trabajo de estatica
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ESTATICAE.A.P. INGENIERIA CIVIL
EJERCICIO.
Reducir el sistema de fuerzas (Torsor Equivalente) que actúa en el sólido regular que se muestra en la figura, la ecuación del eje central y el paso del torsor.
F1 = 12 N.
F2 = 16 N.
F3 = 8 N.
|⃗BC|=√250
|⃗CE|=√132
|HJ| = (2/3).|GH|
|GK| = (3/5).|EG|
Ing. VALDERRAMA SORIANO, Tarsicio SISTEMA DE CURSORES
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SOLUCIÓN.
1. Calculo de los puntos:
1.1. Calculo del punto “C”:
Hallando la ecuación del plano BCEG:
G⃗C . (G⃗B x ¿⃗)=0
( x−23 , y−19 , z−1 ) .( i→
j→
k→
−8 −8 8−17 0 4 )=0
( x−23 , y−19 , z−1 )(−32 ,−104 ,−136)=0−32 x−104 y−136 z+2848=032 x+104 y+136 z=2848 . . .(1)
Por dato tenemos:
|⃗BC|=√250√(x−15)2+( y−11)2+(z−9)2=√250
(x−15)2+( y−11)2+(z−9)2=250 . . .(2)
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|⃗CE|=√132√(6−x )2+(19− y )2+(5−z)2=√132
(6−x)2+(19− y )2+(5−z)2=132 . ..(3)De (1), (2) y (3) tenemos:
32 x+104 y+136 z=2848 . . .. . . .. . . .(1)(x−15)2+( y−11)2+(z−9)2=250 . . .(2)(6− x)2+(19− y)2+(5−z )2=132 .. .(3)
∴C=(−0.5315,12 .2962,11.6632)
1.2. Calculo del punto “A”:
Hallando la ecuación del Plano ABCD (P1):
C⃗ A . (C⃗B x C⃗D)=0
( x+0.5315 , y−12.2962 , z−11.6632 ) .( i→
j→
k→
15.5315 −1.2962 −2.6632−1.4685 −15.2962 3.3368 )=0
( x−23 , y−19 , z−1 )(−45.0620 ,−47.9146 ,−239.4764)=0
−45.0620 x−47.9146 y−239.4764 z+2186.2798=0
45.0620 x+47.9146 y+239.4764 z=2186.2798 . . .(1)
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Hallando la ecuación del Plano ADIH (P2):
I⃗A . ( I⃗D x I⃗H )=0
( x−13 , y−1 , z−11) .( i→
j→
k→
−15 −4 46 5 −6)=0
( x−23 , y−19 , z−1 )(4 ,−66 ,−51)=0
4 x−66 y−51 z+1213=0
4 x−66 y−51 z=−1213 . .. (2)
Hallando la ecuación del Plano ABGH (P3):
G⃗I . (G⃗H xG⃗B )=0
( x−23 , y−19 , z−1 ) .( i→
j→
k→
−4 −13 4−8 −8 8)=0
( x−23 , y−19 , z−1 )(−72,0 ,−72)=0
−72 x+0 y−72z+1728=0
72 x+0 y+72 z=1728 . ..(3)
De (1), (2) y (3) tenemos:
45.0620 x+47.9146 y+239.4764 z=2186.2798 . . .(1)
4 x−66 y−51 z=−1213 . .. . . .. . . .. . . .. . . ..(2)
72 x+0 y+72 z=1728 . .. . . .. . . .. . . .. . . .. .(3)
∴ A=(23,19,1)
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2.3. Calculo del punto “J”:
Por dato tenemos:
|⃗HJ|=23|⃗GH|.. . .. . .(1)
Pero:
u⃗HJ=H⃗J
¿⃗HJ∨¿⇒|HJ|= H⃗Ju⃗HJ
¿
u⃗HJ=−u⃗GH
u⃗GH=G⃗H
¿⃗GH∨¿⇒|GH|=G⃗Hu⃗GH
¿
Reemplazando los enunciados anteriores en (1) tenemos:
H⃗Ju⃗HJ
=23G⃗Hu⃗GH
H⃗Ju⃗HJ
=−23
G⃗Hu⃗HJ
H⃗J=−23
G⃗H
( x , y , z )−(19,6,5 )=−23
(−4 ,−13,4 )
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( x , y , z )=( 653 , 443, 73 )
∴ J=( 653 , 443, 73 )
2.4. Calculo del punto “K”:
Por dato tenemos:
|⃗GK|=35|⃗EG|. . . .. . .(1)
Pero:
u⃗GK=G⃗K
¿⃗GK∨¿⇒|GK|= G⃗Ku⃗GK
¿
u⃗GK=−u⃗EG
u⃗EG=E⃗G
¿⃗ EG∨¿⇒|EG|= E⃗Gu⃗EG
¿
Reemplazando los enunciados anteriores en (1) tenemos:
G⃗Ku⃗GK
=35E⃗Gu⃗EG
G⃗Ku⃗GK
=−35
E⃗Gu⃗GK
G⃗K=−35
E⃗G
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( x , y , z )−(23,19,1 )=−35
(17,0 ,−4 )
( x , y , z )=( 645 ,19 , 175 )
∴K=( 645 ,19 , 175 )
2.5. Calculo del punto “L”:
Hallando las ecuaciones vectoriales de las rectas L1, L2:
L1={( 645 ,19 , 175 )+α (−13.3315 ,−6.7038,8 .2632 )}
L2={(6,19,5 )+β (9 ,−8,4 ) }
Sea L ∈ L1 ⋀ L2, Entonces: L ∈ L1 ⋀ L ∈ L1
Si L∈ L1⟹ L( 645 −13.3315α ,19−6.7038α , 175
+8.2632α)Si L∈ L2⟹ L (6+9 β ,19−8β ,5+4 β )
Como L ∈ L1 ⋀ L ∈ L1, tenemos:
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( 645 −13.3315α ,19−6.7038α , 175
+8.2632α )=(6+9β ,19−8 β ,5+4 β )
645
−13.3315α=6+9 β
19−6.7038α=19−8 β; Entonces:α=0.3339 , β=0.2825
175
+8.2632α=5+4 β
∴L=(8.4566,16 .8159,6.0922 )
2. Calculo delas componentes de las fuerzas:
2.1. Fuerza 1 (F1):
Hallando el valor de “|⃗CX|”:
|⃗CX|=12∗cos70 °
|⃗CX|=12∗cos70 °
∴n=4.1042
Hallando el valor del ángulo “|⃗XY|
|⃗XY|=12∗Sen70 °
|⃗CX|=12∗Sen70 °
∴n=11.2763
Hallando el valor de |⃗XY|:
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tan a°=|⃗XY|n
|⃗XY|=5.7676∗tan(61.3722° )
∴|⃗XY|=10.5663
Hallando el valor del ángulo b:
B⃗A . B⃗C=(|⃗BA|) (|⃗BC|)∗cosb
b=cos−1 B⃗A . B⃗C
(⃗|BA|) (⃗|BC|)
b=128.1007 °
Hallando el valor del ángulo b:
a+b+10°=180
a+128.1007°+10 °=180 °
a=41.8993 °
Hallando el valor del punto “Z”:
sina15.8114
= sin 10
|⃗BZ|
|⃗BZ|=15.8114∗sin 10sin 41.8993
|⃗BZ|=4.1113 . . .. .(1)
u⃗BA=B⃗A
|⃗BA|= u⃗BZ
u⃗BA=(0.5774,0.5774 ,−0.5774 ) . . . .(2)
De uno (1), (2) tenemos:
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u⃗BZ=B⃗Z
|⃗BZ|
B⃗Z=|⃗BZ|∗u⃗BA
B⃗Z=4.1113∗(0.5774 ;0.5774 ;−0.5774)
Z=4.1113∗(0.5774 ;0.5774 ;−0.5774 )+ B⃗
∴Z=(17.3737,13.3737,6 .6263) Hallando el valor del punto “X”:
u⃗CZ=C⃗Z
|⃗CZ|=u⃗CX .. . . ..(1)
u⃗CZ=(0.9610,0 .0578 ,−0.2703 ) . . . ..(2)
De (1), (2) tenemos:
u⃗CX=C⃗X
|⃗CX|C⃗X=|⃗CX|∗u⃗CZ
C⃗X=4.1042∗u⃗CZ
X=4.1042∗u⃗CZ+C
X=4.1042∗(0.9610,0.0578 ,−0.2703 )+C
X=(3.4127,12 .5335,10.5537)
Hallando el valor del punto “Y”:
Hallando un vector unitario normal al plano ABCD:
N⃗=C⃗D xC⃗B
N⃗=( i⃗ j⃗ k⃗−1.4685 −15.2962 3.336815.5315 −1.2962 −2.6632)
N⃗= (45.0670,47 .9146,239.4764 )
Entonces:
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u⃗N=N⃗
|⃗N|
u⃗N=(0.1814,0 .1979,0 .9643)
Luego:
u⃗XY=X⃗Y
|⃗XY|= u⃗N
X⃗Y=|⃗XY|∗u⃗N
Y=|⃗XY|∗u⃗N+X
Y=11.2763∗(0.1814,0 .1979,0.9643)+X
∴Y=(5.5482,14 .7087,21 .4274)
Hallando el valor de la fuerza 1 ( F1):
F⃗1=Y⃗C
F⃗1=C−Y
F⃗1=(−0.5315,12.2962,11.6632)−(5.5482,14 .7087,21 .4274)
∴⃗F1=(−5.9897 ,−2.4125,−9.7642)
2.2. Fuerza 2 (F2):
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F⃗2=u⃗N∗|F⃗2|. .. . . .. . . .(1)
Hallando u⃗N:
u⃗N=L⃗B x L⃗G
¿ L⃗B x L⃗G∨¿¿
u⃗N=(23.2648,75.6096,98 .8744)
248.3452
∴⃗ uN=(0.1837,0.5971,0 .7808)
Reemplazando en (1):
F⃗2=(−0.1837 ,−0.5971 ,−0.7808)∗16
∴⃗F2=(2.9396,9 .5537,12.4934)
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2.3. Fuerza 3 (F3):
Por dato tenemos:
Como u⃗F3=u⃗AJ , se tiene:
u⃗ AJ=A⃗J
¿⃗AJ∨¿=(−1.3333 ,−4.3333,1.3333)
¿(−1.3333 ,−4.3333,1 .3333)∨¿=(−0.2821,−0.9169,0 .2821)¿¿
u⃗F3=u⃗AJ=F⃗3
¿⃗F3∨¿=⇒ F⃗3=|F3|∗uAJ ¿
F⃗3=8∗(−0.2821,−0.9169,0 .2821)∴ F⃗3=(−2.2571 ,−7.3356,2.2571)
3. Hallando el vector resultante:
R⃗=F⃗1+ F⃗2+ F⃗3
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∴ R⃗=(−5.3072 ,−0.1944,4 .9863)
4. Hallando el momento de las fuerzas respecto al origen:
MOR⃗=O⃗C x F⃗1+O⃗L x F⃗2+O⃗A x F⃗3
MOR⃗=( i⃗ j⃗ k⃗
−0.5315 12.2962 11.6632−5.9897 −2.4125 −9.7642)+( i⃗ j⃗ k⃗
8.4566 16.8159 6. 09222.9396 9.5537 12.4934)+( i⃗ j⃗ k⃗
23 19 1−2.2571 −7.3356 2.2571)
MOR⃗= (−91.9251 ,−75.0487,74 .9328 )+(151.8847 ,−87.7431,31 .3598,31.3598 )+(50.2205 ,−54.1704 ,−125.8339)
∴MOR⃗=(110.1801 ,−216.9622,−19.5413)
5. Hallando el momento mínimo (M’):
M '=MO
R⃗ . R⃗¿ R⃗∨¿¿
M '=(110.1801 ,−216.9622 ,−19.5413 ) .(−5.3072 ,−0.1944,4 .9863)
¿(−5.3072,−0.1944,4 .9863)∨¿¿
∴M '=−87.8562
6. Calculo del eje central Q⃗:
Q⃗=R⃗ x MO
R⃗
¿ R⃗∨¿2¿
Q⃗=(−5.3072,−0.1944,4 .9863)x (110.1801 ,−216.9622 ,−19.5413 )
¿ (−5.3072 ,−0.1944,4 .9863)∨¿2¿
∴Q⃗=(20.4577,8 .3984,22.1017)
7. Ecuación del Eje Central:
L :P=Q⃗+φ∗R⃗
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∴L :P=(20.4577,8.3984,22 .1017)+φ(−5.3072 ,−0.1944,4 .9863)
8. Paso del Torsor:
Pasodel Torsor= M '¿ R⃗∨¿¿
Pasodel Torsor= −87.8562¿(−5.3072 ,−0.1944,4 .9863)∨¿¿
∴Pasodel Torsor=−12.0630
9. INTEGRANTES:
BRINGAS RUMAY, Ronal Israel BUSTAMANTE RUITON, Edward BUSTAMANTE VASQUEZ, Yuri Alexander CASTOPE GONZALES, Lodar DILAS GONZALES, Jhony Alex
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