Departamento de Matemática Aplicada

MATEMATICAS I. Curso 2011-12

Grado en Ingeniería Química

Trabajos dirigidos

①Una varilla de longitud 2 cm tiene una densidad lineal de masa que depende de la posición

según la fórmula 2( ) 2x x x .

a) Dibuja la gráfica de la función de densidad.

b) Calcula a qué distancia x la densidad tiene un máximo.

2

2 2 2

2

2 2 2(1 ) 1( ) 2 '( ) ;

2 2 2 2 2

1'( ) 0 0 1 0 1

2

x x xx x x x

x x x x x x

xx x x

x x

2

2

22

11( 2 ) .(1 )

1 2''( ) 1

22

xx x x

x x xx MÁXIMO x

x xx x

c) Calcula su masa, es decir:

2

0( )m x dx

2 2 22 2 2

0 0 0

22

0

22

0

( ) 2 ( 1 2 ) 1. ( 2 1) 1.

( 1) 1. 1}

1 .

m x x x dx x x dx x x dx

I x dx u x

I u du

Aplicando las propiedades de la integración de funciones irracionales reciprocas llegamos al

siguiente resultado:

21(( 1 ) ( ))

2m u u arcsen u

Ahora realizamos un cambio de base, ya que tenemos en vez de en x , lo tenemos en u .Si

teníamos que x era 0 y 2. Como tenemos que 1u x ; obtenemos que:

1 2 1 1

1 0 1 1

u x u u

u x u u

Para acabar sustituimos los nuevos límites con u :

2 2

0 0

1 1[(1 1 1 (1))] [ 1 1 ( 1 ) ( 1))]

2 2

1 1( ) ( )

2 2 2 2 4 4 2

arcsen arcsen

d) Calcula su centro de gravedad, es decir:

2

0

1. ( )Gx x p x dx

m

1

22

0

2 2 12 2 2

10 0 1

12

( 1)

1(2 1) 1 ( 1) 1 1

1

1 1

G

I

x x x x dxm

u x

u xI x x x x x x u

x u

Lim y

1 1 1 12 2 2 2 4 2

11 1 1 1

12

1 1 1 12 2 2

1 1 1 11

0

( 1) 1 1 1 1

1 ( ) 1 02 2 2 2

I u u u u u u u u

uu u u u

1 2. . 12 2

Gxm

e) Calcula el momento de inercia respecto al origen de coordenadas, es decir: 2

2

00

( )I x p x dx

f) Calcula su momento de inercia respecto al centro de gravedad, es decir: 2

2

1 20

( , ) ( ) ( )GP t t x x p x dx

2 2 2

2 2 2 2 2

0 0 0

12

2 1 1 1 12 2 2 2 2 4 2 2

0 1 1 1 11

12

1

( 1) ( ) ( 1) 2 ( 1) (2 1) 1 1

( 1) 1 1 ( )2

1 10

2 2 2

GI x p x x x x x x x u x

ux u u u u u u u

u

② La densidad de probabilidad de que un suceso ocurra en un tiempo t sigue una ley

empírica dada por 2( ) tp t Kt e . La probabilidad de que el suceso ocurra en algún momento

en el intervalo 1 2( , )t t viene dada por:

2

11 2( , ) ( )

t

tP t t p x dx

a) Sabiendo que el suceso va a ocurrir en algún momento, calcula el valor de K .

(Entonces la probabilidad (0, )P debe valer 1).

1

2

2 2

0

1 1

2

2

2 .(0, ) 2

(0, ) 2 ( )

2 2 2lim[ ( )] (2 ' ) 1 0 1 ;

t t t

t t

I

t t t

t t

t t t

t t t tt

u t du t dtP Kt e t Ke k te dt

dv e dt v e

u t du dtI te dt I te e

dv e v e

P Kt e K te e

t tK xL H K K K K

e e e e

b) Dibuja la gráfica de la densidad de probabilidad entre 0 y 100.

③Para cada par de condiciones siguientes, encuentra y dibuja una función que las cumpla:

a) 2'( ) 6 5f x x y (1) 3f

23

2

3 3

3

6( ) 6 5 5

3

( ) 2 5 3 (1) 2 5 3

2 5 3 6

2 5 6 0

xf x x x

f x x x K f x x K

K K

x x

Gráfica:

b) '( ) ( ) 1f x sen x y (1) 3f

( ) ( ) 1 ( ) cos( )

cos( ) ; (0) 1;1 cos(0) 1 1

( ) cos( ) 1 0

f x sen x sen x dx dx x x K

x x K f K K

f x x x

c) 2

'( )1

xf x

x

y (2) 1f

2 2 2

2 2

2

1 ( 1) 1 ( 1)

( 1)

( 1) ( 1)

1 11 0 1

0 1

1 1 1ln | 1|

1 ( 1) 1

x x A B

x x x x

A x B Ax A Bx

x x

A AA B A B A B

B A B

x Kx x x

1 1(2) ln | 1| 1 ln |1| 1

1 1f x K K

x

0 1 1

2

K

K

1( ) ln | 1| 2 0

1f x x

x

d) '( ) ( )f x f x y (0) 1f

( ) xf x e

'( ) ( )

'( ) ( )

x x xf x e f x e e

f x f x

0 1 (0) 1e f

④ Dada una función ( )y f x , continua en todo , se puede descomponer en dos partes,

( )P x e ( )I x , simétricas, par e impar respectivamente, de manera que ( ) ( ) ( )f x P x I x .

Para ello basta tomar ( ) ( )

2

f x f xI

, y

( ) ( )( )

2

f x f xP x

. Para la función

( ) cos( 1)f x x ,

a) Dibuja la función.

b) Calcula y dibuja sus partes par e impar.

IMPAR PAR

( ) ( )( )

2

f x f xI x

( ) ( )( )

2

f x f xP x

cos( 1) cos( 1)( )

2

x xI x

cos( 1) cos( 1)( )

2

x xP x

c) Calcula la integral 3

3

( )f x dx

3 3 3

33 3( ) cos( 1) ( 1) (4) (2) 0,209354f x x sen x sen sen

d) Calcula la integral 3

0

2 ( )P x dx

3 3 3 3

3 3 3 3

3 3

3 3

cos( 1) cos( 1)2 cos( 1) cos( 1) cos( 1) cos( 1)

2

( 1) ( 1) 0,3049

x xx x x x

sen x sen x

Repita los cálculos anteriores para la función 2( ) cos( 1) 1g x x x . Como no se puede

obtener una expresión de la integral, haz una evaluación numérica de la misma.

2( ) cos( 1) 1g x x x

2 2

2 2

[cos( 1) 1] [cos ( ) 1 1]( )

2

[cos( 1) 1] [cos ( ) 1 1]( )

2

x x x xP x

x x x xI x

Evaluación Numérica

-5 0,8705

-4 0,1057

-3 0,1204

-2 0,8394

-1 1,5403

0 1,5403

1 0,8394

2 0,1204

3 0,1057

4 0,8705

5 1,7548

⑤ Dada la función 2

1

1y

x

,

a) Calcula sus puntos críticos. 0

2

2 2

2 2 2

2 2 2 4

0( 1) 2 (1)'( ) 0 2 0 0 .

( 1)

2 2( 1) 4 ( 1)2'( ) ''( ) . 0

( 1) ( 1)

x xy x x x Pto Crítico

x

x x x x xy x y x MÁXIMO x

x x

b) ¿En qué puntos tiene la recta tangente a la curva su pendiente máxima?

Recta tangente a la curva '( ) ( )y x z x

2 2

2 2 2 2

2 2 2 4

2( )

( 1)

2 2( 1) 8 ( 1)( ) '( ) 0

( 1) ( 1)

xz x

x

x x x xz x z x MAX MIN

x x

2 2 4 2

4 2 4 2

14 2

2

8 ( 1) 2( 2 1)

8 8 2 4 2

1

6 4 2 3

1

x x x x

x x x x

xx x

x

c) Dibuja la gráfica y las rectas tangentes en dichos puntos.

Calcula en que puntos es máxima pendiente de la tangente a la función ( )y sen x .

( )

'( ) cos( ) ( )

'( ) cos( )

cos( ) 0

(0) .2

y sen x

y x x P x Pendiente

P x x

x

x arcsen Pto Maximo

⑥ La cantidad de luz que llega a una superficie es proporcional a la intensidad de la fuente

luminosa, inversamente proporcional al cuadrado de la distancia de la distancia desde dicha

fuente a la superficie, y proporcional al seno de ángulo de incidencia de la luz (ángulo que

forma el rayo con la horizontal. Se tiene una estancia cilíndrica de radio 5 m y altura otros 5 m.

Determina a que distancia se ha de colocar el foco de luz para que las esquinas reciban la

máxima iluminación.

⑦El cometa Halley sigue una trayectoria alrededor del Sol dada por la ecuación en

coordenadas polares

0,5716( )

1 0,968cos( )r

.

a) Dibuja la gráfica en coordenadas polares de la trayectoria.

b) Calcula el máximo y el mínimo del radio.

1

2

0,5716 0(1 0,968cos( )) 0,968sin( )( ) '( ) 0

1 0,968cos( ) (1 0,968cos( ))

0,968sin( )'( ) 0 sin( ) 0 sin 0 0

(1 0,968cos( ))

r r

r

2

4

0,968sin( )''( )

(1 0,968cos( ))

( 0,968cos( ) (1 0,968cos( )) (0,968sin( ) (0,968sin( )''( )

(1 0,968cos( ))

r

r Maximo

( ) 0,29r

c) Sabiendo que cos( )x r , calcula dx

d

cos( )cos( )

0,5716 0,5716cos( ) 0,5716sin( )0,5904

cos( ) 1 0,968cos( ) 1 0,968cos( ) 0,968sin( )

xx r r

x dx dxx

d d

⑧ La ecuación de estado de Van der Waals viene dada por: 2

2

nRT anp

V b V

Calcula los valores de los parámetros a y b de la ecuación anterior sabiendo que la tangente a

la isoterma en el puntico ( , , )c c cp T V debe ser horizontal y además un punto de inflexión.

Aplicando lo anterior dibuja la isoterma correspondiente a la temperatura crítica de un mol de

agua cuyos parámetros son ( 218,3cp atm, 0,056cV l y 647,4cT ºK ) .

2

2

2 3

2

2 3 3

20

( )

2 60 .

( )

T

T

nRT anp

V b V

dp RT aHorizontal

dV V b V

d y RT aPto Inflexión

d x V b V

32

3 4

3 2

2 3 2 3

20

1 2 6 4( )6 6 4 2 6 3

2 62 6( ) ( )0( )( )

2 2 80 27 8

( ) (2 ) 27 27

RT a

VV bV b V V b V b

RT a V V b

V b VV b V

RT a RT a ab RT b a T

V b V b b bR

2 2 2 2

2 2

8 8

827 27

( ) 3 2 54 9

1

27 27

Ra Ra

RT a a Ra abR bRp p pV b V b b b V b R b

a ap p

b b

Segunda Parte:

0,0560,056 3 0,056 0,1866

3cV b b

2218,3 218,3 (218,3).(27.(0,1866)) 1099,83 1099,83

27c

aP a a

b

⑨ La ecuación de la recta que mejor aproxima a una función ( )y f x en el punto 0x se

puede obtener tomando una recta genérica ( )r x mx n y exigiendo que ambas funciones y

sus derivadas sean iguales en dicho punto. De ésta manera se obtiene: '(0) (0)r f r n y

'(0) '(0)f r m , siendo por tanto la recta que buscamos '(0) (0)r f x f , es decir, la

recta tangente en 0x .

De manera análoga se puede proceder para obtener un polinomio de cualquier grado que

aproxime a una función en 0x . Realiza los mismos cálculos para obtener los coeficientes de

la parábola (polinomio de segundo grado) que mejor ajuste a la función en 0x .

Aplica lo anterior para obtener la recta y la parábola que mejor aproximen a la función 27 log( 3)y x x en el punto 0x .

( )y f x 0x

2

2

( )

(0) (0)

'(0) '(0)

''(0) ''(0)? 2

''(0) '(0) (0)tg

p x ax bx c

f r c

f r ax b b

f r a

R f x f x f

2

2

20

0

( ) 7 log( 3)

1'( ) 14 log( 3) [7 ]log

3

log 1''( ) 14log( 3) [14 ] log [14 ]

3 ( 3)

(0) log3

'(0) 0

log3 125''(0) 14log3 log3 6,62

9 9

y x x x

y x x x x ex

ey x x x e x

x x

y

y

y

2

2

( ) 2

(0) 13,25 log3

tg

tg

R x ax bx c

R x