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“Año de la Promoción de la Industria Responsable y Compromiso Climático” INGENIERIA DE SISTEMAS INFERENCIA ESTADISTICA Ing. Noel Benito Miranda Yataco INTEGRANTE: Orihuela Roman Jean Carlos HUANCAYO - PERU TRABAJO MONOGRAFICO

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INFERENCIA ESTADISTICA

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TRABAJO MONOGRAFICO

Ao de la Promocin de la Industria Responsable y Compromiso Climtico

INGENIERIA DE SISTEMAS inferencia estadisticaIng. Noel Benito Miranda Yataco

INTEGRANTE:

Orihuela Roman Jean Carlos

HUANCAYO - PERU

2014

INTRODUCCION

Una distribucin de probabilidad indica toda la gama de valores que pueden representarse como resultado de un experimento. Una distribucin de probabilidad es similar al distribucin de frecuencias relativas .Si embargo, en vez de describir el pasado, describe la probabilidad que un evento se realice en el futuro, constituye una herramienta fundamental para la prospectiva, puesto que se puede disear un escenario de acontecimientos futuros considerando las tendencias actuales de diversos fenmenos naturales.Las decisiones estadsticas basadas en la estadstica inferencial son fundamentales en la investigacin que son evaluadas en trminos de distribucin de probabilidades.En el presente trabajo, se estudia de manera gil los diverso tipos de distribucin probabilstica, caracterizaremos cada distribucin, la fundamentacin matemtica de los diversos resultados no se enfocaran en el presente trabajo; slo me limitar al estudio descriptivo de la distribucin de probabilidades discretas.

MARCO TEORICO 1. DISTRIBUCIN DE BERNOULLI Y DISTRIBUCIN BINOMIAL

Ladistribucin de Bernoulli(o distribucin dicotmica), nombrada as por elmatemticoycientficosuizoJakob Bernoulli, es unadistribucin de probabilidaddiscreta, que toma valor 1 para la probabilidad de xito () y valor 0 para la probabilidad de fracaso ().SiXes una variable aleatoria que mide "nmero de xitos", y se realizaun nico experimentocondos posibles resultados(xito o fracaso), se dice que la variable aleatoriaXse distribuye como una Bernoulli de parmetroP.Su formula es:

2. DISTRIBUCION BINOMIAL

B (n, p)FUNCIONES DE PROBABILIDAD:Llamamos funcin de probabilidad f a la aplicacin de E(X) (Espacio Muestral) en el intervalo [0,1] que verifica:f(A) = p(A)Bsicamente se trata de estudiar la probabilidad como una funcin utilizando para su estudio todas las propiedades de las funciones.LA DISTRIBUCIN BINOMIAL:Llamamos experiencia aleatoria dicotmica a aquella que slo puede tener dos posibles resultados A y A'. Usualmente A recibe el nombre de xito, adems representaremos como p = p(A) y q = 1-p=p(A').A la funcin de probabilidad de una variable aleatoria X resultado de contar el nmero de xitos al repetir n veces una experiencia aleatoria dicotmica con probabilidad de xito p la llamamos distribucin binomial y la representamos por B (n, p). Para esta distribucin se verifica que, la variable X puede tomar los valores:0, 1, 2, ... , ny que la variable toma cada uno de estos valores con probabilidad:

Para entender mejor esta parte partimos de un ejemplo para deducir esta frmula y saber de dnde llega que nos permita cualquier problema que tenga este tipo de distribucin.Partimos .Se lanza al aire una moneda normal 3 veces, determine la probabilidad de que aparezcan 2 guilas.Solucin:Antes de empezar a resolver este problema, lo primero que hay que hacer es identificarlo como un problema que tiene una distribucin binomial, y podemos decir que efectivamente as es, ya que se trata de un experimento en donde solo se pueden esperar dos tipos de resultados al lanzar la moneda, guila o sello, cutas probabilidades de ocurrencia son constantes, cada uno de los lanzamientos es independiente de los dems y el nmero de ensayos o repeticiones del experimento son constantes, n = 3.Para dar solucin a este problema, lo primero que hay que hacer es un diagrama de rbol, en donde representaremos los tres lanzamientos, de ah se obtendr el espacio muestral y posteriormente la probabilidad pedida, usando la frmula correspondiente.A = guila, S = sello

=AAA, AAS, ASA, ASS, SAA, SAS, SSA, SSSPara obtener la frmula, definiremos lo siguiente:n = nmero de lanzamientos de monedax = nmero de xitos requeridos = nmero de guilas = 2p = probabilidad de xito= p(aparezca guila) =1/2q = probabilidad de fracaso= p(aparezca sello) =1/2

Entonces podemos partir de la siguiente expresin para desarrollar la frmula ;P(aparezcan 2 guilas)=(No. De ramas del rbol en donde ap. 2 guilas)(probabilidad asociada a cada rama).Entonces el nmero de ramas en donde aparecen dos guilas se puede obtener; Enumerando las ramas de inters, estas seran: AAS, ASA, SAA, QU TIPO DE ARREGLOS SON ESTOS ELEMENTOS DEL ESPACIO MUESTRAL?, Son permutaciones en donde algunos objetos son iguales, entonces, el nmero de ramas se puede obtener con la frmula correspondiente,

Donde n = x1+x2+...+xk .Sustituyendo en esta frmula, tenemos lo siguiente;

Esta frmula puede ser sustituida por la de combinaciones, solo en el caso de dos tipos de objetos, si hay ms de dos tipos de objetos, definitivamente solo se usa la frmula original, como se observar en el caso de la distribucin multinomial, pero por qu vamos a cambiar de frmula?, simplemente porque en todos los libros de texto que te encuentres vas a encontrar la frmula de combinaciones en lugar de la de permutaciones, que es la siguiente,

y sustituyendo valores, nos damos cuenta de que efectivamente son 3 las ramas de inters, que son donde aparecen dos guilas, donde n = 3, x = 2.

Y la probabilidad asociada a cada rama? Probabilidad asociada a cada rama = p(guila)*p(guila)*p(sello)= p*p*q = p2q = ,entonces llegamos a ver la frmula de la distribucin Binomial sera:

Entonces podemos ver que es la misma del comienzo 2.1 PARMETROS DE UNA DISTRIBUCIN BINOMIAL: - Media, Esperanza o valor esperado.

Donde:n = nmero de ensayos o repeticiones del experimentoP = probabilidad de xito o la probabilidad referente al evento del cual se desea calcular la media que se refiere la mediaQ = complemento de P varianza

2.2 EJEMPLOS DE APLICACIN:1.- La ltima novela de un autor ha tenido un gran xito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han leido. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura ,Cul es la probabilidad de que el grupo hayan leido la novela 2 personas?SOL:n = 4p = 0.8q = 0.2B(4, 0.8)

2.Cul es la probabilidad de que el grupo hayan cmo mximo 2?SOL:

3.- Un agente de seguros vende plizas a cinco personas de la misma edad y que disfrutan de buena salud. Segn las tablas actuales, la probabilidad de que una persona en estas condiciones viva 30 aos o ms es 2/3. Hllese la probabilidad de que, transcurridos 30 aos, vivan Las cinco personasSOL: B(5, 2/3) p = 2/3 q = 1/3

4.- Cul es la probabilidad que vivan al menos tres personas?SOL:

5.- Cul es la probabilidad que vivan exactamente dos personas?SOL:

6.- Se dice que el 75% de los accidentes de una planta se atribuyen a errores humanos. Si en un perodo de tiempo dado, se suscitan 5 accidentes, determine la probabilidad de que; a) dos de los accidentes se atribuyan a errores humanos, b) como mximo 1 de los accidentes se atribuya a errores de tipo humano, SOL:a) n = 5x = variable que nos define el nmero de accidentes debidos a errores humanosx = 0, 1, 2,...,5 accidentes debidos a errores de tipo humanop = p(xito) = p(un accidente se deba a errores humanos) = 0.75q = p(fracaso) = p(un accidente no se deba a errores humanos) = 1-p = 0.25

b)

3. DISTRIBUCION GEOMETRICA O PASCAL

La distribucin Geomtrica tambin est relacionada con una secuencia de ensayos de Bernoulli, excepto que el nmero de ensayos no es fijo. En consecuencia, la distribucin geomtrica hereda las caractersticas de la distribucin binomial, a excepcin del concepto del cual se quiere calcular la probabilidad. En este caso la variable aleatoria de inters, denotada mediante X, se define como el nmero de ensayos requeridos para lograr el primer xito. Es obvio que para obtener el primer xito se debe realizar el experimento cuando menos una vez, por lo que los valores que puede tomar la variable aleatoria X son 1, 2, 3, ... , n, esto es, no puede tomar el valor cero. En este caso se cumple que (X = x) si y slo si los primeros (x 1) ensayos son fracasos (q) y el x-simo ensayo es xito (p), por lo que:

P(X = x) =

De acuerdo a lo anterior, podemos decir que:

Una variable aleatoria X se distribuye de acuerdo con un modelo probabilstico geomtrico, si su funcin de probabilidades es:

Algunas puntualizaciones de la definicin de X: Ntese que, en esta definicin, condiciones independientes significa que p, la probabilidad de A, y 1 p, la de su complementario Ac, no varan a lo largo de las sucesivas repeticiones de la experiencia. Tal y como la hemos definido, X se refiere al nmero de lanzamientos hasta que se produce A, pero sin contabilizar el ltimo caso en que se da A. Por dicha razn X puede tomar los valores k = 0, 1, 2, ... con probabilidad no nula.Un ejemplo de este modelo podra ser la experiencia consistente en lanzar sucesivamente un dado regular hasta que aparezca el nmero 6. Si definimos la variable aleatoria X como el nmero de lanzamientos de un dado regular hasta que aparezca un 6, quedaclaro que X sigue una distribucin geomtrica de parmetro p = 1/6. Preguntas: A qu suceso nos referimos cuando decimos X = 0? Cul es la probabilidad de que el primer 6 aparezca en el cuarto lanzamiento? Propiedades del modelo Geomtrico o de Pascal

1) Esperanza: E(X) = (1 p)/p

2) Varianza: V(X) = (1 p)/p2

EJEMPLOS DE APLICACIN

1.- Se lanza un dado hasta que aparece el nmero 6. Cul es la probabilidad de que el nmero de lanzamientos sean 3?

SOL:

En este problema el xito es la aparicin del nmero 6 y la probabilidad de que salga el nmero 6 al lanzar un dado es 1/6, por lo que p = 1/6 y q = 5/6. Como nos interesa calcular la probabilidad de que el 6 aparezca en el tercer lanzamiento, entonces:

P(X = 3) = ()3-1 () = ()2 () = 0.1157

2.- La probabilidad de que cierto anlisis clnico d una reaccin positiva es 0.4. Los resultados de los anlisis son independientes unos de otros Cul es la probabilidad de que la primera reaccin positiva ocurra antes del tercer anlisis?

SOL:Aqu el xito es que salga una reaccin positiva, por lo que p = 0.4 y q = 0.6. Si la primera reaccin positiva debe aparecer antes del tercer anlisis, entonces:

P(X < 3) = P(X = 1) + P(X = 2) = (0.6) 1-1 (0.4) + (0.6)2-1 (0.4) = 0.64

3.- Se tienen 4 llaves de las cuales slo una abre un candado. Se prueban las llaves una tras otra, con reemplazo, hasta encontrar la que abre el candado. Calcular la probabilidad de que el candado se abra despus del segundo intento.

SOL:

Si seleccionamos una llave al azar, la probabilidad de que ste abra el candado es y como el xito es que se abra el candado, entonces p = = 0.25 y q = 0.75. Deseamos encontrar P(X>2).

Sabemos que P(X>2) = 1 P(X2) y que:

P(X2) = P(X = 1) + P(X = 2) = [(0.75) 1-1 (0.25) + (0.75)2-1 (0.25)] = 0.4375

Por lo tanto:

P(X>2) = 1 0.4375 = 0.5625

4.- Tres personas lanzan una moneda y el disparejo paga el caf. Si los tres resultados son iguales, las monedas se lanzan nuevamente. Encontrar la probabilidad de que se necesiten menos de 4 intentos para saber quin paga el caf.

SOL:

En este problema el xito consiste en sacar el disparejo. Lo primero que debemos hacer para resolver el problema, es encontrar el espacio muestral correspondiente al lanzamiento de 3 monedas:

S = {(c, c, c) (c, c, +) (c, +, c) (+, c, c) (c, +, +) (+, c, +) (+, +, c) (+, +, +)}

Podemos apreciar que la magnitud del espacio muestral es 8 y que es un espacio equiprobable. El nmero de resultados en que aparece el disparejo es 6, por lo que p = 6/8 = 0.75 y q = 0.25.Si queremos obtener la probabilidad de que se necesiten menos de 4 intentos para saber quin paga el caf, entonces:

P(x k) = 0.30SOL:De acuerdo a lo visto anteriormente sabemos que a) b)

7. DISTRIBUCIN UNIFORME DISCRETA

Es una distribucin muy sencilla que asigna probabilidades iguales a un conjunto finito de puntos del espacio. Modeliza fenmenos en los que tenemos un conjunto de n sucesos posibles, cada uno de los cuales con la misma probabilidad de ocurrir. Si aleatorizamos de forma que cada uno de stos sucesos se corresponda con un nmero natural del 1 al n obtendremos una distribucin uniforme. Tendremos un nico parmetro; nDiremos, por tanto que Puede hacerse derivar en consecuencia de un proceso experimental de seleccin aleatoria, en el que la caracterstica que consideramos en la seleccin slo puede tomar un conjunto de n valores discretos y donde cualquiera de estos valores puede obtenerse con igual probabilidad. Por su elementalidad no es una distribucin de excesivo inters prctico.Su funcin de cuanta definida para los valores de x ={ 1, 2, , n} vendr dada por la constante: P(x) = l /n para x ={ 1, 2, , n}Su funcin de distribucin vendr dada por

Puede comprobarse que su media ser: Su varianza ser :

Tenemos esta distribucin cuando el resultado de una experiencia aleatoria puede ser un conjunto finito de nposibles resultados, todos ellos igualmente probables.

7.1 EJERCICIOS DE APLICACIN 1.- Sea X, puntuacin en el lanzamiento de un dado regular. Esta variable toma seis valores posibles, todos con la misma probabilidad p = 1/6. La funcin de densidad de esta variable ser:f(k) = P[X = k] = 1/6 k = 1, 2, 3, 4, 5, 6

2.- La funcin de masa de la variable aleatoria X: nmero que aparece al lanzar un dado es:

Planteemos sus caractersticas principales de tendencia central y dispersin. El valor esperado y varianza de una distribucin discreta uniforme se obtienen as: Valor esperado ( )

Varianza (

Para el caso del lanzamiento del dado: el valor esperado y la varianza del nmero de puntos en la cara superior son:

3.- Seleccin de un empleado entre equipo de 10 con el fin de supervisar un proyecto especifico. Esa seleccin se hace al azar utilizando papeleta con nmeros. a- Cul es la probabilidad de que el nmero de la papeleta seleccionado sea menor de 4?

4.- Seleccin de un empleado entre equipo de 10 con el fin de supervisar un proyecto especfico. Esa seleccin se hace al azar utilizando papeleta con nmeros.Cul es la media y la varianza de la distribucin de probabilidad del nmero de la papeleta?

5.- Un jugador lanza un dado corriente. Si sale nmero primo, gana tantos cientos de euros como marca el dado, pero si no sale nmero primo, pierde tantos cientos de euros como marca el dado. Determinar la funcin de probabilidad y la esperanza matemtica del juego.xp ix p i

+100100/6

+ 200200/6

+ 300300/6

- 400-400/6

+ 500500/6

-600- 600/6

100/6

=16.667

8. DISTRIBUCIN NORMAL

La distribucin normal es, sin duda, la distribucin de probabilidad ms importante del Clculo de probabilidades y de la Estadstica. Fue descubierta por De Moivre (1773), como aproximacin de la distribucin binomial. De todas formas, la importancia de la distribucin normal queda totalmente consolidada por ser la distribucin lmite de numerosas variables aleatorias, discretas y continuas, como se demuestra a travs de los teoremas centrales del lmite. Las consecuencias de estos teoremas implican la casi universal presencia de la distribucin normal en todos los campos de las ciencias empricas: biologa, medicina, psicologa, fsica, economa, etc. En particular, muchas medidas de datos continuos en medicina y en biologa (talla, presin arterial, etc.) se aproximan a la distribucin normal. Junto a lo anterior, no es menos importante el inters que supone la simplicidad de sus caractersticas y de que de ella derivan, entre otras, tres distribuciones (Ji-cuadrado, t y F) que se mencionarn ms adelante, de importancia clave en el campo de la contrastacin de Hiptesis estadsticas. La distribucin normal queda totalmente definida mediante dos parmetros: la media (Mu) y la desviacin estndar (sigma).La distribucin normal es de suma importancia en estadstica por tres razones principales: 1. Numerosas variables continuas de fenmenos aleatorios tienden a comportarse probabilsticamente mediante sta. 2. Es el lmite al que convergen tanto variables aleatorias continuas como discretas. 3. Proporciona la base de la inferencia estadstica clsica debido a su relacin con el teorema del lmite central.Propiedades de la distribucin normal 1. Su grafica tiene forma acampanada. 2. El valor esperado, la mediana y la moda tienen el mismo valor cuando la variable aleatoria se distribuye normalmente. 3. Su dispersin media es igual a 1.33 desviaciones estndar. Es decir, el alcance intercuartil est contenido dentro de un intervalo de dos tercios de una desviacin estndar por debajo de la media a dos tercios de una desviacin estndar por encima de la media. En la prctica, algunas de las variables que observamos slo pueden aproximar estas propiedades. As que si el fenmeno puede mediarse aproximadamente mediante la distribucin normal se tendr: 1. Que el polgono puede verse en forma de campana y simtrico. 2. Sus mediciones de tendencia central tienen bastante parecido. 3. El valor intercuartil puede diferir ligeramente de 1.33 desviaciones estndar. 4. El dominio de la variable aleatoria normalmente distribuida generalmente caer dentro de 3 desviaciones estndar por encima y por debajo de la media. El modelo matemtico

El modelo o expresin matemtica que representa una funcin de densidad de probabilidad se denota mediante el smbolo. Para la distribucin normal, se tiene la siguiente funcin de probabilidad.

Donde es la constante matemtica aproximada por 2.71828 es la constante matemtica aproximada por 3.14159 Parmetroses cualquier valor de la variable aleatoria continua, donde As,

En la distribucin normal estndar se sabe que las reas se distribuyen de la siguiente manera: Funcin de Densidad Normal (0,1)

Manejo de tablasLa tabla anexa representa las probabilidades o reas bajo la curva normal calculadas hasta los valores particulares de inters (Transformados). Al observar la tabla se observa que todos los valores deben registrarse primero con hasta dos lugares decimales. Por ejemplo, para leer el rea de probabilidad bajo la curva hasta, podemos recorrer hacia abajo la columna Z de la tabla hasta que ubiquemos el valor de inters (en dcimas). As pues, nos detenemos en la fila. A continuacin, leemos esta fila hasta que intersecamos la columna que contiene el lugar de centsimas del valor (). Por tanto, en el cuerpo de la tabla, la probabilidad tabulada para z=1.57 corresponde a la interseccin de la fila z=1.5 con la columna z=0.07 y es 0.9418.

8.1 EJERCICIOS DE APLICACIN 1.- Si X es una variable aleatoria de una distribucin N(, ), hallar: p(3 X +3)SOL:

Es decir, que aproximadamente el 99.74% de los valores de X estn a menos de tres desviaciones tpicas de la media.

2.- En una distribucin normal de media 4 y desviacin tpica 2, calcular el valor de a para que: P(4a x 4+a) = 0.5934SOL:

3 .- En una ciudad se estima que la temperatura mxima en el mes de junio sigue una distribucin normal, con media 23 y desviacin tpica 5. Calcular el nmero de das del mes en los que se espera alcanzar mximas entre 21 y 27SOL:

4.- La media de los pesos de 500 estudiantes de un colegio es 70 kg y la desviacin tpica 3 kg. Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, hallar cuntos estudiantes pesan:SOL:4.1 Entre 60 kg y 75 kg

4.2Ms de 90 kg

4.3Menos de 64 kg

4.4 De464 kg

4.5 De 564 kg o menos

5.- Se supone que los resultados de un examen siguen una distribucin normal con media 78 y desviacin tpica 36. Se pide:SOL:a) Cul es la probabilidad de que una persona que se presenta el examen obtenga una calificacin superior a 72?

b) Calcular la proporcin de estudiantes que tienen puntuaciones que exceden por lo menos en cinco puntos de la puntuacin que marca la frontera entre el Apto y el No-Apto (son declarados No-Aptos el 25% de los estudiantes que obtuvieron las puntuaciones ms bajas)p class="b">

9. DISTRIBUCIN GAMMA

La distribucin gamma se puede caracterizar del modo siguiente: si se est interesado en la ocurrencia de un evento generado por un proceso de Poisson de media lambda, la variable que mide el tiempo transcurrido hasta obtener n ocurrencias del evento sigue una distribucin gamma con parmetros a= nlambda (escala) y p=n (forma). Se denotaGamma(a,p).Por ejemplo, la distribucin gamma aparece cuando se realiza el estudio de la duracin de elementos fsicos (tiempo de vida). Esta distribucin presenta como propiedad interesante la falta de memoria. Por esta razn, es muy utilizada en las teoras de la fiabilidad, mantenimiento y fenmenos de espera (por ejemplo en una consulta mdica tiempo que transcurre hasta la llegada del segundo paciente).Campo de variacin:0 < x < Parmetros:a: parmetro de escala, a > 0p: parmetro de forma, p > 0Este modelo es una generalizacin del modelo Exponencial ya que, en ocasiones, se utiliza para modelar variables que describen el tiempo hasta que se produce p veces un determinado suceso.Su funcin de densidad es de la forma:

Como vemos, este modelo depende de dos parmetros positivos: y p. La funcin (p) es la denominada funcin Gamma de Euler que representa la siguiente integral:

Que verifica (p + 1) = p(p), con lo que, si p es un nmero entero positivo, (p + 1) = p!Propiedades de la distribucin Gamma1. Su esperanza es p.2. Su varianza es p23. La distribucin Gamma (, p = 1)es una distribucin Exponencial de parmetro . Es decir, el modelo Exponencial es un caso particular de la Gamma con p = 1.4. Dadas dos variables aleatorias con distribucin Gamma y parmetro comn X ~ G(, p1)yY ~ G(, p2) se cumplir que la suma tambin sigue una distribucin Gamma X + Y ~ G(, p1 + p2).Una consecuencia inmediata de esta propiedad es que, si tenemos k variables aleatorias con distribucin Exponencial de parmetro (comn) e independientes, la suma de todas ellas seguir una distribucin G(, k).

9.1 EJERCICIOS DE APLICACION1.- Suponga que cierta pieza metlica se romper despus de sufrir dos ciclos de esfuerzo. Si estos ciclos ocurren de manera independiente a una frecuencia promedio de dos por cada 100 horas. Obtener la probabilidad de que el intervalo de tiempo se encuentre hasta que ocurre el segundo ciclo.

a. Dentro de una desviacin con respecto del tiempo promedio.

b. A ms de dos desviaciones por encima de la media. SOL:

2.- En cierta ciudad el consumo diario de energa elctrica, en millones de kilovatios por hora, puede considerarse como una variable aleatoria con distribucin GAMMA de parmetros = 3 y = 0.5. La planta de energa de esta ciudad tiene una capacidad diaria de 10 millones de KW/hora Cul es la probabilidad de que este abastecimientos sea:a. Insuficiente en un da cualquiera?. b. Se consuman entre 3 y 8 millones de K. W./Hora? c. Encuentre E(x) y V(x).

SOL:

3.-

4.-

5.- Datos

SOL:

10. DISTRIBUCIN EXPONENCIAL

Antes de introducir la variable exponencial puede mirarse un origen natural de sta a partir de una variable aleatoria Poisson, la cual indica el nmero de veces que ocurre un evento en una unidad de tiempo. Si se escribe la funcin de probabilidad Poisson de la siguiente manera:

la probabilidad de que no ocurra algn evento, en el periodo hasta el tiempo est dada por:

De esta manera, puede definirse ahora una variable aleatoria continua que mide el tiempo que tarda en ocurrir el primer evento de Poisson. Es decir,

Lo que permite construir la funcin de distribucin acumulada as:

Al derivar, con respecto a se tiene la funcin de densidad de la variable aleatoria exponencial . Valor esperado:

Varianza:

Observaciones: 1. En la definicin de la variable aleatoria exponencial, sta se plantea como tiempo que tarda en ocurrir el primer evento Poisson. Sin embargo, esta definicin puede hacerse extensiva a las dems unidades de medicin consideradas en los eventos de Poisson, por ejemplo, cantidad de metros de carretera que deben recorrerse hasta que aparezca el primer bache, cantidad de que deben inspeccionarse en una hacienda hasta que aparezca el primer cafetal de broca, etc. 2. En el lenguaje de las aplicaciones tambin se utiliza la distribucin exponencial para modelar tiempo entre eventos, distancia entre eventos, volumen entre eventos. Ejemplo Supngase que la duracin de los instrumentos electrnicos D y D tienen distribuciones Exponenciales asi : DDCual se debe preferir para usarlo durante un periodo de 45 horas? Debera preferirse aquel instrumento que de mayor garanta de duracin para un mnimo de tiempo como el requerido, es decir, debe calcularse la probabilidad de que el instrumento dure por lo menos 45 horas, en cada caso.

El instrumento dos tiene mayor probabilidad de tener duracin de 45 o ms horas. Comprueba los anteriores resultados utilizando la funcin de distribucin.

10.1 EJERCICIOS DE APLICACIN 1.- El tiempo durante el cual cierta marca de batera trabaja en forma efectiva hasta que falle (tiempo de falla) se distribuye segn el modelo exponencial con un tiempo promedio de fallas igual a 360 das.a)qu probabilidad hay que el tiempo de falla sea mayor que 400 das?. b)Si una de estas bateras ha trabajado ya 400 das, qu probabilidad hay que trabaja ms de 200 das ms?c)Si se estn usando 5 de tales bateras calcular la probabilidad de que ms de dos de ellas continen trabajando despus de 360 das. SOL:Sea X=el tiempo que trabaja la batera hasta que falle. El tiempo promedio de falla es de 360 das. Entonces, X ~Exp (=1/360) y su funcin de densidad es:

2.- Suponga que la vida de cierto tipo de tubos electrnicos tiene una distribucin exponencial con vida media de 500 horas. Si X representa la vida del tubo (tiempo q dura el tubo).a)Hallar la probabilidad que se queme antes de las 300 horas.b)Cul es la probabilidad que dure por lo menos 300 horas?c)Si un tubo particular ha durado 300 horas. cal es la probabilidad de que dure otras 400 horas?SOL:

3.- Suponga que el tiempo que necesita un cajero de un banco para atender a un cliente tiene un distribucin exponencial con una media de 40 segundos.a)Hallar la probabilidad que el tiempo necesario para atender un cliente dado sea mayor que 20 minutos?b)Cul es la probabilidad que el tiempo necesario para atender a un cliente est comprendido entre 1 y 2 minutos.SOL:

4.-Se ha comprobado que el tiempo de vida de cierto tipo de marcapasos sigue una distribucin exponencial con media de 16 aos. Cul es la probabilidad de que a una persona a la que se le ha implantado este marcapasos se le deba reimplantar otro antes de 20 aos? Si el marcapasos lleva funcionando correctamente 5 aos en un paciente, cul es la probabilidad de que haya que cambiarlo antes de aos? SOL:Sea T la variable aleatoria que mide la duracin de un marcapasos en una persona. Tenemos que

Entonces

11. DISTRIBUCIN CHI- CUADRADO

La denominada Distribucin Chi Cuadrado (que usualmente se escribe y se lee como: Ji Cuadrado), es una distribucin cuadrtica de la probabilidad que utiliza bsicamente variables aleatorias continuas. La Distribucin Chi Cuadrado de la probabilidad se denota mediante la letra griega minscula ji elevada al cuadrado (2), y consiste en establecer un espacio continuo delimitado por la suma de los cuadrados de n variables aleatorias que son independientes entre s, espacio dentro del cual la variable X puede asumir cualquiera de los infinitos valores que lo conforman, y por tanto para establecer el valor aproximado de una variable X dentro de ese espacio se procede a incluir una estimacin de sus posibles lmites que estn dados por los distintos Grados de Libertad que pueden existir entre las variables aleatorias analizadas que dan origen al referido espacio. En otras palabras, la Distribucin Chi Cuadrado en un delimitado espacio conjuga un determinado nmero de variables aleatorias independientes entre s, con unos valores de probabilidad ubicados entre 1 y 0 que son atribuibles a esas variables, y con unos lmites de la probabilidad para el verdadero valor de X delimitados por los Grados de Libertad atribuibles a las variables aleatorias analizadas.La Distribucin Chi Cuadrado permite calcular la probabilidad existente para que una variable X, que tiene un determinado Grado de Libertad frente a otras variables del mismo conjunto, permanezca dentro de unos lmites ideales previstos para X cuando tiene ese especfico Grado de Libertad o independencia. En otras palabras, la Distribucin Chi Cuadrado suministra un modelo ideal sobre los lmites probables que deberan regir las fluctuaciones en la aparicin de un determinado valor aleatorio X dependiendo del Grado de Libertad que tiene ese valor frente a otras variables similares dentro de un conjunto de datos analizados. La frmula matemtica para calcular la probabilidad de que una variable X permanezca dentro del lmite ideal correspondiente al respectivo Grado de Libertad es la siguiente:

En esta ecuacin la letra k que aparece como un subndice de la expresin 2 indica el Grado de Libertad que se toma como lmite para calcular la probabilidad de la variable aleatoria X. Esta ecuacin para ser despejada requiere el uso de la compleja Funcin Gamma (representada por la letra griega mayscula gamma: ), y por tanto generalmente para solucionar esta ecuacin se emplean mtodos basados en la consulta de tablas o en el uso de algoritmos para ordenador que permiten obtener los valores de probabilidad respectivos.Representacin Grfica del Modelo Ideal de la Distribucin Chi Cuadrado:

Un concepto matemtico es mucho ms fcil de comprender si se puede visualizar la forma que generalmente asume en el abstracto mundo de los nmeros.

La anterior grfica muestra los valores de la probabilidad de ocurrencia de X dentro de una Distribucin Chi Cuadrado. En el eje horizontal de las coordenadas se observa que de derecha a izquierda se incluyen todos los valores posibles que puede asumir la variable aleatoria X. Estos valores siempre corresponden a nmeros positivos (no admite nmeros negativos o menores a cero), y tales valores pueden ir desde cero (0) hasta el infinito (), aunque en esta grfica para efectos ilustrativos slo se han incluido algunos valores relevantes ubicados entre 0 y 50. En el eje vertical se han incluido algunos valores representativos de la probabilidad, y por eso ese eje slo admite valores ubicados entre cero (que equivale a Muy Improbable) y 1 (que equivale a Muy Probable). Las lneas curvas numeradas de color verde, que desde la parte superior derecha hasta la parte inferior izquierda surcan toda la grfica, representan algunos Grados de Libertad aplicables a todos los valores que puede asumir X dentro de este espacio perfectamente delimitado.

Para calcular la probabilidad que tiene la variable X de aparecer dentro de un determinado intervalo delimitado por cierto Grado de Libertad, es necesario obtener el punto de la respectiva lnea roja (Grado de Libertad) en que se produce la interseccin con la lnea recta prolongada desde el valor X ubicado en el eje horizontal, y a continuacin desde ese punto de interseccin es necesario prolongar una lnea recta hasta el eje vertical que nos da el valor de la respectiva probabilidad de ocurrencia para la variable X.Recordemos que si la variable aleatoria contina X tiene una distribucin Gamma, entonces su funcin de densidad de probabilidad es

Con parmetros > 0 y r > 0. Donde E(X) = r/ y V(X) = r/Sea X una variable aleatoria continua. Diremos que X tiene una distribucin Chi cuadrado con m grados de libertad si su funcin de densidad de probabilidad est dada por

Esta funcin es un caso especial de la funcin de distribucin Gamma en el cual hacemos = 1/2 y r = v/2.Observaciones.1. es la notacin que emplearemos para afirmar que X tiene una distribucin Chi-cuadrado2. v representa el nmero de grados de libertad con el cual se evala los valores de esta distribucin.3. El valor esperado de X es E(X) = v. Su varianza es V(X) = 2v4.La mayora de libros presentan una tabla de la Distribucin usando el complemento de la distribucin acumulada; es decir, . En realidad la distribucin ji-cuadrada es la distribucin muestral de s2. O sea que si se extraen todas las muestras posibles de una poblacin normal y a cada muestra se le calcula su varianza, se obtendr la distribucin muestral de varianzas.Para estimar la varianza poblacional o la desviacin estndar, se necesita conocer el estadstico X2. Si se elige una muestra de tamao n de una poblacin normal con varianza , el estadstico:

Tiene una distribucin muestral que es una distribucin ji-cuadrada con gl=n-1 grados de libertad y se denota X2 (X es la minscula de la letra griega ji). El estadstico ji-cuadrada esta dado por:

Donde n es el tamao de la muestra, s2 la varianza muestral y la varianza de la poblacin de donde se extrajo la muestra. El estadstico ji-cuadrada tambin se puede dar con la siguiente expresin:

Propiedades de las distribuciones chi-cuadrada1. Los valores de X2 son mayores o iguales que 0.2. La forma de una distribucin X2 depende del gl=n-1. En consecuencia, hay un nmero infinito de distribuciones X2.3. El rea bajo una curva ji-cuadrada y sobre el eje horizontal es 1.4. Las distribuciones X2 no son simtricas. Tienen colas estrechas que se extienden a la derecha; esto es, estn sesgadas a la derecha.5. Cuando n>2, la media de una distribucin X2 es n-1 y la varianza es 2(n-1).6. El valor modal de una distribucin X2 se da en el valor (n-3).La siguiente figura ilustra tres distribuciones X2. Note que el valor modal aparece en el valor(n-3) = (gl-2).

La funcin de densidad de la distribucin X2 esta dada por:Para x>0La tabla que se utilizar para estos apuntes es la del libro de probabilidad y estadstica de Walpole, la cual da valores crticos (gl) para veinte valores especiales de. Para denotar el valor crtico de una distribucin X2 con gl grados de libertad se usa el smbolo (gl); este valor crtico determina a su derecha un rea de bajo la curva X2 y sobre el eje horizontal. Por ejemplo para encontrar X20.05(6) en la tabla se localiza 6 gl en el lado izquierdo y a lo largo del lado superior de la misma tabla.

10.1 EJERCICIOS DE APLICACIN 1.-

SOL:

2.- Suponga que los tiempos requeridos por un cierto autobs para alcanzar un de sus destinos en una ciudad grande forman una distribucin normal con una desviacin estndar =1 minuto. Si se elige al azar una muestra de 17 tiempos, encuentre la probabilidad de que la varianza muestral sea mayor que 2.SOL:Primero se encontrar el valor de ji-cuadrada correspondiente a s2=2 como sigue:

El valor de 32 se busca adentro de la tabla en el rengln de 16 grados de libertad y se encuentra que a este valor le corresponde un rea a la derecha de 0.01. En consecuencia, el valor de la probabilidad es P(s2>2)

3.- Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 25 observaciones, de una poblacin normal con varianza , tenga una varianza muestral: Mayor que 9.1 Entre 3.462 y 10.745SOL:

Al buscar este nmero en el rengln de 24 grados de libertad nos da un rea a la derecha de 0.05. Por lo que la P(s2 >9.1) = 0.051. Se calcularn dos valores de ji-cuadrada:y Aqu se tienen que buscar los dos valores en el rengln de 24 grados de libertad. Al buscar el valor de 13.846 se encuentra un rea a la derecha de 0.95. El valor de 42.98 da un rea a la derecha de 0.01. Como se est pidiendo la probabilidad entre dos valores se resta el rea de 0.95 menos 0.01 quedando 0.94.Por lo tanto la P(3.462 s2 10.745) = 0.94

3.- Indique cuales son las frmulas para varianza en chi cuadrada y el valor de que depende Para poder estimar la varianza de una poblacin normal se utilizar la distribucin ji-cuadrada.

Al despejar esta frmula la varianza poblacional nos queda:

Los valores de X2 dependern de nivel de confianza que se quiera al cual le llamamos . Si nos ubicamos en la grfica se tiene:

4.-Los siguientes son los pesos, en decagramos, de 10 paquetes de semillas de pasto distribuidas por cierta compaa: 46.4, 46.1, 45.8, 47.0, 46.1, 45.9, 45.8, 46.9, 45.2 y 46. Encuentre un intervalo de confianza de 95% para la varianza de todos los paquetes de semillas de pasto que distribuye esta compaa, suponga una poblacin normal.SOL : Primero se calcula la desviacin estndar de la muestra:

Al elevar este resultado al cuadrado se obtiene la varianza de la muestra s2= 0.286. Para obtener un intervalo de confianza de 95% se elige un = 0.05. Despus con el uso de la tabla con 9 grados de libertad se obtienen los valores de X2.

Se puede observar en la grfica anterior que el valor de X2 corre en forma normal, esto es de izquierda a derecha. Por lo tanto, el intervalo de confianza de 95% para la varianza es:

Grficamente:

Se observa que la varianza corre en sentido contrario, pero esto es slo en la grfica. La interpretacin quedara similar a nuestros temas anteriores referentes a estimacin. Con un nivel de confianza del 95% se sabe que la varianza de la poblacin de los pesos de los paquetes de semillas de pasto esta entre 0.135 y 0.935 decagramos al cuadrado.5.- En trabajo de laboratorio se desea llevar a cabo comprobaciones cuidadosas de la variabilidad de los resultados que producen muestras estndar. En un estudio de la cantidad de calcio en el agua potable, el cual se efecta como parte del control de calidad, se analiz seis veces la misma muestra en el laboratorio en intervalos aleatorios. Los seis resultados en partes por milln fueron 9.54, 9.61, 9.32, 9.48, 9.70 y 9.26. Estimar la varianza de los resultados de la poblacin para este estndar, usando un nivel de confianza del 90%.SOL:Al calcular la varianza de la muestra se obtiene un valor de s2= 0.0285. Se busca en la tabla los valores correspondientes con 5 grados de libertad, obtenindose dos resultados. Para X2(0.95,5)= 1.145 y para X2(0.0,5)= 11.07. Entonces el intervalo de confianza esta dado por:y

12. DISTRIBUCION T DE STUDENT

La distribucin t de Student se construye como un cociente entre una normal y la raz de unaJi-cuadrado independientes. Esta distribucin desempea un papel importante en la inferencia estadstica asociada a la teora de muestras pequeas. Se usa habitualmente en el contraste de hiptesis para la media de una poblacin, o para comparar las medias de dos poblaciones, y viene definida por sus grados de libertad n. A medida que aumentan los grados de libertad, la distribucin t de Student se aproxima a una normal de media 0 y varianza 1 (normal estndar).La distribucin t de student (desarrollada por Gosset ) es , con la chi2 , la F de Snedecor, y , por supuesto, la normal , transcendental para aplicaciones inferenciales , en especial para aquellas en las que se desconoce la varianza ; dado que no depende de las varianzas de las variables que la integran. Su expresin formal parte de dos variables X e Y tales que:

e De manera que Siendo t una nueva distribucin conocida como t de student con n grados de libertad.La distribucin t de student. Admite, tambin, una definicin alternativa, tomada como la distribucin marginal de la primera variable de una distribucin "normal-gamma; en este sentido la expresin de su funcin de densidad vendra dada por:

Siendo n los grados de libertad que actan de parmetro y la funcin gamma de EulerLa distribucin t de student con n grados de libertad tiene siempre como media el valor "0" , sea cuales fueren los grados de libertad ; es simtrica ,asintticamente tiende a ,de forma campaniforme , al igual que la distribucin normal, teniendo como varianza el valor Los valores de la funcin de probabilidad para los diversos estn tabulados atendiendo al nico parmetro de la distribucin, es decir, el nmero de grados de libertad ; evidentemente , es ms recomendable para su clculo la utilizacin del programa que presentamos.En otro orden de cosas la distribucin t de student con n grados de libertad converge en ley a una normal tipificada (estandarizada) cuando el nmero de grados de libertad tiende a infinito

11.1 EJERCICIOS DE APLICACIN

Es importante resaltar que al ser una distribucin simtrica al tener informacin sobre un valor positivo, se obtiene el dato para el mismo valor con signo negativo. Un hecho de relevancia significativa, es que se utiliza para calcular probabilidades con respecto al promedio, en estos casos, el divisor al estandarizar los valores se divide sobre S/ n, trmino que se conoce como el error estndar de la media y mide la variabilidad de la media entre muestra y muestra. A mayor tamao de muestra, menor es el error estndar de la media. Por ltimo, se puede afirmar, la distribucin t es til para realizar inferencias acerca de la media poblacional cuando no se conoce s y la poblacin es normal, independiente del n, no obstante, an cuando la distribucin sea un tanto sesgada, la t sigue siendo apropiada, esto se conoce como una distribucin robusta, es decir, a cambios moderados de los supuestos, el modelo sigue siendo valido. Como en el caso de la distribucin normal, sta distribucin tambin usa valores tabulados, tal como se aprecian en la tabla precedente, teniendo en cuenta, que a medida que los g.l aumenten los valores tienden a ser igual a los encontrados en la tabla Z. 1.- Los valores de las matriculas de estudiantes en una universidad privada tienen un comportamiento aproximadamente normal, donde el promedio es de 2.100.000. Se seleccionan 8 liquidaciones, siendo los valores los siguientes: 1.950.000, 2.100.000, 2.250.000, 1.890.000, 2.250.000, 1.950.000, 2.050.000, 2.350.000. Determine la probabilidad de que: El promedio sea menor de 2.000.000. El promedio se encuentre entre 2.000.000 y 2.200.000 El promedio sea mayor o igual a 2.500.000 SOL: Sea X = Liquidacin matriculas. m = 2.100.000; s =? ,=2.098.750 s=168.644.8085 n=8 a) P(