trabajo practico investigacion de operaciones 1 vs 2

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL

FACULTAD REGIONAL HAEDO

Investigacin de Operaciones

Programacin Lineal

Gua de Trabajos Prcticos

Autora: Lic. Mabel SHARPE

Programacin Lineal Gua de Trabajos Prcticos

Lic. Mabel SHARPE 1

GUA DE TRABAJOS PRCTICOS

Ejercicio 1:

Una empresa de muebles fabrica dos productos: sillas y escritorios. La empresa tiene

cuatro departamentos:

El departamento de Corte, donde se corta la madera y preparan los esqueletos de sillas y escritorios.

El departamento de Armado, donde se ensamblan las piezas de cada artculo.

El departamento de Tapicera, donde se terminan las sillas, incluyendo el lustre.

El departamento de Linleum, donde se preparan las cubiertas de los escritorios.

Las contribuciones marginales de cada producto, consumos por unidad y disponibilidades

se muestran en la tabla siguiente:

Departamentos

Tiempo disponible

(Trimestre) en

minutos

Tiempo requerido

Sillas

min/silla

Escritorios

min/escritorios

Corte 27.000 15 40

Armado 27.000 12 50

Tapicera 27.000 18,75 -

Linleum 27.000 - 56,25

Contribucin

por unidad

25 75

Se pide:

1. Identificar todas las variables y las medidas de eficiencia. 2. Formular el modelo en forma grfica, considerando que se desea formular un plan de

produccin que permita maximizar la contribucin marginal.

3. Formular el modelo en forma analtica y resolverlo. 4. Presentar el correspondiente informe.

Ejercicio 2:

Un panadero empieza el da con una provisin segura de harina, grasa, huevos, azcar,

leche y levadura. Se especializa en hacer pan, pasteles, panecillos y galletitas. Desea determinar

cunto debe hacer de cada producto para maximizar su utilidad. Las recetas estn dadas en la

tabla siguiente (no se especifican aquellas provisiones que son abundantes, como son la sal, el

agua, etc.)

Escriba la formulacin correspondiente, por medio de programacin lineal y discuta la

adaptabilidad de tal modelo a una situacin de la vida real.

Identifique claramente cada elemento del modelo.


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INGREDIENTES PAN PASTELES PANECILLOS GALLETITAS DISPONIBILIDAD

(por 4 kg. de producto)

Harina 12 tazas 3 tazas 9/2 tazas 3/2 tazas 1b tazas

Grasas 2 cucharadas 12 cucharadas 3 cucharadas 4 cucharadas 2b cucharadas

Huevos 0 3 1 1 3b

Azcar 1/2 taza 3/2 tazas 1/8 taza 1 taza 4b tazas

Leche 2 tazas 3/4 taza 1 taza 0 5b tazas

Levadura 1 pan 0 1 pan 0 6b panes

Utilidad por kg. de producto 1C 2C 3C 4C

Ejercicio 3:

Formule el siguiente problema de preparacin de dietas Gass (Gass, S. I. An illustred guide to Lineal Programming). Una madre desea que sus nios obtengan ciertas cantidades de elementos nutritivos de sus cereales de desayuno. Los nios pueden escoger entre comer

Tronados o Dorados, o una mezcla de los dos. De su desayuno deben obtener, cuando menos, 1

mg de tiamina, 5 mg de niacina y 400 caloras. Una onza de Tronados contiene 0,10 mg de

tiamina, 1 mg de niacina y 110 caloras; 1 onza de Dorados contiene 0,25 mg de tiamina, 0,25

mg de niacina y 120 caloras. Una onza de Tronados cuesta 3.8 pesos y 1 onza de Dorados de

4.2 pesos.

Hallar el modelo que representara al sistema real, con su funcional. Realizar la

representacin grfica. Resolverlo por Mtodo Simplex. Interpretar la tabla ptima, elaborando

el informe correspondiente.

Ejercicio 4:

Un fabricante de muebles desea determinar cuntas mesas, sillas, escritorios y libreros

debe hacer para optimizar el uso de sus recursos disponibles.

En estos productos, se utilizan dos tipos de madera diferente y tiene en existencia 15.000

pies del primer tipo y 10.000 pies del segundo. Para hacer el trabajo total cuenta con 800 horas-

hombre. Su pronstico de ventas ms sus rdenes pendientes de entrega hacen necesario

fabricar, al menos, 40 mesas, 130 sillas, 30 escritorios y no ms de 10 libreros. Cada mesa

requiere 3 horas-hombre para ser fabricada, una silla requiere 2, un escritorio 5 y un librero 10.

A su vez, se necesita por cada mesa 15 pies de madera del primer tipo y 5 pies del segundo, por

cada silla se necesitan 8 pies de madera del primer tipo, mientras que cada escritorio necesita 7

pies de cada tipo de madera. Los libreros requieren 10 pies del segundo tipo por unidad. El

fabricante obtiene una utilidad total de $1.200 por mesa, $500 por silla, $1.500 por escritorio y

$1000 por librero.

Escriba la formulacin completa de este problema, en trminos de maximizar la utilidad.

Resulvalo e interprete los resultados.

Ejercicio 5:

Una organizacin fabril tiene centros de distribucin localizados en Atlanta, Chicago y la

ciudad de Nueva York. En esos centros tiene disponibilidades de 40, 20 y 40 unidades de su


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producto, respectivamente. Sus detallistas requieren los siguientes nmeros de unidades para

cada una de sus localidades: Cleveland, 25 unidades; Louisville, 10 unidades; Memphis, 20

unidades; Pittsburgh, 30 unidades y Richmond, 15 unidades.

El costo de transporte por unidad, expresado en dlares, entre cada centro y las

localidades de los detallistas, est dado en la siguiente tabla:

Cleveland Louisville Memphis Pittsburgh Richmond

Atlanta 55 30 40 50 40

Chicago 35 30 100 45 60

Nueva York 40 60 95 35 30

Se pide:

a. Formular el modelo que representara al sistema real, con su funcional. b. Resolver en forma analtica. c. Interpretar la tabla ptima y elaborar el informe.

Ejercicio 6:

El Banco BANSUD est desarrollando una poltica de prstamos por un mximo de $12

millones. La tabla siguiente muestra los datos pertinentes acerca de los distintos tipos de

prstamo.

Tipo de Prstamo Tasa de Inters % de Deuda Impagable

Personal 0,140% 0,100%

Automvil 0,130% 0,070%

Casa 0,120% 0,030%

Agrcola 0,125% 0,050%

Comercial 0,100% 0,020%

Las deudas impagables no se recuperan y no producen ingresos por intereses.

Para competir con otras instituciones financieras, se necesita que el banco asigne un

mnimo de 40% de los fondos a prstamos agrcolas y comerciales. Para ayudar a la industria de

la construccin de la regin los prstamos familiares deben ser iguales, cuando menos, al 50%

de los prstamos personales, para automvil y para casa. Tambin el banco tiene una poltica

explcita que no permite que la relacin general de prstamos impagables entre todos los

prstamos sea mayor que 4%.

Se pide:

a. Plantear las condiciones del modelo. b. Resolver utilizando Mtodo Simplex. c. Interpretar la solucin mediante el correspondiente informe.

Ejercicio 7:

Se desean invertir 2 millones de dlares en 6 tipos de inversin cuyas caractersticas son

las siguientes:


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Tipo de

Inversin

Factor de Plazo

Promedio

Inversin Anual

(%)

Riesgo de

Inversin

1 8.5 0.02 8

2 9.0 0.01 2

3 8.5 0.38 5

4 14.3 0.45 2

5 6.7 0.07 2

6 13.0 0.35 4

El factor de riesgo indica la probabilidad de que el rendimiento real sea inferior al

esperado. Se considera ventajoso un perodo promedio ponderado de inversin de cuanto menos

5 aos; pero el factor promedio ponderado de riesgo no debe ser superior a 0.20. La ley prohbe

que la suma de las inversiones de los tipos 4 y 6 sea mayor al 25% del monto total de la

inversin. Formule un modelo de P.L para decidir cmo invertir el dinero disponible, con el fin

de maximizar el rendimiento de los 2 millones de dlares. Resuelva y confeccione el informe

correspondiente.

Ejercicio 8:

Una compaa manufacturera local produce cuatro productos metlicos diferentes que

deben maquinarse, pulirse y ensamblarse.

Los requerimientos de tiempo (en horas) por unidad, son los siguientes:

Horas de

Maquinado

Horas de

Pulido

Horas de

Ensamble

Producto 1 3 1 2

Producto 2 2 1 1

Producto 3 2 2 2

Producto 4 4 3 1

La compaa dispone semanalmente de 480 horas para el maquinado, 400 horas para el

pulido y 400 horas para ensamble. Las ganancias unitarias por producto son $6, $4, $6 y $8

respectivamente. La compaa tiene un contrato con un distribuidor en el que se compromete a

entregar semanalmente 50 unidades del producto 1 y 100 unidades de cualquier combinacin de

los productos 1, 2 y 3, segn sea la produccin, y un mximo de 25 unidades del producto 4.

Se pide:

a. Formular el modelo y resolverlo. b. Interpretar econmicamente la solucin obtenida.

Ejercicio 9:

La Empresa Amrica S.A. produce dos tipos de fertilizantes agrcolas, DAP y MAP. El

DAP est compuesto de 25% de ingredientes activos y 75% de ingredientes inertes, mientras

que el MAP contiene 40% de ingredientes activos y 60% de ingredientes inertes. La capacidad

de bodega limita los inventarios a 500 toneladas de ingredientes activos y 1.200 toneladas de

ingredientes inertes, y las bodegas se cargan completamente una vez a la semana.

El DAP es similar a otros fertilizantes en el mercado y tiene un precio competitivo de

$250 por tonelada. El precio del producto MAP, ms exclusivo, es de $350 por tonelada.


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Se pide:

a. Formular el modelo que permita maximizar el ingreso bruto semanal. b. Resolver grficamente. c. Hallar la solucin analtica y elaborar el informe correspondiente.

Ejercicio 10:

Se fabrican dos productos, A y B, que requieren dos operaciones de maquinado para estar

en condiciones de ser vendidos. Estas operaciones se realizan en tres equipos diferentes, segn

se indica en la tabla adjunta.

La operacin 2 puede efectuarse en horas normales de equipo 2, en horas extras del

mismo equipo, o usando en cambio el equipo 3.

En la tabla tambin se indican las disponibilidades de cada uno de los equipos, expresadas

en horas, y la utilidad de cada producto segn el mtodo de produccin seguido, expresada en

$/1.000 piezas.

Tiempos de Produccin Tiempo

(horas/1000 piezas) disponible

Operacin Equipos

Producto A

Producto B

(horas)

1 1 2 2 2 5 5 5 1.000

2 2 3 - - 8 - - 600

2 (extr.) - 3 - - 8 - 200

3 - - 4 - - 10 800

Utilidad ($/1.000 p) 850 600 700 1.600 1.400 1.300

Se pide:

a. Construir el modelo matemtico que responde al anunciado dado, en forma cannica y estndar. Medida de eficiencia: Mxima utilidad para la empresa.

b. Presentar el informe correspondiente.

Ejercicio 11:

Es necesario alimentar racionalmente un rebao de cabezas de ganado. La alimentacin

debe contener, imprescindiblemente, cuatro componentes nutritivos: fsforo, potasio, magnesio

y vitaminas.

Se encuentran disponibles en el comercio dos alimentos, A y B, cuyas propiedades son:

- Un kilogramo de alimento A contiene 100 gramos de fsforo, 100 gramos de magnesio y 200 gramos de vitaminas.

- Un kilogramo de alimento B contiene 100 gramos de potasio, 100 gramos de magnesio y 200 gramos de vitaminas.

Cada animal debe consumir, como mnimo, 400 gramos de fsforo, 600 gramos de

potasio, 2.000 gramos de magnesio y 1.700 gramos de vitaminas por da.

El alimento A cuesta $10 el kilogramo y el alimento B cuesta $4 el kilogramo.

Se pide:

a. Resolver en forma grfica y analtica. b. Cmo se modifica el planteo del problema si se limitan las disponibilidades de los

alimentos A y B a 3000 y 7.000 kg respectivamente, el nmero total de cabezas de


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ganado es de 10.000, y manteniendo el consumo por cabeza en 5 kg. de alimento

diarios como mximo? Presentar el modelo modificado.

c. Presentar el informe para ambos puntos.

Ejercicio 12:

Un fraccionador de whisky importa el licor en tres distintas graduaciones: M, N y P.

Mediante la mezcla de stos, de acuerdo con sus frmulas, se obtienen los whiskys de marcas

comerciales llamadas Glenn, Finn y Markus.

Las citadas frmulas especifican las siguientes relaciones entre los elementos a mezclar:

Marca Especificacin Precio de venta

$/litro

Glenn No menos del 70%de M 700

No ms del 20% de N

Finn No ms del 50% de P 600

No menos del 20% de M

Markus No ms del 40% de P 420

Se conocen, asimismo, las disponibilidades y precios de los licores M, N y P, que se

indican en el siguiente cuadro (se supone que estos licores se encuentran en tanques, ya

comprados).

Tipo Litros disponibles Precio de compra

$/litro

M 3.000 600

N 2.500 500

P 1.800 400

Se desea definir la composicin de cada marca para obtener el mximo beneficio.

Nota: el problema anterior se conoce en P.L como formulacin de mezclas, est vinculado al N11, slo que en este caso se deben encontrar las cantidades de cada licor que

integran los whiskys, mientras que en el caso anterior, la mezcla ya est dada.

Ejercicio 13:

Una empresa de productos alimentarios desea programar su produccin de conservas.

Existen tres tipos bsicos de las mismas, que siguen el siguiente proceso:

- Fabricacin de pastas en cocinas. - Envasado en llenadoras semiautomticas. - Incubacin (las latas deben permanecer en depsito durante 15 das a 36 C de

temperatura, a fin de verificar las condiciones sanitarias del producto).

- Se dispone de una hojalatera que provee a la planta de los envases necesarios.


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Datos sobre capacidad e insumos:

- Fabricacin de pastas: la instalacin permite llegar a 1.200.000 latas mensuales de

productos A, B y C.

- Lnea de envasado: funcionan dos equipos idnticos durante dos turnos de ocho horas. Se trabaja cinco das por semana. Un 10% del tiempo disponible debe

considerarse perdido en mantenimiento, reparaciones, preparacin, etc. La velocidad

de llenado es la siguiente:

Producto A Producto B Producto C

minutos/lata 0,05 0,08 0,1

- Incubacin: la capacidad de la instalacin es de 150m3. Las latas permanecen all durante 15 das luego de su elaboracin. El volumen ocupado por las latas es el

siguiente:


m3 /100 latas 0,03 0,06 0,08

- Hojalatera: funciona una lnea continua durante un turno diario de ocho horas, cinco das por semana. Un 10% del tiempo disponible se considera perdido por

idnticas razones a las consideradas en el caso de las llenadoras. El tiempo de

produccin de cada tipo de lata es el siguiente:


minutos/lata 0,01 0,02 0,03

- Comercializacin de los productos: La demanda mxima conjunta de los productos A y B es de 600.000 latas/mes.

No existe lmite superior para la demanda de producto C, pero se sabe que de este

producto deben entregarse a un cliente, por lo menos, 40.000 latas/mes. El margen de

contribucin a gastos generales de cada producto es el siguiente:


$/lata 25 30 10

Se pide:

a. Identificar hiptesis, variables reales y slacks y dar el significado fsico-econmico de dichas variables.

b. Formular matemticamente el problema para: 1. Hacer mximo el margen de contribucin a gastos generales de la Empresa. 2. Hacer mximo el volumen fsico de produccin (medido en latas). 3. Hacer mximo el uso de los equipos.


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Ejercicio 14:

La fbrica de pinturas Pintalux desea mejorar sus beneficios mediante una programacin

adecuada de su produccin.

La fbrica elabora tres tipos de pinturas mediante el siguiente proceso:

La pintura est compuesta de dos elementos fundamentales: los pigmentos, que le otorgan

color y poder cubriente, y el vehculo, que es el componente incoloro necesario para la

formacin de una pelcula que le otorgue la elasticidad, la dureza y el brillo requeridos.

La fabricacin comienza con la mezcla de los pigmentos con parte de los vehculos, hasta

obtener la consistencia adecuada para la molienda.

Efectuada la mezcla, se prosigue con la molienda, operacin mediante la cual se logra una

adecuada dispersin de los pigmentos y una distribucin homognea. Se emplean en esta

operacin molinos a bolas, en los que la mezcla, juntamente con cierta cantidad de bolas de

material cermico o de acero, gira durante varias horas hasta conseguir la dispersin deseada.

Una vez molido el material se procede al adelgazamiento, operacin que consiste en

agregar la cantidad de vehculos y solventes faltantes. Finalmente, se efecta el ajuste de color

necesario.

Durante la fabricacin, y luego de terminada sta, se realizan sucesivos y variados

controles con la finalidad de asegurar y verificar que el producto final responda a las

especificaciones prefijadas. Cumplido este proceso, se procede al envasado.

Tiempos de proceso y capacidad de equipos:

Proceso Producto 1 Producto 2 Producto 3 Disponibilidad

horas/mes

Mezcla

rpida 1 0,8 2 1.000

Molienda 3,5 1,5 5 1.500

Adelgazado 3 2 1 1.800

Envasado 1 1,5 2,5 1.000

Los datos estn dados en horas/1.000 litros.

Existe una demanda mxima mensual conjunta para los productos 1 y 2 de 600.000

litros/mes; la demanda mnima que debe satisfacerse con los tres productos es de 300.000

litros/mes.

Margen de contribucin a gastos generales de los productos ($/100 litros):

Producto 1 Producto 2 Producto 3

50 40 100

Se pide:

a. Establecer las hiptesis que permitan modelar el problema. b. Dar el significado fsico-econmico de las variables reales y slacks del problema. c. Construir el modelo matemtico y establecer como medida de eficiencia la

maximizacin de la contribucin marginal total de la empresa a gastos generales.


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Ejercicio 15:

Nota: una de las aplicaciones ms tempranas y hoy ms difundidas de la Programacin

Matemtica es el caso de las refineras de petrleo. Existen desde hace ms de cien aos

consultoras que elaboran la planificacin de una refinera partiendo de una estructura general

que se ajusta a las condiciones particulares del cliente. Los modelos de refinacin -integrados

en muchos casos con los de suministro de crudo y distribucin de productos- son, por lo tanto,

una de las aplicaciones frecuentes descriptas en la bibliografa y que se encuentran en el

mundo real.

El ejercicio siguiente es una muestra simplificada de estos casos:

Una empresa petrolera elabora naftas normal y extra mezclando tres componentes

distintos. La empresa pretende determinar cmo mezclar o combinar los tres componentes para

obtener las dos naftas de manera que se maximicen las utilidades.

Componente $/litro Disponibilidad

1 0.30 50000

2 0.35 100000

3 0.49 100000

Las especificaciones siguientes restringen las cantidades de cada componente que se

puede utilizar en cada nafta:

Nafta Comn:

No ms de un 40% del componente 1.

Por lo menos un 30% del componente 2.


Nafta Sper:




Los compromisos actuales de la refinera con las estaciones de servicio requieren que la

empresa elabore por lo menos 100 000 litros de nafta comn.

Se pide:

a. Establecer las hiptesis que permiten modelar el sistema real. b. Identificar las variables reales y slacks. c. Construir el modelo matemtico del sistema real descripto. Establecer como medida

de eficiencia la maximizacin del ingreso total de la refinera.

d. Convendra comprar 10 000 litros de nafta comn a $0.9 el litro a una refinera de la competencia a fin de satisfacer el requerimiento mnimo establecido por el mercado?

En tal caso, cul sera el monto mximo que se podra pagar, por encima de los

$0.9?


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Ejercicio 16:

En la seccin Larga Distancia de una central telefnica, se ha registrado la carga de

trabajo promedio a lo largo del da. En base a esta informacin, se han dimensionado los

planteles de personal correspondientes a cada uno de los tres turnos diarios existentes.

As se obtuvo:

Turno de 00.00 a 08.00: 8 operadores



De acuerdo con lo que se observa en la figura, los turnos se han dimensionado para

absorber un pico que es generalmente nico por turno.

16

12

8

4

0 4 8 12 16 20 24

Se pide:

Construir el modelo matemtico que representa el sistema fsico descripto. Establecer

como medida de eficiencia para este caso obtener el mejor aprovechamiento de la dotacin

(minimizar el nmero de operarios necesarios).

Ejercicio 17:

Una papelera produce papel en bobinas de un ancho definido por las caractersticas de sus

equipos de proceso. De acuerdo con la poltica de ventas de la compaa, a determinados

compradores se les preparan bobinas de un ancho menor al de las bobinas estndar, por lo cual

stas deben ser cortadas para obtenerlas.

Esta operacin produce recortes de anchos no comercializables, con la consiguiente

prdida. Por lo tanto, la empresa desea hacer la cantidad total de recortes desechables tan

pequea como sea posible.

El caso en estudio presenta una produccin de bobinas de 215 cm de ancho, debindose

cumplimentar los siguientes pedidos:

Longitud pedida (m) Ancho (cm)

18.000 64

9.000 60

9.000 35



Se aclara que los cortes deben efectuarse en sentido longitudinal y que los mismos no

necesitan estar formados por una nica tira.

Establecer un programa de produccin, valindose de un modelo matemtico que permita

hacer mnima la superficie de recortes no utilizables.

Nota: los problemas 16 y 17, constituyen situaciones tpicas: en el primer caso, es un

problema de nivelacin de mano de obra (qu tipo de P.M. resulta?) y el segundo caso es de

optimizacin de desperdicios cuando se efectan recortes, aplicable entre otras a las industrias

textiles y del papel.

Los ejemplos fueron adaptados del autor Vajda, de su libro Readings in Lineal Programming.

El problema N15, ha sido adaptado del libro Introduction to Lineal Programming por W.W. Garvin.

Ejercicio 18:

La empresa Supercars vende sus autos en cuatro tamaos. Las caractersticas se pueden resumir en los siguientes tipos:

- Sub Compacto: Cuesta $ 4.500, se vende a $5.000, requiere 11 m2 de almacenamiento y 4 horas de vendedor.

- Compacto: Cuesta $ 5.500, se vende a $6.000, requiere 15 m2 de almacenamiento y 6 horas de vendedor.

- Intermedio: Cuesta $6.500, se vende a $ 7.500, requiere 17 m2 de almacenamiento y 9 horas de vendedor.

- Lujo: Cuesta $8.000, se vende a $9.000, requiere 19 m2 de almacenamiento y 12 horas de vendedor.

La compaa posee 2.400 m2 de espacio para exhibiciones. Para atraer a los clientes se

deben tener por lo menos 10 autos de cada marca en exposicin.

La empresa tiene un capital operativo de $700.000, se mantiene abierta 225 horas por mes

y cuenta con 5 vendedores.

Establecer un modelo de programacin matemtica que permita representar al modelo

fsico y calcular el beneficio mximo para la empresa. Resolverlo y presentar el informe

correspondiente.

Ejercicio 19:

Una cooperativa establecida recientemente posee 20 acres de campo. Los productos que

pretende obtener, cultivando el campo, son los siguientes: lechuga, tomates, maz, cebollas,

sandas y papas.

Los ltimos datos correspondientes a este tipo de cosechas pueden obtenerse de la tabla

adjunta.



Cultivo

rinde por acre

Necesidades por acre Precio de venta

agua (gal) costo horas hombre (u$s) por unidad U$S

Lechuga 40.000 1.100 16.000 4.000 0,49/planta

Tomates 7.000 1.300 3.500 5.000 0,59/lb

Maz 25.000 1.500 2.000 5.000 10/planta

Cebollas 24.000 800 7.000 3.500 30/lb

Sandias 12.000 1.600 15.000 2.500 1,25/unid

Papas 20.000 1.200 1.300 3.000 0,08/lb

El costo y el valor-hora por persona incluyen la preparacin de los suelos, fertilizacin,

aplicacin de insecticidas, recoleccin y costo de comercializacin.

La cooperativa pude consumir a lo sumo 21.000 galones de agua y posee 12.000 u$s de

capital operativo.

La disponibilidad de mano de obra est limitada a 50.000 horas-hombre. No pueden

venderse en esta temporada ms de 30.000 sandas.

Establecer el modelo que permita hacer mxima la utilidad de la cooperativa. Indicar el

significado de todas las variables que intervengan en el modelo. Resolverlo y presentar el

informe correspondiente.

Ejercicio 20:

Una empresa de cosmtica ha elaborado la frmula para un nuevo champ y ha preparado

una campaa publicitaria para promover el producto.

La Direccin ha destinado $1.500.000 para esta campaa. Los medios posibles y sus

costos se describen a continuacin:

- Televisin en horario nocturno: Una intervencin breve de 30 segundos cuesta $12.000 y alcanza a 600.000 personas. Se supone que el 1% de ellos usar el champ.

- Un semanario de gran tirada: Una pgina completa en colores, cuesta $15.000, y llega a 400.000 personas. Se supone que el 2.5% de ellos usar el producto.

- Propaganda radial: Un minuta de propaganda cuesta $7.200 y llega a 200.000 personas. Se supone que el 2,5% comprar el producto.

- Revista mensual de gran tirada: Una pgina en colores cuesta $7.200 y alcanza a 40.000 personas. Se supone que el 3% utilizar el producto.

Suponiendo que cada medio alcanza un segmento diferente de la poblacin, de modo que

el efecto es acumulativo, se desea hacer mximo el nmero de compradores inducidos.

La Direccin insiste que la cantidad gastada al comprar la publicidad, cumpla las

condiciones siguientes:

- La publicidad grfica sea al menos el 30% del total, pero no ms del 70% de lo invertido en radio y T.V.

- No comprar para el periodo ms de 20 avisos en T.V. o 30 avisos radiales. Hay solo seis domingos (cuando el semanario llega a sus lectores) durante el periodo. La

revista mensual puede llegar en dos oportunidades.

Se pide formular el modelo matemtico que permita hallar la mezcla ms rentable de

inversin publicitaria.



Ejercicio 21:

Una empresa fabrica tres tipos de sombreros. Se sabe que tres sombreros de tipo 1, dan

tanto beneficio como cuatro de tipo 2 o seis de tipo 3.

Un sombrero de tipo 1 necesita 1 hora de trabajo de taller, 0.3 m2 de espacio de

almacenamiento y $6 de gastos de material.

El tipo 2 necesita 0.75 horas de taller, 0.3 m2 de espacio y $5 de gastos.

El tipo 3 precisa 0.55 horas de taller, 0.66 m2 de almacenamiento y $4 de gastos.

La compaa insiste en que al menos el 30% de los sombreros sean de tipo 2. Ellos

emplean 40 personas que trabajan 8 horas diarias, y el espacio de almacenamiento est limitado

a 1600 m2.

La compaa dispone a lo sumo $3.000 en materiales cada da.

Construir el modelo matemtico que permita hallar la mezcla de productos ms rentable.

Resolverlo y presentar el informe.

Ejercicio 22:

Una bodega comercializa vinos elaborados a partir de mezclas. Ellos manufacturan y

venden sus vinos bajo tres marcas: Toro Negro, La Frontera y Cinta Azul.

Cada uno es una mezcla de cuatro componentes: A, B, C y D.

Habitualmente se dispone de 1.200 litros de A, 1.600 litros de B, 1.000 litros de C y 1.300

litros de D.

La bodega vende el producto mezclado en botellas de 750 cm3. El mercado acepta por lo

menos 6.000 botellas de Toro Negro, 7.000 botellas de La Frontera y 4.500 botellas de Cinta Azul. Los contenidos de alcohol de A, B, C y D son 10%, 12%, 14% y 20% respectivamente.

El Toro Negro debe contener no menos de 12% de alcohol y no ms de 16%. La Frontera contiene como mnimo 16% de alcohol, y el Cinta Azul no ms del 14%.

La tabla de beneficios que se adjunta debe interpretarse como el beneficio resultante de

incorporar una unidad de 750 cm3

de cada componente en cada tipo de vino. Por ejemplo, si se

incorpora 750 cm3 de componente A en Toro Negro, el beneficio es $0,50. Las otras cifras

deben interpretarse del mismo modo.

Marca de vino

Componente Toro Negro La Frontera Cinta Azul

A 0,5 0,35 0,55

B 0,4 0,25 0,45

C 0,65 0,5 0,7

D 0,55 0,4 0,6

Construir el modelo matemtico que permita calcular cunto debe incorporarse de cada

componente en cada vino, de modo que se obtenga el beneficio mximo (definir la mezcla).

Nota: Usar dobles subndices para establecer las variables de mezcla. Por ejemplo,

llamar XA,T al nmero de componente A que se incorporara en Toro Negro.



Ejercicio 23:

La Empresa Inversiones Unidas dispone de 20.000 miles de pesos para invertir. Sus opciones son las siguientes:

- Comprar bonos del Estado. El retorno sobre la inversin (ROI) es 6% al ao (en moneda ajustable). Esto significa que $100 invertidos hoy se convertiran en $106 en

un ao. Esta inversin, al estar garantizada por el Estado, no tiene riesgo de prdida.

- Comprar valores de fondos privados de inversin. Estos valores tienen una renta esperada (ROI) del 11%. Existe sin embargo un riesgo de prdida del 4%.

- Devolver una hipoteca sobre un edificio de la Compaa. La empresa debe 2.500 miles de pesos a los bancos y est pagando el 8% anual de inters. Esta obligacin

puede cancelarse total o parcialmente. Hay un 2% de riesgo de no poder luego vender

la propiedad.

- Invertir en ttulos hipotecarios. El retorno sobre la inversin es del 15%, debido al incremento probable en los precios de los terrenos. Hay un 7% de riesgo de perder el

capital.

- Comprar valores comunes. El retorno sobre la inversin es del 10%. El riesgo de perder el capital del 6%.

La compaa desea maximizar el retorno sobre la inversin. Por ejemplo, si invierte 8.000

miles de pesos en hipotecas y 12.000 miles de pesos en valores comunes, su riesgo promedio

sera:

%4,6000.12000.8

6000.127000.8

La empresa no quiere trabajar con un riesgo de ms del 5%.

Construir el modelo matemtico que permita responder a las condiciones planteadas.

Ejercicio 24:

Un mayorista compra rollos de 2 m. de ancho de papel autoadhesivo y los vende a los

minoristas, luego de cortarlos en anchos de 40 cm., 60 cm., 80 cm. y 1,20 m. Este papel

decorativo puede usarse, por ejemplo, en una medida de 40 cm. para forrar estantes de placard,

o en 1,20 m. para proteger mesas de madera aglomerada. Comnmente el mayorista recibe

pedidos para producir 1.000 rollos de 40 cm., 1.500 rollos de 60 cm., 1.600 rollos de 80 cm. y

1.200 rollos de 1,20 m.

Los rollos que tengan menos de 10 cm. de ancho no tienen valor comercial.

Los excesos de produccin, en cualquier tamao, pueden almacenarse hasta llegar a 1.500

metros.

Construir el modelo matemtico que permita obtener la mejor distribucin (mnimo de

desperdicio) para satisfacer la demanda.

Ejercicio 25:

La empresa Radio Lux ha colocado una orden para comprar 20.000 unidades de radios

banda ciudadana, y 12.000 unidades de radios para largo alcance (onda corta).

El contratista, Alfa Radio, no puede enviar el total de la orden solicitada, sin embargo

otra empresa, Gamma Radio, puede venderle a Alfa Radio las unidades solicitadas a los precios

de $85 por unidad en banda ciudadana y $109 por unidad de largo alcance.



La Direccin de Alfa radio debe resolver cuantas unidades fabricar y cuantas adquirir

en Gamma radio.

Los detalles del costo de manufactura se detallan en la tabla siguiente. Alfa radio recibir

de Radio Lux $95 por cada radio de banda ciudadana y $120 por cada radio de largo alcance.

Departamento Horas hombre necesarias por unidad Horas hombre

disponibles propias banda ciudadana largo alcance

Produccin 3 4 90.000

Inspeccin 0,5 0,75 17.000

Envase 0,75 0,25 7.500

Costo unitario $/radio 80 100

Formular el modelo matemtico que permita, mediante su solucin, establecer la mezcla

ms conveniente para Alfa radio. Resolverlo y presentar el informe.

Ejercicio 26:

Las enfermeras de un hospital trabajan normalmente seis horas por turno. Por ejemplo,

una enfermera comienza a trabajar a las 16 hs. y se libera a las 22 hs.

El salario que recibe es $5 por hora. El administrador del hospital ha dividido cada da en

8 periodos de 3 horas cada uno.

El nmero mnimo requerido en cada periodo se muestra, expresado en horas, en la

siguiente tabla. Observe que el periodo 1 sigue al periodo 8, o sea, los perodos son cclicos.

Periodo Desde Hasta Nmero requerido

1 7 10 30

2 10 13 50

3 13 16 60

4 16 19 50

5 19 22 35

6 22 1 35

7 1 4 30

8 4 7 25

Las enfermeras pueden trabajar horas extras, a un costo de 8 $/hora, pero si se las contrata

deben cumplir las tres horas del turno.

Construir el modelo matemtico que permita establecer el nmero de enfermeras que

ingresan a las 7, 10, 13, etc.

Cuntas enfermeras debern trabajar horas extras? El objetivo es hacer mnimo el costo

de operacin del hospital.

Nota: Indicar con Xj el nmero que comienza a trabajar al inicio del periodo j, y Ej las

que trabajaran en horas extras.



Ejercicio 27:

El Directorio de una empresa que realiza servicios en domicilios, desea efectuar un

estudio para evaluar con cuantos clientes puede contar.

En la tabla se muestran las probabilidades de xito luego de efectuar la entrevista para

obtener nuevos clientes. Los estudios se realizan en la maana, tarde y fines de semana.

Se ofrecen tambin el nmero de entrevistas que deben cumplirse en cada segmento.

Segmento Probabilidad de xito N mnimo

de entrevistas Maana Tarde Fines de semana

Solteros 0,1 0,5 0,3 75

Familias en

Departamentos 0,3 0,7 0,4 125

Familias en Casas 0,4 0,7 0,8 200

Ancianos 0,8 0,8 0,9 50

Cada vez que se visita un hogar, se puede obtener una respuesta favorable o no. Una

visita en el fin de semana cuesta dos veces ms que a la maana o tarde.

Para asegurar representatividad a la muestra se desea que al menos el 20% de las visitas

se efecten en el fin de semana, tambin debe cumplirse que las visitas en la maana sean un

30% superior a las realizadas en la tarde, por lo menos.

Determinar mediante un modelo de P.L. cuantas visitas deben realizarse en cada categora

para hacer mnimo el costo del estudio (cumpliendo las restricciones planteadas por el modelo).

Ejercicio 28:

Una empresa de electrnica fabrica 3 tipos de televisores. Para los prximos tres meses se

conoce el pronstico de ventas, que se adjunta a continuacin:

Mes

Tipo de televisor 1 2 3

1 2.000 1.500 1.500

2 1.200 1.500 1.000

3 900 800 500

Suponemos que el pronstico se cumplir exactamente. En la actualidad hay 100 aparatos

de cada tipo en stock (inventario actual).

La Direccin quiere mantener (o exceder) ese nivel al final de cada mes. Para cada mes se

dispone de 11.000 das-hombre de trabajo con un costo de $50 el da-hombre.

Un conjunto tipo 1, lleva 2,5 das-hombre de produccin, el tipo 2 necesita 3 das, el tipo

3 lleva 4 das. Debido a las condiciones del mercado, la empresa no quiere producir ningn

televisor del tipo 3, en el 3 mes (se desmantelar la lnea de produccin en ese mes).

Existe un costo de almacenamiento que implica erogar $5 por televisor que queda en

stock al fin de mes.



Se pide:

a. Construir el modelo matemtico del sistema real, para una medida de eficiencia que haga mnimo el costo de la empresa.

b. Resolverlo y presentar el informe correspondiente.

Ejercicio 29:

Una refinera obtiene tres tipos de fuel-oil, F1, F2 y F3, mezclando adecuadamente cuatro

tipos diferentes de gasolina cruda que produce, C1, C2, C3 y C4.

Se venden al exterior todos los tipos de fuel-oil, y tambin la gasolina cruda que no se

utiliza para la produccin de los mismos.

Se conocen los siguientes datos:

Gasolina cruda Calidad Produccin Costo

(octanos/barril) (barriles/da) (U$D/barril)

C1 68 4000 1.02

C2 86 5050 1.15

C3 91 7100 1.35

C4 99 4300 2.75

Fuel Calidad

mnima(octanos/barril)

Precio de venta

(U$D/barril)

Demanda (nro. de

barriles)

F1 95 5.15 10000/da, a lo sumo

F2 90 3.95 Vende todo lo que produce

F3 85 2.99 15000/da, al menos

La gasolina cruda la puede vender a U$D 2.95 el barril si el nmero de octanos es mayor

o igual a 90, y a U$S 1.85 si es menor de 90.

Se pide:

a. Plantear un modelo que maximice el beneficio total por ventas. b. Resolverlo y presentar el informe correspondiente.

Ejercicio 30:

Una empresa cuenta con dos fbricas que manufacturan indistintamente 2 productos con

rendimientos diferentes.

Los insumos principales pueden reducirse a:

- Materia prima - Mano de obra - Gastos variables generales - Gastos fijos (de estructura)

Los valores unitarios (medidas en $/unidad de producto) se muestran en la siguiente tabla:



Fbrica 1 Fbrica 2 Disponibilidad mxima

P1 P2 P1 P2 (en $)

Materia prima 10 17 16 22 270.000

Mano de obra 6 9 7 2 190.000

Gastos variables 4 6 2 2 500.000

Gastos fijos $/mes 100.000 60.000 190.000 117.000 300.000

Precio de venta $/u 32 47 32 47 Capacidad mxima (u)/mes 3.500 7.000 14.000 13.000 Cant. demandada mxima (u) 10.000 18.000

Se pide:

a. Plantear un programa matemtico que maximice el beneficio total. b. Cmo modifica al planteo la incorporacin de las siguientes condiciones?:

1. Introduccin de un impuesto a las ganancias que se paga al final del periodo (33% del beneficio total).

2. Incorporar la desgravacin de materia prima (se considera sta como un costo duplicado).

3. Agregado de una fabrica 3 con los mismos datos que la segunda. 4. Posibilidad de anular la fabrica 2 (slo para el Producto 1, iguales gastos

proporcionales).

5. Posibilidad de sustituir una fbrica con un contratista externo a un costo 20% superior al de la fbrica 1 en los proporcionales, y una prima del 10% como

beneficio para el mismo.

Ejercicio 31:

Un florista se dedica a comprar flores al por mayor en un mercado. Con esas flores arma

ramos que vende a sus clientes. Los precios actuales, por cada ramo de flores, as como la

cantidad de flores de cada uno, son los siguientes:

Tipo de flor $/atado Cant. flores/atado

Rosas de tallo largo 20 20

Rosas amarillas 20 50

Rosas rojas 10 50

Crisantemos 5 100

Margaritas 3 100

Los ramos que arma el florista son una creacin propia. Arma siete tipos de ramos, y para

cada uno defini una composicin, basada en la cantidad y tipo de flores, y estudi cul podra

ser la demanda mxima diaria. Esto se refleja en el siguiente cuadro:



Tipo de ramo Demanda mxima

(estimada)

Precio de venta

($ por ramo

o $ por unidad)

Composicin del ramo

Rosas tallo largo 650 3 Por unidad

Rosas amarillas 350 10 Ramo de 9 rosas

Rosas rojas 250 8 Ramo de 7 rosas

Crisantemos 600 3 Ramo de 18 crisantemos

Ramos chicos 1100 2 6 crisantemos y 8 margaritas

Ramos medianos 990 4 10 crisantemos, 10 margaritas

y 2 rosas rojas

Ramos grandes 625 6 15 margaritas, 10 crisantemos

y 5 rosas amarillas

Se pide:

a. Armar un modelo que maximice el beneficio total. b. Resolver el problema y presentar el correspondiente informe.

Ejercicio 32:

Para la fabricacin de los artculos A1 y A2 es dispone de 500 hs/hombre mensuales,

utilizndose 2 hs y 4 hs respectivamente por unidad de producto.

La demanda global de ambos productos es de 200 unidades mensuales. La seccin

Envase puede procesar como mximo 100 unidades de A2, no existiendo limitacin para A1. El

precio de venta de cada unidad de producto es de $100, para cualquiera de los dos; sus costos

variables ascienden a $80 y $60 respectivamente.

Se pide:

a. Determinar un programa ptimo de produccin mensual que maximice el beneficio. b. Resolver en forma grfica. c. Resolver en forma analtica. d. Presentar el informe correspondiente.

Ejercicio 33:

Una fbrica produce dos tipos de alfajores: A1, de chocolate amargo y A2, mezcla de

chocolate amargo y blanco. Cada alfajor insume 20 gr. de chocolate. El alfajor mezcla lleva

igual cantidad de ambas clases.

Se dispone de 10 kg. de chocolate amargo y 6 kg. de chocolate blanco. La mquina que

envasa lo hace a razn de 300 alfajores/hora, con un mximo de 3 hs. diarias.

La contribucin marginal es de $3 y $2 para A1 y A2 respectivamente.

Determinar el programa ptimo de produccin que maximice la contribucin marginal de

la fbrica. Resolverlo y presentar el informe correspondiente.

Ejercicio 34:

Un estudiante debe preparar dos exmenes: matemtica y contabilidad, para lo que

dispone de 40 hs. Estima que cada hora dedicada a matemtica le rinde 0,25 puntos y a

contabilidad 0,5 puntos. Ambas se aprueban con puntaje mnimo 4.

Determinar el programa de estudio que maximice el promedio general.



Ejercicio 35:

Se dispone de $10.000 para invertir en dos empresas (A y B), que reditan el 50% y el

40% respectivamente sobre el capital invertido. Dichas utilidades se hallan gravadas con una

tasa impositiva del 40% y 10%, en ese orden. Existe un compromiso de aporte obligatorio

mnimo en B de $2.000.

Por razones de vinculacin econmica, la inversin en B no puede superar en su monto a

la inversin en A.

Determinar el programa ptimo de inversin.

Ejercicio 36:

Para preparar una dieta ptima se dispone de dos ingredientes (I1 y I2).

El anlisis qumico determin que contienen tres tipos distintos de nutrientes, N1, N2 y

N3, por cada kilo, a saber: 4 gr. de N1, 7 gr. de N2 y 1,5 gr. de N3 para I1; 8 gr. de N1, 2 gr. de

N2 y 5 gr. de N3 para I2.

La empresa consigue en el mercado I1 a $3.00 el kilo y el I2 a $4.00.

As mismo se determin el contenido mnimo de nutrientes para que la dieta sea eficaz:

32 gr de N1, 14 gr de N2 y 25 gr. de N3.

Se pide:

a) Elaborar el programa ptimo que minimice el costo.

b) Si la empresa se ve obligada a incorporar un nuevo nutriente con coeficientes de 1,5

y 5 gr. y un requerimiento mnimo de 18 gr. determinar qu efectos produce en la

solucin ptima.

Ejercicio 37:

Una empresa dedicada a la fabricacin de cosmticos ha decidido lanzar al mercado un

nuevo tipo de crema anti-age.

El gerente de publicidad debe determinar el nmero ptimo de anuncios de cada uno de

los medios de informacin seleccionados, a los efectos de minimizar el costo de llegar como

mnimo a 15 millones de clientes potenciales, de los cuales 12 millones debern tener

necesariamente ingresos superiores a $10.000 por ao.

Para ello, se ha confeccionado el siguiente cuadro indicado los medios de informacin

seleccionados, con los datos referentes a las variables en cuestin.

MEDIO COSTO POR AVISO ALCANCE CON ING. SUP. A

$10.000/ao

(miles de $) (millones de personas)

Revista Gente 15 1 0,5

Radio del Plata 25 4 1

Canal 13 10 1 0,5

Ejercicio 38:

Para la fabricacin de dos productos se utilizan tres insumos segn los valores

consignados en la siguiente matriz:



Producto

Insumo P1 P2 Disponibilidad

1 5 10 80

2 40 20 360

3 10 10 100

Beneficio 2 3

En base a esta informacin se pide:

1. Determinar el programa ptimo de produccin que maximice el beneficio. 2. Resolver en forma grfica y analtica. 3. Presentar el correspondiente informe. 4. Cunto debe fabricarse de cada producto para utilizar la totalidad de los insumos 2 y

3?

5. Cul es la cantidad mxima que puede fabricarse del producto 1? 6. Las disponibilidades de qu recursos podran disminuirse sin modificar el beneficio

mximo? en cunto y por qu?

7. Cules son los recursos saturados? Cunto estara dispuesto a pagar por una unidad ms de ellos? Por qu?

8. Podran utilizar el total de las disponibilidades de los tres insumos? Por qu? 9. Si el beneficio del producto 2 se mantiene constante, cul debera ser el del producto

1 para que existan soluciones alternativas?

10. Si el beneficio del producto 1 se mantiene constante, cul debera ser el del producto 2 para que convenga fabricarlo exclusivamente?

11. Si el precio de ambos productos vara en igual proporcin, se modifica la solucin ptima? Cmo y por qu?

Ejercicio 39:

Tasmania es una empresa que se dedica a fabricar muecos de peluche. El directorio de la

compaa desea planificar la produccin de sus muecos para los prximos dos meses.

Cada mueco insume 2 horas en el sector costura y 1,5 kg. de materia prima. Por mes se

puede dispones de 150 kg. de materia prima y 800 horas de costura. El primer mes, la empresa

se comprometi a entregar 70 muecos y el segundo mes la entrega asciende a 110 muecos.

Puede vender ms de lo pedido, pero no menos.

Cada mueco es vendido a $25, y se incurren en $18 de costos totales por cada uno de

ellos.

Se pide:

a. Construir un modelo para lograr una planificacin que maximice el beneficio. b. Resolverlo en forma grfica. c. Resolverlo en forma analtica y presentar el informe correspondiente.

trabajo practico investigacion de operaciones 1 vs 2

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