia y
de la perturbación se puede obtener sumando las dos respuestas
individuales. En otras palabras, la respuesta C(s) debida a la
aplicación simultánea de la entrada de referencia R(s) y la
perturbación N(s), está dada por
)()()( sCsCsC NR +=
[ ])()()()()()(1
)()( 1
21
2 sNsRsGsHsGsG
sGsC +
+=
Sea ahora el caso en que 1)()()(1)()( 211 ⟩⟩⟩⟩ sHsGsGysHsG En
este caso, la función de transferencia de lazo cerrado CN(s)/N(s) se
convierte en casi cero, y se suprime el efecto de la perturbación.
44
Esta es una ventaja del s istema de lazo cerrado.
Por otro lado, la función de transferencia de lazo cerrado CR(s)/R(s)
tiende a 1/H(s) cuando la ganancia de G1(s)G2(s)H(s) aumenta. Esto
significa que si 1)()()( 21 ⟩⟩sHsGsG , la función de transferencia de lazo
cerrado CR(s)/R(s) se hace independiente de G1(s) y G2(s), y se vuelve
inversamente proporcional a H(s) de modo que las variaciones de
G1(s) y G2(s) no afectan la función de transferencia de lazo cerrado
CR(s)/R(s). Esta es otra ventaja del sistema de lazo cerrado. Se puede
ver fácilmente que cualquier sistema de lazo cerrado con
retroalimentación unitario H(s) = 1, tiende a igualar la entrada y la
salida.
45
Reducción del diagrama de bloques.
Es importante notar que los bloques se pueden conectar en serie
solamente si la salida de un bloque no es afectada por el bloque
inmediato siguiente. Si hay cualquier efecto de carga entre los
componentes, es necesario combinar esos componentes en un bloque
individual.
Cualquier cantidad de bloques en cascada que representen
componentes que no producen efecto de carga se puede representar
como un bloque individual, siendo la función de transferencia de ese
bloque simplemente el producto de las funciones de transferencia
individuales.
Es posible simplificar un diagrama de bloques muy complejo, con
muchos lazos de retroalimentación, modificando paso a paso,
utilizando las reglas del álgebra de diagramas de bloques. En la tabla
1-3 se dan algunas de estas reglas importantes. Se obtienen
escribiendo la misma ecuación en forma diferente. Simplificando el
diagrama de bloques con modificaciones y sustituciones, se reduce
considerablemente la tarea a efectuar en el análisis matemático
subsiguiente.
46
Hay que notar, sin embargo, que al simplificar el diagrama de
bloques, los nuevos bloques se vuelven más complejos, debido a que
se generan nuevos polos y ceros.
Al simplificar un diagrama de bloques, debe recordarse lo siguiente.
1. El producto de las funciones de transferencia en sentido directo
debe quedar igual.
2. El producto de las funciones de transferencia alrededor del lazo
debe quedar igual.
47
48
EJEMPLO 1-8
Sea el sistema que aparece en la figura 1-18(a). Simplifique este diagrama,
utilizando las reglas que aparecen en la tabla 1-1.
Desplazando el punto de suma del lazo negativo de retroalimentación que
contiene H2 fuera del lazo positivo de retroalimentación que contiene a H1, se
obtiene la figura 1-18(b). Eliminando el lazo de retroalimentación positiva, se
tiene la figura 1-18(c). Luego, eliminando el lazo que contiene H2/G1, se obtiene
la figura 1-18(d). Finalmente eliminando el lazo de retroalimentación, se llega a
la figura 1-18(e).
Figura 1-18: a) Sistema de lazos múltiples; b)-e) Reducciones
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sucesivas del diagrama de bloques mostrado en a)