trabajo t2 kriging

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  • 8/15/2019 Trabajo t2 Kriging

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    KEVIN ROJAS ATALAYA

    INTRODUCCIÓN

    El kriging es un término que ha sido au!ado "ara designaral #me$or estimador lineal insesgado# de un "unto % al

    me$or "romedio lineal m&'il "onderado de un (loque)Este nom(re a"arei& alrededor de *+,- "ara nom(rar una

    ténia reada en .rania "or /atheron a "artir de lostra(a$os de 0) 1) Krige quién 2ue "ro(a(lemente el "rimero

    que hi3o uso de la orrelai&n es"aial % del me$orestimador lineal insesgado en el am"o de la e'aluai&n de%aimientos minerales)

    El kriging es una ténia de estimai&n loal que o2ree el

    me$or estimador lineal insesgado de una arater4stiadesonoida que se estudia) La limitai&n a la lase de

    estimadores lineales es (astante natural %a que estosigni5a que solamente se requiere el onoimiento del

    momento de segundo orden de la 2uni&n aleatoria 6lao'arian3a o el 'ariograma7 % que en general en la "r8tiaes "osi(le in2erir a "artir de una reali3ai&n de la misma)

    Ing) 0e minas

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    KEVIN ROJAS ATALAYA

    MÉTODO DEL KRIGING

    DEFINICIÓN.

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    KEVIN ROJAS ATALAYA

    El krigea$e o krigeado 6del 2ranés krigeage7 es un método

    geoestadístico de estimación de !ntos "!e !ti#i$a !n mode#ode %a&iog&ama a&a #a o'tención de datos) 9alula los "esos quese dar8n a ada "unto de re2erenias usadas en la 'alorai&n) Estaténia de inter"olai&n se (asa en la "remisa de que la 'ariai&n

    es"aial ontin:a on el mismo "atr&n)

    .ue desarrollada iniialmente "or 0anie 1) Krige a "artir del an8lisisde regresi&n entre muestras % (loques de mena; las uales 5$aron la

    (ase de la geoestad4stia lineal)

    GENER(LID(DE) )O*RE EL KRIGING

    La toma de muestras da la in2ormai&n de lo que ourre en ada"unto) Sin em(argo; no da in2ormai&n aera de la relai&n que

    "ueda e si las muestras son

    igualmente es"aiadas se alan3a una me$or o(ertura; dando

    ma%or in2ormai&n aera de la 3ona que aquella que se

    o(tendr4a de muestras mu% agru"adas en unos setores %

    se"aradas en otros) Sin em(argo; en la "r8tia; de(ido a lasarater4stias de las regiones de estudio; muhas 'ees es

    "reiso tomar muestras irregularmente es"aiadas) Las distancias entre las muestras; "ara la "redii&n es m8s

    on5a(le usar muestras 'einas que muestras distantes; esto

    es; la "reisi&n me$ora uando la eran4a de las muestras

    aumenta; % se deteriora uando esta disminu%e) La

    e

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    CL()IFIC(CIÓN DEL KRIGING

      )eg,n e# soo&te de #a medición de #os datos. 

    -!nt!a#.

    -o& '#o"!esemos 'isto hasta el momento estimaiones en un "unto;

    en el aso uando se desea onoer el 'alor "romedioso(re una regi&n o (loque; se 2ormulan las euaiones del

    Kriging de manera an8loga al aso "untual)En el kriging "or (loques en lugar de estimar el 'alor en

    un "unto Z k  se onsidera una regi&n V k   de 8rea  Ak 

    on entro en el "unto Z k  )

    K&iging sim#e

    6/edia m onoida7 Asume que las medias

    loales son relati'amente onstantes % de 'alor mu% seme$ante

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    a la media de la "o(lai&n que es onoida) La media de la

    "o(lai&n es utili3ada "ara ada estimai&n loal; en on$untoon los "untos 'einos esta(leidos omo neesarios "ara la

    estimai&n) Es un método utili3ado en los 9asos mineros)

    K&iging o&dina&io /edia m desonoida)  Las mediasloales no son neesariamente "r&

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    medios del (loque de sonda$es de 'oladura se esta(lee

    as4) An8lisis de Variograma de los datos de (arrenos) An8lisis de Variograma de los datos de sonda$e de

    'oladura) An8lisis del 'ariogramaBru3ado entre el (arreno % los

    datos de sonda$e de 'oladura) A"aree ada 'alor del

    (arreno on todos los 'alores de sonda$es de 'oladura) Selei&n de los "ar8metros de la (:squeda % de

    inter"olai&n) 9okriging)

    E5em#os de K&iging #inea# m6s !s!a#es

     Todos los estimadores #kriging# "ueden ser inter"retados omo"ro%eiones de un 'alor desonoido @ 6

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    ara determinar el oe5iente a % los "onderadores   λi ; iF*)))nM; se

    e

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    ∑ j=1

    n

     λ jC (ui−u j )=C (u−ui ) ,i=1,…n

    Este sistema de n euaiones on n "onderadores desonoidos es el

    sistema de 4&iging sim#e 6KS7En notación mat&icia#

    E# estimado& se esc&i'e

    Z ¿ (u )=∑

    i=1

    n

     λi. Z (ui )+{1−∑

    i=1

    n

     λi}.m

    La media a"aree on un "onderador que es el om"lemento de la

    "onderai&n aumulada de los datos) /ientras m8s le$os el sitio ! delos datos; menores ser8n sus "onderadores % ma%or ser8 la"onderai&n de la media) 0e ierto modo; la media Hom"ensa la

    2alta de in2ormai&n a"ortada "or los datos)

    7a&ian$a de# e&&o&.

    Error Asimismo; es "osi(le determinar el 'alor de la 'arian3a del error

    6que se minimi3&7) Esta 'arian3a lle'a el nom(re de H'arian3a dekriging; aunque se re5ere a la 'arian3a del error de kriging=

    σ  KS

    2 (u )=σ 2−∑i=1

    n

     λi.C (u

    i−u)

    uede alularse sin onoer los 'alores de los datos) Se demuestra

    que esta 'arian3a siem"re es menor o igual a σ 2

    )

    KRIGING ORDIN(RIO

    De8nición

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    Kriging ordinario es un estimador dise!ado es"eialmente "ara

    la estimai&n de las le%es de (loques)  Es una om(inai&n lineal de los datos  dis"oni(les dentro o

    era al (loque; tal  que la estimai&n es im"arial % tiene'ariai&n m4nima)

    Lineal "orque sus estimaiones son om(inaiones lineales delos datos dis"oni(les)

    Im"arial "uesto que la suma de los "esos "onderados es *) Es el me$or "osi(le "orque tiene omo o($eti'o el reduir al

    m4nimo de la 'arian3a de los errores)

    El kriging ordinario se usa uando la 'aria(le es estaionaria on

    o'arian3a onoida % media desonoida) Aunque el "roeso essimilar al del kriging sim"le; no "odemos entrar la 'aria(le; %a que

    no onoemos ; as4 que es neesario tra(a$ar diretamente on la

    'aria(le en estudio @)

    +iótesis

    9. No se onoe el 'alor "romedio m de la 'aria(le regionali3ada)Esto "ermite generali3ar el kriging a situaiones donde estamedia no es onstante en el es"aio= la media "uede 'ariar de

    una regi&n a otra; siem"re que sea a"ro

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    Los "onderadores &"timos 6que minimi3an la 'arian3a del error su$etoa que la suma de los "onderadores sea igual a *7 "ueden

    determinarse introduiendo un multi"liador de Lagrange

     Y anulando las deri'adas "ariales on res"eto a los "onderadores %

    on res"eto al multi"liador de Lagrange)

    Las de&i%adas a&cia#es son

    )e desem'oca en e# sistema de 4&iging o&dina&io ;KO<

    En notación mat&icia#

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    )e !ede esc&i'i& tam'i0n en t0&minos de %a&iog&ama.

    No es "reiso que el 'ariograma tenga una meseta "ara que e

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    A ontinuai&n; se "resenta un estudio de la sensi(ilidad de los

    resultados a am(ios en la on5gurai&n geométria de los datos %del modelo 'ariogr85o)

    -RO-IED(DE) DEL KRIGING

    • Inte&o#ación e1acta La estimai&n en un sitio on dato esigual al 'alor del dato % la 'arian3a de kriging en este sitio 'ale-)

    • (diti%idad La estimai&n de la le% de un (loque es igual al"romedio de las estimaiones de le%es "untuales en este(loque)

    • )!a%i$amiento  La dis"ersi&n de los 'alores estimados esmenor que la dis"ersi&n de los 'alores 'erdaderos; so(re todoen las 3onas donde ha% "oos datos) En onseuenia; se tiende

    a su(estimar las 3onas de altas le%es % so(reestimar las 3onasde (a$as le%es) El kriging es ina"ro"iado "ara e'aluai&n de

    "roesos donde los 'alores e

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    7(LID(CIÓN DEL KRIGING

    ara 'alidar los "ar8metros del kriging 6modelo de 'ariograma;'eindad elegida7; se "uede usar los siguientes métodos=

    • 7a#idación c&!$ada  se estima suesi'amente ada datoonsiderando solamente los datos restantes

    •  >ac4/4ni=e  se di'ide la muestra iniial en dos "artes 6"or

    e$em"lo; uando ha% dos am"a!as de sonda$es7; % se estimauna "arte a "artir de la otra

    Luego; se hae un estudio estad4stio de los errores ometidos "arasa(er si el kriging 2ue Hsatis2atorio 6(uena "reisi&n; "oo sesgo

    ondiional7

    C&ite&ios de %a#idación

     

    Medias de #os e&&o&es 2 de #os e&&o&es estanda&i$ados=de(en ser eranas a ero entones estimador sin sesgo)

      7a&ian$a de #os e&&o&es  de(e ser la m8s (a$a "osi(leentones estimador "reiso

     

    7a&ian$a de #os e&&o&es estanda&i$ados de(e ser erana a*entones el 'ariograma uanti5a adeuadamente lainertidum(re

     

    N!'e de dise&sión ent&e %a#o&es &ea#es 2 estimados  laregresi&n de(e aerarse a la diagonal entones insesgoondiional)

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    +istog&amas de #os e&&o&es cometidos

    Las medias de los errores son asi nulas insesgo La ma%or "reisi&n

    se alan3a en los "lanes D % U)

    N!'es de co&&e#ación ent&e #e2es &ea#es 2 estimadas

    El sesgo ondiional % la dis"ersi&n de la nu(e son m4nimos en los

    "lanes D % U)

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    La 'eindad de (:squeda se de5ne on res"eto  al "unto aestimar % determina uales "untos 'einos "otenialmente ser8ntomados en la estimai&n)

    @ 9aso isotr&"io= tomar una irun2erenia on entro en el

    "unto a estimar % radio igual o menor al alane del'ariograma)

    @ 9aso anisotr&"io= tomar una eli"se on entro en el "unto aestimar % semie$es iguales o menores a los alanes del

    'ariograma anisotr&"io)

    E$em"lo de 'eindad de (:squeda "ara el aso anisotr&"io)

    A. De8ni& cantidad de !ntos de #a estimación

    Cna 'e3 de5nida la 'eindad de (:squeda ha%  que es"ei5aruantos "untos inter'endr8n en la estimai&n) Esto determina eltama!o de la matri3 del Kriging) ara toda la 'eindad se "uedentomar omo 'alores "r8tios=

    @ /4nimo de "untos= entre W % , "untos)@ /8

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    7ENT(>() DE KRIGING

    • 9onsidera las arater4stias es"aiales de

    ontinuidad)

    Estimador eEM-LO) 

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    E)T( EN EL ECBEL.