trabajo t2 kriging
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KEVIN ROJAS ATALAYA
INTRODUCCIÓN
El kriging es un término que ha sido au!ado "ara designaral #me$or estimador lineal insesgado# de un "unto % al
me$or "romedio lineal m&'il "onderado de un (loque)Este nom(re a"arei& alrededor de *+,- "ara nom(rar una
ténia reada en .rania "or /atheron a "artir de lostra(a$os de 0) 1) Krige quién 2ue "ro(a(lemente el "rimero
que hi3o uso de la orrelai&n es"aial % del me$orestimador lineal insesgado en el am"o de la e'aluai&n de%aimientos minerales)
El kriging es una ténia de estimai&n loal que o2ree el
me$or estimador lineal insesgado de una arater4stiadesonoida que se estudia) La limitai&n a la lase de
estimadores lineales es (astante natural %a que estosigni5a que solamente se requiere el onoimiento del
momento de segundo orden de la 2uni&n aleatoria 6lao'arian3a o el 'ariograma7 % que en general en la "r8tiaes "osi(le in2erir a "artir de una reali3ai&n de la misma)
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MÉTODO DEL KRIGING
DEFINICIÓN.
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El krigea$e o krigeado 6del 2ranés krigeage7 es un método
geoestadístico de estimación de !ntos "!e !ti#i$a !n mode#ode %a&iog&ama a&a #a o'tención de datos) 9alula los "esos quese dar8n a ada "unto de re2erenias usadas en la 'alorai&n) Estaténia de inter"olai&n se (asa en la "remisa de que la 'ariai&n
es"aial ontin:a on el mismo "atr&n)
.ue desarrollada iniialmente "or 0anie 1) Krige a "artir del an8lisisde regresi&n entre muestras % (loques de mena; las uales 5$aron la
(ase de la geoestad4stia lineal)
GENER(LID(DE) )O*RE EL KRIGING
La toma de muestras da la in2ormai&n de lo que ourre en ada"unto) Sin em(argo; no da in2ormai&n aera de la relai&n que
"ueda e si las muestras son
igualmente es"aiadas se alan3a una me$or o(ertura; dando
ma%or in2ormai&n aera de la 3ona que aquella que se
o(tendr4a de muestras mu% agru"adas en unos setores %
se"aradas en otros) Sin em(argo; en la "r8tia; de(ido a lasarater4stias de las regiones de estudio; muhas 'ees es
"reiso tomar muestras irregularmente es"aiadas) Las distancias entre las muestras; "ara la "redii&n es m8s
on5a(le usar muestras 'einas que muestras distantes; esto
es; la "reisi&n me$ora uando la eran4a de las muestras
aumenta; % se deteriora uando esta disminu%e) La
e
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CL()IFIC(CIÓN DEL KRIGING
)eg,n e# soo&te de #a medición de #os datos.
-!nt!a#.
-o& '#o"!esemos 'isto hasta el momento estimaiones en un "unto;
en el aso uando se desea onoer el 'alor "romedioso(re una regi&n o (loque; se 2ormulan las euaiones del
Kriging de manera an8loga al aso "untual)En el kriging "or (loques en lugar de estimar el 'alor en
un "unto Z k se onsidera una regi&n V k de 8rea Ak
on entro en el "unto Z k )
K&iging sim#e
6/edia m onoida7 Asume que las medias
loales son relati'amente onstantes % de 'alor mu% seme$ante
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a la media de la "o(lai&n que es onoida) La media de la
"o(lai&n es utili3ada "ara ada estimai&n loal; en on$untoon los "untos 'einos esta(leidos omo neesarios "ara la
estimai&n) Es un método utili3ado en los 9asos mineros)
K&iging o&dina&io /edia m desonoida) Las mediasloales no son neesariamente "r&
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medios del (loque de sonda$es de 'oladura se esta(lee
as4) An8lisis de Variograma de los datos de (arrenos) An8lisis de Variograma de los datos de sonda$e de
'oladura) An8lisis del 'ariogramaBru3ado entre el (arreno % los
datos de sonda$e de 'oladura) A"aree ada 'alor del
(arreno on todos los 'alores de sonda$es de 'oladura) Selei&n de los "ar8metros de la (:squeda % de
inter"olai&n) 9okriging)
E5em#os de K&iging #inea# m6s !s!a#es
Todos los estimadores #kriging# "ueden ser inter"retados omo"ro%eiones de un 'alor desonoido @ 6
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ara determinar el oe5iente a % los "onderadores λi ; iF*)))nM; se
e
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∑ j=1
n
λ jC (ui−u j )=C (u−ui ) ,i=1,…n
Este sistema de n euaiones on n "onderadores desonoidos es el
sistema de 4&iging sim#e 6KS7En notación mat&icia#
E# estimado& se esc&i'e
Z ¿ (u )=∑
i=1
n
λi. Z (ui )+{1−∑
i=1
n
λi}.m
La media a"aree on un "onderador que es el om"lemento de la
"onderai&n aumulada de los datos) /ientras m8s le$os el sitio ! delos datos; menores ser8n sus "onderadores % ma%or ser8 la"onderai&n de la media) 0e ierto modo; la media Hom"ensa la
2alta de in2ormai&n a"ortada "or los datos)
7a&ian$a de# e&&o&.
Error Asimismo; es "osi(le determinar el 'alor de la 'arian3a del error
6que se minimi3&7) Esta 'arian3a lle'a el nom(re de H'arian3a dekriging; aunque se re5ere a la 'arian3a del error de kriging=
σ KS
2 (u )=σ 2−∑i=1
n
λi.C (u
i−u)
uede alularse sin onoer los 'alores de los datos) Se demuestra
que esta 'arian3a siem"re es menor o igual a σ 2
)
KRIGING ORDIN(RIO
De8nición
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Kriging ordinario es un estimador dise!ado es"eialmente "ara
la estimai&n de las le%es de (loques) Es una om(inai&n lineal de los datos dis"oni(les dentro o
era al (loque; tal que la estimai&n es im"arial % tiene'ariai&n m4nima)
Lineal "orque sus estimaiones son om(inaiones lineales delos datos dis"oni(les)
Im"arial "uesto que la suma de los "esos "onderados es *) Es el me$or "osi(le "orque tiene omo o($eti'o el reduir al
m4nimo de la 'arian3a de los errores)
El kriging ordinario se usa uando la 'aria(le es estaionaria on
o'arian3a onoida % media desonoida) Aunque el "roeso essimilar al del kriging sim"le; no "odemos entrar la 'aria(le; %a que
no onoemos ; as4 que es neesario tra(a$ar diretamente on la
'aria(le en estudio @)
+iótesis
9. No se onoe el 'alor "romedio m de la 'aria(le regionali3ada)Esto "ermite generali3ar el kriging a situaiones donde estamedia no es onstante en el es"aio= la media "uede 'ariar de
una regi&n a otra; siem"re que sea a"ro
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Los "onderadores &"timos 6que minimi3an la 'arian3a del error su$etoa que la suma de los "onderadores sea igual a *7 "ueden
determinarse introduiendo un multi"liador de Lagrange
Y anulando las deri'adas "ariales on res"eto a los "onderadores %
on res"eto al multi"liador de Lagrange)
Las de&i%adas a&cia#es son
)e desem'oca en e# sistema de 4&iging o&dina&io ;KO<
En notación mat&icia#
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)e !ede esc&i'i& tam'i0n en t0&minos de %a&iog&ama.
No es "reiso que el 'ariograma tenga una meseta "ara que e
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A ontinuai&n; se "resenta un estudio de la sensi(ilidad de los
resultados a am(ios en la on5gurai&n geométria de los datos %del modelo 'ariogr85o)
-RO-IED(DE) DEL KRIGING
• Inte&o#ación e1acta La estimai&n en un sitio on dato esigual al 'alor del dato % la 'arian3a de kriging en este sitio 'ale-)
• (diti%idad La estimai&n de la le% de un (loque es igual al"romedio de las estimaiones de le%es "untuales en este(loque)
• )!a%i$amiento La dis"ersi&n de los 'alores estimados esmenor que la dis"ersi&n de los 'alores 'erdaderos; so(re todoen las 3onas donde ha% "oos datos) En onseuenia; se tiende
a su(estimar las 3onas de altas le%es % so(reestimar las 3onasde (a$as le%es) El kriging es ina"ro"iado "ara e'aluai&n de
"roesos donde los 'alores e
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7(LID(CIÓN DEL KRIGING
ara 'alidar los "ar8metros del kriging 6modelo de 'ariograma;'eindad elegida7; se "uede usar los siguientes métodos=
• 7a#idación c&!$ada se estima suesi'amente ada datoonsiderando solamente los datos restantes
• >ac4/4ni=e se di'ide la muestra iniial en dos "artes 6"or
e$em"lo; uando ha% dos am"a!as de sonda$es7; % se estimauna "arte a "artir de la otra
Luego; se hae un estudio estad4stio de los errores ometidos "arasa(er si el kriging 2ue Hsatis2atorio 6(uena "reisi&n; "oo sesgo
ondiional7
C&ite&ios de %a#idación
Medias de #os e&&o&es 2 de #os e&&o&es estanda&i$ados=de(en ser eranas a ero entones estimador sin sesgo)
7a&ian$a de #os e&&o&es de(e ser la m8s (a$a "osi(leentones estimador "reiso
7a&ian$a de #os e&&o&es estanda&i$ados de(e ser erana a*entones el 'ariograma uanti5a adeuadamente lainertidum(re
N!'e de dise&sión ent&e %a#o&es &ea#es 2 estimados laregresi&n de(e aerarse a la diagonal entones insesgoondiional)
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+istog&amas de #os e&&o&es cometidos
Las medias de los errores son asi nulas insesgo La ma%or "reisi&n
se alan3a en los "lanes D % U)
N!'es de co&&e#ación ent&e #e2es &ea#es 2 estimadas
El sesgo ondiional % la dis"ersi&n de la nu(e son m4nimos en los
"lanes D % U)
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La 'eindad de (:squeda se de5ne on res"eto al "unto aestimar % determina uales "untos 'einos "otenialmente ser8ntomados en la estimai&n)
@ 9aso isotr&"io= tomar una irun2erenia on entro en el
"unto a estimar % radio igual o menor al alane del'ariograma)
@ 9aso anisotr&"io= tomar una eli"se on entro en el "unto aestimar % semie$es iguales o menores a los alanes del
'ariograma anisotr&"io)
E$em"lo de 'eindad de (:squeda "ara el aso anisotr&"io)
A. De8ni& cantidad de !ntos de #a estimación
Cna 'e3 de5nida la 'eindad de (:squeda ha% que es"ei5aruantos "untos inter'endr8n en la estimai&n) Esto determina eltama!o de la matri3 del Kriging) ara toda la 'eindad se "uedentomar omo 'alores "r8tios=
@ /4nimo de "untos= entre W % , "untos)@ /8
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7ENT(>() DE KRIGING
• 9onsidera las arater4stias es"aiales de
ontinuidad)
•
Estimador eEM-LO)
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E)T( EN EL ECBEL.