TRABALHO DE TOPOGRAFIA

LEVANTAMENTO TAQUEOMÉTRICO 1. Poligonal Fechada: A poligonal fechada é caracterizada por ter o último vértice coincidindo com o vértice inicial, formando, desta forma, um POLÍGONO. 2. Cálculo da Poligonal: O cálculo da poligonal fechada é idêntico ao cálculo de uma poligonal aberta. Na poligonal fechada há controle de fechamento angular e linear a partir de uma precisão pré estabelecidas pelas “Normas Técnicas para Levantamentos Topográficos” – NBR 13.133 da Associação Brasileira de Normas Técnicas. Normalmente para precisão linear, são aceitos os valores: • 1:1.000______para Poligonais Taqueométricas. • 1:2.000______para Poligonais medidas com Trigonometria. • 1:5.000______para Poligonais medidas com Trena. • 1:10.000_____para Poligonais Eletrônicas. Dependendo da precisão da Estação Total pode-se chegar a precisões, no fechamento da poligonal, da ordem de 1:30.000 ou melhor. A precisão angular depende, fundamentalmente, do Teodolito ou Estação Total utilizada no levantamento topográfico. A NBR 13.133 fornece as precisões para os diversos tipos de poligonais.

3. Roteiro para o cálculo de uma poligonal fechada: Vamos a seguir mostrar os procedimentos feitos passo à passo para o cálculo de uma poligonal fechada, tomando um exemplo qualquer para maior clareza do processo. a. Transcrição da caderneta de campo:

Leituras

FS E

P.V.

Ângulo Horizontal

Ângulos Verticais FM

FI

Distâncias (m)

Distâncias Adotadas

(m)

1375 2 83°48’26” 1100 825

54,360

2405 1

4 73° 53' 25"

85°20’02” 2000 1595

80,464 1 - 2 54,355

1255 3 82°04’23” 1000 745

50,030

1475 2

1 141° 15' 38"

83°45’32” 1200 925

54,350 2 - 3 50,015

1825 4 85°52’27” 1400 975

84,560

1455 3

2 71° 33' 08"

81°57’02” 1200 945

50,000 3 - 4 84,588

2035 1 85°21’37” 1900 1495

80,470

1975 4

3 73° 17' 37"

86°48’46” 1500 1075

84,616 4 - 1 80,467

Tabela I- Caderneta de Campo

� Azimute Inicial Az4-1 = 38° 15’ 02” Obtido em campo com o auxílio da Bússola. � Coordenadas Iniciais: X1 = 108,310 Y1 = 106,215 Caso não sejam fornecidas as coordenadas iniciais, determina-se “O ponto Mais a Oeste” e para este ponto atribuem-se as coodenadas: X1 = 0,000 Y1 = 0,000 � O ponto de saída deverá ser sempre o de coordenadas conhecidas. � O azimute de saída deverá ser sempre da linha de ré do primeiro ponto ou

seja, o azimute deverá ser do último ponto para o primeiro ponto.

Tabela II- Transcrição da caderneta de campo para planilha Ângulos

Lido Erro Compensado Azimute

E PV ° ‘ “ “ ° ‘ “ ° ‘ “

Distância (m)

1 2 73 53 25 54,355 2 3 141 15 38 50,015 3 4 71 33 08 84,588 4 1 73 17 37 80,467

b. Cálculo das distâncias:

D = ( k . L . sen2z ) Onde: • K → Constante do aparelho. • L → Leitura FS – Leitura FI. • z → Ângulo zenital. Observações: • Calculamos sempre duas distâncias para o mesmo alinhamento, resultantes

da visadas de vante e ré. (ver Tabela I) • A distância adotada será a média aritmética destas. (ver Tabela I) c. Soma dos ângulos internos ou externos: A poligonal está geometricamente fechada angularmente se :

∑∑∑∑Ai = (n-2).180° ou ∑∑∑∑Ae = (n+2).180° Onde: ∑∑∑∑Ai → Soma dos ângulos internos. ∑∑∑∑Ae → Soma dos ângulos externos. n → Número de Vértices. No nosso Exemplo, n = 4; Então, ∑∑∑∑Ai = 360° d. Cálculo do erro angular cometido: É dado pela diferença entre as somas dos ângulos lidos em campo e a soma calculada pela fórmula.

Eαααα = ∑∑∑∑αααα - [( n - 2) . 180o] Onde: • Eαααα→ Erro angular. • ∑∑∑∑αααα→ Somatório dos ângulos internos da poligonal lidos em campo. • n → Número de lados da poligonal e. Tolerância para o erro angular:

Tαααα = K * L* √√√√n Observação: • Caso o erro cometido seja menor que a tolerância, a poligonal é válida, caso

\contrário os ângulos em campo deverão ser novamente medidos com mais atenção e cuidado com a operação do aparelho e com os procedimentos.

f. Correção dos ângulos:

Cαααα = - Eαααα / n Onde: • Cαααα→ Correção angular. • Eαααα→ Erro angular. • n → Número de vértices da poligonal. Observações: • O sinal negativo indicará se deveremos somar ou subtrair o erro angular. • A distribuição do erro pode ser feita em quantidades iguais por vértice,no

entanto, caso haja frações de segundo para distribuir entre os ângulos, podemos adotar uma maneira de distribuir apenas valores inteiros de minutos e segundos entre os ângulos para facilitar os cálculos.

g. Cálculo do ângulo compensado: O ângulo compensado é obtido adicionando ou subtraindo a correção ao ângulo lido.

Ângulo compensado = Ângulo lido ±±±± Cαααα Ao final destes procedimentos deveremos ter completa esta tabela.

Tabela III- Soma dos ângulos

Cálculos dos Azimutes de Vante e Ré: O Azimute de uma linha é dado por:

Azn = Azn-1 ±±±± an ±±±± 180o Onde: • Azn → Azimute da linha. • Azn-1 → Azimute da linha anterior. Para um caminhamento da poligonal no sentido Horário, temos que: • + an → Ângulo horizontal Externo. • - an → Ângulo horizontal Interno. Para um caminhamento da poligonal no sentido anti-Horário, temos que: • + an → Ângulo horizontal Interno. • - an → Ângulo horizontal Externo.

Tabela IV- Ângulos compensados e azimutes Ângulos

Lido Erro Compensado Azimute

E PV ° ‘ “ “ ° ‘ “ ° ‘ “

Distância (m)

1 2 73 53 25 +3 73 53 28 292 08 30 54,355 2 3 141 15 38 +3 141 15 41 253 24 11 50,015 3 4 71 33 08 +3 71 33 11 144 57 22 84,588 4 1 73 17 37 +3 73 17 40 38 15 02 80,467

Observações: • Se Azn-1 ±±±± an > 180o devemos subtrair 180o • Se Azn-1 ±±±± an < 180o devemos somar 180o • A diferença entre os Azimutes de vante e de ré de um mesmo alinhamento

é sempre de 180o. Temos então,

Az1-2 = 38° 15’ 02” + 73° 53’ 28” + 180° Az1-2 = 292° 08’ 30”

Az2-3 = 292° 08’ 30” + 141° 15’ 41” - 180° Az2-3 = 253°24’ 11”

Az3-4 = 253° 24’ 11” + 71° 33’ 11” - 180°

Az3-4 = 144°57’ 22” Az4-1 = 144° 57’ 22” + 73° 17’ 40” - 180°

Az4-1 = 38°15’ 02” h. Cálculo das coordenadas parciais (projeções): As projeções são calculadas pela fórmula:

∆∆∆∆X’ = D . sen Az

∆∆∆∆Y’ = D . cos Az Onde: • ∆∆∆∆X’ → Projeção na direção X. • ∆∆∆∆Y’ → Projeção na direção Y. • D → Distância. • Az → Azimute da linha. � ∆X1-2 = 54,355 x sen 292°08’30”

∆∆∆∆X1-2 = -50,347 � ∆Y1-2 = 54,355 x cos 292°08’30”

∆∆∆∆Y1-2 = 20,486 � ∆X2-3 = 50,015 x sen 253°24’11”

∆∆∆∆X2-3 = -47,931 � ∆Y2-3 = 50,015 x cos 253°24’11”

∆∆∆∆Y2-3 = -14,286 � ∆X3-4 = 84,588 x sen 144°57’22”

∆∆∆∆X3-4 = 48,571 � ∆Y3-4 = 84,588 x cos 144°57’22”

∆∆∆∆Y3-4 = -69,253

� ∆X4-1 = 80,467 x sen 38°15’02” ∆∆∆∆X4-1 = 49,817

� ∆Y4-1 = 80,467 x cos 38°15’02”

∆∆∆∆Y4-1 = 63,192

i. Soma das coordenadas parciais (projeções): - Coordenadas no eixo X Com sinal = ∑∑∑∑∆∆∆∆X’ ∆X1-2 = -50,347 ∆X2-3 = -47,931 ∆X3-4 = +48,571 ∆X4-1 = +49,817 ∑∑∑∑∆∆∆∆X’ = + 0,110 Sem sinal = ∑∑∑∑|∆∆∆∆X’| ∆X1-2 = 50,347 ∆X2-3 = 47,931 ∆X3-4 = 48,571 ∆X4-1 = 49,817 ∑∑∑∑|∆∆∆∆X’| = 196,666

- Coordenadas no eixo Y Com sinal = ∑∑∑∑∆∆∆∆Y’ ∆Y1-2 = +20,486 ∆Y2-3 = -14,286 ∆Y3-4 = -69,253 ∆Y4-1 = +63,192 ∑∑∑∑∆∆∆∆Y’ = 0,139 Sem sinal = ∑∑∑∑|∆∆∆∆Y’| ∆Y1-2 = 20,486 ∆Y2-3 = 14,286 ∆Y3-4 = 69,253 ∆Y4-1 = 63,192 ∑∑∑∑|∆∆∆∆Y’| = 167,217

j. Erro linear:

Ef = √√√√[( ∑∑∑∑∆∆∆∆X’)2 + (∑∑∑∑∆∆∆∆Y’)2] Onde: • Ef → Erro linear absoluto. • ∑∑∑∑∆∆∆∆X’ → Somatório das coordenadas na direção X, com o sinal. • ∑∑∑∑∆∆∆∆Y’ → Somatório das coordenadas na direção Y, com o sinal. • ∑∑∑∑|∆∆∆∆X’| → Somatório das coordenadas na direção X, sem o sinal. • ∑∑∑∑|∆∆∆∆Y’| → Somatório das coordenadas na direção Y, sem o sinal. Logo:

Ef = √[( 0,110)2 + (0,139)2] Ef = 0,177

k. Tolerância do Erro Linear Absoluto:

M = P / Ef Onde: • Ef → Erro linear absoluto. • P → Perímetro da Poligonal. • M → Módulo da Escala.

Observação: • A precisão indica o perímetro de levantamento para se obter o erro de

1 metro. • A precisão é anotada na forma de escala.

1: M Temos, então: M= 269,425/0,177 M= 1.522 Ou seja, Precisão = 1: 1.522 Observação: De acordo com a NBR 13.133, para poligonais taqueométricas que é o nosso caso, a precisão de 1:1000 é aceita, ou seja, podemos errar 1cm em cada 1000cm de perímetro levantado, no exemplo erramos 1cm em 1522cm de perímetro levantado, portanto estamos dentro do tolerável por Norma.

Erro Linear Precisão 0,177 1: 1.522

l. Cálculo da correções (erro linear). A correção no eixo X:

Cx 1-2 = ∆∆∆∆X’∑∑∑∑∆∆∆∆X’ /∑∑∑∑|∆∆∆∆X’| A correção no eixo Y:

Cy 1-2 = ∆∆∆∆Y’∑∑∑∑∆∆∆∆Y’ /∑∑∑∑|∆∆∆∆Y’|

Onde: • ∑∑∑∑∆∆∆∆X’ → Somatório das coordenadas na direção X, com o sinal. • ∑∑∑∑∆∆∆∆Y’ → Somatório das coordenadas na direção Y, com o sinal. • ∑∑∑∑|∆∆∆∆X’| → Somatório das coordenadas na direção X, sem o sinal. • ∑∑∑∑|∆∆∆∆Y’| → Somatório das coordenadas na direção Y, sem o sinal. Observação: • Temos uma constante Kx e Ky, iguais à ∑∑∑∑∆∆∆∆X’/∑∑∑∑|∆∆∆∆X’| e ∑∑∑∑∆∆∆∆Y’/∑∑∑∑|∆∆∆∆Y’|

respectivamente, pois são invariáveis em ambos os casos. Temos então: Kx= 0,110/196,666 Kx= 0,000559

Ky= 0,139/167,217 Ky= 0,000831

Correções no eixo X: Cx1-2 = 50,347 x 0,000559 = -0,028 Cx2-3 = 47,931 x 0,000559 = -0,027 Cx3-4 = 48,571 x 0,000559 = -0,027 Cx4-1 = 49,817 x 0,000559 = -0,028 Soma = -0,110

Correções no eixo Y: Cy1-2 = 20,486 x 0,000831 = -0,017 Cy2-3 = 14,286 x 0,000831 = -0,012 Cy3-4 = 69,253 x 0,000831 = -0,058 Cy4-1 = 63,192 x 0,000831 = -0,052 Soma = -0,139

Observação: • O sinal da correção deverá ser sempre contrário do sinal do erro. m. Compensação das coordenadas parciais: São dadas pelas fórmulas:

∆∆∆∆X = ∆∆∆∆X’ + Cx

∆∆∆∆Y = ∆∆∆∆Y’ + Cx

Tabela V- Coordenadas e correções

Coordenadas no eixo X Coordenadas no eixo Y Calculada Correção Compensada Calculada Correção Compensada

∆∆∆∆X’ Cx ∆∆∆∆X ∆∆∆∆Y’ Cy ∆∆∆∆Y -50,347 -0,028 -50,375 +20,486 -0,017 +20,469 -47,931 -0,027 -47,958 -14,286 -0,012 -14,298 +48,571 -0,027 +48,544 -69,253 -0,058 -69,311 -49,817 -0,028 -49,789 +63,192 -0,052 +63,140

Observação: • O somatório das coordenadas compensadas deverá ser obrigatoriamente

igual a ZERO. Coord. compensadas no eixo X: ∆x1-2 = -50,347 – 0,028 = -50,375 ∆x2-3 = -47,931 – 0,027 = -47,958 ∆x3-4 = 48,571 – 0,027 = 48,544 ∆x4-1 = 49,817 – 0,028 = 49,789 Soma = 0,000 Coord. compensadas no eixo Y: ∆y1-2 = 20,486 – 0,017 = 20,469 ∆y2-3 = 14,286 – 0,012 = -14,298 ∆y3-4 = 69,253 – 0,058 = -69,311 ∆y4-1 = 63,192 – 0,052 = 63,140 Soma = 0,000

n. Cálculo das coordenadas totais: As coordenadas (abscissas e ordenadas) são calculadas pelas fórmulas:

Xn = Xn-1 + ∆∆∆∆X

Yn = Yn-1 + ∆∆∆∆Y Onde: • Xn → Abscissa do ponto • Yn → Ordenada do ponto • Xn-1 → Abscissa do ponto anterior • Yn-1 → Ordenada do ponto anterior • ∆∆∆∆X → Projeção Compensada no eixo X • ∆∆∆∆Y → Projeção Compensada no eixo Y

• X1 = 108,310 (Abcissa Inicial) X2 = X1 + ∆∆∆∆X1-2 X2 =108,310 + (-50,375)

X2 = 57,935 X3 =57,935 + (-47,958)

X3 = 9,977 X4 =9,977+ (+48,544)

X4 = 58,521 X1 =58,521+ (+48,789)

X1 = 108,310

• Y1 = 106,215 (Ordenada Inicial) Y2 = Y1 + ∆∆∆∆Y1-2 Y2 =106,215 + (20,469)

Y2 = 126,684 Y3 =126,684 + (-14,298)

Y3 = 112,386 Y4 =112,386+ (-69,311)

Y4 = 43,075 Y1 =43,075+ (-63,140)

Y1 = 106,215 • As coordenadas do ponto de chegada deverão ser iguais as coordenadas do

ponto de saída.

Tabela IV- Coordenadas totais Coordenadas Vértices

X Y 1 108,310 106,215 2 57,935 126,684 3 9,977 112,386 4 58,521 43,075