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Capítulo 2

2. Diseño de un banco de filtros pasivos para un punto de operación En este capítulo se analiza el primer método estudiado para el diseño de bancos de filtros pasivos para un sistema eléctrico industrial como el mencionado en el capítulo anterior. En este método se utiliza un enfoque lineal determinístico, es decir, el problema se estudia para un sistema de potencia en donde se supone que los parámetros y el punto de operación del sistema son constantes.

Esto implica que el sistema eléctrico industrial es invariable al igual que las restricciones y puntos de operación considerados para la selección del mejor filtro o conjunto de filtros.

2.1. Descripción del sistema eléctrico de referencia En el punto 1.4.1 se describió el sistema eléctrico de referencia a utilizar en este trabajo. Ahora se procederá al desarrollo de las ecuaciones que lo describen para el presente método de optimización.

2.1.1. Circuito armónico equivalente Si la red y la carga están equilibradas los armónicos presentes en la intensidad del sistema y la tensión de la carga serán cada uno de una secuencia, según se muestra en la Tabla 3, y el análisis puede realizarse mediante un circuito equivalente monofásico.

Tabla 3 Correspondencia entre las secuencias y el orden de armónicos

Secuencia ArmónicosDirecta 1,4,7,10,13,16...Inversa 2,5,8,11,14,17...

Homopolar 3,6,9,12,15,18...

Cuando la red es desequilibrada y la carga no es ideal, cada armónico ya no pertenecerá a una sola secuencia sino que cada armónica presentará todas las secuencias. Sin embargo, los armónicos de secuencia homopolar serán nulos o muy pequeños en comparación con los de secuencia directa e inversa, pudiendo despreciarse. En esta situación puede aplicarse la transformada de Park para transformar de un sistema trifásico a otro bifásico caracterizado por vectores de Park.

Dadas unas magnitudes del sistema eléctrico, se define la transformación de Park de la forma:

� ��DISEÑO�DE�UN�BANCO�DE�FILTROS�PASIVOS�PARA�UN�PUNTO�DE�OPERACIÓN�

� � �11�

�

� ��

��

��

En ausencia de componente homopolar, el sistema trifásico puede definirse mediante el vector de Park:

� �� Este vector, dado que las señales son periódicas, puede descomponerse en una serie compleja de Fourier:

� �� !"#� $%#&'()*)

�+�Dado que las tensiones e intensidades tienen un contenido armónico, es posible utilizar un circuito armónico equivalente similar a los circuitos monofásicos. Para construir el circuito equivalente correspondiente al armónico k-ésimo, representado en la Figura 5, la red y el transformador se sustituyen por su impedancia equivalente ,-#, el motor, al ser una carga lineal, por ,.# y la carga no lineal por una fuente de intensidad que inyecta la corriente armónica para dicha frecuencia.

Figura 5 Circuito equivalente para el método determinístico de un punto de operación

2.1.2. Cálculo de las magnitudes eléctricas del circuito Calculando la impedancia equivalente del sistema eléctrico industrial que englobe a la carga lineal y al compensador que se utilice, para lo cual se agrupa en paralelo.

� "$/# �,0# � �� 12# ��


� � �12�

�

Las expresiones que definen las susceptancias del compensador para un armónico determinado en función de los valores de los condensadores y del orden del armónico dependen de si se coloca un banco de condensadores o un banco de filtros sintonizados.

� 3456$578649: 12# ;<3=>0�94�7>5�45>?864 80 89@45>24 ;A: 12# ;<3� � �; ;AB �C� �D�

Aplicando las leyes de Kirchhoff al circuito equivalente se obtienen las siguientes ecuaciones:

� E-# ,-#� F-# � E# �G�� E# ,$/#� HF-# � FI#J �K�

Despejando de las ecuaciones anteriores E# e F-# se llega a las expresiones:

� E# ,-#,-#� "$/# � � � LE-#,-# � FI#M �� F-# E-#� "$/# � FI#,-#� "$/# � � ��

Las funciones que proporcionan la intensidad y la tensión en función del tiempo en el dominio de Park son:

� >-�� !F-#� $%#N'# �� O�� !E-#� $%#N'# ��

2.2. Los filtros pasivos y las resonancias: transmitancias frente a frecuencia Al diseñar filtros sintonizados para la reducción de armónicos en sistemas eléctricos industriales es necesario tomar en cuenta ciertos aspectos importantes. Uno de estos son las aproximaciones que se consideran para resolver el problema. Se suele considerar que algunas variables no se ven afectadas por la introducción del compensador de reactiva. Para este estudio la variable más importante que se puede considerar constante es la tensión de la red, dando dos casos diferentes si se considera constante (potencia de cortocircuito infinita) o variable (potencia de corto circuito finita).


� � �13�

�

2.2.1. Carga conectada a un sistema de potencia de cortocircuito infinita Para realizar la optimización del filtro es posible utilizar muchas funciones objetivo, para una formulación general llamaremos esta función P. El compensador que minimiza dicha función deberá cumplir la expresión (14):

� QPQ3 � �� Si la carga está conectada a un sistema de potencia de cortocircuito infinita la tensión aplicada a la misma no dependerá de los valores de los condensadores del compensador. Se está por tanto despreciando la impedancia de la red. En éste caso al desarrollar la ecuación (14) para una de las funciones objetivo sólo se tendrán que tener en cuenta las derivadas de las susceptancias del compensador con respecto a los valores de los condensadores. Para todos los casos, al ser la función a minimizar normalmente cuadrática, el problema tiene solución única (14).

2.2.2. Carga conectada a un sistema de potencia de cortocircuito finita Cuando la tensión de la carga no puede considerarse constante debido a la presencia de una impedancia del sistema, tal y como puede verse en la Figura 5, las derivadas de la tensión en la carga respecto al valor de la capacidad del compensador deben ser tomadas en cuenta.

Hay que hacer notar que debido a la presencia de la impedancia del sistema, los armónicos de intensidad producidos por la carga no lineal están presentes en la tensión de la carga, pues provocan una caída de tensión en dicha impedancia. Por esto, los órdenes de los armónicos contenidos en la tensión de la carga y en la intensidad del sistema son los mismos.

Para resolver el problema del diseño de los filtros pasivos para la carga industrial se podría plantear un proceso iterativo, en el que el condensador se calculase mediante unas expresiones analíticas, que incluyeran las variaciones de la tensión de la carga respecto al valor de la capacidad del compensador (27). La tensión se actualizaría en cada una de estas iteraciones, en función del valor del compensador obtenido.

Sin embargo, este método no es adecuado debido a que la presencia de las derivadas de la tensión en la carga, las cuales hacen que la función objetivo sea fuertemente no lineal, dejando de ser válida la aproximación se realiza en cada iteración al suponer las tensiones y sus derivadas constantes.

Representando gráficamente el valor eficaz de la intensidad reactiva frente al valor de la capacidad del condensador se puede observar el carácter no lineal de dicha función, lo cual plantea dos problemas:

� El método iterativo no es de aplicación, ya que es poco probable que se alcance el óptimo, salvo que la búsqueda se inicie muy cerca de la solución.

� La solución al problema deja de ser única, existiendo más de un mínimo local. En la Figura 6 puede apreciarse que éstos mínimos están situados entre dos


� � �14�

�

máximos. Dichos máximos se producen para los valores de las capacidades de los condensadores que generan las resonancias para las frecuencias de los armónicos del sistema.

Para resolver este problema debe aplicarse un método numérico a la ecuación (14) que tenga en cuenta las segundas derivadas de la tensión. Este método podría ser el de Newton, el cual busca la solución de la ecuación a partir de una solución inicial mediante aproximaciones lineales en los sucesivos puntos del proceso iterativo. Para el caso de una sola variable:

� R�#(S� R�#� � PHR�#�JPT�R�#�� +�En este caso, tal y como se desprende de la Figura 6, los mínimos se encuentran entre los valores de las capacidades de los condensadores que crean las resonancias para los armónicos existentes en el sistema. Dichas resonancias pueden ser consideradas como restricciones. En este sentido, el cálculo del mínimo debe restringirse a las zonas delimitadas por estas fronteras. Dado que el método de Newton realiza una aproximación lineal en un punto de la función que se desea minimizar, no se tiene ninguna garantía de que los sucesivos puntos de este algoritmo estén dentro de la zona, delimitada por las restricciones, en la que se quiere encontrar el mínimo. Por estos motivos, se aplicará un algoritmo de punto interior para calcular los mínimos de la función a estudiar (28), (29), (30) y (31).

Figura 6 Función objetivo en función del valor del condensador

A modo de resumen, al considerar esta variación en la tensión de la carga surgen las siguientes dificultades a resolver (14):

� Las ecuaciones que definen el problema no tienen una solución analítica, por lo cual se tiene que recurrir a métodos numéricos para encontrar la solución optima del problema.

� La solución del problema de minimización no es única. Existen multitud de óptimos locales, entre los que habrá que buscar el mínimo absoluto.


� � �15�

�

� Aparecen resonancias entre el filtro o el conjunto de filtros y la impedancia del sistema. Desde el punto de vista de operación del sistema, las resonancias deben ser evitadas a toda costa. Además, se debe estar lo más alejado posible de ellas, para evitar que puedan producirse por cambios en los parámetros del sistema o del compensador. Desde otro punto de vista, si se analiza el proceso de optimización, las resonancias son causantes de la fuerte no linealidad de la función a minimizar. En particular, las resonancias separan las regiones donde se tienen que buscar los mínimos locales.

2.3. Planteamiento del problema de optimización En esta sección se describirá el problema de optimización y cada una de sus partes aplicadas a la optimización de compensadores pasivos para la reducción de armónicos. Tal y como se ha visto anteriormente, el objetivo es buscar una serie de mínimos locales en unas regiones predefinidas, delimitadas por las resonancias existentes entre la impedancia del sistema y el compensador instalado. En primer lugar se calculan los puntos de resonancia y se determinan las zonas factibles en las que deben ser hallados los mínimos locales. Posteriormente, se aplica el algoritmo de punto interior para encontrar dichos mínimos locales. Por último, se deberá encontrar el mínimo absoluto por comparación de todos los mínimos locales obtenidos.

Primero se expondrá el algoritmo de punto interior utilizado para la solución del problema, para luego pasar a la formulación matemática requerida por el algoritmo para el problema de la compensación de con un condensador o un filtro pasivo sintonizado en el armónico kh. Posteriormente se extenderá el algoritmo a la compensación mediante banco de filtros sintonizados.

2.3.1. Algoritmo de punto interior (14) Considérese que se desea minimizar la función monovariable dependiente de la variable C que se muestra en la Figura 7, en una región delimitada por la restricción C > 0. En la iteración k-ésima se calcula la derivada de la función en el punto C(k), obteniendo a partir de ella la nueva solución C(k+1). Sin embargo, esta solución está fuera de la zona analizada.

Una posible solución para asegurar que siempre se está buscando el óptimo en la región correcta, es aplicar un método de punto interior como el algoritmo primal-dual de barrera logarítmica. Básicamente este algoritmo consiste en modificar la función objetivo añadiendo un término que penaliza la proximidad a una frontera que marca un límite de la zona en la que se busca el óptimo, limitando además los incrementos de la variable en cada iteración con el fin de que el valor permanezca siempre en la región factible, pues el logaritmo está definido sólo en ésta. Para el ejemplo de la Figura 7, dada la función objetivo original f, la modificada, F, se escribe como:

� = P � U 05 3 ��donde μ es un parámetro denominado factor de penalización. Tal y como puede verse en la Figura 7, con la función modificada es imposible salirse de la región deseada, pues la


� � �16�

�

penalización hace aumentar la función modificada cerca de la barrera, impidiendo que ese límite se rebase.

Este factor de penalización se hará decrecer conforme el número de iteraciones aumente, de forma que al final del proceso iterativo su influencia en la función original sea despreciable. Por tanto, existirán dos procesos iterativos: uno interno, en el que se buscará el óptimo de la función modificada para un valor de μ determinado y otro externo, en el que se va disminuyendo paulatinamente el factor de penalización μ.

Figura 7 Fundamento de los métodos de punto interior de barrera logarítmica

2.3.2. Compensación con filtro pasivo o condensador A continuación se desarrolla el problema de realizar la compensación de armónicos y potencia reactiva utilizando dos tipos de compensadores, bancos de condensadores o filtros pasivos. Es este trabajo solo se estudia el caso de compensación con filtros pasivos, aunque el desarrollo general es para ambos casos.

2.3.3. Resonancias para un compensador pasivo Las resonancias que se producen entre la impedancia del sistema y el compensador pasivo de reactiva a instalar vienen determinadas por la expresión (14):

� QF-#CQ3 �V ; W � ��D�donde F-# es el valor eficaz del armónico k-ésimo de la intensidad del sistema, el cual dependerá del tipo de compensador instalado. En general, la ecuación resultante es de segundo orden:

� X�1.# � 1�#�C � Y�1.# � 1�#� � Z � ��G�


� � �17�

�

donde H, L y M son constantes que dependen de la tensión en la carga, la corriente generada por la parte no lineal de la carga, la impedancia del sistema y la conductancia de la parte lineal de la carga, las cuales están definidas en (14). La solución de la ecuación (18) se llamará Ak, a partir de la cual se calcula el valor del condensador que define la resonancia. Este valor depende de la naturaleza del compensador instalado:

� Batería de Condensadores:

� 3[# \# � 1.#;< ��K�� Filtro sintonizado al armónico kh:

� 3[# \# � 1.#;<� � �; ;AB �C ��Hay que tener en cuenta que en el caso de compensación con filtro sintonizado a una frecuencia fija kh, las resonancias sólo son posibles para armónicos por debajo de la frecuencia de sintonización, ya que para frecuencias superiores el filtro se comporta como una inductancia.

Una vez que se tienen los valores de la capacidad de los condensadores que producen la resonancia para cada uno de los armónicos considerados, es necesario resolver el problema evitando el valor de capacitancia que produce la resonancia del sistema.

2.3.4. Resonancias para un banco de compensadores pasivos Para el caso de un banco de N filtros con frecuencias de sintonización fijas, la expresión que determina la resonancia del sistema es idéntica al caso de compensación con un filtro (17). La resonancia en este caso está caracterizada por la siguiente ecuación:

� 1[�# \# � 1.# ��donde \# es la solución de la ecuación (18). La susceptancia del compensador que produce una resonancia en el armónico k-ésimo se puede expresar en función del orden de los armónicos a los que están sintonizados los N filtros que lo componen, ;A% y las capacidades de los condensadores de dichos filtros, 3%:

� 1[�# ! ;<3%� � �; ;AB �C]% \# � 1.# ��

Dado que las frecuencias de sintonización son fijas, esta ecuación define un hiperplano que relaciona los valores de las capacidades de los condensadores de cada uno de los filtros. Todos los puntos que están contenidos en el mismo, valores de condensadores que satisfacen la ecuación (22), producen una resonancia en el sistema para el armónico k-ésimo. En este sentido, la solución del problema de optimización debe evitar los hiperplanos, como en el caso de un solo compensador. Este método esta explicado de


� � �18�

�

manera más extensa en (14). En la Figura 8 se puede apreciar de manera grafica las restricciones debidas a la resonancia del sistema industrial con un compensador formado por dos filtros sintonizados en el quinto y séptimo armónico.

Figura 8 Regiones factibles limitadas por las resonancias del sistema con el compensador

2.3.5. Introducción de restricciones adicionales El método de optimización utilizando como restricciones las resonancias no tiene en cuenta ciertos aspectos prácticos que son relevantes en problemas reales (14):

� Una elevada sensibilidad a la variación de algunos de los parámetros que definen su comportamiento: impedancia de la red y sus propios componentes L, C. Si se analiza la impedancia equivalente desde el punto de acoplamiento del filtro frente a la frecuencia, se puede comprobar cómo existen unos mínimos en los armónicos en los que se sintonizan los filtros pasivos. Sin embargo, para frecuencias inferiores a estos armónicos aparecen unos máximos, que son los polos de la impedancia (4). El control sobre la posición de estos máximos es de primordial si se quiere evitar que variaciones de los parámetros del filtro o la impedancia de la red provoquen el desplazamiento de los mismos hacia armónicos importantes. Con este método de diseño, no se tiene la certeza de que los máximos estén suficientemente alejados de los mínimos.

� Normalmente la definición utilizada de potencia reactiva es la enunciada por Budeanu para sistemas con tensiones sinodales y cargas lineales en régimen permanente. Por otra parte, según la legislación española vigente (19), (32), no debe existir ningún consumo con factor de potencia capacitivo. Esto se debe a que la medida de la potencia de reactiva se realiza considerando que tanto las tensiones como intensidades que existen en los sistemas eléctricos son magnitudes senoidales en régimen permanente. Con la formulación realizada, no se tienen garantías de que dicha potencia reactiva en el armónico fundamental no sea capacitiva.

Para solventar estos problemas y adaptar el método propuesto a estos requerimientos se proponen las soluciones presentadas a continuación.


� � �19�

�

2.3.5.1. Introducción de resonancias ficticias El objetivo que se persigue es inmunizar el sistema eléctrico industrial ante la posible variación de los parámetros que definen el comportamiento de los filtros. Para lograr esto es necesario controlar la posición de las resonancias de la impedancia vista desde el punto de colocación del filtro.

Dado un diseño del banco de filtros pasivos mediante el proceso de optimización planteado, se puede representar cualquiera de las ganancias definidas en (4). Considérese el caso de compensación con un banco formado por dos filtros pasivos. Si para este caso se representa la impedancia equivalente vista desde la carga, aparecen unos máximos que indican la amplificación que se produce en las tensiones de la carga debidas a los armónicos de intensidad generados por la carga no lineal, y unos mínimos a las frecuencias de sintonización de los filtros, que se pueden ver en la Figura 9(a). Los máximos de la impedancia son las resonancias y al estar analizando la impedancia vista desde la carga, las rectas de resonancia adquieren la expresión:

� ;<3-� � �; ;A-B �C � ;<3^� � �; ;A^B �C �1.# � 1-# ��

La intersección de las rectas de resonancia es la solución del sistema, la cual se puede apreciar en la Figura 9(b). Así según (14), para controlar la ubicación de las resonancias es necesario introducir las siguientes restricciones:

� ;^.^_<3-� � �;^.^_ ;A-B �C � ;^.^_<3^� � �;^.^_ ;A^B �C � 1.#^ � 1-#^ W �� ;-.^_<3-� � �;-.^_ ;A-B �C � ;-.^_<3^� � �;-.^_ ;A^B �C � 1.#- � 1-#- ` �� +�

donde ;^.^_ y ;-.^_ son los valores máximos de los armónicos donde se pueden situar las resonancias y 1.#^, 1.#- y 1-#^, 1-#- son las susceptancias de la carga y la red a dichas frecuencias, respectivamente. Estas ecuaciones se plantean atendiendo tanto a la topología de las rectas de resonancia como a las regiones que éstas crean. La representación grafica de estas restricciones en el plano se muestra en la Figura 10. La restricción impuesta por (24) impide que la resonancia se desplace hacia valores superiores de ;^.^_, mientras que (25) actúa para que no se sobrepase a ;-.^_.


� � �20�

�

Figura 9 Punto de diseño y resonancia. (a) Punto de diseño en el plano Cs-Ci. (b) Impedancia equivalente

desde la carga

Figura 10 Región factible para la restricción de las resonancias ficticias

2.3.5.2. Restricción de potencia reactiva en el armónico fundamental

El objetivo de esta restricción es garantizar que el conjunto formado por la carga y el compensador pasivo actúen como una carga no capacitiva para el armónico fundamental. De la misma manera que se ha realizado en la sección anterior, esta restricción sobre la potencia reactiva para el armónico fundamental puede expresarse de forma simple, si se desea que la compensación en el armónico fundamental no sea capacitiva, la restricción que se debe imponer es (14):

� <3-� � �� ;A-B �C � <3^� � �� ;A^B �C � 1.# � FI[SES ` � ��De manera grafica podemos ver la región factible para la restricción de potencia reactiva en la Figura 11.


� � �21�

�

Figura 11 Restricción de potencia reactiva en el armónico fundamental

2.3.6. Representación gráfica del problema de optimización La Figura 12 muestra las regiones factibles en las que hay que buscar el óptimo en el caso de dos filtros sintonizados cuando se tienen en cuenta todas las restricciones del problema.

Figura 12 Restricciones del problema de optimización

En la Figura 12 las rectas en rojo son las resonancias del sistema, las cuales son propias del problema de optimización al ser barreras para los algoritmos numéricos utilizados para poder resolver los problemas. Las rectas en azul, son las restricciones ficticias para la inmunización frente a cambios de parámetros de los compensadores, estas restricciones son técnicas para mejorar el funcionamiento del compensador. Y por último, la recta verde es la restricción de potencia reactiva del problema, la cual marca


� � �22�

�

la frontera entre operación en la zona capacitiva e inductiva. Cuanto más cerca se esté será mejor para el factor de potencia pero el óptimo debe de estar en la zona inductiva.

2.3.7. Problema de optimización Para el problema de optimización es necesario definir la función objetivo a minimizar, las cuales serán abordadas en la sección 2.4, y luego las restricciones propias del problema que son las restricciones tratadas anteriormente. A partir de las mismas se formula el algoritmo de punto interior de barrera logarítmica al siguiente problema:

� @>5a = ��D�bcdefg�h R- � �\-3 � 1-� �R^ � �\^3 � 1^� ��R- � �7-� ��R^ � �7^� ��7-i 7^ W �

donde \-i 1-i \^i 1^ son parámetros que dependen los hiperplanos que definen las resonancias del sistema, R-��R^ son variables auxiliares para trabajar con restricciones de igualdad en lugar que restricciones de desigualdad y por ultimo 7-��7^ son variables de holgura.

2.4. Posibles funciones objetivo que pueden utilizarse Los filtros van a ser diseñados atendiendo a diferentes criterios. Las funciones objetivo que se consideran son: la distorsión armónica de la intensidad del sistema (5), la distorsión armónica en la tensión de la carga (7), (8), el coste del compensador (9) y el valor eficaz de la intensidad (6). En las secciones siguientes se desarrolla cada una de ellas.

2.4.1. Distorsión armónica de la tensión del sistema Va a desarrollarse la expresión del THDu y de su derivada con respecto al valor de los condensadores para poder incluirla en el algoritmo:

� jXkl mn E#C()#oCESC ��G�

� QjXklCQ3^ ESC n QE#CQ3^ � QESCQ3^#pC n E#C#pCESq ��K�


� � �23�

�

�QjXklCQ3^Q3% �ESq rQES

CQ3% !QE#CQ3^#pC � ESC! QCE#CQ3^Q3%#pC � QCESCQ3^Q3% !E#C#pC � QESCQ3^ !QE#CQ3%#pC s� �ESt QES

CQ3% rESC!QE#CQ3^#pC � QESCQ3^ !E#C#pC s� ��

2.4.2. Distorsión armónica de la corriente del sistema De igual forma se ha desarrollado la expresión del THDi, llegándose a un resultado análogo:

� jXk^ mn F#C()#oCFSC ��

� QjXkCQ3^ ESC n QE#CQ3^ � QESCQ3^#pC n E#C#pCESq ��

�QjXklCQ3^Q3% �F-Sq rQF-SCQ3% !QF-#CQ3^#pC � F-SC ! QCF-#CQ3^Q3%#pC � QCF-SCQ3^Q3% !F-#C#pC � QF-SCQ3^ !QF-#CQ3%#pC s

� �F-St QF-SCQ3% rF-SC !QF-#CQ3^#pC � QF-SCQ3^ ! F-#C#pC s� ��

2.4.3. Coste del compensador La función de coste del compensador, para filtros pasivos sintonizados viene dada por:

� 3u \ � 1.v. � 1�v� �� Donde Sl y Sc son las potencias del condensador y la bobina, A es el coste fijo y los términos Bl y Bc son constantes. Por tanto, se está haciendo una aproximación lineal. Según (9) los coeficientes para la función están definidos por las graficas de la Figura 13.

Desarrollando las funciones y derivadas necesarias se tiene:

� v�C !wxy E#C;<3L;C;AC � �MCz

{|C

# � ��+�


� � �24�

�

Figura 13 Definición de los parámetros constantes de la función de coste

� v.C !wxy E#C;<3L;C;AC � �MC

;C;ACz{|C

# � ��

Qv�Q3 �;<�C

v� L;C;AC � �Mq!�3E#C�# }3 QE#CQ3 � E#C~ ��D�

� Qv.Q3 �;<�Cv. L;C;AC � �Mq

;q;Aq!�3E#C�# }3 QE#CQ3 � E#C~ ��G�

� QCv�Q3C �;<�Cv� L;C;AC � �MC!}E#C � 3 QE#CQ3 ~# }3 QCE#CQ3C � �QE#CQ3 ~� ��K�

� QCv.Q3C �;<�Cv. L;C;AC � �MC

;q;Aq!}E#C � 3 QE#CQ3 ~# }3 QCE#CQ3C � �QE#CQ3 ~� � ��

2.4.4. Valor eficaz de la intensidad del sistema Por último se realizará el desarrollo de la función objetivo para la intensidad. Tanto para el cálculo de la intensidad como para el cálculo de las demás funciones objetivo es necesario contar con la tensión y sus derivadas, por lo cual se calculará después del desarrollo de la intensidad.

La intensidad del sistema eléctrico industrial está definida por (14):

� F-#C H�.# � FI#�JC � ��1.# � 1�#�E# � FI#[�C � ��


� � �25�

�

� QF-#CQ3^ � ��1.# � 1�#�E# � FI#[� r�1.# � 1�#� QE#Q3^ � E# Q1�#Q3^ s� � ��

�QCF-#CQ3^C �r�1.# � 1�#� QE#Q3^ � E# Q1�#Q3^ s

C

� � ��1.# � 1�#�E# � FI#[� r�1.# � 1�#� QCE#Q3^C � �Q1�#Q3^ QE#Q3^ s��

�QCF-#CQ3^Q3% �r�1.# � 1�#� QE#Q3% � E# Q1�#Q3% s

C

� � ��1.# � 1�#�E# � FI#[� r�1.# � 1�#� QCE#Q3^Q3% � Q1�#Q3% QE#Q3^ � Q1�#Q3^ QE#Q3% s��

Las siguientes ecuaciones relacionan estas derivadas con la del módulo de la intensidad suministrada por la red:

� QF-#Q3 ��F-# QF-#CQ3 � +�

� QCF-#Q3C ��F-# QCF-#CQ3C � � F-#� }QF-#CQ3 ~C � ��

2.4.4.1. Ecuaciones de la tensión y sus derivadas Para el desarrollo de las derivadas se tuvo en cuenta que la intensidad Igk que modela la carga no lineal puede descomponerse ortogonalmente según se muestra en la Figura 14.

Así Igkr es la proyección de Igk sobre la dirección ortogonal a Usk.

Figura 14 Descomposición ortogonal de la intensidad sobre la tensión

Por lo tanto:

� E# HE-# � �-#FI#� � �-#FI#[JC � H�-#FI#[ � �-#FI#�JC� � �.#C ��-#C � �-#C � � ,-#C �1�# � 1.#�C � ��-#�.# � ��-#�1�# � 1.#�� D�


� � �26�

�

� QE#CQ3 �E#q��-# � ,-#C �1�# � 1.#�� Q1�#Q3HE-# � �-#FI#� � �-#FI#[JC � H�-#FI#[ � �-#FI#�JC� � G�

� QCE#CQ3C E#C QE#CQ3 ��-# � ,-#C �1�# � 1.#�� Q1�#Q3 � �E#q,-#C LQ1�#Q3 MCHE-# � �-#FI#� � �-#FI#[JC � H�-#FI#[ � �-#FI#�JC � � K�

� QCE#CQ3^Q3% E#C QE#CQ3% ��-# � ,-#C �1�# � 1.#�� Q1�#Q3^ � �E#q,-#C Q1�#Q3% Q1�#Q3^HE-# � �-#FI#� � �-#FI#[JC � H�-#FI#[ � �-#FI#�JC � �+��

Mediante las expresiones anteriores se pueden calcular las derivadas del cuadrado del módulo de la tensión en la carga respecto del valor de la capacidad de los condensadores. Las siguientes ecuaciones relacionan éstas derivadas con la del módulo de la tensión en la carga:

� QE#Q3 ��E#QE#CQ3 �+��

� QCE#Q3C ��E#QCE#CQ3C � � E#� }QE#CQ3 ~C �+��

2.5. Programa Desarrollado El algoritmo de minimización mencionado previamente fue implementado en MATLAB utilizando una interfaz gráfica de usuario (por sus siglas en ingles, GUI), para facilitar el uso del programa y agilizar la obtención de resultados. El programa puede dividirse en tres partes básicos: datos del sistema eléctrico, configuración de la herramienta de optimización y resultados gráficos.

2.5.1. Datos del sistema eléctrico La Figura 15 muestra la pantalla de usuario donde deberá introducir los datos del sistema eléctrico industrial. Estos datos van desde la red de distribución, tensión y capacidad de cortocircuito, hasta los parámetros de la red industrial, datos de los transformadores de alimentación, línea de alimentación y de la carga del sistema industrial.


� � �27�

�

Figura 15 Pantalla del GUI 1. Introducción de los datos del sistema eléctrico industrial.

2.5.2. Configuración de la herramienta de optimización En este paso se configura la herramienta de optimización atendiendo a las necesidades y problemas específicos del sistema eléctrico industrial con el cual se esté trabajando. En esta ventana hay cuatro pasos a seguir:

� Tipo de compensador: En este paso se selecciona si se quiere utilizar un filtro sintonizado o un condensador para mejorar el sistema en cuanto a contenido armónico. Es importante mencionar que según (14) el uso de un condensador en un sistema donde existen armónicos no es viable debido a que no se obtienen los resultados deseados a consecuencia de la baja impedancia que presenta el condensador para los armónicos importantes.

� Restricciones: Son las restricciones ficticias para inmunizar al filtro frente a los cambios de parámetros del condensador, evitando de esta manera las resonancias en el sistema.

� Función objetico: Se selecciona la función objetivo a utilizar por la herramienta de optimización, dependiendo de las necesidades del sistema eléctrico industrial.

� Resultados: El programa tiene muchas opciones para mostrar resultados:

o Ecuaciones de los hiperplanos

o Ecuaciones de las restricciones

o Regiones factibles

o Resultados gráficos

o Mínimos locales

o Optimo computacional

o Comparación de resultados

Es importante comentar que esta última opción, al mostrar los resultados de la optimización del banco de filtro en un cuadro, nos permite comparar y seleccionar la mejor opción para la instalación bajo estudio.


� � �28�

�

Figura 16 Pantalla del GUI 2. Configuración del problema de optimización.

2.5.3. Resultados gráficos En esta ventana, Figura 17, será posible obtener de forma gráfica los resultados de la herramienta de optimización, pudiendo obtenerse gráficas en bidimensionales y tridimensionales. Las graficas tridimensionales ayudan a visualizar y entender aún más la influencia de las resonancias en la selección del punto óptimo de trabajo, mientras que las graficas en bidimensionales permiten visualizar la posición del óptimo con respecto a los tres tipos de restricciones del sistema.

Para las gráficas bidimensionales es posible seleccionar los parámetros a incluir en la grafica, las opciones posibles son: las rectas de los hiperplanos, los mínimos locales, la restricción de potencia reactiva y las restricciones de potencia ficticia.

Figura 17 Pantalla del GUI 3. Resultados gráficos.

2.6. Ejemplo de Aplicación En esta sección se presenta una aplicación numérica a casos concretos del algoritmo de punto interior analizado anteriormente. El objetivo que se persigue es realizar la comparación entre dos aspectos fundamentales del algoritmo:

� El valor logrado para la función objetivo utilizada por el algoritmo de optimización, para así comparar cuál de estas es la que de manera más efectiva realiza la reducción de la distorsión armónica dentro de la red, a la vez que


� � �29�

�

mantiene los demás parámetros eléctricos de ésta dentro de valores ideales para la operación de la misma.

� La cantidad de filtros a instalar, debido a que este en un aspecto que afecta tanto en la parte técnica del problema como económica, debido al aumento en la inversión necesaria para instalar más de un filtro sintonizado.

Para lograr esto se diseñaron tres casos de estudios, cada uno de estos para uno, dos y tres filtros instalados, además optimizando para cada una de las funciones objetivos del programa en cada uno de los casos.

2.6.1. Consideraciones generales En la Figura 18 se muestra el esquema unifilar que se va a utilizar para ilustrar el método de optimización de compensadores pasivos. Se trata de un sistema de distribución que parte de una subestación 66kV/20kV con un transformador de 10 MVA de potencia, que alimenta a través de una línea aérea de 10 km de longitud al transformador de la industria de 1MVA el cual alimenta la demanda de 1 MVA con un factor de potencia global de 0.8 de la industria, 500 kVA son de la carga lineal y 500 kVA son de la carga no lineal. Los característicos de cada uno de los elementos, se encuentran resumidos en la Tabla 4.

Tabla 4 Parámetros del diagrama unifilar de la red a estudiar.

Componentes de la Red Parámetro Valor Red de Media Tensión Potencia de Corto circuito 1000 MVA

T1

Tensión nominal 66/20 kV Potencia nominal 10 MVA

Impedancia de cortocircuito 0.1 p.u. X/R 10 p.u.

T2

Tensión nominal 20/0.38 kV Potencia nominal 1 MVA

Impedancia de cortocircuito 0.06 p.u. X/R 5 p.u.

Línea Resistencia 0.134 �/km Reactancia 0.613 �/km Longitud 10 km

Tanto la tensión de alimentación en la barra de 66 kV, como la potencia demandada por la instalación industrial pueden estar distorsionadas.

En la tensión de alimentación de la barra de 66 kV pueden existir armónicos distintos del fundamental y por tanto estar distorsionada. Para realizar los diferentes casos prácticos se ha considerado que existen los armónicos 5º y 7º, siendo ambos iguales a un 2.5 % del valor del fundamental.


� � �30�

�

Figura 18 Esquema unifilar de la red a estudiar.

La intensidad demandada por la instalación industrial tendrá una componente fundamental más unos armónicos. El patrón de armónicos que se elige es el de un rectificador controlado de seis pulsos que se muestra en la Tabla 5 (33). Es importante recalcar que, tal y como puede comprobarse, existen armónicos múltiplos de tres en la intensidad demandada por dicho rectificador. Sin embargo, estas intensidades no son de secuencia homopolar, pues el rectificador se alimenta desde la red mediante un transformador con el neutro aislado. Dichos armónicos pueden ser tan solo de secuencia directa o inversa, debido a asimetrías del circuito o defectuosa generación de los instantes de disparo.

Tabla 5 Contenido de Armónico en la carga no lineal.

Secuencia Positiva Secuencia Negativa Armónico Mod. (p.u.) Fase (rad) Mod. (p.u.) Fase (rad)

1 1.0000 1.6344 9.2000e-3 -2.9244 2 5.5526e-3 -1.3385 5.6103e-4 2.0250 3 5.4241e-3 2.0723 4.7290e-3 1.2608 4 7.6405e-3 5.3436e-1 4.8045e-3 1.7756 5 1.1664e-2 1.1326 5.2123e-3 2.4029 6 3.5396e-3 -1.6515 3.9653e-3 7.5014e-1 7 1.0835e-1 3.1295 1.9607e-2 -2.5374 8 5.1097e-3 -1.0509 1.3252e-3 2.7669 9 8.5094e-3 -2.5321 7.3497e-3 1.7505

10 9.8959e-3 1.1669 7.4074e-3 2.2297 11 1.0461e-2 1.6190 7.4055e-3 2.8089 12 3.0255e-3 3.9770e-1 5.1306e-3 1.2155 13 5.4162e-2 -2.4060e-1 3.8132e-2 -2.1429 14 4.9982e-3 -5.3773e-1 2.2417e-3 -2.9093 15 8.1156e-3 -2.0934 9.9182e-3 2.1985 16 8.5927e-3 -1.5244 9.8278e-3 2.6660 17 8.6570e-3 -1.0628 9.2893e-3 8.8221e-2 18 2.0367e-3 -2.2689 5.9220e-3 -1.4862 19 3.0118e-2 -2.9833 7.6604e-2 1.3911 20 4.4850e-3 -3.6143e-2 3.3365e-3 8.0454e-1 21 6.5518e-3 -1.6765 1.2395e-2 2.6188 22 6.5077e-3 -1.0746 1.1862e-2 3.0966 23 6.4775e-3 -5.8618e-1 1.0521e-2 5.5045e-1 24 1.0293e-3 -1.7113 6.4020e-3 4.8386e-1 25 1.6220e-2 -2.5977 2.1850e-1 1.6891e-2 26 3.6711e-3 4.8895e-1 5.2424e-3 1.4571 27 4.4777e-3 -1.2456 1.6394e-2 2.9907 28 4.1627e-3 -5.4513e-1 1.9378e-2 -2.8262 29 4.3329e-3 1.5016e-2 2.4836e-2 -2.4928


� � �31�

�

2.6.2. Caso de Estudio I (filtro de quinto armónico) La reducción de armónicos mediante un filtro sintonizado mejora las características de reducción respecto al condensador, debido a que el filtro para frecuencias superiores a las de sintonización se comporta como una carga inductiva. Sin embargo, para frecuencias inferiores trabaja como una carga capacitiva, por lo que presenta los mismos problemas de resonancia que el condensador. Una solución para evitar este problema es sintonizar el filtro en el armónico característico de menor orden, limitándose las resonancias para valores de armónicos que son relativamente poco importantes (14). En este caso de estudio el armónico característico de menor orden es el 5º.

Para este caso se obtuvieron los resultados reseñados en la Tabla 6 donde están los resultados que arroja el programa para cada una de las funciones objetivos programados en el mismo.

Tabla 6 Resultados de optimización al instalar un filtro pasivo al 5º armónico.

En la Tabla 6 se encuentran los resultados de este primer caso de estudio. En cada fila están los resultados obtenidos para cada una de las funciones objetivo. En la primera fila es posible apreciar que la reducción de la intensidad eficaz fue a un 83,6% de su valor inicial, de igual forma la distorsión armónica de la intensidad y la tensión fueron significativas, siendo estas reducidas a 36,5% y 40,4% de su valor inicial, respectivamente. La optimización según la función objetivo es posible apreciarla observando que la mayor reducción de un parámetro sea este la intensidad, el coste, la distorsión armónica de intensidad, de tensión o combinación de ellas, fue mayor cuando el parámetro optimizado era el mismo.

Para las últimas tres funciones objetivo el mínimo se encuentra en el mismo lugar, esto se debe a la reducida cantidad de regiones factibles para el problema y que los valores de THDi, THDu y THDiu están relacionados a las mismas variables eléctricas.

2.6.3. Caso de Estudio II (quinto y séptimo armónico) Tras los resultados obtenidos en la sección anterior con un filtro sintonizado, parece lógico establecer que para la mayoría de las aplicaciones, los filtros se sintonicen comenzando por el armónico de mayor importancia que tenga la menor de las frecuencias, para luego ir añadiendo otros filtros sintonizados a armónicos de orden superior. Normalmente los filtros que se añaden son los sintonizados al quinto, séptimo y decimoprimer, no siendo habitual la instalación de filtros de orden superior. Si a la instalación industrial que se ha definido anteriormente se le añaden bancos de filtros sintonizados en los armónicos quinto y séptimo, se tienen los resultados que se muestran en la Tabla 7. Como se puede observar, no se consigue una mejora en cuanto a reducción de potencia reactiva, si bien se consigue una disminución de las distorsiones de tensión e intensidad.

C5 (s/rad) I/Io Coste ($) THDi/ THDio THDu/ THDuo THDiu/ THDiuo RMS 1.53e-3 8.36e-1 4.20e4 3.65e-1 4.04e-1 3.85e-1 Coste 4.20e-4 9.27e-1 1.46e4 4.80e-1 6.56e-1 5.68e-1 THDi 1.65e-3 8.37e-1 4.54e4 3.57e-1 3.88e-1 3.73e-1 THDu 1.65e-3 8.37e-1 4.54e4 3.57e-1 3.88e-1 3.73e-1 THDiu 1.65e-3 8.37e-1 4.54e4 3.57e-1 3.88e-1 3.73e-1


� � �32�

�

Tabla 7 Resultados de optimización al instalar dos filtros pasivos al 5º y 7º armónico

C5 (s/rad) C7 (s/rad) I/Io Coste ($) THDi/ THDio THDu/ THDuo THDiu/ THDiuo RMS 6.77e-4 9.35e-004 8.47e-1 1.67e+4 2.73e-1 2.60e-1 3.83e-1 Coste 5.08e-4 2.37e-004 8.93e-1 1.13e+4 3.21e-1 4.42e-1 5.32e-1 THDi 1.01e-4 9.32e-004 8.69e-1 3.17e+4 2.56e-1 3.01e-1 3.94e-1 THDu 2.15e-4 1.65e-003 8.51e-1 2.62e+4 2.80e-1 2.12e-1 3.61e-1

THDi+u 4.48e-4 1.41e-003 8.51e-1 2.05e+4 2.62e-1 2.18e-1 3.49e-1

Es interesante analizar el caso de compensación con dos filtros sintonizados, ya que, al ser bidimensional, pueden ser representadas gráficamente las superficies de las funciones objetivo frente a las capacidades de los condensadores de dichos filtros y las curvas de nivel. El interés de esta representación es poder observar las resonancias que hacen que la función que se quiere optimizar sea fuertemente no lineal. En la Figura 19 se tiene la superficie del THD de intensidad al instalarse unos filtros sintonizados al quinto y séptimo armónico. En dicha figura puede verse la resonancia existente en el cuarto armónico. Si se representan las curvas de nivel de la superficie anterior, Figura 20, puede observarse el óptimo alcanzado y la resonancia mencionada anteriormente. También, se encuentra la resonancia para el armónico sexto y tercero, reflejada en la curvatura de las curvas de nivel en la parte inferior cercana al mínimo.

Figura 19 THD de la intensidad frente al valor de los condensadores.

Seguidamente, en la Figura 21, Figura 22 y Figura 23 se observan las curvas de nivel de las otras tres funciones objetivos programadas en el algoritmo de optimización.

Figura 20 Curvas de nivel del THD de la intensidad frente al valor de los condensadores.

0 0.5 1 1.5 2 2.5

x 10-30

1

2

3

x 10-3

0

0.5

1

1.5

2

C7(s/rad)C5(s/rad)

THD

de

la in

tens

idad

C7(s/rad)

C5(

s/ra

d)

THD de la intensidad

0.5 1 1.5 2 2.5

x 10-3

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

-3

Fictitious�Constraints�

Global�Minima�

Hyperplanes�

Reactive�Power�Constraints

Local�Minima�


� � �33�

�

Figura 21 Curvas de nivel del THD de la tensión frente al valor de los condensadores.

Figura 22 Curvas de nivel del coste del banco de filtros frente al valor de los condensadores.

Figura 23 Curvas de nivel del valor eficaz de la intensidad frente al valor de los condensadores.

C7(s/rad)

C5(

s/ra

d)

THD de la tension

0.5 1 1.5 2 2.5

x 10-3

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

-3

C7(s/rad)

C5(

s/ra

d)

Coste

0.5 1 1.5 2 2.5

x 10-3

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

-3

C7(s/rad)

C5(

s/ra

d)

Valor eficaz de Is (pu)

0.5 1 1.5 2 2.5

x 10-3

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

-3

Fictitious�Constraints

Global�Minima�

Hyperplanes

Reactive�Power�Constraints�

Local�Minima

Fictitious�Constraints

Hyperplanes�

Reactive�Power�Constraints�

Local�Minimum

Global�Minima

Fictitious Constraints

Hyperplanes�

Reactive�Power�Constraints

Local�Minima

Global�Minima


� � �34�

�

Figura 24 Localización de los mínimos globales para las cuatro funciones objetivos en referencia a las

restricciones

Es importante recalcar que observando detalladamente cada una de las curvas de nivel y trasladando los mínimos globales a la Figura 24 se puede ver que el problema no convexo de optimización está resuelto debido a que los mínimos globales de las cuatro funciones objetivos quedan en diferentes regiones factibles, es decir, independientemente de dónde se sitúe el óptimo global, el algoritmo planteado podrá alcanzarlo.

2.6.4. Caso de Estudio III (quinto, séptimo y decimoprimer armónico) Por último se instalara un banco de filtros pasivos sintonizados al quinto, séptimo y decimoprimer armónico. Los resultados se muestran en la Tabla 8.

Tabla 8 Resultados de optimización al instalar un banco de filtros pasivos sintonizados al 5º, 7º y 11º armónico

C5 (s/rad) C7 (s/rad) C11 (s/rad) I/Io Coste ($) THDi/ THDio THDu/ THDuo THDiu/ THDiuo RMS 9.90e-4 3.38e-4 2.78e-4 8.47e-1 1.69e+4 2.36e-1 1.95e-1 3.14e-1 Coste 5.01e-4 2.29e-4 1.75e-4 8.78e-1 1.32e+4 2.75e-1 2.81e-1 3.97e-1 THDi 2.09e-4 2.45e-5 7.05e-4 8.76e-1 3.46e+4 1.96e-1 1.60e-1 2.60e-1 THDu 3.60e-5 4.28e-5 1.46e-3 8.48e-1 8.76e+4 2.31e-1 1.12e-1 2.61e-1

THDi+u 8.64e-5 1.18e-4 1.13e-3 8.53e-1 4.02e+4 2.12e-1 1.21e-1 2.50e-1

Para este banco de filtros sintonizados no es posible representar gráficamente los resultados debido a que el problema es de tres variables y el valor de la función por lo cual las gráficas tridimensionales no son suficientes para poder representarlo, pero se puede analizar cómo varia la impedancia vista desde la carga para cada uno de los filtros sintonizados en la Figura 26 y Figura 25.


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�

Figura 25 Representación de la impedancia vista desde la carga con respecto a la frecuencia.

Figura 26 Representación de la impedancia vista desde la carga con respecto a la frecuencia.

3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

5

10

15

20

25

Harmonic Order

Impe

danc

e as

see

n fr

om th

e no

n-lin

ear l

oad

vers

us fr

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ncy

Cost

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