Transfigurarea schemelor bloc functionale

Se considera sistemul cu schema bloc structurala din figura de mai jos si se cere determinarea relatiei intrare-iesire (Y(s) functie de U1(s) si U2(s).

Rezolvarea pe baza ecuatiilor sistemului este laborioasa: se pot scrie 10 ecuatii (6 blocuri + 6 sumatoare) urmand a se elimina 9 marimi intermediare

• sumatorul A se suprapune peste sumatorul B; dispare legatura CA si apare legatura CB prin G1

-1(s);• sumatorul D trece la stanga sumatorului E;• punctul de ramificare F trece in H; dispare legatura IF si apare legatura HI prin G3

-1(s);• se obtine urmatoarea schema:

• echivalarea conexiunilor serie;• echivalarea conexiunilor reactie;• se obtine urmatoarea schema:

• echivalarea conexiunilor pralel;• deplasarea sumatorului de la iesirea lui G7(s) la intrarea sa si comutarea cu celalalt sumator;• echivalarea conexiunii serie formate din G7(s) si G8(s);• se obtine urmatoarea schema:

)()()()(

)()(1

)()(

)()()(

513

119

43

38

217

sGsGsGsG

sGsG

sGsG

sGsGsG

63214352

3

513

11687

8

1110

1017

02

63214352

321

513

11687

87

1110

1001

202101

513

1169611

8710

1)(1)()(1

)()()(

1)(1)()(1

)()(

)()()()()(

)()()()()()()(

)()()(

GGGGGGGG

G

GGGGGG

G

sGsG

sGsGsG

GGGGGGGG

GGG

GGGGGG

GG

sGsG

sGsG

sUsGsUsGsY

sGsGsGsGsGsGsG

sGsGsG

Grafuri de fluentaTransfigurarea schemelor bloc functionale face apel la experienta si intuitia analistului

Pe de alta parte, prelucrarea unei scheme bloc structurale trebuie sa fie expeditiva.

Un graf de fluenta de tip MASON este o retea formata din noduri legate prin arce orientate.

Nodurile initial si final ale unui arc au semnificatia de marime de intrare si marime de iesire. In aceste conditii, arcul orientat este caracterizat de functia de transfer.

Conexiunea serie

Conexiunea paralel

Conexiunea cu reactie

Exemplu: graf asociat unui sistem algebric

222222121

111212111

yubyaya

yubyaya

22222121

11212111

)1(

)1(

ubyaya

ubyaya

01)1)(1(

1

1

22112112221121122211

1121

2211

2

2212

1122

1

aaaaaaaaaa

uba

uba

y

uba

uba

y

Pe baza regulii lui Cramer se obtine:

01)1)(1( 22112112221121122211 aaaaaaaaaa

Suma coeficientilor tuturor buclelor

Produsul coeficientilor buclelor care nu au noduri comune

Numaratorii pentru y1

Asociat lui u1 apare (1-a22)b1 care se obtine din Δ prin pastrarea numai a coeficientilor arcelor care nu au noduri comune cu arcul de la u1 la y1, adica (1-a22) care se inmulteste cu coeficientul b1 al arcului dintre u1 si y1

Asociat lui u2 apare a12b21 in care a12b2 este coeficientul arcelor de la u2 la y1 si 1 se obtine din Δ din care s-au eliminat coeficientii tuturor buclelor care au noduri comune cu nodurile situate pe calea de la u2 la y1.

01)1)(1(

1

1

22112112221121122211

1121

2211

2

2212

1122

1

aaaaaaaaaa

uba

uba

y

uba

uba

y

k

kijkijij CT )()(1In general, valoarea transmitantei Tij dintre

nodurile i si j , respectiv dintre marimile xi si xj se obtine cu formula lui MASON:

in care:• suma dupa k se face pentru numarul maxim de cai intre nodurile i si j (toate arcele fiind parcurse in sensul fluentei);• (Cij)k este transmitanta caii directe (nu se trece de doua ori prin acelasi nod), de indice k, intre nodurile i si j;• Δ este determinantul grafului, care se calculeaza cu formula:

N

n

QM

qmtsrqmn BBBBBB

1

,

1,

...1

unde Bq (de la 1 la N) sunt tranmitantele buclelor existente in graf.

REGULA DE DETERMINARE A LUI ΔΔ=1-(suma transmitantelor tuturor buclelor)+(suma produselor transmitantelor tuturor combinatiilor de doua bucle care nu au noduri comune)-(suma produselor transmitantelor tuturor combinatiilor de trei bucle care nu au noduri comune)+…

• (Δ ij)k este cofactorul (relativ la Δ) al caii k. Acesta se determina din Δ eliminand buclele care nu au noduri comune cu calea k

Exemplu

Caile directe sunt:• de la U1 la Y: (C1)1=G1G2G3; rezulta (Δ1)1=1• de la U2 la Y: (C2)1=G3; rezulta (Δ2)1=1Rezulta functiile de transfer:

Numarul de bucle este N=3 cu transmitantele:B1=-G2G5

B2=-G3G4

B3=-G1G2G3G6

Δ=1+ G2G5+G3G4+G1G2G3G4

deoarece toate buclele au noduri comune

3

202

321

101 ,

G

U

YG

GGG

U

YG

Exemplu 1:

Numarul de bucle este N=3 si u transmitantele:• 4-5-6-7-9-4 cu transmitanta B1=-G2G3G6

• 6-7-8-10-6 cu transmitanta B2=G3G4G5

• 2-3-4-5-6-7-8-11-2 cu transmitanta B3=G1G2G3G4G7

Δ=1+G2G3G6-G3G4G5+G1G2G3G4G7 deoarece toate buclele au noduri comune

4321

0

GGGGG

Exemplu 2: aplicarea formulei lui Mason

Se cere determinarea functiei de transfer echivalente

Pentru aplicarea formulei lui Mason nu este necesar sa se deseneze graful; se vor numerota marimile din sistem, ca in figura.

Calea directa de la U la Y este 1-2-3-4-5-6-7-8 (C1)1=G1G2G3G4; rezulta Δ1=1

Grafurile de fluenta din ultimele doua exemple fac parte dintr-o clasa caracterizata de:• toate buclele au noduri comune, ca urmare Δ=1-(suma transmitantelor tuturor buclelor);• toate caile directe au noduri comune cu toate buclele, ca urmare Δk=1, k=1…N

Schemele bloc ale sistemelor tehnice fac parte (de regula) din aceasta clasa de grafuri de fluenta. Pentru aplicarea formulei lui Mason in astfel de cazuri se utilizeaza urmatoarea regula:

Functia de transfer echivalenta intre marimea de intrare si marimea de iesire este egala cu raportul dintre suma functiilor de transfer ale cailor directe intre cele doua marimi si 1 minus suma algebrica a functiilor de transfer ale buclelor (care au, dupa caz, semnul “-” pentru reactia negativa si semnul “+” pentru reactia pozitiva).